群论第二章‘作业’

10. 证明关系式(选做) a) 线性 b) c)
ad ( A B) ad ( A) ad ( B) ad ( AB ) ad ( A) ad ( B)
1
保 Lie 积不变
ad ([ A, B]) [ad ( A), ad ( B)]
d)
exp{ A} exp B exp C exp{ad ( A)} exp ad ( B) exp ad (C )
（6） T (G ) ； （7） T 4. 2 维空间的转动为
1
~ 1
（4） T (G ) ；
~
x' cos x y' g sin y ， g ( )
对 y -轴的镜像反射为
sin ； cos

验证 Campbell-Baker-Hausdorff 公式的前三项。 （选做） 9. 产 生 湮 灭 算 符 的 对 易 关 系 为 [a, a ] 1 ， 利 用 Campbell-Baker-Hausdorff 公 式 求
exp a a exp a a ，其中 , , , C 。
1 3
1 e exp{i 2 / 3}d exp{i 2 / 3} f ，求它所对应的 3
1 e exp{i / 3}d exp{i / 3} f ，求相应的 D3 3
群的诱导表示。 36. 求 D4 群两维不可约表示直积的 CG 系数表。 （选做）
定义两个矢量的乘法为
X * Y [ X , Y ] XY YX ,
证明 su(2) 是个线性代数。 15. 求 su(2) 生成元的伴随表示矩阵， k 1,2,3.（提示：① su(2) 是三维空间， J k 是 3 3 矩阵。②考虑 ad(s k ) s1 ?, ） 16. 给出四元群 V4 的左正则表示。 17. 给出四元群 V4 的右正则表示。 18. 等价的酉表示只相差一个幺正变换：设 T1 (G ) 和 T2 (G ) 是群 G 两个的幺正表示，如果
3
1 0 P 0 1 。 2 2 x, y 的二次函数 f ( x, y ) ax by cxy 可以看成一个 ห้องสมุดไป่ตู้ 维线性空间的矢量，以
x 2 , y 2 , xy 为基矢。求 g ( ) 、 r 在这个 3 维作用空间上的表示矩阵 T ( g ( )) 、 T ( P) 。 5. 如下图，把正三角形的对称群 D3 看成是 2 维空间的坐标变换，给出所有群元素的 2 维 表示矩阵。 （提示：先给出 a 和 d 的表示矩阵，其他的表示矩阵可以由乘法表得到。 ） y e：不动 a：绕1轴转180 A b：绕2轴转180 2 c：绕3轴转180 3 O d：绕z轴逆时针转120 x f：绕z轴逆时针转240 B C 1 3 A ln A 6. A ，求 和 . e 2 4 1
4 2 2 3
（1）求的所有 1 维表示。 （2）它有几个 2 维表示？ 21. 证明共轭元素的特征标相同，即特征标是类函数。 22. 证明直积群的特征标是两个特征标之积。 23. 证明除恒等表示外，有限群的任一不可约表示特征标满足
gG
(g) 0
24. 设 A( g ) 和 B( g ) 是群 G 的两个不等价不可约表示。证明直积表示 A( g ) B( g ) 含有恒 等表示一次的条件为 A ~ B （等价） 。 25. 已知群 G 有一个忠实的二维幺正表示{ I , I , i 1 , i 1 , i 2 , i 2 , i 3 , i 3 }， 这里的 I 是单位矩阵，Pauli 矩阵 1 1
指数化之后是群同态
11. 三维实线性空间 R3 上定义两个矢量的乘法为叉乘，证明 R3 构成线性代数，但不是结合 代数。 12. 验证群代数 RG （1）是线性代数； （2）是含幺环。 13. 群 G 有 q 个共轭类 K1 ， K 2 ，……， K q 。定义一组群空间的矢量
Kj
gK j
T1 (G) ~ T2 (G) ，则一定存在幺正矩阵 M ， T1 (G) MT2 (G) M 1 。 19. T (G ) 是群 G 的一个不可约表示， K 是群 G 的一个共轭类，证明 T ( g ) 1 。
gK
20. 四元数群 Q8 a, b | a 1, b a , ba a b ，
g ， j 1,2,, q.
证明在群代数的乘法下，有
q K j K k f jkl K l ， l 1
且系数 f jkl 为非负整数。 14. su(2) 是个三维线性空间，由基矢（生成元） s1 1 / 2 ， s2 2 / 2 ， s3 3 / 2 张 开，这里
7. 三维矩阵
tS 。 求 exp 8. 利用
1 0 0 S 1 0 2 ， 0 2 0
1 ln exp tad ( A)exp ad ( B) C (1) 0 exp tad ( A)exp ad ( B) 1 dt A B
30. 求 D4 群的特征标表。 （选做） 31. 求 D4 群的所有不等价不可约表示。 （选做） 32. 已知一个 1 维不可约表示 T 证明 T T
(i ) ( j)
(i )
（但不是单位表示）和一个高于 1 维的不可约表示 T
( j)
，
也是一个同样维数的不可约表示。
33. 判断 D3 群的幂等元 ( e d f ) 是否为原始幂等元。 34. D3 群有一个原始幂等元 e4 不可约表示。 35. 已知 C3 群的一个不可约基
1 i 1 0 ， 2
0 1
1 0 0 i ， 3 0 1 ， 0
是 Pauli 矩阵。空间中任意一个元素都可以写成
X x1s1 x2 s2 x3 s3 ， x1 , x2 , x3 C 。
*
0 1 0 i 1 0 ， 2 ， 3 0 1 . 0 i 0
2
(1) 利用特征标理论的相关知识证明这个二维表示不可约。
(2) 给出群 G 的 1 维，2 维，3 维，…各有限维不等价不可约表示的个数和推理过程 (3) 给出群 G 的所有 1 维不等价不可约表示。 (4) 给出特征标表。 26. 证明类算符的乘法公式
1. 设 T (G ) 是群 G 的一个线性表示，验证下面哪些映射仍然构成群 G 的线性表示： （1） det T (G ) ； （2） tr T (G ) ； （3） T (G ) ； （5） T (G ) ；
*

(G ) ； （8） T *1 (G) 。 1 1 2. 设 T (G ) 是群 G 的一个线性表示，证明 T (e) 1 ， T ( g ) T ( g ) 。 3. N G 。 已知商群的群一个表示 A(G / N ) ， g G / N , A : g A( g ) GL(n, C) 。 现定义映射 T : G GL(n, C) ， T ( g ) A( g ) 。证明 T (G ) 构成群 G 的一个线性表示（也 就是说商群 G / N 的表示必然是群 G 的表示） 。
K j K k f jkl K l ，
Kj
并且其中的系数 f jkl 是非负整数。
gK j
g，
(K )
sp
l
27. 证明类算符的在不可约表示中的表示矩阵为
T ( p) (K j )
28. 证明特征标满足恒等式
gK j
T
( p)
(g) n j
1.
1 n j ( p ) ( K j )nk ( p ) ( K k ) f jkl nl ( p ) ( K l ) . sp l 29. 证明有限群的 1 维表示满足 | T ( g ) | 1 .