专题2.3 解三角形与不等式最值和范围问题的结合-2018年高考数学解答题专题训练

1．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 23sin 3A B C a b a +=. （1）求角B 的大小；

（2）若ABC ∆的面积为

32， B 是钝角，求b 的最小值. 【答案】（1）3B π

=或23

π. （2）6. 由正弦定理得23sin cos cos sin sin B A B A B C +=， ∴()23sin sin A B B C +=， 又在ABC ∆中， ()sin sin 0A B C +=≠，∴3sin B =

3B π=或23π. （2）由13sin 2ac B =， 3sin B =2ac =， 又23

B π=， 2222cos b a c ac B =+- 222226a c ac =++≥+=， 当且仅当a c =时取等号，∴b 6.

2．已知ABC ∆三个内角 ,,A B C 的对边分别为,,a b c ， ABC ∆的面积S 满足2223S a b c =+-． （1）求角C 的值；

（2）求()cos2cos A A B +-的取值范围．

【答案】（1）23π；（2）(3

)222

33cos 1sin 42

a b c ab C S ab C +-=-== tan 3C =0C π<<， 23

C π∴=. （2）()33cos2cos =cos2cos 2cos2sin2322

A A

B A A A A π⎛

⎫+-+-=+ ⎪⎝⎭ =3sin 23A π⎛⎫+ ⎪⎝

⎭ 0,2333A A π

π

π

π<<∴<+<

(

3sin 2033A π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 3．已知ABC 的内角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、3tan tan c A B =+. （1）求角A 的大小；

（2）设AD 为BC 边上的高， 3a =

AD 的范围. 【答案】(1) 3A π

= (2) 302

AD <≤ 【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理化边角关系为角的关系，再根据三角形内角关系以及诱导公式化简得tan 3A =A 的大小，（2）根据三角形面积关系得12AD bc =

，再根据余弦定理得bc 范围，即得AD 的范围.

试题解析：（1）在ABC 中， ∵3tan tan cos c A B a B =+∴3sin sin sin sin cos cos cos C A B A B A B

=+ 即：3sin sin cos sin cos cos cos C A B B A A B +=

∴31sin cos A A =则： tan 3A =∴3

A π= （2）∵11sin 22ABC S AD BC bc A =⋅=， ∴12

AD bc = 由余弦定理得： 222123cos 222b c a bc A bc bc

+--==≥ ∴03bc <≤（当且仅当b c =时等号成立）

∴302AD <≤

4．在中，角的对边分别是，.

(1)求的值；

(2)若，求的最大值.

【答案】(1)

；(2)6. 由余弦定理，得，

∵；

（2）由（1）知

于是

， 解得

， 当且仅

时，取等号. 所以的最大值为6.

5．已知ABC 的内角A ， B ， C 满足：

sin sin sin sin sin sin sin sin A B C B C A B C

-+=+-． （1）求角A ；

（2）若ABC 的外接圆半径为1，求ABC 的面积S 的最大值．

【答案】(1) 3A π=；(2) 334S ≤． 可得222a b c b a b c bc c a b c

-+=⇒=+-+-， 所以2221cos 222

b c a bc A bc bc +-===， 又因为0A π<<，所以3A π=

． （2）22sin 2sin 3sin 3

a R a R A A π=⇒===， 所以2232

b

c bc bc bc bc =+-≥-=，

所以11333sin 32224

S bc A =≤⨯⨯=（b c =时取等号）． 6．已知在锐角ABC 中， a ， b ， c 分别是角A ， B ， C 的对边，点D 在边BC 上，且2CD AD DB ==， 13cos 4

BAD ∠=， 43b =.

（1）求B ；

（2）求ABC 周长的最大值.

【答案】（1）3B π

=；（2）123【解析】试题分析：（1）根据正弦定理， sin sin AD BD B BAD

=∠，可得解；

（2）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，

得()()()2

22222483324a c a c a c ac a c ac a c ++⎛⎫=+-=+-≥+-= ⎪⎝⎭，即可解得a c +最大值，进而得周长最大值.

试题解析：

（2）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，

所以()()()2

22222483324a c a c a c ac a c ac a c ++⎛⎫=+-=+-≥+-= ⎪⎝⎭， ∴83a c +≤a c =时，等号成立.

故123a b c ++≤.所以ABC 周长的最大值为123