正弦定理教学设计

正弦定理(1) 教学设计

【教材】人教A版高中数学必修5第一章第一节

【课时安排】第1课时

【教学对象】高一（下）学生

【教材分析】正弦定理揭示了三角形的边与角的数量关系，是计算斜三角形边长或角度的重要工具之一。达到定理的言语连锁水平并进行简单应用并不难，但为了让学生掌握定理探索的一般思路和定理的本质，本节课的教学定位是：既教定理的理解运用，又教定理发现的探索思路；既强调学习该定理涉及的数学思想方法，又渗透定理体现的数学美。

【学情分析】

★认知基础：①已学过“大边对大角，小边对小角”的定性描述，具有寻找定量结论的心理期望；

②已学过锐角三角函数及解直角三角形，利于接受由特殊到一般的过渡；

③任意角的三角函数、三角函数的诱导公式为定理的证明和应用打下了基础；

★认知障碍：①猜想的证明；

②定理证明思路的切入点。

【教学目标】

★知识与技能

①了解正弦定理的应用背景，探索与证明正弦定理；

②理解正弦定理的“结构不变性”和表达这一不变性的“字母可变性”。

③了解解三角形的概念，初步学会“正用”正弦定理解决三角形中“已知两角一边求其他”和

“已知两边及其中一边对角求其他”的问题。

★过程与方法

①经历观察发现、猜想并证明正弦定理的过程，领悟定理发现的探索思路，学习由特殊到一般

的思维方式；

②通过尝试定理的证明，领悟分类讨论和化归的数学思想。

★情感态度价值观

①感受正弦定理的统一美、对称美、简洁美；

②体会正弦定理的科学价值和应用价值，形成崇尚数学的精神。

【教学重点】正弦定理的发现、证明及理解

【教学难点】正弦定理的发现与证明

【教学关键】探索时由特殊延伸到一般寻找三角形的边角数量关系；证明时将一般情形化归为已得证的特殊情形考虑。

【教学方法】以问题驱动法为主

【教学手段】板书、计算机、PPT 、几何画板 【教学流程】

【教学过程设计】

（一）背景引入，设置障碍

（1）趣味引入：

问题1：月亮离地球有多远？

由2015年12月初的“嫦娥四号将实现世界首次月球背面软着陆”的新闻，以及嫦娥奔月、“嫦娥一号”等探月的图片吸引学生注意力，提出问题1，激发好奇心；并引出法国天文学家拉朗德和其学生拉卡伊在17世纪中下旬首次计算出了地月距离的背景：选取了几乎位于同一子午线的柏林和好望角A 、B 和月球上的一地点C ，当时的技术手段只能测出AB 两地间的直线距离和∠A 、∠B 的大小，但他们使用了一个十分便捷的运算工具，就分别把地球上这两个地点到月球的距离求出来了。揭示本节课的任务就是要挖掘出这个“便捷的工具”。

设计意图：选取“计算地月距离”的天文学应用背景引入，不仅因为当时两位天文学家正是利用正弦定理代入数据求解的，体现了数学和其他科学的密切联系；而且能激发学生学习新知以便解决这个看似困难的问题的内部动机和兴趣，让学生初步感知新知所蕴含的强大应用价值和科学价值，还可引出探索三角形边角关系的环节。但由于本课时定理的应用不是重点，具体数据较复杂，故暂不提供数据，只在环节三让学生们自行理清求解思路。 （2）抽象问题：已知三角形中的两个角（∠A 、∠B ）和一条边（AB 的长），求另外两条边（AC 、背景引入 设置障碍 设计意图：将学生置于天文学应用背景中，由“大边对大角，小边对小角”的定性结论已无法满足量化需求来创设障碍，激发学生主动学习新知的动力,亦反映了生活问题—数学问题—数学形式化的发展轨迹。 新知探究 猜想证明 应用定理 反馈巩固 设计意图：通过解决开头实际背景中的地月距离问题，利于学生初步体会定理的应用价值和科学价值，亦符合学生期望；再根据桑代克的练习律与效果律设计练习，初步尝试定理的简单应用，达到巩固新知的目的。 设计意图：小结意在让学生理清定理探索的一般思路及探索过程涉及到的思维方式、数学思想方法，并上升到理解定理本质的层次；作业意在让学生巩固提高，拓宽思维和知识面，了解正弦定理更完整的结论。

课堂小结 布置作业 设计意图：从特殊入手，通过引导学生对“过去的经验”进行联系整合发现直角三角形中的正弦公式，从而搭建思维阶梯，使学生能顺阶而上，逐步击破。

BC 的长）。

（3）创设障碍：已学过的“大边对大角，小边对小角”的三角形边角关系已经无法满足具体量化需求，故引导学生由定性结论过渡到寻找定量结论，提出任务一：寻找三角形中的边角数量关系。

（二）新知探究，猜想证明

（1）特殊入手：让学生回忆旧知中能描述直角三角形中边角数量关系的定义或性质。 问题2：直角三角形中存在什么边角数量关系？

【学情预设】生1：直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半。生2：三角函数。

（2）找直角三角形的边角数量关系：出示Rt △ABC ，由学生上个问题的回答引导其发现Rt △

ABC 中有c b A c a A ==cos ,sin 等边角数量关系，转而先研究三角形中与正弦有关的边角数量关系。 【学情预设】生：sin ,cos ,tan ,sin ,cos ,tan a b a b a b A A A B B B c c b c c a

====== （3）找直角三角形中边角数量关系的特点：引导学生得出sin C =1，寻找能够沟通sin ,a A c = sin ,sin 1b B C c

==的中间量、共同的量，进而表示出c ，并将角C 统一进来，发现在Rt △ABC 中，有a c sin sin sin b A B C

==这一美妙的边角数量关系；带领学生共同感受所得关系的简洁、对称、统一之美。

设计意图：以学生已有的知识经验为基础，引导学生建立新旧知识间的内在联系，便于学生完成对新知识的迁移。而带领学生感受数学美是一项潜移默化的长期任务，应借此培养他们主动感受和挖掘更多数学美的习惯，并鼓励学生发散思维、从而引入下一环节。

（4）推广结论，实验探索：

问题3：一般三角形中是否存在类似的美妙关系？

将研究对象由特殊延伸到一般、由直角三角形推广至一般三角形，引导学生通过观察几何画板所展示的任意构造的形状大小不一的锐角或钝角三角形所对应的每组比值的特点。

发现特点：在许多锐角或钝角三角形中三个比值都相等，似乎都存在着一致的边角数量关系：a c sin sin sin b A B C

==，即各边边长与所对角的正弦之比相等。 设计意图：由三角形有成千上万来初步凸现分类讨论的必要性；并利用几何画板展示素材的直观性、任意性、可测性等优点，通过直观的“形变神不变”和分情况演示证实关系可能在一般三角形中成立，从而加强学生的猜想。

（5）提出猜想：在任意△ABC 中，a c sin sin sin b A B C

==是成立的。