2020届吉林省长春市高三质量监测(三)(三模)数学(理)试题(解析版)

长春市2020届高三质量监测（三）理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合2{|4}A x Z x =∈…，{|42}B x x =-<< ，则A B =I （ ）
A.
{|22}x x -<≤ B. {|42}x x -<≤
C.
{2,1,0,1,2}--
D.
{2,1,0,1}--
【答案】D 【分析】
根据集合的交运算，即可容易求得结果. 【详解】{|22}{2,1,0,1,2}A x Z x =∈-=--≤≤
故可得{}2,1,0,1A B ⋂=--
故选：D .
【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题. 2.已知复数()(12) ()z a i i a R =+-∈的实部为3，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ）
A.
1-
B.
-i
C. 1
D. i
【答案】A 【分析】
根据复数的乘法运算化简复数z ，由其实部即可求得参数a . 【详解】()(12)2(12)z
a i i a a i =+-=++-，231a a +=∴=
∴121a -=-. 故选：A .
【点睛】本题考查复数的乘法运算，实部和虚部的辨识，属基础题.
3.已知向量(1,2)=-r a ，(3,3)b =-r ，(1,)c t r =，若向量a r 与向量b c +r r
共线，则实数t =（ ）
A.
5
B. 5-
C. 1
D.
1-
【答案】B 【分析】
根据向量的加法运算，求得b c +r r
的坐标，由向量共线的坐标公式，即可容易求得结果.
【详解】因为b c +r r ()4,3t =-，又a r 与向量b c +r r
共线
故可得38t -=-，解得5t =-.
故选：B .
【点睛】本题考查向量共线的坐标公式，涉及向量的坐标运算，属基础题. 4.已知函数
()cos 3sin 22
x x
f x =-的图象为C ，为了得到关于原点对称的图象，只要把C 上所有的点（ ）
A. 向左平移
3
π
个单位
B. 向左平移
23π个单位
C. 向右平移3
π
个单位
D. 向右平移23
π
个单位
【答案】A 【分析】
利用辅助角公式化简()f x ，再根据三角函数的奇偶性，即可求得结果.
【详解】由()cos 3sin 2cos()()2cos()2223223
x x x x f x f x πϕπ
ϕ=-=+⇒+=++为奇函数，
得
+=
+=
+223
2
3
k k Z k ϕπ
π
π
πϕπ∈∴，
当0k =时，3
π
ϕ=
.
故为得到关于原点对称的图像，只要把C 向左平移3
π
个单位即可. 故选：A
【点睛】本题考查辅助角公式，函数图像的平移，以及余弦型函数的奇偶性，属综合中档题.
5.函数3
()x x
x f x e e
-=-的图象大致为（ ） A. B.
C. D.
【答案】B 【分析】
根据解析式求得函数奇偶性，以及
()1f 即可容易求得结果.
【详解】因为()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()3
x x
x f x f x e e
--==-，故()f x 为偶函数， 排除C ，D ，验算特值1
1
(1)=
0f e e
-<-，排除A, 故选：B
【点睛】本题考查函数图像的辨识，涉及函数奇偶性的判断和指数运算，属基础题. 6.在5
21()x x
+
的展开式中，一定含有（ ） A. 常数项 B. x 项
C. 1x -项
D. 3x 项
【答案】C 【分析】
利用二项式的通项公式，即可容易求得结果. 【
详解】由通项公式552
1(
)r r
r C x
x
-535r r
C x -=代入0,1,2,3r =验证， 当0r =时，可得其含有5x 项；当1r =，可得其含有2x 项；
当2r =时，可得其含有1x -项； 故选：C . 【点睛】本题考查二项式的通项公式，属基础题.
7.已知直线,m n 和平面,,αβγ，有如下四个命题：①若,//m m αβ⊥，则αβ⊥；②若,//,m m n n αβ⊥⊂，则αβ⊥；③若,,n n m αβα⊥⊥⊥，则m β⊥；④若,m m n α⊥⊥，则//n α.其中真命题的个数是（ ）
A. 1
B.
2
C.
3
D.
4
【答案】C 【分析】
根据面面垂直，线面垂直以及线面平行的判定，即可容易判断. 【详解】①若,//m m αβ⊥，则一定有αβ⊥，故①正确；
②若,//,m m n n αβ⊥⊂，则n α⊥，又因为n β⊂，故可得αβ⊥，故②正确； ③若,n n αβ⊥⊥，故可得α//β，又因为m α⊥，故可得m β⊥，故③正确； ④若,m m n α⊥⊥，则//n α或n α⊂，故④错误； 综上所述，正确的有①②③. 故选：C
【点睛】本题考查线面垂直，面面垂直的判定以及线面平行的判定，属综合基础题.
8.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其塔俯视图通常是正方形、正六边形和正八边形.下图是风雨桥中塔的俯视图.该塔共5层，若011223340.5m B B B B B B B B ====，008m A B =，则五层正
六边形的周长和为（ ）
A. 35m
B.
45m
C.
210m D. 270m
【答案】C 【分析】
根据题意，构造等差数列，即可由等差数列的前n 项和进行求解. 【详解】根据题意，设正六边形的中心为O ，
容易知4433221100,,,,OA B OA B OA B OA B OA B n n n n n 均为等边三角形， 故4433221100,,,,A B A B A B A B A B 长度构成依次为6,6.5,7,7.5,8的等差数列 ∴周长总和为(68)5
62102
+⋅⋅=， 故选：C
【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的求解，属基础题.
9.已知圆E 的圆心在y 轴上，且与圆2220x y x +-=的公共弦所在直线的方程为30x -
=，则圆E 的方程
为（ ）
A .
22(3)2x y
+
-= B. 22(3)2x y ++= C. 22(3)3x y +-= D. 22(3)3x y ++=
【答案】C 【分析】
根据圆心的连线与公共弦所在直线垂直，即可求得圆心；再结合弦长公式，即可容易求得半径. 【详解】两圆圆心连线与公共弦垂直，不妨设所求圆心的坐标为()0,a ，
又圆2
2
20x y x +-=的圆心为
()1,0，半径为1，
故
113
a ⨯=--，解得3a =.故所求圆心为()
0,3. 直线30x y -
=截得2220x y x +-=所成弦长21
2134
-
=， 圆心
(
)
0,3到直线30x y -=的距离为
32
， 所以直线30x y -=截得所求圆的弦长2
2
3232r ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
， 解得3r =
.
故圆心坐标为(0,3)，半径为3， 故选：C .
【点睛】本题考查圆方程的求解，涉及两圆位置关系，属综合基础题.
10.某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中，列出各个学段每个主题所包含的条目数（如下表），下图是统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是（ ）
A. 除了“综合实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图象几何” 在第三学段增加较多，约是第二学段的3.5倍.
B. 所有主题中，三个学段的总和“图形几何”条目数最多，占50%，综合实践最少，约占4% .
C. 第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形几何”条目数最多.
D. “数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少.“图形几何”条目数，百分比都随学段的增长而增长. 【答案】D 【分析】
根据统计图表，结合每个选项即可容易求得结果. 【详解】结合统计图表可知，
除了“综合实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加， 尤其“图象几何” 在第三学段增加较多，约是第二学段的3.5倍，故A 正确； 所有主题中，三个学段的总和“图形几何”条目数最多，占50%， 综合实践最少，约占4% ，故B 正确；
第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形几何”条目数最多，故C 正确； 对D 中，显然“数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长， 而其百分比却一直在减少；而“图形几何”条目数， 百分比随着学段数先减后增，故D 错误； 故选：D
【点睛】本题考查统计图表的辨识和应用，属基础题.
11.已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和n S 满足2
*
42 ()n n n S a a n N =+∈，设1(1)n
n n n b a a +=-⋅，n T 为
数列{}n b 的前n 项和，则20T =（ ）
A. 110
B. 220
C.
440 D. 880
【答案】D 【分析】
利用,n n a S 之间的关系，即可容易求得n a ，则n b 得解，再用并项求和法即可求得结果.
【详解】由242 n n n S a a =+得2
11142 (2)n n n S a a n ---=+…，作差可得： 1 2n n a a --=，又1=2 a 得2n a n =，
则(1)22(1)4(1)(1)n
n
n b n n n n =-⋅⋅+=-⋅+所以12
+b b =4[(1)1223]82-⋅⋅+⋅=⋅，
34+4[(1)3445]84,b b =-⋅⋅+⋅=⋅56+4[(1)5667]86,b b =-⋅⋅+⋅=⋅…，1920+4[(1)19202021]820,b b =-⋅⋅+⋅=⋅
所以20(220)10
88802
T +⋅=⋅=.
故选：D .
【点睛】本题考查利用,n n a S 的关系求数列的通项公式，涉及等差数列前n 项和的求解，属综合中档题. 12.设椭圆C 的左右焦点为12,F F ，焦距为2c ，过点1F 的直线与椭圆C 交于点,P Q ，若2
||2PF c =，且
114
||||3
PF QF =
，则椭圆C 的离心率为（ ） A.
12
B.
34
C.
57
D.
23
【答案】C 【分析】
根据题意，求得112,,PF F Q F Q ，结合余弦定理，即可求得,a c 的齐次式，据此即可求得结果. 【详解】根据题意，作图如下：
由2||2PF c =得1||22PF a c =-，13377||,||=22a c a c QF PQ --=
，23||2
a c
QF +=
由221cos cos F PQ F PF ∠=∠
即
222
222
222112
221
22PF PQ F Q
PF PF F F PF PQ
PF PF +-+-=
，
整理得2271250c ac a -+=， 则
()()570a c a c --=，
得5
7
e =
故选：C .
【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，涉及椭圆的定义，属中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
13.一名信息员维护甲乙两公司的5G 网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为________ 【答案】0.88 【分析】
根据相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式直接求解即可． 【详解】＂至少有一个公司不需要维护＂的对立事件是＂两公司都需要维护＂， 所以至少有一个公司不需要维护的概率为10.30.40.88p =-⨯=， 故答案为0.88．
【点睛】本题主要考查概率的求法以及相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式的应用． 14.等差数列{}n a 中，11a =，公差2[]1,d ∈，且391515a a a λ++=，则实数λ的最大值为_________.
【答案】13
- 【分析】
根据等差数列的基本量，用d 表示出λ，分离参数求得函数的值域，即可容易求得结果. 【详解】由391515a a a λ++=得()()121811415d d d λ+++++=，
整理得()181316d d λ+=-，又2[]1,d ∈，
故131615191
2[,]1818173
d d d λ
-=
=-+∈--++.
故实数λ的最大值为1
3
-.
故答案为：1
3
-.
【点睛】本题考查等差数列基本量的求解，涉及分式函数值域的求解，属综合中档题. 15.若12,x x 是函数2()74ln f x x x x =-+的两个极值点，则12x x =____，12()()f x f x +=____.
【答案】 (1). 2 (2). 654ln 24
-
【分析】
根据极值点的定义，即可由方程的根与系数之间的关系，即可求得12x x 以及12x x +，再结合对数运算即可容易求得结果. 【
详
解
】
2121247
()2702740,22
f x x x x x x x x x '=-+
=⇒-+=⇒+==，
22
12111222()()74ln 74ln f x f x x x x x x x +=-++-+
21212121265
()27()4ln()4ln 24
x x x x x x x x =+--++=-
. 故答案为：2；654ln 24
-
. 【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，涉及对数运算，属综合基础题.
16.现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面ABCD 为正方形，
2AB =，侧面PAD 为等边三角形，线段BC 的中点为E ，若1PE =.则所需球体原材料的最小体积为
___________. 【答案】
82π 【分析】
根据题意，讨论球体体积最小时的状态，求得此时的球半径，则问题得解.
【详解】根据题意，取AD 中点为F ，连接EF ，取EF 中点为O ，连接PO ，如下所示：
因为PAD n
为边长为2的等边三角形，故可得3PF =
又因为1,2PE EF ==，满足勾股定理， 故可得PE PF ⊥，则EPF n 为直角三角形，
则11
1222
PO EF BD =
=<=若要满足题意，只需满足ABCD 在球大圆上时，点P 在球内部即可， 此时球半径最小为
282π故答案为：
823
π. 【点睛】本题考查棱锥外接球问题，涉及棱锥体积的求解，属综合中档题.
三、解答题：共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝”.笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌（优等品和合格品），某公司年产宣纸10000刀（每刀100张），公司按照某种质量标准值X给宣纸确定质量等级，如下表所示：
公式在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（100张）进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元.
（1）估计该公式生产宣纸的年利润（单位：万元）；
（2）该公司预备购买一种售价为100万元的机器改进生产工艺，这种机器的使用寿命是一年，只能提高宣纸的质量，不影响产量，这种机器生产的宣纸的质量标准值X的频率，如下表所示：
其中X为改进工艺前质量标准值X的平均值，改进工艺后，每张正牌和副牌宣纸的利润都下降2元，请判断该公司是否应该购买这种机器，并说明理由.
【答案】（1）400万元；（2）应该购买，理由见解析
【分析】
（1）由频率分布直方图求得100张宣纸中各类宣纸的数量，结合每种宣纸的盈亏即可容易求得结果；
（2）由频率分布直方图求得X，即可求得各区间的频率分布，据此即可求得结果.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，一刀（100张）宣纸中有正牌宣纸100×0.1×4=40张，
有副牌宣纸100×0.05×4×2=40张，
有废品100×0.025×4×2=20张，
所以该公司一刀宣纸的年利润为40×10+40×5+20×（-10）=400元，
所以估计该公式生产宣纸的年利润为400万元;
(2) 由频率分布直方图可得
4(420.025460.05500.1540.05580.025)50X =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
这种机器生产的宣纸质量指标X 的频率如下表所示：
(48,52](44,56]0.68260.9544X
频率
则一刀宣纸中正牌的张数为100×
0.6826=68.26张， 副牌的张数约为100×（0.9544－0.6826）=27.18张，
废品的张数约为100×（1－0.9544）=4.56张，
估计一刀宣纸的利润为：68.26×（10－2）+27.18×（5－2）+4.56×
9（－10）=582.02， 因此改进工艺后生产宣纸的利润为582.02－100=482.02元，
因为482.02>400，所以该公式应该购买这种设备.
【点睛】本题考查由频率分布直方图计算概率以及平均数，涉及由样本估计总体，属综合基础题.
18.在△ABC 中， 角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且4cos a c B = .
（1）求证：sin cos 3sin cos B C C B =；
（2）求B C -的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
6π 【分析】
（1）利用正弦定理将边化角，结合()sin sinA B C =+，即可容易求得；
（2）根据（1）中所求得到,tanB tanC 之间的关系，再将()tan
B C -转化为关于tanC 的函数，利用均值不等式求得函数的最值，则B C -的最值得解.
【详解】(1)在ABC ∆中，由4cos a c B =及正弦定理，
得sin 4sin cos sin()4sin cos A C B B C C B =⇒+=
则4sinBcosC cosBsinC sinCcosB +=，
sin cos 3sin cos B C C B ⇒=.
（2）由（1）知sin cos 3sin cos tan 3tan B C C B B C =⇒=，
2tan tan 2tan 2tan()=11+tan tan 1+3tan
+3tan tan B C C B C B C C C C
--== 又因为3tanB tanC =，故可得0tanC >，
由均值不等式可得2
313+3tan tan C C ≤，当且仅当3tan =3
C 时等号成立 因此2
3tan()=123+3tan tan B C C C
-=… ， 即B C -的最大值为
6π . 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，涉及均值不等式求和的最小值，以及正切的差角公式，属综合中档题. 19.四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，AD DC ⊥，1BC CD ==，2AD =，PA PD =，E 为PC 的中点，平面PAD ⊥平面ABCD ，F 为AD 上一点，//PA 平面BEF .
（1）求证：平面BEF ⊥平面PAD ；
（2）若PC 与底面ABCD 所成的角为60︒，求二面角E BF A --的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）77-
【分析】
（1）通过线面平行，推证出点F 的位置，再结合面面垂直，推证出BF
⊥平面PAD ，即可由线面垂直推证面
面垂直；
（2）以F 点为坐标原点建立空间直角坐标系，由线面角求得PF 长度，进而再由向量法求得二面角的大小即可.
【详解】（1）连AC 交BF 于G ，连EG ，如下图所示：
因为//PA 平面BEF ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC I 平面BEF
EG =， 所以//PA EG ，又E 为PC 中点，
所以G 为AC 中点，由AFG ∆≌BCG ∆， ∴112
AF BC AD === ∴F 为AD 中点，
∵//BC FD ，且BC FD =，则DCBF 为平行四边形，
∵AD DC ⊥
∴BF AD ⊥，又BF ⊂平面ABCD ，
平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD AD =
， 故BF ⊥平面PAD ，又BF ⊂平面BEF ，
所以平面BEF ⊥平面PAD .即证.
（2）连接PF ，
∵PA PD =，F 为AD 的中点，∴PF
AD ⊥， 又PF
⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD AD =， ∴PF ⊥底面ABCD ，又PF AD ⊥，
以,,FA FB FC 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.
设(0,0,),(1,1,0)P t C -，取平面ABCD 的法向量()10,0,1n =u r ，
又(1,1,)PC t =--u u u r
，(0,1,0)B ∴1213sin ||632||||2
n PC t n PC t π⋅=⇒=⇒=⋅+u r uu u r u r uu u r ∴6)P ，116(,22E - 设平面EBF 的法向量2(,,)n x y z =u u r 所以
2200n FE n FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r 即可得11602220x y z y ⎧-++=⎪⎨⎪=⎩
令21,6,(6,0,1)z x n =∴==u u r
设二面角--E BF A 的平面角为θ ∴1212||||7|cos |7||||
n n n n θ⋅==⋅u r u u r u r u u r ，又θ为钝角 ∴7cos 7
θ=- ， 所以二面角E BF A --的余弦值为7. 【点睛】本题考查由线面垂直推证面面垂直，由线面角求线段长，以及用向量法求二面角的大小，属综合中档题. 20.已知点(0,1)A ，点B 在y 轴负半轴上，以AB 为边做菱形ABCD ，且菱形ABCD 对角线的交点在x 轴上，
设点D 的轨迹为曲线E .
（1）求曲线E 的方程；
（2）过点(,0)M m ，其中14m <<，作曲线E 的切线，设切点为N ，求AMN V 面积的取值范围.
【答案】（1）24(0)x
y x =≠；（2）(1,34) 【分析】
（1）根据题意，求得菱形中心的坐标，进而由中心为,B D 中点，求得D 点坐标的参数形式，即可消参求得点D 的轨迹方程；
（2）利用导数几何意义求得N 点处的切线方程，从而求得M 点坐标，据此求得,m a 之间的关系，再结合1MN AM k k ⋅=-，即可表示出面积，将其转化为关于a 的函数，利用函数单调性求函数值域即可.
【详解】（1）设(0,)B t -，菱形ABCD 的中心设为Q 点，且x 在轴上，
由题意可得2||||||OQ OA OB =
则Q 又Q 为,B D 的中点，因此点)D t ，
即点D 的轨迹为x y t
⎧=⎪⎨=⎪⎩t 为参数且0t ≠） 化为标准方程为24(0)x y x =≠.
（2）设点2(,)4a N a ，则点N 的切线方程为2()422
a a a y x -=-. 可得(
,0)2
a M 因此2
a m =由14m <<，可得28a << 又2,2MN AM a k k a ==-则1MN AM k k ⋅=- 即MN AM ⊥
因此21(4)|||216
a a S MN AM +=⋅= 令34y a a =+，则2340y a '=+>，故34y a a =+为单调增函数，
故可知当(2,8)a ∈时，S 为关于a 的增函数，
又当2a =时，1S =；当8a =时，34S =.
因此S 的取值范围是(1,34).
【点睛】本题考查抛物线轨迹方程的求解，以及抛物线中三角形面积的范围问题，涉及导数的几何意义，以及利用导数判断函数的单调性，属综合中档题.
21.已知函数1()ln , () (0)x f x m x g x x x
-==>. （1）讨论函数()()()F x f x g x =-在(0,+)∞上的单调性；
（2）是否存在正实数m ，使()y f x =与g()y x =的图象有唯一一条公切线，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）当0m ≤时，()F x 区间()0,+∞上单调递减；当0m >时，()F x 在1
0,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增；（2）存在，1m = 【分析】
（1）对函数进行求导，对参数进行分类讨论，即可容易求得函数的单调性；
（2）利用导数的几何意义求得()(),f x g x 在任意一点处的切线方程，求得方程组，根据方程有唯一解，利用导数根据函数单调性，即可求得.
【详解】(1)22111()()()ln ,()x m mx F x f x g x m x F x x x x x --'=
-=-=-=， 当0m …时，()0F x '<，所以，函数()F x 在(0,)+∞上单调递减；
当0m >时，由()0F x '<得10x m <
<，由()0F x '>得1x m >， 所以，函数()F x 在1
(0,)m 上单调递减；函数()F x 在1(,)m +∞上单调递增.
(2)函数()=ln f x m x 在点(,ln )a m a 处的切线方程为
ln ()m y m a x a a -=
-，即ln m y x m a m a
=+-； 函数1()x g x x -=在点1(,1)b b
-处的切线方程为 211(1)()y x b b b --=-，即2121y x b b =-+ 由()y f x =与()y g x =的图象有唯一一条公切线，
∴21 2ln 1?m a b m a m b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩
①②，由①得2a m b =代入②消去m ， 整理得22ln 0b b a a a --+= ③
则此关于(0)b b >的方程③有唯一解，
令22()2ln (1)ln 1g b b b a a a b a a a =--+=--+-，
令()ln 1h a a a a =-+-，()ln h a a '=-
由()0'>h a 得01a <<；由()0h a '<得1a >所以，函数()h a 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 则()(1)0h a h =≤，
（i ）当()0h a <时，二次函数2()(1)ln 1g b b a a a =--+-在(1,)b ∈+∞上显然有一个零点，
(0,1)b ∈时，由方程2ln 1m a m b
-=-可得 2(ln 1)0b m a b
--=< 而0m >所以ln 10a -<
则(0)ln (ln 1)0g a a a a a =-+=-->
所以二次函数2()(1)
ln 1g b b a a a =--+-在(0,1)b ∈上也有一个零点，不合题意.
综上，1m =.
所以存在正实数1m =，使()y f x =与()y g x =的图象有唯一一条公切线.
【点睛】本题考查利用导数对含参函数单调性进行讨论，利用导数由方程根
个数求参数范围，涉及导数的几何意义，属压轴题.
（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.
22.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22120,3sin 2πρθθ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭，直线l
的参数方程为23x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数）. （1）求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程；
（2）设点过P 为曲线C 上的动点，点M 和点N 为直线l 上的点，且满足PMN V 为等边三角形，求PMN V 边
长的取值范围.
【答案】（1）C
：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数，02πα≤≤），l ：280x y +-=；（2
）15
15⎡⎢⎣⎦ 【分析】
（1）利用公式即可容易化简曲线C 的方程为直角坐标方程，再写出其参数方程即可；利用消参即可容易求得直线的普通方程；
（2）设出P 的坐标的参数形式，将问题转化为求点P 到直线距离的范围问题，利用三角函数的值域求解即可容易求得结果.
【详解】（1）曲线C 的极坐标方程为22120,3sin 2πρθθ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭
， 故可得2223sin 12ρρθ+=，则()222312x y y ++=，
整理得22
3412x y +=，也即22
143x y +=， 由0,2πθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，则可得0,0x y ≥≥，
故其参数方程为2cos x y αα
=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数，02πα≤≤）；
又直线的参数方程为235x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，
故可得其普通方程为280x y +-=.
（2）不妨设点P
的坐标为()
2cos αα， 则点P 到直线280x y +-=
的距离d =
=0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 容易知4sin 86y πα⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
的值域为[]6,4--，
故可得55d ⎡∈⎢⎣⎦
.
则三角形PMN 的边长为3d ，故其范围为⎣⎦
. 【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程之间的相互转化，涉及利用参数求点到直线的距离的范围，属综合中档题.
23.已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，() 3g x x =+．
（Ⅰ）当x ∈R 时，有
()()f x g x ≤，求实数m 的取值范围． （Ⅱ）若不等式()0f x ≥的解集为
[]1,3，正数a ，b 满足231ab a b m --=-，求+a b 的最小值． 【答案】（Ⅰ）(],5m ∈
-∞（Ⅱ）()min 7a b +=
【分析】 (I)根据不等式恒成立的等价不等式，可转化为求含两个绝对值的最值，利用绝对值的三角不等式求最值即可； (II)由不等式()0f x ≥的解集为[]1,3可求出m 的值，代入231ab a b m --=-并用a 表示b ，再把b 代入a b +利用基本不等式求出最小值.
【详解】解：（Ⅰ）由题意得：()()f x g x ≤Q 在x R ∈上恒成立，
23m x x ∴--≤+在x R ∈上恒成立．
()min 32m x x ∴≤++-， 又()()32235x x x x ++-≥--+=Q ，
当且仅当()()230x x -+≤，即[]3,2x ∈-时等号成立．
5m ∴≤，即(],5m ∈-∞．
（Ⅱ）令()0f x ≥，2x m ∴-≤，
若0m ≤时，∴解集为∅，不合题意；
若0m >时，2m x m ∴-≤-≤，[]2,2x m m ∴∈-+，又[]1,3x ∈Q ，
1m ∴=，∴综上所述：1m =，
22ab a b ∴--=，221
a b a +∴=-
00a b >⎧⎨>⎩
Q ，∴解得1a >，2241311a a b a a a a +∴+=+=-++--，
37a b ∴+≥=，当且仅当411a a -=-，即3a =时等号成立， 此时2241
a b a +==-．∴当3a =，4b =时，()min 7a b +=． 【点睛】本题考查了绝对值的三角不等式，以及利用基本不等式求最值，属于一般题.。