第六讲 微分方程、变分法的产生和发展,变量思想应用及其开拓的若干分支
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1854年黎曼《关于作为几何学基础的假说》引入流形, 1887-
1896达布(法, 1842-1917)完成《曲面的一般理论》
微分几何－－曲面论
拿破仑(法, 1769-1821) 1972
蒙日(法, 1746-1818) 1990
微分几何－－曲面论
杜邦(法, 1784-1873)
高斯(德, 1777-1855)
微分几何－－曲线论
比安基(意, 1856-1928)
惠更斯(荷, 1629-1695)
洛比塔(法, 1661-1704)
微分几何－－曲线论
克莱罗(法, 1713-1765)
柯西(法, 1789-1857 )
赛雷特(法, 1819-1885)
微分几何－－曲面论
始于1697年约翰•伯努利提出的测地线问题，1760年欧拉《关
微分几何－－曲面论
博内(法, 1819-1892)
黎曼(德, 1826-1866)
达布(法, 1842-1917)
概率论
研究随机现象数量规律的数学分支
• 来源
• 赌博问题－－1654年帕斯卡(法,
1623-1662)与费尔马(法, 1601-1665) 通信讨论“点问题”
1657年惠更斯(荷, 1629-1695)
于曲面上曲线的研究》建立了曲面理论
1771年欧拉关于可展曲面，1771和1775年蒙日(法, 1746-1818)
关于可展曲面与直纹面，1813年杜邦(法, 1784-1873)指标线
1828年高斯(德, 1777-1855)发表《关于曲面的一般研究》，引
入第一、第二基本齐式，全曲率公式；1856年和1868年获得了 迈因纳尔迪(1800-1879)-科达齐(意, 1824-1873)方程; 1867年博 内(法, 1819-1892)证明了曲面基本定理
复变函数论
• 保形映射
复变函数论
• 保形映射
欧拉(瑞, 1707-1783) (俄, 1957)
常微分方程
柯西(法, 1789-1851)
常微分方程
李普希茨(德, 1832-1903)
布凯(法, 1819-1885)
常微分方程
庞加莱(法, 1854-1912) (法, 1952)
李雅普诺夫(俄, 1857-1918) (俄, 1957)
复变函数论
• 柯西(法, 1789-1857 ): 建立复变函数的微分和 积分理论－－1814年, 1825年的论文详细讨论 了复函数的积分, 1826 年提出留数概念, 1831 年获得柯西积分公式, 1846年发现积分与路径 无关定理
复变函数论
柯西(法, 1989 )
复变函数论
• 黎曼(德, 1826-1866) : 1851年博士论文引入多 值解析函数及黎曼曲面, 黎曼映射定理, 1859年 提出黎曼猜想
瑞士法郎上的欧拉
偏微分方程
• 热传导方程： 1807年傅里叶(法, 1768-1830)提出， 1822年傅里叶获 得求解的傅里叶 级数方法
偏微分方程
• 波动方程：1818年 泊松(法, 17811840)获得初值问 题的解, 1859年黎 曼(德, 1826-1866)、 1882年基尔霍夫 (德, 1824-1887)进 一步发展
变分法
• 等时曲线
微分几何－－曲线论
• 术语1894年比安基(意, 1856-1928)第一次使用 • 平面曲线理论17世纪基本完成: 1673年惠更斯(荷, 1629-1695)关于渐伸线、渐屈线，1671年和1686年 牛顿和莱布尼茨关于曲率与曲率半径，1691年和 1692年约翰•伯努利关于包络等，1696年洛比塔(法, 1661-1704)的《无穷小分析》完成并传播了平面曲线 理论 • 空间曲线理论: 1729年克莱罗(法, 1713-1765)关于曲 线弧长、曲率, 1774年欧拉关于曲率半径, 1806年朗 克雷(法, 1774-1807)关于挠率, 1826年柯西发展了这 理论, 1851年和1852年获得了赛雷特(法, 18191885)-弗朗内(法, 1816-1900)公式
在“论赌博中的机会”中提出数 学期望
概率论
帕斯卡(法, 1962)
惠更斯(荷兰, 1929)
概率论
• 雅格布•伯努利: 1713年出版《猜度 术》, 伯努利大数定 律
棣莫弗(法, 16671754) : 1738年出 版《机会的学说》, 发现二项分布的极 限形式为正态分布
概率论
伯努利的大数定律(瑞士, 1994)
拉格朗日(法国, 1958)
偏微分方程
• 弦振动方程：1715 年和1727年泰勒(英, 1685-1731)和约翰 •伯努利(瑞, 16671748)分别提出， 1749年达朗贝尔(法, 1717-1783)求出解
达朗贝尔(法国, 1959)
偏微分方程
• 位势方程(拉普拉斯方程)： 1752年欧拉(瑞, 1707-1783) 提出，拉普拉斯用球调和 函数求解，1828年格林(英, 1793-1841)提出求解方法
常微分方程
包含一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导数的 等式 形成和发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学 技术的发展互相促进和互相推动的
• 17世纪：初等解法 • 18世纪：初等解法和无穷 级数方法 • 19世纪：解的存在性、奇 点理论、定性理论、稳定 性理论
常微分方程
莱布尼茨(德, 1646-1716) (圣文森特, 1991)
变分法
• 诞生
• 1728年欧拉(瑞, 1707-1783)解 决了测地线问题，1736年提出 欧拉方程，1744年发表《寻求 具有某种极大或极小性质的曲 线的方法》
欧拉(瑞士, 1957)
变分法
• 发展
• 1759年拉格朗日(法, 1736-1813)引入变分，1837年雅可比 (德, 1804-1851)发现了变分的充分条件，1879年魏尔斯特 拉斯(德, 1815-1897)得出强变分的充分条件
偏微分方程
包含未知函数以及偏导数的等式 偏微分方程理论研究一个方程(组)是 否有满足某些补充条件的解, 有多少个 解, 解的各种性质与求解方法, 及其应用
• 一阶偏微分方程：1772年拉格朗 日(法, 1736-1813)和1819年柯西 (法, 1789-1857 )发现将其转化为 一阶常微分方程组
第六讲
§2.4 微分方程、变分 法的产生和发展 §2.5 变量思想应用及 其开拓的若干分支
分析及相关数学分支的大发展
常微分方程 偏微分方程 变分法 微分几何 概率论 复变函数论
常微分方程
1690年雅格布•伯努利(瑞, 1654-1705)提 出悬链线问题
莱布尼茨、惠更斯、约翰•伯努利给出问题的解
棣莫弗(法, 1667-1754)
概率论
布丰(法, 1949)
孔多塞(法, 1989)
概率论
• 拉普拉斯(法, 1749-1827): 1774年正式提出概率的严格 定义, 1812年出版《分析概 率论》, 严格证明了棣莫弗拉普拉斯积分极限定理(中 心极限定理), 研究了统计问 题 切比雪夫(俄, 18211894) : 1882年提出随机 变量概念, 建立了切比雪夫 不等式, 1887年得到大数 定理
复变函数论
黎曼猜想(1859)
复变函数论
黎曼猜想(1859)
复变函数论
黎曼猜想(1859)
复变函数论
• 魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897) : 19 世纪40年代建立了幂级数基础上的 解析函数理论, 解析开拓方法, 因式 分解定理
复变函数论
• 保形映射
• 保形映射定理[1825年高斯(德, 1777-1855), 1869年施瓦兹 (德, 1843-1921)], 1897年皮卡(法, 1856-1941)定理, 1877 年米塔格•莱夫勒(瑞典, 1846-1927)定理
概率论
பைடு நூலகம்
拉普拉斯(法, 1955)
切比雪夫(俄, 1946)
复变函数论
• 1752年和1777年获得了达朗 贝尔(法, 1717-1783)-欧拉条 件( 柯西-黎曼条件), 17821812年拉普拉斯(法, 17491827)研究了复函数的积分, 1797年威塞尔(挪, 17451818)、1806年阿甘德(瑞, 1768-1822)、1811年高斯(德, 1777-1855)讨论了复数几何 表示, 1815年泊松(法, 17811840)讨论了复函数的积分
1896达布(法, 1842-1917)完成《曲面的一般理论》
微分几何－－曲面论
拿破仑(法, 1769-1821) 1972
蒙日(法, 1746-1818) 1990
微分几何－－曲面论
杜邦(法, 1784-1873)
高斯(德, 1777-1855)
微分几何－－曲线论
比安基(意, 1856-1928)
惠更斯(荷, 1629-1695)
洛比塔(法, 1661-1704)
微分几何－－曲线论
克莱罗(法, 1713-1765)
柯西(法, 1789-1857 )
赛雷特(法, 1819-1885)
微分几何－－曲面论
始于1697年约翰•伯努利提出的测地线问题，1760年欧拉《关
微分几何－－曲面论
博内(法, 1819-1892)
黎曼(德, 1826-1866)
达布(法, 1842-1917)
概率论
研究随机现象数量规律的数学分支
• 来源
• 赌博问题－－1654年帕斯卡(法,
1623-1662)与费尔马(法, 1601-1665) 通信讨论“点问题”
1657年惠更斯(荷, 1629-1695)
于曲面上曲线的研究》建立了曲面理论
1771年欧拉关于可展曲面，1771和1775年蒙日(法, 1746-1818)
关于可展曲面与直纹面，1813年杜邦(法, 1784-1873)指标线
1828年高斯(德, 1777-1855)发表《关于曲面的一般研究》，引
入第一、第二基本齐式，全曲率公式；1856年和1868年获得了 迈因纳尔迪(1800-1879)-科达齐(意, 1824-1873)方程; 1867年博 内(法, 1819-1892)证明了曲面基本定理
复变函数论
• 保形映射
复变函数论
• 保形映射
欧拉(瑞, 1707-1783) (俄, 1957)
常微分方程
柯西(法, 1789-1851)
常微分方程
李普希茨(德, 1832-1903)
布凯(法, 1819-1885)
常微分方程
庞加莱(法, 1854-1912) (法, 1952)
李雅普诺夫(俄, 1857-1918) (俄, 1957)
复变函数论
• 柯西(法, 1789-1857 ): 建立复变函数的微分和 积分理论－－1814年, 1825年的论文详细讨论 了复函数的积分, 1826 年提出留数概念, 1831 年获得柯西积分公式, 1846年发现积分与路径 无关定理
复变函数论
柯西(法, 1989 )
复变函数论
• 黎曼(德, 1826-1866) : 1851年博士论文引入多 值解析函数及黎曼曲面, 黎曼映射定理, 1859年 提出黎曼猜想
瑞士法郎上的欧拉
偏微分方程
• 热传导方程： 1807年傅里叶(法, 1768-1830)提出， 1822年傅里叶获 得求解的傅里叶 级数方法
偏微分方程
• 波动方程：1818年 泊松(法, 17811840)获得初值问 题的解, 1859年黎 曼(德, 1826-1866)、 1882年基尔霍夫 (德, 1824-1887)进 一步发展
变分法
• 等时曲线
微分几何－－曲线论
• 术语1894年比安基(意, 1856-1928)第一次使用 • 平面曲线理论17世纪基本完成: 1673年惠更斯(荷, 1629-1695)关于渐伸线、渐屈线，1671年和1686年 牛顿和莱布尼茨关于曲率与曲率半径，1691年和 1692年约翰•伯努利关于包络等，1696年洛比塔(法, 1661-1704)的《无穷小分析》完成并传播了平面曲线 理论 • 空间曲线理论: 1729年克莱罗(法, 1713-1765)关于曲 线弧长、曲率, 1774年欧拉关于曲率半径, 1806年朗 克雷(法, 1774-1807)关于挠率, 1826年柯西发展了这 理论, 1851年和1852年获得了赛雷特(法, 18191885)-弗朗内(法, 1816-1900)公式
在“论赌博中的机会”中提出数 学期望
概率论
帕斯卡(法, 1962)
惠更斯(荷兰, 1929)
概率论
• 雅格布•伯努利: 1713年出版《猜度 术》, 伯努利大数定 律
棣莫弗(法, 16671754) : 1738年出 版《机会的学说》, 发现二项分布的极 限形式为正态分布
概率论
伯努利的大数定律(瑞士, 1994)
拉格朗日(法国, 1958)
偏微分方程
• 弦振动方程：1715 年和1727年泰勒(英, 1685-1731)和约翰 •伯努利(瑞, 16671748)分别提出， 1749年达朗贝尔(法, 1717-1783)求出解
达朗贝尔(法国, 1959)
偏微分方程
• 位势方程(拉普拉斯方程)： 1752年欧拉(瑞, 1707-1783) 提出，拉普拉斯用球调和 函数求解，1828年格林(英, 1793-1841)提出求解方法
常微分方程
包含一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导数的 等式 形成和发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学 技术的发展互相促进和互相推动的
• 17世纪：初等解法 • 18世纪：初等解法和无穷 级数方法 • 19世纪：解的存在性、奇 点理论、定性理论、稳定 性理论
常微分方程
莱布尼茨(德, 1646-1716) (圣文森特, 1991)
变分法
• 诞生
• 1728年欧拉(瑞, 1707-1783)解 决了测地线问题，1736年提出 欧拉方程，1744年发表《寻求 具有某种极大或极小性质的曲 线的方法》
欧拉(瑞士, 1957)
变分法
• 发展
• 1759年拉格朗日(法, 1736-1813)引入变分，1837年雅可比 (德, 1804-1851)发现了变分的充分条件，1879年魏尔斯特 拉斯(德, 1815-1897)得出强变分的充分条件
偏微分方程
包含未知函数以及偏导数的等式 偏微分方程理论研究一个方程(组)是 否有满足某些补充条件的解, 有多少个 解, 解的各种性质与求解方法, 及其应用
• 一阶偏微分方程：1772年拉格朗 日(法, 1736-1813)和1819年柯西 (法, 1789-1857 )发现将其转化为 一阶常微分方程组
第六讲
§2.4 微分方程、变分 法的产生和发展 §2.5 变量思想应用及 其开拓的若干分支
分析及相关数学分支的大发展
常微分方程 偏微分方程 变分法 微分几何 概率论 复变函数论
常微分方程
1690年雅格布•伯努利(瑞, 1654-1705)提 出悬链线问题
莱布尼茨、惠更斯、约翰•伯努利给出问题的解
棣莫弗(法, 1667-1754)
概率论
布丰(法, 1949)
孔多塞(法, 1989)
概率论
• 拉普拉斯(法, 1749-1827): 1774年正式提出概率的严格 定义, 1812年出版《分析概 率论》, 严格证明了棣莫弗拉普拉斯积分极限定理(中 心极限定理), 研究了统计问 题 切比雪夫(俄, 18211894) : 1882年提出随机 变量概念, 建立了切比雪夫 不等式, 1887年得到大数 定理
复变函数论
黎曼猜想(1859)
复变函数论
黎曼猜想(1859)
复变函数论
黎曼猜想(1859)
复变函数论
• 魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897) : 19 世纪40年代建立了幂级数基础上的 解析函数理论, 解析开拓方法, 因式 分解定理
复变函数论
• 保形映射
• 保形映射定理[1825年高斯(德, 1777-1855), 1869年施瓦兹 (德, 1843-1921)], 1897年皮卡(法, 1856-1941)定理, 1877 年米塔格•莱夫勒(瑞典, 1846-1927)定理
概率论
பைடு நூலகம்
拉普拉斯(法, 1955)
切比雪夫(俄, 1946)
复变函数论
• 1752年和1777年获得了达朗 贝尔(法, 1717-1783)-欧拉条 件( 柯西-黎曼条件), 17821812年拉普拉斯(法, 17491827)研究了复函数的积分, 1797年威塞尔(挪, 17451818)、1806年阿甘德(瑞, 1768-1822)、1811年高斯(德, 1777-1855)讨论了复数几何 表示, 1815年泊松(法, 17811840)讨论了复函数的积分