位移法典型方程计算举例

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结构力学-位移法的典型方程及计算步骤

(e)
依题意可知并根据叠加原理上述条件可写为：
R1=R11+R12+R1P=r11 Z1+r12 Z2+R1P=0 R2=R21+R22+R2P=r21 Z1+r22 Z2+R2P=0
上述方程称为位移法基本方程，也称为位移法的典型方程。
为了求出典型方程的系数和自由项，可借助于表10-1，绘出基本
结构图，如下图10-7a,b, 和c所示。然后求出各系数和自由项。
r11 1 3i 4i
r12 6i1 0
R1P PL1 0
l
8
Z1=1
4i 1
2
6i 1l
2
Z2=1 1
2
3i M
3 2i 4
(a)
6i 3 l
3i 4 l
(b)
p
MP
PL 3
4
8
(C)
T10-7
1
2
r21 1
2
r22 1
6i l
0
12i
L2
3i
P
L2
2
2
R2P
0
系数和自由项可分为两类，分别由力矩平衡方程 M1=O求得为：

0
6 2 6 9 12 2 11 l Z1 l 2 Z2 16 P 0
Z1 0.02218 Pl Z2 0.02859 Pl 2
M M1Z1 M 2Z2 M P
转到下一节
者的原理有所不同。
§10-7 有侧移的斜柱刚架
B
B’
C’ C
C”
C
A
D
O A,D
B 结点位移图
O为极点,各结点位移前的位置

建筑力学(位移法)

第十七章位移法求解超静定结构的两种最基本的方法力法适用性广泛，解题灵活性较大。

（可选用各种各样的基本结构）。

位移法在解题上比较规范，具有通用性，因而计算机易于实现。

位移法可分为：手算——位移法电算——矩阵位移法力法位移法力法与位移法最基本的区别：基本未知量不同力法：以多余未知力基本未知量位移法：以某些结点位移基本未知量F PϕBϕB在忽略杆轴向变形和剪切变形的条件下，结点B 只发生角位移ϕB 。

由于结点B 是一刚结点，故汇交于结点B 的两杆的杆端在变形后将发生与结点相同的角位移。

位移法计算时就是以这样的结点角位移作为基本未知量的。

第一节位移法的基本概念BAClhEI 1EI 2首先，附加一个约束使结点B 不能转动，此时结构变为两个单跨超静定梁。

称为位移法的基本结构。

在荷载作用下，可用力法求得两根杆的弯矩图。

由于附加约束阻止结点B 的转动，故在附加约束上会产生一个约束力矩1631l F F P P -=C BAF P316Fl 532FlCAB然后，为了使变形符合原来的实际情况，必须转动附加约束以恢复ϕB 。

两个单跨超静梁在B 端有角位移时的弯矩图，同样可由力法求得。

此时在附加约束上产生约束力矩Bh EI lEI F ϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=211143ϕB ϕBBA CB lEI ϕ13B h EI ϕ24B hEI ϕ22F PBAC求基本未知量,可分两步完成：1）在可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作用下，附加约束上产生附加约束力；2）转动附加约束使结点产生角位移ϕB ，使结构发生与原结构一致的结点位移。

ϕBϕB附加刚臂经过上述两个步骤，附加约束上产生约束力矩应为F 11和F 1P 之和。

由于结构无论是变形，还是受力都应与原结构保持一致，而原结构在B 处无附加约束，亦无约束力矩，故有F 11+F 1P ＝001634321=-⎪⎭⎫⎝⎛+Fl h EI lEI B ϕ解方程可得出ϕB 。

位移法典型方程将求出后ϕB ，代回图22-1c ，将所得的结果再与图22-1b 叠加，即得原结构（图22-1a ）的解。

8-3、8-4位移法的基本未知量和基本结构__典型方程及计算步骤解析

§8.3 位移法的基本未知量和基本结构
确定独立的结点线位移另种一方法
（ 1）不考虑轴向变形长度不变 (2) 弯曲变形微小，受弯矩
把原结构的所有刚结点和固定支座均改为铰结点→铰结体系，如图b。此铰结体系为几何不变，原结构无结点线位移。此铰结体系为几何可变或瞬变，添加最少的支座链杆保证其几何不变，添加的链杆数目既是原结构独立的结点线位移数目。如图b，加一个水平支座链杆，体系成为几何不变的。
上一章复习
等截面直杆的杆端弯矩和剪力
1 A
B A
2i
B
A B
4i
M AB 4i M BA 2i
A B 1 A
6i/l
FQ 6i / l
6i/l
B A
12i/l2
B
6i/l
M AB 6i / l M BA 6i / l
FQ 12i / l 2
等截面直杆的杆端弯矩和剪力
1 A A B A
+
2 EI i 2l
EI A l
1
B
3i/l
3i/l 3i/l
1
1
EI 2l
1
=
6
+
EI 3i 2 (2l ) 2l 6 EI 3i 2 (2l ) 2l
1
q A EI l B
ql 2 3
ql 2 6
1 1 q (2l ) 2 ql 2 8 2
§8.3 位移法的基本未知量和基本结构
附加刚臂：阻止刚结点的转动，但不能阻止结点的移动。附加支座链杆：阻止结点的线位移。
图a所示刚架，在刚结点1、3处分别加上刚臂，在结点3处加上一根水平支座链杆，则原结构的每根杆件都成为单跨超静定梁。

位移法的典型方程与力法的典型方程一样

位移法的典型方程与力法的典型方程一样位移法和力法是结构分析中常用的两种方法。

位移法是通过求解结构的位移来得到结构的反力，而力法是通过已知的外力和支座反力来求解结构的内力和位移。

尽管这两种方法的思想和计算过程不同，但它们的本质是相同的，都是基于平衡原理和变形原理，因此它们的典型方程也具有相似性。

一、位移法的典型方程位移法是一种基于变形原理的方法，它假设结构的变形是已知的，通过求解结构的位移来得到结构的反力。

位移法的典型方程是：$$boldsymbol{K}boldsymbol{u}=boldsymbol{F}$$其中，$boldsymbol{K}$是结构的刚度矩阵，$boldsymbol{u}$是结构的位移向量，$boldsymbol{F}$是结构的外力向量。

在这个方程中，$boldsymbol{u}$是未知量，$boldsymbol{K}$和$boldsymbol{F}$是已知量。

因此，通过求解这个方程，可以得到结构的位移和反力。

二、力法的典型方程力法是一种基于平衡原理的方法，它假设结构的外力和支座反力是已知的，通过求解结构的内力和位移来满足平衡条件。

力法的典型方程是：$$boldsymbol{K}boldsymbol{x}=boldsymbol{P}$$其中，$boldsymbol{K}$是结构的刚度矩阵，$boldsymbol{x}$是结构的位移向量，$boldsymbol{P}$是结构的等效节点力向量。

在这个方程中，$boldsymbol{x}$是未知量，$boldsymbol{K}$和$boldsymbol{P}$是已知量。

因此，通过求解这个方程，可以得到结构的内力和位移。

三、位移法和力法的相似性位移法和力法的本质是相同的，它们都是基于平衡原理和变形原理的。

因此，它们的典型方程也具有相似性。

首先，它们的典型方程都是线性方程组。

在位移法和力法中，结构的刚度矩阵和等效节点力向量都是已知的，未知量是结构的位移和反力（力法中是内力和位移）。

8-3、8-4位移法的基本未知量和基本结构__典型方程及计算步骤

§6.2.1 位移法的基本未知量
3
2
1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
§8.3 位移法的基本未知量和基本结构
图a所示刚架，结点线位移数目=2
图b所示刚架，结点角位移数目=2 结点线位移数目=2
§8.3 位移法的基本未知量和基本结构
确定角位移6个
确定线位移2个
§8.3 位移法的基本未知量和基本结构
图a所示刚架，结点角位移数目=4（注意结点2）
结点线位移数目=2
加上4个刚臂，两根支座链杆，可得基本结构如图b。
§6.2.1 位移法的基本未知量
1
2
1
1
2

3
§6.2.1 位移法的基本未知量
例1.
B
C
例2.
B
C
A 只有一个刚结点B，由于忽略轴向变形，B结点只有 B
A
只有一个刚结点B，由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结点有一个转角和水平位移 B BH
2kN/m 16kN
A
i
6m
B
3m
i
3m 16kN
Z1
C
2kN/m
A
B
C
解（1）选取基本体系。
（2）建立位移法典型方程。
r11Z1 R1 0
（3）求系数和自由项。
4i
Z1=1
r11
A
2i
B
3i 18 6
M 1图
C
4i
3i
6
R1P
A
B
MP图（kN.m）
C
6
18
r11 4i 3i 7i
典型方程

位移法典型方程、计算举例

2.78
M M P M 1 C M 2 CH
2.09
0.70
例题2
计算举例
B C
求作弯矩图，EI=常数，各杆长L=6m A
19 kN
D
E
变形图 19 kN
解：1. 位移法变量：θB，ΔAH
2.附加约束作MP图，
并求R1P，R2P R1P=0 ，R2P= –19 kN
R2P
2
你能验算吗？
例题1
计算举例
16 8
MP
4）位移法方程
r11 C r12 CH R1 P 0 r21 C r22 CH R 2 P 0
3i 4i
C
40 23 i
CH
64 23 i
M1
3i/L
M2
6i/L
5）作M图
2.附加约束（刚臂和支杆）作MP图，并求R1P、R2P
qL2/8
R1P= qL2/16
R2P= – qL
qL2/8
qL2/16
C
R1P
M P图
R2P
例题3
计算举例
2i 3i 4i 4i r21 6i/L r22
3 .作 M 1、 M 2图，求 r11， r21， r12， r22
6i/L
3i r11
n n
图，i 1, 2 , , n 。由
叠加原理，当 n 个变量都产生各自实际的位移（角度或侧移）时，在第 i 个变量处产生的力为：
r
j 1
ij
Z
j
，为消去该处的约束力，令：R iP

位移法典型方程根据

位移法典型方程根据（实用版）目录1.位移法的基本概念2.位移法的典型方程3.位移法的应用实例4.位移法的优缺点分析正文一、位移法的基本概念位移法是一种求解固体力学问题的数值方法，主要通过计算物体在受力作用下的位移来研究其内部应力和应变分布。

位移法基于弹性力学的基本原理，适用于求解各种复杂的固体力学问题，如梁、板、壳等结构在受力作用下的变形和内部应力分布。

二、位移法的典型方程位移法的典型方程是根据弹性力学原理推导得到的。

以一维简支梁为例，当梁受到均布荷载作用时，其位移法的典型方程为：挠度公式：f(x) = q(x-x0)/8EI弯矩公式：M(x) = EI*(f"(x)-qx)/2其中，f(x) 表示梁在 x 处的挠度，M(x) 表示梁在 x 处的弯矩，E 为材料的弹性模量，I 为梁的惯性矩，q 为均布荷载，x0 为梁的支点，f"(x) 为挠度的一阶导数。

三、位移法的应用实例位移法广泛应用于各种固体力学问题的求解，如梁、板、壳等结构在受力作用下的变形和内部应力分布。

例如，在求解简支梁在均布荷载作用下的挠度和弯矩时，可以采用位移法进行计算。

四、位移法的优缺点分析1.优点：位移法求解固体力学问题时，可以通过计算物体的位移来直接得到其内部应力和应变分布，避免了传统力学方法中的繁琐计算过程。

此外，位移法适用于各种复杂的固体力学问题，具有较强的通用性。

2.缺点：位移法的求解过程涉及到较高阶的微分方程，计算过程较为复杂。

在某些特殊情况下，位移法的求解结果可能不如其他方法准确。

总之，位移法作为一种求解固体力学问题的数值方法，具有广泛的应用前景。

位移法—位移法的典型方程和计算实例(建筑力学)

M CA 4i
i
18.94kN m
i
2
i
3.158
M CD 6i
18.95kN m
i
3 21.05
M BD i
20 35.79kN m
4
i
作M图，如图示
位移法
位移法计算步骤归纳如下
（1）确定基本未知量。在原结构上加入附加约束，得到
衡条件求出杆端剪力。
M
B
FQAB
M
A
0
2.5 4 2 20

kN 0
4
0
FQBA
2.5 4 2 20

kN 10kN
4
位移法
同理，取杆件BC，由平衡条件得
FQCB FQBC 10kN
取杆件BD，由平衡条件得
FQDB FQBD 7.5kN
1.5i1 0.9375i 2 15 0
1
3.16
i
2
21.05
i
位移法
（6）作M图
利用叠加公式 M M1Z1 M 2 Z 2 M 计算杆端弯矩
3.158 3 21.05
M AC 2i
i
25.26kN m
i
2
i
3.158 3 21.05

k211 k22 2 F2 0
位移法
（3）求系数和自由项
k11＝4i +6 i＝10 i
k12= -1.5 i ＝k21
k12= -1.5 i
k22 0.75i 0.1875 i 0.9375 i
位移法
F1 0

位移法例题

0
r21=- 24i/l 2
0
6i/l 6i/l
r12= -24i/l 2
r12
Z2=1
-12i/l 2 -12i/l 2 12i/l 2
-12i/l 2 -12i/l 2 r22=48i/l 2 12i/l 2
r22
6i/l
M 2图
FP
说明：水平杆的M图没画，并不是其M=0，而是EI无穷大的杆能平衡任何弯矩。
R1P FP
R1P=-FP
0 0 0 0 0
FP
R2P FP MP图
R2P=-FP
0
作用在结点上的外力相当于支座，故杆件无弯矩。解得
3FP l 2 Z1 = 24i FP l 2 Z2 = 12i
FPl /4 FPl /4 FPl / 2
FPl / 2
M图
(4) 利用叠加法作出弯矩图
例4:用位移法计算图示结构 ,并作弯矩图.EI= 常数. 4:
l
A l
D
（同济大学，2004年考研题）
Z1 = 1
B 4i A 4i 2i l
C 2i l D
Z2 = 1
6i/l
2i/l
B
C
4i/l
M1 图
A
6i/l
D
l
M2 图
l
Z1 = −ql / ( 84i )
2
Z 2 = ql / ( 3i )
3
M 图（× ql ）
2
例2：位移法求解图示结构。
P
P /2
l A EA = B
Z1
l
l
P
l
注意： M 1图和 M P图的正确作图
例3：用位移法作图示结构的 M 图。EI=常数.

结构力学位移法典型方程、计算举例

附加刚臂
B R 1P E M P图
R2P
附加支杆
变形，故，弯矩图为零。
R1P 0, R2 P P
D
0
0 R1P
P
R1P
0
求R1P的研究对象
VAD
VBE
求R2P的研究对象
R2P
P
A
B
C
D P
E
A
B
E
R2P
R2 R1
R1P
=
D
MP图
+
叠加过程就是消去附加约束的过程
3）如何消去两个约束？如果同时作用R1= - R1P、R2= - R2P 显然R1与R2相互影响，不清楚各杆端的转动情况。办法是：逐次达到R1、R2 10 在C处附加支杆，在B结点上作用力矩,使B转角 B ，如图 20 在B处附加刚臂，在C结点上作用力使C处产生位移 CH ，如图。 R1
r12 B
r22 B
r11 A r12 B
r21 A r22 B
r11 A r12 B R1 r21 A r22 B R2
即， r11 A r12 B R1P 0
r21 A r22 B R2 P 0
6i/L r22
6i/L r12
M1
6i/L
七、计算举例
例题1 8 kN/m A C B 4m D 4m E
16 kNm 16 kN
2m
等效体系及变形图
EI=常数
例题1 解：1）位移法变量：θ C和Δ CH 2）附加约束作MP图，并求R1P ，R2P
8 kNm R1P=8 kNm 16 kNm

位移法方程

ql 2 / 16
MP
r11
3i
Z1=1 3i
M1
பைடு நூலகம்
Z1
M
位移法基本未知数 ----结点位移.
位移法的基本结构 ----单跨梁系. 位移法的基本方程 ----平衡方程.
位移法求解过程:
1)确定基本体系和基本未知量 2)建立位移法方程 3)作单位弯矩图和荷载弯矩图 4)求系数和自由项 5)解方程 6)作弯矩图
4.3 位移法
(Displacement Method)
位移法是计算超静定结构的基本方法之一.
P
力法计算,9个基本未知量
位移法计算, 1个基本未知量
4.3 位移法
一.单跨超静定梁的形常数与载常数
1.等截面梁的形常数杆端位移引起的杆端内力称为形常数. i=EI/l----线刚度
2.等截面梁的载常数
r
11
Z1
q
EI
EI
Z1
Z1=1
=
Z1
q
Z1
Z1
q
=
+
Z1
q
----刚臂,限制转动的约束
EI
Z1
EI
R1=0 R1=r11 Z1+ R1P =0
R1
q
r11
3i 3i
ql 8
2
r
11
=6i
EI
R1P
EI
ql 2 / 8
q
R1P
R1 P ql 2 / 8
Z1 ql 2 / 48i
M M 1 Z1 M P
练习: 作M图
EI
q
2 EI
l l
q
Z1

位移法举例

3b ql 3 , Z2 a a 8 16i
R2 P
ql 12ia 2 2 l
ql 2 6ia ql 2 6ia ql 2 MA 2i 12 l 12i l 4
Z
q
A
b
l
a
基本体系2
r11Z R1P 0
ql 2 3ib ql 2 r11 4i , R1P 6 l 3
加上约束平衡条件
单位位移引起的约束力荷载等外因在基本结构中产生的约束力
超静定结构的特性
1.除荷载外，其他因素如温度变化、支座位
移等亦引起内力；
2.超静定结构内力单由平衡条件无法全部确定，必须考虑变形协调条件，其内力值与材料性质各截面尺寸有关；
3.多余联系破坏后，超静定结构仍能维持几何不变，具有较强的防御能力 4.超静定结构具有多余联系，一般较静定结构刚度大，内力分布也均匀。
单位弯矩图和荷载弯矩图为：
r11 6 4 2
如何求 r21 未加杆端弯矩
r11
6 l
6 l
r21
r21 66 2 l
r12
66 2 l
r12 r22
由 M o 0 有：
r22
9 12 2 l
2
问题：由 M O 0 求 r21
O
r11
4 2
N BA
O
6 l
位移法解题示例
例 1.用位移法计算图示刚架,并作弯矩图. EI = 常数. 解：选取基本结构 Z2 Z1
位移法典型方程：
r11Z 1 r12 Z 2 R1P 0 r21Z 1 r22 Z 2 R2 P 0
单位弯矩图为 :

结构力学位移法

16kN A EI B EI D 3m EI C 2kN/m
A EI B EI C 16kN 2kN/m
6m
EI
D
3m
6m
基本结构基本方程：k11 △1＋F1P＝0 F1P
24 18
解：基本未知量：△1=θB， k11 4i 3i i
12
2i
△1= 1； M 图 MP图
k11
4i
3i i 2i
F1P
A B
F2P 16kN.m
C 8kN.m
F1P
6kN.m B 4kN.m 4kN.m
F2P
C 16kN.m
F1P = 2kN.m
F1P = -12kN.m
四、解题步骤(以一个基本未知量为例)
⑴确定基本未知量△1、基本结构、基本方程； ⑵令△1=1，画基本结构的弯矩 M 1 图，由结点或截面平衡方程得系数k11； ⑶画基本结构荷载下的弯矩MP图，由结点或截面平衡方程得常数项F1P； ⑷将系数k11 和常数项F1P 代入基本方程k11 △1 ＋ F1P ＝0，求解基本未知量△1 ；
⑴ 基本方程中系数kij的确定系数kij为第j号位移△j=1，第i号附加约束的约束反力，也就是结构的刚度系数。由结点或截面的平衡方程确定之。附加约束的约束反力kij的正负规定与结点位移△j的正负规定相同，刚臂的约束反力(约束力偶)kij以顺时针转为正，链杆的约束反力kij以使杆顺时针转为正。位移法中规定：杆端弯矩也以顺时针转为正。
△ Dx
D
△ Ex
E
△1=θ
F
F
P
△Fx
F A
θ
△2= △Dx= △Ex
△ Gx
G
F

位移法

位移法位移法也是计算超静定结构的基本方法。

位移法是以结构的结点位移（结点角位移和结点线位移）作为基本未知量，通过平衡条件建立位移法方程，求出位移后，即可利用位移和内力之间的关系，求出杆件和结构的内力。

在位移法求解超静定问题中，有七大步骤：第一步：分析结构体系（是否为几何不变体系，是否有结点位移），结构体系中的结点位移（结点角位移和结点线位移）就是结构的所求的基本未知量。

第二步：选取基本结构，即在原结构中的基本未知量（结点角位移和结点线位移）处加上约束（刚臂和链杆），均假设顺时针转动。

第三步：列位移法方程：01111=+P R Z r （一个结点位移未知量）当为n 次超静定时，0022112222212111212111=++++=++++=++++nP n nm n n P n n P n n R Z r Z r Z r R Z r Z r Z r R Z r Z r Z r第四步：画P M M 、1图，求nP nm R r 、（画P M M 、1图，通过查表得出，注意形常数及载常数的查法，记住是以顺时针转动为正。

）第五步：求解未知位移n Z 。

第六步：求杆端弯矩：P R Z M M +=11（一结点位移未知量）P n n i i R Z M Z M Z M Z M M ++++++= 2211（n 个结点位移未知量）此步骤的正负号规定容易与力法正负号规定混淆。

在位移法中，杆端弯矩以顺时针转动为正，逆时针转动为负。

第七步：求跨中弯矩（针对于集中力作用在跨中处以及均布荷载作用情况），作M图，Q图（注意：求跨中弯矩时的正负号规定，同力法一样）讨论：针对位移法中正负号规定判断需要注意的问题。

1、什么是杆端弯矩？例如：如图所示超静定梁假如截AB杆研究，就会暴露出三个内力（弯矩，剪力，轴力），现只研究弯矩，如图所示（夸张放大画出来）：图中所标的即为杆端弯矩，它的作用是相对于杆端而言的。

2、如何判断正负号及运用正负号画弯矩图？M为正的上图中杆端弯矩的方向是假设出来的，由图可知，杆ABM为负的（逆时针）。

位移法典型方程、计算举例资料

n
n
rijZj ，为消去该处的约束力，令： R iP rijZj =0即可。写成方程组的形式为：
j 1
j 1
r11Z1 r12Z2 r1n Zn R1P 0
r21
Z1
r22Z2
r2n
Zn
R2P
0
rn1Z1 rn2 Z2 rnnZn RnP 0
六、位移法计算应注意的问题
1. 位移法过程中，判断一个杆件有无弯矩的方法是： 1）该杆有无杆端转角 2）该杆有无杆端相对侧移 3）该杆上有无荷载作用
2. 各图中R1P，r11，r12 的方向应保持一致画出 R2P，r21，r22的方向应保持一致画出
3. r11，r22 均为大于零的值，即施加的单位力与发生位移的方向协调一致。
这就是位移法的典型方程。
五、位移法的计步骤
1. 确定位移法变量 2. 作MP图，求出R1P、R2P
3 .作 M 1 、 M 2 图r ， 1， 1r2， 1 求 r1， 2r22
4.写出位移法方,程并求解
rr2111ZZ11rr1222ZZ22
R1P 0 R2P 0
5.依 MM PM 1Z1M 2Z2作出弯矩图
位移法典型方程、计算举例资料
3、求解思路： “先修改，后复原”
A
B
1）位移法变量
A,B

2）附加2个刚臂，使结点不能转动----各杆弯矩不能相互传递 PL/8
qL2/12
R1P
R2P
R1P，R2P怎么求？
MP图
3）如何消掉附加的刚臂约束？
若令 R1= - R1P、R2= - R2P
P
PL/8

0603位移法典型方程

EA=∞
EA=∞
FP
EA=∞
i1, h1
i2, h2
i3, h3
i4, h4
FP
Δ1
EA=∞ EA=∞
EA=∞
基本体系
EA=∞
EA=∞
EA=∞
基本结构
典型方程：
k111 F1P 0
FP
Δ1
EA=∞ EA=∞
EA=∞
基本体系
k11
Δ1=1
3i1 h1
F1P
3i2 h2
EA=∞
3i3 h3
EA=∞
k21
12i h2
12i h2
24i h2
例4：用位移法计算图示结构。
FP
FP i EI1=∞ i
h
EI1=∞
i
i
h
6i/l 6i/l
Δ1=1
6i/l k11
6i/l k21
M1图
6i/l
6i/l k12
6i/l
k22
kk211111
k12 2 k 22 2
F1P F2P
0 0
6i/l
6i/l
j1 j
F1P FP
1FP 2FP 3FP 4FP
3ik
k
hk2 4 3i j
h2
j1 j
1
FP 4 3i j
h2
j 1 j
M M 11 M P
排架的这种计算方法称剪力分配法。k 称剪力分配系数。柱顶剪
力是按各柱的侧移刚度来分配的。
剪力分配法的使用条件是梁的抗拉刚度无穷大，且仅在柱顶作用一水平荷载。
h
EI1=∞
i
i
h
6i/h 6i/h

结构力学课件位移法典型方程

第六章位移法
6.3 位移法的典型方程
Canonical equations of displacement method
1. 位移法基本方程的建立
两种途径：典型方程法：将杆端力视为各影响因素单独作用效果的叠加，由此借助平衡条件建立位移法方程。（讲授）
直接平衡法：直接利用转角位移方程，按照结点或截面的平衡条件建立位移法方程。（自学）
······ rn1Z1 + r n2Z2 + ···+ rnnZn + RnP = 0
可用矩阵表示为：[r]{Z} +{RP} = {0}
位移法方程的物理意义：基本结构在荷载和结点位移作用下，附加约束反力等于零。
[r]{Z} +{RP} = {0}
式中： rii 为基本结构仅在单位结点位移Zi =1单独作用时，在附加约束 i 中产生的约束力; rij 为基本结构仅在单位结点位移Zj =1单独作用时，在附加约束 i 中产生的约束力（i≠j） RiP 为基本结构在荷载单独作用（结点位移都锁住）时，在附加约束 i 中产生的约束力
EI Z2
FP
EI
EA
l
2EI EI l
l
r21
3i/l
12i/l
12i/l
3i/l
Z2=1
Z1=1 r22
r11
3i
M1
4i
Z1 r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
r12
M2
R2P FP
R1P
MP
0.24FPl
M
0.39FPl 0.13FPl
r11 30i / l 2
10kNm
2EI

(精品)位移法的典型方程

r11 r12 ...... r1n r r22 ...... r2 n 21 ...... ...... ...... ...... rn1 rn 2 ...... rnn
r11 ∆1=1 1 r21 r12
2011-3-23
ri j=rj i
r11×0+r21 ×1 = r12 ×1+r22 ×0
2011-3-23
位移法的特点：位移法的特点：基本未知量—— 独立结点位移基本未知量一组单跨超静定梁基本体系—— ？基本体系基本方程—— 平衡条件基本方程
1
A ∆1
∆1
P
F1 C ∆1 A
∆1
P
C
A
C
B
原结构
B 基本体系
B 基本结构
实现位移状态可分两步完成：实现位移状态可分两步完成： 1）在可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作用下，）可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作用下，附加约束上产生附加约束力附加约束力；附加约束上产生附加约束力；
D
C
M图（kN•m）图）
2011-3-23
E 3.6
3.97F
11
位移法要点：位移法要点：
1）位移法的基本未知量是结点位移；）位移法的基本未知量是结点位移； 2）位移法以单根杆件为计算单元；）位移法以单根杆件为计算单元； 3）根据平衡条件建立以结点位移为基本未知量的基本方程。）根据平衡条件建立以结点位移为基本未知量的基本方程。 4）先将结构拆成杆件，再将杆件搭成结构。这就将复杂结构）先将结构拆成杆件，再将杆件搭成结构。的计算问题转换为简单的杆件分析与综合问题。的计算问题转换为简单的杆件分析与综合问题。位移法计算刚架时的特点：位移法计算刚架时的特点：基本未知量是结点位移； 1）基本未知量是结点位移；计算单元是一组单跨超静定梁； 2）计算单元是一组单跨超静定梁；位移法方程是根据平衡条件建立的。 3）位移法方程是根据平衡条件建立的。应用位移法求解刚架需要解决三个问题：应用位移法求解刚架需要解决三个问题：单跨超静定梁的内力分析； ①单跨超静定梁的内力分析；位移法基本未知量的确定； ②位移法基本未知量的确定；位移法方程的建立与求解。 ③位移法方程的建立与求解。 2011-3-23