单位根

n 次单位根

一. 复数的几何表示-----关于模和辐角

1. 复数的几何表示

(1) 我们可以作为平面上以a 和b 为坐标的点来画出每一个复数α=(a ,b ). 这个用它的点来代表复数平面称为复数平面.对应于数0的坐标原点简称为原点. 在这样的复数表示法下, 横轴上的点代表实数.而纵轴上的点表示纯虚数. 因此横轴称为实轴, 纵轴称为虚轴.

(2) 复数还可以用从原点出发的矢量α表示. 在这样的复数表示法下, 实数部分a 与虚数部分的系数b 就称为该矢量的分量.

2. 复数加法的几何意义

设α和β是两个复数, 于是:

和数α+β可以表为它的分量等于矢量α和β的对应分量之和的矢量.

也就是说, 数α+β可以用以矢量α与β为相邻边的平行四边形的对角形表示.

3. 模与辐角的概念

设复数bi a +=α,

αα⋅=+=22b a r

这个正数r 叫做复数α的模, 记作|α|. 与r 为半径原点为中心的圆周上的点所表示的具有同一个模r. 数0是唯一的以零为模的复数.

矢量α的方向是由Ox 轴正方向与该矢量的方向间的交角确定的, 用θ表示. 这个θ称为复数α的辐角. 记作θα=arg . 有:

a

b =θtan . 对于每一个复数α, 它的辐角可以有无穷多个, 彼此间各差2π的若干倍. 数0是唯一的数, 其辐角没有定义. 我们有θθsin ,cos r b r a ==, 因此

).sin (cos sin cos θθθθi r ir r bi a +=+=+

4. 关于模和辐角的定理

作两个复数

)

sin (cos ),sin (cos ϕϕλβθθαi i r +=+= 的乘积可得: ))sin()(cos(ϕθϕθλαβ+++=i r . 于是有如下性质:

βααββααβarg arg )arg(|,|||||+==

就是说, 两个复数的乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复数的乘积的辐角等于它们的辐角之和.

把上述的乘积推广到n 个复数的乘积:

|;|||||||γβαγαβ =

γβαγαβarg arg arg )arg(+++= .

特别地, ααααarg )arg(,||||n n n n ==. 我们得到如下的隶莫佛尔公式: )sin (cos )]sin (cos [θθθθn i n r i r n n +=+.

二. 关于复数的n 次根

设)sin (cos θθαi r bi a +=+=, 我们定义n α为一个自乘n 次后等于α的复数. 这个数的模显然等于n r , 它的辐角等于n k π

θ2+, 其中k 是任意的整数. 令

k=0,1,2，…,n-1, 就得到表达式n α的n 个不同的辐角值; 所以n α按照下列公式有n 个不同的值:

)1,...,2,1,0()2sin 2(cos -=+++=n k n

k i n k r n n πθπθα. 从几何意义来看: n α的这n 个值显然可以用一个内接于以原点为中心n r 为

半径的圆周的正多边形的顶点来表示.

特别地, 当α=1时, 上述论述中的r =1，θ=0，于是得到了n 1的n 个值, 即多项式1-n x 的n 个根, 它们称为n 次单位根.

三. n 次单位根

1. n 1的n 个值

)1,...,2,1,0()2sin 2(cos -=+=n k n

k i n k k ππξ 就是多项式1-n x 的n 个根, 它们称为n 次单位根.

2. n 次单位根的性质

(1) 令n

i n ππξξ2sin 2cos 1+==, 由上面关于复数辐角的讨论可知: .1,...,2,1,0,2sin 2cos -=+==n k n

k i n k k k ππξξ (2) 对于每一个单位根01:12=++++-n k k k k ξξξξ .

事实上, 因为)1)(1(112-++++-=-n n x x x x x , 令k x ξ=, 则

0)1)(1(112=++++-=--n k k k k n k ξξξξξ .

当k ≠0时, ,01≠-k ξ 所以

.1,...,2,1,0112-==++++-n k n k

k k ξξξ (3) 对于每一个单位根⎪⎩

⎪⎨⎧=++++-m 0|1:)1(2不整除当当n m n n m n k m k m k k ξξ

ξξ . 3. n 次单位根的几何解释 由于1的模是1，所以n 次单位根的这n 个值显然可以用一个内接于以原点 为中心1为半径的圆周的正n 边形的顶点来表示. 且1ξξ=的辐角是n π2, 的辐角是

k k ξξ=n k π2. 4. 本原单位根

n 个n 次单位根12,...,,,1-n ξξξ中, k k ξξ=称为本原单位根, 如果每一个单位根 都可以表示成k k ξξ=的方幂.

按照如上定义, 显然ξ是一个本原单位根.

k k ξξ=是本原单位根的充要条件是(k , n )=1(互素) .

例: 8次单位根中, 本原单位根就是以与8互素的那些小于8的正整数为下标的单位根: 7531,,,ξξξξ, 其中

82sin 82cos

1ππξi +=.

四. n 次单位根的指数表示

由复数的Taylor 展式,

x i x e ix sin cos +=,

所以由

i k e k i k πππ22sin 2cos 1=+=.

于是

n

k i n k e e i n k n i k k ππξππ2sin 2cos )(21

2+===, k=0,1,2….,n-1 满足.1,...,2,1,0,1-==n k n k ξ为多项式1)(-=n x x f 的n 个根.