等腰三角形多解问题
等腰三角形的多解例示
解得 ： ４或 ｘ ６ １ ＝．
・
． ．
２ＯＯ９。 ９—１Ｏ
‘ ．
B D 上A C
。
，
，
L ABD
=
=
45
．
。
j
j
[ BAD [ A
=
45
。
故[
。
．
BA C
13 5
。
．
．
为4 5 或 1 3 5
j
k
例4
等腰 三 角 形
一
2 腰 上 的 高与 腰 长 之 比 为 l ： 则 等 腰 三
，
鱼 的j 垄
顶 角为 （
） ．
（ ）６ 。 ０ （ Ｄ）３ 。 １０ ０或 ５。
（ Ａ）３ ｏ ０ （ Ｃ）１０ ５。
解： 根据题 意 ， 画 出如 图 ３ 图 ４两种 图形 ． 可 、
Ａ
Ｄ
一
Ａ
， ， ，
一
、
Ｃ 曰
ｃ
图 ３
图 ４
易求 得 图 ３中顶 角为 ３ 。 图 ４中的顶 角 为 １０ ． （ ． ０， ５ 。 选 Ｄ）
园 ， ６ 导致多舞 西々 屙１ 铺
当２。 ０是顶 角时 ， 其余 两个 角是 底角 ， 是 １０一０ ）８。 则 都 １（８ 。２ 。＝０．
Ｚ
当２。 ０是底 角时 ， 其余 两 个 角分 别是 底角 和 顶角 ． 个 角分 别是 这两
２ ｏ １０ 一 ｘ ０ ： ４ ￣ Ｏ 和 ８ ￣ ２ ２ ｏ １０ ．
１ Ｏ
一
厂 。
；
如果 有
一
个 内 角是 12 0
。
，
专题10 多个等腰三角形求角度(解析版)
专题10 多个等腰三角形求角度1．如图，在第一个△ABA 1中，∠B ＝20°，AB ＝A 1B ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得A 1A 2＝A 1C ，得到第二个△A 1A 2C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3＝A 2D ；…，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点A 4为顶点的等腰三角形的底角的度数为（ ）A ．5°B ．10°C ．175°D ．170°【答案】A【解析】【分析】 根据第一个△ABA 1中，∠B =20°，AB =A 1B ，可得∠BA 1A =80°，依次得∠CA 2A 1=40°…即可得到规律，从而求得以点A 4为顶点的等腰三角形的底角的度数．【详解】解：1ABA △中，20B ∠=︒，1AB A B =，1180802B BA A ︒-∠∴∠==︒， 121A A AC =，1BA A ∠是△12A A C 的外角， 121402BA A CA A ∠∴∠==︒ 同理可得：3220DA A ∠=︒，4310EA A ∠=︒，1802n n A -︒∴∠=， ∴以点4A 为顶点的等腰三角形的底角的度数为：548052A ︒∠==︒． 故选：A ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据等腰三角形的性质求出底角的度数然后发现规律．2．如图，8∠=︒BOC ，点A 在OB 上，且1OA =．按下列要求画图：以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点1A ，得第1条线段1AA ；再以1A 为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点2A ，得第2条线段12A A ；再以2A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点3A ，得第3条线段23A A ；……这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n 的值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质依次可得∠A 1AA 2的度数，∠A 3A 1A 2的度数，∠A 3A 2A 4的度数，∠A 4A 3C 的度数，…依次得到规律，再根据三角形外角小于90°，即弧线与角的另一边无交点，即可求解.【详解】由题意可知：AO =A 1A ,A 1A =A 2A 1，…则∠AOA 1=∠OA 1A ,∠A 1AA 2=∠A 1A 2A ，…∵∠BOC =8°，∴∠A 1AA 2=16°，∠A 3A 1A 2=24°，∠A 3A 2A 4=32°，∠A 4A 3C =40°，…∴8°n ＜90°，解得n ＜1114， ∵n 为整数，故n =11.故选C.【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意找到规律进行求解.3．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ＝DE ，∠BAD ＝19°，∠EDC ＝11°，则∠DAE 的度数为（ ）A ．59°B ．57°C ．61°D ．60° 【答案】C【解析】【分析】设DAE x ∠=，则由等腰三角形的性质可得，180192x C ︒-︒-∠=，AED x ∠=，利用三角形的外角性质可得AED C EDC ∠=∠+∠，由此解方程求出x ，即DAE ∠的度数．【详解】解：设DAE x ∠=，AB AC =，∴1801801922BAC x C ︒-∠︒-︒-∠==， AD DE =，∴AED DAE x ∠=∠=，AED C EDC ∠=∠+∠，∴18019112x x ︒-︒-=+︒， 解得61x =︒，∴61DAE ∠=︒．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．4．如图，已知∠MON ＝30°，点A 1，A 2，A 3，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，…在射线OM 上，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，…均为等边三角形，若OA 1＝1，则△A 8B 8A 9的边长（ ）A ．16B ．64C ．128D ．256【答案】C【解析】【分析】据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．【详解】如图，∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，…∴△AnBnAn+1的边长为2n-1，∴△A8B8A9的边长为28-1=27=128．故选C．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A 3B 3=4B 1A 2，A 4B 4=8B 1A 2，A 5B 5=16B 1A 2进而发现规律是解题关键．5．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O点相连并可绕O 转动，点C 固定，点D ，E 可在槽中滑动，OC CD DE ==．若81BDE ∠=︒，则AOB ∠的度数是（ ）A ．24°B ．27°C ．30°D ．33°【答案】B【解析】【分析】 设∠O =x ，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠BDE =∠O +∠OED =3x =81°，再根据三角形内角和定理即可解决问题．【详解】解：设∠O =x ，∵OC =CD ，∴∠O =∠CDO =x ，∴∠DCE =2x ，∵DC =DE ，∴∠DCE =∠DEC =2x ，∴∠BDE =∠O +∠OED =3x =81°，∴x =27°，∴∠AOB =27°．故选：B【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．6．某兴趣小组开展了一次探究活动，过程如下：设()090BAC θθ∠=︒<<︒，现把长度相等．．．．的小棒依次摆放在射线AB 、AC 之间，并使小棒两端分别落在两射线上，从点A 1开始，依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2=AA 1．若只能摆放5根小棒，则θ的范围是（ ）．A ．15°＜θ＜18°B ．15°＜θ≤18°C ．15°≤θ＜18°D ．15°≤θ≤18°【答案】C【解析】【分析】根据三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，用θ表示出其它角度，再题目条件，列出不等式，即可求出最后的范围．【详解】解：∵A 1A 2=AA 1，∴12AA A 为等腰三角形，再根据三角形外交的性质，得212A A C A ∠=∠，又∵小棒长度都相等，∴123A A A △为等腰三角形，∴231212A A A A AC A ∠=∠=∠， ∴232313BA A A A A A A ∠=∠+∠=∠，同理可得到434534A A C A A A A ∠=∠=∠，64546555A A A A A A A θ∠=∠=∠=，654656A A C A A A A θ∠=∠+∠=，又∵只能摆放五根小棒，∴690590θθ≥︒⎧⎨<︒⎩， 解得1518θ︒≤<︒，故选：C ．【点睛】本题只要考察了一元一次不等式，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是找到等量关系，列出相应的不等式，求出最后答案．7．如图，点B ，C 在射线AN 上，点D ，E 在射线AM 上，且AB BE CE CD AD ====，则A ∠的度数是（ ）A ．28︒B ．30C ．34︒D ．36︒【答案】D【解析】【分析】设A x ∠=，根据等边对等角可得ACD AEB x ∠=∠=，由外角的性质2CBE CDE x ∠=∠=，根据三角形内角和定理5180A BCE CED x ∠+∠+∠==︒即可．【详解】解：设A x ∠=， AB BE CE CD AD ====∴ACD AEB x ∠=∠=，由三角形的外角的性质得；2CBE CDE x ∠=∠=，根据等边对等角得，2BCE CED x ∠=∠=，根据三角形内角和定理，5180A BCE CED x ∴∠+∠+∠==︒，36x ∴=︒，36A ∴∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质、三角形内角和，解题的关键是找到角与角之间的关系，通过三角形内角和定理建立等式求解．8．如图，在第1个1ABA △中，30B ∠=︒，1AB A B =，在1A B 上取一点C ，延长1AA 到2A ，使得121A A AC =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…按此作法进行下去，第n 个三角形的以n A 为顶点的内角的度数为（ ）A ．1302n +︒B ．1752nC ．1752n +︒D ．1302n -︒ 【答案】B【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1A 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出第n 个三角形的以An 为顶点的内角的度数．【详解】解：∵在△ABA 1中，∠B ＝30°，AB ＝A 1B ，∴∠BA 1A ＝180°−∠B 2＝75°，∵A 1A 2＝A 1C ，∠BA 1A 是△A 1A 2C 的外角，∴∠CA 2A 1＝∠BA 1A 2＝75°÷2＝37.5°；同理可得∠DA 3A 2＝18.75°，∠EA 4A 3＝9.375°，∴第n 个三角形的以An 为顶点的内角的度数为1752n ， 故选：B ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．9．如图，ABC 中，∠A ＝30°，AB ＝AC ，D 、E 分别是AC 、AB 上两点，且BD ＝BE ＝BC ，连接DE ，则∠BDE ＝_________【答案】67.5°【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠C =∠ABC =75°，再由BD =BC ，得到75BDC C ∠=∠=︒，则45EBD ABC DBC ∠=∠-∠=︒，由BD =BE ，则18067.52EBD BDE BED ︒-∠∠=∠==︒． 【详解】解：∵∠A =30°，AB =AC ， ∴180===752A C ABC ︒-︒∠∠∠， ∵BD =BC ，∴75BDC C ∠=∠=︒，∴18030DBC C BDC ∠=︒-∠-∠=︒，∴45EBD ABC DBC ∠=∠-∠=︒，∵BD =BE ， ∴18067.52EBD BDE BED ︒-∠∠=∠==︒， 故答案为：67.5°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知三角形内角和定理和等腰三角形的性质是解题的关键．10．某数学兴趣小组开展了一次数学活动，其过程如下：如图，设∠BAC =α（0°＜α＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线AB 、AC 之间，并使小棒两端分别落在两条射线上，从点A 1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2=AA 1，若只能摆放5根相同的小棒，则α的取值范围是__________．【答案】15°≤α＜18°【解析】【分析】本题需先根据已知条件，列出不等式，解出α的取值范围，即可得出正确答案．【详解】解：∵A 1A 2=AA 1，∴∠A =∠A 1A 2A =α，∵A 1A 2=A 2A 3，∴∠A 2A 1A 3=∠A 2A 3A 1=2α，∵A 3A 2=A 3A 4，∴∠A 3A 4A 2=∠A 3A 2A 4=α+2α=3α，∵A 4A 3=A 4A 5，∴∠A 4A 3A 5=∠A 4A 5A 3=α+3α=4α，∵根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，∴6α≥90°，5α＜90°，∴15°≤α＜18°．故答案为：15°≤α＜18°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与等腰三角形的性质相结合是本题的关键．11．如图，D ，E 为ABC 的边BC 上两点，80AEC ∠=︒，BD AD =，DE AE CE ==，则BAC ∠的度数为______．【答案】110°##110度 【解析】【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠CAD ＝90°，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可求解∠BAD 的度数，进而可求解．【详解】解：∵DE ＝AE ＝CE ，∴∠ADE ＝∠DAE ，∠C ＝∠CAE ，∵∠ADE ＋∠DAE ＋∠C ＋∠CAE ＝180°，∴∠DAE ＋∠CAE ＝∠CAD ＝90，∵∠AEC ＝80°，∴∠ADE ＋∠DAE ＝∠AEC ＝80°，∴∠ADE ＝∠EAD ＝40°，∵BD ＝AD ，∴∠B ＝∠BAD ，∵∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ＝2∠BAD ，∴∠BAD ＝20°，∴∠BAC ＝∠BAD ＋∠CAD ＝20°＋90°＝110°．故答案为：110°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，求解∠CAD 的度数是解题的关键．12．如图，在ABC 中，已知AB AC BD ==，215∠=︒，那么1∠的度数为________．【答案】65︒【解析】【分析】根据AB AC BD ==，可得C B ∠=∠,13∠=∠，根据三角形的内角和定理，以及三角形的外角性质列出方程组解方程组即可求解．【详解】解：如图，∵AB AC BD ==∴C B ∠=∠,13∠=∠，23180B C ∠+∠+∠+∠=︒1318022C ∴∠=∠=︒-∠-∠又12C ∠=∠+∠218022C C ∴∠+∠=︒-∠-∠318022C ∴∠=︒-∠18030503C ︒-︒∴∠==︒ 12155065C ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为：65︒【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，等边对等角求角度，二元一次方程组的应用，掌握以上知识是解题的关键．13．小丽从一张等腰三角形纸片ABC （AB ＝AC ）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC ＝BD ，EC ＝EF ＝FG ＝DG ＝DA ，则∠B ＝_________°．【答案】67.5【解析】【分析】根据等腰三角形的性质等边对等角求解即可．【详解】解：设∠ECF ＝x ，∵EC ＝EF ，∴∠EFC ＝∠ECF ＝x ，∴∠GEF ＝2x ，∵EF ＝GF ，∴∠FGE ＝∠GEF ＝2x ，∴∠DFG ＝∠FGE +∠ECF ＝3x ，∵DG＝GF，∴∠GDF＝∠DFG＝3x，∴∠AGD＝∠GDF+∠ECF＝4x，∵DG＝DA，∴∠A＝4x，∴∠BDC＝∠A+∠ECF＝5x，∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠BCD＝5x，∴∠ACB＝∠BCD+∠ECF＝6x，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACD＝6x，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴4x+6x+6x＝180°，解得：x＝454︒，∴∠B＝4564︒⨯＝67.5°．故答案为：67.5．【点睛】本题主要考查了等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质：等边对等角是解答本题的关键．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AC上一点，AD＝BD，BC＝DC，则∠A的大小是_________．【答案】180 7︒【解析】【分析】由AD＝BD，BC＝DC可知，△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A＝∠ABD＝x，则∠CDB ＝∠CBD＝2x，又由AB＝AC可知，△ABC为等腰三角形，则∠ABC＝∠C＝3x，在△ABC 中，用内角和定理列方程求解．【详解】解：∵AD ＝BD ，BC ＝DC ，∴△ABD ，△BCD 为等腰三角形，设∠A ＝∠ABD ＝x ，则∠CDB ＝∠CBD ＝2x ，又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等腰三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝3x ，在△ABC 中，∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝180°，即x ＋3x ＋3x ＝180°，解得x ＝1807︒， 即∠A ＝1807︒． 故答案为：1807︒． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解．15．如图，在钢架AB 、AC 中，从左至右顺次焊上7根相等长度的钢条12PP 、23P P 、34P P …来加固钢架，且112AP PP =，则BAC ∠的最大值为______°．（结果保留整数）【答案】12【解析】【分析】设∠BAC =x ，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP 6P 7，∠AP 7P 6，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．【详解】解：设∠BAC =x ，∵AP 1=P 1P 2=P 2P 3=…=P 6P 7，∴∠A =∠AP 2P 1=x ，∴∠P 2P 1P 3=2x ，∴∠P 3P 2P 4=3x ，…，∠P 7P 8P 6=7x ，∴7x ＜90°且8x ＞90°，则11.25°＜∠BAC ＜（907）°， 故∠BAC 的最大值约为12°．故答案为：12．【点睛】考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律探寻题，难度较大．16．如图，在ABC 中，,,AB AC BD BC AD DE EB ====，则A ∠=________．【答案】45︒【解析】【分析】设∠A =x °根据等腰三角形的性质及等边对等角性质进行分析得出∠ABC =∠C =∠BDC902x DBC A x ︒︒︒=-∠=∠=，，2x EBD ︒∠=，再利用三角形的内角和定理即可求得∠A 的度数．【详解】解：设∠A =x °∵AB =AC ，BD =BC∴∠ABC =∠C =∠BDC 902x DBC A x ︒︒︒=-∠=∠=， ∵AD =DE =BE∴∠A =∠AED =2∠EBD =2∠EDB ∴2x EBD ︒∠= ∵∠ABC =∠C ∴9022x x x ︒︒︒︒-=+ ∴x =45即∠A 等于45°．故答案为：45︒【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边对等角，以及三角形的内角和定理的运用．17．如图，在ABC 中，AB AC CD ==，点D 在BC 上，且AD BD =，求BAC ∠的度数．【答案】∠BAC ＝108°．【解析】【分析】利用AB ＝AC ，可得∠B 和∠C 的关系，利用AD ＝BD ，可求得∠CAD ＝∠CDA 及其与∠B 的关系，在△ABC 中利用内角和定理可求得∠B ，进一步求得∠ABC ，得到结果．【详解】解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵BD ＝AD ，∴∠B ＝∠DAB ，∵AC ＝DC ，∴∠DAC ＝∠ADC ＝2∠B ，∴∠BAC ＝∠BAD +∠DAC ＝∠B +2∠B ＝3∠B ，又∠B +∠C +∠BAC ＝180°，∴5∠B ＝180°，∴∠B ＝36°，∠C ＝36°，∠BAC ＝108°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．18．已知：如图，A 1，A 2，A 3是∠MON 的ON 边上顺次三个不同的点，B 1，B 2，B 3是∠MON 的OM 边上顺次三个不同的点，且有OA 1＝A 1B 1＝B 1A 2＝A 2B 2＝B 2A 3(1)当∠MB 1A 2＝45°时，∠MON ＝_______；(2)若OM 边上不存在B 3点，使得A 3B 3＝B 2A 3 ，则∠MON 的最小值是_______．【答案】(1)15°(2)18°【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及三角形外角的性质求解即可； （2）由OM 边上不存在B 3点，使得A 3B 3＝B 2A 3 ，则OM 边上不存在B 3点，使得323332A B B A B B =∠∠，则32390180A B B ︒≤∠<︒，再由323325A B B MON OA B MON ∠=∠+∠=∠求解即可．(1)解：∵OA 1＝A 1B 1＝B 1A 2＝A 2B 2＝B 2A 3∴1111AOB A B O =∠∠，112121B A A B A A =∠∠，∵1121111112B A A AOB A B O AOB ∠=∠+∠=∠，1212MB A MON B A O =+∠∠∠， ∴1212=3=45MB A MON B A O MON =+︒∠∠∠∠，∴∠MON =15°；故答案为：15°；(2)解：∵OM 边上不存在B 3点，使得A 3B 3＝B 2A 3 ，∴OM 边上不存在B 3点，使得323332A B B A B B =∠∠，∴32390180A B B ︒≤∠<︒ ，同理可求出223224B A A MON OB A MON =+=∠∠∠∠ ，∴323325A B B MON OA B MON ∠=∠+∠=∠，∴905180MON ︒≤<︒∠，∴1836MON ︒≤<︒∠，故答案为：18°．。
例析等腰三角形中的多解问题
例析等腰三角形中的多解问题
多解问题是指一个方程有多个解的情况，比如例析等腰三角形中的多解问题。
等腰三角形有三条线：两条相等的腰，一条组成顶点的斜边。
例析等腰三角形边长乘积等于周长的4倍，则数学表达式为: a*a*√3=4*P，其中a是等腰三角形的边长，P是周长。
因此方程有多解的情况：
1. 当腰和周长相等时，腰a=2*√3, P=4*√3，此时该等腰三角形是一个正三角形。
2. 当腰a比P大时，腰a=P/√3，腰长过长此时等腰三角形内部会有空隙。
3. 当腰a比P小时，腰a=P/(√3+1/4)，此时等腰三角形内部会有溢出。
以上就是等腰三角形中的多解。
第02讲 等腰三角形中易漏解或多解的问题(拓展提升)(解析版)
思维导图核心考点聚焦1.求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错2.当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错3.求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错4.三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错1.等腰三角形的性质（1（2角的三线合一图形：1.求等腰三角形的周长，要先考虑三角形的三边是否能构成三角形考点剖析【答案】2516或52或4，则216BP BC cm ==，，，图2③如图3，当图3故答案为：9或【解析】如图，∵AB AC BD =，是AC 边上的中线，即AD CD =，∴()()15123||||cm AB AD BC CD AB BC +-+=-=-=，2121527cm AB BC AC AB BC ++=+=+=，若AB BC >，则3cm AB BC -=，又∵227cm AB BC +=，联立方程组:3227AB BC AB BC -=⎧⎨+=⎩,解得：10cm 7cm AB BC ==，，10cm 10cm 7cm 、、三边能够组成三角形；若AB BC <，则3cm BC AB -=，又∵227cm AB BC +=，联立方程组3227BC AB AB BC -=⎧⎨+=⎩,解得：8cm 11cm AB BC ==，，8cm 8cm 11cm 、、三边能够组成三角形；∴三角形的各边长为10cm 10cm 7cm 、、或8cm 8cm 11cm 、、．【变式训练】1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45︒，那么这个三角形的顶角为（）A ．45︒B ．90︒C ．135︒D ．135︒或45︒【答案】D【解析】如图1，三角形是锐角三角形时，∵45ACD ∠=︒，∵45ACD ∠=︒，∴顶角4590135BAC ∠=︒+︒=综上所述，顶角等于45︒或135如图，当CD 在ABC CD AB⊥ 90BAC ACD ∴∠=︒+∠AB AC= 30B C ∴∠=∠=︒故答案为60︒或30︒过关检测【答案】80︒，65︒或【解析】当C ∠是顶角时，∴180C A ∠=︒-∠-∠当C ∠是底角，A ∠是顶角时，∴180652A C ︒-∠∠==当C ∠、A ∠都是底角时，∴50C A ∠=∠=︒；综上，C ∠的度数可能是故答案为：80︒，65︒或7．在平面直角坐标系中，坐标是【答案】()3,0-或(2,0-【解析】根据题意，作图如下，∵()3,0A ，()0,4B ，∴3,4OA OB ==，在Rt AOB △中，22AB OA OB =+以AB 为腰作等腰三角形ABC ，①1BC BA =，则1ABC 是以AB 为腰作等腰三角形，∴()13,0C -；②2AB AC =，则2ABC △是以AB 为腰作等腰三角形，∴AC 2=5，且3OA =，∴2532OC =-=，则()22,0C -；③3AB AC =，则2ABC △是以AB 为腰作等腰三角形，∴35AC =，∴33358OC OA AC =+=+=，则C 综上所述，点C 坐标是()3,0-或(-故答案为：()3,0-或()2,0-或(8,0)8．在ABC △中，110ABC ∠=︒，点腰三角形，则CDB ∠的度数是【答案】40︒或90︒或140︒【解析】如图1中，当CDB ∠如图3中，当90DBC ∠=︒，DA 40CDB A DBA ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：40︒或90︒或140︒．三、解答题9．如图，ABC △中，90C ∠=运动，且速度为每秒2cm ，设运动的时间为(1)当1t =时，求PBC △的面积．(2)当t 为何值时，CP 把ABC △(3)当t 为何值时，BCP △为等腰三角形？【解析】（1）解：当1t =时，PBC ∴△的面积为1BC CP ⨯=故答案为：26cm ．（2）解：ABC 中，∴2AB AC BC =+∵1122AC BC ⨯=∴ 4.8CE =∴226 4.8PE =-∴27.2BP PE ==∴AP AB PB =-=∴82AC AP t +==②如果BC BP =③如果PB PC =∵PB PC =，∴12∠=∠，又∵12A ∠+∠=∠∴3A ∠=∠∴PC PA =，∴PA PB =,即P 在AB 的中点，此时()8513cm CA AP +=+=，132 6.5(t =÷=秒)；综上可知，当3t =秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，BCP 为等腰三角形．10．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图（1），BE 是ABD △的“双等腰线”，AD 、BE 是ABC △的“三等腰线”．(1)请在图（2）中，作出ABC △的“双等腰线”，并标注相等角的度数①70B ∠=︒，35A ∠=︒②81B ∠=︒，27A ∠=︒．(2)直角三角形的______就是它的“双等腰线”(3)已知ABC △中，33C ∠=︒，AD 和DE 分别是ABC △的“三等腰线”，点D 在BC 边上，点E 在AB 边上，且AD DC =，BE DE =，请根据题意写出B ∠度数的所有可能的值______．【详解】（1）解：如图，取CD BC =，则70CDB B ∠=∠=︒，35A ∠=︒ ，703535ACD ∴∠=︒-︒=︒，ACD A ∴∠=∠，AD CD BC ∴==，ADC ∴ 和BCD △是等腰三角形；如图，作AB 的垂直平分线DE ，交AC 于D ，交AB 于E ，连接BD ，AD BD ∴=，27A ABD ∴∠=∠=︒，54CDB ∴∠=︒，81ABC ∠=︒ ，812754CBD BDC ∴∠=︒-︒=︒=∠，CD BC ∴=，ADB ∴ 和BCD △是等腰三角形；（2）直角三角形斜边中线把直角三角形分成两个等腰三角形，故答案为：斜边中线；（3）如图，设B x ∠=，∵33C ∠=︒，AD DC =，∴33C DAC ∠=∠=︒，180114EAD B C DAC x ∠=︒-∠-∠-∠=︒-，∴66ADB ∠=︒∵BE DE =，∴B BDE x ∠=∠=，∴2AED x ∠=，66ADE ADB BDE x ∠=∠-∠=︒-，∵AD 和DE 分别是ABC 的“三等腰线”，∴ADE V 是等腰三角形，当AD DE =时，EAD AED ∠=∠，则1142x x ︒-=，解得38B x ︒==∠；当AD AE =时，ADE AED ∠=∠，则662x x ︒-=，解得22B x ︒==∠；当AE DE =时，EAD ADE ∠=∠，则11466x x ︒-=︒-，无解；综上所述，B ∠度数的所有可能的值为38︒、22︒、66︒、57︒、48︒．故答案为：38︒、22︒．。
八年级上同步习题精讲课件专题二等腰三角形的多解问题
变形3 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上的一点， ∠B＝30°，∠DAB＝45°. (1)求∠DAC的度数； (2)求证：DC＝AB.
(1)∠DAC＝75° (2)∵∠ADC＝∠B＋∠DAB＝30°＋45°＝75°＝ ∠DAC.∴AC＝DC，∵AB＝AC，∴DC＝AB
变形4 如图，已知BC＝CD＝DE＝EA，∠A＝20°. (1)求∠DEC的度数； (2)求∠B的度数． (1)∠DEC＝40° (2)∠B＝60
变形2 如图，在△ABC中，D是BC边上一
点，且BA＝BD，∠DAC＝ ∠1 B，∠C＝
50°，求∠BAC的度数．，∠BDA＝∠C＋∠DAC ＝50°＋x°.∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝50°＋ x°(等边对等角)．∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°， ∴2x＋50＋x＋50＋x＝180.解得x＝20.∴∠BAD＝∠BDA ＝50°＋20°＝70°，∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝70° ＋20°＝90°
专题二 等腰三角形的多解问 题与角度计算技巧
数学 八年级上册
(浙教版)
习题精讲
一 等腰三角形的多解问题
教材母题►(教材P55作业题第4题) 等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分 成15 cm和6 cm两部分．求等腰三角形的底边长． 等腰三角形腰长为10 cm，底边长为1 cm 【思想方法】 分类讨论思想：分类讨论是一种重要 的数学思想，也是各地近年来中考命题的热点．在解题 中，正确、合理的分类，可将一个复杂的问题大大地简 化，达到化繁为简、化难为易的目的． 变形1 一个等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等 腰三角形的周长是 16或17 ．
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一次函数与等腰三角形的多解问题
一次函数与等腰三角形的多解问题
【例1】在平面直角坐标系中，点A的坐标是()
，，若点P在x轴上，且APO
22
△是等腰三角形，求点P的坐标。
【例2】直线1
=-与坐标轴交于A B
y x
△为等腰三角形，
、两点，点C在坐标轴上，若ABC
求点C的坐标。
练习：已知一次函数1
、两点，点P在坐标轴上，若
y+与x轴、y轴分别交于A B
△是等腰三角形，则满足条件的点P共有几个，求出点P的坐标。
ABP
【例3】 点A B C 、、的坐标分别是
)0、()01，、()41，，点P 在线段BC 上运动，当OAP △为等腰三角形时，求点P 的坐标。
练习：一次函数y=3
3x+2的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点C （23，0），在直线AB 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形？若存在，求P 点的坐标；若不存在，说明理由。
拓展：如图，P 是y 轴上一动点，是否存在平行于y 轴的直线()0x t t =>，使它与直线y x
=和直线122
y x =-+分别交于点D E 、（点E 在点D 上方），且PDE △是等腰直角三角形。
若存在，求t 的值及点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
2020年八年级数学上册第十三章易错易混专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题
10．(2019－2020·江夏区期末)在 Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，以△ABC 的一边为边画等腰三角形，使得 它的第三个顶点在△ABC 的其他边上，则可以画出 的不同的等腰三角形最多有( B ) A．9 个 B．7 个 C．6 个 D．5 个
2．某等腰三角形的三边长分别为 x，3，2x－1，则
该三角 或 8 或 5 D．与 x 的取值有关
3．已知等腰三角形中，一腰上的中线将三角形的周 长分成 6 cm 和 10 cm 两部分，求这个三角形的腰长 和底边长． 解：如图，等腰△ABC 中，AB，AC 为腰，CD 为中 线，则 AD＝BD＝ 1 AB＝ 1 AC.
个不同的度数．
7．(2019－2020·庐江县期中)在△ABC 中，AH 是 BC 边上的高．若 CH－BH＝AB，∠ABH＝70°，则∠BAC ＝ 75或35 °.
解析：分以下两种情况讨论：当∠ABC 为锐角时， 过点 A 作 AD＝AB，交 BC 于点 D，如图①所示． ∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABH＝70°，BH＝DH. ∵AB＋BH＝CH，CH＝CD＋DH，∴CD＝AB＝AD. ∴∠C＝ 1 ∠ADB＝35°. ∴∠BAC＝
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1D
2B
3
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4A
5
8或1 54
6
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提示：点击
7 75或35
8
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9C
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10 B
1．(2019－2020·武昌区期中)若等腰三角形的周长为
19 cm，一边长为 7 cm，则腰长为( D )
A．7 cm
B．5 cm
C．7 cm 或 5 cm D．7 cm 或 6 cm
专题三：等腰三角形多解问题
专题三：等腰三角形多解问题1、已知一个等腰三角形两内角的度数比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为。
2、等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是。
3、已知等腰三角形的一个内角为75°，则它的顶角是。
4、若等腰三角形的一个内角是72°。
,则它的底角度数是。
5、若等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°。
,则三内角度数分别为。
6、等腰三角形两边长分别为5和7,则此等腰三角形的周长为。
7、等腰三角形的周长为14,其一边长为4,那么它的底边为。
8、等腰三角形周长为20cm,—腰上的中线将其周长分为两部分，其中一部分比另一部分长2cm,则腰长为。
9、若等腰三角形一腰上的高等于腰的一半,则底角度数为。
10、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°。
,则这个等腰三角形的顶角度数为。
11、等腰三角形的腰长为2,面积为1,则顶角度数为。
12、在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得锐角为50°，则底角为。
13、在等腰三角形ABC中，AB=BC，∠BAC=20°，点D在直线BC上，且CD=AC，则∠ADC的度数为。
14、在等腰∆ABC中，AB=BC，点B与点B’关于AC所在直线对称，且∠BAB’=100°，则∠ABC=。
15、已知AD和BE是∆ABC的高，H是直线AD与直线BE的交点，BH=AC，则∠ABC=。
16、过等腰三角形ABC顶角的顶点A的一条直线，把等腰三角形ABC分成两个等腰三角形,则∠ABC=。
17、在∆ABC中，∠B=30°，∠C=50°，点D是BC边上一点，点F是射线BA上一点,DF与射线CA相交于点E,点G是EF的中点，若∠DEC=∠C,则∠CAG= 。
18、在∆ABC中, ∠ACB=90° ,AC=BC,以AC为一边，在同一平面内作等边∆ACD,连接BD,则∠ADB=。
解等腰三角形的性质的练习题
解等腰三角形的性质的练习题1. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以点D为底边BC的中点，连接AD。
证明：△ABD≌△ACD。
解析：首先，根据等腰三角形的定义，AB=AC。
其次，由于D为BC的中点，所以BD=DC。
再根据SSS（边边边）对应的性质，我们可以得出△ABD≌△ACD。
也就是说，两个三角形的三边分别对应相等，从而可以得出两个三角形全等。
2. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以AB为底边，且与AC相交于点D的高为AH。
证明：∠HAB=∠HAC。
解析：首先，我们知道等腰三角形ABC的两边AB和AC相等，所以可以得出∠A=∠B=∠C。
又因为AD为高，所以∠HAD=90°，而角HAB是等腰三角形ABC的顶角，所以角HAB也等于∠C。
综上所述，可以得出∠HAB=∠HAC。
3. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以AB为底边，且与AC相交于点D的中线DE。
证明：DE=BC/2。
解析：首先，我们知道等腰三角形ABC的两边AB和AC相等，所以可以得出DE=BC/2。
这是因为DE是底边BC的中线，所以根据中线分割定理，DE等于底边BC的一半，即DE=BC/2。
4. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以角A的平分线AM为旋转轴，将△ABC旋转180°得到△ADE。
证明：△ADE≌△ABC。
解析：首先，我们需要说明如何将△ABC旋转180°得到△ADE。
根据题意，我们以角A的平分线AM为旋转轴，将△ABC旋转180°。
旋转后，点A和点D重合，点B和点E重合，点C不动。
根据旋转的定义，可以得出△ADE≌△ABC。
5. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以角A的平分线AM为旋转轴，将△ABC旋转180°得到△ADE。
证明：BD=DC，BE=EC。
解析：如前一题所述，旋转后，点A和点D重合，点B和点E重合，点C不动。
由等腰三角形的定义可知，BD=DC，BE=EC。
2019新北师大版七年级数学下册7.易错专题等腰三角形中易漏解或多解问题
易错专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题——易错概括，各个击破◆种类一求长度时忽视三边关系1．若一个等腰三角形的两边长分别是2 和5，则它的周长为( )A．12 B．9C．12 或9 D．9 或72．学习了三角形的相关问题后，王老师请同学们沟通这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，此中一条边长为3，求此外两条边的长．”同学们经过片晌思虑和交流后，小明同学举手说：“另两条边长为3，6 或4.5 ，4.5 ”．你以为小明回答能否正确：________，原因是______________________ ．3．某等腰三角形的一边长是5cm，周长是20cm，求此等腰三角形其余两边的长．4．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分红9cm和15cm两部分，求这个三角形的腰长和底边的长．◆种类二当腰和底不明求角度时没有分类议论5．已知某等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形顶角的度数为( )A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或65°6．某等腰三角形的一个外角为100°，则它的顶角的度数为__________．7．已知某等腰三角形的两个内角的度数之比为2∶1，求这个等腰三角形顶角的度数．8．★若一个大的等腰三角形能被切割为两个小等腰三角形，试求该大等腰三角形顶角的度数( 要求画出相应图形，并写出求解过程)．◆种类三三角形的形状不明时与高联合没有分类议论9．某等腰三角形的一内角为80°，则此等腰三角形腰上的高与底边的夹角的度数是__________．10．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直均分线与AC所在的直线订交所获得的锐角为50°，则∠ B 等于________________．11．★某等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，试求这个等腰三角形各内角的度数．◆种类四两点固定，另一点不固定，确立三角形个数时漏解12．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B 是格点，以A，B，C 为等腰三角形极点的全部格点C的个数为【易错7】( )A．7 个B．8 个C．9 个D．10 个第12 题图第13 题图13．如图，在4×5 的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵图中找一个阵点C，使得以A，B，C为极点的三角形是等腰三角形，则切合条件的C点有________个．【易错7】参照答案与分析1．A2．不正确3，3，6 不可以构成三角形3．解：当腰长为5cm时，底边长为20－5×2＝10(cm) ．∵5＋5＝10，∴不可以构成三角1形．当底边长为5cm时，腰长为(20 －5) ×＝7.5(cm) ．∵7.5 ＋5＞7.5 ，∴能够构成三角2形，∴当5cm为底边时，其余两边的长为7.5cm，7.5cm.4．解：设腰长为x cm.分两种状况进行议论．(1) 当腰长与腰长的一半的和是9cm时，x＋1 1x＝9，解得x＝6，∴底边长为15－×6＝12(cm) ．∵6＋6＝12，∴6cm，6cm，12cm不2 2能构成三角形．1 1(2) 当腰长与腰长的一半的和是15cm时，x＋x＝15，解得x＝10，∴底边长为9－×2 210＝4(cm) ．∵4＋10＞10，∴10cm，10cm，4cm能构成三角形．综上所述，三角形的腰长为10cm，底边长为4cm.5．C 6.80 °或20°7．解：分两种状况进行议论：(1) 当底角与顶角的度数比是2∶1时，等腰三角形的顶角是180°×15＝36°；(2) 当顶角与底角的度数比是2∶1时，等腰三角形的顶角是180°×24＝90°. 即该等腰三角形的顶角为36°或90°.8．解：分四种状况议论：(1) 如图①，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，AC＝C D，∴∠B＝∠C＝∠BAD，∠CDA＝∠CAD. ∵∠CDA＝180°－∠BDA＝180°－(180°－∠B－∠BAD) ＝2∠B，∴∠BAC＝3∠B. ∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°，∴∠BAC＝108°；(2) 如图②，△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝C D，∴∠B＝∠C＝∠DAC＝∠DAB，∴∠BAC＝2∠B. ∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴4∠B＝180°，∴∠B＝45°，∴∠BAC＝90°.(3) 如图③，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD＝BC，∴∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C. ∵∠BDC＝180°－∠BDA＝2∠A，∴∠C＝2∠A，∴∠ABC＝2∠A. ∵∠A＋∠ABC＋∠C＝ 180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°；(4) 如图④，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，C D＝BC.设∠A＝x. ∵AD＝BD，∴∠DBA＝∠A＝x，∴∠BDC＝180°－∠ADB＝2x. ∵AB＝AC，∴∠DBC＝180°－x－x. ∵C D＝BC，∴∠BDC 2180°－x＝∠DBC，∴2x＝－x，∴x＝2 180°7.综上所述，这个大等腰三角形顶角的度数为108°或90°或36°或180°7.方法点拨：此题应使用方程思想，依据等腰三角形等边平等角，再联合三角形的内角和求角度．正确掌握题意，概括出四种情况，防备漏解是解题重点．9．10°或40°10.70°或20°11．解：分两种状况进行议论：(1) 如图①，当△ABC( AB＝AC)为锐角三角形时，∠ABD＝20°，BD⊥AC，∴∠A＝70°，∴∠ABC＝∠C＝12(180°－∠A) ＝55°；(2) 如图②，当△ABC( AB＝AC)为钝角三角形时，∠ABD＝20°，BD⊥AC，∴∠DAB＝70°，∴∠BAC＝110°，1∴∠ABC＝∠C＝(180°－∠BAC) ＝35°.综上所述，这个等腰三角形各内角的度数分别为270°，55°，55°或110°，35°，35°.12．B 分析：切合条件的点数有8 个，如下图．第12 题图13．5 分析：如图，分别以AB为腰、底找等腰三角形，故切合条件的C点有5 个．第13 题图。
专题 多个等腰三角形求角度(学生版)
专题3多个等腰三角形求角度1．如图，在第1个1ABA △中，120,B AB A B ∠==，在1A B 上取一点C ，延长1AA 到2A ，使得121A A AC =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；……，按此做法进行下去，第2013个三角形中以2013A 为顶点的内角的度数为.2．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 为AB 边上一点，且AD CD BC ==，则A ∠的度数为.3．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕点O 转动，C 点固定，OC ＝CD ＝DE ，点D ，E 可在槽中滑动，若∠BDE ＝81°，则∠CDE 的度数是.4．如图，12PA A △为等边三角形，在12A A 的延长线上取点3A ，使232A A PA =，得等腰23PA A ；在23A A 的延长线上取点4A ，使343A A PA =，得等腰34;PA A ⋯，按此做法继续下去，则等腰1n n PA A -的顶角的度数为.5．如图，在第1个1A BC 中，30B ∠=︒，1A B CB =；在边1A B 上任取一点D ，延长1CA 到2A ，使121A A A D =，得到第2个12A A D ；在边2A D 上任取一点E ，延长12A A 到3A ，使232A A A E =，得到第3个23A A E △，…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以2021A 为顶点的底角度数是.6．如图，已知AB ＝A 1B ，A 1B 1＝A 1A 2，A 2B 2＝A 2A 3，A 3B 3＝A 3A 4，若∠A ＝50°，则∠An ﹣1AnBn ﹣1的度数为.7．在△ABC中，AB=AC，若过△ABC的一个顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC的度数为（）A．90°或108°或36°或1807︒B．90°或108°或36°C．90°或54°或36°或5407︒D．90°或54°或36°8．如图在第一个△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝BC，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第二个△A1A2D，再在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E．……如此类推，可得到第n个等腰三角形．则第n个等腰三角形中，以An为顶点的内角的度数为.9．如图在第二个△A1BC中，∠B=40°，A1B=BC，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第二个△A1A2D，再在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E…如此类推，可得到第n个等腰三角形．则第n个等腰三角形中，以An为顶点的内角的度数为______．10．如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E⋯⋯按此做法继续下去，则第2022个三角形中，以A2022为顶点的底角的度数是____________．11．如图，在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C；在A2C 上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，依此进行下去，∠A1A2C的度数为______；以An为顶点的锐角的度数为______．∠是一角度为α的锐角木架，要使木架更加牢固，需在其内部添加一些连接支撑木件EF、FG、12．如图，AOBGH…，且OE EF FG GH===…，在OA、OB足够长的情况下，如果最多能添加这样的连接支撑木件为6根，则锐角α的范围为_________．13．如图，在△AB 1C 1中，AC 1＝B 1C 1，∠C 1＝20°，在B 1C 1上取一点C 2，延长AB 1到点B 2，使得B 1B 2＝B 1C 2，在B 2C 2上取一点C 3，延长AB 2到点B 3，使得B 2B 3＝B 2C 3，在B 3C 3上取一点C 4，延长AB 3到点B 4，使得B 3B 4＝B 3C 4，……，按此操作进行下去，那么第2个三角形的内角∠AB 2C 2＝________°；第n 个三角形的内角∠ABnCn ＝________°．14．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AC AD =，BC BE =，则DCE ∠=________（度）．15．已知一张三角形纸片ABC （如图甲），其中∠B ＝∠C ．将纸片沿过点B 的直线折叠，使点C 落到AB 边上的E 点处，折痕为BD （如图乙）．再将纸片沿过点E 的直线折叠，点A 恰好与点D 重合，折痕为EF （如图丙）．原三角形纸片ABC 中，则∠DEB ＝___∠A ，∠ABC 的大小为°．16．如图，若B 、D 、F 在AN 上，C 、E 在AM 上，且AB BC CD ED EF ====，20A ∠=︒，则FEB ∠=______．三、解答题17．如图，已知111222333420,,,,AB A B AC A A A D A A A E A A B ====∠=︒，求4A ∠的度数．18．如图，已知等边三角形A 1BC 在边A 1C 上任取一点D ，延长BA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ，在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ，…按此做法继续下去．（1）第4个三角形中的底角度数；（2）第n （n≥1）个三角形中的底角度数；。
等腰三角形“多解”问题集锦
等腰三角形“多解”问题集锦作者：任晓金来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2008年第07期等腰三角形是一种特殊的三角形，除具有一般三角形的性质外，还具有独特的性质，即两底角相等，两腰相等.正是由于它的特殊性质，解答等腰三角形问题时易产生漏解现象.尤其当题目中没有给出具体图形时，更应谨慎解题.现分类举例说明.一角不明确时要分类讨论例1如果等腰三角形的一个角为50°，那么其他两角的大小分别为__.解析：当50°的角为顶角时，则每个底角的大小为：1/2（180°-50°）=65°.当50°的角为底角时，另一个底角也为50°，则其顶角的大小为：180°-2×50°=80°.故答案应为65°，65°或50°，80°.评注：在等腰三角形中，如果给定一个角的度数，求其他两角的度数，求解时要按顶角或底角进行分类讨论.二边不明确时要分类讨论例2等腰三角形的一边长为5 cm，另一边长为4 cm，则它的周长为___.解析：当腰长为5 cm，底边长为4 cm时，则其周长为：5+5+4=14（cm）.当底边长为5 cm，腰长为4 cm时，则其周长为：5+4+4=13（cm）.故答案为14 cm或13 cm.评注：在等腰三角形中，如果给定两边的长，但没有明确哪个为腰长哪个为底边长，则求解时要按腰或底边进行分类讨论.三高不明确时要分类讨论例3等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则等腰三角形顶角的大小为（）.A. 60°B. 120°C. 60°或150°D. 60°或120°解析：因为锐角三角形的高在三角形的内部，而钝角三角形的高可能在三角形的外部，所以本题应分两种情况求解.（1）锐角三角形.如图1所示，AB=AC，∠ABD=30°.因为BD是AC边上的高，所以∠ADB=90°.由三角形的内角和为180°，则∠A=180°-∠ADB-∠ABD=60°.（2）钝角三角形.如图2所示，AB=AC，∠ABD=30°.因为BD是AC边上的高，所以∠ADB=90°.由三角形的内角和为180°，则∠BAD=180°-∠ADB-∠ABD=60°.所以∠BAC=180°-∠BAD=120°.故应选D.评注：由于等腰三角形腰上的高可在等腰三角形内部，也可在等腰三角形外部，因此当等腰三角形腰上的高没有明确在三角形内部或外部时，应分类讨论.四其化情况的分类讨论例4等腰三角形底边长为6，一腰上的中线把其周长分成两部分，两部分的差为2，则其腰长为（）.A. 4B. 8C. 4或8D. 以上都不对解析：如图3，等腰△ABC中，AB=AC，腰AC上的中线BD把周长分成两部分，两部分的差为2.若设腰长AB=AC=x，则AD=DC=1/2x.当（AB+AD）-（BC+DC）=2时，即x+1/2x-6+1/2x=2，则x=8；当（BC+DC）-（AB+AD）=2时，即6+1/2x-x+1/2x=2，则x=4.所以腰长为8或4.故应选C.温馨提示：等腰三角形的两解必须满足“三角形的内角和等于180°”和“三角形两边的和大于第三边”这些条件.请思考如下问题：1. 如果等腰三角形的一个角为120°，那么其他两角的大小分别为___.（答案：30°，30°）2. 等腰三角形的一边长为4 cm，另一边长为9 cm，则它的周长为__.（答案：22 cm）。
八年级数学下册- ：等腰(直角)三角形中易漏解或多解的问题之五大易错(5类热点题型讲练)(解析版)
第05讲易错易混淆集训：等腰(直角)三角形中易漏解或多解的问题之五大易错(5类热点题型讲练)目录【考点一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】 (1)【考点二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】 (5)【考点三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】 (8)【考点四求有关直角三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】 (14)【考点五三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】 (19)【考点一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】例题：（2023春·陕西汉中·七年级校考阶段练习）已知一个等腰三角形的三边长分别为21x -，1x +，32x -，且21x -为腰长．求这个等腰三角形的周长．【答案】这个等腰三角形的周长为10．【分析】因为没有明确指出哪条边是底边哪个是腰，所以要分情况讨论．【详解】解：①当211x x -=+时，解得2x =，则这个等腰三角形三条边长分别为3、3、4，能构成三角形，此时这个等腰三角形的周长为33410++=；②当2132x x -=-时，解1x =，则这个等腰三角形三条边长分别为1、2、1，不能构成三角形（舍去）．综上所述，这个等腰三角形的周长为10．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；在没有明确给出腰和底边时，要注意和已知条件联系起来分情况讨论进而求解．【变式训练】+<，∵7721∴不能围成腰长为7cm的等腰三角形；综上：能围成有一边长为7cm的等腰三角形．【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形两腰相等，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【考点二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44︒或80︒或140︒．故答案为：44︒或80︒或140︒．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．5．（2022春·江西赣州·八年级统考期中）如图，在ABC 中，20B ∠=︒，105A ∠=︒，点P 在ABC 的三边上运动，当PAC △为等腰三角形时，顶角的度数是________．【答案】105︒或55︒或70︒【分析】作出图形，然后分点P 在AB 上与BC 上两种情况讨论求解．【详解】解：①如图1，点P 在AB 上时，AP AC =，顶角为105A ∠=︒，②∵20B ∠=︒，105A ∠=︒，∴1802010555C ︒︒︒︒∠=--=，如图2，点P 在BC 上时，若AC PC =，顶角为55C ∠=︒，如图3，若AC AP =，则顶角为180218025570CAP C ︒︒︒︒∠=-∠=-⨯=，综上所述，顶角为105︒或55︒或70︒．故答案为：105︒或55︒或70︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，注意要分情况讨论求解．【考点三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】题的关键，用了分类讨论思想．【变式训练】∵30PCB ∠=︒，∴∠BPC =90°，即PC ∴cos AP AC BAC =⋅∠当点P 在AB 的延长线上时，∵30PCB ∠=︒，∠PBC ∴∠CPB =30°，∴12AC AB ==∵30PCB ∠=︒∴∠APC =60°，∴∠ACP =60°，∴∠APC =∠PAC 【答案】2516或52或4，，，②当AE AD m ==时：如图，则：4CE BC BE m =-=-，在Rt ACE 中，22AE AC =+解得：258m =；此时AE AB =，∵90ACB ∠=︒，∴4BC CE ==，【考点四求有关直角三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】【答案】125或247或325【分析】先利用直角三角形的性质可得的取值范围为06t <≤，然后分BQP ∠得出答案．【详解】解： 在Rt ABC △中，C ∠212AB BC ∴==，=60B ∠︒，∴点P 从点A 运动到点B 所需时间为点Q 从点B 运动到点C 所需时间为BC 当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，06t ∴<≤，由题意，分以下两种情况：（1）如图，当90BQP ∠=︒时，BPQ V①当04t <≤时，3AP t =，BP AB =在Rt BPQ 中，2BQ BP =，即2t =解得2447t =<，符合题设；②当46t <≤时，312BP t =-，在Rt BPQ 中，2BQ BP =，即2t =解得245t =，符合题设；综上，t 的值是165或327或245，故答案为：125或247或325．【点睛】本题考查了含30︒角的直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识点，正确判断出取值范围，并分情况讨论是解题关键．【变式训练】点D 在直线BC 边上，ABD △为直角三角形，且当90BAD ∠=︒时，4090130ADC B BAD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；如图2，在ABC 中，AB AC =，若=40B C ∠∠=︒，点D 在直线BC 边上，ABD △为直角三角形，且当90ADB ∠=︒时，90ADC ∴∠=︒；如图3，在ABC 中，AB AC =，若40BAC ∠︒=，点D 在直线BC 边上，ABD △为直角三角形，且当90ADB ∠=︒时，90ADC ∴∠=︒；如图4，在ABC 中，AB AC =，若40BAC ∠︒=，点D 在直线BC 边上，ABD △为直角三角形，且当90BAD ∠=︒时，70B ACB ∴∠=∠=︒，9020ADC B ∴∠=︒-∠=︒；故答案为：130︒、90︒或20︒【答案】60︒或18︒【分析】分情况讨论：①当求解即可．【详解】解：如图所示，当∵AD 是ABC 的角平分线，∴30BAD ∠=︒，∴Rt ADF 中，60ADF ∠=如图，当90BDF ∠=︒时，同理可得30BAD DAC ∠=∠=∵78ACB ∠=︒，∴ADB DAC ACB ∠=∠+∠=∴ADF ADB BDF ∠=∠-∠=综上所述：ADF ∠的度数为故答案为：60︒或18︒．【答案】50或25/25或50【分析】根据三角形内角和定理得ABC ∠形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】解：∵9040BAC C ∠=︒∠=︒，∴904050ABC ∠=︒-︒=︒∵BD 平分ABC∠∴1252DBC ABC ∠=∠=︒当BDE △为直角三角形时，有以下两种情况：①当90BED ∠=︒时，如图1，∵40C ∠=︒，∴904050CDE ∠=︒-︒=︒；②当90BDE ∠=︒时，如图2，【考点五三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】例题：（2023秋·山东泰安·七年级东平县实验中学校考期末）等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为15根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得：可设AD DC x ==∴2AB x =．1．（2023春·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45︒，那么这个三角形的顶角为（）A ．45︒B ．90︒C ．135︒D ．135︒或45︒∵45ACD ∠=︒，∴顶角90A ∠=︒-如图2，三角形是钝角时，∵45ACD ∠=︒，∴顶角4590135BAC ∠=︒+︒=综上所述，顶角等于45︒或135当30AB AD +=时，即230AD AD +=，10AD ∴=，24BC CD += ，24241014BC CD ∴=-=-=；综上，底边的长为22或14；故答案为：22或14．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，中线的含义，涉及分类讨论．5．（2022·陕西·交大附中分校七年级期末）已知ABC 中，20B ∠=︒，在AB 边上有一点D ，若CD 将ABC 分为两个等腰三角形，则A ∠=________．【答案】100°，70°，40°或者10°【分析】分BD =CD 、BC =CD 、BD =BC 三种情况讨论即可求解．【详解】第一种请况：BD =CD 时，如图，∵BD =CD ，∠B =20°，∴∠B =∠DCB =20°，∴∠ADC =∠B +∠DCB =40°，（1）当DA =DC 时，∠A =∠ACD ，∵∠A +∠ACD +∠ADC =180°，∠ADC =40°，∴∠A =∠ACD =70°；（2）当DA =AC 时，即有∠ADC =∠ACD =40°，∴∠A =180°-∠ADC -∠ACD =100°；（3）当CD =CA 时，∠A =∠ADC =40°；第二种请况：BC =CD 时，如图，∵∠B =20°，BC =CD ，∴∠B =∠BDC =20°，∴∠ADC=180°-∠BDC=160°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=10°；第三种情况：BC=BD时，如图，∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD，∵∠B=20°，∠B+∠BCD+∠BDC=180°，∴∠BCD=∠BDC=80°，∴∠ADC=180°-∠BDC=100°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=40°；综上所述：∠A的度数为：70°，100°，40°，10°，故答案为：70°，100°，40°，10°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，掌握三角形的性质是解答本题的关键．。
部编数学八年级上册专题05等腰三角形的多解问题之六大题型(解析版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！专题05利用分类讨论求解等腰三角形中的多解问题之六大题型已知等腰三角形的两边求第三边长产生多解【变式训练】∴等腰三角形的第三边长为6；第二情况：等腰三角形的三边长分别为6cm 、8cm 和8cm ，∵86886-<<+，化简得，2814<<，满足等腰三角形三边关系，∴等腰三角形的第三边长为8；综上所述，等腰三角形的第三边长为6或8，故答案为：6或8．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．已知等腰三角形的两边求周长产生多解例题：（2023上·河北张家口·八年级统考期末）ABC V 是等腰三角形，5,7AB AC ==，则ABC V 的周长为（ ）A ．12B ．12或17C ．14或19D ．17或19【答案】D【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：当腰为5与腰为7时，即可得到答案．【详解】解：当ABC V 的腰为5时，ABC V 的周长55717++=；当ABC V 的腰为7时，ABC V 的周长57719++=．故选：D ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·山东济南·七年级统考期末）如果等腰三角形有两条边长分别为5，6，那么该等腰三角形的周长等于（ ）A ．16B ．17C ．16或17D ．17或18【答案】C【分析】分类讨论腰，结合等腰三角形性质即可得到答案．【详解】解：由题意可得，当5是腰时，55655-<<+，能组成三角形，周长为：55616++=，当6是腰时，66566-<<+，能组成三角形，周长为：66517++=，故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形性质：两条腰相等，解题的关键是分类讨论，并根据三边关系判断．已知等腰三角形的一角求其他角产生多解【变式训练】已知等腰三角形的一边和周长求其他边长产生多解【变式训练】与等腰三角形有关的问题产生多解∵AB AC =，∴B BCA Ð=Ð，由折叠得：B Ð=设B x Ð=，则AB Ð∵AB AC =，∴ABC BCA Ð=Ð由折叠得：ABC Ð【变式训练】1．（2023下·山西运城·七年级统考期末）如图，在ABC V 中，AB AC =，130BAC Ð=°，AFD △和ABD △关于直线AD 对称，FAC Ð的平分线交BC 于点G ，连接FG ，当DFG V 为等腰三角形时，【答案】50°或65°或80°【分析】先由轴对称可以得出ADB△△△≌就可以得出AFG AGF AGCÐ=GD GF=、DF GF=、DF DG∵BOC ADC ≌△△，150a =°，∴150ADC BOC Ð=Ð=°，∴1506090ADO ADC ODC Ð=Ð-Ð=°-=°°；（2）∵BOC ADC ≌△△，∴ADC BOC a Ð=Ð=，∵OCD V 是等边三角形，∴60ADO a Ð=-°，36010060200AOD a a Ð=°-°--°=°-，∴18040OAD ADO AOD Ð=°-Ð-Ð=°；①当AOD ADO Ð=Ð时，20060a a °-=-°，∴130a =°；②当AOD OAD Ð=Ð时，20040a °-=°，∴160a =°；③当ADO OAD Ð=Ð时，6040a -°=°，∴100a =°，当100a =°或130°或160°时，AOD △是等腰三角形．【点睛】综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况是解题的关键．等腰三角形的形状不明时与高线及其他线结合产生多解例题：在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，一腰上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）A ．7B ．7或11C ．11D ．7或10【答案】B【分析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．【详解】解：设这个等腰三角形的腰长为a ，底边长为b ．∵D 为AC 的中点，【变式训练】1．（2023春·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，那么这个三角形的顶角为（ ）A ．45°B ．90°C ．135°D ．135°或45°【答案】D【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】如图1，三角形是锐角三角时，∵45ACD Ð=°，∴顶角904545A Ð=°-°=°；如图2，三角形是钝角时，∵45ACD Ð=°，∴顶角4590135BAC Ð=°+°=°，综上所述，顶角等于45°或135°．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．2．（2022·陕西·交大附中分校七年级期末）已知ABC V 中，20B Ð=°，在AB 边上有一点D ，若CD 将ABC V 分为两个等腰三角形，则A Ð=________．【答案】100°，70°，40°或者10°【分析】分BD =CD 、BC =CD 、BD =BC 三种情况讨论即可求解．【详解】第一种请况：BD =CD 时，如图，∵BD =CD ，∠B =20°，∴∠B =∠DCB =20°，∴∠ADC =∠B +∠DCB =40°，（1）当DA =DC 时，∠A =∠ACD ，∵∠A +∠ACD +∠ADC =180°，∠ADC =40°，∴∠A =∠ACD =70°；（2）当DA =AC 时，即有∠ADC =∠ACD =40°，∴∠A =180°-∠ADC -∠ACD =100°；（3）当CD =CA 时，∠A =∠ADC =40°；第二种请况：BC =CD 时，如图，∵∠B =20°，BC =CD ，∴∠B =∠BDC =20°，∴∠ADC=180°-∠BDC=160°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=10°；第三种情况：BC=BD时，如图，∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD，∵∠B=20°，∠B+∠BCD+∠BDC=180°，∴∠BCD=∠BDC=80°，∴∠ADC=180°-∠BDC=100°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=40°；综上所述：∠A的度数为：70°，100°，40°，10°，故答案为：70°，100°，40°，10°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，掌握三角形的性质是解答本题的关键．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．3．（2023上·山东聊城·八年级统考期末）已知BD 是等腰ABC V 中一腰上的高，50ABD Ð=°，则顶角的度数可能有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据等腰三角形的顶角不同，对ABC V 进行分类讨论即可解答．【详解】解：∵50ABD Ð=°，BD 是腰上的高，∴90905040BAD ABD Ð=°-Ð=°-°=°，①如图1，若A Ð为顶角，则40A Ð=°，两底角为70°，此时三角形的三个内角为：40°，70°，70°，②如图2，BAC Ð为顶角，则顶角为140BAC D ABD =+=°∠∠∠，此时三角形的三个内角为：140°，20°，20°，③如图3，若BCA Ð为顶角时，9040A ABD Ð=°-Ð=°，∴40A ABC Ð=Ð=°，即顶角100BCA Ð=°，此时三角形的三个内角为：100°，40°，40°，顶角的度数可能有100°，140°，40°，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，根据题意，对三角形进行分类讨论是解题的关键．4．（2023上·河南新乡·八年级统考期末）如图，在ABC V 中，AB AC =，40B Ð=°，D 是BC 边上A．80°B．110°【答案】D【分析】根据三角形内角和为180°A ．30°B ．30°或60°C ．50°D ．30°或50°【答案】B 【分析】分两种情况进行讨论，当EF ED =时，根据折叠的性质可知BCD ECD Ð=Ð，设BCD ECD x ÐÐ==，根据等腰三角形的性质可得80EFD EDF ÐÐ==°，则2080x x +°+=°，解出x 即可；当EF DF =时， 根据折叠的性质可知BCD ECD Ð=Ð，设BCD ECD y ÐÐ==，根据等腰三角形的性质可得20E FDE ÐÐ==°，则140EFD Ð=°，则20140y y °++=°，解出y 即可．【详解】解：当EF ED =时，根据折叠的性质可知BCD ECD Ð=Ð，设BCD ECD x ÐÐ==，∵20B Ð=°，∴20FDC x Ð=+°，∵DEF V 为等腰三角形，EF ED =，∴80EFD EDF ÐÐ==°，∵ECD FDC EFD ÐÐÐ+=，∴2080x x +°+=°，解得30x =°，当EF DF =时，根据折叠的性质可知BCD ECD Ð=Ð，设BCD ECD y ÐÐ==，∵20B Ð=°，∴20FDC y Ð=+°，∵DEF V 为等腰三角形，EF DF =，∴20E FDE ÐÐ==°，∴140EFD Ð=°，∵ECD FDC EFD ÐÐÐ+=，∴20140y y °++=°，解得60y =°，综上所述，BCD Ð的度数为30°或60°，故选：B ．【点睛】本题考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质，利用外角的性质将角与角建立联系列出方程是解题的关键．二、填空题当40°角为顶角时，如图，∵CA CB =，∴18040702CAB B °-°Ð=Ð==°，过点A 作AG CB ^，交BC 于点G ，∴90AGB Ð=°，【答案】30°或60°【分析】先根据等边对等角求出出DAE Ð的度数，则DAC Ð=Ð【详解】解：∵在ABC D 中，AB三、解答题11．（2023下·吉林长春·七年级统考期末）在ABC V 中，17AB =，8BC =，21AC m =-．(1)求m 的取值范围．(2)若ABC V 是等腰三角形，则ABC V 的周长为______．【答案】(1)513m <<(2)42【分析】（1）根据三角形的三边关系列出关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可；（2）根据等腰三角形特征，分AB AC =，AC BC =两种情况进行讨论求解．【详解】（1）解：17AB =Q ，8BC =，21AC m =-，17821178m \-<-<+，即92125m <-<，解得：513m <<；（2）当17AB AC ==时，ABC V 的周长1717842=++=，当8AC BC ==时，8816<17+=，不能构成三角形，故答案为：42．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，等腰三角形定义，解一元一次不等式组，熟知三角形两(1)【问题发现】如图1，当点D为BC的中点时，确定线段论：AD______DE（填“＞”“＜”或“＝”）．(2)【类比探究】如图2，当点D为BC边上任意一点时，确定线段结论，AD______DE（填“＞”“＜”或“＝”），并将如下理由补充完整．\CD DM MC==Q点D为等边ABC \BD DC DM==，Q AB BC CA===\162 MC BD==´同理可证BDP△则BP MQ AM==综上可知，BP的长度为【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质等，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质，通过作辅助线构造全等三角形．。
用分类讨论求解等腰三角形多解问题
用分类讨论求解等腰三角形多解问题类型1 对对顶角和底角的分类讨论方法归纳：对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等．例1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（）A. 30°B. 75°C. 105°D. 30°或75°简析：75°角可能是顶角，也可能是底角。
当75°是底角时，则顶角的度数为180°－75°×2=30°；当75°角是顶角时，则顶角的度数就等于75°。
所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°。
故应选D。
说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。
变式1:已知等腰三角形的一个外角为100°，则其顶角为______。
变式2:如果等腰三角形中一个角是另一个角的两倍，那么它的底角是__________度类型2 对腰长和底长的分类讨论方法归纳：在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目条件中没有明确说明哪条边是“腰”，哪条边是“底”时，往往要进行分类讨论．还要依据：三角形的任意两边之和大于第三边；两边之差小于第三边．来判定取舍。
例2、等腰三角形两边长为3 cm和5 cm，则它的周长是解析：当3cm为腰长时，此时三边为3cm、3cm、5cm，周长为11cm；如果5cm为腰长时，此时三边为5cm、5cm、3cm，周长为13cm。
变式1、若一个等腰三角形的三边长均满足(x－2)(x－4)＝0，求此等腰三角形的周长．变式2、等腰三角形的一边长为6，周长为14，那么它的腰长为多少？变式3、若等腰三角形一腰上的中线分周长为9 cm和12 cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长．类型3 对锐角、直角和钝角三角形的分类讨论方法归纳：根据等腰三角形顶角的大小可以将其分为锐角、直角和钝角三角形．不同的三角形其高、中线、垂直平分线的交点位置均不同，比如锐角三角形腰上的高在这个三角形的内部；直角三角形腰上的高在顶角的顶点上；钝角三角形腰上的高在这个三角形的外部，因此在解答时需要分类讨论．例3、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。
八年级数学下册易错专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题 (2)(附答案)
易错专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题◆类型一求长度时忽略三边关系【易错1】1．一个等腰三角形的两边长分别是4，8，则它的周长为( )A．12 B．16C．20 D．16或202．学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，其中一条边长为3，求另两条边的长”．同学们经过片刻思考和交流后，小明同学举手说：“另两条边长为3，6或4.5，4.5.”你认为小明回答是否正确：________，理由是________________________．3．(·薛城区期末)若等腰三角形的三边长分别为x＋1，2x＋3，9，则x＝________．4．已知等腰三角形ABC中，腰AC上的中线BD将三角形的周长分成9cm和15cm两部分，求这个三角形的腰长和底边长．◆类型二当腰或底不明求角度时没有分类讨论5．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( )A．100° B．40°C．40°或100° D．60°6．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为______________．7．(·普陀区模拟)我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的“内角正度值”为45°，那么该等腰三角形的顶角度数为________．8．有一三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是____________________．9．★一个大等腰三角形能被分割成两个小等腰三角形，试求这个大等腰三角形顶角的度数．◆类型三三角形的形状不明与高结合时没有分类讨论10．(·绥化中考)在等腰△ABC中，AD⊥BC交BC于点D.若AD＝12BC，则△ABC的顶角度数为______________．11．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，求顶角的度数．【易错3】◆类型四一边确定，另两边不定，确定三角形的个数时漏解【易错4】12．如图，点A的坐标为(2，2)，若点P在坐标轴上，且△APO为等腰三角形，则满足条件的点P有( )A．4个 B．6个 C．7个 D．8个第12题图第13题图13．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵图中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的C点有________个．14．如图是6×6的正方形网格，点A，B均在正方形格点上，在网格中的格点上找一点C，使△ABC为等腰三角形，简要写出步骤并标出点C的位置．参考答案与解析1．C 2.不正确没考虑三角形的三边关系 3.34．解：设腰长为xcm，分两种情况考虑：①腰长与腰长的一半是9cm时，即x＋1 2 x＝9，解得x＝6，∴底边长为15－12×6＝12(cm)．∵6＋6＝12，∴6cm，6cm，12cm不能组成三角形；②腰长与腰长的一半是15cm时，即x＋12x＝15，解得x＝10，∴底边长为9－12×10＝4(cm)，∴三角形的三边长为10cm，10cm，4cm，能组成三角形．综上所述，三角形的腰长为10cm，底边长为4cm.5．C 6.120°或20°7．30°或90°解析：设最小角的度数为x，则最大角的度数为x＋45°.当最小角是顶角时，则x＋x＋45°＋x＋45°＝180°，解得x＝30°，此时三角形顶角的度数为30°.当最大角为顶角时，则x＋x＋45°＋x＝180°，解得x＝45°，此时三角形顶角的度数为90°.综上所述，等腰三角形的顶角为30°或90°.8．40°或25°或10°解析：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，对于△ABD 有三种情况：①AB＝BD，则∠ADB＝∠A＝80°，∴∠BDC＝180°－∠ADB＝100°，∠C＝(180°－∠BDC)÷2＝40°；②AB＝AD，则∠ADB＝(180°－∠A)÷2＝50°，∴∠BDC＝180°－∠ADB＝130°，∠C＝(180°－∠BDC)÷2＝25°；③AD＝BD，则∠ABD＝∠A＝80°，∴∠BDC＝∠ABD＋∠A＝160°，∠C＝(180°－∠BDC)÷2＝10°.综上所述，∠C 的度数可以是40°或25°或10°.9．解：分四种情况讨论：(1)如图①，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD，则∠B ＝∠C＝∠BAD，∠CDA＝∠CAD，∴∠CDA＝∠B＋∠BAD＝2∠B，∴∠BAC＝∠CAD＋∠BAD ＝∠CDA＋∠BAD＝3∠B.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°，∴∠BAC＝108°；(2)如图②，△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝CD，则∠B＝∠C＝∠DAC＝∠DAB，∴∠BAC ＝2∠B.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴4∠B＝180°，∴∠B＝45°，∴∠BAC＝90°；(3)如图③，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD＝BC，则∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠BDC ＝∠C，∴∠BDC＝∠A＋∠DBA＝2∠A，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2∠A.∵∠A＋∠ABC＋∠C ＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°.(4)如图④，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，CD＝BC.设∠A＝x，∵AD＝BD，∴∠DBA＝∠A＝x.∵AB＝AC ，∴∠ABC＝180°－x 2，∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝180°－x 2－x.∵CD＝BC ，∴∠BDC＝∠A＋∠A BD ＝2x ＝∠DBC＝180°－x 2－x ，∴x＝180°7，即∠A＝180°7.综上所述，这个大等腰三角形顶角的度数为108°或90°或36°或180°7. 10．30°或150°或90° 解析：(1)当BC 为腰时，∵AD⊥BC，AD ＝12BC ，∴∠ACD ＝30°.如图①，当AD 在△ABC 内部时，顶角∠C＝30°.如图②，当AD 在△ABC 外部时，顶角∠ACB＝180°－30°＝150°；(2)当BC 为底时，如图③.∵AD⊥BC，AD ＝12BC ，∴AD＝BD ＝CD ，∴∠B＝∠BAD，∠C ＝∠CAD，∴∠BAD＋∠CAD＝12×180°＝90°，即顶角∠BAC＝90°.综上所述，等腰三角形ABC 的顶角度数为30°或150°或90°.11．解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，如图①所示，腰上的高在三角形外部．由题意得顶角∠ACB＝∠D＋∠DAC＝90°＋20°＝110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，如图②所示，故顶角∠A＝90°－∠ABD＝90°－20°＝70°.综上所述，顶角的度数为110°或70°.12．D 解析：∵点A 的坐标为(2，2)，∴△OAP 的边OA ＝22，这条边可能是底边也可能是腰．①当OA 是底边时，点P 是OA 的垂直平分线与坐标轴的交点，交点的坐标是(2，0)和(0，2)；②当OA是腰时，当O是顶角顶点时，以O为圆心，以OA为半径作圆，与坐标轴的交点坐标是(22，0)，(－22，0)，(0，22)，(0，－22)；③当A 是顶角顶点时，以A为圆心，以AO为半径作圆，与坐标轴的交点坐标是(4，0)，(0，4)．综上可知满足条件的点P共有8个，故选D.13．5 解析：如图，分别以AB为腰、底找等腰三角形，故符合条件的C点有5个．第13题图第14题图14．解：如图，(1)当BA＝BC时，符合条件的有C1，C2；(2)当AB＝AC时，符合条件的有C3，C4；(3)当CA＝CB时，符合条件的有C5，C6，C7，C8，C9，C10.综上所述，符合条件的C点有10个．。
中考数学黄金知识点系列专题15等腰三角形
专题15 等腰三角形 聚焦考点☆温习理解一、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b <a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A ∠-︒ 2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论： 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
二.等边三角形1.定义三条边都相等的三角形是等边三角形.2.性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°3.判定三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.三.线段垂直平分线1.定义垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.2.性质线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等3.判定到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.名师点睛☆典例分类考点典例一、等腰三角形的性质【例1】（2016山东滨州第6题）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50° B．51° C．51.5°D．52.5°【答案】D.考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．【举一反三】（2016山东枣庄第4题）如图，在△ABC中，AB = AC，∠A = 30°，E为BC延长线上一点，∠ABC 与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°B第4题图【答案】A.【解析】考点：等腰三角形的性质；三角形的内角和定理.考点典例二、等腰三角形的多解问题【例2】(2016湖南怀化第8题）等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（）A．16cm B．17cm C．20cm D．16cm或20cm【答案】C.【解析】试题分析：分当腰长为4cm或是腰长为8cm两种情况：①当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm=8cm不满足三角形的三边关系；当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，三角形的周长是20cm．故答案选C．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．【点睛】题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．【举一反三】（2016湖南湘西州第14题）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对【答案】C.【解析】考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．考点典例三、等边三角形的性质与判定【例3】（2016年福建龙岩第15题）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC= ．【答案】2.【解析】试题分析：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠E=30°，BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴BC=2DC，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠CDE=∠E=30°，∴CD=CE=1，∴BC=2CD=2. 考点：等边三角形.【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解题的关键是利用性质和判定解决．【举一反三】（2016四川达州第15题）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为．3．【答案】24+9【解析】考点：旋转的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定及性质．考点典例四、线段垂直平分线的性质运用【例3】（2016湖南长沙第17题）如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为．【答案】13．【解析】试题分析：已知DE是AB的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，所以△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，考点：线段的垂直平分线的性质.【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟记性质是解题的关键．【举一反三】（2016山东威海第10题）如图，在△ABC中，∠B=∠C=36°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列结论错误的是（）A．=B．AD，AE将∠BAC三等分C．△ABE≌△ACD D．S△ADH=S△CEG【答案】A．【解析】考点：黄金分割；全等三角形的判定与性质；线段的垂直平分线的综合运.课时作业☆能力提升一、选择题1.（2016湖南湘西州第14题）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对【答案】C.【解析】试题分析：分4cm为等腰三角形的腰和5cm为等腰三角形的腰两种情况：①当4cm为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符合三角形的三边关系，周长为13cm；②当5cm为等腰三角形的腰时，三边分别是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三边关系，周长为14cm，故答案选C.考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．2. （2016四川甘孜州第9题）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C．【解析】考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．3. （2016辽宁营口第8题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于12AC）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．下列结论错误的是（）A．AD=CD B．∠A=∠DCE C．∠ADE=∠DCB D．∠A=2∠DCB【答案】D．【解析】试题分析：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，AE=EC，故A正确，∴DE∥BC，∠A=∠DCE，故B正确，∴∠ADE=∠CDE=∠DCB，故C正确，故选D．考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．4. （2016河南第6题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10. DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为【】（A）6 （B）5 （C）4 （D）3【答案】D.【解析】考点：勾股定理；三角形的中位线定理.5.（2016河北第16题）如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）第16题图A．1个B．2个C．3个D．3个以上【答案】d.【解析】试题分析：Ｍ、Ｎ分别在ＡＯ、ＢＯ上，一个；M、N其中一个和O点重合，2个；反向延长线上，有一个，故答案选D.考点：等边三角形的判定.6．在平面直角坐标系中，点A，B（，动点C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B．【解析】考点：1．等腰三角形的判定；2．坐标与图形性质；3．分类讨论；4．综合题；5．压轴题．7.（2016山东滨州第6题）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50° B．51° C．51.5°D．52.5°【答案】D.【解析】考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．二、填空题8. （2016贵州遵义第14题）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD= 度．【答案】35．【解析】试题分析：∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，∴∠A=∠C=35°，∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=35°，故答案为：35．考点：线段垂直平分线的性质．9.（2016江苏苏州第17题）如图，在△A BC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为．【答案】27.【解析】试题分析：过点D作DF⊥B′E于点F，过点B′作B′G⊥AD于点G，∵∠B=60°，BE=BD=4，∴△BDE是等边三角形，∵△B ′DE ≌△BDE ，∴B ′F=12B ′E=BE=2，DF=23,∴GD=B ′F=2，∴B ′G=DF=23，∵AB=10，∴AG=10﹣6=4，∴AB ′=27．考点：1轴对称；2等边三角形.10. （2016湖北随州第12题）已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x 2﹣8x+15=0的根，则该等腰三角形的周长为 ．【答案】19或21或23．【解析】考点：一元二次方程的解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．11. （2016广西河池第18题）如图的三角形纸片中，AB =AC ，BC =12cm ，∠C =30°，折叠这个三角形，使点B 落在AC 的中点D 处，折痕为EF ，那么BF 的长为 cm ．【答案】143． 【解析】试题分析：过D 作DH ⊥BC ，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，∵AB =AC ，∴∠B =∠C =30°，根据折叠可得：D F =BF ，∠EDF =∠B =30°，∵AB =AC ，BC =12cm ，∴BN =NC =6cm ，∵点B 落在AC 的中点D 处，AN ∥DH ，∴NH =HC =3cm ，∴DH =3tan cm ），设BF =DF =xcm ，则FH =12﹣x ﹣3=9﹣x （cm ），故在Rt △DFC 中，222DF DH FH =+，故222(9)x x =+-，解得：x =143，即BF 的长为：143cm ．故答案为：143．考点：翻折变换（折叠问题）．12. （2016内蒙古通辽第14题）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为 ．【答案】69°或21°．【解析】考点：等腰三角形的性质；分类讨论．13. （2016福建南平第16题）如图，等腰△ABC 中，CA =CB =4，∠ACB =120°，点D 在线段AB 上运动（不与A 、B 重合），将△CAD 与△CBD 分别沿直线CA 、CB 翻折得到△CAP 与△CBQ ，给出下列结论： ①CD =CP =CQ ；②∠PCQ 的大小不变；③△PCQ ； ④当点D 在AB 的中点时，△PDQ 是等边三角形，其中所有正确结论的序号是 ．【答案】①②④．【解析】③如图，过点Q 作QE ⊥PC 交PC 延长线于E ，∵∠PCQ =120°，∴∠QCE =60°，在Rt △QCE 中，tan ∠QCE =QE CQ ，∴QE =CQ ×tan ∠QCE =CQ ×tan 60°=，∵CP =CD =CQ ，∴S △PCQ =12CP ×QE =12CP ×=22，∴CD 最短时，S △PCQ 最小，即：C D ⊥AB 时，CD 最短，过点C 作CF ⊥AB ，此时CF 就是最短的CD ，∵AC =BC =4，∠ACB =120°，∴∠ABC =30°，∴CF =12BC =2，即：C D 最短为2，∴S △PCQ 最小222=误；④∵将△CAD 与△CBD 分别沿直线CA 、CB 翻折得到△CAP 与△CBQ ，∴AD =AP ，∠DAC =∠PAC ，∵∠DAC =30°，∴∠APD=60°，∴△APD是等边三角形，∴PD=AD，∠ADP=60°，同理：△BDQ是等边三角形，∴DQ=BD，∠BDQ=60°，∴∠PDQ=60°，∵当点D在AB的中点，∴AD=BD，∴PD=DQ，∴△DPQ是等边三角形，∴④正确，故答案为：①②④．考点：几何变换综合题；定值问题；最值问题；综合题；翻折变换（折叠问题）．14. （2016四川达州第15题）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为．【答案】24+93．【解析】考点：旋转的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定及性质．15.（2016湖南长沙第17题）如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为．【答案】13．【解析】考点：线段的垂直平分线的性质.16.（2016湖南娄底第17题）如图，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB=7，BC=6，则△BCD的周长为．【答案】13．【解析】试题分析：将△ABC沿直线DE折叠后，使得点A与点C重合，由折叠的性质可得AD=CD，由AB=7，BC=6，可得△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=7+6=13．考点：翻折变换（折叠问题）．三、解答题17. （2016山东淄博第22题）（8分）如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．（1）求证：AE=AF；（2）求证：BE=（AB+AC）．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】∴BE=21BG=21（BA+AG ）=21（AB+AC ）．考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．18. （2016湖南怀化第17题）如图，已知AD=BC ，AC=BD ．（1）求证：△ADB≌△BCA；（2）OA 与OB 相等吗？若相等，请说明理由．【答案】(1)详见解析；（2）OA=OB，理由详见解析.【解析】考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．19.（2016广西河池第21题）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于C．（1）尺规作图：过点B作AC的垂线，交AC于O，交AE于D，（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的图形中，找出两条相等的线段，并予以证明．【答案】（1）作图见解解析；（2）AB=AD=BC．【解析】考点：作图—基本作图；作图题．20.（2016辽宁营口第25题）已知：如图①，将∠D=60°的菱形ABCD沿对角线AC剪开，将△ADC沿射线DC方向平移，得到△BCE，点M为边BC上一点（点M不与点B、点C重合），将射线AM绕点A逆时针旋转60°，与EB的延长线交于点N，连接MN．（1）①求证：∠ANB=∠AMC；②探究△AMN的形状；（2）如图②，若菱形ABCD变为正方形ABCD，将射线AM绕点A逆时针旋转45°，原题其他条件不变，（1）中的①、②两个结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．【答案】（1）①证明见解析；②△AMN是等边三角形；（2）①成立，②不成立，△AMN是等腰直角三角形．【解析】（2）①如图2，∠ANB=∠AMC成立，理由是：在正方形ABCD中，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA=45°，∵∠NAM=45°，∴∠NAB=∠MAC，由平移得：∠EBC=∠CAD=45°，∵∠ABC=90°，∴∠ABN=180°﹣90°﹣45°=45°，∴∠ABN=∠ACM=45°，∴△ANB∽△AMC，∴∠ANB=∠AMC；②如图2，不成立，△AMN是等腰直角三角形，理由是：∵△ANB∽△AMC，∴AN ABAM AC=，∴AN AMAB AC=，∵∠NAM=∠BAC=45°，∴△NAM∽△BAC，∴∠ANM=∠ABC=90°，∴△AMN是等腰直角三角形．考点：四边形综合题；探究型；压轴题．。
北师大版七年级数学下册第五章生活中的轴对称(等腰三角形中易漏解或多解得问题)
等腰三角形中易漏解或多解得问题求长度时忽略三边关系1．已知等腰三角形两边长为3和7，则周长为（）A．13B．17C．13或17D．112．已知一个等腰三角形的三边长分别为2x﹣1、x+1、3x﹣2，求这个等腰三角形的周长．（1）完成部分解题过程，在以下解答过程的空白处填上适当的内容．解：①当2x﹣1＝x+1时，解x＝，此时构成三角形（填“能”或“不能”）．②当2x﹣1＝3x﹣2时，解x＝，此时构成三角形（填“能”或“不能”）．（2）请你根据（1）中两种情况的分类讨论，完成第三种情况的分析，若能构成等腰三角形，求出这个三角形的周长．3．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9cm和15cm两部分，求这个等腰三角形的底边长和腰长．当腰和底不明求角度时没有分类讨论4．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或65°5．有一个三角形纸片ABC，∠A=80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数。
6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，求这个三角形的各个内角的度数．答案：1．B．2．解：（1）①当2x﹣1＝x+1时，解x＝2，此时3，3，4，能构成三角形．②当2x﹣1＝3x﹣2时，解x＝1，此时1，2，1不能构成三角形．故答案为2，能，1，不能；（2）③当x+1＝3x﹣2，解得x＝，此时2，，能构成三角形，周长为7．3．解：设三角形的腰为x，如图：△ABC是等腰三角形，AB＝AC，BD是AC边上的中线，则有AB+AD＝9或AB+AD＝15，分下面两种情况解．（1）x+x＝9，∴x＝6，∵三角形的周长为9+15＝24cm，∴三边长分别为6，6，12∵6+6＝12，不符合三角形的三边关系∴舍去；（2）x+x＝15 ∴x＝10 ∵三角形的周长为24cm ∴三边长分别为10，10，4．综上可知：这个等腰三角形的底边长为4cm，腰长为10cm．4．C．5．40°或25°或10°6．解：①此等腰三角形为钝角三角形，∵等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，∴此三角形的顶角＝90°+35°＝125°，∴等腰三角形的各角的度数为125°，27.5°，27.5°；②此等腰三角形为锐角三角形，∵等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，∴此三角形的顶角＝90°﹣35°＝55°，所以等腰三角形的各角的度数为55°，62.5°，62.5°．等腰三角形中辅助线的作法利用“三线合一”作辅助线已知等腰作垂线（或中线、角平分线）1．如图，在△ABC中，AB=AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE=∠ABC. 若BE=2，则BC=_____.2．如图所示，△ABC中，AB＝AC，E在AC上，D在BA的延长线上，且AD＝AE，连接DE．求证：DE ⊥BC．3．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过A点的直线EF∥BC，且AE＝AF，求证：DE＝DF．4．如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB．方法总结：当看到等腰三角形时要马上想到边相等，角相等，三线合一。
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等腰三角形中的双解问题
一、与角有关的双解问题
已知在等腰三角形ABC中，∠A=30°，则其余两角的度数 .
变式一、有一个内角为的等腰三角形的另外两个内角的度数为。
变式二、已知等腰三角形的一个外角是30°，分别求出这个三角形的三个内角的度数。
二、与边有关的双解问题（腰与底边）
若等腰三角形的两条边长分别为3,2，则这个等腰三角形的周长为 .
变式一：若等腰三角形的两条边长分别为4,2,则这个等腰三角形的周长是。
变式二：一个等腰三角形的周长为14cm，且一边长为4cm,则它的腰长是。
三、其他双解问题
1、若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，求这个等腰三角形的底角。
2、若△ABC中，AB＝AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，求底角∠ B的大小。
3、如果等腰三角形的周长是25cm，一腰上中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是4cm，则这个等腰三角形的底边长是多少？。