代数式的恒等变形

代数式的恒等变形

一、常值代换求值法——“1”的妙用

例1 、 已知ab=1，求2

211

11b

a +++的值 [解] 把ab=1代入，得

22

11

11b a +++ =22

b ab ab

a a

b ab +++ =b a a b a b ++

+

=1

例2 、已知xyzt=1，求下面代数式的值：

分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变． 解 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．

同理

练习：1

111,1=++++++++=c ca c

b b

c b a ab a abc 证明：若

二、配方法

例1、 若实数a 、b 满足a2b2+a2+b2-4ab+1=0，求b a a b +

之值。 [解] ∵a2b2+a2+b2-4ab+1

=(a2b2-2ab+1)(a2-2ab+b2) =(ab-1)2+(a-b)2 则有(ab-1)2+(a-b)2=0

∴⎩⎨

⎧==-.1,0ab b a

解得⎩⎨⎧==;1,1b a ⎩⎨⎧-=-=.1,1b a

当a=1，b=1时，

b a

a b +=1+1=2 当a=-1，b=-1时，b a

a b +

=1+1=2

例1 设a 、b 、c 、d 都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn 也可以表示成两个整

数的平方和，其形式是______.

解mn=(a2+b2)(c2+d2)

=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd =(ac+bd)2+(ad-bc)2 =(ac-bd)2+(ad+bc)2,

所以，mn 的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd ）2+(ad+bc)2.

例

2

设

x

、

y

、

z

为

实

数

，

且

(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.

求

的值.

解 将条件化简成

2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0 ∴ (x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0 ∴ x=y=z,∴原式=1.

练习：,0146422

222=+---++x cx bx ax c b a 已知求证：3:2:1::=c b a

三、因式分解法

例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd ，且a ，b ，c ，d 都是正数，求证：a=b=c=d ．

证 由已知可得

a4+b4+c4+d4-4abcd=0，

(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，

所以

(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．

因为(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以 a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，

所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．

又因为a ，b ，c ，d 都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以 a ＝b ，c=d ． 所以

ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0， 所以a ＝c ．故a=b ＝c=d 成立．

例4 已知|a|+|b|=|ab|+1， 求a+b 之值

[解] ∵|a|+|b|=|ab|+1

∴|a|·|b|-|a|-|b|+1=0

(|a|-1)(|b|-1)=0 |a|=1 |b|=1 ∴a=±1或b=±1. 则当a=1，b=1时，a+b=2 当a=1，b=-1时，a+b=0 当a=-1，b=1时，a+b=0 当a=-1，b=-1时，a+b=-2

[评注] 运用该法一般有两种途径求值，一是将已知条件变形为一边为0，另一边能分解成几个因式的积的形式，运用“若A ·B=0，则A=0或B=0”的思想来解决问题。另一种途径是对待求的代数式进行因式分解，分解成含有已知条件的代数式，然后再将已知条件代入求值。 练习：

证：))(()()()()(2

2

3

3

3

c b a bc ac ab c b a abc b a c a c b c b a ++++=++++++++ 四.换元

例4 设a+b+c=3m,求证:

(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0. 证明 令p=m-a,q=m-b,r=m-c 则 p+q+r=0.

P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0 ∴p3+q3+r3-3pqr=0

即 (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0

练习：求证：2

2)1(1)2(2--+=-+-+-+ab b a ab b a ab b a ）（）（

2．比较法

a=b(比商法)．这也是证明恒等式的重要思路之一． 例3 求证：

分析 用比差法证明左-右=0．本例中，

这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b 代a ，c 代b ，a 代c ，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化． 证 因为