高一数学必修5：简单的线性规划问题
(精校版讲义)高中数学必修五 第14讲 简单的线性规划问题(可直接打印)
第十四讲：简单的线性规划问题【学习目标】1. 了解线性规划的意义，了解线性规划的基本概念；2. 掌握线性规划问题的图解法.3. 能用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，提高学生解决实际问题的能力. 【要点梳理】要点一：线性规划的有关概念： 线性约束条件：如果两个变量x 、y 满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．线性目标函数：关于x 、y 的一次式(,)z f x y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．可行解、可行域和最优解： 在线性规划问题中，①满足线性约束条件的解(,)x y 叫可行解； ②由所有可行解组成的集合叫做可行域；③使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.要点诠释：线性规划问题，就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题.要点二:线性规划的应用1.线性规划也是求值的一种,是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题,其关键是列出所有的限制条件,不能有遗漏的部分,如有时变量要求为正实数或自然数,其次是准确找到目标函数,如果数量关系多而杂,可以用列表等方法把关系理清.2.线性规划的理论和方法经常被用于两类问题中:一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用其完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的人力、物力、资金等资源来完成这项任务.3.在生产和生活中，常用于下料问题；优化安排活动问题；优化运营问题等.要点诠释：在生产和生活中，常用于下料问题；优化安排活动问题；优化运营问题等. 要点三:确定线性规划中的最优解对于只有两个变量的线性规划(即简单的线性规划)问题，可以用图解法求解．其基本的解决步骤是：① 设变量，建立线性约束条件及线性目标函数； ② 画出可行域；③ 求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)； ④作答． 要点诠释：确定最优解的思维过程：线性目标函数z Ax By C =++（A,B 不全为0）中，当0B ≠时，A z Cy x B B-=-+，这样线性目标函数可看成斜率为AB-，且随z 变化的一组平行线，则把求z 的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点，直线在y 轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线Ay x B=-，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意，当B>0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而增大；当B<0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来判断.对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解，最优解一般在可行域的定点处取得，若要求最优整解，则必须满足x ，y 均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出最优整解.上述求整点最优解的方法可归纳为三步：找整点---验证--- 选最优解 【典型例题】类型一：求目标函数的最大值和最小值.例1. 已知关于x 、y 的二元一次不等式组24120x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩(1)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值； (2)求函数z ＝x ＋2y ＋2的最大值和最小值．【解析】(1)作出二元一次不等式组24120x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域，如图所示．由u＝3x－y，得y＝3x－u，得到斜率为3，在y轴上的截距为－u，随u变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距－u最大，即u最小，解方程组2420x yx+=⎧⎨+=⎩得C(－2,3)，∴u min＝3×(－2)－3＝－9.当直线经过可行域上的B点时，截距－u最小，即u最大，解方程组241x yx y+=⎧⎨-=⎩得B(2,1)，∴u max＝3×2－1＝5.∴u＝3x－y的最大值是5，最小值是－9.(2)作出二元一次不等式组24120x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域，如图所示．由z＝x＋2y＋2，得111 22y x z=-+-，得到斜率为12-，在y轴上的截距为112z-，随z变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距112z-最小，即z最小，解方程组120x yx-=⎧⎨+=⎩得A(－2，－3)，∴z min＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.当直线与直线x ＋2y ＝4重合时，截距112z -最大，即z 最大， ∴z max ＝4＋2＝6.∴z ＝x ＋2y ＋2的最大值是6，最小值是－6. 【点评】1.本题的切入点是赋予“z ”恰当的几何意义：纵截距或横截距；2.线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；3.线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个，此时目标函数的图象一定与区域中的一条边界直线平行．举一反三：【变式1】设变量x 、y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数z ＝2x ＋3y 的 最小值为A ．6B ．7C ．8D ．23 【答案】B 【解析】约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域如图易知过C (2,1)时，目标函数z ＝2x ＋3y 取得最小值． ∴z min ＝2×2＋3×1＝7.【变式2】求35z x y =+的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≥⎩. 【答案】不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线35z x y =+在经过不等式组所表示的公共区域内的点时， 以经过点(2,1)B --的直线所对应的z 最小， 以经过点35(,)22A 的直线所对应的z 最大. 所以min3(2)5(1)11z =⨯-+⨯-=-，max 35351722z =⨯+⨯=.【变式3】已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组02,2,2x y x y⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则z OM OA =⋅u u u u r u u u r的最大值为( )．A ．3B ．4C ．32D ．42 【答案】B【解析】画出区域D ，如图中阴影部分所示，而z ＝2z OM OA x y =⋅=+u u u u r u u u r，∴y ＝－2x ＋z ，令l 0：y ＝－2x ，将l 0平移到过点(2，2)时，截距 z 有最大值，故z max ＝2×2＋2＝4.类型二：已知目标函数的最值求参数.例2. 已知点P (x ，y )满足条件,20y x x y k ⎪≤⎨⎪++≤⎩(k 为常数)，若x ＋3y 的最大值为8，求k的值.【解析】作出可行域如图所示，作直线l 0：x ＋3y ＝0，平移l 0知当l 0过点A 时，x ＋3y 最大，由于A 点坐标为(,)33k k --. ∴83kk --=，从而k ＝－6. 【点评】这是线性规划的逆向思维问题，解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解.同时注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系.举一反三：【变式1】若,x y 满足约束条件1,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩目标函数2z ax y =+仅在点（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围（ ）A.(-1,2)B.(-4,2) C(-4,0) D.(-2,4) 【答案】B【解析】可行域为△ABC ，如图当a ＝0时，显然成立．当a ＞0时，直线ax ＋2y －z ＝0的斜率12AC ak k =->=-，a ＜2.当a ＜0时，22AB ak k =-<=，∴a ＞－4. 综合得－4＜a ＜2.【变式2】已知实数,x y 满足21,,y x x y m ⎪≤-⎨⎪+≤⎩如果目标函数z x y =-的最小值为-1，则实数m 等于A.7B.5C.4D.3 【答案】B例 3.已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ）A.（-3,6）B.（0,6）C.（0,3）D.（-3,3）【答案】C【解析】 |2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩ 由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3，【点评】此例中充分利用了不等式的几何意义，通过转化为图形语言进而转化为等价的不等式条件解得. 举一反三：【变式】已知变量x ，y 满足条件230,330,10.x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是( )．A.1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B.1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭D. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】画出x 、y 满足条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线 x ＋2y －3＝0的斜率，即12a -<-，∴12a >.类型三：求非线性目标函数的最值例4. 设实数y x 、满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≥+0405--202-y x y x y x ，则42-+=y x z 的最大值为 .【解析】作出可行域（如图）即ABC ∆所围区域(包括边界)，其顶点)3,1(A 、)9,7(B 、)1,3(C【方法一】∵可行域内的点都在直线042=-+y x 上方，∴042>-+y x则目标函数等价于42-+=y x z易得当直线42-+=y x z 在点)9,7(B 处，目标函数取得最大值 为21max =z .【方法二】554242⋅-+=-+=y x y x z令),(y x P 为可行域内一动点、定直线042=-+y x ，则||5PH z =，其中||PH 为),(y x P 到直线042=-+y x 的距离由图可知5215|4927|||||max =-⨯+==BH PH∴21max =z .【点评】求目标函数的最值，必须先准确地作出线性约束条件表示的可行域，再根据目标函数的几何意义确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值．举一反三：【变式】已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+102-01-x y x y x ，则y x y x z ++=22的取值范围为 .【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡57,1【解析】作出可行域（如图）即ABC ∆所围区域(包括边界)，其顶点)1,1(A 、)23,21(B 、)2,1(C∵00>>y x ，，∴xy yx yx z +-=++=23222，令xyk =，),(y x P 为可行域内一动点、 则kz +-=232，OP k k =∵OB OP OA k k k ≤≤，∴31≤≤k ，∴571≤≤z ，即y x y x z ++=22的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡57,1.类型四：实际问题中的线性规划.例5. 某企业生产A 、B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表：产品品种劳动力（个）煤（吨）电（千瓦）A 产品 3 9 4B 产品1045已知生产每吨A 产品的利润是7万元，生产每吨B 产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业生产A 、B 两种产品各多少吨，才能获得最大利润？【解析】设生产A 、B 两种产品各x 、y 吨，利润为z 万元则31030094360452000,0x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨+≤⎪≥≥⎩，目标函数712z x y =+作出可行域，如图所示，作出在一组平行直线7x+12y=t （t 为参数）中经过可行域内的点和原点距离最远的直线， 此直线经过点M （20，24）故z 的最优解为（20，24），z 的最大值为7×20+12×24=428（万元）.【点评】简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解 举一反三：【变式1】某人上午7时乘摩托艇以匀速v km/h(4≤v ≤20)从A 港出发到距50 km 的B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h(30≤w ≤100)自B 港向距300 km 的C 市驶去．应该在同一天下午4至9点到达C 市．设乘摩托艇、汽车去所需要的时间分别是x h 、y h ．若所需的经费p＝100＋3(5－y)＋2(8－x)元，那么v、w分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费．【答案】依题意50420300301009140,0xyx yx y⎧≤≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪≤+≤⎪⎪>>⎩，考查z＝2x＋3y的最大值，作出可行域，平移直线2x＋3y＝0，当直线经过点(4,10)时，z取得最大值38.故当v＝12.5、w＝30时所需要经费最少，此时所花的经费为93元．【变式2】某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？【答案】设搭载产品A x件，产品B y件，预计总收益z＝80x＋60y.则2030300105110,x yx yx y+≤⎧⎪+≤⎨⎪∈∈⎩N N，作出可行域，如图．作出直线l 0：4x ＋3y ＝0并平移，由图象得，当直线经过M 点时z 能取得最大值，2330222x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得94x y =⎧⎨=⎩，即M (9,4)．所以z max ＝80×9＋60×4＝960(万元)．答：搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，为960万元． 【巩固练习】 一、选择题1．若变量x ，y 满足约束条件1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则z ＝x －2y 的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．12．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，上的一个动点，则OA OM ⋅u u u r u u u u r的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2]3. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+a y(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ）A ．-3 B.3 C ．-1D.14.在ABC V 中，三个顶点(2,4),(1,2)(1,0)A B C -，点(,)P x y 在ABC V 内部及边界上运动，则z x y =-的最大值是（ ）A.1B.-3C.-1D.3 5.如图，目标函数z ax y =-的可行域为四边形OACB （含边界），若24(,)35C 是该目标函数z ax y =-的最优解，则a 的取值范围是（ ）A.105(,)312-- B .123(,)510-- C.312(,)105D. 123(,)510-6. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润1万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在某个生产周期内甲产品至少生产1吨，乙产品至少生产2吨，消耗A 原料不超过13吨，消耗B 原料不超过18吨，那么该企业在这个生产周期内获得最大利润时甲产品的产量应是( )A ．1吨B ．2吨C ．3吨 D.113吨 二、填空题7. 已知实数对(x ，y )满足210x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，则2x ＋y 取最小值时的最优解是__________．8.已知x ，y 满足约束条件04,03,28,x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩则25z x y =+的最大值为 .9. 在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 .10.线性目标函数z x y =+，在线性约束条件30,20,.x y x y y a +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a 的取值范围11. 若实数x ，y 满足不等式组2240x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩，则2x ＋3y 的最小值是________．12. 设x ，y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为________．三、解答题13. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.求该企业可获得最大利润.14．某运输公司有7辆载重量为6 t 的A 型卡车与4辆载重量为10 t 的B 型卡车，9名驾驶员，在建筑某段高速公路中，此公司承担了每天至少搬运360 t 沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车8次，B 型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A 型卡车160元，B 型卡车252元，每天派出A 型车与B 型车各多少辆，才能使公司所花的成本费最低？15．已知x 、y 满足条件：7523071104100x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，①求43x y -的最大值和最小值； ②求22x y +的最大值和最小值. 【答案与解析】 1．【答案】B【解析】线性约束条件对应的平面区域如图所示，由z ＝x －2y 得22x z y =-，当直线22x zy =-在y 轴上的截距最小时，z 取得最大值，由图知，当直线通过点A 时，在y 轴上的截距最小，由020x y x y +=⎧⎨--=⎩解得A (1，－1)．所以z max ＝1－2×(－1)＝3.2. 【答案】C【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图1－2)，又OA OM x y ⋅=-+u u u r u u u u r，取目标函数z ＝－x ＋y ，即y ＝x ＋z ，作斜率为1的一组平行线，图1－2当它经过点C (1,1)时，z 有最小值，即z min ＝－1＋1＝0； 当它经过点B (0,2)时，z 有最大值，即z max ＝－0＋2＝2.∴ z 的取值范围是[0,2]，即OA OM ⋅u u u r u u u u r的取值范围是[0,2]，故选C.3.【答案】D【解析】如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D4．【答案】A【解析】解决本题的关键是应明确ABC V 的区域即为可行域，z x y =-为目标函数；5．【答案】B【解析】∵C 点是目标函数的最优解，∴AC BC k a k <<，解得123510a -<<-6.【答案】A【解析】设该企业在这个生产周期内生产x 吨甲产品，生产y 吨乙产品，x 、y 满足的条件为313231812x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩所获得的利润z ＝x ＋3y ，作出如图所示的可行域：作直线l 0：x ＋3y ＝0，平移直线l 0，显然，当直线经过点16(1,)3A 时所获利润最大，此时甲产品的产量为1吨7. 【答案】(1,1)【解析】约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z ＝2x ＋y ，y ＝－2x ＋z ，作直线l0：y＝－2x，作与l0平行的直线l，则直线经过点(1,1)时，(2x＋y)min＝3.8.【答案】19【解析】易作出04,03,28,xyx y≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩对应的可行域，当当直线255zy x=-+经过（2，3）时，z取得最大值max 19z=9. 【答案】2200【解析】设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件20101000408x yxy+≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，求线性目标函数z＝400x＋300y的最小值．解得当42xy=⎧⎨=⎩时，z min＝2 200.10.【答案】(],2-∞；【解析】解决此类问题，首先画出可行域，依据目标函数的几何意义和可行域的几何形状，即可确定满足的条件.11.【答案】4【解析】 方法一：不等式组2240x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩，所表示的平面区域为三角形区域，令z ＝2x ＋3y ，则将其视为一组平行线，3z为直线在y 轴上的截距． 于是根据线性目标函数的几何意义，当直线z ＝2x ＋3y 经过直线x ＋y ＝2与直线2x －y ＝4的交点(2,0)时，3z最小，即z 最小，此时z ＝4.故填4.12. 【解析】约束条件表示的平面区域为如图所示的阴影部分．当直线z ＝abx ＋y (a >0，b >0)过直线2x －y ＋2＝0与直线8x －y －4＝0的交点(1,4)时，目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)取得最大值8，即8＝ab ＋4，ab ＝4，∴4a b +≥=.13．【解析】 设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，则有关系：则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+>>183213300y x y x y x ，目标函数y x z 35+=作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：当x ＝3，y ＝4时可获得最大利润为27万元.14．【解析】设派出A 型车x 辆，B 型车y 辆，所花成本费为z=160x+252y ，且x 、y 满足给条件如：9681063600704x y x y x x N y y N +≤⎧⎪⋅+⋅≥⎨≤≤∈⎪≤≤∈⎩且且，即945300704x y x y x x N y y N+≤⎧⎪+≥⎨≤≤∈⎪≤≤∈⎩且且如图所示，作出不等式表示的区域，作直线:1602520l x y +=，即4063y x =-， 作直线l 的平行线'l ：4063y x b =-+ 当直线'l 经过可行域内A 点时，'l 纵截距最小，可得A 点坐标为2(7,)5.∵z=160x+252y ，∴4063252z y x =-+，式中252z代表该直线的纵截距b ， 而直线'l 的纵截距b 取最小值时，z 也取得最小值，即'l 过2(7,)5A 时，min 216025216072521220.85z x y =+=⨯+⨯=，但此时25y N =∉，∴z=1220.8到不到，即它不是可行解，调整x 、y 的值，（3，4）（0，6）O（313，0） yx 913当x=5，y=2时，点'(5,2)A 在直线4x+5y=30上，且在可行域内符合x 、y 要求. ∴派5辆A 型车，2辆B 型车时，成本费用最低， 即z min =160×5+2×252=1304（元）15．【解析】①7523071104100x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，表示的共公区域如图所示：其中A （4，1），B （-1，-6），C （-3，2）设z=43x y -，以直线l ：430x y -=为基础进行平移， 当l 过C 点时，z 值最小，当l 过B 点时，z 值最大. max min 14,18z z ∴==-②设22u x y =+u x,y ）到原点的距离，结合不等式组所表示的区域，不难知道：点B 到原点距离最大，而当（x,y ）在原点时，距离为0.()()22max min 1637,0u u ∴=-+-==故43x y -的最大值为14，最小值为-18， 22x y +的最大值为37，最小值为0.。
高中数学_线性规划知识复习
高中必修5线性规划最快的方法简单的线性规划问题一、知识梳理1. 目标函数: Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验．3. 平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：一． 1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B<0时，Ax0+By0+C<03. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+By0+C<0;当B<0时，Ax0+By0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, （2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）(Ax2+By2+C)>02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)<0二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界;②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
高中数学必修5：简单的线性规划问题 知识点及经典例题(含答案)
简单的线性规划问题【知识概述】线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题.解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题；2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节（1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）；（2）求目标函数的最值.（3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型：①0b>时，截距最大（小），z的值最大（小）；②0b>时，截距最大（小），z的值最小（大）；【学前诊断】1.[难度] 易满足线性约束条件23,23,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y=+的最大值是（）A.1B.32C.2D.32.[难度] 易设变量,x y满足约束条件0,0,220,xx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y=-的最大值为( )A.0B.2C.4D.63. [难度] 中设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞【经典例题】例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为( )A.5B.4C.1D.8例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A.4B.3C.2D.1例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小值为8，则a b +的最小值为____________.例4. 在约束条件下0,0,,24,x y x y s x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )A.[]6,15B.[]7,15 C.[]6,8 D.[]7,8例5. 设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所表示平面区域是1,Ω平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称，对于1Ω中任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，AB 的最小值等于（ ）A.285B.4C.125D.2例6．对于实数,x y ，若11,21,x y -≤-≤则21x y -+的最大值为_________.例7．在约束条件22240x y x y +++≤下，函数32z x y =+的最大值是___________.例8. 已知函数2()2(,)f x x ax b a b =++∈R ，且函数()y f x =在区间()0,1与()1,2内各有一个零点，则22(3)z a b =++的取值范围是（ ）.A.2⎫⎪⎪⎝⎭B.1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2D.()1,4 例9. 奇函数()f x 在R 上是减函数，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，t s的取值范围是（ ）. A.1,14⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例10. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克 A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【本课总结】线性规划是不等式和直线与方程的综合应用，是数形结合的和谐载体，也是高考中的重要考点，近几年的高考题中考查的频率较高，一般以考查基本知识和方法为主，属于基础类题，难度一般不高.1. 解决线性规划问题有一定的程序性：第一步：确定由二元一次不等式表示的平面区域；第二步：令z=0画直线0:0l ax by +=；第三步：平移直线0l 寻找使直线a z y x b b=-+截距取最值（最大或最小）的位置（最优解）.第四步：将最优解坐标代入线性目标函数z ax by =+求出最值2. 解决线性规划问题要特别关注线性目标函数z ax by =+中b 的符号，若b ＞0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最大（小）值，若b <0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最小（大）值， b <0的情况是很多同学容易出现的盲点.3. 线性规划问题要重视数形结合思想的运用，善于将代数问题和几何问题相互转化，由线性规划问题引申的其它数形结合题目也要灵活掌握，如：将平面区域条件引申为：22240x y x y +++≤表示圆面等，将目标函数引申为：2224z x y x y =+++表示动点到定点的距离的最值问题；21y z x +=-表示动点与定点连线的斜率的最值问题等. 4. 线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则一般在区域顶点处取得最大或最小值5. 线性规划中易错点提示（1）忽视平面区域是否包括边界.一般最优解都处于平面区域的边界顶点处，若平面区域不包含边界，则可能不存在最值.（2）忽视对线性目标函数z ax by =+中b 的符号的区分.（3）代数问题向其几何意义的转化困难.【活学活用】1. [难度] 中若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ） A.4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(]0,1 C.41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2. [难度] 中 设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） A ．4B ．11C ．12D ．143. [难度] 中 已知变量x 、y 满足约束条件 20,1,70,x y y x x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则的取值范围是（ ） A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．9,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∪[)6,+∞ C ．(],3-∞∪[)6,+∞ D ．[3，6]。
高中数学必修5线性规划课件
线性规划在实际中的应用
——生活中的最优化问题
解应用题的步骤：
1、设 2、列：列线性约束条件（即x、y满足的不等式组）
目标函数（要求最值的式子） 3、画：画可行域、需要平移的目标直线，找出最优的 （画两条：一条是过原点的，一条是平移的最终位置,都用虚线） 4、解：联立方程，求交点（最优点）的坐标 5、求：将交点坐标代入式子，算出最值 6、答
33
令z=0,作过原点的直线2x+3y=0， 对直线进行平移，可知直线经过M点时截距最大，z最大
由 x x 2 4 y 80 得 x y 4 2 ,故 M （ 4 ， 2 ）
故zmax=2×4+3×2 =14（万元） 答：生产4件甲产品和2件乙产品时，获利最大， 最大利润为14万元
实战演练 （选自2010年广东高考文数）
解：设工产 厂x件 品 每， 天y 乙 生 件产 产 ，品 甲 每z万 天元 利， 润 则
4 x 16
4 x
y
2
12 y
8
即
x 4
y 3
x
2y
8
x
N
x
N
y N
y N
目标函数为：z=2x+3y
作出可行域为：
因为z=2x+3y,故y= 2 x z 故直线的截距最大时z最大
作业：
1、
x y 若实数x、y满足 x
4 y2
y 3
（1）求 y 的取值范围 x
（2）求z 2x y的最大值和最小值
2、学案P22页例1的第（3）问
可行域为： 答：为该儿童分别预订4个单位的午餐，3个单位的晚餐，此花的费用最少为22元.
作业： 1、课本P91第2题 2、学案P22页例1的第（3）问 3、预习：课本P89-P90 例6
【高中数学必修5】3.3.2简单的线性规划问题3
设 需要第一种钢板ｘ张，第二种ｙ张
列 列出约束条件所
2x y 15
对应的不等式组 目标函数为：ｚ＝ｘ＋ｙ
xx
Hale Waihona Puke 2y 3y18 27
画 画出可行域
x 0 y 0
B(3,9) C(4,8)
M
2x y 15
xx
2y 3y
18 27
x 0
y 0
x+3y=27
2x+y=15
x+2y=18
例7.在上一节例4中，若生产1车皮甲种肥料， 产生的利润为10 000元；生产1车皮乙种肥料 ，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、 乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利 润？
设 设生产甲种肥料ｘ车皮，乙种ｙ车皮
列 列出约束条件所
4x y 10
对应的不等式组
18x 15y 66
目标函数为：ｚ＝ｘ＋0.5ｙ x 0
3.3.2简单的线性规划 (三)
复习：解线性规划应用问题的步骤
1.设——分析条件，设未知数x,y 2.列——列出约束条件、目标函数 3.画——规范、精确地画出可行域 4.移——平移直线，注意斜率和移动方 向
5.求——解出最优解对应的点的坐标， 求出Z的最值 6.答——应用题要作答
例６.在上一节例3中，各截这两张钢板多少张 可得所需A、B、C三种规格成品，且使所用 钢板张数最少？
1
O1
x
x+y=1
还有别的方法解这类问题吗？ 2x+4y=0
画 画出可行域
y 0
4x y 10 18x 15y 66 x 0 y 0
解方程组求M点 的坐标
18x 15y 66 4x y 10
人教A版高中数学必修五课件第一课时简单的线性规划问题.ppt
跟踪训练2-1:(2012年高考江西卷)某农户计划种植黄 瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万 元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如表
黄瓜 韭菜
年产量/亩
4吨 6吨
年种植成本/ 亩
1.2万元 0.9万元
每吨售价
0.55万元 0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最 大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为( ) (A)50,0 (B)30,20 (C)20,30 (D)0,50
跟踪训练 1-1:(2012 年高考山东卷)设变量 x,y 满足约束条件
x 2 y 2, 2x y 4, 则目标函数 z=3x-y 的取值范围是( ) 4x y 1,
(A)[- 3 ,6] 2
(C)[-1,6]
(B)[- 3 ,-1] 2
(D)[-6, 3 ] 2
解析:画出
x 2 y 2, 2x y 4, 表示的可行域如图所示阴影部分, 4x y 1,
解析:设种植黄瓜 x 亩,韭菜 y 亩,则由题意可知,
x y 50,
1.2x 0.9 y 54, 求目标函数 z=x+0.9y 的最大值.
x,
y
N*
,
根据题意画出可行域如图阴影所示. 当目标函数线l向右平移,移至点 A(30,20)处时,目标函数取得最大 值,即当黄瓜种植30亩,韭菜种植20 亩时,种植总利润最大.故选B.
x y 1 0,
x
x
y 0,
2
0,
则
z
的取值范围是
.
y 0,
解析:根据不等式组画出可行域为如图所示的阴影部分,
则 z=x+2y 过点(0,0),( 1 , 3 )时取得最小值和最大值, 22
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(2)v＝x－y 5表示可行域内的点 P(x，y)到定点 D(5,0)的斜率， 由图可知，kBD 最大，kCD 最小，
又 C(3,8)，B(3，－3)， 所以 v 最大值＝3－－35＝32， v 最小值＝3－8 5＝－4.
[类题通法] 非线性目标函数最值问题的求解方法
②
y x
表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；
y－b x－a
表示点(x，y)与
点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得 以转化，往往是解决问题的关键．
[对点训练] 2．已知变量x，y满足约束条件
xx－ ≥y1＋，2≤0，
x＋y－7≤0.
则
y x
的最
大值是________，最小值是________．
[对点训练] x－4y≤－3，
1．设 z＝2x＋y，变量 x、y 满足条件3x＋5y≤25， x≥1，
求 z 的最大值和最小值．
[解] 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把 z ＝2x＋y 变形为 y＝－2x＋z，则得到斜率为－2，在 y 轴上的截距为 z， 且随 z 变化的一组
平行直线．由图可以看出，当 直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 A 时，截距 z 最大，经过点 B 时，截距 z 最小． 解方程组x3－x＋4y5＋y－3＝250＝，0， 得 A 点坐标为(5,2)， 解方程组xx＝ －14，y＋3＝0， 得 B 点坐标为(1,1)， ∴z 最大值＝2×5＋2＝12，z 最小值＝2×1＋1＝3.
[解析] 由约束条件作出可行域(如图所示)，目标函数z＝
y x
表示坐标(x，y)与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，点C与O
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x-4y≤-3
满足下列条件 3x+5y≤25 ，
B
x≥1
o
x-4y=-3
Ａ
3x+5y=25
x
求ｚ的最大值和最小值。
x=1
解决方案二
问题：
不化为斜截式能求 最值吗？
设z=2x+y，式中变量满足
下列条件：
y
x=1
3xx45yy235 x 1
求z的最大值与最小值。
C 3x+5y-25=0
B
A x-4y+3=0
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2.(2004高考全国卷4理科数学试题（必修+选修Ⅱ
甘肃青海宁夏贵州新疆等地区）第16题)
解下列线性规划问题：求z=2x+y的最大值， 使式中x、y满足下列条件：
x y 1,
y
x,
y 0,
答案:当x=1，y=0时，z=2x+y有最大值2。
C
B
o
x=1
析: 作直线l0 ：y=-2ｘ, 则直线 l：
y=- 2ｘ+z是一簇与 l0平行的直线,故直线 l 可通过平移直线l0而得，当直线往右上方平
移时z 逐渐增大：
x-4y=-3
Ａ
3x+5y=25
当l 过点 B(1,1)时,z 最小,即zmin=3 当l 过点A(5,2)时，ｚ最大,即
x
zmax＝2×5+2＝12 。
y x=1
6
5• C•
4
注意：直线取最大截距时， l1
等价于
1z
取得最大值，则2z取得
最小值
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拓展提升 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解 z 的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域 的边界线交点处或边界线上取得．在解题中也可由此快速找 到最大值点或最小值点．
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x≥0，
【跟踪训练 3】 记不等式组x＋3y≥4， 3x＋y≤4
所表示的平
面区域为 D，若直线 y＝a(x＋1)与区域 D 有公共点，则 a 的 取值范围是___12_，__4_ _．
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探究3 已知目标函数的最值求参数 例 3 已知变量 x，y 满足约束条件 1≤x＋y≤4，－2≤x －y≤2.若目标函数 z＝ax＋y(其中 a>0)仅在点(3,1)处取得最 大值，则 a 的取值范围为__a_>_1____．
解析 由约束条件画出可行域(如图)． 点 C 的坐标为(3,1)，z 最大时，即平移 y＝－ax 时，使 直线在 y 轴上的截距最大， ∴－a<kCD，即－a<－1，∴a>1.
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(3)(教材改编 P89 例 6)某公司招收男职员 x 名，女职员 y
5x－11y≥－22， 名，x 和 y 需满足约束条件22xx≤＋131y≥，9，
高中数学 3.3.2.1简单的线性规划问题 新人教A版必修5
【解】 由约束条件画出可行域，如图所示．
点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax时使直线在y 轴上的截距最大，∴y＝－ax的斜率要小于直线CD：x＋y－4＝ 0的斜率．
即－a<kCD，即－a<－1，∴a>1.
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规律技巧 这是一道线性规划的逆向思维问题，解答此类 问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界 取得，运用数形结合的思想方法求解．同时，要注意边界直线 斜率与目标函数斜率关系.
第三章 不等式
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§3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
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3．3.2 简单的线性规划问题
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第一课时 简单的线性规划问题
课前预习目标
课堂互动探究
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课前预习目标
梳理知识 夯实基础
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自学导引 1.了解线性规划的意义． 2．会求一些简单的线性规划问题.
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x＋y≥2， 3．若实数x，y满足不等式组 2x－y≤4，
x－y≥0，
小值是________．
则2x＋3y的最
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取点(5,4)知在可行域内，因此，当x＝5，y＝4时，z取得最 大值90.
【答案】 90
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随堂训练
1.设变量x，y满足约束条件： xx＋－yy≤≥10，， x＋2y≥1，
则z＝5x＋y的
最大值为( A．2
) B．3
C．4
D．5
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解析 作出可行域，如图所示．
由z＝5x＋y，得y＝－5x＋z，目标函数在点(1,0)处取最大 值，即z＝5×1＋0＝5.
课前热身
线性规划中的基本概念.
人教A版高中数学必修五课件3.3.2简单的线性规划问题2.pptx
5．已知线性目标函数 z＝3x＋2y，在线性约束条件
x＋y－3≥0 2x－y≤0 y≤a
下取得最大值时的最优解只有一个，则实数 a
的取值范围是________．
x＋y－3≥0
解析： 作出线性约束条件2x－y≤0
y≤a
表示的平面
区域，
如图中阴影部分所示．
• 因为取得最大值时的最优解只有一个，所以目 标函数对应的直线与平面区域的边界线不平行， 根据图形及直线的斜率，可得实数a的取值范 围是[2，＋∞)．
元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过 13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最 大利润是( )
• A．12万元
B．20万元
• C．25万元D．27万元
解析： 设该企业在一个生产周期内各生产甲、乙产品
x、y 吨，获得利润 z 万元，根据题意，得
3x＋y≤13
2x＋3y≤18 x≥0
• (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的 最大值和最小值．
• [注意] 画可行域时，要特别注意可行域各边 的斜率与目标函数直线的斜率的大小关系，以 便准确判断最优解．
• 2．最优解的确定
• 最优解的确定可有两种方法：
• (1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或 最后通过的顶点便是最优解．
交点 A(4,5)时，目标函数 z＝200x＋300y 取到最小值为 2 300
元，故所需租赁费最少为 2 300 元．
• 答案： 2300
• 2．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨 甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产
品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可 获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万
规格类型 钢板类型
高中数学人教A版必修5课件：3.3.2.1 简单的线性规划问题
题型一
题型二
题型三
1 ≤ ������ + ������ ≤ 5, 正解:解法一:作出二元一次不等式组 -1 ≤ ������-������ ≤ 3 所表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)即可行域. 考虑 z=2x-3y,把它变形为 y= 3 ������ − 3 ������, 得到斜率为 3 , 且随z 变 化的一组平行直线.− ������是直线在y 轴上的 截距,当直线截距最大时,z 的值最小,当然直 线要与可行域相交,即在满足约束条件时目 标函数 z=2x-3y 取得最小值;当直线截距最 小时,z 的值最大,当然直线要与可行域相交, 即在满足约束条件时目标函数 z=2x-3y 取 得最大值.
解析:不等式组表示的平面区域如 图阴影部分所示.作出直线y=ax(a>0),并平移该直线,当直线在y轴 上的截距最大时,z最大.又目标函数仅 在点(3,1)处取最大值. 故-a<-1,即a>1. 答案:(1,+∞)
题型一
������ + ������ ≥ 0, 【变式训练 2】 (1)变量 x,y 满足约束条件 ������-2������ + 2 ≥ 0, ������������-������ ≤ 0, ( D.2 ).
1 3 2 1 2
题型一
题型二
题型三
由图可见,当直线 z=2x-3y 经过可行域上的点 A 时,截距最大,即 z 最小. ������-������ = -1, 得点A 的坐标为(2,3), ������ + ������ = 5, ∴zmin=2x-3y=2×2-3×3=-5. 当直线 z=2x-3y 经过可行域上的点 B 时,截距最小,即 z 最大. 解方程组 ������-������ = 3, ������ + ������ = 1, 得点 B 的坐标为(2,-1), ∴zmax=2x-3y=2×2-3×(-1)=7. ∴-5≤2x-3y≤7. ∴2x-3y 的取值范围是[-5,7]. 解方程组
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3.3.2 简单的线性规划问题
双基达标 (限时20分钟)
1．(2010·福建高考)若x ，y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x －2y ＋3≥0，
y ≥x ，
且z ＝x ＋2y 的最小值等于 ( )． A ．2 B ．3 C ．5 D ．9
解析 可行域如图阴影部分所示，则当直线x ＋2y
－z ＝0经过点M (1,1)时，z ＝x ＋2y 取得最小值，为
1＋2＝3.
答案 B
2．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ≥4x －y ≥－1，
x －2y ≤2则z ＝x ＋y ( )．
A ．有最小值2，最大值3
B ．有最小值2，无最大值
C ．有最大值3，无最小值
D ．既无最小值，也无最大值
解析 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，
如图中阴影部分所示．由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，
令z ＝0，作直线l ：y ＝－x .当平移直线l 至经过A (2,0)
时，z 取得最小值，z min ＝2，由图可知无最大值．故
选B.
答案 B
3．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤4，y ≥x ，
x ≥1
，则x 2＋y 2的最大值为 ( )． A.10 B ．8 C ．16 D ．10
解析 画出不等式组对应的可行域如图所示：易得A (1,1)，|OA |
＝2，B (2,2)，|OB |＝22，C (1,3)，|OC |＝10.
∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2＝10.
答案 D
4．已知⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ≤6x －y ≥0
y ≥0，则z ＝3x －y 的最大值为________．
解析 画出可行域如图所示，当直线z ＝3x －y 过点(3,0)时，z max ＝9.
答案 9
5．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，
则y x
的最大值为________． 解析 画出不等式组
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0对应的平面区域Ω， y x ＝y －0x －0表示平面区域Ω上的点P (x ，y )与原点的连线的斜 率．A (1,2)，B (3,0)，∴0≤y x ≤2. 答案 2 6．已知f (x )＝3x －y ，且－1≤x ＋y ≤1,1≤x －y ≤3，求f (x )的取值范围． 解 作出不等式组
⎩
⎪⎨⎪⎧ －1≤x ＋y ≤1，1≤x －y ≤3表示的平面区域，即可行域，如图中 阴影部分所示．在可行域内平移直线l ：3x －y ＝0，当直
线l 向下平移过B (0，－1)，即直线x －y －1＝0与x ＋y
＋1＝0的交点时，f (x )min ＝3×0＋1＝1；当直线l 向下平
移过A (2，－1)即直线x －y －3＝0与x ＋y －1＝0的交点时，f (x )max ＝2×3＋1＝7， ∴1≤f (x )≤7.
综合提高 (限时25分钟)
7．如图所示的坐标平面的可行域内(包括边界)，若使目标函数
z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值
为
( )． A.14
B.35 C ．4
D.53 解析 由y ＝－ax ＋z 知当－a ＝k AC 时，最优解有无穷多个．∵k AC ＝－35，∴a ＝35
. 答案 B
8．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ≤3，
x ＋y ＋k ≥0.
且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则常数k ＝ ( )． A ．2 B ．9 C ．310 D ．0
解析 由题意知，当直线z ＝2x ＋4y 经过直线x ＝3与x ＋y ＋k ＝0的交点(3，－3－k )时，z 最小，所以－6＝2×3＋4×(－3－k )，解得k ＝0.故选D.
答案 D
9．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，
x ≤0.则z ＝3x ＋2y 的最小值是________．
解析 由不等式组得可行域是以A (0,0)，B (0,1)，C (－0.5,0.5)为顶点的三角形，易知当x ＝0，y ＝0时，z ′＝x ＋2y 取最小值0.所以z ＝3x
＋2y 的最小值是1. 答案 1
10．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．
解析 设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，
则⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N *，y ∈N *.
目标函数为z ＝200x ＋300y .
作出其可行域，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2 300元．
答案 2 300
11．某企业生产A ，B 两种产品，生产每吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表：
已知生产每吨A 产品的利润是7万元，生产每吨B 产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360 t ，并且供电局只能供电200 kW ，试问该企业生产A ，B 两种产品各多少吨，才能获得最大利润？ 产品品种 劳动力(个) 煤(t) 电(kW)
A 产品 3 9 4
B 产品 10 4 5
解 设生产⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋10y ≤300，9x ＋4y ≤360，4x ＋5y ≤200，x ≥0，y ≥0.
z ＝7x ＋12y .
作出可行域(如图)，作出在一组平行直线7x ＋
12y ＝t (t 为参数)，此直线经过M (20,24)，故z
的最优解为(20,24)，z 的最大值为7×20＋
12×24＝428(万元)．
12．(创新拓展)(2011·三明高二检测)制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，
由题意知
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0.
目标函数z ＝x ＋0.5y ，
作出平面区域如图所示：
作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，即2x ＋y ＝0.并作平行于直
线l 0的一组直线l ：z ＝x ＋0.5y ，当l 过点M 时，z 最大．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8.得M (4,6)． 此时z max ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．
所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．。