第七讲 几何学的变革

在19世纪以前，射影几何一直是在欧几里 得几何框架下被研究的，其早期开拓者德沙 格、帕斯卡等主要是以欧氏几何的方法处理 问题，并且他们的工作由于18世纪解析几 何与微积分发展的洪流而被人遗忘。到18 世纪末与19世纪初，蒙日的《画法几何学》 以及其学生卡诺等人的工作，重新激发了人 们对综合射影几何的兴趣。不过将射影几何 真正变革为具有独立目标与方法的学科的数 学家，是曾受教于蒙日的庞斯列。
c b’ b c’ β A
a
B

罗巴切夫斯基称c与c’为a的“平行线”，
而落在夹角内的所有直线叫不相交直线。
如果按不相交即平行的意义理解，那么罗
巴切夫斯基的几何里，过直线外一点就可
以引无穷多条直线与给定的直线平行。

罗巴切夫斯基还将夹角 的一半称为“平 行角”，因 小于两直角，故平行角小于 直角。罗巴切夫斯基发现，平行角是点A 到直线a的距离d的函数。若把平行角记作

1847年，施陶特在不借助长度概念的情况下建立 起射影几何的基本工具，使射影几何摆脱了度量 关系，成为与长度等度量概念无关的全新学科。 施陶特的工作鼓舞了英国数学家凯莱和普吕克的 学生克莱因，他们着手在射影几何概念的基础上 重建欧几里得几何乃至非欧几何的有关性质，发 现它们不过都是射影几何的特例。他们的工作明 确了各种几何学之间的逻辑关系，从而为各种几 何学的统一辅平了道路。
非欧几何的模型

1）贝尔特拉米（E.Beltrami,1835-1899）模型；
2）克莱因（F.Keller，1849-1925）模型；
3）庞加莱（H.Poincare,1854-1912）模型。
4）球面几何模型
贝尔特拉米非欧几何模型
克 莱 因 非 欧 几 何 模 型
牟比乌斯带
几何，且与高斯的思想方法不谋而合。可
以想象，急于得到支持的波约等来的会是
什么。高斯淡然而缺乏热情的评语使他十
分灰心，从此放弃了发表论文的想法。

在非欧几何的三位发 明人中，只有俄国数 学家罗巴切夫斯基最 早、最系统地发表了 自己的研究成果，并 且也是最坚定的宣传 和捍卫自己新思想的 一位。

罗巴切夫斯基1792年生于俄国下诺伏哥罗
但欧几里得几何作为数学严格性的典范始
终保持着神圣的地位。
9.1 欧几里得平行公设
许多学者都视欧几里得几何为绝对真理。 然而，这种近乎科学“圣经”的几何学并 非无懈可击。事实上，从公元前3世纪到 18世纪末，数学家们始终没有放弃对欧几 里得第五公设的疑惑。
为澄清这种疑惑，一代代数学家想尽了 方法，然而他们所给“证明”要么隐含 着等价的命题假定，要么存在着形式的 推理错误。而且，这类工作中的大多数 在数学思想上显得毫无意义。
(d )
时，就得到欧氏平行公设。 若 d 0 ，则 (d ) 单调增加且趋于 ；而 2 (d ) 单调减少且趋于0。 时，d ，
2
，则 (d )


换句话说，如果在离直线很远处作与此直线垂线夹角很小 的直线，那么我们可以沿着这条“倾斜”的直线前进而永 远不与直线相遇！ 用欧氏几何的眼光来看，罗巴切夫斯基几何还有许多令人 惊奇的结果，如： 1.三角形三内角之和小于两直角，假如三角形变大，使它所 有三条高都无限增长，则它的三个内角全部趋向于零； 2.不存在面积任意大的三角形；

“非欧几何”的名称来源于高斯。尽管在 其正式建立之前，许多技术性的内容已被 大量导出，但最先对其意义有深刻理解的 是高斯。他从1799年开始意识到平行公 设不能由其他公理推出，并从1813年起 发展了这种平行公设在其中不成立的新几 何。然而由于担心世俗的攻击，这位“数 学之王”决定将自己的发现秘而不宣。

为了验证“非欧几何”应用的可能性，他
实际测量了由三座山峰构成的三角形，此 三角形的三边分别为： 69 ， 85 与 109 公里。 他发现其内角和比180°大了近15〞。

1832年，对发现非欧几何深缄其口的高斯 突然收到一篇论文《绝对空间的科学》，
文章的作者是一位名叫波约的匈牙利青年，
文中论述的“绝对几何”事实上就是非欧

与德沙格和帕斯卡不同，庞斯列更喜欢 探讨一般性问题：图形在投射和截影下 保持不变的性质，这也是后来射影几何 研究的主题。与他的老师蒙日也不同， 庞斯列采用中心投影而不是平行投影， 并将其提高为研究问题的一般方法。

在庞斯列实现射影几何目标的一般研究中， 有两个基本原理扮演了重要角色。首先是连 续性原理，它涉及到图形通过投影变换时的 几何不变性。庞斯列将它发展到包括无穷远 点的情形，由此引出了具有重要作用的无穷 远元素与虚元素概念。庞斯列强调的另一个 原理是对偶原理。平面图形的“点”和“线” 之间存在着异乎寻常的对称性。如果在它们 所涉及的定理中，将这一对概念互换，那么 就可以得到一个新定理。

萨凯里的工作激发了数学家们进一步的思
考。1763年，克吕格尔首先指出萨凯里的
工作实际上并未导出矛盾，只是得到了似
乎与经验不符的结论。克吕格尔是第一位
对平行公设能否由其他公理加以证明表示
怀疑的数学家。他的见解启迪了兰伯特。

1766年，兰伯特对此问题进行了更为深 入的探讨。他从一个具有三直角的四边形 出发，按照第四个角是直角、钝角还是锐 角作出了三个假设。由于钝角假设导致矛 盾，所以他很快就放弃了它。与萨凯里不 同的是，兰伯特并不认为锐角假设导出的 结论是矛盾，而且他认识到一组假设如果 不引起矛盾的话，就提供了一种可能的新 几何。

在庞斯列用综合方法为射影几何奠基的同 时，德国数学家默比乌斯和普吕克则开创 了射影几何研究的解析途径。1827年， 默比乌斯首次引进了齐次坐标概念，这种 坐标后被普吕克发展为更一般的形式，它 实际上是对笛卡尔坐标的推广。齐次坐标 成为代数地推导包括对偶原理在内的许多 射影几何基本结果的有效工具。

设给定了直线a和直线外一点 A，从A引a的垂直线AB。按 照罗巴切夫斯基的基本假设， 至少存在两条直线b,b’，通过 点A且不与直线a相交。罗巴 切夫斯基考虑所有过A不与a 相交的直线的极限情形，指出 这样的极限直线有两条(c 与 c’)，并证明了它们也不与a相 交。因此，c与c’便构成了所 有不与相交的直线的边界，在 这两条边界直线所成夹角内的 所有直线都不与a相交。
替代公设：
存在一对同平面的直线彼此处处等距离；
过已知直线外的已知点只能作一条直线平行于已
知直线(苏格兰数学家普雷菲尔于1795年提出）；
存在一对相似但不全等的三角形；
过任何三个不在同一直线上的点可作一个圆；
替代公设： 如果一个四边形有一对对边相等，并且它们与 第三边构成的角均为直角，则余下的两个角也 是直角； 如果四边形有三个角是直角，则第四个角也是 直角； 至少存在一个三角形，其三角和等于二直角； 三角形的面积无上限。

18世纪中叶，达朗贝尔无奈地把平行公设 的证明问题称为“几何原理中的家丑”。 但就在此前后，对第五公设的研究开始出 现有意义的进展。在这方面的代表人物是 意大利数学家萨凯里、德国数学家克吕格 尔和瑞士数学家兰伯特。

1733年，萨凯里使用归谬法来证明平行公 设。他的出发点是一个等腰双直角四边形。 萨凯里在假定直线为无限长的情况下，先由 钝角假设推出了矛盾；然后在考虑锐角假设 的过程中，他获得了一系列新奇有趣的结果： 如三角形三内角之和小于两个直角等。虽然 这些结果实质上并不包含任何矛盾，但萨凯 里认为它们太不合情理，便以为自己导出了 矛盾而判定锐角假设是不真实的。
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黎曼几何中，最重要的一种对象就是所谓的常
曲率空间，对于三维空间，曲率可以为正常数、
负常数、或恒为零。黎曼指出后两种情形分别 对应于罗巴切夫斯基的非欧几何学和通常的欧 几里得几何学。而第一种情形则是黎曼本人的 创造。

在这种几何中，过已知直线外一点，不能作 任何平行于已知直线的直线。这实际上是以 萨凯里等人的钝角假设为基础而展开的非欧 几何学。

罗巴切夫斯基为发展、阐释这种新几何学
付出了毕生心血。他生前发表了许多论著，
其中1835—1838年间的系列论文《具有
完备的平行线理论的新几何学原理》较好
地表述了他的思想，1840年用德文出版的
《平行理论的几何研究》引起高斯的关注，
这使他在1842年成为德国哥廷根科学协会
会员。

罗巴切夫斯基非欧几何与高斯、波约的基本 思想一致，即用与欧几里得第五公设相反的 断言：过直线外一点，可引不止一条直线与 已知直线不相交，作为替代公设，进行逻辑 推导而得出一连串新几何学的定理，它们并 不包含矛盾，因而在总体上形成了一个逻辑 上可能的、无矛盾的理论。这个理论就是一 种新的几何学——非欧几里得几何学。
德（今高尔基城），1807年进入喀山大学，
1811年毕业并获硕士学位。罗巴切夫斯基
毕业后留校任职，历任教授助理、非常任
教授、常任教授、物理数学系主任，35岁
被任命为校长。1846年以后任喀山学区副 督学，直至逝世。如果没有罗氏几何学， 罗巴切夫斯基只能算一个优秀的科学与教 育管理者。

他先是于1826年在喀山大学发表了 《简要论述平行线定理的一个严格证明》 的演讲，报告了自己关于非欧几何的发 现，而后又在1829年发表了题为《论 几何原理》的论文，这是历史上第一篇 公开发表的非欧几何文献。

3.如果两个三角形的三个角相等，它们就全等。
9.3 非欧几何的发展与确认

非欧几何要获得普遍接受，还需要确实地 建立自身的无矛盾性和现实意义。1854 年，德国数学家黎曼发展了罗巴切夫斯基 等人的思想，以高斯关于曲面的内蕴微分 几何为基础，建立了一种更广泛的几何。 即现在所称的黎曼几何。
黎 曼
庞加莱模型
9.4 射影几何的繁荣

非欧几何揭示了空间的弯曲性质，将平直 空间的欧几里得几何变成了某种特例。实 际上，如果将欧几里得几何限制于其原先 的涵义——三维、平直、刚性空间的几何 学，那么，19世纪的几何学就可以理解为 一场广义的“非欧”运动：从三维到高维， 从平直到弯曲，而射影几何的发展又从另 一个方向使“神圣”的欧几里得几何再度 “降格”为其他几何的特例。
在《几何原本》，称对所有学科都成立的不证自 明的结论为公理，而仅在几何上成立的不证自明 的结论称为公设。
欧氏几何公理： （1）等于同量的量彼此相等； （2）等量加等量，和相等； （3）等量减等量，差相等； （4）彼此重合的图形是全等的； （5）整体大于部分。
欧氏几何公设： （1）假定从任意一点到任意一点可作一直线； （2）一条有限直线可不断延长； （3）以任意中心和半径可以画圆； （4）凡直角都彼此相等； （5）若一直线落在两直线上所构成的同旁内 角和小于两直角，那么把两直线无限延长， 它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。
黎曼可以说是最先理解非欧几何全部意义的 数学家。


他创立的黎曼几何不仅是对已经出现的非欧
几何的承认，而且显示了创造其他非欧几何
的可能性。但黎曼的理论仍然难以被同时代
的人理解，据说除了年迈的高斯外没人能听
懂黎曼的意思。黎曼也是现代数学史上最具
创造性的数学家之一。

19世纪70年代以后，意大利数学家贝尔特拉米 基于内蕴几何观点，给出一个叫“伪球面”的曲 面作为罗巴切夫斯基几何模型。随后，克莱因、 庞加莱也各自对罗巴切夫斯基几何给出自己的欧 几里得模型。他们的工作，揭示了非欧几何的现 实意义，同时使非欧几何具有了至少与欧几里得 几何同等的真实性。至此，非欧几何作为一种几 何的合法地位充分建立起来，并开始得到广泛的 理解和接受。


兰伯特最先指出了通过替换平行公设而展 开新的无矛盾的几何学的道路。 突破具有两千年根基的欧氏几何传统的束 缚，需要更高大的巨人，这样的时机在 19世纪初逐渐成熟，并且也像解析几何、 微积分的创立一样，这样的人物出现了不 止一位。对非欧几何来说，他们是高斯， 波约和罗巴切夫斯基。
9.2非欧几何的诞生
第九章
几何学的变革
几何学的变革
希尔伯特说：“19世纪最富有 启发性和最值得注意的成就是非欧 几里得几何的发现。”
直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得 一统天下。解析几何改变了几何研究的方
法，但没有从实质上改变欧几里得几何本
身的内容。解析方法的运用虽然在相当长
的时间内冲淡了人们对综合几何的兴趣，