2-5指数与指数函数

则 2a＋2c<2，且 2a＋2c>1。故选 D。
答案 D
考点三 指数函数的性质及应用 微点小专题
微考向 1：比较大小
【例 3】 (1)(2019·全国Ⅰ卷)已知 a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则
() A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<a<b
D．b<c<a
解析 因为 a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0,1)， 所以 a<c<b。故选 B。 答案 B
y＝|3x－1|与直线 y＝m 有两个公共点，则实 数 m 的取值范围是(0,1)。答案 (0,1)
【互动探究】 (1)若本例(2)条件变为：方程 3|x|－1＝m 有两个不同实根， 则实数 m 的取值范围是________。
解析 作出函数 y＝3|x|－1 与 y＝m 的图象如图所示，由图象知当 m>0 时，直线 y＝3|x|－1 与直线 y＝m 有两个交点，故实数 m 的取值范围是(0， ＋∞)。
解析
令
t＝|2x－m|，则
t＝|2x－m|在区间
m，＋∞ 2
上单调递增，在区
间
－∞，m 2
上单调递减。而
y＝2t
为
R
上的增函数，
所以要使函数 f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有m≤2，即 m≤4， 2
所以 m 的取值范围是(－∞，4]。 答案 (－∞，4]
(2)函数 f(x)＝12－x2＋2x＋1 的单调递减区间为________。
解析 令 g(x)＝ax2＋2x＋3，由于 f(x)的值域是0，91，所以 g(x)的值域
a>0， 是[2，＋∞)。因此有124aa－4＝2， 解得 a＝1，这时 g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)
＝13x2＋2x＋3。由于 g(x)的单调递减区间是(－∞，－1]，所以 f(x)的单调 递增区间是(－∞，－1]。
练习已知 f(x)＝|2x－1|，当 a<b<c 时，有 f(a)>fc>f(b)，则必有( )
A．a<0，b<0，c<0
B．a<0，b>0，c>0
C．2－a<2c
D．1<2a＋2c<2
解析 作出函数 f(x)＝|2x－1|的图象如图所示，因为 a<b<c，且有
f(a)>f(c)>f(b)，所以必有 a<0,0<c<1，且|2a－1|>|2c－1|，所以 1－2a>2c－1，
1,1]，所以 t∈ a，1a ，又函数 y＝(t＋1)2－2 在 a，1a 上单调递增，
则
ymax＝
1＋1 a
2－2＝14，解得
a＝13
(负值舍去)。综上，a＝3 或 a＝13。
答案 3 或1 3
【题组对点练】
1．(微考向 1)已知 a＝0.50.8，b＝0.80.5，c＝0.80.8，则( )
1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)。
n (1)
an与(n
a)n
都等于
a(n∈N*)。(×
)
(2)2a·2b＝2ab。(× )
(3)函数 y＝3·2x 与 y＝2x＋1 都不是指数函数。(√ )
(4)若 am<an(a>0，且 a≠1)，则 m<n。(× )
2．化简4 16x8y4(x<0，y<0)得( )
5．若函数 f(x)＝ax 在[－1,1]上的最大值为 2，则 a＝________。
解析 若 a>1，则 f(x)max＝f(1)＝a＝2； 若 0<a<1， 则 f(x)max＝f(－1)＝a－1＝2，得 答案 π＋8
答案 －12
指数幂运算的一般原则 1．指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便 利用法则计算。 2．先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数。 3．底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带 分数的，先化成假分数。 4．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有 负指数。
A．c<b<a
B．c<a<b
C．a<b<c
D．a<c<b
解析 因为函数 y＝0.8x 在(－∞，＋∞)上为减函数，所以 0.80.5>0.80.8， 即 b>c。因为函数 y＝x0.8 在(0，＋∞)上为增函数，所以 0.50.8<0.80.8，即 a<c， 所以 a<c<b。故选 D。
答案 D
2．(微考向 2)若函数 f(x)＝13ax2＋2x＋3 的值域是0，91，则 f(x)的单调 递增区间是________。
解析 设 u＝－x2＋2x＋1，因为 y＝12u 在 R 上为减函数，所以函数 f(x) ＝12－x2＋2x＋1 的单调递减区间即为函数 u＝－x2＋2x＋1 的单调递增区 间。又 u＝－x2＋2x＋1 的单调递增区间为(－∞，1]，所以函数 f(x)的单调 递减区间为(－∞，1]。
答案 (－∞，1]
6＝ab， 24＝b·a3，
结合 a>0，
且
a≠1，解得
a＝2， b＝3，
11 所以 f(x)＝3·2x。要使 2 x＋ 3 x≥m 在区间(－∞，1]
11 上恒成立，只需保证函数 y＝ 2 x＋ 3 x 在区间(－∞，1]上的最小值不小于
11 m 即可。因为函数 y＝ 2 x＋ 3 x 在区间(－∞，1]上为减函数，所以当 x＝1
解析 令 ax＝t，则 y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2。当 a>1 时，
因为 x∈[－1,1]，所以 t∈ 1a，a ，又函数 y＝(t＋1)2－2 在 1a，a 上单调递增，
所以 ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得 a＝3(负值舍去)。当 0<a<1 时，因为 x∈[－
解 (1)由 f(x)＝32⇒2x－21x＝32⇒2·(2x)2－3·2x－2＝0⇒ (2x－2)(2·2x＋1)＝0。 因为 2x>0，所以 2x＝2，所以 x＝1。
5．(配合例 5 使用)已知定义在 R 上的函数 f(x)＝2x－21x。 (1)若 f(x)＝3，求 x 的值；
2 (2)若 2tf(2t)＋mf(t)≥0 对任意 t∈[1,2]恒成立，求实数 m 的取值范围。
11
时，y＝
2
x＋
3
x
有最小值5。所以只需 6
m≤5即可。所以 6
m
的最大值为5。 6
4．(加强练)当 x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0 恒成立，则
实数 m 的取值范围是( )
A．(－2,1)
B．(－4,3)
C．(－3,4)
D．(－1,2)
解析 原不等式变形为 m2－m<12x，又 y＝12x 在(－∞，－1]上是减函
A．2x2y
B．2xy
C．4x2y
D．－2x2y
答案 D
4．函数 y＝ax－1a(a>0，且 a≠1)的图象可能是(
)
A
B
C
D
解析 当 a>1 时，y＝ax－1a为增函数，且在 y 轴上的截距为 0<1－1a<1，
此时四个选项均不对；当 0<a<1 时，函数 y＝ax－1a是减函数，且其图象可
视为是由函数 y＝ax 的图象向下平移1a1a>1个单位长度得到的。故选 D。 答案 D
②(ar)s＝ ars (a＞0，r，s∈Q)。
③(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈Q)。
3．指数函数的图象与性质
1．指数函数图象的画法
画指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，
－1，1 a
。
2．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，
第五节 指数与指数函数
1．根式 (1)根式的概念
(2)两个重要公式
a ②(n a)n＝ (注意 a 必须使n a有意义)。
2．有理数的指数幂 (1)幂的有关概念
③0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂 无意义 无意义 。
，0 的零次幂
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ ar＋s (a＞0，r，s∈Q)。
答案 B
比较指数式的大小的方法 1．能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小。 2．不能化成同底数的，一般引入“ 1” “ 0” 等中间量比较大小。
微考向 2：复合型函数的单调性 【例 4】 (1)已知函数 f(x)＝2|2x－m|(m 为常数)，若 f(x)在区间[2，＋∞) 上是增函数，则 m 的取值范围是________。
求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、 值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调 区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断。
微考向 3：最值问题 【例 5】 如果函数 y＝a2x＋2ax－1(a>0，且 a≠1)在区间[－1,1]上的最 大值是 14，则 a 的值为________。
答案 D
(2)若曲线 y＝|3x－1|与直线 y＝m 有两个不同交点，则实数 m 的取值范 围是________。
解析 曲线 y＝|3x－1|的图象是由函数 y＝3x 的图象向下平移一个单位长度后，再把位于 x 轴 下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的，而直 线 y＝m 的图象是平行于 x 轴的一条直线，它的 图象如图所示，由图象可得，如果曲线