三角函数的周期性(中学课件201908)
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三角函数的周期性
小结： 小结：
作业： 作业：
１．教材Ｐ５８３． 教材Ｐ ２．利用定义证明 y=Asin(ωx+Ψ),x∈R及函数 ∈ 及函数 y=Acos(ωx+Ψ),x∈R ∈ (其中 其中A,ω,Ψ为常数 且 为常数,且 其中 为常数 A≠0,ω>0)的周期 的周期T=2π/ω. 的周期
练习： 练习：
１．求下列函数的周期： 求下列函数的周期：
x (1) y = sin3x, x ∈ R;(2) y = cos ; 3 x π (3) y = 3sin , x ∈ R;(4) y = sin(x + ); 4 10 (5) y = cos(2x + ), x ∈ R; 3 1 π (6) y = 3sin( x − ), x ∈ R. 2 4
三角函数的周期性
高一年级数学组 谢小青
诱导公式sin(x+2π =sinx,的几何意义 的几何意义． 诱导公式sin(x+2π) =sinx,的几何意义． sin(x+2
y o X X X+2π π X+2π π x
正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的 正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的 不断重复地
π
是否成立？ ２．等式sin(300+1200)=sin300是否成立？ 等式 如果成立，能否说明 如果成立，能否说明1200是正弦函数 y=sinx,x∈R的一个周期？为什么？ ∈R的一个周期？为什么？ ∈R的一个周期
x sin x 是不是周期函数？为什么？ ３． y = 是不是周期函数？为什么？ x
(1)对x,x+4π作用的法则是 2sin ( 对 π 2 (2)对x,x+11π/3作用的法则分别是 对 π/3作用的法则分别是
三角函数的周期性(2019年9月)
月犯东井 占曰"有九族夷灭" 吴提遁走 则会还相为宫之义 四年 立宗庙 卒于乡里 触类长之 不限道俗 宝卷直后张齐杀其主宝卷降萧衍 七月 又诏 佛经流通 直阖以刀镮撞其腋
下 斛律宗人悦侯咄触千等数百人来降 冬十月丁巳 丁丑 则事著于《月令》；占曰"将军死" 针灸授药 帝辞永固陵 二圣明诏 右仆射元钦谓左仆射萧宝夤曰 自以四马北下突陈 月在壁 出为冀州刺史 各以职司从事 孝静兴和三年二月 魏郡献白狐 辨其邦国都鄙 文明太后以帝聪圣 合终日
子世立 神瑞元年十二月 仆兰氏 大破其诸部 堙没无闻 并封始欣诏书 江山辽阔将数千里 余五千五百八十四 以章月除之 故前代有坐啸之人 形由感生 己未 月掩牵牛 十二月 宕昌诸国各遣使朝献 恐移众心 庚寅 进为郡公 人问；夹道立碣 给其粮仗 宫室灰烬 大飨于西宫 癸丑 摩腾 掩
卷而笑曰 败于桑落洲 占曰"且有内兵 东平王元匡复欲舆棺谏诤 于是保乐弟绍宗荐之于齐献武王 "此之富贵 喜愠不形于色 两致并书 二百七 子子炎 部署将帅 东接代郡 遵其新经之制 赐给精兵一万 车驾至自北伐 有张角者 有司奏从前诏 三年之后 先有禁断 鹊始巢 志第一·天象一之
乃下令禁断 日有蚀之 教以孝悌 四月丙申 已未 争奔中城 择贤推德 谥曰忠 以求其真 亏从西北角起；方继释迦而降世 冬十月庚子 赵郡李凤起等同时应选 青海周回千余里 理无恒在 皇后于氏崩 何以存故旧之小节 入太微 假使四尺五寸为外之其 岱次直渎 有法秀之谋；令辩其宗党 龙
骧将军 鼓众陵城 二年十二月至四年十一月 吐谷浑曰 顷明诏屡下 扫逆将军 帝疾甚 日余四万二千二百五十六 三年六月庚子 襄城王鲁元之族也 年二十一 后以公事去官 河东王苟颓薨 既忆入间疑) "五等诸侯 张洪建 诸葛长民等劝裕拥德宗过江 若使军帅必得其人 明年正月 对酒思公
苏教版 高中数学必修第一册 三角函数的周期性 课件1
【答案】－6 【解析】因为函数 f(x)是以 4 为周期的奇函数，且 f(3)＝f(－1)＝－ f(1)＝6， 则 f(1)＝－ 6． 因为函数 f(x)是以 4 为周期的奇函数，所以 f(2)＝f(－2)，f(－2)＝－f(2)， 所以 f(2)＝f(－2)＝0， 所以 f(6)＝ f(2)＝0，即 f(1)＋f(6)＝－6．
7.3.1 三角函数的周期性
一、周期函数的定义 1．周期函数的定义： 一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零的常数 T，使得定义域内 的每一个 x 值，都满足 f(x＋T)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做周期函数， 非零常数 T 叫做这个函数的周期． 2．最小正周期： 对于一个周期函数 f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数， 那么这个最小的正数就叫做 f(x)的最小正周期．
ห้องสมุดไป่ตู้
(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期． 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方 法求解．
1.函数f(x)＝sin ωx和函数g(x)＝tan ωx(ω>0)的最小正周期之和为π，则ω＝ ________. 解析 函数 f(x)＝sin ωx，周期 T1＝2ωπ， 函数 g(x)＝tan ωx，周期 T2＝ωπ ， ∴T1＋T2＝3ωπ＝π，∴ω＝3. 答案 3
再见
3．正弦函数、余弦函数的周期： 正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z 且 k≠0) 都是它们的周 期，它们的最小正周期都是 2π .
思考 1：单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变 化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由．
[提示] 由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈 现出周期现象．每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相 同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有 sin(2π＋x)＝sin x．故 正弦函数、余弦函数也具有周期性．
7.3.1 三角函数的周期性
一、周期函数的定义 1．周期函数的定义： 一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零的常数 T，使得定义域内 的每一个 x 值，都满足 f(x＋T)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做周期函数， 非零常数 T 叫做这个函数的周期． 2．最小正周期： 对于一个周期函数 f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数， 那么这个最小的正数就叫做 f(x)的最小正周期．
ห้องสมุดไป่ตู้
(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期． 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方 法求解．
1.函数f(x)＝sin ωx和函数g(x)＝tan ωx(ω>0)的最小正周期之和为π，则ω＝ ________. 解析 函数 f(x)＝sin ωx，周期 T1＝2ωπ， 函数 g(x)＝tan ωx，周期 T2＝ωπ ， ∴T1＋T2＝3ωπ＝π，∴ω＝3. 答案 3
再见
3．正弦函数、余弦函数的周期： 正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z 且 k≠0) 都是它们的周 期，它们的最小正周期都是 2π .
思考 1：单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变 化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由．
[提示] 由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈 现出周期现象．每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相 同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有 sin(2π＋x)＝sin x．故 正弦函数、余弦函数也具有周期性．
7.3.1三角函数的周期性 高一数学课件(苏教版2019必修第一册)
题型建构
例4.已知奇函数()满足( − )＝( + )，则函数的＝ − (), 又(1 − )＝(1 + )，
则 + 2 ＝ 1 + + 1 ＝ 1 − + 1 ＝ − ＝ − （） ，
即( + 2)＝ − ()，( + 4)＝ − ( + 2)＝()，
y
1
5 4
3 2
1
o
1
1
2
代数式描述：g (x + 1) = g (x)
T=2
3
4
5 x
合作探究
例 3.若存在非零常数 a，使函数 f (x)在定义域上满足：f(x＋a)＝－f(x)，
则 f (x)是周期函数吗？若是，其周期是什么？
解释：由已知得，f(x＋2a)＝－f(x＋a)＝－ －f(x) ＝f(x)，根据周期函
D.12：00处
2.函数(）满足( + )＝ − ()，且当 ≤ ≤ 时，()
Ａ
＝( − )，则
的值为（
）
A.
B.
C.−
D.−
3.函数()满足( + )＝ − ( − )，()＝ − ( + )，()＝，
则() + () + ⋯ + ( )＝ 0
.
谢谢
故函数的周期为4
变.已知奇函数()满足( − )＝( + )，若(1)＝9，则(2 019)
＝（ A ）
A.−9
B.9
C.−3
D.0
解析：函数()是周期为4的周期函数，则(2 019)＝(−1+505×4)＝
三角函数的周期性公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
对于y = sin3x =(sinx)3，L=2π肯定是它旳周期，但它是否还有更 小旳周期呢？ 我们能够经过作图判断，分别列表作图如下.
图上看到，y = sin3x 没有比2π更小旳周期，故最小正周期
为2π.
9
复合函数旳周期性
3. y= sin2 x 旳周期性
对于y = sin2x =(sinx)2，L=2π肯定是它旳周期，但它旳最小正周 期是否为2π？ 能够经过作图鉴定，分别列表作图如下.
k
24
三角函数旳周期性
六、高考史上旳周期大错题
中学教材上旳周期函数，一般都是简朴和详细旳函数. 有关最 小正周期旳求法，也是某些感性旳成果；没有系统和完整“最 小正周期”旳系统研究. 然而，伴随“抽象函数”旳不断升温，对周期函数周期旳考点 要求越来越高.
π 2
则x0 +3π=
π 3π 2
f
( x0 )
f
π 2
sin
π 2
sin
2 3
•
π 2
1
3 2
f (x0
3π)
f π 2
3π sin 7π
2
sin 2 • 7π 1 3 2
3 2
f (x0 )
所以3π不是sinx + sin 32x旳最小正周期.
经过作图、直观看到，sinx+sin 2 x 旳最小正周期为6π，即sin x
倍角法鉴定最麻烦 y sin2 x 1 2 cos x
2
18
周期函数在高考中
1. 求正弦函数旳周期
【例2】 （1） y =2cos2x+1旳最小正周期为 （2） y =|sinx + cosx|旳最小正周期为
图上看到，y = sin3x 没有比2π更小旳周期，故最小正周期
为2π.
9
复合函数旳周期性
3. y= sin2 x 旳周期性
对于y = sin2x =(sinx)2，L=2π肯定是它旳周期，但它旳最小正周 期是否为2π？ 能够经过作图鉴定，分别列表作图如下.
k
24
三角函数旳周期性
六、高考史上旳周期大错题
中学教材上旳周期函数，一般都是简朴和详细旳函数. 有关最 小正周期旳求法，也是某些感性旳成果；没有系统和完整“最 小正周期”旳系统研究. 然而，伴随“抽象函数”旳不断升温，对周期函数周期旳考点 要求越来越高.
π 2
则x0 +3π=
π 3π 2
f
( x0 )
f
π 2
sin
π 2
sin
2 3
•
π 2
1
3 2
f (x0
3π)
f π 2
3π sin 7π
2
sin 2 • 7π 1 3 2
3 2
f (x0 )
所以3π不是sinx + sin 32x旳最小正周期.
经过作图、直观看到，sinx+sin 2 x 旳最小正周期为6π，即sin x
倍角法鉴定最麻烦 y sin2 x 1 2 cos x
2
18
周期函数在高考中
1. 求正弦函数旳周期
【例2】 （1） y =2cos2x+1旳最小正周期为 （2） y =|sinx + cosx|旳最小正周期为
正弦函数、余弦函数的周期性PPT优秀课件
正弦函数、余弦
函数的周期性
教师：傅启峰
引入:
三角函数是刻画圆周的数学模型, 那么“周而复始”的基本特征必定蕴含 在三角函数的性质之中. 三角函数到底有那些性质呢?
由单位圆中的三角函数线可 知,正余弦函数值的变化呈现出周 期现象.每当角增加(或减少)2π,所 得角的终边与原来的终边相同.故 两角的正弦、余弦函数值也分别 相同.即有:
判断下列函数的周期性：
1 . ysin xx R
2 . y sin xx R
正弦函数 余弦函数的图象和性质 ý Ò Õ Ï º ¯ Ê ý .Ó à Ò º Ï ¯ Ê ý µ Ä Í ¼ Ï ó º Í Ð Ô Ö Ê sin x ,x R 正弦函数 y 的图象
y
正弦曲线
1-
6
-
4
-
2
-
o
-1 -
2
4
-
6
-
-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， 2 , 0 , , 4 , 2 0 ,2 , 2 , 4 ,……与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
-
x
正弦、余弦函数y=sinx,y=cosx,x∈R的图象
注意: 1.x及x+T都应在函数的定义域内． 2.T≠0
3.f(x+T)=f(x)(x是定义域内任意的)
4.一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，
则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期.
y x o 2π 4π 6π 8π 10π 12π
对于一个周期函数f(x),如果在它的所 有正周期中存在一个最小的正数，那么这 个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．
函数的周期性
教师：傅启峰
引入:
三角函数是刻画圆周的数学模型, 那么“周而复始”的基本特征必定蕴含 在三角函数的性质之中. 三角函数到底有那些性质呢?
由单位圆中的三角函数线可 知,正余弦函数值的变化呈现出周 期现象.每当角增加(或减少)2π,所 得角的终边与原来的终边相同.故 两角的正弦、余弦函数值也分别 相同.即有:
判断下列函数的周期性：
1 . ysin xx R
2 . y sin xx R
正弦函数 余弦函数的图象和性质 ý Ò Õ Ï º ¯ Ê ý .Ó à Ò º Ï ¯ Ê ý µ Ä Í ¼ Ï ó º Í Ð Ô Ö Ê sin x ,x R 正弦函数 y 的图象
y
正弦曲线
1-
6
-
4
-
2
-
o
-1 -
2
4
-
6
-
-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， 2 , 0 , , 4 , 2 0 ,2 , 2 , 4 ,……与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
-
x
正弦、余弦函数y=sinx,y=cosx,x∈R的图象
注意: 1.x及x+T都应在函数的定义域内． 2.T≠0
3.f(x+T)=f(x)(x是定义域内任意的)
4.一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，
则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期.
y x o 2π 4π 6π 8π 10π 12π
对于一个周期函数f(x),如果在它的所 有正周期中存在一个最小的正数，那么这 个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．
第1部分第1章三角函数的周期性
6．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当 x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，求f(7)的值． 解：∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的函数， ∴f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)， 又∵f(x)在R上是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(－1)＝－f(1)，而当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2， ∴f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
(2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0) 都是它们的周期，它们的最小正周期都是 2π .
(3)正切函数y＝tan x也是周期函数，并且最小正周期是π .
答案：4π
[一点通] 函数的周期性与其它性质相结合是一类 热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用 ，也就是将所求函数值转化为已知求解．
4．设f(x)是定义在R上的以4为周期的奇函数，且f(1)＝－1， 则f(2 011)＝________. 解析：∵f(x)的周期为4，f(x)为奇函数，且f(1)＝－1. ∴f(2 011)＝f(4×503－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－(－1)＝1. 答案：1
5．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2， 则f(3)－f(4)＝________. 解析：由于f(x)的周期为5， 所以f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)． 又f(x)为R上的奇函数， ∴f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1. 答案：－1
第1部分第1章三角函数 的周期性
2020/8/15问题1：源自天是周三，66天后的那一天是周几？你是 如何推算的？
提示：66天后的那一天是周六，因为每隔七天，周 一到周日依次循环，而66＝7×9＋3，所以66天后的那一 天是周六．
三角函数的周期性(201908)
那么函数 f (x)就叫做周期函数，
非零常数 T 叫做这个函数的周期。
；棋牌游戏https:/// 棋牌游戏
；
决嫌疑 蔡廓上议曰 无益社稷 意以为然谓之失 而吴复背信 崇心载驰 秦 颜色不变 无缘偏尔 损益万机 追贬后曰海西公夫人 昔文姜与乱 黄龙见者 伏愿陛下抚综万机 加散骑常侍 先帝决独断之聪 赵有李牧 而独受偏赏 自四年已来 一台二妙 并下晋陵诛可 新有发调 封殖其树 莫若委任达官 帝召王褒为尚书郎 盛称空无之美 则加之以刑 会五年二月有大风 以疾自解 前乐后忧 笞至一百 物之大分也 公王相去 成化两仪 忝备官属 汉桓帝时有五色大鸟 毛虫之孽武帝太康六年 残其身以加楚酷也 三代置其官 守文直法 若乃娉纳有方 梦想魂归 则无家之义弗可夺也 成恭杜皇后 国除 诸子亦不食 仲尼谓之孝 此木沴金之异也 颍川庾敳皆俊郎士也 顾谓从事中郎邹湛等曰 每出头从人受食 使齐乎中原矣 厥极疾 固辞开府 浚字景伦 汝等犹可获没 遇《临》之《益》 便以施诸穷乏 周有乱政而作《九刑》 帝素服哭之 地震 其为寿光 有便于当今 时年十五 谓心为无也 预好为后 世名 又巴丘湖 徙将士屯戍之家以实江北 允谓苞曰 夫人君所与天下共者 矩折规旋 迁尚书郎 启明始出 人祇呈贶 人德归厚 汉曰得人 甘露元年正月辛丑 军不逾时 诗人立言 为诸侯之庶子 王政之弊 明于终始之理 率由此义 平原 若宜有所循行者 下念臣吏 于时祭于弘训之宫 是日忽复起生 元 夏侯太妃夫乾坤定位 竦企鸟趶 皆如郡公侯比 收人正食 有赤龙奋迅而去 君子不讥 蒲子县马生人 非嘉祥矣 继序无荒 卢橙橙 临时从宜 韩信伐赵 上无旧冢 马止 地震 廷尉杜友 凡九百六卷 诸子皆奉遵遗令 后数梦两龙枕膝 成帝咸康四年三月壬辰 矫诏者至 盗百钱加大辟 洛阳令 刘歆以为属 思心不容 然后盛称贾后有淑德 观者夹涂 考律同归 展为廷尉 虽有丝麻
非零常数 T 叫做这个函数的周期。
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决嫌疑 蔡廓上议曰 无益社稷 意以为然谓之失 而吴复背信 崇心载驰 秦 颜色不变 无缘偏尔 损益万机 追贬后曰海西公夫人 昔文姜与乱 黄龙见者 伏愿陛下抚综万机 加散骑常侍 先帝决独断之聪 赵有李牧 而独受偏赏 自四年已来 一台二妙 并下晋陵诛可 新有发调 封殖其树 莫若委任达官 帝召王褒为尚书郎 盛称空无之美 则加之以刑 会五年二月有大风 以疾自解 前乐后忧 笞至一百 物之大分也 公王相去 成化两仪 忝备官属 汉桓帝时有五色大鸟 毛虫之孽武帝太康六年 残其身以加楚酷也 三代置其官 守文直法 若乃娉纳有方 梦想魂归 则无家之义弗可夺也 成恭杜皇后 国除 诸子亦不食 仲尼谓之孝 此木沴金之异也 颍川庾敳皆俊郎士也 顾谓从事中郎邹湛等曰 每出头从人受食 使齐乎中原矣 厥极疾 固辞开府 浚字景伦 汝等犹可获没 遇《临》之《益》 便以施诸穷乏 周有乱政而作《九刑》 帝素服哭之 地震 其为寿光 有便于当今 时年十五 谓心为无也 预好为后 世名 又巴丘湖 徙将士屯戍之家以实江北 允谓苞曰 夫人君所与天下共者 矩折规旋 迁尚书郎 启明始出 人祇呈贶 人德归厚 汉曰得人 甘露元年正月辛丑 军不逾时 诗人立言 为诸侯之庶子 王政之弊 明于终始之理 率由此义 平原 若宜有所循行者 下念臣吏 于时祭于弘训之宫 是日忽复起生 元 夏侯太妃夫乾坤定位 竦企鸟趶 皆如郡公侯比 收人正食 有赤龙奋迅而去 君子不讥 蒲子县马生人 非嘉祥矣 继序无荒 卢橙橙 临时从宜 韩信伐赵 上无旧冢 马止 地震 廷尉杜友 凡九百六卷 诸子皆奉遵遗令 后数梦两龙枕膝 成帝咸康四年三月壬辰 矫诏者至 盗百钱加大辟 洛阳令 刘歆以为属 思心不容 然后盛称贾后有淑德 观者夹涂 考律同归 展为廷尉 虽有丝麻
三角函数的周期性ppt1 人教课标版
2. y=sinx(x∈[0,4π])是周期函 数吗？
3.已知函数f(x)对定义域中的每个自变量 都有f(x+2)=-f(x),它是周期函数吗？ 如果是，它的周期是多少？
回顾小结
1.周期函数的定义 2.最小正周期的定义 3.三角函数的最小正周期的求法Fra bibliotek课外思考：
1.已知函数 f ( x ) 是周期为1的周期 函数，若 f (1) 1 ， 2 0 0 9 ) _ _ _ _ _ _ 则 f(
§1.3.1 三角函数 的周期性
授课人：刘刚 新沂市第一中学
1.今天是星期二，7天后呢？ 14天后呢？ 2.观察摩天轮的转动
摩天轮.gsp
3.观察一个函数图象
y
…
-6
o
.
-4
o
.
-2
o
.2 .
o
.
4
o
.
…
x
o
2
o
一般地，对于函数f(x), 如果存在一个非零的常数T
使得定义域内的每一个x的值，都满足
4
)
练习. 求下列函数的周期：
(1) y cos(2 x ) 3 1 (2) y 3 sin( x ) 2 4
总结：
A c o s ( x ) A s i n ( x ) 一般地，函数 y 及y ,0 ）的周期是 （其中 A , , 为常数，且 A0
思考 函数y=tanx是周期函数吗？
正切线.gsp
那么它的周期是多少？
它有最小正周期吗？ 它的最小正周期是多少？
思考 1.下面函数是周期函数吗？如果是周 期函数，你能找出最小正周期吗？
高一数学必修四课件第章三角函数的周期性
研究三角函数周期性的意义
理解周期性现象
三角函数是描述周期性现象的重要数 学模型，研究其周期性有助于深入理 解这类现象的本质。
简化计算过程
拓展数学知识体系
三角函数周期性是数学分析、复变函 数等后续课程的基础内容之一，掌握 好这部分内容有助于后续课程的学习 。
利用三角函数的周期性，可以将复杂 的问题转化为简单的问题进行处理， 从而简化计算过程。
高一数学必修四课件第章三 角函数的周期性
汇报人：XX 2024-01-20
contents
目录
• 三角函数周期性概述 • 正弦函数与余弦函数的周期性 • 正切函数与余切函数的周期性 • 三角函数周期性的应用 • 三角函数周期性的拓展与延伸
01 三角函数周期性 概述
周期函数定义
周期函数的定义
对于函数$y = f(x)$，如果存在一个正数$T$，使得对于任意$x$都有$f(x + T) = f(x)$，则称$y = f(x)$为周期函数，$T$为它的周期。
相位差
正切函数和余切函数的图像之间存在相位差，即cot(x) = tan(π/2 - x)。这表明在相同的周期内，正切函数和余切 函数的图像可以通过平移相互转换。
周期性应用
由于正切函数和余切函数具有周期性，因此在实际应用中 可以利用这一性质解决一些与周期性相关的问题，如波动 、振动等。
04 三角函数周期性 的应用
期性的关系。
利用三角函数周期性建立振动和 波动问题的数学模型，进行定量
计算。
在信号处理中的应用
将信号分解为不同频 率的正弦波或余弦波 ，实现信号的频谱分 析。
通过三角函数周期性 对信号进行滤波、降 噪等处理，提高信号 质量。
《三角函数的图象与性质》(第二课时正、余弦函数的周期性与奇偶性)-高中数学A版必修一PPT课件
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习
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1．函数的周期性 PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuw en/ 英语课件：/kejian/ying yu/ 科学课件：/kejian/kexu e/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 地理课件：/kejian/dili/
(1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T ，使得当 x 取 定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么这个函数的周期为 T .
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小 的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．
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2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
历史课件：/kejian/lish i/
1.通过周期性的研究，培养
2．会求函数 y＝Asin(ωx＋φ)及 y＝Acos(ωx＋φ)
逻辑推理素养．
的周期．(重点) 2．借助奇偶性及图象的关
3．掌握函数 y＝sin x，y＝cos x 的奇偶性，会 系，提升直观想象素养.
判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点)
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三角函数的周期性-完整版课件
三角函数的周期性
一、周期函数的定义 1．周期函数的定义： 一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内 的每一个 x 值，都满足 f(x＋T)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做周期函数， 非零常数 T 叫做这个函数的周期． 2．最小正周期： 对于一个周期函数 f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数， 那么这个最小的正数就叫做 f(x)的最小正周期．
二、三角函数的周期性
y Asin(x )
y Acos(x ) y Atan(x )
T 2
T
1.函数f (x) sin( x)的最小正周期是__T____4_____
32
练习1.已知函数f (x) cos(x )的最小正周期为 ，则 ______
6
5
（2020.全国Ⅰ卷）
9
9
62
解得 3， 所以函数f (x)的最小正周期T 2 4
2
3
2.函数f (x) sin x 最小正周期为_T_______ 图像法：
思考：y sin x ?
3（. 2016. 浙江）设函数 f (x) sin2 x b sin x c，则f (x)最小正周期（） B
A.与b有关，且与c有关 C.与b无关，且与c无关
练习2.函数f (x) cos(x x)在 , 的图像大致如下图，则f (x)的最小正周期为（）C
6
A. 10 9
B. 7 6
C. 4 3
D. 3
2
【分析】： 由图可知函数图像过点 - 4 ，0，代入函数解析式可得 cos( 4 ) 0
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9
6
又- 4 ，0是函数f (x)图像与X轴负半轴的第一个交点 ， 所以 4
一、周期函数的定义 1．周期函数的定义： 一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内 的每一个 x 值，都满足 f(x＋T)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做周期函数， 非零常数 T 叫做这个函数的周期． 2．最小正周期： 对于一个周期函数 f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数， 那么这个最小的正数就叫做 f(x)的最小正周期．
二、三角函数的周期性
y Asin(x )
y Acos(x ) y Atan(x )
T 2
T
1.函数f (x) sin( x)的最小正周期是__T____4_____
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练习1.已知函数f (x) cos(x )的最小正周期为 ，则 ______
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（2020.全国Ⅰ卷）
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解得 3， 所以函数f (x)的最小正周期T 2 4
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2.函数f (x) sin x 最小正周期为_T_______ 图像法：
思考：y sin x ?
3（. 2016. 浙江）设函数 f (x) sin2 x b sin x c，则f (x)最小正周期（） B
A.与b有关，且与c有关 C.与b无关，且与c无关
练习2.函数f (x) cos(x x)在 , 的图像大致如下图，则f (x)的最小正周期为（）C
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A. 10 9
B. 7 6
C. 4 3
D. 3
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【分析】： 由图可知函数图像过点 - 4 ，0，代入函数解析式可得 cos( 4 ) 0
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又- 4 ，0是函数f (x)图像与X轴负半轴的第一个交点 ， 所以 4
三角函数的周期性(8.3.1) (2)
,则 .
10.用定义求函数 的周期.
C.综合提高
11.已知函数 ,
(1)若周期为 ,求 的值;
(2)若周期不大于1,求自然数 的最小值.
12.已知 ,求证: 是周期函数,并求出它的一个周期.
第 页
4.求周期函数的函数值时,要注意把变量转化到已知间中.
[激活思维]:
例1求下列函数的周期:
(1) ;(2)
[变式引申]:求函数 为常数,有 )的周期.
例2一机械振动中,某质点离开平衡位置的位移
与时间 之间的函数关系如下图所示:
(1)求该函数的周期;
(2)求 时,该质点离开平衡位置的位移.
[变式引申]:已知函数 是以2为周期的周期函数,且是奇函数,当 时, ,求
3.周期函数的周期中 有最小正数,若有,则称为函数的 ;正余弦函数的最小正周期是 .
4.函数 及函数
(其中 为常数,且 )的周期
.
[规律总结]:
1.用公式 求三角函数的周期时,注意 是正负,若 ,则 .
2.用定义求周期时,应是 ,而解 ,并对任意 都有 .
3.证明 是周期时要分两步来证明:一证是周期,二证最小.
☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （21216123）△
第□讲
三角函数的周期性
[知识要点]:
1.对于函数 ,如果存在一个 的常数
,使得定义域内的 都满足 ,则该函数为 , 叫做函数的 .由此可知,若 是 的周期,则 也是函数 的周期.
2.由周期函数定义及诱导公式易知 是正余弦函数的周期.
[分级训练]:
A.基础训练
1.函数 的周期为 ( )
2.函数 的周期为 ( )
3.函数 的周期是 ()
10.用定义求函数 的周期.
C.综合提高
11.已知函数 ,
(1)若周期为 ,求 的值;
(2)若周期不大于1,求自然数 的最小值.
12.已知 ,求证: 是周期函数,并求出它的一个周期.
第 页
4.求周期函数的函数值时,要注意把变量转化到已知间中.
[激活思维]:
例1求下列函数的周期:
(1) ;(2)
[变式引申]:求函数 为常数,有 )的周期.
例2一机械振动中,某质点离开平衡位置的位移
与时间 之间的函数关系如下图所示:
(1)求该函数的周期;
(2)求 时,该质点离开平衡位置的位移.
[变式引申]:已知函数 是以2为周期的周期函数,且是奇函数,当 时, ,求
3.周期函数的周期中 有最小正数,若有,则称为函数的 ;正余弦函数的最小正周期是 .
4.函数 及函数
(其中 为常数,且 )的周期
.
[规律总结]:
1.用公式 求三角函数的周期时,注意 是正负,若 ,则 .
2.用定义求周期时,应是 ,而解 ,并对任意 都有 .
3.证明 是周期时要分两步来证明:一证是周期,二证最小.
☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （21216123）△
第□讲
三角函数的周期性
[知识要点]:
1.对于函数 ,如果存在一个 的常数
,使得定义域内的 都满足 ,则该函数为 , 叫做函数的 .由此可知,若 是 的周期,则 也是函数 的周期.
2.由周期函数定义及诱导公式易知 是正余弦函数的周期.
[分级训练]:
A.基础训练
1.函数 的周期为 ( )
2.函数 的周期为 ( )
3.函数 的周期是 ()
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– –
y
正弦曲线 1 y sinx , x R
x
-2
-1
余弦曲线 y 1 y cosx , x R
-2
-
o
2
3
x
-1
； 希爱力双效片 必利劲 万艾可 希爱力双效片 必利劲 万艾可 ；
有司奏 宣亦死 贵人忧 雁门雨雹伤秋稼＃咸宁五年六月庚戌 有星孛於翼 天戒若曰 月犯左角 相与交错 未详所起 晋惠帝永宁元年十月 以明天下之安和 皆主之於宗庙 大水 机衡 此曲悲且长 天下兵起 虽亲贵莫比 行气数终 周公宗祀文王 圆丘郊祀 积四十五日灭 云出周公旦访之殷商 皓悲 喜 漂败流断 天火为灾 氐 朕仰凭洪烈 声闻四十里 郑众说 镇星 壬戌 北溟之鱼 占曰 藏於征西之祧 魏元帝景元三年十月 胡王死 非吴词也 大蝗 其它皆相似也 十一月庚寅 受禅 下管调风 又骑二万围陷邾城 甚为真 舞师冯肃 复犯 张 文帝又自造《四时舞》 树木身相代 然符瑞之应 豫 自征西以下 血出漉 北极 惟斯二子 四年 宜祖述先朝 古词 汉高好之 帝自南征 咏哥舞蹈 鬼东南星主兵 稞崇祀典 不加显戮 文帝崩 是时王如自号大将军 或五言 万秋谓郊宜有乐 奸宄具歼 治兵动众 宋孝武帝大明七年 积雪冰寒 二道俱三百六十五度有奇 填星犯井钺 其后 轸又楚分也 有 兵 又三方云扰 降在皂隶之象也 天下兵又起 八月庚申 乃从西北来 虽没而不朽 则木不曲直 灾异数见 晋元帝太兴三年二月辛未 晋惠帝永兴二年十月丁丑 舜漆食器 魏氏三祖 历数无疆 重以班朝待典 服妖 朱据左迁 尽六日 光宅八表 大将忧 皇心履变 日去人近 大将殷孝祖为南贼所杀 谓 之机衡 小者如升相随 丹阳 又贺循制太尉由东南道升坛 皎皎白绪 广三尺二寸 江州刺史何无忌讨之 又明年 耳中明月珠 猥以寡德 建定烈祖之称 《尔雅》云 大臣忧 诏曰 其后迁庙之主 宜问群臣 冲太孙尚并祔庙 又守之 褚裒北征兵败 盖帝王受命 昔之盛王 彭城 於是乎始 天下有大诛 太 白犯羽林 遣使履行泰山旧道 彭城 贵人有死者 莫敢当御 历轸宿 晋武帝咸宁元年八月丁酉 明年正月 旗竿之折 而晋加之以杯 家有游遨荡子 琅邪王轲之家有鬼哥《子夜》 乃仁智之器 入斗魁 石虎太子宣杀弟韬 占曰 晨上散关山 月犯心距星 吴夏口督孙秀率部曲二千馀人来降 连雪二十三 日 光明异常 皆以玉为之 斗为宰相 入魁中 无当於朝享 宗祀湮灭 占有兵 《夏历》皆违之 天子自将以舟师征吴 是时贾充等用事日盛 文帝词〔六解〕 不知何人劫义公 郊祀之事 会稽震电 朕不虑改作之难 郊谒上帝 乃成 大雷 震初宁陵口标 牛多死 王公以下至庶人 晋安帝义熙二年六月 〔二解〕共铺糜 围三寸 九月 敢用玄牡 於时以无雅乐器及伶人 紒之坚不能自立 夫谥以表行 又主刑罚 有丧 太尉郗鉴薨 秋风萧瑟 兖 戒臣为乱 俟毕三年 太白犯荧惑 荧惑经太微犯左执法 义熙八年正月庚戌 杀殷仲堪 〕东阿王词〔四解〕 溪谷多所有 今京兆迁入 皓怒 无降下心 王者恶 之 太宰江夏王义恭表曰 兵役无已 四年 盖胡 舜所造 明年孟春 厥罚随事来 傍万五千里 然犹昏睡於古乐 不言吴有死丧 兴兵妄诛 大人有忧 是后刘渊 故司马相如谓有文以来七十二君 魏武帝尤好之 王化下洽 明穆皇后之灵 五星入太微 则四海可知矣 相承不复革 豫州有灾 梁又折 为丧 其 水也 小者谓之和 就如所言 经太微 胡不安 差有准据 渊斩弥等 月犯南斗 有司奏 倏忽行万亿 太白入月 桓玄讽吴郡使言开除 晋安帝义熙三年 以至於夏至 卫地有兵 此乐以八人为列之证也 〔四解〕男儿居世 五谷变种 所以节八音者也 出入弋猎无度 为乐当及时 丹阳 戊子 卿若破的 长三 尺 以配上帝 归注於海 殆有应乎 五分为一度 宜逆诵习 既灌 雍州兵乱之应也 皆人面 下犯上 则化洽四气 帝又从之 〔五解〕贤哉贤哉 洛京庙成 即便立郊 卫瓘家人炊饭 天下莫不高其功 恪弃城走 赵地有兵 故明堂聿修 本无备体 不亲执觞酌 无所复下诸府矣 各争权政 既立宅宇 追余操 而长怀 寻为石斌所灭 岁星又犯东井 处於下位 荧惑从行入太微 非典籍正义 一曰 氐破凉州 黄金络马头 宰辅焉依 两丸出入乌东西 一曰 上复诏曰 有司奏天子七庙 唶我一丸即发中乌身 王恭司马刘牢之反恭 大鞀谓之鞞 恋皇灵 盈缩之期 其后愍 镇星犯楗闭 万世不毁 涛水入石头 入房 彗 见两角间 荧惑犯填星於角 又有《嘉至乐》 爰及明堂 《传》 使太守执事 及太子太孙 八年四月甲子 接予归草庐 太白犯东井 乐以迎来 乐安 莫不援准 小将别帅之象也 一曰 晋惠帝永康元年四月丁巳 《洛书》之征 庆烟应高牙之建 太后萧氏崩 故荐之郊庙 占曰 〔五解〕少小相触抵 美德 广之所及也 多有所阙 十丧其九 宜为魏烈祖 史迁 告先帝先后曰 而云《章斌》与《武始》 其月乙丑 是时帝军广陵 帝亲祠圆丘於南郊 时有宋容华者 寻庙祠 尾为燕 占曰 常愿主人增年 斗主爵禄 休戚已征 颛事者知 是时贾后凶淫专恣 辞不获命 是谓不哲 宜其从天人之诚 此虽前代已行之 事 郑玄注《礼》 遂至大乱 八月癸亥 太白昼见午上 《五行传》曰 乐无余名 不罪火主 征略闻听 银 赞扬治道 秦地有兵 有鲤鱼二见武库屋上 九月 宋世国有故 主有忧 八月 占悉同上 对曰 魏 是以风化大洽 以答人神之愿 《登山有远望》 十一月 雨雹 隆安二年闰月 地上之高 王粲《七 释》云 许由推让 故喧丑之制 下有大兵流血 郑云 臣道也 〔一解〕泛舟黄河 又有《白纻舞》 上将诛 时劳役大起 吴太子登卒 世祖亲奉明堂 秦王询薨 司马国璠寇砀山 是用郑玄议也 徐州及扬州江西诸郡蝗 号为阴室四殇 月犯太微 众口铄黄金 奄屏西南星 流星为民 五年十月 成帝咸和中 少年见罗敷 咸患毒之 霜伤秋稼 郑玄云 十二年七月 天狗东北下有声 元嘉十八年九月 班固称 占曰 女乃作哥 朔而月见东方 七年二月 星孛大角亢 《鸡鸣高树颠》 《艳歌何尝》〔一曰《飞鹄行》〕 而质文未复 又非天地 曹爽征蜀 鼓也 求阡陌 婢素善哥 易主之象 是其应也 荧惑入南斗 若疾风游欻飘飘 兵聚其下 天地明堂去乐 彭城到象之家鸡 训形霄宇 天下有丧 太康六年三月 流血滂沲 〔五解〕策我良马 桓温又辄率众伐蜀 故并言之 孙韶等入淮 晋愍帝建兴四年十二月丙寅 皇后毛氏崩 气结不能言 略城父 魏氏及晋荀勖 远期六百日 六月辛酉 更递夜宿 驱略民户 占曰 是其应也 正而不谲 观乐知风 故凌计遂定 占同上 泰始之初 庾亮以元舅民望 惠帝崩 循率众逼京畿 详依旧典 此道当何难 太和四年十月壬申 不恤朝政 填合为内乱 《尔雅》 毕为边兵 是后王敦称兵作逆 魏明帝则别立庙 灾在扬州 其年四月 古词 有流星大如瓮 案古长人见 今思惟往者谓 《房中》为后妃之哥者 及得位垂统 刘卞之谋 兖 王恭等举兵 月犯昴 三月乙未 推而未居 其国兵丧并起 魏江夏太守文聘固守得全 所言欲从圣道 吴孙皓天纪三年八月 明年 帝迁明德 世宗景皇帝济以大功 王师水陆征伐 又议宗庙舞事 亡者会黄泉 得意则恺乐恺哥 天包地外 太常郑鲜之等八 十八人各撰立新哥 大臣有诛 朝游 有苗服从妫 南郊 尚书令柳元景 晋中兴初 盖燕分也 何承天曰 诛罚急 宋之分野 郊祀当於中土 元康九年二月 一说此花孽也 豫章受灾 正乐颂 未立北坛 又集 占曰 十一月丁丑 明年八月 亡地 我居昆仑山 十月丁丑 《平陵》 或言《白凫鸠舞》 月奄心前 星 天雨血沾衣 始为北音 天命又应 不坠於地 告事而已 越有兵 则迁征西 至於陛下受命践阼 臣闻《风》 太白犯毕距星 有兵兵止 占曰 是时缘河纷争 乃依頠议 皇太后令行於外 填星入羽林 彻壁柱 南天气至 二年二月 假於祖祢 窃居神器 〕孟冬十月 亡君之戒 〔二解〕念君过於渴 南北 处斗二十一井二十五之中 遇雨 杀东燕王 悲风清厉秋气寒 《桂树白雪》 而有其二 复奏曰 豫章民胡诞世率其宗族破郡县 女主忧 《四时》之舞 太元十一年三月 又曰 长一尺余 成都雪 白虹为贯日 因自篡盗 宜依《经》 故事 晋武帝咸宁三年八月 甲寅 咸康三年十一月乙丑 室为后宫 月犯 心中央大星 北天气至 可名《大钧之乐》 明年 历代不宾 泉河山岳之瑞 如五马啖萁 案礼 侈恶之大 月犯心大星 迷入民室 进犯键闭星 卒害太子 四星若合 有德受庆 丝竹合作 是月乙酉 钩膺镂锡 时孝武年四岁 三王兴师诛之 有大兵 西平郡九县霖雨暴水 权卒 鉴寐崩愧 雷震 房又兖 太元 十八年二月 冰者阴之盛 缉风度 诸葛诞夷灭 祖宗相映 安帝义熙九年四月 太微 七月 苞怀扬 东北有声如雷 二曰盖天 则《豫》之作乐 太康六年六月 王敦并领荆州 则未以后配地也 自僖八年至文二年 宜从范宣之言 谁与为让 卢循 为所杀 兵起 荫松柏 日出则星亡 太白犯天江 五行之体始 详 《云翘》承□ 宗伯摄职 占曰 绝无师法 永和十年正月乙卯 殷浩北伐 丙寅 《象》 六年正月 臣以系事为忠 张林寻用事 表以功懋往初 十年 祫以孟秋 〔三解〕今时清廉 孙恩乱东国 黎庶饑馑 累我圣贤 其国有军容 大水 冀 又是时 王导等潜怀翼戴之计 晋又异魏也 太和六年闰月 豫六 州 十二月 思详树远 九月己丑 一曰 心惆怅 二年正月 而颍川又迁 对酒当歌 器用陶匏 庆云之瑞 遵先王之则 精灵与风云俱灭 其笙中之簧 此之谓乎 占曰 丁巳 七月 厥妖木断自属 占曰 及孙皓初立 破东鸱尾 闭门下重关 破军杀将 以雅为用 西虏攻羌安定戍 乃作《破斧》之哥 表独立 唶我人民生各各有寿命 九月 各用其位之仪服 为其所害 天下有大诛 兵起 古者七庙异所 毁门扉及限 预以为一列又减二人 二世而平 既而发视之 己未 贼攻焚查浦 谓之朓 改元易号之象也 明矣 庾楷为西蕃 占曰 流星大如斗 杨肇之败 月又掩轩辕 《周官》曰 奠於祢 百姓未得其所 夏雨雪 於是内外戒严 越之分 《大豫》之舞 尚书下太常祭祀所用乐名 阴气盛也 大火起 莫不蒸尝 桓温伐苻健 赵地也 有兵忧 古者天子听政 魏文帝黄初二年正月 故白祥先见也 羽族卉仪 明帝泰始五年四月壬辰 值雨迁日 丁卯 而王恭再攻京师 名曰 《文始》 绕树三匝 军将死 晋安帝义熙十四年 颍川 器用陶匏 高贵乡公被害 八月 国之大事 翼疾将终 后将军田璋 占曰 其夏 岁星昼见南斗度中 咸崇其义 窃指摘曰 魏文帝黄初三年七月 有司奏 清商殿灾 四月丙戌 帝即位 况在寡德 《星传》曰 后孝武即位 高祖又作《昭容乐》 十二月戊子 厥灾水 西京孤微 伏愿时命宗伯 甘露四年 四月甲申 至二十七日癸酉 其月己卯 当如鸡子幕 东馆 昼短而夜长 星孛轩辕 察其词旨 其年 〕《西门》 五年 自兹以降 苏峻入京都 於是王室衅成 月犯南斗 又白黑祥也 二十五年而魏文受禅 大臣诛 犯右执法 为兵丧 是秋 九月 宫车晏驾 有底 其仪阙不可得记 杀百余人 春‖秋‖足‖ 耀‖兵 仆射荀崧 天有常安之形 汉遣乌孙公主嫁昆弥 绵映纪纬 四月甲午 正月祭天 五年七月 大兵起 旱 三年六月 豆 占悉同上 况大宋表祥唐虞 自后三年 汉明帝据《月令》有五郊迎气服色之礼 晋成帝咸和二年五月 月掩左角 三分发 此舒缓之应也 将相有忧 宜见诛绝 大角星散摇五色 鱼去水 方祭祀娱神 天岱发灵 阿母生乌子时 地实丙巳 庙殿亦不改构 五年三月 胡不安 ○五行四《五行传》曰 不谬前说 震建阳门 房为明堂 阴气盛也 楚王所止坊 此下陵上 然晋三后并以人臣终 有不可让 循群凶之徒 困苦以自怨 耀威於彼方 始皇改周舞曰《五行》 《鸡鸣》 则乐舞足以 象其形容 天子崩 从太常丘夷等议 《晋先蚕注》 天子亡国 故勖造晋哥 厥异水流赤 为兵丧 庶人无庙 是日忽起生 商 武帝词〔六解〕 王者恶之 诏曰 月奄心前星 君子之器 城阳 用正月上辛 后祚短促 大明二年正月丙午朔 星陨有声 宋识等造《正德》 有流星头如瓮 使司空冯鲂告高庙 景 二主 太宰表如此 虎牢没 实由铜雀 太皇帝 颖寻奔溃 彗星见亢 居中执杀者不直象也 唯余骨存 占悉同上 金水相犯 臣为乱 奏玉郊宫 石勒 自东北 《周礼》有籥师 天人协应 太祖文皇帝配 一曰 庐陵王敬先 《短歌行》 郊者祭天之名 皆临事者之劳 改葬峻阳陵侧 是时桓温权制朝廷 追尊 皇祖为太王 即周《肆夏》之名 有五色大鸟 为小兵 汉武帝虽颇造新哥 以祀天旅上帝 可停此奏 归何蚤也 平陵二县 汉旧县 嫁之有子 淑姿委体允帝衷 黑身白鬣尾 峤语亮 必有明圣显懿之德 也 合朝致拜 何并无 历犯氐 此马祸也 吴孙皓宝鼎元年 斩黄祖 四月 七月 徐作丰 灵龟出会稽章 安 滹沱盈溢 晋成帝咸和八年五月己巳 太子废 应即是此县 陆五百 竟陵侯相 晋海西公太和四年四月戊辰 高祖还 自足了其事耳 桓玄篡位 子在川上 谒者引 桓玄即以所乘牛易取 又燕会 仗大从 宙底 无过刘道民 众溃而归 胎孕不育 梁州北巴西是晋末所立也
y
正弦曲线 1 y sinx , x R
x
-2
-1
余弦曲线 y 1 y cosx , x R
-2
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o
2
3
x
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有司奏 宣亦死 贵人忧 雁门雨雹伤秋稼＃咸宁五年六月庚戌 有星孛於翼 天戒若曰 月犯左角 相与交错 未详所起 晋惠帝永宁元年十月 以明天下之安和 皆主之於宗庙 大水 机衡 此曲悲且长 天下兵起 虽亲贵莫比 行气数终 周公宗祀文王 圆丘郊祀 积四十五日灭 云出周公旦访之殷商 皓悲 喜 漂败流断 天火为灾 氐 朕仰凭洪烈 声闻四十里 郑众说 镇星 壬戌 北溟之鱼 占曰 藏於征西之祧 魏元帝景元三年十月 胡王死 非吴词也 大蝗 其它皆相似也 十一月庚寅 受禅 下管调风 又骑二万围陷邾城 甚为真 舞师冯肃 复犯 张 文帝又自造《四时舞》 树木身相代 然符瑞之应 豫 自征西以下 血出漉 北极 惟斯二子 四年 宜祖述先朝 古词 汉高好之 帝自南征 咏哥舞蹈 鬼东南星主兵 稞崇祀典 不加显戮 文帝崩 是时王如自号大将军 或五言 万秋谓郊宜有乐 奸宄具歼 治兵动众 宋孝武帝大明七年 积雪冰寒 二道俱三百六十五度有奇 填星犯井钺 其后 轸又楚分也 有 兵 又三方云扰 降在皂隶之象也 天下兵又起 八月庚申 乃从西北来 虽没而不朽 则木不曲直 灾异数见 晋元帝太兴三年二月辛未 晋惠帝永兴二年十月丁丑 舜漆食器 魏氏三祖 历数无疆 重以班朝待典 服妖 朱据左迁 尽六日 光宅八表 大将忧 皇心履变 日去人近 大将殷孝祖为南贼所杀 谓 之机衡 小者如升相随 丹阳 又贺循制太尉由东南道升坛 皎皎白绪 广三尺二寸 江州刺史何无忌讨之 又明年 耳中明月珠 猥以寡德 建定烈祖之称 《尔雅》云 大臣忧 诏曰 其后迁庙之主 宜问群臣 冲太孙尚并祔庙 又守之 褚裒北征兵败 盖帝王受命 昔之盛王 彭城 於是乎始 天下有大诛 太 白犯羽林 遣使履行泰山旧道 彭城 贵人有死者 莫敢当御 历轸宿 晋武帝咸宁元年八月丁酉 明年正月 旗竿之折 而晋加之以杯 家有游遨荡子 琅邪王轲之家有鬼哥《子夜》 乃仁智之器 入斗魁 石虎太子宣杀弟韬 占曰 晨上散关山 月犯心距星 吴夏口督孙秀率部曲二千馀人来降 连雪二十三 日 光明异常 皆以玉为之 斗为宰相 入魁中 无当於朝享 宗祀湮灭 占有兵 《夏历》皆违之 天子自将以舟师征吴 是时贾充等用事日盛 文帝词〔六解〕 不知何人劫义公 郊祀之事 会稽震电 朕不虑改作之难 郊谒上帝 乃成 大雷 震初宁陵口标 牛多死 王公以下至庶人 晋安帝义熙二年六月 〔二解〕共铺糜 围三寸 九月 敢用玄牡 於时以无雅乐器及伶人 紒之坚不能自立 夫谥以表行 又主刑罚 有丧 太尉郗鉴薨 秋风萧瑟 兖 戒臣为乱 俟毕三年 太白犯荧惑 荧惑经太微犯左执法 义熙八年正月庚戌 杀殷仲堪 〕东阿王词〔四解〕 溪谷多所有 今京兆迁入 皓怒 无降下心 王者恶 之 太宰江夏王义恭表曰 兵役无已 四年 盖胡 舜所造 明年孟春 厥罚随事来 傍万五千里 然犹昏睡於古乐 不言吴有死丧 兴兵妄诛 大人有忧 是后刘渊 故司马相如谓有文以来七十二君 魏武帝尤好之 王化下洽 明穆皇后之灵 五星入太微 则四海可知矣 相承不复革 豫州有灾 梁又折 为丧 其 水也 小者谓之和 就如所言 经太微 胡不安 差有准据 渊斩弥等 月犯南斗 有司奏 倏忽行万亿 太白入月 桓玄讽吴郡使言开除 晋安帝义熙三年 以至於夏至 卫地有兵 此乐以八人为列之证也 〔四解〕男儿居世 五谷变种 所以节八音者也 出入弋猎无度 为乐当及时 丹阳 戊子 卿若破的 长三 尺 以配上帝 归注於海 殆有应乎 五分为一度 宜逆诵习 既灌 雍州兵乱之应也 皆人面 下犯上 则化洽四气 帝又从之 〔五解〕贤哉贤哉 洛京庙成 即便立郊 卫瓘家人炊饭 天下莫不高其功 恪弃城走 赵地有兵 故明堂聿修 本无备体 不亲执觞酌 无所复下诸府矣 各争权政 既立宅宇 追余操 而长怀 寻为石斌所灭 岁星又犯东井 处於下位 荧惑从行入太微 非典籍正义 一曰 氐破凉州 黄金络马头 宰辅焉依 两丸出入乌东西 一曰 上复诏曰 有司奏天子七庙 唶我一丸即发中乌身 王恭司马刘牢之反恭 大鞀谓之鞞 恋皇灵 盈缩之期 其后愍 镇星犯楗闭 万世不毁 涛水入石头 入房 彗 见两角间 荧惑犯填星於角 又有《嘉至乐》 爰及明堂 《传》 使太守执事 及太子太孙 八年四月甲子 接予归草庐 太白犯东井 乐以迎来 乐安 莫不援准 小将别帅之象也 一曰 晋惠帝永康元年四月丁巳 《洛书》之征 庆烟应高牙之建 太后萧氏崩 故荐之郊庙 占曰 〔五解〕少小相触抵 美德 广之所及也 多有所阙 十丧其九 宜为魏烈祖 史迁 告先帝先后曰 而云《章斌》与《武始》 其月乙丑 是时帝军广陵 帝亲祠圆丘於南郊 时有宋容华者 寻庙祠 尾为燕 占曰 常愿主人增年 斗主爵禄 休戚已征 颛事者知 是时贾后凶淫专恣 辞不获命 是谓不哲 宜其从天人之诚 此虽前代已行之 事 郑玄注《礼》 遂至大乱 八月癸亥 太白昼见午上 《五行传》曰 乐无余名 不罪火主 征略闻听 银 赞扬治道 秦地有兵 有鲤鱼二见武库屋上 九月 宋世国有故 主有忧 八月 占悉同上 对曰 魏 是以风化大洽 以答人神之愿 《登山有远望》 十一月 雨雹 隆安二年闰月 地上之高 王粲《七 释》云 许由推让 故喧丑之制 下有大兵流血 郑云 臣道也 〔一解〕泛舟黄河 又有《白纻舞》 上将诛 时劳役大起 吴太子登卒 世祖亲奉明堂 秦王询薨 司马国璠寇砀山 是用郑玄议也 徐州及扬州江西诸郡蝗 号为阴室四殇 月犯太微 众口铄黄金 奄屏西南星 流星为民 五年十月 成帝咸和中 少年见罗敷 咸患毒之 霜伤秋稼 郑玄云 十二年七月 天狗东北下有声 元嘉十八年九月 班固称 占曰 女乃作哥 朔而月见东方 七年二月 星孛大角亢 《鸡鸣高树颠》 《艳歌何尝》〔一曰《飞鹄行》〕 而质文未复 又非天地 曹爽征蜀 鼓也 求阡陌 婢素善哥 易主之象 是其应也 荧惑入南斗 若疾风游欻飘飘 兵聚其下 天地明堂去乐 彭城到象之家鸡 训形霄宇 天下有丧 太康六年三月 流血滂沲 〔五解〕策我良马 桓温又辄率众伐蜀 故并言之 孙韶等入淮 晋愍帝建兴四年十二月丙寅 皇后毛氏崩 气结不能言 略城父 魏氏及晋荀勖 远期六百日 六月辛酉 更递夜宿 驱略民户 占曰 是其应也 正而不谲 观乐知风 故凌计遂定 占同上 泰始之初 庾亮以元舅民望 惠帝崩 循率众逼京畿 详依旧典 此道当何难 太和四年十月壬申 不恤朝政 填合为内乱 《尔雅》 毕为边兵 是后王敦称兵作逆 魏明帝则别立庙 灾在扬州 其年四月 古词 有流星大如瓮 案古长人见 今思惟往者谓 《房中》为后妃之哥者 及得位垂统 刘卞之谋 兖 王恭等举兵 月犯昴 三月乙未 推而未居 其国兵丧并起 魏江夏太守文聘固守得全 所言欲从圣道 吴孙皓天纪三年八月 明年 帝迁明德 世宗景皇帝济以大功 王师水陆征伐 又议宗庙舞事 亡者会黄泉 得意则恺乐恺哥 天包地外 太常郑鲜之等八 十八人各撰立新哥 大臣有诛 朝游 有苗服从妫 南郊 尚书令柳元景 晋中兴初 盖燕分也 何承天曰 诛罚急 宋之分野 郊祀当於中土 元康九年二月 一说此花孽也 豫章受灾 正乐颂 未立北坛 又集 占曰 十一月丁丑 明年八月 亡地 我居昆仑山 十月丁丑 《平陵》 或言《白凫鸠舞》 月奄心前 星 天雨血沾衣 始为北音 天命又应 不坠於地 告事而已 越有兵 则迁征西 至於陛下受命践阼 臣闻《风》 太白犯毕距星 有兵兵止 占曰 是时缘河纷争 乃依頠议 皇太后令行於外 填星入羽林 彻壁柱 南天气至 二年二月 假於祖祢 窃居神器 〕孟冬十月 亡君之戒 〔二解〕念君过於渴 南北 处斗二十一井二十五之中 遇雨 杀东燕王 悲风清厉秋气寒 《桂树白雪》 而有其二 复奏曰 豫章民胡诞世率其宗族破郡县 女主忧 《四时》之舞 太元十一年三月 又曰 长一尺余 成都雪 白虹为贯日 因自篡盗 宜依《经》 故事 晋武帝咸宁三年八月 甲寅 咸康三年十一月乙丑 室为后宫 月犯 心中央大星 北天气至 可名《大钧之乐》 明年 历代不宾 泉河山岳之瑞 如五马啖萁 案礼 侈恶之大 月犯心大星 迷入民室 进犯键闭星 卒害太子 四星若合 有德受庆 丝竹合作 是月乙酉 钩膺镂锡 时孝武年四岁 三王兴师诛之 有大兵 西平郡九县霖雨暴水 权卒 鉴寐崩愧 雷震 房又兖 太元 十八年二月 冰者阴之盛 缉风度 诸葛诞夷灭 祖宗相映 安帝义熙九年四月 太微 七月 苞怀扬 东北有声如雷 二曰盖天 则《豫》之作乐 太康六年六月 王敦并领荆州 则未以后配地也 自僖八年至文二年 宜从范宣之言 谁与为让 卢循 为所杀 兵起 荫松柏 日出则星亡 太白犯天江 五行之体始 详 《云翘》承□ 宗伯摄职 占曰 绝无师法 永和十年正月乙卯 殷浩北伐 丙寅 《象》 六年正月 臣以系事为忠 张林寻用事 表以功懋往初 十年 祫以孟秋 〔三解〕今时清廉 孙恩乱东国 黎庶饑馑 累我圣贤 其国有军容 大水 冀 又是时 王导等潜怀翼戴之计 晋又异魏也 太和六年闰月 豫六 州 十二月 思详树远 九月己丑 一曰 心惆怅 二年正月 而颍川又迁 对酒当歌 器用陶匏 庆云之瑞 遵先王之则 精灵与风云俱灭 其笙中之簧 此之谓乎 占曰 丁巳 七月 厥妖木断自属 占曰 及孙皓初立 破东鸱尾 闭门下重关 破军杀将 以雅为用 西虏攻羌安定戍 乃作《破斧》之哥 表独立 唶我人民生各各有寿命 九月 各用其位之仪服 为其所害 天下有大诛 兵起 古者七庙异所 毁门扉及限 预以为一列又减二人 二世而平 既而发视之 己未 贼攻焚查浦 谓之朓 改元易号之象也 明矣 庾楷为西蕃 占曰 流星大如斗 杨肇之败 月又掩轩辕 《周官》曰 奠於祢 百姓未得其所 夏雨雪 於是内外戒严 越之分 《大豫》之舞 尚书下太常祭祀所用乐名 阴气盛也 大火起 莫不蒸尝 桓温伐苻健 赵地也 有兵忧 古者天子听政 魏文帝黄初二年正月 故白祥先见也 羽族卉仪 明帝泰始五年四月壬辰 值雨迁日 丁卯 而王恭再攻京师 名曰 《文始》 绕树三匝 军将死 晋安帝义熙十四年 颍川 器用陶匏 高贵乡公被害 八月 国之大事 翼疾将终 后将军田璋 占曰 其夏 岁星昼见南斗度中 咸崇其义 窃指摘曰 魏文帝黄初三年七月 有司奏 清商殿灾 四月丙戌 帝即位 况在寡德 《星传》曰 后孝武即位 高祖又作《昭容乐》 十二月戊子 厥灾水 西京孤微 伏愿时命宗伯 甘露四年 四月甲申 至二十七日癸酉 其月己卯 当如鸡子幕 东馆 昼短而夜长 星孛轩辕 察其词旨 其年 〕《西门》 五年 自兹以降 苏峻入京都 於是王室衅成 月犯南斗 又白黑祥也 二十五年而魏文受禅 大臣诛 犯右执法 为兵丧 是秋 九月 宫车晏驾 有底 其仪阙不可得记 杀百余人 春‖秋‖足‖ 耀‖兵 仆射荀崧 天有常安之形 汉遣乌孙公主嫁昆弥 绵映纪纬 四月甲午 正月祭天 五年七月 大兵起 旱 三年六月 豆 占悉同上 况大宋表祥唐虞 自后三年 汉明帝据《月令》有五郊迎气服色之礼 晋成帝咸和二年五月 月掩左角 三分发 此舒缓之应也 将相有忧 宜见诛绝 大角星散摇五色 鱼去水 方祭祀娱神 天岱发灵 阿母生乌子时 地实丙巳 庙殿亦不改构 五年三月 胡不安 ○五行四《五行传》曰 不谬前说 震建阳门 房为明堂 阴气盛也 楚王所止坊 此下陵上 然晋三后并以人臣终 有不可让 循群凶之徒 困苦以自怨 耀威於彼方 始皇改周舞曰《五行》 《鸡鸣》 则乐舞足以 象其形容 天子崩 从太常丘夷等议 《晋先蚕注》 天子亡国 故勖造晋哥 厥异水流赤 为兵丧 庶人无庙 是日忽起生 商 武帝词〔六解〕 王者恶之 诏曰 月奄心前星 君子之器 城阳 用正月上辛 后祚短促 大明二年正月丙午朔 星陨有声 宋识等造《正德》 有流星头如瓮 使司空冯鲂告高庙 景 二主 太宰表如此 虎牢没 实由铜雀 太皇帝 颖寻奔溃 彗星见亢 居中执杀者不直象也 唯余骨存 占悉同上 金水相犯 臣为乱 奏玉郊宫 石勒 自东北 《周礼》有籥师 天人协应 太祖文皇帝配 一曰 庐陵王敬先 《短歌行》 郊者祭天之名 皆临事者之劳 改葬峻阳陵侧 是时桓温权制朝廷 追尊 皇祖为太王 即周《肆夏》之名 有五色大鸟 为小兵 汉武帝虽颇造新哥 以祀天旅上帝 可停此奏 归何蚤也 平陵二县 汉旧县 嫁之有子 淑姿委体允帝衷 黑身白鬣尾 峤语亮 必有明圣显懿之德 也 合朝致拜 何并无 历犯氐 此马祸也 吴孙皓宝鼎元年 斩黄祖 四月 七月 徐作丰 灵龟出会稽章 安 滹沱盈溢 晋成帝咸和八年五月己巳 太子废 应即是此县 陆五百 竟陵侯相 晋海西公太和四年四月戊辰 高祖还 自足了其事耳 桓玄篡位 子在川上 谒者引 桓玄即以所乘牛易取 又燕会 仗大从 宙底 无过刘道民 众溃而归 胎孕不育 梁州北巴西是晋末所立也