图论2
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图论讲义第2章-连通性
第二章 图的连通性在第一章中已经定义连通图是任二顶点间都有路相连的图。
对于连通图，其连通的程度也有高有低。
例如，下列三个图都是连通图。
对于图G 1，删除一条边或一个顶点便可使其变得不连通；而对于图G 2，至少需要删除两条边才能使其不连通，也可以删除一个顶点使其不连通；对于图G 3，要破坏其连通性，则至少需要删除三条边或三个顶点。
本章主要讨论如何通过图的顶点集、边集和不交的路集合的结构性质来获知图的连通性程度。
通过研究割边和割点来刻画1连通图的特性；定义连通度和边连通度来度量连通图连通程度的高低；通过不交路结构和元素的共圈性质来反映图的2连通和k 连通性。
§2.1 割点和割边定义2.1.1 设)(G V v ∈，如果)()(G w v G w >−，则称v 为G 的一个割点。
（注：该定义与某些著作中的定义有所不同，主要是在环边的顶点是否算作割点上有区别）。
例如，下图中u , v 两点是其割点。
定理2.1.1 如果点v 是简单图G 的一个割点，则边集E (G)可划分为两个非空子集1E 和2E ，使得][1E G 和][2E G 恰好有一个公共顶点v 。
证明留作习题。
推论2.1.1 对连通图G ，顶点v 是G 的割点当且仅当v G −不连通。
定理2.1.2 设v 是树T 的顶点，则v 是T 的割点当且仅当1)(>v d 。
证明：必要性：设v 是T 的割点，下面用反证法证明1)(>v d 。
若0)(=v d ，则1K T ≅，显然v 不是割点。
若1)(=v d ，则v T −是有1)(−−v T ν条边的无圈图，故是树。
从而)(1)(T w v T w ==−。
因此v 不是割点。
以上均与条件矛盾。
充分性：设1)(>v d ，则v 至少有两个邻点u ,w 。
路uvw 是T 中一条),(w u 路。
因T 是树，uvw 是T 中唯一的),(w u 路，从而)(1)(T w v T w =>−。
哈尔滨工业大学运筹学教案教案_图论2
的一个不含圈的支撑子图Gk，于是Gk是G的一个支撑
树。
（一）破圈法
（二）避圈法 在图中任取一条边e1，找一条与e1不构成圈的边e2， 再找一条与{e1，e2}不构成圈的边e3。一般设已有{e1， e2，…，ek}，找一条与{e1，e2，…，ek}中任何一些边 不构成圈的边ek+1，重复这个过程，直到不能进行为 止。
证明：必要性 因T是连通的，故任两个点之
间至少有一条链。但如果某两个点之间有两条链
的话，那么图T中含有圈，这与树的定义矛盾，从 而任两个点之间恰有一条链。
充分性 设图T中任两个点之间恰有一条链， 那么易见T是连通的，如果T中含有圈，那么这个 圈上的两个顶点之间有两条链，这与假设矛盾，
故T不含圈，于是T是树。
证明：（1）→（2） 由于T是树，由定义知T连通且无圈。只须证明m=n-1。 归纳法：当n=2时，由于T是树，所以两点间显然有且 仅有一条边，满足m=n-1。 假设 n=k-1时命题成立，即有k-1个顶点时，T有 k-2条边。 当n=k时，因为T连通无圈，k个顶点中至少有一 个点次为1。设此点为u，即u为悬挂点，设连接点u的 悬挂边为[v，u]，从T中去掉[v，u]边及点u ，不会影 响T的连通性，得图T’，T’为有k-1个顶点的树，所以 T’有k-2条边，再把（ v，u）、点u加上去，可知当T 有k个顶点时有k-1条边。
现证v1是悬挂点，即d（v1）=1。
反证法：如d（v1）≥2，则存在边[v1，vm]，使m≠2，
v1
若vm不在µ 上，
v2
vk
vm
那么（vm，v1，v2，…，vk）比µ链边数多一条， 与µ 是边数最多的链矛盾。 若vm在µ 上
v1
v2
vm
图论习题答案2
第四次作业
四(13).设M是二分图G的最大匹配，则 | M || X | max| S | | N ( S )| ，
SX
证明： | X | max| S | | N ( S )| min(| X | | S |) | N ( S )| ，而（X - S ) N ( S )是G的一个覆盖，则 min(| X | | S |) | N ( S )|是G的最小覆盖，
第七次作业
• 五(28).设sn是满足下列条件的最小整数，把 {1,2,...,sn}任划分成n个子集后，总有一个子集 中含有x+y=z的根，求s1,s2,s3是多少？ • 解：n=1,枚举得s1=2; • s2=5 • s3=14
第七次作业
五(34).求证r(k, l) = r(l, k) 证明：若G含有K k 子图，则G c 含有k个顶点的独立集；若G含有 l个顶点的独立集，则G c 含有K l 子图。则命题成立。
五 (13).若 是单图 G 顶的最小次数，证明； 若 1则存在 1边着色， 使与每顶关联的边种有 1种颜色。 反证法：假设在 v1处无 i 0色 设 C (E 1 , E 2 ,..., E 1 )为 G 的( 1) 最佳边着色 第一步：构造点列： v1 , v 2 ,..., v h , v h 1 ,....., vl ,.... v1处无 i 0色， v j v j 1着 i j色，且在 v j点处 i j 色重复出现，可知在 v j1处仅一 个 i j色；证明如下： 用反证法证明，假设在 v j1处 i j色重复出现，将 v j v j 1改成 v j 所关联的边 没有的颜色 im，则可以对图 G 的找色进行改善。与 C 是最佳边着色矛盾， 假设不成立。 又 是单图 G 顶的最小次数，则必存 在最小整数 h使得 i h i l 第二步：着色调整： v j v j 1着 i j-1色 ( j 1,2,..., h )，所得新着色为 C ' 在 C '中， v1处多了个 i 0色， v h 1处少了个 i h 色，其他点的边着色数 不变， 所以 C ' 还是 1最佳边着色
图论 第二章 树(tree)
定义2.2.2 如果在图G中去掉一个顶点（自然同 时去掉与该顶点相关联的所有边）后图的分 支数增加，则称该顶点为G的割点。
定理2.2.1 当且仅当G的一条边e不包含在G 的 圈中时，e才是割边。
u x
e
v
Hale Waihona Puke yCG推论2.2.1 当且仅当连通图G的每一条边均为 割边时，G才是一棵树。
对割边有下面的等价命题：
推论2.1.3 设G的边数为q，顶点数为p,如果 G无圈且q=p-1，则G是一棵树。
推论2.1.4 在树中至少存在两个度为1的顶点。
关于树有下列的等价命题：
（1）G是一棵树 （2）G的任意两个顶点由唯一道路联结 （3）G是连通的，且q=p-1 （4）G是无圈的，且q=p-1 （5）G无圈，且若G的任意两个不邻接的顶点 联一条边e，则G+e中恰有一个圈。
A directed graph is Eulerian if it is connected and can be decomposed into arc-disjoint directed cycles.
An undirected graph is traversable if it is connected and at most two vertices in the graph are of odd degree
条包含G的所有边的闭链； ❖ （4）两个欧拉图的环和仍是欧拉图。
理定3.1.2和推论3.1.1反映了图的一 个重要性质，即图的连绘性。一个连 绘的图是指这个图可以用一笔画成而 没有重复的笔划。换句话说就是在这 个图中存在一条能过每条边的链。
3.3 哈密顿图
1856 年 hamilton 周游世界的游戏，十 二面体，有20个顶点，三十条边，十二 个面
第6-8章 图论2
5.设D是有向图，当且仅当D中有一条通过每个 D 结点的通路时，D为（ ）连通的。 答案：单向 6.设有向图D=<V，E>，V={a,b,c,d}, E={<a,b><a,d><d,c><b,d><c,d>},则D是 （ ）连通的，c的可达集为()，d(c,a)=()
6.设有向图D=<V,E>，V={a,b,c,d,}， E={<a,b>,<a,d>,<d,c>,<b,d>,<c,d>}, 则D是（ ）连通的，c的可达集为（ ），d(a,b)=（） 答案：单向 ｛c,d｝ 7.图６－１的点连通度为（），边连通度为（） 答案： １ １ 8.k5的点连通度为（），边连通度为（）。 答案： ４ ４
7.若无向图中恰有2个度数为奇数的结点，则这两个结 点必连通。（ ） 答案：T 8.在有向图中，结点间的可达关系是等价关系。（ ） 答案：F 9. 若有向图中有两个奇度结点，则它们中一个可达另 一个或互相可达。（ ） 答案：F
10.若图G不连通，则 G 必连通。（ ） 答案：T 11.有向图的每个结点恰位于一个单向分图中。（ ） 答案：F 12.图6-3为无强分图（ ） 答案：F 13.若图G的边e不包含在G的某简 图6-3 单回路中，则e是G的割边。（ ） 答案：T
22.设G= <V,E>为连通的简单平面图，若|V|>=3，则 所有结点v，有deg(v)<=5.（ ） 答案：F
第7章 树 章
树是图论中最重要的概念之一，它是基尔霍夫在解决 电路理论中求解联立方程时首先提出的。它又是图论 中结构最简单，用途最广泛的一种平面图，在计算机 科学的算法分析、数据结构等方面有着广泛的应用， 本章主要介绍树的基本概念、性质和若干应用。
第五章_图论2
6
通路定理
[定理]通路定理 在n阶图G中，如果有顶点u到v （u v） 的通路，那么u到v必有一条长度小于等
于n1的基本通路。
7
通路定理证明
定理：在有n个顶点的图G中，如果有顶点u到v的通路，必有长 度不大于n-1的基本通路。
证明：(1)先证明u和v之间存在基本通路 若uv之间的通路P中有相同的顶点，则从P中删除相同顶点之间
路径，直到P中没有相同顶点，这样得到的路径为u和v之间的基 本通路。
(2) 再证基本通路长度不大于n-1 （反证法）设u和v之间的基本通路的长度≥ｎ。 ∵ 一条边关联两个顶点， ∴长度≥ｎ的基本通路上至少有ｎ＋１个顶点。 ∴至少有两个相同顶点在u和v之间的基本通路上，这与基本通路 的性质“任意两个顶点不同”相矛盾。
图G从vi点到vj点有通路当且仅当？
bij = 1
21
图的连通性与可达矩阵
有向图的连通性（n1）： 设有向图G的可达矩阵为B
(1) Ｇ强连通 B中元素全为１ (2) Ｇ是单向连通的 B中所有关于主对角线对称
的两个元素中至少一个值为１
无向图的连通性（n1）： 设无向图G的可达矩阵为B
Ｇ连通 B中元素全为１
[定义]基本通(回)路
结点各不相同的通路称为基本通路。 中间结点各不相同的回路称为基本回路。
A
基本通路：ACEBD
B
E
基本回路：ABCDEA
C
D
5
有向通(回)路
[定义]有向通(回)路 若通路v0v1 … vn各边是有向边，且vi-1和vi 分别是有向边的始点与终点，则称该通路为 有向通(回)路。
通路uxv相连。
由u和v的任意性，可知~G是连通的。
27
通路定理
[定理]通路定理 在n阶图G中，如果有顶点u到v （u v） 的通路，那么u到v必有一条长度小于等
于n1的基本通路。
7
通路定理证明
定理：在有n个顶点的图G中，如果有顶点u到v的通路，必有长 度不大于n-1的基本通路。
证明：(1)先证明u和v之间存在基本通路 若uv之间的通路P中有相同的顶点，则从P中删除相同顶点之间
路径，直到P中没有相同顶点，这样得到的路径为u和v之间的基 本通路。
(2) 再证基本通路长度不大于n-1 （反证法）设u和v之间的基本通路的长度≥ｎ。 ∵ 一条边关联两个顶点， ∴长度≥ｎ的基本通路上至少有ｎ＋１个顶点。 ∴至少有两个相同顶点在u和v之间的基本通路上，这与基本通路 的性质“任意两个顶点不同”相矛盾。
图G从vi点到vj点有通路当且仅当？
bij = 1
21
图的连通性与可达矩阵
有向图的连通性（n1）： 设有向图G的可达矩阵为B
(1) Ｇ强连通 B中元素全为１ (2) Ｇ是单向连通的 B中所有关于主对角线对称
的两个元素中至少一个值为１
无向图的连通性（n1）： 设无向图G的可达矩阵为B
Ｇ连通 B中元素全为１
[定义]基本通(回)路
结点各不相同的通路称为基本通路。 中间结点各不相同的回路称为基本回路。
A
基本通路：ACEBD
B
E
基本回路：ABCDEA
C
D
5
有向通(回)路
[定义]有向通(回)路 若通路v0v1 … vn各边是有向边，且vi-1和vi 分别是有向边的始点与终点，则称该通路为 有向通(回)路。
通路uxv相连。
由u和v的任意性，可知~G是连通的。
27
图论--第2讲顶点的度
离散数学顶点的度第2讲定义2.1设G=<V,E>为一无向图，∀v∈V称所有的边与v 的关联次数之和为v 的度数，简称为度，记作d G (v), 简记作d(v)。
记i v (e)为e 与v 的关联次数，则v e ∈Ed(v)=i (e)∑。
定义2.2设D=<V,E>为一有向图， v∈V,(1)称v作始点的边的条数为v的出度，记作d D+(v)，简记作d+(v)；(2)称v作为终点的边的条数为v的入度，记作d D-(v)，简记作d-(v)。
称d D+(v)+ d D-(v)为v的度数，记作d(v)。
在无向图G中，令⊿(G) = max{d(v)| v∈V(G) }δ(G) = min{d(v)| v∈V(G) }称⊿(G) ，δ(G)分别为G的最大度和最小度。
简记做⊿，δ。
在有向图D中，可类似定义⊿(D)、δ(D)。
另外，令⊿+(D) = max{d+(v)| v∈V(D) }δ+(D) = min{d+(v)| v∈V(D) }⊿-(D) = max{d-(v)| v∈V(D) }δ-(D) = min{d-(v)| v∈V(D) }分别称为D的最大出度、最小出度、最大入度、最小入度。
简记作⊿、δ、⊿+、δ+、⊿-、δ-。
注意称度为0的顶点为孤立点；称度为1的顶点为悬挂点，与其关联的边称为悬挂边。
称度为偶数的顶点称为偶点；称度为奇数的顶点称为奇点。
注意若图G的所有顶点的度相等, 则G称作正则图;若进一步所有顶点的度都等于k,则称G是k-正则图。
定理2.1设G=<V,E> 为任意无向图，, ,则即顶点度数之和等于边数的2倍。
，12n V={v ，v ，...，v }|E|=m nii=1d(v )=2m定理2.2推论2.3任意图中，奇点的个数一定是偶数。
设D=<V,E>为任意有向图，，，则。
12n V={v ，v ，...，v }|E|=m n n-i i i=1i=1d (v )=d (v )=m +∑∑设G=<V,E>为一n阶无向图，V={v1,v2,…,v n}, 称d(v1), d(v2), …, d(v n)为G的度序列。
图论习题二答案
图论习题二答案图论习题二答案图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
在图论中，有很多经典的习题可以帮助我们更好地理解和应用图的概念。
本文将探讨一些图论习题二的答案，帮助读者更好地理解和掌握图论的知识。
1. 习题：给定一个无向图G=(V,E)，其中V={1,2,3,4,5,6}，E={(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4),(4,5),(4,6)}，求图G的邻接矩阵和关联矩阵。
答案：邻接矩阵是一个n×n的矩阵，其中n是图的顶点数。
对于无向图G，邻接矩阵的元素a[i][j]表示顶点i和顶点j之间是否存在边。
如果存在边，则a[i][j]=1，否则a[i][j]=0。
对于给定的图G，邻接矩阵为：0 1 1 0 0 01 0 1 1 0 01 1 0 1 0 00 1 1 0 1 10 0 0 1 0 00 0 0 1 0 0关联矩阵是一个n×m的矩阵，其中n是图的顶点数，m是图的边数。
对于无向图G，关联矩阵的元素b[i][j]表示顶点i和边j之间的关系。
如果顶点i是边j 的起点，则b[i][j]=-1；如果顶点i是边j的终点，则b[i][j]=1；否则b[i][j]=0。
对于给定的图G，关联矩阵为：-1 -1 0 0 0 01 0 -1 -1 0 00 1 1 0 0 00 0 0 1 -1 -10 0 0 0 1 00 0 0 0 0 12. 习题：给定一个有向图G=(V,E)，其中V={1,2,3,4,5}，E={(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4),(4,1),(5,4)}，求图G的邻接表和深度优先搜索遍历结果。
答案：邻接表是一种图的表示方法，用于存储图中每个顶点的邻接顶点。
对于有向图G，邻接表中的每个元素表示该顶点的出边。
对于给定的图G，邻接表为：1: 2, 32: 3, 43: 44: 15: 4深度优先搜索（DFS）是一种图的遍历算法，用于遍历图中的所有顶点。
离散数学课件图论2
❖结点(Vertices)：用 表示, 旁边标上该结点的名称。 ❖ 边(Edges)
有向边: 带箭头的弧线。 从u到v的边表示成 <u,v>
无向边:不带箭头的弧线。 u和v间的边表示成 (u,v)
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实例
1. 设 V1= {v1, v2, …,v5}, E1 = {(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}
例： 给定右图所示 V/R={ {a,b,g}，{c,d,e,f}，{h} }
h
gf
e
a
bc
d
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14-3 图的连通性
［G的连通性与连通分支］ ① 若u, vV，uv，则称G是连通的 ② V/R={V1,V2,…,Vk}，称等价类构成的子图G[V1], G[V2], …,G[Vk]为G的连通分支，其个数 p(G)=k (k1)； k=1，G是连通的。
定义：设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集，以所 有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图， 称为G的补图，记作 G 。
若G G , 则称G是自补图。 相对于K4, 求上面图中所有图的补图，并指出哪些是自补图. 问：互为自补图的两个图的边数有何关系？
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14-1 图
6. 邻域与关联集 ① vV(G) (G为无向图) v 的邻 N (v ) { 域 u |u V (G ) (u ,v ) E (G ) u v }
有向边: 带箭头的弧线。 从u到v的边表示成 <u,v>
无向边:不带箭头的弧线。 u和v间的边表示成 (u,v)
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实例
1. 设 V1= {v1, v2, …,v5}, E1 = {(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}
例： 给定右图所示 V/R={ {a,b,g}，{c,d,e,f}，{h} }
h
gf
e
a
bc
d
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14-3 图的连通性
［G的连通性与连通分支］ ① 若u, vV，uv，则称G是连通的 ② V/R={V1,V2,…,Vk}，称等价类构成的子图G[V1], G[V2], …,G[Vk]为G的连通分支，其个数 p(G)=k (k1)； k=1，G是连通的。
定义：设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集，以所 有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图， 称为G的补图，记作 G 。
若G G , 则称G是自补图。 相对于K4, 求上面图中所有图的补图，并指出哪些是自补图. 问：互为自补图的两个图的边数有何关系？
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14-1 图
6. 邻域与关联集 ① vV(G) (G为无向图) v 的邻 N (v ) { 域 u |u V (G ) (u ,v ) E (G ) u v }
图论第二版答案
图论第二版答案【篇一：图论与代数结构第一二三章习题解答】厂为一结点；若两个工厂之间有业务联系，则此两点之间用边相联；这样就得到一个无向图。
若每点的度数为3，则总度数为27，与图的总度数总是偶数的性质矛盾。
若仅有四个点的度数为偶数，则其余五个点度数均为奇数，从而总度数为奇数，仍与图的总度数总是偶数的性质矛盾。
（或者利用度数为奇数的点的个数必须为偶数个） 2. 若存在孤立点，则m不超过kn-1的边数, 故m = (n-1)(n-2)/2, 与题设矛盾。
?－3. 记ai为结点vi的正度数，ai为结点vi的负度数，则nnnn? 2? 22－ai?[(n?1)?ai]?n(n?1)?2(n?1)ai＋ai－2， i?1i?1i?1i?1 nnn－2? 2 因为ai?cn?n(n?1)/2，所以ai?ai－ 2。
i?1i?1i?14. 用向量(a1,a2,a3)表示三个量杯中水的量, 其中ai为第i杯中水的量, i = 1,2,3.以满足a1+a2+a3 = 8 (a1,a2,a3为非负整数)的所有向量作为各结点, 如果(a1,a2,a3)中某杯的水倒满另一杯得到( a’1, a’2, a’3 ) , 则由结点到结点画一条有向边。
这样可得一个有向图。
本题即为在此图中找一条由( 8, 0, 0 )到( 4, 4, 0 )的一条有向路，以下即是这样的一条： ( 8, 0, 0 ) ( 5, 0, 3 ) ( 5, 3, 0 ) ( 2, 3, 3 ) ( 2, 5,1 )(7, 0, 1 ) ( 7, 1, 0 ) ( 4, 1, 3 ) ( 4, 4, 0 )5. 可以。
???????6 若9个人中没有4个人相互认识，构造图g，每个点代表一个点，两个人相互认识则对应的两个点之间有边。
1）若可以找到点v，d(v)5，则与v相连的6个点中，要么有3个相互认识，要么有3个相互不认识（作k6并给边涂色:红=认识，蓝=不认识，只要证图中必有同色三角形。
离散数学--第7章 图论-2(路与连通)
u1 v4 v1 v4 v3 u4 v2 u4 u3 G2 v3 u u13 v1 u2 v2 u2
15
连通图可以看成是只有一个连通分支的图，即 w(G ) 1 。
返回 结束
7.2.2 图的连通性
4、有向图的连通
强连通—— G 中任一对顶点都互相可达 (双向) 连通 单向连通—— G 中任一对顶点至少一 向可达
路
10
(vi v j ) ，则从 vi 到 v j 存在长度小于等于
n 1的路。
证明思路：多于n-1条边的路中必有重复出现的结点，反 复删去夹在两个重复结点之间的边之后，剩余的边数不会 超过n-1条边。
v n 在一个 阶图中，若从顶点 i 到 v j 存在 推论：
通路(vi v j ) ，则从 vi 到 v j 存在长度小于等于
返回 结束
7.2.2 图的连通性
7.2.2 图的j 存在路，称 有向图中，从 vi 到 v j 存在路，称 (注意方向) 2、短程线，距离。 短程线——连通或可达的两点间长度最短的 路。 距离——短程线的长度，
12
vi 到 v j 是 连通的(双向)。 vi 可达 v j 。
1 v1e1v2e5v5e7v6 2 v1e1v2e2v3e3v4e4v2e5v5e7v6
3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路
简单通路
复杂通路
返回 结束
7.2.1 路
例1、(2)
7
图(2)中过 v 2 的回路 (从 v 2 到 v 2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2 2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
7.2 路与连通
内容：图的通路，回路，连通性。 重点：
15
连通图可以看成是只有一个连通分支的图，即 w(G ) 1 。
返回 结束
7.2.2 图的连通性
4、有向图的连通
强连通—— G 中任一对顶点都互相可达 (双向) 连通 单向连通—— G 中任一对顶点至少一 向可达
路
10
(vi v j ) ，则从 vi 到 v j 存在长度小于等于
n 1的路。
证明思路：多于n-1条边的路中必有重复出现的结点，反 复删去夹在两个重复结点之间的边之后，剩余的边数不会 超过n-1条边。
v n 在一个 阶图中，若从顶点 i 到 v j 存在 推论：
通路(vi v j ) ，则从 vi 到 v j 存在长度小于等于
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7.2.2 图的连通性
7.2.2 图的j 存在路，称 有向图中，从 vi 到 v j 存在路，称 (注意方向) 2、短程线，距离。 短程线——连通或可达的两点间长度最短的 路。 距离——短程线的长度，
12
vi 到 v j 是 连通的(双向)。 vi 可达 v j 。
1 v1e1v2e5v5e7v6 2 v1e1v2e2v3e3v4e4v2e5v5e7v6
3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路
简单通路
复杂通路
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7.2.1 路
例1、(2)
7
图(2)中过 v 2 的回路 (从 v 2 到 v 2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2 2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
7.2 路与连通
内容：图的通路，回路，连通性。 重点：
第六章图论(1,2,3,4)
图的几种特殊情况： 图的几种特殊情况： • 若在图G中，|V| = n，|E| = m，则称G为 ( n, m ) 图。 • 若在图G中， V = ∅ ，则称G为空图。Empty graph • 若在图G中，|V| = 1，则称G为平凡图。Trivial graph • 若在图G中， E = ∅ ，则称G为零图。 Null graph • 若在图G中，既有有向边又有无向边，则称G为混合图。 G G Mixed graph
i =1 n
∑ deg ( v ) = m 。
i =1
n
其中 ∣V∣= n，∣E∣= m。 证：由于每条有向边都对应一个入度和一个出度，如一个结点 具有一个出度（或入度），则它必关联一条有向边，并通过此有 向边与另一结点相邻，且为此结点提供一入度（或出度）。所以 在有向图中，入度之和等于出度之和，并等于边数。即有
第2节 图的基本概念 节
2.1 无序积和有序积 2.2 图的定义 2.3 图中的基本术语 2.4 图中节点的度数 2.5 子图与补图 2.6 图的同构
2.1 无序积和有序积 定义1 设A，B是两个集合，称集合{{a,b}| a∈A∧b∈B}为A， 定义 B的无序积，记为A&B。无序积A&B的子集称为A和B上的二元 关系。 当B＝A时，称无序积A&B的子集为A上的二元关系。 例：在哥尼斯堡七桥问题中，可用Χ上的无序积的子集来表示。 设X={A,B,C,D}表示四块陆地，x和y有关系当且仅当x和y有桥 相连。于是有{{A,B},{B,C},{A,C},{A,C},{A,D},{A,D},{B,D}}. 集合中的每个元素表示一座桥。 定义2 定义 设A，B是两个集合，称集合{(a,b) | a∈A∧b∈B}为A，B 的有序积，记为A×B，有序积A × B的子集称为A到B的二元关系。 当B＝A时，称有序积A×B的子集为A上的二元关系。 例：在家族关系图中，均用Χ上的有序积的子集来表示“半序 关系”。
图论第2章
由N中的元素组成的长为n-2的序列的个数为nn-2。 接下来，我们将在Kn的生成树的集合与这种序列的集合之 间建立一一对应。 假定T是Kn的一棵生成树，设s1是T中标号最小的叶子点， 把与s1相邻的顶点的标号记为t1。 现在从T中删去s1，用s2表示T-s1中标号最小的叶子点，把 与s2相邻的顶点的标号记为t2。 重复这一过程，直到得到tn-2。 很容易看出，最后剩下一条边。
比如
1 2 3 7 4 5 8
6
(4, 3, 5, 3, 4, 5)
很容易验证上述过程可逆。 注： 以上讨论的生成树的棵数均指标定图而言。标定图的 生成树的数量远大于非标定图生成树的数量。如标定图K6 有66-2 = 1296 棵生成树，而不同构的6阶树仅6棵。
三、回路系统简介
定义 设 T 是图G=(V, E)的一棵生成树，m和n分别是G的边 数与顶点数，e1, e2,…, em-n+1 为T的弦，设 Cr 是 T 加 er 产生 的圈(r = 1, 2,…, m-n+1)，称 Cr 为对应于弦 er 的基本回路， {C1, C2,…, Cm-n+1}称为对应于生成树T的基本回路系统。
第二章 树
树的概念与性质
树的中心与形心 生成树 最小生成树
yzwang@
2.1 树的概念与性质
一、树的概念
定义 不含圈的图称为无圈图，连通的无圈图称为树。树 常用符号T 表示。
例 下面的图均是树。
T1
T2
T3
T4
注：平凡图称为平凡树。
定义 无圈图称为森林。
注；(1) 树与森林都是简单图;
n1 2 n3 2n4 (k 2)nk。
推论 假定(n, m)图G 是由k棵树组成的森林，则m = n-k。 证明 设G 的每棵树的点数与边数分别是ni 和mi (1≤i≤k) 。 则mi = ni -1, i =1, 2,…, k。 因此
比如
1 2 3 7 4 5 8
6
(4, 3, 5, 3, 4, 5)
很容易验证上述过程可逆。 注： 以上讨论的生成树的棵数均指标定图而言。标定图的 生成树的数量远大于非标定图生成树的数量。如标定图K6 有66-2 = 1296 棵生成树，而不同构的6阶树仅6棵。
三、回路系统简介
定义 设 T 是图G=(V, E)的一棵生成树，m和n分别是G的边 数与顶点数，e1, e2,…, em-n+1 为T的弦，设 Cr 是 T 加 er 产生 的圈(r = 1, 2,…, m-n+1)，称 Cr 为对应于弦 er 的基本回路， {C1, C2,…, Cm-n+1}称为对应于生成树T的基本回路系统。
第二章 树
树的概念与性质
树的中心与形心 生成树 最小生成树
yzwang@
2.1 树的概念与性质
一、树的概念
定义 不含圈的图称为无圈图，连通的无圈图称为树。树 常用符号T 表示。
例 下面的图均是树。
T1
T2
T3
T4
注：平凡图称为平凡树。
定义 无圈图称为森林。
注；(1) 树与森林都是简单图;
n1 2 n3 2n4 (k 2)nk。
推论 假定(n, m)图G 是由k棵树组成的森林，则m = n-k。 证明 设G 的每棵树的点数与边数分别是ni 和mi (1≤i≤k) 。 则mi = ni -1, i =1, 2,…, k。 因此
《离散数学》第七章_图论-第2节-预习
定理7-2.1推论
推论1： 在n阶图G中，若从不同结点vj到vk有 路，则从vj到vk有长度小于等于n-1的通路。 证明： 若路不是通路， 则路上有重复结点， 删除所有重复结点之间的回路， 得到的是通 路， 其长度小于等于n-1。 推论2：在一个具有n个结点的图中，如果存在 经过结点vi回路（圈），则存在一条经过vi 的长度不大于n的回路（圈）。
Whitney定理
（最小点割集<=最小边割集<=最小点度数）
Whitney定理的证明
证明：设G中有n个结点m条边。 (2)若G连通 1)证明λ(G)≤δ(G)
若G是平凡图，则λ(G)=0≤δ(G)； 若G是非平凡图，由于每一结点上关联的所有 边显然包含一个边割集，因而删除最小度数 δ(G)对应结点所关联的边，则使G不连通，即 存在一个边割集的元素个数小于等于δ(G) ， 即λ(G)≤δ(G)。
e6,e5都是割边
边连通度(edgeconnectivity)
为了破坏连通性，至少需要删除多少条边? 边连通度： G是无向连通图, (G) = min{ |E’| | E’是G的边割集 } 即产生一个不连通图需删去的边的最小数 目。 规定： G非连通： (G)=0 (Kn) = n-1
0
ei (vi 1 , vi ), (ei v i 1 , v i )
v
v1 v 2 0 e e 1 2
v i 1 v i ei
vn en
结点数=边数+1
路长度 ：边的数目。
回路(closed walk)
回路： … v e v e v
0 1 1 2
当v 0 v n时
i 1
圈(cycles)
C1 C2 C3 C4 C5
图论 (2)
2013-7-10 143-7
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例9.2.12
求右图中所有结点的度数、出度 和入度，指出悬挂结点和为悬挂 边。 解 deg(v1) = 1，deg+(v
1)
v1 v4 v2
1)
v5
=
0，deg-(v
= 1
v3
deg(v2) = 4，deg+(v2) = 3，deg-(v2) = 1
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例9.3.1
判 断 下 图 G1 中 的 回 路 v3e5v4e7v1e4v3e3v2e1v1e4v3 、 v3e3v2e2v2e1v1e4v3 、v3e3v2e1v1e4v3 是否是简单回路、 基本回路？图G2 中的通路v1e1v2e6v5e7v3e2v2e6 v5e8v4 、 v1e5v5e7v3e2v2e6v5e8v4 、 v1e1v2e6v5e7v3e3v4 是否是简单通路、基本通路？并求其长度。
对于同构，形象地说，若图的结点可以任意挪 动位置，而边是完全弹性的，只要在不拉断的条件 下，一个图可以变形为另一个图，那么这两个图是 同构的。
2013-7-10 143-15
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两个图同构的必要条件
（1）结点数目相同；
（2）边数相同；
（3）度数相同的结点数相同。
9.3.1 通路与回路
通路与回路是图论中两个重要的基本概念。本 小节所述定义一般来说既适合有向图，也适合无向 图，否则，将加以说明或分开定义。
2013-7-10
143-20
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例9.2.12
求右图中所有结点的度数、出度 和入度，指出悬挂结点和为悬挂 边。 解 deg(v1) = 1，deg+(v
1)
v1 v4 v2
1)
v5
=
0，deg-(v
= 1
v3
deg(v2) = 4，deg+(v2) = 3，deg-(v2) = 1
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例9.3.1
判 断 下 图 G1 中 的 回 路 v3e5v4e7v1e4v3e3v2e1v1e4v3 、 v3e3v2e2v2e1v1e4v3 、v3e3v2e1v1e4v3 是否是简单回路、 基本回路？图G2 中的通路v1e1v2e6v5e7v3e2v2e6 v5e8v4 、 v1e5v5e7v3e2v2e6v5e8v4 、 v1e1v2e6v5e7v3e3v4 是否是简单通路、基本通路？并求其长度。
对于同构，形象地说，若图的结点可以任意挪 动位置，而边是完全弹性的，只要在不拉断的条件 下，一个图可以变形为另一个图，那么这两个图是 同构的。
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两个图同构的必要条件
（1）结点数目相同；
（2）边数相同；
（3）度数相同的结点数相同。
9.3.1 通路与回路
通路与回路是图论中两个重要的基本概念。本 小节所述定义一般来说既适合有向图，也适合无向 图，否则，将加以说明或分开定义。
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《图论》第2章 基本概念(1)
2.1 图的概念
[有向图] 设V是一个非空有限集，A是V上的二元关
系。二元组 G=(V,A) 称为（有向）图，V 中元素
称为顶点，A 中元素称为弧（有向边）。
关系A的关系图就是图G的图解。
[自环] A中的自反性图解为环形，称为自环。
[多重边] 在表达实际问题的图解中可能出现重复的
关系定义，称为多重边。
平凡图是任何图的子图。（零图无类似结论）
3
2.1 图的概念
[生成子图] G=(V, A)是 G=(V, A) 的一个子图且 V = V ，则称 G 是 G 的一个生成子图或支撑子图。
[极大子图] G=(V, A)是 G=(V, A) 的一个子图，若对
u,vV, <u,v>A 必有 <u,v>A，则称G 是G的一
S=(a1,a2,…,an,…)，即存在一个正整数，使对任何
正整数 n，都有an+= an。S 的一个 k 阶子式 Si 定义 为k 元组 Si = (ai, ai+1,…, ai+k1)。具有最大的周期 使得 S1, S2, … , S 各不相同的 S 序列称为 k 阶 De Bruijn 序列。
记为 (a1, a2, a3, …, ak1) 的点v，引入两条外向弧分
别与点 (a2, a3, …, ak1, 0) 和点 (a2, a3, …, ak1, 1) 邻 接，并将上述的弧分别标记为 k 位的 (a1, a2, a3, …, ak1 , 0) 和 (a1, a2, a3, …, ak1 , 1) 。显然点 v 同时也 被点 (1, a1, a2, …, ak2) 和点 (0, a1, a2,…, ak2) 分别
（即以4除n余0或余1）
[有向图] 设V是一个非空有限集，A是V上的二元关
系。二元组 G=(V,A) 称为（有向）图，V 中元素
称为顶点，A 中元素称为弧（有向边）。
关系A的关系图就是图G的图解。
[自环] A中的自反性图解为环形，称为自环。
[多重边] 在表达实际问题的图解中可能出现重复的
关系定义，称为多重边。
平凡图是任何图的子图。（零图无类似结论）
3
2.1 图的概念
[生成子图] G=(V, A)是 G=(V, A) 的一个子图且 V = V ，则称 G 是 G 的一个生成子图或支撑子图。
[极大子图] G=(V, A)是 G=(V, A) 的一个子图，若对
u,vV, <u,v>A 必有 <u,v>A，则称G 是G的一
S=(a1,a2,…,an,…)，即存在一个正整数，使对任何
正整数 n，都有an+= an。S 的一个 k 阶子式 Si 定义 为k 元组 Si = (ai, ai+1,…, ai+k1)。具有最大的周期 使得 S1, S2, … , S 各不相同的 S 序列称为 k 阶 De Bruijn 序列。
记为 (a1, a2, a3, …, ak1) 的点v，引入两条外向弧分
别与点 (a2, a3, …, ak1, 0) 和点 (a2, a3, …, ak1, 1) 邻 接，并将上述的弧分别标记为 k 位的 (a1, a2, a3, …, ak1 , 0) 和 (a1, a2, a3, …, ak1 , 1) 。显然点 v 同时也 被点 (1, a1, a2, …, ak2) 和点 (0, a1, a2,…, ak2) 分别
（即以4除n余0或余1）
图论第2讲
作业
P31 第11题。
E1的诱导子图。
6) 主子图：任去掉一点后所得到的图。
实例
如图是含有4个顶点，6条边的图，求其
2 3
子图 真子图 生成子图 点导出子图 主子图
边导出子图
1
4
分别有多少个？并给出详细说明。
思考
（1）在例题中含有顶点1，2，3的子图有几个？ （2）四阶完全图的所有互不同构的子图有几个？ （1）8个
（2） 18个
2. 按图G的分类
(3)按G的边有序、无序分为有向图、无向图和混合 图; 有向图：每条边都是有向边的图称为有向图； 无向图：每条边都是无向边的图称为无向图；
混合图：既有无向边， 又有有向边的图
本书主要研究无向图和有向图。
(4)按G的任意两个结点间是否有边分为完全图Kn 和不完全图。
完全图：每一对点之间均有一条边相连的图。 二部图：若一个图G的结点集V能划分为两个子 集V1和V2，使得G的每一条边{vi,vj}满足vi∈V1, vj∈V2 , 则称G是一个二部图。 完全二部图：若V1中任一结点与V2中每一结点 均有边相连接, 则称二部图为完全二部图。 若|V1|=n, |V2 |=m，则记完全二部图G为Kn, m。
简单图G的补图 :与G有相同顶点集合的简单图， 且中的两个点相邻当且仅当它们在G中不相邻。
图的同构
从图的定义可以看出， 图的最本质的内容 是结点与结点的邻接关系。 （1）顶点一一对应； （2）顶点间的边也一一对应。
对于同构， 形象地说， 若图的结点可以任意挪动 位置， 而边是完全弹性的， 只要在不拉断的条件 下， 这个图可以变形为另一个图， 那么这两个图 是同构的。 故同构的两个图从外形上看可能不一 样， 但它们的拓扑结构是一样的。
图论2
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什么是算法 例：求两个正整数m和n的最大公因子 的Euclid算法 输入：正整数m, 输入：正整数m, n。 输出：m 输出：m和n的最大 公因子。 公因子。 1） 求余数 m 除以n ， 令 r 为所 除以 n 得的余数 (0≤r<n)。 r<n)。 2) 判断 r 是否为 0 。 判断r 是否为0 若 r=0 ， 则算法终止； r=0 否则， 否则，转3)。 3) 互换。 互换。 置 m←n,n←r, 返回 n,n←r,返回 第一步
1 2 3 4 5 6 7
1 0 1 0 1 0 0 0
2 1 0 1 0 1 1 0
3 0 1 0 1 0 1 0
4 1 0 1 0 0 1 1
5 0 1 0 0 0 1 0
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6 0 1 1 1 1 0 1
7 0 0 0 1 0 1 0
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邻接矩阵 无向图的邻接矩阵：A=(aij)n×n， 其中
加权图 1
4
8
1
5
5
2
7 10
3
6
3
9 这些数字可以代表距离 费用 可 距离，费用 距离 费用，可 靠性或其他的相关参数。 靠性
返 回 上一页 下一页 主 页
一个时间安排问题
学校要为一年级的研究生开设六门 基础数学课：数理统计(S)，数值分析 (N)，图论(G)，矩阵论(M)，随机过程(R) 和数理方程(P)。按培养计划，注册的学 生必须选修其中的一门以上，你作为教 务管理人员，要设法安排一个课表，使 每个学生所选的课程，在时间上不会发 生冲突。
上一页
e 0 0 1 0 0 1 0
f 0 0 0 1 0 1 0
g 0 0 0 1 0 0 1
什么是算法 例：求两个正整数m和n的最大公因子 的Euclid算法 输入：正整数m, 输入：正整数m, n。 输出：m 输出：m和n的最大 公因子。 公因子。 1） 求余数 m 除以n ， 令 r 为所 除以 n 得的余数 (0≤r<n)。 r<n)。 2) 判断 r 是否为 0 。 判断r 是否为0 若 r=0 ， 则算法终止； r=0 否则， 否则，转3)。 3) 互换。 互换。 置 m←n,n←r, 返回 n,n←r,返回 第一步
1 2 3 4 5 6 7
1 0 1 0 1 0 0 0
2 1 0 1 0 1 1 0
3 0 1 0 1 0 1 0
4 1 0 1 0 0 1 1
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邻接矩阵 无向图的邻接矩阵：A=(aij)n×n， 其中
加权图 1
4
8
1
5
5
2
7 10
3
6
3
9 这些数字可以代表距离 费用 可 距离，费用 距离 费用，可 靠性或其他的相关参数。 靠性
返 回 上一页 下一页 主 页
一个时间安排问题
学校要为一年级的研究生开设六门 基础数学课：数理统计(S)，数值分析 (N)，图论(G)，矩阵论(M)，随机过程(R) 和数理方程(P)。按培养计划，注册的学 生必须选修其中的一门以上，你作为教 务管理人员，要设法安排一个课表，使 每个学生所选的课程，在时间上不会发 生冲突。
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差分约束系统
【题目大意】 平面上有 N 条线段，需要你找出一些垂直 于 X 轴的直线，使得这些直线与每 条线段相交至少一次，最多 R 次（与线段端 点相交不算），要求使R 最小。
差分约束系统
【题目大意】 当排队等候喂食时，奶牛喜欢和它们的朋友站得靠近 些。FJ有N（2<=N<=1000）头奶牛，编号从1到N，沿 一条直线站着等候喂食。奶牛排在队伍中的顺序和它 们的编号是相同的。因为奶牛相当苗条，所以可能有 两头或者更多奶牛站在同一位置上。即使说，如果我 们想象奶牛是站在一条数轴上的话，允许有两头或更 多奶牛拥有相同的横坐标。 一些奶牛相互间存有好感，它们希望两者之间的距离 不超过一个给定的数L。另一方面，一些奶牛相互间非 常反感，它们希望两者间的距离不小于一个给定的数D。
最短径路问题中的分层思想
【题目大意】 如今的道路密度越来越大，收费也越来越多，因 此选择最佳路径是很现实的问题。城市的道路是 双向的，每条道路有固定的旅行时间以及需要支 付的费用。路径由连续的道路组成。总时间是各 条道路旅行时间的和，总费用是各条道路所支付 费用的总和。同样的出发地和目的地，如果路径 A比路径B所需时间少且费用低，那么我们说路径 A比路径B好。对于某条路径，如果没有其他路径 比它好，那么该路径被称为最优双调路径。这样 的路径可能不止一条，或者说根本不存在。
二分图匹配的应用
二分图匹配的应用
二分图匹配的应用
【题目大意】 Tom最近在研究一个有趣的排序问题。通过2个栈 S1和s2，Tom希望借助以下4种操作实现将输入序列升 序排序。 操作a 如果输入序列不为空，将第一个元素压入栈S1 操作b 如果栈S1不为空，将Sl栈顶元素弹出至输出序列 操作c 如果输入序列不为空，将第一个元素压入栈s2 操作d 如果栈S2不为空，将S2栈顶元素弹出至输出序 列
最短路应用
【题目大意】 给你 n 个点，m 条边，每走 1 单位的路径都 会花费 1 单位的 fuel ，并且不同的点灌油的 油的价格是不同的，现在给你一些询问，每一 个询问给你起点、终点以及油箱的容量，问你 所需要的最少的花费可以从起点到达终点。
最短路应用
【题目大意】 空间上都一些不相交的墙，英雄Jones现在在 位置1，有人在位置2呼救，所以他要过去救 他，但是有个条件，他必须在墙上走，其实就 是说他只能在图示的线段上走，但是线段间有 空隙，所以要用一个长板搭在线段间才能从一 个线段到另外一个线段，问怎么找到一个路径 使得要使用的长板最小。（注意这里指的最小， 不是指加上来的长度，而一块长坂的长度）。
差分约束系统
【题目大意】 刘备将营地连在了一起，陆逊想要估计出 多少人，所以就侦查到了没个营地的容量Ci， 即最多有多少士兵，又估计了一下从i营地到j 营地最少有多少士兵，求总共最少有多少人， 或者估计有误（出现了正、负环）。 注意：题干给的C1,C2..是容量，而不是实际人 数，如果说实际人数为X1,X2...，则Xi<=Ci。前 n个军营的总人数为Sn。
主要提纲
最小生成树 最短路 差分约束系统 二分图 强连通分量 拓扑排序
二分图
定义：二分图中，顶点可以分为两个集合X和Y， 每一条边的两个顶点都分别位于X和Y集合中
判定：利用BFS或者DFS进行黑白染色，共享 一边的两点异色，检查是否存在矛盾
二分图匹配的性质
Knig定理是一个二分图中很重要的定理，它的 意思是，一个二分图中的最大匹配数等于这个 图中的最小点覆盖数。
二分图匹配的应用
【题目大意】 给一个N*N的矩阵，有些格子有障碍，要求我 们消除这些障碍，问每次消除一行或一列的障 碍，最少要几次
主要提纲
最小生成树 最短路 差分约束系统 二分图 强连通分量 拓扑排序
最小生成树应用
【输入】 第1行给出评估的道路条数 N、村庄数目M ( < 1000 )；随后的 N 行对应村庄间道路的成本，每 行给出一对正整数，分别是两个村庄的编号，以 及此两村庄间道路的成本（也是正整数）。为简 单起见，村庄从1到M编号 【输出】 对每个测试用例，在1行里输出全省畅通需要的 最低成本。若统计数据不足以保证畅通，则输出 “?”。
最小生成树应用
【题目大意】 矮人虽小却喜欢乘坐巨大的轿车，轿车大到可以 装下无论多少矮人。某天，N(N≤5000)个矮人打 算到野外聚餐。为了集中到聚餐地点，矮人A要 么开车到矮人B家中，留下自己的轿车在矮人B家， 然后乘坐B的轿车同行；要么直接开车到聚餐地 点，并将车停放在聚餐地。 虽然矮人的家很大，可以停放无数量轿车，但是 聚餐地点却最多只能停放K辆轿车。现在给你一 张加权无向图，它描述了N个矮人的家和聚餐地 点，要你求出所有矮人开车的最短总路程。
最短径路问题中的分层思想
给出城市交通网的描述信息，起始点和终点城 市，求最优双调路径的条数。城市数n不大于 100，道路数m不大于300，每条道路的费用 和时间都是不大于100的非负整数。
最短径路问题中的分层思想
【题目大意】 某学校的校园网由n(1<=n<=50)台计算机组成，计算机 之间由网线相连，如图5。其中顶点代表计算机，边代 表网线。正如你所见，不同网线的传输能力不尽相同， 例如计算机1与计算机2之间传输信息需要34秒，而计 算机2与计算机3之间的传输信息只要10秒。计算机1 与计算机5之间传输信息需要44秒，途径为机1到机3 到机5。 现学校购买了m(1<=m<=10)台加速设备，每台设备可 作用于一条网线，使网线上传输信息用时减半。多台 设备可用于同一条网线，其效果叠加，即用两台设备， 用时为原来的1/4，用三台设备，用
二分图匹配的性质
二分图匹配的性质
最小路径覆盖=｜G｜－最大匹配数 的应用
某国有n个城镇，m条单向铁路。每条铁路都连接 着两个不同的城镇，且该铁路系统中不存在环。 现需要确定一些列车运行线，使其满足： I) 每条铁路最多属于一条列车运行线； II) 每个城镇最多被一条列车运行线通过（通过 包括作为起点或终点）； III) 每个城镇至少被一条列车运行线通过； IV) 列车运行线的数量应尽量小。 V) 在满足以上条件下列车运行线的长度和应该 尽量小。
最短径路问题中的分层思想
【题目大意】 John将选k只牛组成一个接力队伍。FJ的农场 有n块地，m条唯一的双向边连接两块不同的 地，边有一个权值表示牛通过这条边的时间。 k只牛一只接着一只，从第1块地跑到第n块地。 当一只牛第一次到达第n块地时，下一只牛就 马上从第1块地出发。但是任意两只牛的路径 必须不同。求出第k只牛到达终点的最短时间。 k不大于40，n不大于800，m不大于4000。
最短路应用
【题目大意】 求源点S到终点T的次短路数量
最短路应用
【题目大意】 我们有n个(n<=100000)字符串，每个字符串都是由 a~z的小写英文字母组成的字符串。如果字符串A的结 尾两个字符刚好与字符串B的开头两字符相匹配，那么 我们称A与B能相连（注意：A能与B相连不代表B能与A 相连）。我们希望从给定的字符串中找出一些，使得 他们首尾相接形成一个环串（一个串首尾相连也算）。 我们想要使这个环串的平均长度最长。比如下例： ababc bckjaca caahoynaab
最短径路问题中的分层思想
时为原来的1/8。如 何合理使用这些设 备，使计算机1到计 算机n传输用时最少， 这个问题急需解决。 校方请你编程解决 这个问题。例如图5， 若m=2，则将两台 设备分别用于1-3， 3-5的线路，传输用 时可减少为22秒， 这是最佳解。
主要提纲
最小生成树 最短路 差分约束系统 二分图 强连通分量 拓扑排序
图论专题
林衍凯
主要提纲
最小生成树 最短路 差分约束系统 二分图 强连通分量 拓扑排序
最小生成树算法
Kruskal Prim
最小生成树应用
【题目大意】 省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个 村庄间都可以实现公路交通（但不一定有直接 的公路相连，只要能间接通过公路可达即可）。 经过调查评估，得到的统计表中列出了有可能 建设公路的若干条道路的成本。现请你编写程 序，计算出全省畅通需要的最低成本。
差分约束系统
给出ML条关于两头奶牛间有好感的描述，再 给出MD条关于两头奶牛间存有反感的描述。 （1<=ML,MD<=10000，1<=L,D<=1000000） 你的工作是：如果不存在满足要求的方案，输 出-1；如果1号奶牛和N号 奶牛间的距离可以任意大，输出-2；否则，计 算出在满足所有要求的情况下，1号奶牛和N 号奶牛间可能的最大距离。
主要提纲
最小生成树 最短路 差分约束系统 二分图 强连通分量 拓扑排序
最短路算法
Floyd Dijkstra Bellman-Ford SPFA
最短路应用
【题目大意】 给一个n个点m条边的无向图。 每条边有权值和一个字母标号，字母标号有四种 'L' 'O' 'V' 'E' 现在要从1点到n点去 找求找到一条路径，路径按顺序构成了若干个 LOVE 注意必须是完整的LOVE 然后要求有LOVE的的条件下路径最短，如果有多 条最短路，找LOVE最多的那条
最小生成树应用
【题目大意】 对于一棵节点和边都拥有权值的树，我们 定义这棵树的权值为它的边的边权之和除以它 的节点的权值之和。 那么问题是这样的：给定一个n个节点的完 全图，你的任务是找到这个完全图上的一个m 个节点子树，使得其权值最小。
最小生成树应用
【题目大意】 有n个城市，输入每坐城市的坐标和人口。 现在要在所有城市之间修路，保证每个城市都 能相连，此时可以选取一条道路i免费，并且 保证A/B最大，所有路径的花费和最小 A是某条路i两端城市人口的和 B表示除路i以外所有路的花费的和（路径i 的花费为0）