浙江省2018年中考数学《图形的相似与解直角三角形》总复习阶段检测试卷含答案

阶段检测9 图形的相似与解直角三角形一、选择题(本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各小题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则tanA 的值是( )A.34B.43C.35D.452．如图，点F 在平行四边形ABCD 的边AB 上，射线CF 交DA 的延长线于点E ，在不添加辅助线的情况下，与△AEF 相似的三角形有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个第2题图 第3题图 第4题图3．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B ＝∠DAC ，则线段AC 的长为( )A ．4B ．4 2C ．6D ．434．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 在一条直线上，且直线PS 与河垂直，在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，PT 与过点Q 且与PS 垂直的直线b 的交点为R.如果QS ＝60m ，ST ＝120m ，QR ＝80m ，则河的宽度PQ 为( )A ．40mB ．60mC ．120mD ．180m5．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，AE 、CD 相交于点O ，若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是( )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶25第5题图 第6题图 第7题图6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，下列线段的比值不等于cosA 的值的是( )A.AD ACB.AC ABC.BD BCD.CD BC7．一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )A ．斜坡AB 的坡度是10° B ．斜坡AB 的坡度是tan10°C ．AC ＝1.2tan10°米D ．AB ＝ 1.2cos10°米 8．如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC ＝10米，∠B ＝36°，则中柱AD (D 为底边中点)的长是( )A ．5sin36°米B ．5cos36°米C ．5tan36°米D ．10tan36°米第8题图9．下表是小明填写实习报告的部分内容：已知：sin47°≈0.7313，cos47°≈0.6820，tan47°≈1.0724，1tan47°≈0.9325，根据以上的条件，计算出铁塔顶端到山底的高度( )A.64.87m B ．74.07m C ．84.08m D ．88.78m10．当“神舟”飞船完成变轨后，就在离地球表面400km 的圆形轨道上运行，如图，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方的A 处时，从飞船上能直接看到的地球上最远的点与P 点相距(地球半径约为6400km ，π≈3，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，结果保留整数)( )第10题图A．2133km B．2217km C．2298km D．7467km二、填空题(本大题有6小题，每小题5分，共30分)11．如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA ＝.第11题图第12题图第13题图12．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2km，从A测得船C在北偏东60°的方向，从B测得船C在北偏东30°的方向，则船C离海岸线l的距离(即CD 的长)为km.13．如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝8米，BC＝20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为米．14．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，若AB＝6，AD＝5，则DE的长为____________________．第14题图第15题图第16题图15．如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB＝2，BC＝1，连结AI，交FG于点Q，则QI ＝.16．如图，平面直角坐标系中，已知点A(4，0)和点B(0，3)，点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是.三、解答题(本大题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分)17．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．第17题图18．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)第18题图19．小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF 行走，当行走到点C处，测得∠ACF＝45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF＝60°.若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．第19题图20．如图，在△ABC 中，∠C ＝150°，AC ＝4，tanB ＝18. (1)求BC 的长；(2)利用此图形求tan15°的值(精确到0.1，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2)第20题图21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴交于点C ，与直线AD交于点A ⎝⎛⎭⎫43，53，点D 的坐标为(0，1)．第21题图(1)求直线AD 的解析式；(2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点(不与点B 重合)，当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．22．已知Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝20，AB＝10，P是边AC上一点(不包括端点A、C)，过点P作PE⊥BC于点E，过点E作EF∥AC，交AB于点F.设PC＝x，PE＝y.第22题图(1)求y与x的函数关系式；(2)是否存在点P使△PEF是Rt△？若存在，求此时的x的值；若不存在，请说明理由．23．如图1，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm.点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s.以AQ、PQ为边作平行四边形AQPD，连结DQ，交AB于点E.设运动的时间为t(单位：s)(0≤t≤4)．解答下列问题：第23题图(1)用含有t的代数式表示AE＝；(2)当t为何值时，平行四边形AQPD为矩形；(3)如图2，当t为何值时，平行四边形AQPD为菱形．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB 边上以每秒3cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连结MN.第24题图(1)若BM＝BN，求t的值；(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．阶段检测9 图形的相似与解直角三角形一、1—5.ACBCB 6—10.CBCBA二、11.55 12.3 13.(14＋23) 14.115 15.4316.⎝⎛⎭⎫0，32，(2，0)，⎝⎛⎭⎫78，0 三、17.在Rt △ABC 中，BC ＝2，∠A ＝30°，AC ＝BC tan A ＝23，则EF ＝AC ＝23，∵∠E ＝45°，∴FC ＝EF·sin E ＝6，∴AF ＝AC －FC ＝23－ 6.18．如图，作AD ⊥BC ，BH ⊥水平线，由题意得：∠ACH ＝75°，∠BCH ＝30°，AB ∥CH ，∴∠ABC ＝30°，∠ACB ＝45°，∵AB ＝32m ，∴AD ＝CD ＝AB·sin 30°＝16m ，BD ＝AB·cos 30°＝163m ，∴BC ＝CD ＋BD ＝()16＋163m ，则BH ＝BC·sin 30°＝(8＋83)m .第18题图19.作AM ⊥EF 于点M ，作BN ⊥EF 于点N ，如右图所示，由题意可得，AM ＝BN ＝60米，CD ＝100米，∠ACF ＝45°，∠BDF ＝60°，∴CM ＝AM tan 45°＝601＝60米，DN ＝BN tan 60°＝603＝203米，∴AB ＝CD ＋DN －CM ＝100＋203－60＝(40＋203)米，即A 、B 两点的距离是(40＋203)米．第19题图20．(1)过A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D ，如图1所示：在Rt △ADC 中，AC＝4，∵∠C ＝150°，∴∠ACD ＝30°，∴AD ＝12AC ＝2，CD ＝AC·cos 30°＝4×32＝23，在Rt △ABD 中，tan B ＝AD BD ＝2BD ＝18，∴BD ＝16，∴BC ＝BD －CD ＝16－23；第20题图(2)在BC 边上取一点M ，使得CM ＝AC ，连结AM ，如图2所示：∵∠ACB ＝150°，∴∠AMC ＝∠MAC ＝15°，tan 15°＝tan ∠AMD ＝AD MD ＝24＋23＝12＋3＝2－3≈0.3. 21．(1)设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b ，将A ⎝⎛⎭⎫43，53，D(0，1)代入得：⎩⎪⎨⎪⎧43k ＋b ＝53，b ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝1.故直线AD 的解析式为：y ＝12x ＋1；第21题图(2)∵直线AD 与x 轴的交点为(－2，0)，∴OB ＝2，∵点D 的坐标为(0，1)，∴OD ＝1，∵y ＝－x ＋3与x 轴交于点C(3，0)，∴OC ＝3，∴BC ＝5，∵△BOD 与△BCE 相似，∴BD BC＝BO BE ＝OD CE 或OB BC ＝OD CE ′，∴55＝2BE ＝1CE 或25＝1CE ′，∴BE ＝25，CE ＝5，或CE′＝52，∴E(2，2)或⎝⎛⎭⎫3，52. 22．(1)在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝20，AB ＝10，∴sin C ＝12，∵PE ⊥BC 于点E ，∴sin C ＝PE PC ＝12，∵PC ＝x ，PE ＝y ，∴y ＝12x(0＜x ＜20)； (2)存在点P 使△PEF 是Rt △，①如图1，当∠FPE ＝90°时，四边形PEBF 是矩形，BF ＝PE ＝12x ，四边形APEF 是平行四边形，PE ＝AF ＝12x ，∵BF ＋AF ＝AB ＝10，∴x ＝10；②如图2，当∠PFE ＝90°时，Rt △APF ∽Rt △ABC ，AF AC ＝AP AB ，AF ＝40－2x ，平行四边形AFEP 中，AF ＝PE ，即：40－2x ＝12x ，解得x ＝16；③当∠PEF ＝90°时，此时不存在符合条件的Rt △PEF.综上所述，当x ＝10或x ＝16时，存在点P 使△PEF 是Rt △.第22题图23．(1)(5－t)cm ∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8cm ，BC ＝6cm .∴由勾股定理得：AB ＝10cm ，∵点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为2cm /s ，∴BP ＝2t cm ，∴AP ＝AB －BP ＝(10－2t)cm ，∵四边形AQPD 为平行四边形，∴AE ＝12AP ＝(5－t)cm ； (2)当▱AQPD 是矩形时，PQ ⊥AC ，∴PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，∴QA AP ＝AC AB ，即2t 10－2t ＝810，解之得：t ＝209.∴当t ＝209时，▱AQPD 是矩形； (3)当▱AQPD 是菱形时，DQ ⊥AP ，则cos ∠BAC ＝AE AQ ＝AC AB ，即5－t 2t ＝45，解之得：t ＝2513.∴当t ＝2513时，▱AQPD 是菱形． 24.(1) ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，∠BAC ＝60°，∴∠B ＝30°，∴AB ＝2AC ＝10，BC ＝5 3.由题意知：BM ＝2t ，CN ＝3t ，∴BN ＝53－3t ，∵BM ＝BN ，∴2t ＝53－3t ，解得：t ＝532＋3＝103－15. (2)分两种情况：①当△MBN ∽△ABC 时，则MB AB ＝BN BC ，即2t 10＝53－3t 53，解得：t ＝52.②当△NBM ∽△ABC 时，则NB AB ＝BM BC ，即53－3t 10＝2t 53，解得：t ＝157.综上所述：当t ＝52或t ＝157时，△MBN 与△ABC 相似． (3)过M 作MD ⊥BC 于点D ，则MD ∥AC ，∴△BMD ∽△BAC ，∴MD AC ＝BM AB ，即MD 5＝2t 10，解得：MD ＝t.设四边形ACNM 的面积为y ，∴y ＝12×5×53－12(53－3t)·t ＝32t 2－532t ＋2532＝32⎝⎛⎭⎫t －522＋758 3.∴根据二次函数的性质可知，当t ＝52时，y 的值最小．此时，y 最小＝758 3.第24题图。