椭圆与标准方程(ppt自带动画)

x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
∵ 2a=10, 2c=8
∴ a=5, c=4
∴ b2=a2－c2=52－42=9 ∴所求椭圆的标准方程为 x2 y2 1
25 9
y
F1 o
M
F2 x
讲评例题
解题感悟：求椭圆标准方程的步骤：
①定位：确定焦点所在的坐标轴； ②定量：求a, b的值.
快速思考，举手回答．
①表示一个圆；
②表示一个椭圆；
(1)m 9 2
析：方程表示一个椭圆需要满足的条件：
25 m 0 16 m 0 25 m 16 m
16 m 25且m 9 2
探究与互动：
1、方程
x2 25－m
＋ y2 16＋m
＝1
，分别求方程满足下列条件
同 点
a、b、c 的关系
a2 = b2 + c2
焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
三.夯实基础 灵活运用
认真思考，举手抢答，并说明依据。 练习1.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。
(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。 (2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。 (3)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。
二.类比探究 形成概念 y
方程
x2 a2

y2 b2
1(a

b

0)
F1
F2 x
即为焦点在x轴上的椭圆的标准方程.
所谓椭圆的标准方程，一定是 焦点在坐标轴上，且两焦点的 中点为坐标原点。
A1 思考：在图形中，a,b,c分别代表哪段 的长度？
y
B2 M
F1
cob
a c
F2
A2x
B1
二.类比探究 形成概念 椭圆标准方程的再认识：
二.类比探究 形成概念
♦自然界处处存在着椭圆,我们如何用自 己的双手画出椭圆呢?
请同学们小组合作，完成下列图形
(1)取一条细绳， (2)把它的两端固定在板上的两点F1、F2 (3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动
看看画出的图形
二.类比探究 形成概念 探究1:椭圆的定义
数学 实验
以小组为单位讨论以下问题，然 后派代表展示本组结论
Y C
O
F1
F2
X
D
跟踪练习：自由发言
1、已知椭圆的方程为：x2 y 2 1 ，则 a=___5__，b=____2___，c=4____51___，焦点坐标为： ___(0_,_-1_)_、_(_0_,1_)焦距等于________2__;曲线上一点P
到焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距
＝1
，分别求方程满足下列条件
的m的取值范围：
快速思考，举手回答．
①表示一个圆；
析：方程表示圆需要满足的条件：
25 m 0 16 m 0 25 m 16 m
m 9 2
探究与互动：
1、方程
x2 25－m
＋ y2 16＋m
＝1，分别求方程满足下列条件
的m的取值范围：
22
快速思考，说出你的答案．
y
法（1)定义法
解：由椭圆的定义知：
M F2
2a 3 2 5 22 3 2 5 22 2 10
O
2 2 2 2
x
F1
∴ a 10 ，又 c 2 ， ∴ b2 a2 c2 6
由椭圆定义可知 2a 2c,即a c, a2 c2 0,
设a2 c2 b2 (b 0),
则上式变为 b2 x2 a2 y2 a2b2 两边同除以 a2b2得：
椭圆的标准方程
x2 a2
y2 b2
1( a b 0).
二.类比探究 形成概念
y
椭圆的标准方程⑴ M
二.类比探究 形成概念
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线
为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
y
设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭
圆的焦距2c(c>0)，M与F1和F2的距 离的和等于正常数2a (2a>2c) ，则
F1、F2的坐标分别 是(c,0)、(c,0) .
M
F1 0
x2 y2 1 (a b 0) a2 b2
F1 0
F2
x
它表示：
① 椭圆的焦点在x轴
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
② 焦点坐标为F1（-C，0）、F2（C，0） ③ c2= a2 - b2
思考：当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是 怎样的呢
二.类比探究 形成概念
解 (1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆。
(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭 圆(是线段F1F2)。
(3)因| MF 1 | | MF 2 | 3 | F1F2 | 2 2，故点M的轨迹为椭圆。
三.夯实基础 灵活运用
离等于_____2__5__，3 则△F1PF2的周长为
___2__5___2___
y
F2 P
O
x
F1
例3．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0）,（4，0）， 椭圆上一点M到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。
迅速在练习本上写出过程,和答案对照
解： .
∵椭圆的焦点在x轴上
∴设它的标准方程为:
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。
例2、填空：自由发言 已知椭圆的方程为： x2 y 2 1 ，则
25 16 a=____5_，b=____4___，c=_____3__，焦点坐标 为：__(_3_,0_)、__(_-3_,_0)__焦距等于____6__;若CD为过 左焦点F1的弦，则△F2CD的周长为____2_0 ___
移项，再平方 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2 即：a2 cx a (x c)2 y2 两边再平方，得
a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2 整理得：(a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 )
二.类比探究 形成概念
1、定义中需要注意:
一点要注
意哦
M
（1）必须在平面内;
F1
F2
（2）两个定点---两点间距离确定(2c);
（3）定长---轨迹上任意点到两定点距离和(2a)确定.
(4)|MF1|+|MF2|>|F1F2| （2a>2c）
2、求椭圆的方程（标准方程） 建．设．现．(．限．)．代．化．.
因为椭圆的焦点在y轴上
所以椭圆的标准方程为： y2 x2 1 10 6
法（ ）待定系数法
课本例2、将圆 x2 y2 4上的点的横坐标保持不
变，纵坐标变为原来的一半，求所得的曲线的方
程，并说明它是什么曲线.
解:设所得曲线上任一点坐标为P(x,y),圆 y
上的对应点的坐标P’(x’,y’),
的m的取值范围：
快速思考，举手回答．
①表示一个圆； ②表示一个椭圆；
(1)m 9
(2)
16

m
2
25且m

9
2
③表示焦点在x轴上的椭圆。
析：表示焦点在x轴上的椭圆需要满足的条件：
25 m 0 16 m 0 25 m 16 m
16 m 9 2
例4：若方程4x2+kx2=1表示的曲线是焦点在y轴上 的椭圆，求k的取值范围。
快速思考，举手回答．
解：由4x2 ky2

1得
x2 1

y2 1
1
4k
∵方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆
1 1 k4
解之得：0<k<4
∴k的取值范围为0<k<4。
探究与互动：
1、方程
x2 25－m
＋ y2 16＋m
解题感悟： 方程表示椭圆时要看清楚限
制条件，焦点在哪个轴上。
思考：方程Ax2 By2 1表示椭圆的充要条件是____, 表示焦点在y轴上的充要条件是______
A 0, B 0, A B AB0
例5 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 (0 ,-2）
（0 ,2)并且经过点 ( 3 , 5) 求椭圆的标准方程
F2 x
由椭圆的定义得：
| MF1 | | MF2 | 2a
代入| M坐F标1 | (x c)2 y2 ,| MF2 | (x c)2 y2
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
（问题：下面怎样化简？）
二.类比探究 形成概念
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
1．视笔尖为动点，两个 图钉为定点，动点到两定 点距离之和符合什么条件？ 其轨迹如何？ 2．改变两图钉之间的距 离，使其与绳长相等，画 出的图形还是椭圆吗？ 3．绳长能小于两图钉之 间的距离吗？ 4.请给椭圆下定义。
二.类比探究 形成概念
2. 改变两点之间的距离，使其与绳 长相等，画出的图形还是椭圆吗？
P′
由题意可得： x' x

y'

2
y
Px o
因为 x'2 y'2 4