第三章 监测网平差及参考点稳定性检验

1
V T PV s nt d
求 ( NN ) ： 可以在方阵中任意去掉d行、d列，把余下的式子 （已是满秩的）求出凯来逆，再在原来去掉的行、列补上0， 即为NN的一个广义逆。
因广义逆不唯一，但可以证明，用不同的广义 逆（NN）-代入上式后，求得的X向量却是相同的， 故X有唯一解！
3.3 秩亏自由网平差
2 X T 2K T N 0 X
X NK
X NK
T NNK A Pl 代入法方程，有：
NX AT Pl
K ( NN ) 1 AT Pl
X N ( NN ) 1 AT Pl
NN 仍是秩亏的，但
X N ( NN ) 1 AT Pl 却是惟一的
观测改正数： V AX l ( AN ( NN ) 1 AT P E )l 单位权方差：

3.3 秩亏自由网平差
四、 秩亏自由网平差——直接解法
问题的提出:在秩亏自由网平差中,如果像经典平差平差那样,只 要求遵循最小二乘原则求未知参数的解,将不可能取得唯一确定 的估计量; 解决方法:为了得唯一确定的估计量,需要在遵循最小二乘原则基 础上附加另外条件; 附加条件的前提:该条件的确定应保证所求得的未知数的估计量 是最优的. 这样的最优解是唯一存在的,它就是法方程的最小范数解!
3.2 监测网经典平差
一、间接平差原理
误差方程式：
L V AX
设观测值权为 P ，根据最小二乘原理：
V T PV min
求极值，有：
d (V T PdX
AT PV 0
3.2 监测网经典平差
AT P( AX l ) 0 AT PAX AT Pl
7.3mm
H P H P 0 H P 103.455m 7.3mm 103.4623
近似值103.476： d H H 103.4623 103.476 10mm -13.7mm 近似值103.455： d H H 103.4623 103.476 13.7mm
如果网中不设起算点，即把 x3 与 x1 , x 2 等同地看作未知数， 则上述水准网的误差方程为：
1 0 1 V 1 1 0 0 1 1 x1 x 2 x3 l1 l － 2 l 3
3.2 监测网经典平差
P51
(-21)
-13.7mm
H P 103.476m 13.7mm 103.4623m
4、求变形量
d H H 103.4623 103.476 13.7mm
如果：两期观测的坐标近似值不相同。取p点近似值为103.455
H P H A h1 103.455 H B H P h3 101.265 H C H P h4 100.200 H D H P h2 102.141
设有一水准网，按经典网平差 选3点为已知点，则:
V1 x1 l1 V2 x1 x 2 l 2 V3 x2 l3
1 0 1 1 x1 V 即： x 2 0 1 l1 l 2 l3
3.3 秩亏自由网平差 思考：
水准网、测角网、测边网、边角网以及GPS 网的秩亏数各是多少？
3.3 秩亏自由网平差
三、秩亏数d的计算
1. 如果无固定点（没有限制x，y方向的平移），产生的秩亏数 为2。 2. 如果无固定方向（没有限制网的旋转），产生的秩亏数为1。 3. 如果无固定边也没有边观测值（没有限制比例尺伸缩），产 生秩亏数为1。 4. 如果无起算高程（没有限制高程方向的平移），产生的秩亏 数为1。
，
2 1 30 1 2
故 R ( A) 2 ，N为秩亏的矩阵（奇异矩阵），其凯来逆N-1不存在。 此时的法方程为相容方程，按经典平差方法不能得到惟一解。
3.3 秩亏自由网平差
二、网秩亏的几何意义 A及N产生秩亏可能有两种原因：
1. 是缺少必要观测值,这种秩亏一般称为形亏 2. 是缺少必要的已知数据，这种情况一般称数亏。对秩 亏网的讨论主要是针对数亏网的研究。
h1 3.455 h2 1.314 h3 2.190 h4 3.225
l1 h1 ( H P 0 H A ) 0 l2 h2 ( H P 0 H D ) 7 l3 h3 ( H P 0 H B ) 13 l4 h4 ( H P 0 H C ) 12
P Ol O I l
或 令 则有：
( AT PA BT B) X AT Pl BT l
N AT PA B T B
Q1 N 1
X N 1 ( AT Pl B T l ) Q1 ( AT Pl B T l )
3.3 秩亏自由网平差
四、 秩亏自由网平差——直接解法

设满足法方程的一个解为X,取其平方和的开方为
2 2 X ( X T X ) x12 x2 xn 1 2
称为向量X的范数,几何意义是向量的长度。

最小范数满足条件,称为最小范数条件,其表达式为
X min 或X T X min

法方程若有一解X满足其范数最小,这个解就称为最小 范数解。
3.3 秩亏自由网平差
四、 秩亏自由网平差——直接解法
对于误差方程： 求得法方程为： 借鉴： 附加条件： 条件极值原理： 取一阶导数为0，得
AX l V
NX AT Pl
V T PV min
T
X X min
T T T
X X 2 K ( NX A Pl )
－
在A中，任意二阶行列式不为0，由矩阵理论可知 R ( A) 2 。 AT AX AT l 法方程： 即：
2 1 x1 1 2 x2
＝
l1 l2 l l 2 3
2 1 N 0 1 2
故
R ( A) 2 ，满秩，法方程由惟一解：
3.2 监测网经典平差

法方程：
ˆ1 l1 l2 2 1 x 0 1 2 x ˆ2 l2 l3

系数阵的行列式不为零，即R（N）=2，非奇异， 方程有唯一解： ˆ1 2 1 l1 l2 x x l l ˆ 1 2 2 3 2 经典平差法的条件： 是在控制网中必需设定足够的坐标起算数据；

3.2 监测网经典平差
二、 监测网经典平差
问题：起算数据误差或大小对移动有没有影响？
结论：如果控制点保持稳定，两期观测方案（网形 和观测值权的分配）相同，起算数据误差或大小对移动 没有影响。
3.2 监测网经典平差
二、 监测网经典平差 当网中有多个稳定点时，可按下列步骤计算：
①任选一点为起算点，进行平差，确定各点的高程（坐标）。 ②分析确定各稳定点，将上述平差后的高程（坐标）作为这些 稳定点的已知高程，然后以这些稳定点为固定点对各期进行平 差计算。 ③根据各期观测网点的高程（坐标）确定网点的变形值。
3.3 秩亏自由网平差
三、秩亏数的计算（P54）
• 对于测角网的秩亏数为2＋1＋1＝4； • 测边网或边角网的秩亏数为2＋1＝3； • 高程网的秩亏数为1。 • 用公式表示为： 测角网： R ( A) R ( N ) t 4 测边网、边角网：R( A) R ( N ) t 3 高程网： R ( A) R ( N ) t 1 GPS网秩亏网呢？
NX AT Pl
X N A Pl
平差值:
1 T
V AX l ( AN 1 AT P E )l
l l V AX AN 1 AT Pl
3.2 监测网经典平差
例：

选定x3的高程为已知，则可 列出误差方程为：
v1 1 0 l1 ˆ1 v 1 1 x l 2 2 x ˆ2 v3 0 1 l3
四、 秩亏自由网平差——伪观测方程法(P57)
自由网平差的观测方程写成如下形式：
AX l V
为了消除秩亏的目的，需要引入d个的观测方程。现设 附加观测为
d 1
l B X
d t t 1
此外附加观测值与原观测值之间也应彼此线性无关，即
AB T O
n d
附加观测方程式中各个观测方程间应线性无关。即要求满足有
变形监测理论与应用
第三章 监测网平差及参考 点稳定性检验
厦门理工学院计算机与信息工程学院
主要内容
§3.1 概述 §3.2 监测网经典平差 §3.3 秩亏自由网平差 §3.4 监测网拟稳平差 §3.5 参考点稳定性检验方法
3.1 概述
一、 测量控制网的分类（P44）
独立网 当控制网中只有一套起算数据时，称为独立网。 附合网、非独立网 当控制网中除必要起算数据时外，还有多余的起算 数据的网，称为附合网；等于必要起算数据，称独立网。 秩亏自由网 缺乏必要起算数据，控制点位置难以确定或缺乏必要 观测数据 一些特殊用途的控制网，如变形观测网、沉降监测网 等，一般为秩亏自由网。
3.3 秩亏自由网平差
一、 问题的提出
当变形网作为经典网平差时的两个问题： 一是网中可能有多个稳定点，选择不同的稳定点作为起算点 时，其平差结果肯定不同，因而可能有多组平差解； 一是可能很难预先确定变形网哪些点是绝对不动的。 1971年，E.Mittermayer提出――秩亏自由网平差，这种方法 的主要特点是：不预先假定固定点，所有网点等同看待，即 所有网点坐标都视为待定量。但由于缺少起算数据，按这种 方法组成法方程后，求出的法方程系数矩阵是秩亏的。下面 举例说明。