1-6 势函数流函数

v u x y u v D x y
D
2

2
本章小结
§1流体的物理性质和宏观模型 ①流体的主要物理性质：流动性、粘性和压缩性； ②流点的概念和流体的宏观模型------连续介质假设。 §2流体速度和加速 ①描写流体运动的两种观点： Lagrange和Euler观点及其差别以及两种变量的相互转换 ②流体加速度的计算；
V V V
V k
V k V
u y x v x y
V k
V k V
③微商算符
d V dt t
的物理实质及其应用。
§3迹线和流线
①迹线和流线的概念、迹线和流线的物理实质； ②迹线和流线方程的求解； ③迹线、流线的差别以及迹线、流线重合的条件 §4速度的分解 ①柯西-亥姆霍兹速度分解定理
§5涡度、散度和形变率
①涡度、散度和形变率的物理含义； ②涡度、散度和形变率的计算；
第六节 速度势函数和流函数
一、速度势函数
如果在流体域内涡度为零，即: V 0
无旋流动
否则，则称之为涡旋流动： V 0
无旋流动
流体运动 涡旋流动
根据矢量分析，任意一函数的梯度，再取旋度恒等于零：
0
对于无旋流动，必定存在一个函数 x, y, z, t 满足如：
Vn V n
y
n A
V
ds
B
x
流函数和流体体积通量
Q (B) (A)
经过以A和B为端点的任何曲线的流体体积通量 Q，
只决定于该两点的流函数差，跟曲线的具体长短
或形状无关。同时表明，流函数具有流体体积通
量的量纲。
流函数和涡度的关系
v u 由涡度的定义 x y ，可得到用流函数来表示
V
V V
v u 0 x y D u v 0 x y
无辐散涡旋流，产生涡旋部分
无旋辐散流，引起散度部分
V V , V 0 V V , V 0
二、流函数
引入流体散度的概念之后，可将流体运动分为：
无辐散流 流体运动
V 0
V 0
辐散流
考虑二维无辐散流动，即满足：
u u x , y, t , v v x , y, t
w0
u / x v / y 0
则流线方程为：
dx dy u v vdx udy 0
，位势梯度小，相应的 流速小。
势函数和散度的关系
u v w D x y z
V
D
2
2 2 2 2 其中， 为三维拉普拉斯算子 2 2 x y z 2 那么，如果给定D，通过求解泊松（Poisson）方程，即
可求得势函数；已知u、v、w，先计算D，再解泊松方 程，得φ；已知φ，求导计算即可获得u、v、w 。
V
函数
x , y , z , t 称为速度的（位）势函数，用来表示无
旋流动的流场。通常将无旋流动称为有势流动或势流。
等位势面
对于某一固定时刻
x, y, z, t C
为一空间曲面，称为等势函数面或者等位势面。
z
o x
y
例 已知流体作无旋运动，对应的等势函数线分布如
上式的几何图像就是流线，此曲线上的切线处处与速度矢 方向吻合；同时，也是ψ函数的等值线，ψ称作流函数；
流线就是等流函数线。
流函数和流体体积通量
y
n A ds
V
B
x
流函数和流体体积通量
顺着
AB
B
流体自右侧向左侧的体积通量为Q：
Q Vn ds A ds n k ds d s idx jdy
的涡度表达式：
2 2 2 2 x y
可见，对流函数取拉普拉斯运算即可得到流体的涡度 同样，求解流函数的方法为： （1）已知涡度，直接求解泊松（Poisson）方程 （2）已知速度场，先求出涡度，然后求解泊松方程
三、2维流动
一般二维流动，既不满足无旋条件，也不满足无辐 散条件，流动是有旋有辐散的。此时，其涡度和散度均 不为零，即：
d x, y, t vdx udy 0
d x, y, t vdx udy 0
u ,v y x
V k
流函数与流线的关系？
流函数与流线的关系
d x, y, t vdx udy 0
积分
x, y, t C
③形变张量的概念。
§6速度势函数和流函数 ①势函数的定义、表示流体运动的方法； ②流函数的定义、表示流体运动的方法； ③速度势函数、流函数表示二维流动。
作业
习题一
1、2、3、4、5、7
答疑
时间：单周周二上午1-2节
地点：教学楼A区1楼西侧教师休息室
图所示（其中， 0 <
1
< 2 ）的，请判断并在图
中标出A、B两处ຫໍສະໝຸດ Baidu体速度的方向，并比较A、B 两处流速的大小。
V
由流速场与势函数的关系可知：V
z
V
流速矢与等位势面相垂 直，由高位势流向低位 势，等位势面紧密处， 位势梯度大，相应的流
o x
y
速大；等位势面稀疏处