数据插值与曲线拟合优秀课件
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MATLAB数据拟合与插值PPT课件
% at a depth of 2 » zlinear=interp2(width, depth, temps, wi, d) ;
% linear interpolation » zcubic=interp2(width, depth, temps, wi,d, ' cubic ') ;
% cubic interpolation »plot(wi, zlinear, ' - ' , wi, zcubic)
spline ') • t =9.6734，30.0427，31.1755，25.3820
一个最常用的样条插值是对数据平滑。也就是，给定一组 数据，使用样条插值在更细的间隔求值。例如， » h=1:0.1:12;
% estimate temperature every 1/10 hour » t=interp1(hours, temps, h, ' spline ') ; »plot(hours, temps, ' - ' , hours, temps, ' + ' , h, t)
p =-9.8108 20.1293 -0.0317 polyfit 的输出是一个多项式系数的行向量。其解是
y = －9.8108x^2 ＋20.1293x－0.0317 为了将曲线拟合解与数据点比较，让我们把二者都绘成图。
» xi=linspace(0, 1, 100); % x-axis data for plotting » z=polyval(p, xi); » plot(x, y, ' o ' , x, y, xi, z, ' : ' ) » xlabel(' x '), ylabel(' y=f(x) '), title(' Second Order Curve Fitting ')
% linear interpolation » zcubic=interp2(width, depth, temps, wi,d, ' cubic ') ;
% cubic interpolation »plot(wi, zlinear, ' - ' , wi, zcubic)
spline ') • t =9.6734，30.0427，31.1755，25.3820
一个最常用的样条插值是对数据平滑。也就是，给定一组 数据，使用样条插值在更细的间隔求值。例如， » h=1:0.1:12;
% estimate temperature every 1/10 hour » t=interp1(hours, temps, h, ' spline ') ; »plot(hours, temps, ' - ' , hours, temps, ' + ' , h, t)
p =-9.8108 20.1293 -0.0317 polyfit 的输出是一个多项式系数的行向量。其解是
y = －9.8108x^2 ＋20.1293x－0.0317 为了将曲线拟合解与数据点比较，让我们把二者都绘成图。
» xi=linspace(0, 1, 100); % x-axis data for plotting » z=polyval(p, xi); » plot(x, y, ' o ' , x, y, xi, z, ' : ' ) » xlabel(' x '), ylabel(' y=f(x) '), title(' Second Order Curve Fitting ')
数学建模～插值与拟合(课件ppt)
• 代数多项式插值是最常用的插值方式，其内容也 是最丰富的，它又可分为以下几种插值方式： （1）非等距节点插值，包括拉格朗日插值、利用 均差的牛顿插值和埃特金插值； （2）非等距节点插值，包括利用差分的牛顿插值 和高斯插值等； （3）在插值中增加了导数的Hermite（埃尔米特） 插值； （4）分段插值，包括分段线性插值、分段Hermite （埃尔米特）插值和样条函数插值； （5）反插值。 • 按被插值函数的变量个数还可把插值法分为一元 插值和多元插值。
引言2---插值和拟合的联系与区别
联系：二者都是函数逼近的主要方法
• 区别： •运算过程上的区别：
– 拟合：是将数据点用最恰当的曲线描述出来，以反映问题的规律， 是特殊到一般的过程。 – 插值：是在知道曲线的形状后得出某些具体点的性质的过程,是 从一般到特殊。
•求解误差上的区别：
– 拟合：考虑观察值的误差（误差不可避免时）。以偏差的某种最 小为拟合标准
n n ik
0 i k 而： lk xi 1 i k
22
例1
x1 1, x2 2, x3 4, f ( x1 ) 8, f ( x2 ) 1, f ( x3 ) 5
求二次插值多项式。
解:
按拉格朗日方法，有：
L( x) y1l1 x y2l2 x y3l3 x ( x 2)( x 4) ( x 1)( x 4) ( x 1)( x 2) 8 1 5 (1 2)(1 4) (2 1)(2 4) (4 1)(4 2) 3x 2 16 x 21
4.2 插值方法 选用不同类型的插值函数，逼近的效 果就不同，一般有： （1）拉格朗日插值（lagrange插值） （2）分段线性插值 （3）Hermite （4）三次样条插值。
§2.7 数据的曲线拟合与插值
§2.7 数据的曲线拟合与插值在大量的应用领域中，人们经常面临用一个解析函数描述数据(通常是测量值)的任务。
对这个问题有两种方法。
人们设法找出某条光滑曲线，它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点，这种方法就是曲线拟合或回归。
另一方法是插值法，在插值法里，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据点之间所发生的情况。
本节所讲的曲线拟合主要以多项式拟合为主，对Matlab 中所涉及的插值法作详细介绍。
1．数据的曲线拟合曲线拟合涉及回答两个基本问题：最佳拟合意味着什么？应该用什么样的曲线？可用许多不同的方法定义最佳拟合，并存在无穷数目的曲线。
所以，从这里开始，我们走向何方？正如它证实的那样，当最佳拟合被解释为在数据点的最小误差平方和，且所用的曲线限定为多项式时，那么曲线拟合是相当简捷的。
数学上，称为多项式的最小二乘曲线拟合。
这里先介绍最小二乘曲线拟合的基本理论，再着重介绍Matlab 的最小二乘多项式拟合。
(1)基本知识1) 最小二乘法则已知函数)(x f y =的一组实验点n k x f x k k ,,2,1,0)),(,( =，在一个函数集合P 中选择一个函数)(*x ϕ作为函数)(x f 的近似表达式，使∑∑=∈=-=-nk k k Px nk k ky x y x 02)(02*))((min ))((ϕωϕωϕ这里0>k ω为已知的一组数值，)(k k x f y =。
函数集合P 称为拟合函数类。
2)线性模型拟合最小二乘法确定函数)(*x ϕ作为函数)(x f 的近似函数时，使用的拟合函数类P是由已知函数)(,),(),(10x x x m ϕϕϕ 的线性组合构成的线性空间{}{})(,),(),(),( )()()()()()(210221100x x x x Spanx a x a x a x a x x P m m m ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ =++++==则称)(*x ϕ是)(x f 的线性模型拟合。
《插值与拟合》课件
拟合的方法
1
最小二乘法
通过最小化残差平方和，找到与数据最匹配的函数。
2
局部加权回归
给予附近数据点更高的权重，拟合接近局部数据点的函数。
3
多项式拟合
用多项式函数逼近数据，通过选择合适的次数实现拟合。
插值与拟合的误差分析
插值和拟合都会引入近似误差，需要评估误差范围和影响因素。
插值与拟合在数据处理与分析中的应用
数据分析
通过插值和拟合方法对数据进 行探索和分析。
数据处理
在数据处理过程中使用插值和 拟合技术来填充缺失值和平滑 数据。
数据建模
利用插值和拟合模型对数据特 征进行捕捉和预测分析。
插值与拟合的推广和发展前景
随着数据科学和人工智能的不断发展，插值和拟合在各个领域的应用前景越 来越广阔。
插值与拟合的应用范围
科学研究
用于数据分析、信号优化设计、近似计算和 效能提升。
经济金融
用于市场分析、预测模型和 风险评估。
插值的方法
1
拉格朗日插值
基于多项式插值公式，用拉格朗日多项式逼近函数。
2
牛顿插值
基于差商的概念，用多项式逼近函数的值。
3
分段插值
将插值区间划分为多个子区间，并在每个子区间上进行插值。
《插值与拟合》PPT课件
插值与拟合是数值计算和数据分析中重要的概念。
插值与拟合的概念
插值
通过已知值的推算，计算在未知点的近似值。
拟合
通过曲线或曲面拟合已知数据，以描述和预 测未知数据。
插值与拟合的区别与联系
1 区别
2 联系
插值重点关注已知点的准确性，而拟合则 着重于整体形状的拟合。
插值和拟合都通过数学模型逼近离散数据， 以实现数据的补全和预测。
拟合与插值专题ppt课件
在大量的应用领域中，人们经常面临用一个解析 函数描述数据(通常是测量值)的任务。对这个问 题有两种方法。
一种是插值法，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数 据点之间所发生的情况。
另一种方法是曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线， 它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。
本专题的主要目的是：了解插值和拟合的基本内容； 掌握用Matlab求解插值与拟合问题的基本命令。
cj 103 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59
该问题即解最优化问题：
min 1 F (a,b, k)
2
1 2
10
[a be0.02kt j
j 1
c j ]2
解法1. 用命令lsqcurvefit
F(x，tdata)= (a be0.02kt1 ,, a be0.02kt10 )T ，x=(a，b，k)
ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan） lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数
F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F（x，xdatan））T
中的参变量x(向量),使得
1
2
n i 1
( F ( x,
xdatai )
2
ydatai )
最小
输入格式: (1) x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata); (2) x =lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,lb, ub);
1）编写M-文件 curvefun1.m
function f=curvefun1(x,tdata)
f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)
一种是插值法，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数 据点之间所发生的情况。
另一种方法是曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线， 它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。
本专题的主要目的是：了解插值和拟合的基本内容； 掌握用Matlab求解插值与拟合问题的基本命令。
cj 103 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59
该问题即解最优化问题：
min 1 F (a,b, k)
2
1 2
10
[a be0.02kt j
j 1
c j ]2
解法1. 用命令lsqcurvefit
F(x，tdata)= (a be0.02kt1 ,, a be0.02kt10 )T ，x=(a，b，k)
ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan） lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数
F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F（x，xdatan））T
中的参变量x(向量),使得
1
2
n i 1
( F ( x,
xdatai )
2
ydatai )
最小
输入格式: (1) x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata); (2) x =lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,lb, ub);
1）编写M-文件 curvefun1.m
function f=curvefun1(x,tdata)
f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)
第五章插值法与曲线拟合插值法精品PPT课件
f (n1) (x
(n 1)!
)
wn1(x)
,
x (a,b)
n
Ln(x) f (xi)li(x)
i0
其中
li(x ) (( x x i x x 0 0 ))(( x x i x x ii 1 1 ) )( (x x i x x ii 1 1 ) )
(x x n ) ,i
(x i x n )
计算各阶差分可按如下差分表进行.
向前差分表
xi fi fi 2 fi 3 fi
n fi
x0 f0 x1 f1 f0 x2 f2 f1 2 f0 x3 f3 f2 2 f1 3 f0
xn fn fn1 2 fn2 3 fn3
n f0
差分具有如下性质:
.
性质1(差分与函数值的关系) 各阶差分均可表示为函值
(1)
使满足
cn(xx0)(xx1)(xx2) (xxn 1)
N n (x i) f(x i), i 0 ,1 , n
(2)
为了使 N n ( x ) 的形式得到简化,引入如下记号
0(x)1
i(x)(xxi1)i1(x)
(3)
(xx0)(xx1) (xxi1), i1,2, n
定义 由式(3)定义的n+1个多项式 0(x),1(x), ,n(x)
表示f(x)在x0及x1两点的一阶差商. 用记号 f[x0,x1,x2]f[x0,xx10 ] xf2[x1,x2]
表示f(x)在x0,x1,x2三点的二阶差商. 一般地,有了k-1阶差商之后, 可以定义f(x)在x0,x1,..,xk的k阶差商
f[x 0 ,x 1 ,
,x k] f[x 0 ,x 1 ,
2 f (xi ) (f (xi )) ( f (xi h) f (xi )) f (xi h) f (xi ) f (xi 2h) 2 f (xi h) f (xi )
实验四 数据插值与拟合 共50页PPT资料
代数多项式插值是最常用的插值方式，其内容也 是最丰富的，它又可分为以下几种插值方式：
（1）非等距节点插值，包括拉格朗日插值、利用 均差的牛顿插值和埃特金插值；
（2）非等距节点插值，包括利用差分的牛顿插值 和高斯插值等；
（3）在插值中增加了导数的Hermite（埃尔米特） 插值；
（4）分段插值，包括分段线性插值、分段Hermite （埃尔米特）插值和样条函数插值；
同‘pchip’，三次Hermite多项式插值
1.Linear（分段线性插值）
它值的。算在法区是间在[xi,每xi+个1]上小的区子间插[xi值,xi+多1]项上式采为用：简单的线性插
F ix xi x xii 1 1f(xi)xx i 1 xx ii f(xi 1)
（1）nearest方法速度最快，占用内存最小，但一般 来说误差最大，插值结果最不光滑；
（2）spline三次样条插值是所有插值方法中运行耗 时最长的，其插值函数以及插值函数的一阶、二阶 导函数都连续，因此是最光滑的插值方法，占用内 存上比cubic方法小，但当已知数据点不均匀分布时 可能出现异常结果。
由此整个区间[xi,xi+1]上的插值函数为：
n
F(x) Fili(x) i1
其中 li ( x) 定义如下：
li
(x)
x
xi x
xi
xi1
xi1 xi1
xi1
, ,
x x
[xi1, xi ](i [xi , xi1](i
0略去) 0略去)
（5）反插值。 按被插值函数的变量个数还可把插值法分为一元
插值和多元插值。
《讲插值与拟合》课件
3
定义和概念
局部插值和拟合是一种在局部范围内 进行插值和拟合的方法，以提高数据 拟合的精度。
局部插值和拟合方法的优缺点
局部插值和拟合方法可以提高数据拟 合的精度，但在边界处可能存在一定 的误差。
五、总结与应用
插值与拟合的区别和联系插值和拟合都是通过构建近似函数来拟合数据，但 插值是通过通过已知数据点构造函数，并且在这些点上精确匹配，而拟合是 通过最小化误差来选择最佳的近似函数。 选择合适的方法进行插值和拟合在 实际应用中，根据数据特点和需求选择适当的插值和拟合方法，以达到最佳 的效果。 应用实例及其结果分析我们将会提供一些实际应用实例，探讨不同 方法在实际问题中的应用效果，并进行结果分析和讨论。
可以使用线性回归、多项式拟 合等方法进行最小二乘拟合。
三、样条插值和拟合
样条插值和拟合方法常用的样条插值和拟合方法包括自然样条、三次样条等，它们可以更好地逼近复杂 曲线和曲面。
四、局部插值和拟合
1
局部插值和拟合的基本思想
2
基本思想是通过选择局部区域的数据
点来构建插值或拟合函数，以适应局
部数据的特征。
《讲插值与拟合》PPT课 件
欢迎参加本次关于插值与拟合的课程！在这个课件中，我们将深入探讨插值 和拟合的概念、方法和应用，帮助您在实践中提升问题分析和解决能力。
一、插值方法概述
定义和概念
插值是根据已知数据点构造一个函数，该函数在已知数据点上具有与原函数相同的值。
插值方法的种类
常用插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
六、课程总结
从理论到实践，系统 学习插值与拟合知识
通过本课程，您将系统学 习插值与拟合的理论和实 践，获取全面的知识和技 能。
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数据插值与曲线拟 合
1 引例 简单地讲，插值是对于给定的n组离散数据，寻找
一个函数，使该函数的图像能严格通过这些数据对应 的点。 拟合并不要求函数图像通过这些点，但要求在 某种准则下，该函数在这些点处的函数值与给定的这 些值能最接近。
例1：对于下面给定的4组数据，求在x=175处 y 的值。
x 144 169 225 y 12 13 15
ji, j0
上述多项式插值又称为n次Lagrange插值。
说明： 1、多项式插值的基函数仅与节点有关，而与被
插值的原函数 y f(x) 无关；
2、插值多项式仅由数对 (xi,yi)(i0 ,1 ,2 , ,n )确定， 而与数对的排列次序无关。
3、多项式插值除拉格朗日多项式插值法外，还有 牛顿(Newton)插值法、埃尔米特(Hermite)插值法、 三次样条插值法等，可参看有关数值分析的书籍。 其中Newton插值是拉格朗日插值的一种等价变形， Hermite插值一种带导数插值条件的插值。
例2：观测物体的直线运动，得以下数据，求物体 的运动方程。
t（秒） 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 s（米） 0 10 30 50 80 110
这是一个拟合问题，其明显的特征是与数据对应的 函数未知，要找到一个函数来比较准确地表述这些数 据蕴藏的规律。显然，我们找出的函数不一定会通过 这些点，也没有必要，因为观测数据本身并不是完全 准确的。
则它们满足：
l1(x)
x x0 x1 x0
0 ij li(xj) 1 ij (i,j0,1)
称 li ( x) 为基函数，那么 P1 (x)是两个基函数的线性组合, 也称为Lagrange 线性插值函数。
当 n=2 时为抛物插值。P2 (x) 表示过三点
(x0,y0)、 (x 1,y 1)、 (x2,y2)
P 2 ( x ) l0 ( x ) y 0 l1 ( x ) y 1 l2 ( x ) y 2
也称为Lagrange 抛物插值函数。
一般地，满足插值条件的n次多项式为：
n
Pn(x) li(x)yi i0
其中基函数满足
n
(xxj )
li (x)
ji, j0 n
(i 0,1,2,,n)
(xi xj )
cos(/6)=P2(/6) ≈ 0.8508 精确值：cos (/6) ≈ 0.8660
下面来求解引例1(课堂练习)。 引例1：对于下面给定的4组数据，求在x=175处y 的值。
x 144 169 225 y 12 13 15 解：用一次拉格朗日插值：
因为插值点 x 175 位于 x1 169 和 x2 225之间，
定理：满足n+1个插值节点的次数不超过n次的多 多项式存在且唯一。
当n=1时为线性插值。P1 (x) 表示过两点 (x0,y0)、 (x1,y1) 的直线方程，即
P1(x)y0yx1 1 xy00(xx0)
稍加整理，即得
P1(x)xx0 xx11y0xx1 xx00 y1
记
l0
(x)
x x1 x0 x1
所以取 x 1 , x 2 为插值节点，则
P1(x)xx1 xx22 y1xx2xx11y2
计算得 P 1(175)13.21428572，于是
f(1 7 5 ) 1 3 .2 1 4 2 8 5 7 2
用二次拉格朗日插值：
取 x 0 1 4 4 ,x 1 1 6 9 ,x 2 2 2 5 ，则
P 2 ( x ) ( ( x x 0 x x 1 1 ) ) ( ( x x 0 x x 2 2 ) ) y 0 ( ( x x 1 x x 0 0 ) ) ( ( x x 1 x x 2 2 ) ) y 1 ( ( x x 2 x x 0 0 ) ) ( ( x x 2 x x 1 ) 1 ) y 2
例 将 [0,/2] n 等分，用 g(x) = cos(x)产生 n+1个节 点，作Pn(x)（取 n =1,2) ，计算cos(/6) 。 解: n=1, (x0, y0)=(0,1), (x1,y1)=(/2,0),
P1(x)=1-2x/, cos(/6)= P1(/6 )≈0.6667
n=2, (x0,y0)=(0,1), (x1,y1)=(/4,0.7071), (x2,y2)=(/2,0), P2(x)=8(x-/4)(x-/2)/2-16x(x-/2)0.7071/2
的抛物线方程，仿照线性插值的情形取基函数
l0(x)(x(x0 xx11))((xx0xx2)2) l2(x)(x(x2 xx11))((xx2xx0)0)
使它们满足
l1(x)((xx1 xx00))((xx1xx22))
0 ij li(xj) 1 ij (i,j0,1,2)
则 P2 (x) 可表示为三个基函数的线性组合，即
例1：对于下面给定的4组数据，求在x=175处 y 的值。
x 144 169 225 y 12 13 15 这就是一个插值问题。我们可以先确定插值函数，再 利用所得的函数来求x=175处 y 的值。 需要说明的是这3组数据事实上已经反映出 x与y的 的函数关系为：y x ，当数据量较大时，这种函数 关系是不明显的。也就是说，插值方法在处理数据时， 不论数据本身对应的被插值函数 y f(x) 是否已知， 它都要找到一个通过这些点的插值函数，此函数是被
2 数据插值的基本原理
一般地，对于给定的n+1组数据 ( x i , y i ) (i0,1,2, ,n) xi (i0,1,2, ,n)互不相等，确定一个n次多项式 Pn ( x) 使 P n (x i) y i(i 0 ,1 ,2 , ,n )。其中 Pn ( x) 称为插值函数， ( x i , y i ) 为插值节点，[a,b](am 0 i nxii,n bm 0 i nx a i)为x插值 区间，P n (x i) y i(i 0 ,1 ,2 , ,n )称为插值条件。
插值函数的一个近似，从而通过插值函数来计算被 插值函数在未知点处的近似值。 对于所构造的插值 函数要求相对简单，便于计算，一般选用多项式函 数来逼近。 例2：观测物体的直线运动，得以下数据，求物体 的运动方程。
t（秒） 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 s（米） 0 10 30 50 80 110
1 引例 简单地讲，插值是对于给定的n组离散数据，寻找
一个函数，使该函数的图像能严格通过这些数据对应 的点。 拟合并不要求函数图像通过这些点，但要求在 某种准则下，该函数在这些点处的函数值与给定的这 些值能最接近。
例1：对于下面给定的4组数据，求在x=175处 y 的值。
x 144 169 225 y 12 13 15
ji, j0
上述多项式插值又称为n次Lagrange插值。
说明： 1、多项式插值的基函数仅与节点有关，而与被
插值的原函数 y f(x) 无关；
2、插值多项式仅由数对 (xi,yi)(i0 ,1 ,2 , ,n )确定， 而与数对的排列次序无关。
3、多项式插值除拉格朗日多项式插值法外，还有 牛顿(Newton)插值法、埃尔米特(Hermite)插值法、 三次样条插值法等，可参看有关数值分析的书籍。 其中Newton插值是拉格朗日插值的一种等价变形， Hermite插值一种带导数插值条件的插值。
例2：观测物体的直线运动，得以下数据，求物体 的运动方程。
t（秒） 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 s（米） 0 10 30 50 80 110
这是一个拟合问题，其明显的特征是与数据对应的 函数未知，要找到一个函数来比较准确地表述这些数 据蕴藏的规律。显然，我们找出的函数不一定会通过 这些点，也没有必要，因为观测数据本身并不是完全 准确的。
则它们满足：
l1(x)
x x0 x1 x0
0 ij li(xj) 1 ij (i,j0,1)
称 li ( x) 为基函数，那么 P1 (x)是两个基函数的线性组合, 也称为Lagrange 线性插值函数。
当 n=2 时为抛物插值。P2 (x) 表示过三点
(x0,y0)、 (x 1,y 1)、 (x2,y2)
P 2 ( x ) l0 ( x ) y 0 l1 ( x ) y 1 l2 ( x ) y 2
也称为Lagrange 抛物插值函数。
一般地，满足插值条件的n次多项式为：
n
Pn(x) li(x)yi i0
其中基函数满足
n
(xxj )
li (x)
ji, j0 n
(i 0,1,2,,n)
(xi xj )
cos(/6)=P2(/6) ≈ 0.8508 精确值：cos (/6) ≈ 0.8660
下面来求解引例1(课堂练习)。 引例1：对于下面给定的4组数据，求在x=175处y 的值。
x 144 169 225 y 12 13 15 解：用一次拉格朗日插值：
因为插值点 x 175 位于 x1 169 和 x2 225之间，
定理：满足n+1个插值节点的次数不超过n次的多 多项式存在且唯一。
当n=1时为线性插值。P1 (x) 表示过两点 (x0,y0)、 (x1,y1) 的直线方程，即
P1(x)y0yx1 1 xy00(xx0)
稍加整理，即得
P1(x)xx0 xx11y0xx1 xx00 y1
记
l0
(x)
x x1 x0 x1
所以取 x 1 , x 2 为插值节点，则
P1(x)xx1 xx22 y1xx2xx11y2
计算得 P 1(175)13.21428572，于是
f(1 7 5 ) 1 3 .2 1 4 2 8 5 7 2
用二次拉格朗日插值：
取 x 0 1 4 4 ,x 1 1 6 9 ,x 2 2 2 5 ，则
P 2 ( x ) ( ( x x 0 x x 1 1 ) ) ( ( x x 0 x x 2 2 ) ) y 0 ( ( x x 1 x x 0 0 ) ) ( ( x x 1 x x 2 2 ) ) y 1 ( ( x x 2 x x 0 0 ) ) ( ( x x 2 x x 1 ) 1 ) y 2
例 将 [0,/2] n 等分，用 g(x) = cos(x)产生 n+1个节 点，作Pn(x)（取 n =1,2) ，计算cos(/6) 。 解: n=1, (x0, y0)=(0,1), (x1,y1)=(/2,0),
P1(x)=1-2x/, cos(/6)= P1(/6 )≈0.6667
n=2, (x0,y0)=(0,1), (x1,y1)=(/4,0.7071), (x2,y2)=(/2,0), P2(x)=8(x-/4)(x-/2)/2-16x(x-/2)0.7071/2
的抛物线方程，仿照线性插值的情形取基函数
l0(x)(x(x0 xx11))((xx0xx2)2) l2(x)(x(x2 xx11))((xx2xx0)0)
使它们满足
l1(x)((xx1 xx00))((xx1xx22))
0 ij li(xj) 1 ij (i,j0,1,2)
则 P2 (x) 可表示为三个基函数的线性组合，即
例1：对于下面给定的4组数据，求在x=175处 y 的值。
x 144 169 225 y 12 13 15 这就是一个插值问题。我们可以先确定插值函数，再 利用所得的函数来求x=175处 y 的值。 需要说明的是这3组数据事实上已经反映出 x与y的 的函数关系为：y x ，当数据量较大时，这种函数 关系是不明显的。也就是说，插值方法在处理数据时， 不论数据本身对应的被插值函数 y f(x) 是否已知， 它都要找到一个通过这些点的插值函数，此函数是被
2 数据插值的基本原理
一般地，对于给定的n+1组数据 ( x i , y i ) (i0,1,2, ,n) xi (i0,1,2, ,n)互不相等，确定一个n次多项式 Pn ( x) 使 P n (x i) y i(i 0 ,1 ,2 , ,n )。其中 Pn ( x) 称为插值函数， ( x i , y i ) 为插值节点，[a,b](am 0 i nxii,n bm 0 i nx a i)为x插值 区间，P n (x i) y i(i 0 ,1 ,2 , ,n )称为插值条件。
插值函数的一个近似，从而通过插值函数来计算被 插值函数在未知点处的近似值。 对于所构造的插值 函数要求相对简单，便于计算，一般选用多项式函 数来逼近。 例2：观测物体的直线运动，得以下数据，求物体 的运动方程。
t（秒） 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 s（米） 0 10 30 50 80 110