§6.2 电子的自旋算符和自旋函数
电子自旋算符和自旋函数
得：b = c* (或c = b*)
| c |2 0 0 | c |2
0 c* x c 0
x
2
0 c 0 c c 0 c 0
* *
I
| c |2 1
令c = exp[iα ] α 为实，则
ˆ ˆ ˆ ˆ S i Sx j S y k Sz
自旋角动量满足的对易关系是：
ˆ S ˆ2 S ˆ2 S ˆ2 S x y z
2
ˆ ˆ ˆ S S iS
(7.2 1)
ˆ ,S ˆ ] iS ˆ [ S x y z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S S iS [ S y , S z ] iS x [ S ˆ ,S ˆ ] iS ˆ y z x
最后得 SZ 的矩阵 形式
1 0 Sz 2 0 1
（7.2-21） （7.2-22）
Pauli算符的矩阵形式 根据定义
2
1 0 ˆ z Sz 0 1
2
1 0 ˆz 0 1
2 2 2 Sx Sy S z2 . 4
(7.2 3)
2
所以，
3 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ S Sx S y Sz 4
2
(7.2 4)
令 S s(s 1) (7.2 5) 2 2 将上式与轨道角动量平方算符的本征值 L l (l 1) 比较，可知s与角量子数 l 相当，我们称s为自旋量子数。但 这里s只能取一个数值，即s=1/2.
S z 1 2 1
2
16讲电子自旋
实验上，高温炉中的氢原子处于高压， 从炉中出来后气压骤降迅速冷却，使得 电子处于基态： ) = (10)， l = 0 → m = 0 (nl ∴ 所以， 所以， → Fz =0,原子似乎不应该偏转。 ∴→ M z电子偏转必然不来自轨道磁矩
7
一、电子自旋实验(6) 电子自旋实验
∂B 实验表明 Fz = − M z ≠ 0, 且 M z = ± µ B ∂z 分析表明 M z 不应该是轨道磁矩( M z = µ B m ) 由此，人们猜测： (1)除轨道磁矩外，必然存在别的磁矩。 (2)如果存在某种磁矩，它应该只取两个值。 此外，对银原子、钠原子这些多电子原 子，该如何解释？
20
三、自旋角动量算符与泡里算符(2) 自旋角动量算符与泡里算符 r
三、自旋角动量算符与泡里算符(3) 自旋角动量算符与泡里算符 r ˆ 引进无量纲的算符 σ → Pauli 算符， r r ˆ ˆ 其定义为 S = (h 2)σ , 有 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σ xσ y − σ yσ x = 2iσ z S x S y − S y S x = ih S z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S y S z − S z S y = i h S x → σ yσ z − σ zσ y = 2i σ x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S S − S S = ihS ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σ σ − σ σ = 2i σ
14
二、自旋态与自旋波函数(2) 自旋态与自旋波函数
∴ψ ( r , s z )可用一个列向量来表示 ψ 1 ( r ) → s z = h / 2的自旋态 ψ = ψ 2 ( r ) → s z = − h / 2的自旋态 按波函数的统计诠释，电子以 一定的概率处于 ψ 1 ( r )或 ψ 2 ( r )，
§6.2 电子的自旋算符和自旋函数
§6.2 电子的自旋算符和自旋函数重点：自旋算符和波函数的引入及意义（一）自旋算符与轨道角动量满足同样的对易关系：（6.2-1a）分量式为：（6.2-1b）及（6.2-2）由于在空间任意方向上的投影只能取两个数值，所以三个算符的本征都是，即（6.2-3）的本征值用磁量子数示的式子，可以把的仿照轨道角动量z方向分量算符本征值表为（6.2-4）其中为自旋磁量子数。
因为自旋角动量平方算符：所以的本征值是（6.2-5）仿照的本征值用角量子数表示的式子，的本征值也可写成（6.2-6）比较（6.2-5）与（6.2-6）式，可得，我们称s为自旋量子数，它只能取一个数值，即。
（二）自旋波函数电子具有自旋，所以描写电子状态的波函数除包括描写其质心坐标x、y、z的自变量外，还需引入描写自旋变量S z，所以电子的波函数庆写为（6.2-7）由于S z只能取两个数值，所以上式实际上相当于两个波函数（6.2-8）根据波函数的统计解释，和表示t时刻的x、y、z点附近单位体积内找到电子自旋分别和的几率。
因此考虑到电子自旋以后，电子波函数的归一化条件为（6.2-9）和对x、y、z的依赖关系当电子的自旋和轨道运动相互作用小到可以略去时，这时是相同时，我们可以把（6.2-10）是描写自旋状态自旋函数，称为自旋波函数。
它的自旋变量S z只是取和式中（6.2-12）和任何力学量的算符一样，它的本征函数应是正交归一的，即（6.2-13）的态中，找到自旋的电子的几率为1，找到自显然，对于本征值为的电子的几率为零，因此，的函数数值可取为旋为（6.2-14）相似地有（6.2-15）首先把电子的波函数（6.2-8）式用下列二行一列矩阵表示（6.2-16）则（6.2-17）分别表示电子处于及的自旋态，而（6.2-18）是的共轭矩阵，于是波函数的归一化条件为（6.2-19）由（6.2-14）、（6.2-15）式，可将自旋波函数用下列二行一列矩阵来表示（6.2-20）其共厄矩阵为（6.2-21）正交归一关系为（6.2-22）当波函数用上述二行一列矩阵表示，则自旋算符应是二行二列矩阵，以便算符作用在波函数上仍得出二行一列的矩阵。
第六章电子自旋
⃗ ·S ⃗ ，⃗ ⃗ 等项。因为电子的自旋是其内禀属性，与轨道部分无直接关系，在不考虑 一般，H 需要包含B r·S 自旋轨道耦合作用时，我们可以作变量分离，令 ψ (⃗ r, Sz ) = ϕ (⃗ r) χ (Sz ) a b 于Sz = /2的几率，|b| 表示处于Sz = − /2的几率，归一化要求|a| + |b| = 1。 3
0 1
2
1 0 0 −1
)
(1 0) − 0 0 0 1 1 0 0 0 ) )
(0 1) =
(0 1) =
(1 0) =
Chapter VI
在二次量子化以后， |+⟩ =⇒ c+ i↑ 因此 ni S
+ + = c+ i↑ ci↑ + ci↓ ci↓
6.1 电 子自 旋 态 矢 量
S-G 实验清楚地告诉我们电子自旋z 方向的分量只有两个值，ms = ±1/2，可以用量子数Sz = ± /2来标注， 因此描述电子波函数应当写成二分量的形式 ψ (⃗ r, /2) ψ (⃗ r, − /2)
Ψ (⃗ r , Sz ) = 是一个旋量(spinor )波函数。
a b a b
a b
=λ
−1/2 λ
=0
λ =
1 1 1/2, a = b =⇒ χ′ + = √ 2 1 ⟩ 1 1 −1/2, a = −b =⇒ χ′ − = √ 2 −1 ⟩
( 2 ) 1 Example：在 S , Sz 表象中，有一个自旋向上的电子 → χ+ ，求测量Sx 的值和几率。 0 测量Sx 的值只能是sx = ± /2， 几率： χ′ + |χ+ ⟨ ⟨ ⟩
电子的自旋算符与自旋波函数
e 2c
可见电子回转磁比率是轨道 回转磁比率的二倍
§2 电子的自旋算符和自旋波函数
（一）自旋算符 （二）含自旋的状态波函数 （三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵 （四）含自旋波函数的归一化和几率密度 （五）自旋波函数 （六）力学量平均值
（一）自旋算符
•自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。 •自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有着根本的差别 通常的力学量都可以表 示为坐标和动量的函数
ˆ) ˆ ˆ F F (r , p
而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态 的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。 与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算 符描写，记为 ˆ
S
自旋角动量 轨道角动量
与坐标、动量无关 同是角动量
ˆ r p
不适用
异同点
1 s 2
自旋量子数 s 只有一个数值
（二）含自旋的状态波函数
因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用 (x, y, z) 三个坐标变量外，还需要一个自旋变量 (SZ），于是电 子的含自旋的波函数需写为： ( x ,y , z , S , t ) ( r t ) ( x ,y ,z , ,t ) z 1 , 2 ( r ,t ) ( x ,y ,z , ,t ) 2 2 由于 SZ 只取 ±/2 两个值，
x y
由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 ±/2 两个值 所以
ˆ S x
ˆ S y
ˆ S z
的本征值都是±/2，其平方为[/2]2
3 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ S S S S x y z 4
第21讲6电子自旋单三重态3
ˆ ˆ2 J,J 2 2 =0 ˆ ˆ2 ˆ ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ2 ˆ ˆ ˆ2 J,J ,J1 ＝ J1 +J2 +2J1 J2 ,J1 =0 1 = J1 +J 2 ˆ2 ˆ2 ˆ J J J ˆ ,J ˆ ,J ˆ ,J =0 =0 =0 z 1 z 2 z 2
2
1
3 2 ˆ1x 1 s1z s ˆ2 x 1 s 2z 2[s 2 2 2 ˆ1y 1 s1z s ˆ2 y 1 s 2 z s ˆ1z 1 s1z s ˆ2 z 1 s 2 z ] s
2 (1) 2 2 S 2 2 2
• §6.1 • §6.2 • §6.3
提纲
电子自旋 电子的自旋算符和自旋函数 自旋单态和自旋三重态
第21讲 第六章 自旋和角动量
§6.3 自旋单态和自旋三重态 作业：6.8
结束
§6.3 自旋单态和自旋三重态
• 引言 • 研究体系 • 两自旋角动量的耦合—单态和三重态的概 念 • 耦合表象中自旋平方和分量的本征值 返回
jmin = j1 -j2
j=j1 +j2 ,j1 +j2 -1,..., j1 -j2
返回
研究体系
两粒子体系，自旋都是1／2的粒子 哈密顿算符不含自旋 总自旋波函数特点：
s1z ,s2 z s1z s2 z
1 2
等于每一个粒子的自旋波函数的乘积。
返回
两自旋角动量的耦合—单态和三重态的概念
耦合表象中自旋平方和分量的本征值
结论之二：三个对称波函数的区别（三重态） 共性：两个粒子的自旋都平行P265 ˆ 作用在对称波函数上时本征值分别是 S 、 - 、 0 z 1 S 自旋都平行于z轴，方向都朝上； 2 S 自旋都反平行于z轴，方向都朝下； 3 S 自旋虽平行，但与z轴不平行，合成后 的总自旋角动量与z轴垂直，z轴分量为零。
自旋角动量算符
自旋角动量算符是描述电子内禀属性自旋角动量的算符。
自旋角动量是电子的内禀属性，无经典对应，不能象轨道角动量一样写成r 和p的函数，而是描述电子状态的又一个新的力学量。
自旋角动量算符与轨道角动量算符的对易关系一致，因此可以利用角动量的定义和性质来研究自旋角动量。
自旋角动量的分量算符s^x、s^y、s^z具有和轨道角动量算符分量一样的对易关系，即有[s^i,s^j]=iϵij ks^k。
类似地，我们也可以定义自旋算符s^+=s^x+is^y和s−=s^x−is^y，它们满足的对易关系为[s^+,s−]=2s^z。
同时，自旋算符的本征值σ称为自旋变量，它是算符s^z的本征值的可能取值的集合。
当给定自旋角动量的模量平方s2时，s2=s(s+1)。
由于算符s^z的本征值之差必为一个整数，且当σs可取的最大值为s时，相应地有s^z的本征值可取的最小值为−s。
因此必有2s=n为一个非负整数，故有s的可取值为n/2，即s既可以是一个整数，也可以是一个半整数。
当给定s时，σ的取值可以是s, s−1,..., −s，共有2s+1种可能，这表明自旋为s的粒子的波函数共有2s+1个分量。
两个电子的自旋态和自旋算符
(3)
S ^ xχS
(1)
=
1 2 1 0
在两电子自旋的相互作用可以忽略的条件下 ,也可以用另一种数学形式来写以上各式 : 把两电子自 旋态矢量 χ( s1 z , s2 z ) 表示为两个二行一列矩阵 ( 一个电子的自旋态矢量 ) 并列写在一起 , 每个电子的各 种自旋算符以二行二列矩阵来表示 . 矩阵式的下标 1 或 2 分别表示对于第一个电子或第二个电子的自 旋态矢量或自旋算符 . 两电子的自旋算符作用于两电子自旋态矢量可以这样运算 : 第一个电子的自旋算 符只作用于第一个电子的自旋态矢量 ,与第二个电子的自旋态矢量无关 ; 第二个电子的自旋算符只作用 于第二个电子的自旋态矢量 ,与第一个电子的自旋态矢量无关 . 在运算以后仍然是两个二行一列矩阵并
…
bm b1
…
a1 bm a2 b1 a2 b2
a1
b1 b2
| A〉 | B 〉=
a2
…
an
…
bm
=
a2 ×
b2
…
bm
=
…
a2 bm a3 b1
( 5)
…
b1 an × b2
…
a n b1
…
bm
…
a n bm
2 两个电子的自旋态和各种自旋算符的矩阵表示式
一个电子的自旋算符 S ^ 1z 或 S ^ 2 z 的本征矢在 S 1 z 或 S 2 z 表象中的表示由下列矩阵式给出 : χ1 ( s1 z ) = 2 χ1 ( s2 z ) = 2
第4期
朱振和 : 两个电子的自旋态和自旋算符
299
χS χS χS
(3) (2)
(1)
( s1 z ) χ1 ( s2 z ) , = χ1 2 2 = χ1 2
电子自旋算符和自旋函数
ˆ 在空间中任意方向的投影只能取 2两个值。 由于自旋 S ˆ ,S ˆ ,S ˆ S x,坐标系后， y, z 因此，任意选定 x 三个算符的本 y z 2 2 2 2 ˆ ,S ˆ 的值都是 ˆ 2 S 4 征值都是 ， 即 x y , Sz
Sx 2 S y 2 Sz 2
（6.2.21）
（6.2.22）
6.2 电子自旋算符和自旋函数
x , y , z 称为泡利矩阵。因为任何 2 2 的厄米矩阵都 可表示为单位矩阵和 , , 三个矩阵的线性组合，所 x y z 以泡利矩阵非常有用。
现在求电子自旋算符对应的波函数。在 S z 表象中， 由本征函数 Sz 1 1 （6.2.23）
（6.2.31）
算符 G 在 态中，对坐标和自旋同时求平均的平均值为
G Gd
（6.2.32）
2
2
2
即
1 1 0 1 2 0 1 0 2 0 0 1 0 0 0 1 2 1 2 1
（6.2.24）
（6.2.25）
6.2 电子自旋算符和自旋函数
所以，S z 的本征函数为
（6.2.17） （6.2.18）
则
6.2 电子自旋算符和自旋函数
又由于 1 x
2
则
b2 x 0
2
0 1 2 b
2 即 b 1
则 be
i
0 1 若取 0 ，则 x 1 0
（6.2.19）
由对易关系得
0 i 1 y ( z x x z ) i 0 2i
（6.2.28）
电子自旋
ˆ 则 S zΨ1 = Ψ1 2
ˆ S zΨ 2 = − Ψ 2 2
ˆ S z 的本征态只有 Ψ1 ,Ψ。 2
把两个分量排成一个二行一列的矩阵为：
⎛Ψ1 ( x, y, z, t ) ⎞ Ψ =⎜ ⎟ ⎜Ψ ( x, y, z, t )⎟ ⎠ ⎝ 2
规定列矩阵 第一行对应于Sz = /2， 第二行对应于Sz = - /2。
Ψ = Ψ ( x, y, z, S z , t )
⎧ ⎪Ψ 1 ( x , y , z , t ) = Ψ ( x , y , z , + 2 , t ) ⎪ ⎨ ⎪Ψ ( x , y , z , t ) = Ψ ( x , y , z , − , t ) ⎪ 2 2 ⎩
由于 SZ 只取 ± /2 两个值，所以上式可 写为两个分量：
0 ⎞ ⎛ ⎛ 0⎞ ⎟ =Ψ 2 ( x, y, z , t )⎜ ⎟ ⎜ =⎜ ⎜1⎟ Ψ 2 ( x, y , z , t ) ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝
⎛1⎞ χ 1 (S z ) = ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ 2
ˆ Sz χ 1 =
2
2
χ1
2
Ψ −1/ 2
⎛0⎞ χ 1 (S z ) = ⎜ ⎟ ⎜1⎟ − ⎝ ⎠ 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ⎧σ x σ y + σ y σ x = 0 ⎪ ˆ ˆ ˆ ˆ ⎨σ y σ z + σ z σ y = 0 ⎪ˆ ˆ ˆ ˆ ⎩σ z σ x + σ x σ z = 0
从 反 对 易 关 系 式 出 发
证明（法一）：（以第一个式子为例）
ˆ ˆ ˆ ˆ σ xσ y + σ yσ x
说明：
1. 若已知电子处于 S z =
2
第一讲电子自旋的实验证明及性质
总磁矩为：
Mz
dM z
Je d r2 sin2
meh
r sin
nlm
2
d
r2 sin2
meh
2
2 r sin
nlm
2
d
meh
2
2 r sin nlm 2 d
• 其中：d rddr，利用波函数 nlm 的归一 关系：
nlm 2 d nlm 2 r2 sin d ddr
• 根据轨道磁矩与轨道角动量的关系：
M¶
z
gL
e
2
L$z
• 假设这个关系定性地适用于所有角动量与
磁矩。由于原子核（质子或中子）的质量
远远大于电子的质量，所以核磁矩导致的
贡献要远远小于电子自旋磁矩的贡献。
• 对于氢原子基态而言，l=0，所以原子束分 裂是电子自旋磁矩导致的，取值个数为：； 所以电子自旋为1/2。
• •
令： 属于
1 2
(
S
z)
S
z
为 S2,S
的本征值
z
的共同本征自旋波函数，
ms 1/ 2
S 2, Sz 可互相对易，本征方程为
Sˆz 1
2
(Sz )
h 2
1
2
(Sz ), Sˆz 1 2
(Sz )
h 2
1 2
(Sz )
Sˆ
2
1
2
(Sz
)
3h 4
1
(S
z
),
Sˆ
2
1
(S
z
)
2
2
3h2 4
1 (Sz) 2
• 例如在轨道角动量l的取值中不包含半整数。 而角动量A则包含了半整数，因为它代表着 角动量的普遍性。
第六章 自旋和角动量
(6.2.23)
综合上述,最后得出
,,
(6.2.24)相应地
,,
(6.2.25)
表示式(6.2.24)的、、称为泡利矩阵。
应该指出，泡利矩阵只是满足算符对易关系(6.2.9)式，在表象中给出
的一种可能的矩阵。它不是唯一的。在(6.2.21)式中，泡利矩阵固定了，
这只是一种最方便的取法，而不是唯一的取法。事实上，只取定，只固
在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加的量子数引入的。
本章只是根据电子具有自旋的实验事实，在定薛谔方程中硬加入自旋。
本章的理论也只是局限在这样的框架内。以后在相对论量子力学中，将
证明，电子的自旋将自然地包含在相对论的波动方程—狄拉克方程中。
电子轨道角动量在狄拉克方程中不再守恒，只有轨道角动量与自旋角动
定了z轴，在x-y平面中没有确定,还具有相角不确定性。角度是相角不确
定性的反映。泡利矩阵选定了，是一种特定的选择。
另外，还应该指出，泡利矩阵非常有用。因为任何2×2的厄米矩阵都
可以表示为单位矩阵及、、三个矩阵的线性组合。这些矩阵在处理自旋
问题以及相对论性的狄拉克方程中特别有用。
例1试在(，)的共同表象中求算符、、对应的矩阵。
(6.2.17)
为求出 、在 表象的矩阵形式，注意 与 反对易， 与也只能是 矩
阵，令
(6.2.18)
a、b、c、是待求的矩阵元。由于厄米，因此也厄米，在(6.2.18)式中必
有,再由
==0
(6.2.19)
得
（6.2.20）
又因, 故有
(6.2.21)
即=1，,若取，则
(6.2.22)
利用(6.2.17)式、(6.2.22)及 (6.2.10)式,可求得为
电子自旋和自旋波函数
电子自旋和自旋波函数摘要：运用利力学量算符和波函数的矩阵表示，在Sz表象中讨论了电子自旋算符及其波函数的构造，找出并证明了一些性质。
同时对比轨道角动量和自旋角动量就自旋的本质提出新的问题关键词：自旋；Sz表象；角动量自旋是量子力学的特有概念，量子力学是随着物理学的发展为了解释微观领域的实验现象，在许多物理学家的共同努力下建立并逐渐完善起来的。
其确立促进了实验工作的发展，特别在原子光谱的实验中，先后发现了光谱的精细结构和反常Zeeman效应。
如在碱金属钠原子光谱中，起初看到有一条波长为589.3nm的黄线，由于光谱仪的分辨率的提高，后来发现它是两条谱线构成的。
它的波长分别喂589.6nm和589.0nm，此即所谓碱金属光谱的双线结构。
另外，在弱磁场中，一条光谱线会分裂成偶数条谱线，称为反常Zeeman效应。
原有的量子理论已经无法解释这些新的物理现象。
1925年，为了解释，Uhlenbeck和Goudsimt提出了电子具有自旋的假设，稍后由Pauli 加以完善。
除上述实验现象外，Stern—Gerlach实验也是电子自旋±±的客观存在的重要实验依据，电子具有自旋就像电子具有的质量和电荷一样，电子的自旋也是表征电子固有属性的物理量，自宣德存在，这标志电子又有了一个新的自由度[1]依据实验事实得出：每个电子都具有自旋S，它在任意方向上得投影只能取两个值S z=±/2[2]1.1 电子自旋算符和自旋波函数在量子力学中，微观粒子的力学量用算符表示，由于自旋具有角动量的特征和量纲，运用角动量算符的普遍定义我们通过运用角动量算符的普遍定义A×A=一ihA 写出电子自旋角动量算符的定义S×S=ih S其分量式为：[Sx，Sy ]=ihSz：[Sy ，Sz ]=ihSx[Sz ，Sx ]==ihSy ． (1)根据角动量空间量子化的性质，设电子自旋量子数为s，则电子的自旋角动量沿空间特定方向的分量个2s+1=2(s=1/2)，因而S2算符的本征值为S2=s（s+1）h 2=3h2/4算符的本征值为Sz=m s h（m s=±1/2）(力学量算符的本征值就是实验中的观值)．任何电子都有相同的自旋角动量，引入无量纲的矢量算符σ（泡利算符）在σz表象中：σx=0110⎛⎫⎪⎝⎭σy=ii-⎛⎫⎪⎝⎭σz=1001⎛⎫⎪-⎝⎭泡利算符是用自旋算符S=h/2σ来定义的，显然泡利算符与自旋算符只相差一个常数h/2，它是一个无量纲的算符,在σz表象中，自旋角动量的分量算符的矩阵表示为：S x =h/20110⎛⎫⎪⎝⎭Sy= h/2ii-⎛⎫⎪⎝⎭Sz= h/21001⎛⎫⎪-⎝⎭(2)Sz在自身表象中为对角矩阵，对角矩阵元即为其本征值±h/2，S x，S y，S z的本征值均为±h/2。
量子物理—电子自旋
形象的说，即为自旋朝上的态和 自旋朝下的态。
12
（2）自旋的态矢量
空间任意方向自旋本征态如何表示？
13
连串实验 Oven Oven SGz SGz
+z
-z +z
+z SGz SG -z No signal + cos2 / 2
sin 2 / 2
-z 想象偏振测量实验。这里磁场方是测量基！ 处于+z的态，发现它是+x态或-x的概率是1/2 添加其他实验还可证明，处于某个方向正向的态， 在一个与其夹角为 的方向测分量值。获得正 值概率为 cos2 / 2 ，获得负值概率为sin 2 / 2 。
x 1 -1 / 2
算符：
z 2
z z z
2
1 0 0 -1
2
2
x+ x+ x- x-
y+ 2
0 i -i 0
y+ y- y-
15
0 1 -1 0
2
对自旋态的数学描述必须与实验事实相符并且自洽。
基本任务：对空间任何 方位（ , ）的正方向 与负方向的自旋本征 态的数学描述。
14
Sx 物理量: Sz（z向自 （x向自旋） 旋）
Sy （Y向自旋）
/2 ， /2 可观测结果： 算符本征值 / 2 ， / 2 本征矢， x+ / 2,
0 z 1 , z 0 1
1 1
/2 /2
y+ 1 i / 2, y 1 -i / 2
z
z ; 则必然要求 y
电子自旋
可以证明，对于任何角动量J， J j 此处j为总角动量量子数。 证明过程只需 要对易关系
Jx J y J y J x i J z J y J z J z J y i J x J z J x J x J z i J y
ˆx x x x x ; ˆy y y y y ; ˆz z z z z
25
3. 自旋算符与泡利矩阵
0 1 1 0 z 0 1 x 1 0
0 i y i 0
因为分量值只有两个，电子自旋角动量必须是 / 2 才能满足任何方向分量值只有两个的条件！
另外，自旋磁矩回磁比必为轨道磁矩的2倍。才 能满足电子自旋每个分量的磁矩大小都是一个 波尔磁子这一事实。 e e L L B L / S S 2 B S /
me
2me
12
（2）自旋角动量的态矢量
定义自旋平方算符为 ：
S S S S
2
2
பைடு நூலகம்
2 x
2 y
2 z
2 S x2 S y S z2
4
平方算符的本征值是唯一的，又称为常数算符
2 3 2 2 S 2 Sx Sy S z2 I 4
28
3. 自旋算符与泡利矩阵
2 3 2 2 2 S x2 S y S z2 S 2 Sx Sy S z2 4 4 2 3 1 1 2 2 2 2 2 S S S Sx S y Sz 1 4 2 2
sz 2 （2） 电子具有磁矩 S ，它和自旋角动量
电子的自旋
ˆ 描写，它无经典对 ③ 自旋角动量用自旋算符 s 应，因为不能写成坐标和动量的函数。
那么，电子的自旋算符该如何表示？计及自
旋后，电子的态函数又该如何表示？
§2 电子的自旋态和自旋算符
（一）电子自旋态的描述
考虑自旋后，电子的波函数写为二分量形式：
(r , 2 ) ( r , sz ) ( r , ) 2 第4个变量
【量子计算机中的基本概念 】 比特和昆比特
传统计算机的基本单元是一个用固体设备（晶 体管）代表的二进制数字位（bit，比特）0或者1。 晶体管关闭（输出电压为0V）代表了二进制数0， 晶体管打开（输出电压为5V）代表了二进制数1。 在任意时刻，一个存储器位只能存储和处理一个数 字0或1，不能同时存储和处理0和1。
归一化条件
d 1
共轭态
(r , ) 2 1 * ( r , ) * ( r , ) d 2 2 ( r , ) 2
* ( r , ) * ( r , ) 2 2
(sz ) 2
自旋向上的态 — (4)
(5)
ˆz 1 2 ( r , sz ) 1 2 ( r , sz ) s 2
本征值-ħ/2（自旋向下），本征函数-1/2。
0 , 1 ( r , sz ) ( r , ) 2 2
令
(sz ) 自旋向下的态 2
( m 电子折合质量 )
自旋磁矩在空间任何方向上的投影只能取两个值：
e z B 2m
(SI)
所以Stern-Gerlach实验中，原子磁矩应该来自于 电子的自旋运动，即自旋磁矩，它在 z 向投影有2个 值，所以观察到2条个分立线。
电子自旋和自旋波函数
电子自旋和自旋波函数摘要：运用利力学量算符和波函数的矩阵表示，在Sz表象中讨论了电子自旋算符及其波函数的构造，找出并证明了一些性质。
同时对比轨道角动量和自旋角动量就自旋的本质提出新的问题关键词：自旋；Sz表象；角动量自旋是量子力学的特有概念，量子力学是随着物理学的发展为了解释微观领域的实验现象，在许多物理学家的共同努力下建立并逐渐完善起来的。
其确立促进了实验工作的发展，特别在原子光谱的实验中，先后发现了光谱的精细结构和反常Zeeman效应。
如在碱金属钠原子光谱中，起初看到有一条波长为589.3nm的黄线，由于光谱仪的分辨率的提高，后来发现它是两条谱线构成的。
它的波长分别喂589.6nm和589.0nm，此即所谓碱金属光谱的双线结构。
另外，在弱磁场中，一条光谱线会分裂成偶数条谱线，称为反常Zeeman效应。
原有的量子理论已经无法解释这些新的物理现象。
1925年，为了解释，Uhlenbeck和Goudsimt提出了电子具有自旋的假设，稍后由Pauli 加以完善。
除上述实验现象外，Stern—Gerlach实验也是电子自旋±±的客观存在的重要实验依据，电子具有自旋就像电子具有的质量和电荷一样，电子的自旋也是表征电子固有属性的物理量，自宣德存在，这标志电子又有了一个新的自由度[1]依据实验事实得出：每个电子都具有自旋S，它在任意方向上得投影只能取两个值S z=±/2[2]1.1 电子自旋算符和自旋波函数在量子力学中，微观粒子的力学量用算符表示，由于自旋具有角动量的特征和量纲，运用角动量算符的普遍定义我们通过运用角动量算符的普遍定义A×A=一ihA 写出电子自旋角动量算符的定义S×S=ih S其分量式为：[Sx，Sy ]=ihSz：[Sy ，Sz ]=ihSx[Sz ，Sx ]==ihSy ． (1)根据角动量空间量子化的性质，设电子自旋量子数为s，则电子的自旋角动量沿空间特定方向的分量个2s+1=2(s=1/2)，因而S2算符的本征值为S2=s（s+1）h 2=3h2/4算符的本征值为Sz=m s h（m s=±1/2）(力学量算符的本征值就是实验中的观值)．任何电子都有相同的自旋角动量，引入无量纲的矢量算符σ（泡利算符）在σz表象中：σx=0110⎛⎫⎪⎝⎭σy=ii-⎛⎫⎪⎝⎭σz=1001⎛⎫⎪-⎝⎭泡利算符是用自旋算符S=h/2σ来定义的，显然泡利算符与自旋算符只相差一个常数h/2，它是一个无量纲的算符,在σz表象中，自旋角动量的分量算符的矩阵表示为：S x =h/20110⎛⎫⎪⎝⎭Sy= h/2ii-⎛⎫⎪⎝⎭Sz= h/21001⎛⎫⎪-⎝⎭(2)Sz在自身表象中为对角矩阵，对角矩阵元即为其本征值±h/2，S x，S y，S z的本征值均为±h/2。
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§6.2 电子的自旋算符和自旋函数
重点：
自旋算符和波函数的引入及意义
（一）自旋算符
与轨道角动量满足同样的对易关系：
（6.2-1a）
分量式为：
（6.2-1b）
及
（6.2-2）
由于在空间任意方向上的投影只能取两个数值，所以三个算符的本征都是，即
（6.2-3）
仿照轨道角动量z方向分量算符的本征值用磁量子数示的式子，可以把的本征值表为
（6.2-4）
其中为自旋磁量子数。
因为自旋角动量平方算符：
所以的本征值是
（6.2-5）
仿照的本征值用角量子数表示的式子，的本征值也可写成
（6.2-6）
比较（6.2-5）与（6.2-6）式，可得，我们称s为自旋量子数，它只能取一个数值，即。
（二）自旋波函数
电子具有自旋，所以描写电子状态的波函数除包括描写其质心坐标x、y、z的自变量外，还需引入描写自旋变量S z，所以电子的波函数庆写为
（6.2-7）
由于S z只能取两个数值，所以上式实际上相当于两个波函数
（6.2-8）
根据波函数的统计解释，和表示t时刻的x、y、z点附近单位体积内找到电子自旋分别和的几率。
因此考虑到电子自旋以后，电子波函数的归一化条件为
（6.2-9）
当电子的自旋和轨道运动相互作用小到可以略去时，这时和对x、y、z的依赖关系是相同时，我们可以把分离变量为：
（6.2-10）
式中是描写自旋状态自旋函数，称为自旋波函数。
它的自旋变量S z只是取和的本征态，则本征值方程为
（6.2-12）和任何力学量的算符一样，它的本征函数应是正交归一的，即
（6.2-13）
显然，对于本征值为的态中，找到自旋的电子的几率为1，找到自旋为的电子的几率为零，因此，的函数数值可取为
（6.2-14）相似地有
（6.2-15）首先把电子的波函数（6.2-8）式用下列二行一列矩阵表示
（6.2-16）则
（6.2-17）分别表示电子处于及的自旋态，而
（6.2-18）
是的共轭矩阵，于是波函数的归一化条件为
（6.2-19）由（6.2-14）、（6.2-15）式，可将自旋波函数用下列二行一列矩阵来表示
（6.2-20）其共厄矩阵为
（6.2-21）正交归一关系为
（6.2-22）
当波函数用上述二行一列矩阵表示，则自旋算符应是二行二列矩阵，以便算符作用在波函数上仍得出二行一列的矩阵。
为了使公式的形式和运算过程简洁，引入泡利算符以代替，它和的关系为
（6.2-23a）或
（6.2-23b）
根据（6.2-1a）及（6.2-1b）式，可知满足下列对关系
（6.2-24a）
或
（6.2-24b）
由（6.2-3）式知的本征值都是，故的本征值都是因而的取值只能为1，即
（6.2-25）由（6.2-24b）及（6.2-25）式容易得到以下关系
（6.2-26）泡利算符可表示为下的矩阵形式：
（6.2-27）。