高等代数期末复习试题

数学系《高等代数》期末考试试卷

年级 专业 学号 姓名

注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。

；错误的在题后的括号内打“×”.每小题2分，共18分） 1．向量空间一定含有无穷多个向量. ( )

2．若向量空间

V 的维数2dim ≤V ,则V 没有真子空间. ( )

3. n 维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵必为可逆矩阵. ( )

4．线性变换把线性无关的向量组映成线性无关的向量组. ( )

5．每一个线性变换都有本征值. ( )

6．若向量ξ是线性变换σ的属于本征值λ的本征向量，则由ξ生成的子空间 为σ的不变子空间. ( )

7．保持向量间夹角不变的线性变换是正交变换. ( )

8．两个复二次型等价的充分必要条件是它们有相同的秩. ( )

9. 若两个n 阶实对称矩阵B A ,均正定,则它们的和B A +也正定. ( )

号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分）

1. 下列命题不正确的是 ( ).

A. 若向量组},,,{21r ααα 线性无关，则它的任意一部分向量所成的向量

组也线性无关；

B. 若向量组},,,{21r ααα 线性相关，则其中每一个向量都是其余向量的

线性组合；

C.若向量组},,,{21r ααα 线性无关，且每一i α可由向量},,,{21s βββ 线

装

订

线

性表示，则s r ≤；

D. )0(>n n 维向量空间的任意两个基彼此等价.

2. 下列关于同构的命题中，错误的是( ).

A ．向量空间V 的可逆线性变换是V 到V 的同构映射；

B ．数域F 上的n 维向量空间的全体线性变换所成向量空间与数域F 上的所有n 阶矩阵所成向量空间同构；

C ．若σ是数域F 上向量空间V 到W 的同构映射，则1-σ是W 到V 的同构映射；

D ．向量空间不能与它的某一个非平凡子空间同构.

3．n 阶矩阵A 有n 个不同的特征根是A 与对角矩阵相似的 ( ).

A ．充分而非必要条件；

B ．必要而非充分条件；

C ．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件．

4．二次型⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21213211312),(),,(x x x x x x x q 的矩阵是( ). A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1312； B ．⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛1112；

C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000013013；

D ．⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛000011012

5.实二次型Ax x x x x q '=),,(321正定的充分且必要条件是 ( ).

A ．0>A ；

B ．秩为3；

C ．A 合同于三阶单位矩阵；

D ．对某一,0),,(321≠'=x x x x 有0>'Ax x .

1. 复数域C 作为实数域R 上的向量空间，它的一个基是________.

2. 设},,2,1,),,,{(21n i F x x x x F i n n =∈=是数域F 上n 元行空间，对任意n n F x x x ∈),,,(21 ，定义),,,,0,0()),,,((22121-=n n x x x x x x σ，则σ是一个线性变换，且σ的核)(σKer 的维数等于______.

3. 若A 是一个正交矩阵，则2A 的行列式2A =________.

4. 在欧氏空间3R 中向量)0,0,1(1=α与)0,1,0(2=α的夹角θ=______.

5. 实数域Ｒ上5元二次型可分为_______类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价.

42分）

1．求齐次线性方程组

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++=+++=+++0

33450220230432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x 的解空间的一个基，再进一步实施正交化，求出规范正交基．

2．设⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=230120001A ,求A 的特征根及对应的特征向量.问A 是否可以对角化？若可以，则求一可逆矩阵T ，使AT T 1-为对角形.

3． 写出3元二次型32213214),,(x x x x x x x q +=的矩阵．试用非奇异的线性变换，将此二次型变为只含变量的平方项.

五．证明题（每小题10分，共20分）

1．设21,λλ为n 阶矩阵A 的属于不同特征根，21,ξξ分别是A 的属于21,λλ的特征向量，证明21ξξ+不是A 的特征向量.

2．设σ是n 维欧氏空间V 的正交变换，且ισ=2为单位变换，

A 是σ关于V 的

某一规范正交基的矩阵，证明A 为对称矩阵．

数学系《高等代数》期末考试试卷（A 卷）

年级 专业 学号 姓名 注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。

；错误的在题后的括号内打“×”.每小题2分，共18分） 1．任意数域F 可以看成是它自身上的向量空间. ( )

2．欧氏空间的两个子空间的并还是子空间．

( )

3.一个向量组存在两个极大无关组，它们所含向量的个数不相同. ( )

4．两个向量空间之间的同构映射σ的逆映射1-σ还是同构映射. ( )

5．若数域F 上的两个n 阶矩阵A 、B 相似，则A 、B 合同. ( )

6．任何一个n 阶实对称矩阵A 都相似且合同于一个实对角矩阵. ( )

7．两个复二次型等价的充要条件是它们有相同的秩. ( )

8．向量空间V 的可逆线性变换σ的核)(σKer 是空集. ( )

9．两个n 阶正交矩阵A 、B 的和还是正交矩阵. ( )

号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分）

1. 下列命题正确的是 ( ) .

A. 线性变换保持向量长度不变；

B. 对称变换保持向量的内积不变；

C. 正交变换保持向量夹角不变；

D. 线性变换保持向量的线性无关性.

2．两个n 元实二次型等价的充要条件是( ) .

A ．它们的秩相等；

B ．它们的惯性指标相等；

C ．它们的符号差相同；

D ．它们有相同的秩和符号差.

3．数域F 上所有对称矩阵的全体关于矩阵的加法及数乘所成的向量空间的维数是( ) .

A.2)1(+n n ；

B.1+n ；

C.2n ；

D. 2

)1(-n n . 装

订

线