图论2

最短路应用
【题目大意】 给你 n 个点，m 条边，每走 1 单位的路径都 会花费 1 单位的 fuel ，并且不同的点灌油的 油的价格是不同的，现在给你一些询问，每一 个询问给你起点、终点以及油箱的容量，问你 所需要的最少的花费可以从起点到达终点。
最短路应用
【题目大意】 空间上都一些不相交的墙，英雄Jones现在在 位置1，有人在位置2呼救，所以他要过去救 他，但是有个条件，他必须在墙上走，其实就 是说他只能在图示的线段上走，但是线段间有 空隙，所以要用一个长板搭在线段间才能从一 个线段到另外一个线段，问怎么找到一个路径 使得要使用的长板最小。（注意这里指的最小， 不是指加上来的长度，而一块长坂的长度）。
主要提纲
最小生成树 最短路 差分约束系统 二分图 强连通分量 拓扑排序

最短路算法
Floyd Dijkstra Bellman-Ford SPFA

最短路应用
【题目大意】 给一个n个点m条边的无向图。 每条边有权值和一个字母标号，字母标号有四种 'L' 'O' 'V' 'E' 现在要从1点到n点去 找求找到一条路径，路径按顺序构成了若干个 LOVE 注意必须是完整的LOVE 然后要求有LOVE的的条件下路径最短，如果有多 条最短路，找LOVE最多的那条
最小生成树应用
【输入】 第1行给出评估的道路条数 N、村庄数目M ( < 1000 )；随后的 N 行对应村庄间道路的成本，每 行给出一对正整数，分别是两个村庄的编号，以 及此两村庄间道路的成本（也是正整数）。为简 单起见，村庄从1到M编号 【输出】 对每个测试用例，在1行里输出全省畅通需要的 最低成本。若统计数据不足以保证畅通，则输出 “?”。
二分图匹配的应用

如果一个l～n的排列P可以通过一系列操作使 得输出序列为l,2,…,(n-1)，n，Tom就称P是一 个“可双栈排序排列”。例如 (1，3，2，4) 就是一个“可双栈排序排列”，而(2，3，4， 1)不是。下图描述了一个将(1，3，2，4)排序 的操作序列：<a,c,c,b,a,d,d,b> 当然,这样的操 作序列有可能有多个，对于上例(1，3，2，4)， <a，b，a，a，b，b，a，b>是另外一个可行 的操作序列。Tom希望知道其中字典序最小的 操作序列是什么。
差分约束系统
给出ML条关于两头奶牛间有好感的描述，再 给出MD条关于两头奶牛间存有反感的描述。 （1<=ML,MD<=10000，1<=L,D<=1000000） 你的工作是：如果不存在满足要求的方案，输 出-1；如果1号奶牛和N号 奶牛间的距离可以任意大，输出-2；否则，计 算出在满足所有要求的情况下，1号奶牛和N 号奶牛间可能的最大距离。
最小生成树应用
【题目大意】 n个点，m条边，然后给出m条边的顶点 和权值，其次是q次替换，每次替换一条边， 给出每次替换的边的顶点和权值（比原先大）， 求q次替换之后最小生成树的平均值。其中 n<3000，q<10000。
最小生成树应用
【题目大意】 求一个n点（ 2 ≤ n ≤ 100）无向图中所有 的生成树的最大权值边与最小权值边的差值的 最小值。
最短路应用

第一个串能与第二个串相连，第二个串能和第 三个串相连，第三个串能和第一个串相连，我 们按照此顺序相连，便形成了一个环串，长度 为5 + 7 + 10 = 22（重复部分算两次），总共 使用了3个串，所以平均长度是22 / 3 ≈ 7.33
最短径路问题中的分层思想
【题目大意】 有一个长方形的迷宫，被分成了N行M列，共 N×M个单元。南北或东西方向相邻的两个单元 之间可以互通，或者存在一扇锁着的门，又或者 存在一堵不可逾越的墙。迷宫中有一些单元存放 着钥匙，并且所有的门被分为P类，打开同一类 的门的钥匙相同，打开不同类的门的钥匙不同。 从一个单元移动到另一个相邻单元的时间为1， 拿取所在单元的钥匙的时间以及用钥匙开门的时 间忽略不计。求从(1,1)到(N,M)的最短时间。 N,M不大于15，P不大于10。
最短路应用
【题目大意】 求源点S到终点T的次短路数量
最短路应用
【题目大意】 我们有n个(n<=100000)字符串，每个字符串都是由 a~z的小写英文字母组成的字符串。如果字符串A的结 尾两个字符刚好与字符串B的开头两字符相匹配，那么 我们称A与B能相连（注意：A能与B相连不代表B能与A 相连）。我们希望从给定的字符串中找出一些，使得 他们首尾相接形成一个环串（一个串首尾相连也算）。 我们想要使这个环串的平均长度最长。比如下例： ababc bckjaca caahoynaab
二分图匹配的性质
二分图匹配的性质

最小路径覆盖=｜G｜－最大匹配数 二分图最大独立集=顶点数-二分图最大匹配

二分图匹配的应用
某国有n个城镇，m条单向铁路。每条铁路都连接 着两个不同的城镇，且该铁路系统中不存在环。 现需要确定一些列车运行线，使其满足： I) 每条铁路最多属于一条列车运行线； II) 每个城镇最多被一条列车运行线通过（通过 包括作为起点或终点）； III) 每个城镇至少被一条列车运行线通过； IV) 列车运行线的数量应尽量小。 V) 在满足以上条件下列车运行线的长度和应该 尽量小。
最短径路问题中的分层思想

给出城市交通网的描述信息，起始点和终点城 市，求最优双调路径的条数。城市数n不大于 100，道路数m不大于300，每条道路的费用 和时间都是不大于100的非负整数。
最短径路问题中的分层思想
【题目大意】 某学校的校园网由n(1<=n<=50)台计算机组成，计算机 之间由网线相连，如图5。其中顶点代表计算机，边代 表网线。正如你所见，不同网线的传输能力不尽相同， 例如计算机1与计算机2之间传输信息需要34秒，而计 算机2与计算机3之间的传输信息只要10秒。计算机1 与计算机5之间传输信息需要44秒，途径为机1到机3 到机5。 现学校购买了m(1<=m<=10)台加速设备，每台设备可 作用于一条网线，使网线上传输信息用时减半。多台 设备可用于同一条网线，其效果叠加，即用两台设备， 用时为原来的1/4，用三台设备，用
图论专题
林衍凯
主要提纲
最小生成树 最短路 差分约束系统 二分图 强连通分量 拓扑排序

最小生成树算法
Kruskal Prim

最小生成树应用
【题目大意】 省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个 村庄间都可以实现公路交通（但不一定有直接 的公路相连，只要能间接通过公路可达即可）。 经过调查评估，得到的统计表中列出了有可能 建设公路的若干条道路的成本。现请你编写程 序，计算出全省畅通需要的最低成本。

差分约束系统
【题目大意】 刘备将营地连在了一起，陆逊想要估计出 多少人，所以就侦查到了没个营地的容量Ci， 即最多有多少士兵，又估计了一下从i营地到j 营地最少有多少士兵，求总共最少有多少人， 或者估计有误（出现了正、负环）。 注意：题干给的C1,C2..是容量，而不是实际人 数，如果说实际人数为X1,X2...，则Xi<=Ci。前 n个军营的总人数为Sn。
二分图匹配的应用
【题目大意】 给一个N*N的矩阵，有些格子有障碍，要求我 们消除这些障碍，问每次消除一行或一列的障 碍，最少要几次

主要提纲
最小生成树 最短路 差分约束系统 二分图 强连通分量 拓扑排序

差分约束系统
【题目大意】 平面上有 N 条线段，需要你找出一些垂直 于 X 轴的直线，使得这些直线与每 条线段相交至少一次，最多 R 次（与线段端 点相交不算），要求使R 最小。

差分约束系统



【题目大意】 当排队等候喂食时，奶牛喜欢和它们的朋友站得靠近 些。FJ有N（2<=N<=1000）头奶牛，编号从1到N，沿 一条直线站着等候喂食。奶牛排在队伍中的顺序和它 们的编号是相同的。因为奶牛相当苗条，所以可能有 两头或者更多奶牛站在同一位置上。即使说，如果我 们想象奶牛是站在一条数轴上的话，允许有两头或更 多奶牛拥有相同的横坐标。 一些奶牛相互间存有好感，它们希望两者之间的距离 不超过一个给定的数L。另一方面，一些奶牛相互间非 常反感，它们希望两者间的距离不小于一个给定的数D。
最短径路问题中的分层思想
【题目大意】 如今的道路密度越来越大，收费也越来越多，因 此选择最佳路径是很现实的问题。城市的道路是 双向的，每条道路有固定的旅行时间以及需要支 付的费用。路径由连续的道路组成。总时间是各 条道路旅行时间的和，总费用是各条道路所支付 费用的总和。同样的出发地和目的地，如果路径 A比路径B所需时间少且费用低，那么我们说路径 A比路径B好。对于某条路径，如果没有其他路径 比它好，那么该路径被称为最优双调路径。这样 的路径可能不止一条，或者说根本不存在。
最小生成树应用
【题目大意】 对于一棵节点和边都拥有权值的树，我们 定义这棵树的权值为它的边的边权之和除以它 的节点的权值之和。 那么问题是这样的：给定一个n个节点的完 全图，你的任务是找到这个完全图上的一个m 个节点子树，使得其权值最小。
最小生成树应用
【题目大意】 有n个城市，输入每坐城市的坐标和人口。 现在要在所有城市之间修路，保证每个城市都 能相连，此时可以选取一条道路i免费，并且 保证A/B最大，所有路径的花费和最小 A是某条路i两端城市人口的和 B表示除路i以外所有路的花费的和（路径i 的花费为0）

主要提纲
最小生成树 最短路 差分约束系统 二分图 强连通分量 拓扑排序

二分图

定义：二分图中，顶点可以分为两个集合X和Y， 每一条边的两个顶点都分别位于X和Y集合中

判定：利用BFS或者DFS进行黑白染色，共享 一边的两点异色，检查是否存在矛盾
ห้องสมุดไป่ตู้
二分图匹配的性质

Knig定理是一个二分图中很重要的定理，它的 意思是，一个二分图中的最大匹配数等于这个 图中的最小点覆盖数。
最短径路问题中的分层思想

时为原来的1/8。如 何合理使用这些设 备，使计算机1到计 算机n传输用时最少， 这个问题急需解决。 校方请你编程解决 这个问题。例如图5， 若m=2，则将两台 设备分别用于1-3， 3-5的线路，传输用 时可减少为22秒， 这是最佳解。
主要提纲
最小生成树 最短路 差分约束系统 二分图 强连通分量 拓扑排序
最短径路问题中的分层思想
【题目大意】 John将选k只牛组成一个接力队伍。FJ的农场 有n块地，m条唯一的双向边连接两块不同的 地，边有一个权值表示牛通过这条边的时间。 k只牛一只接着一只，从第1块地跑到第n块地。 当一只牛第一次到达第n块地时，下一只牛就 马上从第1块地出发。但是任意两只牛的路径 必须不同。求出第k只牛到达终点的最短时间。 k不大于40，n不大于800，m不大于4000。
最小生成树应用
【题目大意】 矮人虽小却喜欢乘坐巨大的轿车，轿车大到可以 装下无论多少矮人。某天，N(N≤5000)个矮人打 算到野外聚餐。为了集中到聚餐地点，矮人A要 么开车到矮人B家中，留下自己的轿车在矮人B家， 然后乘坐B的轿车同行；要么直接开车到聚餐地 点，并将车停放在聚餐地。 虽然矮人的家很大，可以停放无数量轿车，但是 聚餐地点却最多只能停放K辆轿车。现在给你一 张加权无向图，它描述了N个矮人的家和聚餐地 点，要你求出所有矮人开车的最短总路程。

二分图匹配的应用
二分图匹配的应用
二分图匹配的应用



【题目大意】 Tom最近在研究一个有趣的排序问题。通过2个栈 S1和s2，Tom希望借助以下4种操作实现将输入序列升 序排序。 操作a 如果输入序列不为空，将第一个元素压入栈S1 操作b 如果栈S1不为空，将Sl栈顶元素弹出至输出序列 操作c 如果输入序列不为空，将第一个元素压入栈s2 操作d 如果栈S2不为空，将S2栈顶元素弹出至输出序 列