位移法典型方程计算举例

2i
M
图
2
求r11,r12的研究对象
求r21,r22的研究对象
6）弯矩图的作法
qL2/12
q
P R1P
PL/8
R2P
MP图
++
r11R1 A
r2R12A
+
r12B r22B
即 M M P M 1A M 2B
qL2/12
q
P R1P
PL/8
R2P
4i
+ A•
MP图
2i + B•
2i
r11
r11A
r21A
反之，如果在A处附加刚臂， 在B结点施加力矩使得B结点转角为θB
r12 B r22B
如果叠加这两种情况：
1）结点A的转角为θA，结点B的转角为θB
R1
R2
2） 在 A处的约r束 11A力 r12： B R1
在 B处的约r2 束 1A力 r22： B R2
P
PL/8
qL2/12
R1P q
n
n
rijZj ， 为 消 去 该 处 的 约 束 力 ， 令 ： R iP rijZj=0即 可 。 写 成 方 程 组 的 形 式 为 ：
j 1
j 1
r11Z1 r12Z2 r1n Zn R1P 0
r21
Z1
r22Z2
r2n
Zn
R2P
0
rn1Z1 rn2 Z2 rnnZn RnP 0
这就是位移法的典型方程。
七、计算举例
例题1 8 kN/m
A
B
C 4m
2m D 4m E EI=常数
16 kN 16 kNm
等效体系及变形图
例题1
16 kN
解：1）位移法变量：θC和ΔCH B
C
2）附加约束作MP图，并
16 kNm
求R1P ，R2P
8 kNm
R1P=8 kNm
0
R2P=0
P AB R1P
E D
MP图
R2P
++
+
r1R11 B
R2 r21B
r22 CH r1 2 CH
满足下列方程，就消去了施加的2个约束
r11Br12 CH R 1
r21Br22 CH R 2
rr2111B Brr1222 C CH H R R12PP00
4）ri j的求法
3i
4i
3i r11
图 。 然 后 ， 使 第 i个 变 量 有 单 位 的 位 移 （ 其 它 变 量 仍 被 约 束 ） ， 作 M 出 i 图 ， i1,2,,n。 由
叠 加 原 理 ， 当 n个 变 量 都 产 生 各 自 实 际 的 位 移 （ 角 度 或 侧 移 ） 时 ， 在 第 i个 变 量 处 产 生 的 力 为 ：
R1 R2
如果在C处附加支杆， 在B结点施加力矩使得B结点转角为θB
r11B
r21B
反之，如果在B处附加刚臂，
在C结点施加力使得C结点水平位移为△CH
叠加这两种情况：
a）力的叠加
r11 Br12CH r21 Br22CH
b）位移的叠加
r22 CH r1 2 CH
叠加后，B结点的转角为θB，C结点的水平位移为△CH
五、位移法的计步骤
1. 确定位移法变量 2. 作MP图，求出R1P、R2P 3 .作 M 1 、 M 2 图r ， 1， 1r2， 1 求 r1， 2r22
4.写出位移法方,程 并求解
rr2111ZZ11rr1222ZZ22R R12PP00
5.依 MM PM 1Z1M 2Z2作出弯矩图
六、位移法计算应注意的问题
r21
2i
M
图
1
4i
4i
r12
r22
3i
2i
M
图
2
二、有侧移刚架的弯矩图作法
PA
B
C
θB
ΔCH
D
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变形图
1）位移法变量：θB ，ΔCH
2）为使结构各杆在荷载作用下的弯矩不相互传递， 需施加两种约束。
附加刚臂 和 附加支杆--------先作修改
PA
B
附加刚臂
C
P
AB
D
E
E D
附加支杆
0
0
R1P 0
R2P +
MP图
r11R1 A
r2R12A
+
rr2111AArr12
2B 2B
R1 R2
r12B r22B
rr2111AArr1222B BR R12PP00 这就是位移法方程，解出θA，θB
5）ri j的求法
2i 4i
r11 8i r212i
2i
M
图
1
4i 4i 2i r12 2i 3ir22 11i
R1P q
R2P +
R1
R2
MP图 叠加后附加刚臂的约束没了，
叠加后内力就是原结构的内力
4）如何作R1，R2作用下得弯矩图？ 与力法类似，依然使用叠加法：
问题是： 每种情况下两个刚结点都发生转动， 相互关联，无法作出弯矩图。
R1
R2
=
R1 +
R2
如果在B处附加刚臂， 在A结点施加力矩使得A结点转角为θA
位移法典型方程计算举例
3、求解思路：
“先修改，后复原”
1）位移法变量 A,B
A
B
2）附加2个刚臂，使结点不能转动----各杆弯矩不能相互传递 PL/8
qL2/12
R1P
R2P
R1P，R2P怎么求？
MP图
3）如何消掉附加的刚臂约束？
若令 R1= - R1P、R2= - R2P
P
PL/8
qL2/12
1. 位移法过程中，判断一个杆件有无弯矩的方法是： 1）该杆有无杆端转角 2）该杆有无杆端相对侧移 3）该杆上有无荷载作用
2. 各图中R1P，r11，r12 的方向应保持一致画出 R2P，r21，r22的方向应保持一致画出
3. r11，r22 均为大于零的值，即施加的单位力与发 生位移的方向协调一致。
求R1P的研究对象
P
R1P
R2P
VAD
VBE
求R2P的研究对象
3）如何消掉附加的约束？
PA
B
C
若令
R1= - R1P、R2= - R2P 仍然使用叠加法
D
E
P AB R1P
E
=D
MP图
R2P
+
R2 R1
继续使用叠加法
同样的问题是：
每种情况下两个结点都发生位移，相
互关联，无法作出弯矩图。
=
+
R2 R1
r21
2i
M
图
1
6i/L
r22
r12
3i/L 6i/L
M
图
2
求r11,r12的研究对象
求r21,r22的研究对象
5）弯矩图的作法
M M PM 1 BM 2 CH
P
R1P
R2P
4i θB·
+ MP图
+ △CH·
3i
3i
2i 6i/L
r12
3i/L 6i/L
三、小结
超静定结构
确定位移法变量
刚结点转角，结点线位移
等价
附加刚臂和支杆约束 结点没有位移发生
各杆弯矩不相互传递
“复原过程”
MP图 叠
作各杆在各自荷载 作用下得弯矩图
“修改过程”
加
后 约
确定约束力RiP
束 消
在结点处反作用约束力 RiP
除
Mi 图
分别作结构在-RiP作用下
的弯矩图，i=1,2,…
四、位移法的典型方程
一 般 地 ， 设 结 构 有 n个 位 移 法 变 量 Z1,Z2,,Zn， 需 附 加 n个 约 束 （ 刚 臂 或 支 杆 ） 作 出 M P