高考数学试题汇编几何证明选讲
高考数学总复习 选做01 几何证明选讲试题(含解析)
专题1 几何证明选讲【三年高考全收录】1. 【2017高考江苏】如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．∠=∠；求证：（1）PAC CAB（2）2=⋅．AC AP AB【答案】（1）见解析；（2）见解析．【考点】圆的性质、相似三角形【名师点睛】（1）解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：①直接应用相交弦、切割线定理及其推论；②当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．（2）应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2. 【2016高考江苏】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点. 求证：∠EDC=∠ABD.【答案】详见解析【解析】 试题分析：先由直角三角形斜边上中线性质EC BC DE ==21， 再由ECD EDC ∠=∠，ECD ∠与DBC ∠互余，ABD ∠与DBC ∠互余，得ECD ABD ∠=∠，从而得证. 试题解析：证明：在ADB △和ABC △中，因为90,,ABC BD AC A ∠=⊥∠o为公共角，所以ADB △∽ABC △，于是ABD C ∠=∠.在Rt BDC △中，因为E 是BC 的中点，所以ED EC =，从而EDC C ∠=∠.所以EDC ABD ∠=∠.【考点】相似三角形【名师点睛】1.相似三角形的证明方法：(1)找两对内角对应相等；(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．2．利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应角的度数的相关运算时，要善于联想变换比例式，通过添加辅助线构造相似三角形，同时注意面积法的应用．3．【2015江苏高考，21】如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D求证：ABD ∆∽AEB ∆A B CE DO（第21——A 题）【答案】详见解析【考点定位】相似三角形4．【2016高考天津理数】如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE =2AE =2，BD =ED ，则线段CE 的长为__________.【答案】33【解析】试题分析：设CE x =，则由相交弦定理得DE CE AE BE ⋅=⋅，2DE x =，又2BD DE x==，所以1AC AE ==，因为AB 是直径，则223122BC =-=249AD x =-BCE DAE ∆∆:，则BC EC AD AE =222149x x=-，解得23x =考点：相交弦定理【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．5．【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB =120°.以O 为圆心,12OA 为半径作圆. (I)证明：直线AB 与e O 相切；(II)点C ,D 在⊙O 上,且A ,B ,C ,D 四点共圆,证明：AB ∥CD .O DC B A【答案】(I)见解析(II)见解析【解析】试题分析：(I)设E 是AB 的中点,先证明60AOE ∠=︒,进一步可得12OE AO =,即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切．(II) 设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,作直线'OO ,证明'OO AB ⊥,'OO CD ⊥．由此可证明//AB CD ．试题解析：（Ⅰ）设E 是AB 的中点,连结OE ,因为,120OA OB AOB =∠=︒,所以OE AB ⊥,60AOE ∠=︒．在Rt AOE ∆中,12OE AO =,即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切． E O'DC OBA（Ⅱ）因为2OA OD =,所以O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,作直线'OO ．由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又'O 在线段AB 的垂直平分线上,所以'OO AB ⊥．同理可证,'OO CD ⊥．所以//AB CD ．考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”,熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理.6．【2016高考新课标2理数】选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD 中，,E G 分别在边,DA DC 上（不与端点重合），且DE DG =，过D 点作DF CE ⊥，垂足为F ．(Ⅰ) 证明：,,,B C G F 四点共圆；(Ⅱ)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）12. 【解析】试题分析：（Ⅰ）证,DGF CBF ∆~∆再证,DGF CBF ∆~∆可得0180,CGF CBF ∠+∠=即得,,,B C G F 四点共圆；（Ⅱ）由由,,,B C G F 四点共圆，可得FG FB ⊥，再证明,Rt BCG Rt BFG ∆~∆根据四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍求得结论.（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ，由G 为Rt DFC ∆斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ∆~∆因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍，即 111221.222GCB S S ∆==⨯⨯⨯=考点： 三角形相似、全等，四点共圆【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．7．【2016高考新课标3理数】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，O e 中»AB 的中点为P ，弦PC PD ，分别交AB 于E F ，两点．（I ）若2PFB PCD ∠=∠，求PCD ∠的大小；（II ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG CD ⊥．【答案】（Ⅰ）60︒；（Ⅱ）见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据条件可证明PFB ∠与PCD ∠是互补的，然后结合2PFB PCD ∠=∠与三角形内角和定理，不难求得PCD ∠的大小；（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明可知,,,C E F D 四点共圆，然后根据用线段的垂直平分线知G 为四边形CEFD 的外接圆圆心，则可知G 在线段CD 的垂直平分线上，由此可证明结果．试题解析：（Ⅰ）连结BC PB ,，则BCD PCB PCD BPD PBA BFD ∠+∠=∠∠+∠=∠,.因为»»AP BP=，所以PCB PBA ∠=∠，又BCD BPD ∠=∠，所以PCD BFD ∠=∠. 又180,2PFD BFD PFB PCD ∠+∠=︒∠=∠，所以3180PCD ∠=︒， 因此60PCD ∠=︒. （Ⅱ）因为BFD PCD ∠=∠，所以180PCD EFD ∠+∠=︒，由此知E F D C ,,,四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过E F D C ,,,四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上，又O 也在CD 的垂直平分线上，因此CD OG ⊥．考点：1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆．【方法点拨】（1）求角的大小通常要用到三角形相似、直角三角形两锐角互余、圆周角与圆心角定理、三角形内角和定理等知识，经过不断的代换可求得结果；（2）证明两条直线的夂垂直关系，常常要用到判断垂直的相关定理，如等腰三角形三线合一、矩形性质、圆的直径、平行的性质等．8．【2015高考湖北，理15】如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则AB AC= . 【答案】21 AP B C【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割线定理知，)(2BC PB PB PC PB PA +=⋅=，因为3BC PB =，所以224PB PA =，即PB PA 2=， 由PAB ∆∽PCA ∆，所以21==PA PB AC AB . 9.【2015高考新课标2，理22】如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与ABC ∆的底边BC 交于M 、N 两点与底边上的高AD 交于点G ，与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点．（Ⅰ）证明：//EF BC ；（Ⅱ） 若AG 等于O e 的半径，且23AE MN ==，求四边形EBCF 的面积．【解析】（Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O e 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点，所以AE AF =，故AD EF ⊥．从而//EF BC ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =,AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 是O e 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE AE ⊥．由AG 等于O e 的半径得2AO OE =，所以030OAE ∠=．所以ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形．因为23AE =，所以4AO =，2OE =．因为2OM OE ==，132DM MN ==，所以1OD =．于是5AD =，103AB =．所以四边形EBCF 的面积221103313163()(23)22⨯⨯-⨯⨯=．10．【2015高考陕西，理22】如图，AB 切O e 于点B ，直线D A 交O e 于D ，E 两点，GAEFON D B CMC D B ⊥E ，垂足为C ．（I ）证明：C D D ∠B =∠BA ；（II ）若D 3DC A =，C 2B =，求O e 的直径．【2018年高考命题预测】纵观近几年高考试题，高考对几何证明的考查，主要考查有关三角形相似、全等、面积、线段长度及角相等的求解及证明，以平行线等分线段定理，平行线截割定理，相似三角形的判定与性质定理，直角三角形射影定理，圆心角、圆周角定理，圆内接四边形的性质定理及判定定理，圆的割线定理，切割线定理，弦切角定理，相交弦定理等为主要考查内容，题目难度一般为中、低档，备考中应严格控制训练题的难度．高考对这部分要求不是太高，要求会以圆为几何背景，利用直角三角形射影定理，圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理，相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理证明三角形相似，全等，求线段长等，预测2017年高考可能以圆为几何背景，考查相交线定理，切割线定理，以及圆内接四边形的性质定理与判定定理，考查学生的数形结合的能力.“几何证明选讲”是选修系列4的一个专题,该专题在高考中只考查“相似三角形”和“圆”这两部分平面几何内容,且与另三个选修4的专题一起命题,供考生选择作答.其核心内容为:线段成比例与相似三角形,圆的切线及其性质,与圆有关的相似三角形等.对同学们来说, “几何证明选讲”是初中所学知识的深化,因而倍感亲切.试题题型为解答题,且难度不大.题型以比例问题为主，平行线分线段成比例定理、相似形、角平分线定理、直角三角形中的射影定理、圆中的割线定理、切割线定理和相交弦定理等,都涉及线段成比例,因此比例问题是本专题中所占比重最大的题型.解决这类问题,主要方法就是设法利用上述定理,并灵活变形.复习建议：圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推证过程.与圆有关的比例线段的证明要诀：相交弦、切割线定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效.【2018年高考考点定位】几何证明选讲的内容涉及的考点可归纳为:①相似三角形的定义与性质;②平行线截割定理;③直角三角形射影定理;④圆周角与圆心角定理;⑤圆的切线的判定定理及性质定理;⑥弦切角的性质;⑦相交弦定理;⑧圆内接四边形的性质定理和判定定理;⑨切割线定理.【考点1】相似三角形的判定与性质【备考知识梳理】1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项【规律方法技巧】1．判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判断三角形相似的方法(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边．3.比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.4.判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等．5.．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．6.相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：若a cb d=，则①a bc d=；②ad bc=；③a b c db d++=；④a b c db d--=；⑤a b c da b c d++=--；⑥a a cb b d+=+.7.辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．【考点针对训练】1. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，过A作AH∥BE.连接ED并延长交AB于F，交AH于H.如果AB＝4AF，EH＝8，求DF的长．【解析】∵AH ∥BE ，∴HF HE ＝AFAB.∵AB ＝4AF ，∴HF HE ＝14，∵HE ＝8，∴HF ＝2.∵AH ∥BE ，∴HD DE ＝ADDC.∵D 是AC 的中点，∴HDDE＝1.∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4，∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2. 2. 如图，在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ，求证： (1)AB ·AC ＝BC ·AD ； (2)AD 3＝BC ·CF ·BE .【解析】(1)在Rt△ABC 中，AD ⊥BC ，∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AD .∴AB ·AC ＝BC ·AD .(2)Rt△ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理可得, BD 2＝BE ·AB ， 同理CD 2＝CF ·AC ，∴BD 2·CD 2＝BE ·AB ·CF ·AC .又在Rt△BAC 中，AD ⊥BC ，∴AD 2＝BD ·DC ，∴AD 4＝BE ·AB ·CF ·AC ，又AB ·AC ＝BC ·AD . 即AD 3＝BC ·CF ·BE . 【考点2】圆的有关问题 【备考知识梳理】 1．圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角．(2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (3)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质：定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)判定：判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．另外：若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆．3.圆的切线(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数直线到圆心的距离d 与圆的半径r的关系相交两个d＜r相切一个d＝r相离无d＞r(2) 圆的切线性质及判定定理性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等．3．弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．(2)弦切角定理及推论①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB、CD相交于圆内点P(1)PA·PB＝PC·PD；(2)△ACP∽△DBP(1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一；(2)求弦长及角切割线定理PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)PA2＝PB·PC；(2)△PAB∽△PCA(1)已知PA、PB、PC知二可求一；(2)求解AB、AC割线定理PAB、PCD是⊙O的割线(1)PA·PB＝PC·PD；(1)求线段PA、PB、PC、PD及AB、CD；(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．【规律方法技巧】1. 与圆有关的比例线段： (1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．(3)相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幂定理：圆的两条弦或其延长线若相交，各弦被交点分成的两条线段长的积相等.当两交点在圆内时为相交弦定理，当两交点在圆外时为割线定理，两交点重合时为切线，一条上两点重合时为切割线定理，两条都重合时为切线长定理，应用此定理一定要分清两条线段是指哪两条．2. 弦切角定理及推论的应用(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．3. 证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．4.涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．5.一般地，涉及圆内两条相交弦时首先要考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理线段关系之间的区别．6.在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦．如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理．在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向． 【考点针对训练】1. 如图，⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，且AB AD =，E 是CB 延长线上一点，直线EA 与圆O 相切．求证：CDA ABE ∆∆∽．【解析】连结AC ．EA Q 是圆O 的切线，∴EAB ACB ∠=∠．AB AD =Q ，∴ACD ACB ∠=∠． ∴ACD EAB ∠=∠．Q 圆O 是四边形ABCD 的外接圆，∴D ABE ∠=∠．∴CDA ABE ∆∆∽．2. 如图，点C 是⊙O 直径BE 的延长线上一点，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，∠ ACB 的平分线CD 与AB 相交于点D ，与AE 相交于点F ． （I ）求AFD ∠的值； （11）若AB=AC ，求BCAC的值．【解析】（Ⅰ）∵AC 是⊙O 的切线，∴B EAC ∠=∠，又∵DC 是ACB ∠的角平分线，DCB ACD ∠=∠,∴+DCB B ACD EAC ∠∠=∠+∠,∴ADF AFD ∠=∠， 又∵BE 是O e 的直径，∴090BAE ∠=,∴045AFD ∠=(Ⅱ) ∵AB AC =，∴=B ACB EAC ∠=∠∠，由（I ）得，090BAE ∠=，∴+=B AEB B ∠∠∠ACE +∠0390EAC B +∠=∠=,∴30B ∠=,∵B EAC ∠=∠,=ACB ACB ∠∠,∴ACE ∆∽BCA ∆,∴03tan 30AC AE BC AB ===．【两年模拟详解析】1. 【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】选修4-1：几何证明选讲 如图，圆的弦，交于点，且为弧的中点，点在弧上，若，求的度数.【答案】45° 【解析】连结，．因为为弧的中点，所以．而，所以，即．又因为，所以，故．2. 【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】选修4-1：几何证明选讲 如图，直线DE 切圆O 于点D ，直线EO 交圆O 于A ，B 两点，DC OB ⊥于点C ，且2DE BE =，求证：23OC BC =.【答案】见解析 【解析】 解：连结，设圆的半径为，，则，. 在中，，，即，①又直线切圆于点，则，即，②，代入①，，，，.3. 【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 为半圆O 外一点，,PA PB 分别交半圆O 于点,D C .若2AD =，4PD =，3PC =，求BD 的长.【答案】434. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点,连接AE BE ，，APE ∠的平分线与AE BE ，分别交于C D ，，其中30AEB ∠=o ．求PCE ∠的大小．【解析】由PC 为APE ∠的平分线得EPC APC ∠=∠,由弦切角定理得PEB PAC ∠=∠,因为,CDE PED EPD DCE PAC APC ∠=∠+∠∠=∠+∠ ，所以CDE DCE ∠=∠，因此1803075.2PCE -∠==o o o…………10分 5. 【2017年第三次全国大联考江苏卷】如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE AC =，求证：PDE POC ∠=∠．PE B ODAC【解析】AE AC =Q ，AB 为直径，OAC OAE ∴∠=∠，POC OAC OCA OAC OAC EAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠，又EAC PDE ∠=∠，PDE POC ∴∠=∠．6. 【2017年第一次全国大联考江苏卷】如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，,BC BD BA =的延长线交CD 的延长线于点,E 求证：AE 平分DAF ∠.【解析】因为四边形ABCD 是圆的内接四边形，所以,DAE BCD FAE BAC BDC ∠=∠∠=∠=∠ 因为BC BD =，所以BCD BDC ∠=∠，所以FAE DAE ∠=∠， 所以AE 平分DAF ∠.……………10分7. 【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】如图， AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交BA 的延长线于点C ．若DB DC =，求证：CA AO =．【解析】连接,.OD AD 因为AB 是圆O 的直径，所以90,2.ADB AB AO ∠==o --------（3分） 因为DC 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=o ，-----------------------（6分） 又因为DB DC =，所以B C ∠=∠，于是ADB ODC ∆≅∆，从而AB CO =， 即2OA OA CA =+，得CA AO =．-----------------------------------（10分） 8. 【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】如图，,,A B E 是⊙O 上的点，过E 点的⊙O 的切线与直线AB 交于点P ，APE ∠的平分线和,AE BE 分别交于点,C D .求证：(1) DE CE =； (2)CA PECE PB=． 【答案】证明见解析．9.【江苏省苏中三市2016届高三第二次调研测试】如图，AB 是圆O 的直径，C 为圆O 外一点，且AB AC =，BC 交圆O 于点D ，过D 作圆O 切线交AC 于点E.求证：DE AC ⊥【答案】详见解析【解析】证明：连结OD ，因为AB AC =，所以B C ∠=∠．由圆O 知OB OD =，所以B BDO ∠=∠．从而BDO C ∠=∠，所以//OD AC .又因为DE 为圆O 的切线，所以DE OD ⊥，又因为//OD AC ，所以DE AC ⊥．10．【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ．以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，连接AE 交⊙O 于点F ．求证：BE ⋅CE ＝EF ⋅EA ．【答案】详见解析11．【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△PAE ∽△BDE ．【答案】详见解析【解析】证明：因为PA是圆O在点A处的切线，所以∠PAB＝∠ACB．因为PD∥AC，所以∠EDB＝∠ACB，所以∠PAE＝∠PAB＝∠ACB＝∠BDE．又∠PEA＝∠BED，故△PAE∽△BDE．12．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】如图，已知半圆O的半径为2，P是直径BC延长线上的一点，PA与半圆O相切于点A，H是OC的中点，AH⊥BC．（1）求证：AC是∠PAH的平分线；（2）求PC的长．【答案】（1）详见解析（2）2(2)因为H 是OC 中点，半圆O 的半径为2，所以BH ＝3，CH ＝1．又因为AH ⊥BC ，所以AH 2＝BH ·HC ＝3，所以AH ＝3． 在Rt △AHC 中，AH ＝3，CH ＝1，所以∠CAH ＝30°．由(1)可得∠PAH ＝2∠CAH ＝60°，所以PA ＝23．由PA 是半圆O 的切线，所以PA 2＝PC ·PB ，所以PC ·(PC ＋BC )＝(23)2＝12，所以PC ＝2．13．【苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】已知△ABC 内接于O e ，BE 是O e 的直径，AD 是BC 边上的高．求证：BA AC BE AD ⋅=⋅．【答案】详见解析【解析】证明：连结AE ．∵BE 是O e 的直径，∴90BAE ∠=︒．∴BAE ADC ∠=∠．又∵BEA ACD ∠=∠，∴△BEA ∽△ACD ． ∴BE AC BA AD =，∴BA AC BE AD ⋅=⋅． 14．【江苏省苏北三市2016届高三最后一次模拟考试】如图，AB 是圆O 的直径，弦,BD CA 的延长线相交于点E ，过E 作BA 的延长线的垂线，垂足为F ，求证：2AB BE BD AE AC =•-•.【答案】详见解析 【解析】试题分析：证明：连接AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅． …………………………………………………………………5分 又△ABC ∽△AEF ，所以AB AC AE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， 所以2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=．15．【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】在ABC ∆中，2,A B C ∠=∠∠的平分线交AB 于点D ，A ∠的平分线交CD 于点E .求证：AD BC BD AC ⋅=⋅.【答案】详见解析16．【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】如图，AB 是圆O 的直径，弦,CA BD 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ，连结FD .求证：DEA DFA ∠=∠.【答案】详见解析【解析】证明：连结AD ，Q AB 是圆O 的直径， 90ADB ∴∠=o ，90ADE ∴∠=o ,又EF FB ⊥Q ，90AFE ∴∠=o ，所以,,,A F E D 四点共圆，DEA DFA ∴∠=∠.A BO · FCDE 第21题（A ）图【一年原创真预测】1. 如图，AB 是O e 的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是O e 的割线，已知AB AC =.（Ⅰ）求证：AC FG //；(II)若1,4CG CD ==,求DE GF 的值.【入选理由】本题考查圆的切割线定理、三角形相似，四点共圆的性质等基础知识，意在考查逻辑思维能力和推理论证能力. 切割线定理、三角形相似、四点共圆的性质，是高考重点考查知识点，本题由切割线定理入手，得出三角形相似，结合四点共圆的性质，得出角相等，本题构思巧妙，难度不大，故选此题.2. 如图所示, PA 为圆O 的切线, A 为切点,PO 交圆O 与,B C 两点，15PA =，,5=PB BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .（1） 求证AB PC AC PA ⋅=⋅ （2） 求AD AE ⋅的值.。
高中数学几何证明选讲详解
【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法，属送分题
【思路点拨】条件
【规范解答】因为以AC为直径的圆与AB交于点D,所以
A. B. C. D.
【解析】设半径为 ,则 ,由 得 ,从而 ,故 ,选A.
7.在 中, 分别为 上的点,且 , 的面积是 ,梯形 的面积为 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
【解析】 ,利用面积比等于相似比的平方可得答案B.
8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个.
5． （2010·天津高考理科·Ｔ１4）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若 ,则 的值为
【命题立意】考查三角形的相似性质的应用。
【思路点拨】利用相似三角形的性质进行转化。
【规范解答】由题意可知 ∽ 相似，
所以 ,由 及已知条件
可得 ,又 , 。
【答案】
6．（2010·广东高考文科·Ｔ14）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD= ，点E，F分别为线段AB，CD的中点，则EF=.
【答案】
7.（2010·广东高考理科·Ｔ14）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD= ，∠OAP=30°，则CP＝______.
【命题立意】本题考察垂径定理及相交弦定理.
【思路点拨】由垂径定理得 ，算出 ，再由相交弦定理求出
【规范解答】因为 为 的中点，由垂径定理得 ，在 中， ，由相交弦定理得： ，即 ，
2021年高考数学真题分类汇编 15 几何证明选讲 文
2021年高考数学真题分类汇编 15 几何证明选讲文考点一相似三角形的判定与性质1.(xx天津,7,5分)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于点E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分∠CBF;②FB2=FD·FA;③AE·CE=BE·DE;④AF·BD=AB·BF.则所有正确结论的序号是( )A.①②B.③④C.①②③D.①②④答案 D2.(xx广东,15,5分)(几何证明选讲选做题)如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则= .答案 33.(xx陕西,15B,5分)(几何证明选做题)如图,△ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB,AC于点E,F,若AC=2AE,则EF= .答案 3考点二直线与圆的位置关系4.(xx课标Ⅰ,22,10分)选修4—1:几何证明选讲如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.(1)证明:∠D=∠E;(2)设AD不是☉O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.解析(1)由题设知A,B,C,D四点共圆,所以∠D=∠CBE.由已知得∠CBE=∠E,故∠D=∠E.(2)设BC的中点为N,连结MN,则由MB=MC知MN⊥BC,故O在直线MN上.又AD不是☉O的直径,M为AD的中点,故OM⊥AD,即MN⊥AD.所以AD∥BC,故∠A=∠CBE.又∠CBE=∠E,故∠A=∠E.由(1)知,∠D=∠E,所以△ADE为等边三角形.5.(xx课标Ⅱ,22,10分)选修4—1:几何证明选讲如图,P是☉O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与☉O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交☉O于点E.证明:(1)BE=EC;(2)AD·DE=2PB2.解析(1)连结AB,AC,由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA.因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,∠PAD=∠BAD+∠PAB,∠DCA=∠PAB,所以∠DAC=∠BAD,从而=,因此BE=EC.(2)由切割线定理得PA2=PB·PC.因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB,由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,所以AD·DE=2PB2.6.(xx辽宁,22,10分)选修4—1:几何证明选讲如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连结DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.(1)求证:AB为圆的直径;(2)若AC=BD,求证:AB=ED.证明(1)因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.由于PD为切线,故∠PDA=∠DBA,又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA.所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠B AD,从而∠BDA=∠PFA.由于AF⊥EP,所以∠PFA=90°,于是∠BDA=90°,故AB是直径.(2)连结BC,DC.由于AB是直径,故∠BDA=∠ACB=90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB=∠CBA.又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故DC∥AB.由于AB⊥EP,所以DC⊥EP,∠DCE为直角,于是ED为直径,由(1)得ED=AB.29260 724C 牌27559 6BA7 殧 20053 4E55 乕 27112 69E8 槨24880 6130 愰25688 6458 摘31662 7BAE 箮>29707 740B 琋[28814 708E 炎(。
高考数学二轮复习 高考分类汇编 几何证明选讲
高考数学二轮复习高考分类汇编几何证明选讲考点一相似三角形的判定与性质1.(2013广东,15,5分)(几何证明选讲选做题)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=3,BE⊥AC,垂足为E,则ED=.答案2.(2013陕西,15B,5分)(几何证明选做题)如图,AB与CD相交于点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P,已知∠A=∠C,PD=2DA=2,则PE=.答案3.(2013辽宁,22,10分)选修4—1:几何证明选讲如图,AB为☉O直径,直线CD与☉O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,连结AE,BE.证明:(1)∠FEB=∠CEB;(2)EF2=AD·BC.证明(1)由直线CD与☉O相切,得∠CEB=∠EAB.由AB为☉O的直径,得AE⊥EB.从而∠EAB+∠EBF=;又EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF=,从而∠FEB=∠EAB.故∠FEB=∠CEB.(4分)(2)由BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE是公共边,得Rt△BCE≌Rt△BFE,所以BC=BF.类似可证:Rt△ADE≌Rt△AFE,得AD=AF.又在Rt△AEB中,EF⊥AB,故EF2=AF·BF,所以EF2=AD·BC.(10分)考点二直线与圆的位置关系4.(2013天津,13,5分)如图,在圆内接梯形ABCD中,AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB=AD=5,BE=4,则弦BD的长为.答案5.(2013课标全国Ⅰ,22,10分)选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.(1)证明:DB=DC;(2)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.解析(1)连结DE,交BC于点G.由弦切角定理得∠ABE=∠BCE.而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.又因为DB⊥BE,所以DE为直径,∠DCE=90°,由勾股定理可得DB=DC.(2)由(1)知∠CDE=∠BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂线,所以BG=.设DE的中点为O,连结BO,则∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圆的半径等于.6.(2013课标全国Ⅱ,22,10分)选修4—1:几何证明选讲如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆.(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.解析(1)因为CD为△ABC外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知=,故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.因为B,E,F,C四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圆的直径.(2)连结CE,因为∠CBE=90°,所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC2=DB·BA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.而DC2=DB·DA=3DB2,故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.。
全国各地高考数学三轮复习试题汇编 专题8 选修系列第1讲 几何证明选讲(B卷)理(含解析)
专题8 选修系列 第1讲 几何证明选讲(B 卷)1．（2015·肇庆市高中毕业班第三次统一检测题·15）（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，且AB=6，CD 是弦，BA 、CD 的延长线交于点P ，PA=4，PD=5，则∠COD= ．2．（2015·佛山市普通高中高三教学质量检测（二）·15）（几何选讲） 如图1，AB 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于D ，且AD ＝2BD ，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F ，若2=CD ，则EF ＝ ．3.(江西省新八校2014-2015学年度第二次联考·22)（本小题满分10分）如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于C B ,两点，20=PA ，10=PB ，BAC ∠的平分线与BC 和圆O 分别交于D 和E . （1)求证：AC PA PC AB ⋅=⋅； （2）求AE AD ⋅的值.4.（2015·南京市届高三年级第三次模拟考试·21）如图，AB ，AC 是⊙O 的切线，ADE 是⊙O 的割线，求证：BE · CD ＝BD · CE ．AB图15．(江西省九江市2015届高三第三次模拟考试·22)（本小题满分10分）选修4---1 几何证明选讲如图，已知O 中，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为M ，P 是CD 延长线上一点，PE 切O 于点E ，连结BE 交CD 于F ． 证明：（1）BFM PEF ∠=∠；（2）2PF PD PC =．6．(2015·乌鲁木齐第二次诊断性测验·22）（本小题满分10）如图AB 是半圆的直径，C 是圆上一点，CH AB ⊥于点H ，CD 是圆的切线，F 是AC 上一点，DF DC =,延长DF 交AB 于E ． （Ⅰ）求证：DE ∥CH ；（第21A 题图）（Ⅱ）求证：22AD DF AE AB -=7．(2015·河南郑州高三第二次模拟考试·22) (本小题满分10分)如图，已知圆O 是ABC ∆的外接圆，BC AB =,AD 是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径．过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ． （1）求证：AE AD BC AC ⋅=⋅； （2）若2=AF ,22=CF ,求AE 的长．8. （2015·重庆市巴蜀中学高三下学期第二次模拟考试·14）如图，AB 与圆O 相切于点,A 又点D 在圆内，DB 与圆相交于点,C 若3,2,6,BC DC OD AB ====那么该圆的半径的长为 ．9．(2015·苏锡常镇四市高三教学情况调研·21)如图，AB 为圆O 的切线，A 为切点，C 为线段AB 的中点，过C 作圆O 的割线CED （E 在C ，D 之间），求证：∠CBE=∠BDE ．10.（2015.南京师大附中模拟·23）专题8 选修系列 第1讲 几何证明选讲(B 卷)参考答案与解析1.【答案】60°【命题立意】本题主要考查与圆有关的比例线段、圆周角定理、圆中的切割线定理． 【解析】由割线定理得， PA ×PB=PC ×PD ， ∵PA=4，PC=5，∴4×10=5×PD ，∴PD=8， ∴CD=8-5=3，∴△CDO 是等边三角形， ∴∠COD=60°． 故答案为：60°2.【命题立意】本题旨在考查相交弦定理和三角形的相似．【解析】在Rt ABC ∆中，CD ⊥AB 于D ，所以CD 2＝AD ·BD ＝2BD 2＝2，∴DB ＝AE ＝ED ＝1∴CE BC ===ACE ∽△FBE ，AE CE EF BE ∴=，故3AE BE EF CE ⨯==．故答案为：33.【答案】（1）详见解析；（2）360.【命题立意】考查三角形相似，切割线定力理，考查转化能力，中等题. 【解析】（1）∵ PA 为圆O 的切线， ,PAB ACP ∴∠=∠又P ∠为公共角，（2）∵PA 为圆O 的切线，BC 是过点O 的割线， 2,PA PB PC ∴=⋅40,30PC BC ∴== 又∵022290,900CAB AC AB BC ∠=∴+==又由（1连接EC ，则,CAE EAB ∠=∠ADB ACE ∆∆∽，则4．【答案】略。
高考数学考点44 几何证明选讲
温馨提示：考点44 几何证明选讲一、填空题1.(2016·天津高考文科·T13)同(2016·天津高考理科·T12)如图,AB 是圆的直径,弦CD 与AB 相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED,则线段CE 的长为 .【解题指南】设圆心为O,连接OD,构造三角形,利用相似三角形对应边成比例求解.【解析】设圆心为O,连接OD,AC,可得△BOD ∽△BDE,所以BD 2=BO ·BE=3,所以.因为△AEC ∽△DEB,AE CEDE BE = ,即1EC2=,所以EC=.答案:二、解答题2.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T22)同(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T22)选修4-1:几何证明选讲 如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以O 为圆心,12OA 为半径作圆. (1)证明:直线AB 与☉O 相切.(2)点C,D 在☉O 上,且A,B,C,D 四点共圆,证明:AB ∥CD. 【解析】(1)设圆的半径为r,作OK ⊥AB 于K, 因为OA=OB,∠AOB=120°,=r,所以OK⊥AB,∠A=30°,OK=OA·sin 30°=OA2所以AB与☉O相切.(2)方法一:假设CD与AB不平行,CD与AB交于F,FK2=FC·FD. ①因为A,B,C,D四点共圆,所以FC·FD=FA·FB=(FK-AK)(FK+BK).因为AK=BK,所以FC·FD=(FK-AK)(FK+AK)=FK2-AK2. ②由①②可知矛盾,所以AB∥CD.方法二:因为A,B,C,D四点共圆,不妨设圆心为T,因为OA=OB,TA=TB,所以OT为AB的中垂线,又OC=OD,TC=TD,所以OT为CD的中垂线,所以AB∥CD.3.(2016·全国卷Ⅱ文科·T22)同(2016·全国卷Ⅱ理科·T22)选修4-1:几何证明选讲如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.(1)证明:B,C,G,F四点共圆.(2)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.【解题指南】(1)要证明四点共圆,需要证明四边形对角互补,显然∠DCB=90°,只需证明∠GFB=90°.(2)把四边形BCGF分成两个直角三角形△BCG和△BFG,求这两个直角三角形的面积的和.【解析】(1)因为DF⊥CE,所以Rt△DEF∽Rt△CDF,所以∠GDF=∠DEF=∠BCF,DF CF.=DE CD因为DE=DG,CD=BC,,所以DF CF=DG BC所以△GDF∽△BCF,所以∠CFB=∠DFG,所以∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°,所以∠GFB+∠GCB=180°.所以B,C,G,F四点共圆.(2)因为E为AD中点,AB=1,所以DG=CG=DE=12,所以在Rt△GFC中,GF=GC,连接GB,Rt△BCG≌Rt△BFG,所以S四边形BCGF=2S△BCG=2×12×1×12=12.4.(2016·全国卷Ⅲ·理科·T22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,☉O中AB的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.(1)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小.(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD.【解析】(1)连接PB,BC,则∠BFD=∠PBA+∠BPD,∠PCD=∠PCB+∠BCD.因为=,所以∠PBA=∠PCB,又∠BPD=∠BCD,所以∠BFD=∠PCD.因为∠PFB+∠BFD=180°,∠PFB=2∠PCD,所以3∠PCD=180°,因此∠PCD=60°.(2)因为∠PCD=∠BFD,所以∠EFD+∠PCD=180°,由此知C,D,F,E四点共圆,其圆心既在CE的垂直平分线上,又在DF的垂直平分线上,故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心,所以G在CD的垂直平分线上,又O也在CD的垂直平分线上,因此OG⊥CD.5.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,☉O中AB的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.(1)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小.(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD.【解析】(1)连接PB,BC,则∠BFD=∠PBA+∠BPD,∠PCD=∠PCB+∠BCD.因为AP BP,所以∠PBA=∠PCB,又∠BPD=∠BCD,所以∠BFD=∠PCD.又∠PFB+∠BFD=180°,∠PFB=2∠PCD,所以3∠PCD=180°,因此∠PCD=60°.(2)因为∠PCD=∠BFD,所以∠EFD+∠PCD=180°,由此知C,D,F,E四点共圆,其圆心既在EC的垂直平分线上,又在FD的垂直平分线上,故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心,所以G在CD的垂直平分线上,又O也在CD的垂直平分线上,因此OG⊥CD.6.(2016·江苏高考T21)A.【选修4—1几何证明选讲】(本小题满分10分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC,D为垂足,E是BC的中点,求证:∠EDC=∠ABD.【解题指南】根据直角三角形的性质证明∠EDC与∠ABD都等于∠C.【证明】由BD⊥AC可得∠BDC=90°,由E是BC中点可得DE=CE=错误！未找到引用源。
高考数学题分类汇编选修几何证明选讲
高考数学题分类汇编选修几何证明选讲2010年全国各地高考数学真题分章节分类汇编第20部分:选修系列---（选修4-1：几何证明选讲）一、填空题：1．（2010年高考天津卷文科11）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P。
若PB=1，PD=3，则BCAD的值为。
【答案】13【解析】因为ABCD四点共圆，所以∠DAB=∠PCB，∠CDA=∠PBC，因为∠P为公共角，所以PBC∆∽PAB∆，所以PB PD =PCPA=BCAD，所以BCAD=PBPD=13。
【命题意图】本题考查四点共圆与相似三角形的性质。
2．（2010年高考广东卷文科14）（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB,CB AB⊥,AB=AD=a,CD=2a, 点E,F分别为线段AB,AD的中点，则EF= 。
a【答案】2解：连结DE，可知AED∆为直角三角形。
则EF是DEARt∆斜边上的中线，等于斜边的一半，为2a. 3．（2010年高考陕西卷文科15）（几何证明选做题）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝cm.【答案】16cm5二、解答题：1．（2010年高考辽宁卷文科22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，ABC∆的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点.E（Ⅰ）证明：ABE∆∽△ADC;（Ⅱ）若ABC∠的大小.∆的面积12=⋅，求BACS AD AE证明：（Ⅰ）由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以AB ADAE AC=，即AB·AC＝AD·AE.又S＝12AB·AC sin∠BAC，且S＝12AD·AE，故AB·AC sin∠BAC＝AD·AE.则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°.2(2010年高考宁夏卷文科22)（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图：已知圆上的弧AC BD=，过C点的圆E点，证明：（Ⅰ）ACE∠。
最新题库大全高考数学 试题分项专题17 几何证明选讲 理 选修4
一、选择题:1. (2012年高考北京卷理科5)如图. ∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC 交于点E.则( )A. CE·CB=AD·DBB. C E·CB=AD·ABC. AD·AB=CD ²D.CE·EB=CD ²二、填空题:1. (2012年高考广东卷理科15)（几何证明选讲选做题）如图3，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA=_______..3. (2012年高考湖北卷理科15)（选修4-1：几何证明选讲）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD 的最大值为_____________.4. (2012年高考湖南卷理科11)如图2，过点P 的直线与圆O 相交于A ，B 两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O 的半径等于_______.5．(2012年高考陕西卷理科15)B ．（几何证明选做题）如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，若6AB =，1AE =，则DF DB ⋅= ．三、解答题:1. （2012年高考江苏卷21）A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD = DC ，连结AC ，AE ，DE ． 求证：E C ∠=∠．2.(2012年高考辽宁卷理科22) (本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 和⊙/O 相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E .证明(Ⅰ)AC BD AD AB ⋅=⋅； (Ⅱ) AC AE =。
高考数学总复习 12-1几何证明选讲 新人教B版
12-1几何证明选讲基础巩固强化1.如图，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点A 、B 在圆O 上，BC ＝1，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π [答案] B[解析] ∠A ＝∠BCD ＝30°，由BCsin A ＝2R ，得R ＝1，所以圆O 的面积为πR 2＝π.2．(文)如图，E 是▱ABCD 边BC 上一点，BE EC ＝4，AE 交BD 于F ，BF FD等于( )A.45B.49C.59D.410 [答案] A[解析] 在AD 上取点G ，使AG GD ＝1:4，连接CG 交BD 于H ，则CG ∥AE ，∴BF FH ＝BE CE ＝4，DH FH ＝DG GA ＝4，∴BF FD ＝45. [点评] 利用AD ∥BC 可证△BEF△DAF .⎭⎪⎬⎪⎫BC ∥AD ⇒∠EAD ＝∠AEB ∠ADF ＝∠FBE⇒△BFE △DFA ⇒BF FD ＝BE AD ＝BE BC ＝45. (理)如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，正方形DEFG 的边长是6cm ，且四个顶点都在△ABC 的各边上，CE ＝3 cm ，则BC 的长为( )A ．12cmB ．21cmC ．18cmD ．15cm [答案] B[解析] ∵四边形DEFG 是正方形，∴∠GDB ＝∠FEC ＝90°，GD ＝DE ＝EF ＝6 cm ，又∵∠B ＋∠C ＝90°，∠B ＋∠BGD ＝90°，∴∠C ＝∠BGD ，∴△BGD △FCE ，∴BD EF ＝GD EC ，即BD ＝EF ·GDEC＝12cm ， ∴BC ＝BD ＋DE ＋EC ＝21cm.3．(文)如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD :BD ＝3:2，则斜边AB 上的中线CE 的长为( )A ．5 6B.562 C.15 D.3102[答案] B[解析] 设AD ＝3x ，则DB ＝2x ，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，∴36＝6x 2，∴x ＝6，∴AB ＝56，∴CE ＝12AB ＝562.(理)如图所示，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，S 矩形＝40cm 2，S △ABE :S △DBA ＝1:5，则AE 的长为________．[答案] 4cm[解析] ∵∠BAD ＝90°，AE ⊥BD ，∴△ABE △DBA ，∴S △ABE S △DBA ＝AB2DB 2.∵S △ABE :S △DBA ＝1:5，∴AB 2:DB 2＝1:5， ∴AB :DB ＝1: 5.设AB ＝k ，则DB ＝5k ，AD ＝2k ，∵S 矩形＝40cm 2，∴k ·2k ＝40，∴k ＝25， ∴BD ＝5k ＝10，AD ＝45，S △ABD ＝12BD ·AE ＝20，∴12×10×AE ＝20，∴AE ＝4cm. 4．(文)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连接BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．4B ．5C ．6D ．7[答案] C[解析] 由条件知AF ＝2，BF ＝BE ＝1， ∴S △ADE ＝12AE ×DF ＝12×4×3＝6，∵CE ∥DB ，∴S △DBC ＝S △DBE ，∴S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝6.(理)已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( )A ．y 是x 的增函数B ．y 是x 的减函数C ．y 随x 的增大先增大再减小D ．无论x 怎样变化，y 为常数 [答案] D[解析] ∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△PAR 的中位线，∴EF ＝12AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数．5．(2012·合肥二检)如图，半径为2的⊙O 中，∠AOB ＝90°，D 为OB 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，则线段DE 的长为( ) A.55 B.255 C.355D.32[答案] C [解析]延长BO 交圆O 于点F ，由D 为OB 的中点，知DF ＝3，DB ＝1，又∠AOB ＝90°，所以AD ＝5，由相交弦定理知AD ·DE ＝DF ·DB ，即5DE ＝3×1，解得DE ＝355.6．(文)(2012·佛山质检)如图所示，△ABC 内接于圆O ，过点A 的切线交BC 的延长线于点P ，D 为AB 的中点，DP 交AC 于点M ，若BP ＝8，AM ＝4，AC ＝6，则PA ＝________.[答案] 4 2[解析] 由题意MC ＝AC －AM ＝6－4＝2.又D 为AB 的中点，∴AD ＝BD .过点C 作CN ∥AB 交PD 于N ，∴AM MC ＝AD CN ＝BD CN ＝BP CP ，∴8PC ＝42，∴PC ＝4.∵PA 2＝PC ·PB ＝32，∴PA ＝4 2.(理)(2012·天津十二校联考)如图所示，EA 是圆O 的切线，割线EB 交圆O 于点C ，C 在直径AB 上的射影为D ，CD ＝2，BD ＝4，则EA ＝( ) A ．4 B.52 C ．3 D.12[答案] B[解析] 解法1：根据题意可得BC 2＝CD 2＋BD 2＝22＋42＝20，即BC ＝2 5.由射影定理得BC 2＝AB ·BD ，即20＝4AB ，解得AB ＝5，所以AC ＝52－20＝5，设EA ＝x ，EC ＝y ，根据切割线定理可得x 2＝y (y ＋25)，即x 2＝y 2＋25y ，在Rt △ACE 中，x 2＝y 2＋(5)2，故25y ＝5，解得y ＝52，故x 2＝54＋5＝254，得x ＝52，即EA ＝52.解法2：连AC ，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，CD ＝2，BD ＝4，∴AD ＝CD 2BD＝1，又EA 切⊙O 于A ，∴∠EAB ＝90°， ∴△EAB△CDB ，∴EA CD ＝AB BD ，∴AE ＝AB ·CD BD ＝52. 7．(文)(2012·合肥二检)如图，在⊙O 中，∠AOB ＝90°，D 为OB 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，线段DE 的长为355，则⊙O 的半径为________．[答案] 2[解析] 延长BO 交⊙O 于点F ，设⊙O 的半径为r ，则AD ＝r 2＋r22＝52r ，又BD ＝12，DF ＝2r －12r ＝32r ， 由圆的相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DF ，即5r 2×355＝12r ×32r ，解得r ＝2. (理)(2011·深圳调研)如图，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OB 绕点O 逆时针旋转120°到OD ，连PD 交圆O 于点E ，则PE ＝________.[答案]377[解析] ∵∠POD ＝120°，OD ＝OB ＝1，PO ＝2，∴PD ＝PO 2＋OD 2－2OD ·PO ·cos120°＝7， 由相交弦定理得，PE ·PD ＝PB ·PC ， ∴PE ＝PB ·PC PD ＝1×37＝377. 8．(文)如图，PA 切圆O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为________．[答案]7[解析] 由图可知，PA 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )＝3，∴PA ＝3，∴∠AOP ＝60°， 又∠AOD ＝60°，∴∠POD ＝120°，∵PO ＝2，OD ＝1， ∴cos ∠POD ＝22＋12－PD 22×2×1＝－12，∴PD ＝7.(理)(2012·湖南理，11)如右图，过点P 的直线与⊙O 相交于A 、B 两点．若PA ＝1，AB ＝2，PO ＝3，则⊙O 的半径等于________．[答案]6[解析] 设圆半径为r ，由切割线定理：PA ·PB ＝(3－r )·(3＋r )， 即1×3＝9－r 2，r 2＝6，∴r ＝ 6. 9.(2012·江南十校联考)如图，在圆的内接四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠ABD ＝30°，∠BDC ＝45°，AD ＝1，则BC ＝________.[答案]2[解析] 连接AC .因为∠ABC ＝90°，所以AC 为圆的直径．又∠ACD ＝∠ABD ＝30°，所以AC ＝2AD ＝2.又∠BAC ＝∠BDC ＝45°，故BC ＝ 2.10．(2012·哈三中模拟)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，过⊙O 上一点H 作⊙O 的切线，BC 与这条线切线平行，AC 、AB 的延长线交这条切线于点E 、F ，连接AH 、CH .(1)求证：AH 平分∠EAF ；(2)若CH ＝4，∠CAB ＝60°，求圆弧BHC ︵的长． [解析] (1)证明：连接OH ，则OH ⊥EF .∵EF ∥BC ，∴OH ⊥BC ，∴H 为弧BC 的中点， ∴∠EAH ＝∠FAH ，∴AH 平分∠EAF .(2)连接CO 、BO ，∵∠CAB ＝60°，∴∠COB ＝120°， ∴∠COH ＝60°，∴△COH 为等边三角形， ∴CO ＝CH ＝4，又∵∠BOC ＝120°，∴BHC ︵的长为8π3.能力拓展提升11.(文)(2012·湖南十二校联考)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB 、AD 的中点，则EF ＝__________.[答案] a2[解析] 连接DE ，可知△AED 为直角三角形，则EF 是Rt △DEA 斜边上的中线，其长等于斜边长的一半，为a2.(理)如图所示，已知圆O直径为6，AB是圆O的直径，C为圆O上一点，且BC＝2，过点B的圆O的切线交AC延长线于点D，则DA＝________.[答案] 3[解析]∵AB为直径，∴∠ACB为直角，∵BC＝2，AB＝6，∴AC＝2，∵DB与⊙O相切，∴∠DBA为直角，由射影定理BC2＝AC·CD，∴CD＝1，∴AD＝3.12．(文)如图，BD为⊙O的直径，AB＝AC，AD交BC于E，AE＝2，ED＝4.则AB的长为________．[答案] 2 3[解析] ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，又∠C ＝∠D ，∴∠ABC ＝∠D ，又∠BAE ＝∠DAB ，∴△ABE △ADB ，∴AB 2＝AE ·AD ，∴AB ＝2 3. (理)已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ，BC ⊥AC 于点C ，若BC ＝6，AC ＝8，则AE ＝______，AD ＝________.[答案] 52，5[解析] ∵AD 切⊙O 于D ，∴OD ⊥AC ，又BC ⊥AC ， ∴△ADO △ACB ，∴OD BC ＝AOAB，∵BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝10，设OD ＝R ，则AO ＝53R ，∴R ＋53R ＝10，∴R ＝154，AE ＝AB －2R ＝52，AD OD ＝AC BC ＝43，∴AD ＝5.13．(文)(2012·湖北理，15)如下图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB ＝4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为________．[答案] 2[解析] 解法1：∵CD ⊥OD ，∴OC 2＝OD 2＋CD 2，当OD 最小时，CD 最大，而OE 最小(E 为AB 的中点)，∴CD max ＝EB ＝2.解法2：由题意知，CD 2＝AD ·DB ≤(AD ＋DB2)2＝AB 24＝4.(当且仅当AD ＝DB 时取等号)．∴CD max ＝2.(理)(2012·广州测试)如图，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ，使BC ＝2OB ，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD 、BD ，则AD BD的值为________．[答案]2[解析] 连接OD ，则OD ⊥CD .设圆O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝OD ＝r ，BC ＝2r .所以OC ＝3r ，CD ＝OC 2－OD 2＝22r .由弦切角定理得，∠CDB ＝∠CAD ，又∠DCB ＝∠ACD ，所以△CDB △CAD .所以AD BD ＝AC CD ＝4r22r＝ 2.14．(文)(2012·天津，13)如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．[答案] 43[解析] 如图，由相交弦定理得AF ·FB ＝EF ·FC ，∴FC ＝AF ·FBEF＝2， ∵FC ∥BD ，∴FC BD ＝AF AB ，BD ＝FC ·AB AF ＝83.又由切割线定理知BD 2＝DC ·DA ， 又由DA ＝4CD 知4DC 2＝BD 2＝649，∴DC ＝43. 明确相交弦定理、切割弦定理等是解题的关键．(理)(2012·深圳调研)如图，A ，B 是圆O 上的两点，且OA ⊥OB ，OA ＝2，C 为OA 的中点，连接BC 并延长交圆O 于点D ，则CD ＝________.[答案]355[解析] 延长CO 交圆于点E ，依题意得，BC ＝OB 2＋OC 2＝5，BC ·CD ＝CA ·CE ，5×CD ＝1×3，因此CD ＝355.15．(文)(2012·银川一中二模)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，D 是AC ︵的中点，BD 交AC 于E .(1)求证：DC 2＝DE ·DB ；(2)若CD ＝23，O 到AC 的距离为1，求⊙O 的半径r . [解析] (1)证明：由D 为AC →中点知，∠ABD ＝∠CBD ，又∵∠ABD ＝∠ECD ，∴∠CBD ＝∠ECD ， 又∠CDB ＝∠EDC ，∴△BCD ～△CED ，∴DE DC ＝DC DB， ∴DC 2＝DE ·DB ；(2)∵D 是AC ︵的中点，∴OD ⊥AC ， 设OD 与AC 交于点F ，则OF ＝1，在Rt △COF 中，OC 2＝CF 2＋OF 2，即CF 2＝r 2－1， 在Rt △CFD 中，DC 2＝CF 2＋DF 2，∴(23)2＝r 2－1＋(r －1)2，解得r ＝3.(理)(2012·昆明一中测试)如图，已知A 、B 、C 、D 四点共圆，延长AD 和BC 相交于点E ，AB ＝AC .(1)证明：AB 2＝AD ·AE ；(2)若EG 平分∠AEB ，且与AB 、CD 分别相交于点G 、F ，证明：∠CFG ＝∠BGF . [证明] (1)如图，连接BD .因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADB . 又因为∠BAD ＝∠EAB ，所以△ABD △AEB ， 所以AB AD ＝AE AB，即AB 2＝AD ·AE .(2)因为A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠ABC ＝∠EDF . 又因为∠DEF ＝∠BEG ，所以∠DFE ＝∠BGF . 又因为∠DFE ＝∠CFG ，所以∠CFG ＝∠BGF .16．(2012·河南商丘模拟)如图，在△ABC 和△ACD 中，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ，⊙O 是以AB 为直径的圆，DC 的延长线与AB 的延长线交于点E .(1)求证：DC 是⊙O 的切线；(2)若EB ＝6，EC ＝62，求BC 的长．[解析] (1)∵AB 是⊙O 的直径，∠ACB ＝90°， ∴点C 在⊙O 上，连接OC ，可得∠OCA ＝∠OAC ＝∠DAC ，∴OC ∥AD ， 又∵AD ⊥DC ，∴DC ⊥OC ， ∵OC 为半径， ∴DC 是⊙O 的切线． (2)∵DC 是⊙O 的切线， ∴EC 2＝EB ·EA .又∵EB ＝6，EC ＝62， ∴EA ＝12，AB ＝6.∵∠ECB ＝∠EAC ，∠CEB ＝∠AEC ， ∴△ECB △EAC ，∴BC AC ＝EC EA＝22，∴AC ＝2BC . ∵AC 2＋BC 2＝AB 2＝36， ∴BC ＝2 3.1.如图所示，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠使点B 落在AD 边的中点E 处，则折痕FG 的长为( )A ．13 B.635 C.656D.636[答案] C[解析] 过点A 作AH ∥FG 交DG 于H ，则四边形AFGH 为平行四边形．∴AH ＝FG . ∵折叠后B 点与E 点重合，折痕为FG ， ∴B 与E 关于FG 对称．∴BE ⊥FG ，∴BE ⊥AH . ∴∠ABE ＝∠DAH ，∴Rt △ABE Rt △DAH .∴BE AB ＝AH AD .∵AB ＝12，AD ＝10，AE ＝12AD ＝5， ∴BE ＝122＋52＝13，∴FG ＝AH ＝BE ·AD AB ＝656. 2．(2011·广州市测试)在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝5，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且EF ∥AD ，若AE EB ＝34，则EF 的长为________．[答案]237[解析]如图所示，延长BA 、CD 交于点P ，∵AD ∥BC ，∴PA PB ＝AD BC ＝25，∴PA AB ＝23，又∵AE EB ＝34，∴AE AB ＝37，∴PA AE ＝149，∴PA PE ＝1423.∵AD ∥EF ，∴AD EF ＝PA PE ＝1423，又AD ＝2，∴EF ＝237. [点评]过D 作DH ∥AB 交EF 于G ，交BC 于H ，由平行截割定理知，DG GH ＝AE EB ＝34，∴DG DH ＝37，由GF ∥HC 可得，GF HC ＝DG DH ＝37， ∵GF ＝EF －2，HC ＝5－2＝3，∴EF ＝237.3．(2011·南昌市模拟)函数f (x )＝(x －2010)(x ＋2011)的图象与x 轴、y 轴有三个交点，有一个圆恰好通过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是________．[答案] (0,1)[解析] f (x )的图象与x 轴交于点A (－2011,0)，B (2010,0)，与y 轴交于点C (0，－2010×2011)，设经过A 、B 、C 三点的圆与y 轴另一个交点为D (0，y 0)，易知原点O 在圆的内部，y 0>0，由相交弦定理知，|OA |·|OB |＝|OC |·|OD |，∴2011×2010＝2010×2011y 0，∴y 0＝1.4.(2011·广东汕头测试)如图，正△ABC 的边长为2，点M 、N 分别是边AB 、AC 的中点，直线MN 与△ABC 的外接圆的交点为P 、Q ，则线段PM ＝________.[答案]5－12[解析] 设PM ＝x ，则QN ＝x ，由相交弦定理可得PM ·MQ ＝BM ·MA 即x ·(x ＋1)＝1，解得x ＝5－12. 5．如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠A 的度数是________．[答案] 99°[解析] 连接OB 、OC 、AC ，根据弦切角定理得， ∠EBC ＝∠BAC ，∠CAD ＝∠DCF ，可得∠A ＝∠BAC ＋∠CAD ＝12(180°－∠E )＋∠DCF ＝67°＋32°＝99°.[点评] 可由EB ＝EC 及∠E 求得∠ECB ，由∠ECB 和∠DCF 求得∠BCD ，由圆内接四边形对角互补求得∠A .6．(2011·北京朝阳区统考)如图，AB 是⊙O 的直径，CB 切⊙O 于点B ，CD 切⊙O 于点D ，直线CD 交AB 于点E .若AB ＝3，ED ＝2，则CB 的长为________．[答案] 3[解析] 由切割线定理得，ED 2＝EA ·EB ， ∴4＝EA (EA ＋3)，∴EA ＝1，∵CB 是⊙O 的切线，∴EB ⊥CB ， ∴EB 2＋CB 2＝CE 2，又∵CD 是⊙O 的切线，∴CD ＝CB ， ∴42＋CB 2＝(CB ＋2)2，∴CB ＝3.7．(2011·天津文，13)如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF :FB :BE ＝4:2:1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．[答案]72[解析] 由题意：⎩⎪⎨⎪⎧AF ·FB ＝DF ·FC ＝2，AFFB＝2.∴AF ＝2，FB ＝1，∴BE ＝12，AE ＝AF ＋BF ＋BE ＝72.由切割线定理得：CE 2＝BE ·AE ＝12×72＝74.∴CE ＝72. 8．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC 与⊙O 相切于点C ，PC ＝AC ＝1，求⊙O 的半径．[解析] 连接OC .设∠PAC ＝θ.因为PC ＝AC ，所以∠CPA ＝θ，∠COP ＝2θ. 又因为PC 与⊙O 相切于点C ，所以OC ⊥PC . 所以3θ＝90°.所以θ＝30°. 设⊙O 的半径为r ，在Rt △POC 中，r ＝CP ·tan30°＝1×33＝33. 9．如图，圆O 的直径AB ＝8，C 为圆周上一点，BC ＝4，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，求线段AE 的长．[解析]连接OC 、BE 、AC ，则BE ⊥AE .∵BC ＝4，∴OB ＝OC ＝BC ＝4，即△OBC 为正三角形， ∴∠CBO ＝∠COB ＝60°， 又直线l 切⊙O 于C ， ∴∠DCA ＝∠CBO ＝60°，∵AD ⊥l ，∴∠DAC ＝90°－60°＝30°，而∠OAC ＝∠ACO ＝12∠COB ＝30°，∴∠EAB ＝60°，在Rt △BAE 中，∠EBA ＝30°，∴AE ＝12AB ＝4.10．如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明：△ABE△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．[解析] (1)∵AD 为∠BAC 的角平分线 ∴∠BAE ＝∠CAD又∵∠AEB 与∠ACB 为AB 所对的圆周角∴∠AEB ＝∠ACD ，∴△ABE △ADC . (2)由(1)可知△ABE △ADC ，故AB AE ＝ADAC， 即AB ·AC ＝AD ·AE ① 又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC 且S ＝12AD ·AE∴12AB ·AC sin ∠BAC ＝12AD ·AE ② 由①②式得 sin ∠BAC ＝1∵∠BAC 为三角形内角，∴∠BAC ＝90°11．(2011·新课标全国文，22)如图，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合，已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD 、AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C 、B 、D 、E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C 、B 、D 、E 所在圆的半径． [解析](1)连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB ＝mn ＝AE ×AC ， 即AD AC ＝AE AB.又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE △ACB .因此∠ADE ＝∠ACB . 所以C 、B 、D 、E 四点共圆。
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高中数学高考总复习几何证明选讲习题(附参考答案)一、选择题1．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( )A ．y 是x 的增函数B ．y 是x 的减函数C ．y 随x 的增大先增大再减小D ．无论x 怎样变化，y 为常数 [答案] D[解析] ∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝12AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数．2．(2010·湖南考试院)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连结BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 [答案] C[解析] 由条件知AF ＝2，BF ＝BE ＝1， ∴S △ADE ＝12AE ×DF ＝12×4×3＝6，∵CE ∥DB ，∴S △DBC ＝S △DBE ，∴S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝6.3．(2010·广东中山)如图，⊙O 与⊙O ′相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q 和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3，NQ ＝15，则PN ＝( )A ．3 B.15 C ．3 2 D ．3 5 [答案] D[解析] 由切割线定理知：PN 2＝NB ·NA ＝MN ·NQ ＝3×15＝45， ∴PN ＝3 5.4．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD BD ＝，则斜边AB 上的中线CE 的长为( )A ．5 6 B.562 C.15 D.3102[答案] B[解析] 设AD ＝3x ，则DB ＝2x ，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，∴36＝6x 2，∴x ＝6，∴AB ＝56，∴CE ＝12AB ＝562.5．已知f (x )＝(x －2010)(x ＋2009)的图象与x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0，20102009) D ．(0，20092010) [答案] A[解析] 由题意知圆与x 轴交点为A (2010,0)，B (－2009,0)，与y 轴交点为C (0，－2010×2009)，D (0，y 2)．设圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，此方程两根为2010和－2009，∴F ＝－2010×2009 令x ＝0得y 2＋Ey －2010×2009＝0 ∴－2010×2009×y 2＝－2010×2009 ∴y 2＝1，故选A.[点评] 圆与x 轴交点A (2010,0)，B (－2009,0)与y 轴交点C (0，－2010×2009)，D (0，y 2)，∵A 、C 、B 、D 四点共圆，∴AO ·OB ＝OC ·OD ， ∴OD ＝1，∴y 2＝1.6．设平面π与圆柱的轴的夹角为β (0°<β<90°)，现放入Dandelin 双球使之与圆柱面和平面π都相切，若已知Dandelin 双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为( )A.12B.22C.33D.32[答案] B[解析] ∵Dandelin 双球与平面π的两切点是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长，∴2b ＝2c ，∴e ＝c a ＝c b 2＋c 2＝c 2c ＝22.二、填空题7．如图，PT 切⊙O 于点T ，P A 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD ＝2，AD ＝3，BD ＝6，则PB ＝________.[答案] 15[解析] 由相交弦定理得DC ·DT ＝DA ·DB ，则DT ＝9.由切割线定理得PT 2＝PB ·P A ，即(PB ＋BD )2－DT 2＝PB (PB ＋AB )．又BD ＝6，AB ＝AD ＋BD ＝9，∴(PB ＋6)2－92＝PB (PB ＋9)，得PB ＝15.8．(09·天津)如图，AA 1与BB 1相交于点O ，AB ∥A 1B 1且AB ＝12A 1B 1.若△AOB 的外接圆的直径为1，则△A 1OB 1的外接圆的直径为______________．[答案] 2[解析] ∵AB ∥A 1B 1且AB ＝12A 1B 1，∴△AOB ∽△A 1OB 1，∴两三角形外接圆的直径之比等于相似比，∴△A 1OB 1的外接圆直径为2.9．如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠A 的度数是________．[答案] 99°[解析] 连接OB 、OC 、AC ，根据弦切角定理得， ∠EBC ＝∠BAC ，∠CAD ＝∠DCF ，可得∠A ＝∠BAC ＋∠CAD ＝12(180°－∠E )＋∠DCF ＝67°＋32°＝99°.[点评] 可由EB ＝EC 及∠E 求得∠ECB ，由∠ECB 和∠DCF 求得∠BCD ，由圆内接四边形对角互补求得∠A .10．PC 是⊙O 的切线，C 为切点，P AB 为割线，PC ＝4，PB ＝8，∠B ＝30°，则BC ＝________.[答案] 4 3[解析] (1)由切割线定理 PC 2＝P A ·PB ， ∴P A ＝2，∠ACP ＝∠B ＝30°，在△P AC 中，由正弦定理2sin30°＝4sin ∠P AC ，∴sin ∠P AC ＝1，∴∠P AC ＝90°，从而∠P ＝60°，∠PCB ＝90°， ∴BC ＝PB 2－PC 2＝82－42＝4 3.11．(2010·重庆文)如图中实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等，设第i 段弧所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3)，则cosα13cos α2＋α33－sin α13sin α2＋α33＝____________.[答案] －12[解析] 如图，O 1、O 2、O 3为三个圆的圆心，A 1、A 2、A 3分别是每两个圆的交点，则∠A 1P A 2＋∠A 2P A 3＋∠A 3P A 1＝12(α1＋α2＋α3)＝2π，∴α1＋α2＋α3＝4π，∴cos α13cos α2＋α33－sin α13sin α2＋α33＝cos α1＋α2＋α33＝cos 4π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3 ＝－cos π3＝－12.12．(2010·广东中山市四校联考)如图，P A 切圆O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为________．[答案]7[解析] 由图可知，P A 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )＝3，∴P A ＝3，∴∠AOP ＝60°， 又∠AOD ＝60°，∴∠POD ＝120°，∵PO ＝2，OD ＝1， ∴cos ∠POD ＝22＋12－PD 22×2×1＝－12，∴PD ＝7.三、解答题13．(2010·南京市调研)如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC 与⊙O 相切于点C ，PC ＝AC ＝1，求⊙O 的半径．[解析] 连接OC .设∠P AC ＝θ.因为PC ＝AC ，所以∠CP A ＝θ，∠COP ＝2θ. 又因为PC 与⊙O 相切于点C ，所以OC ⊥PC . 所以3θ＝90°.所以θ＝30°.设⊙O 的半径为r ，在Rt △POC 中， r ＝CP ·tan30°＝1×33＝33. 14．(2010·江苏盐城调研)如图，圆O 的直径AB ＝8，C 为圆周上一点，BC ＝4，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，求线段AE 的长．[解析] 连结OC 、BE 、AC ，则BE ⊥AE .∵BC ＝4，∴OB ＝OC ＝BC ＝4，即△OBC 为正三角形，∴∠CBO ＝∠COB ＝60°， 又直线l 切⊙O 于C ， ∴∠DCA ＝∠CBO ＝60°，∵AD ⊥l ，∴∠DAC ＝90°－60°＝30°，而∠OAC ＝∠ACO ＝12∠COB ＝30°，∴∠EAB ＝60°，在Rt △BAE 中，∠EBA ＝30°，∴AE ＝12AB ＝4.15．(2010·辽宁实验中学)如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ＝AC ，DE 交AB 于点F ，且AB ＝2BP ＝4，(1)求PF 的长度．(2)若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度． [解析] (1)连结OC ，OD ，OE ，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系， 结合题中条件弧长AE 等于弧长AC 可得∠CDE ＝∠AOC ，又∠CDE ＝∠P ＋∠PFD ，∠AOC ＝∠P ＋∠OCP ， 从而∠PFD ＝∠OCP ，故△PFD ∽△PCO ， ∴PF PC ＝PDPO， 由割线定理知PC ·PD ＝P A ·PB ＝12， 故PF ＝PC ·PD PO ＝124＝3.(2)若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ， 因为OF ＝2－r ＝1，即r ＝1，所以OB 是圆F 的直径，且过P 点的圆F 的切线为PT ， 则PT 2＝PB ·PO ＝2×4＝8，即PT ＝2 2.。
备战高考数学(精讲+精练+精析)专题13.1几何证明选讲试题文(含解析)
专题1 几何证明选讲（文科）【三年高考】1. 【2016高考天津】如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为__________.【答案】2.【2016高考新课标1卷】如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.(I)证明：直线AB与O相切；(II)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明：AB∥CD.【解析】（Ⅰ）设是的中点,连结,因为,所以,．在中,,即到直线的距离等于圆的半径,所以直线与⊙相切．（Ⅱ）因为,所以不是四点所在圆的圆心,设是四点所在圆的圆心,作直线．由已知得在线段的垂直平分线上,又在线段的垂直平分线上,所以．同理可证,．所以．3．【2016高考新课标2】如图，在正方形中，分别在边上（不与端点重合），且，过点作，垂足为．(Ⅰ) 证明：四点共圆；(Ⅱ)若，为的中点，求四边形的面积．4．【2016高考新课标3】如图，中的中点为，弦分别交于两点．（I）若，求的大小；（II）若的垂直平分线与的垂直平分线交于点，证明．【解析】（Ⅰ）连结，则.因为，所以，又，所以.又，所以，因此.（Ⅱ）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，又也在的垂直平分线上，因此．5.【2015高考新课标2，】如图，为等腰三角形内一点，圆与的底边交于、两点与底边上的高交于点，与、分别相切于、两点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若等于的半径，且，求四边形的面积．【解析】（Ⅰ）由于是等腰三角形，，所以是的平分线．又因为分别与、相切于、两点，所以，故．从而．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,，故是的垂直平分线，又是的弦，所以在上．连接，，则．由等于的半径得，所以．所以和都是等边三角形．因为，所以，．因为，，所以．于是，．所以四边形的面积．6．【2015高考陕西，】如图，切于点，直线交于，两点，，垂足为．（I ）证明：；（II ）若，，求的直径．7.【2015高考新课标1】如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于E.（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；（Ⅱ）若，求∠ACB的大小.【解析】（Ⅰ）连结AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB，在Rt△AEC中，由已知得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连结OE，∠OBE=∠OEB，∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是圆O的切线. （Ⅱ）设CE=1，AE=,由已知得AB=，，由射影定理可得，，∴，解得=，∴∠ACB=60°.8.【2015高考湖南】如图，在圆中，相交于点的两弦，的中点分别是，，直线与直线相交于点，证明：（1）；（2）【解析】（1）如图所示，∵，分别是弦，的中点，∴，，即，，，又四边形的内角和等于，故；（2）由（I）知，，，，四点共圆，故由割线定理即得9. 【2014高考辽宁第22题】如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED.【解析】（Ⅰ）因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD. 由于PD为切线，故∠PDA=∠DBA, 又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.由于AF垂直EP，所以∠PFA=90°，于是∠BDA=90°，故AB是直径.(Ⅱ)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA=∠ACB=90°，在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA,AC=BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是Rt△BDA与∠DAB=∠CBA.又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA，故DC∥AB. 由于ED是直径，由（Ⅰ）得ED=AB.10. 【2014高考全国2第22题】如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD DE=2【解析】（Ⅰ）连结AB，AC，由题意知PA=PD，故，因为，，，所以，从而，因此BE=EC. （Ⅱ）由切割线定理得：，因为，所以，，由相交弦定理得：===，所以等式成立.11. 【2014高考全国1第22题】如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设不是的直径，的中点为，且，证明：为等边三角形.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 高考对几何证明的考查，主要考查有关三角形相似、全等、面积、线段长度及角相等的求解及证明，以平行线等分线段定理，平行线截割定理，相似三角形的判定与性质定理，直角三角形射影定理，圆心角、圆周角定理，圆内接四边形的性质定理及判定定理，圆的割线定理，切割线定理，弦切角定理，相交弦定理等为主要考查内容，题目难度一般为中、低档，备考中应严格控制训练题的难度．【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出, 高考对这部分要求不是太高，要求会以圆为几何背景，利用直角三角形射影定理，圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理，相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理证明三角形相似，全等，求线段长等，预测2017年高考还会以圆为几何背景，考查相交线定理，切割线定理，以及圆内接四边形的性质定理与判定定理，考查学生的数形结合的能力.“几何证明选讲”是选修系列4的一个专题,该专题在高考中只考查“相似三角形”和“圆”这两部分平面几何内容,且与另三个选修4的专题一起命题,供考生选择作答.其核心内容为:线段成比例与相似三角形,圆的切线及其性质,与圆有关的相似三角形等.对同学们来说,“几何证明选讲”是初中所学知识的深化,因而倍感亲切.试题题型为解答题,且难度不大.题型以比例问题为主，平行线分线段成比例定理、相似形、角平分线定理、直角三角形中的射影定理、圆中的割线定理、切割线定理和相交弦定理等,都涉及线段成比例,因此比例问题是本专题中所占比重最大的题型.解决这类问题,主要方法就是设法利用上述定理,并灵活变形.复习建议：圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推证过程.与圆有关的比例线段的证明要诀：相交弦、切割线定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效.【2017年高考考点定位】几何证明选讲的内容涉及的考点可归纳为:①相似三角形的定义与性质;②平行线截割定理;③直角三角形射影定理;④圆周角与圆心角定理;⑤圆的切线的判定定理及性质定理;⑥弦切角的性质;⑦相交弦定理;⑧圆内接四边形的性质定理和判定定理;⑨切割线定理.【考点1】相似三角形的判定与性质【备考知识梳理】1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：结论相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项【规律方法技巧】1．判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判断三角形相似的方法(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边．3.比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.4.判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等．5.．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．6.相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：若，则①；②；③；④；⑤；⑥.7.辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．【考点针对训练】1.【2016届河南省郑州一中高三考前冲刺四】如图所示，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N作割线NAB，交圆O于A，B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连接PB交圆O于点D，若MC=BC.（1）求证：△APM△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形.2.【2016年山西省右玉一中高考冲刺压轴卷三】如图，已知⊙和⊙相交于两点，为⊙的直径，直线交⊙于点，点为弧中点，连结分别交⊙、于点，连结.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：.【解析】（Ⅰ）连结，∵为⊙的直径，∴，∵为⊙的直径，∴，∵，∴，∵为弧中点，∴，∵，∴，∴，∴，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，∴，由（Ⅰ）知，∴.【考点2】圆的有关问题【备考知识梳理】1．圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角．(2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(3)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质：定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)判定：判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．另外：若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆．3.圆的切线(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系相交两个d＜r相切一个d＝r相离无d＞r性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等．3．弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．(2)弦切角定理及推论①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 4．与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB、CD相交于圆内点P(1)PA·PB＝PC·PD；(2)△ACP∽△DBP(1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一；(2)求弦长及角切割线定理PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)PA2＝PB·PC；(2)△PAB∽△PCA(1)已知PA、PB、PC知二可求一；(2)求解AB、AC割线定理PAB、PCD是⊙O的割线(1)PA·PB＝PC·PD；(2)△PAC∽△PDB(1)求线段PA、PB、PC、PD及AB、CD；(2)应用相似求AC、BD(1)(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．【规律方法技巧】1. 与圆有关的比例线段： (1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．(3)相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幂定理：圆的两条弦或其延长线若相交，各弦被交点分成的两条线段长的积相等.当两交点在圆内时为相交弦定理，当两交点在圆外时为割线定理，两交点重合时为切线，一条上两点重合时为切割线定理，两条都重合时为切线长定理，应用此定理一定要分清两条线段是指哪两条．2. 弦切角定理及推论的应用(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．3. 证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．4.涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．5.一般地，涉及圆内两条相交弦时首先要考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理线段关系之间的区别．6.在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦．如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理．在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向．【考点针对训练】1.【2016届湖北七市教研协作体高三4月联考】已知中，，是外接圆劣弧上的点（不与点重合），延长至，延长至.（1）求证：；（2）若，中边上的高为，求外接圆的面积.2.【2016届陕西省高三下学期教学质检二】如图，已知圆与相交于两点，过点作圆的切线交圆于点，过点作两圆的割线，分别交圆、圆于点、，与相交于点. （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若是圆的切线，且，求的长.【解析】（Ⅰ）连接．∵是圆的切线，∴.又∵，∴，∴.（Ⅱ）证明：设，∵，∴.又∵，∴，∴.又∵，联立上述方程得到，∴.∵是圆的切线，∴.∴.【应试技巧点拨】1．辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．2．比例的性质的应用相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：若，则①；②；③；④；⑤；⑥.3．同一法：先作出一个满足命题结论的图形，然后证明图形符合命题已知条件，确定所作图形与题设条件所指的图形相同，从而证明命题成立．4.证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．5.与圆有关的比例线段(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．二年模拟1. 【2016年山西榆林高三二次模考】如图所示，在中，是的平分线，的外接圆交于点，.（1）求证：；（2）当时，求的长.2. 【2016年湖北八校高三四次联考】如图，在锐角三角形中，，以为直径的圆与边另外的交点分别为，且于．（Ⅰ）求证：是的切线；（Ⅱ）若，，求的长．【解析】（Ⅰ）连结则又，∴为的中点，而为中点，∴，又，∴，而是半径，∴是的切线.（Ⅱ）连，则，则，∴，设，则，由切割线定理得：，即，解得：（舍），∴EFDOC BA3. 【2016年安徽安庆二模】如图,以的边为直径作圆,圆与边的交点恰为边的中点,过点作于点．（I ）求证：是圆的切线；（II ）若,求的值．【解析】（Ⅰ）如图,连接.因为是的中点,是的中点,所以//.因为,所以,所以是⊙的切线. （Ⅱ）因为是⊙的直径,点在⊙上,所以. 又是的中点,所以. 故.因为,所以. 在直角三角形中,；在直角三角形中,. 于是.4.【2016年江西高三九校联考】如图所示，为的直径，为的中点，为的中点．（1）求证：；（2）求证：．5. 【2016年安徽淮北一中高三模考】如图，是圆上的两点，为圆外一点，连结分别交圆于点，且，连结并延长至，使．（1）求证：；（2）若，且，求．【解析】（1）连结，因为，又因为，所以，所以，由已知，所以，且，所以，所以．（2）因为，所以，则，所以，又因为，所以，所以，所以．6. 【2016年江西南昌高三一模】如图，圆M与圆N交于A， B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C、D两点，延长DB交圆M于点E，延长CB交圆N于点F．已知BC=5， DB=10. (I)求AB的长；（II）求.【解析】（Ⅰ）根据弦切角定理，知，，∴△∽△，则，故.（Ⅱ）根据切割线定理，知，，两式相除，得（*）.由△∽△，得，，又，由（*）得．7. 【2016年河南八市高三三模】已知，内接于圆，延长到点，使得交圆于点.（1）求证：；（2）若，求证：.【解析】(1）如图，连结．．又（2）8.【2016届河北省石家庄市高三二模】如图，内接于⊙，，弦交线段于，为的中点，在点处作圆的切线与线段的延长线交于，连接.（I）求证：；（II）若，⊙的半径为，求切线的长.【解析】（I）证明：在中，弦相交于E，，又E为AC的中点，所以，又因为,，根据射影定理可得,;（II）因为为直径，所以，又因为，所以为等腰直角三角形．，根据勾股定理得，解得，所以，由（I）得所以，所以．9.【2016届陕西省高三高考全真模拟四】如下图,是圆的两条互相垂直的直径,是圆上的点,过点作圆的切线交的延长线于.连结交于点.（1）求证：；（2）若圆的半径为,求的长.【解析】（1）证明：连接,由弦切角定理知，又,即.由切割线定理得,所以.（2）由知，.在中，由得，.在中，由得，于是.10.【2016届山西右玉一中高三下学期模拟】已知如图，四边形是圆的内接四边形，对角线交于点，直线是圆的切线，切点为，.（1）若，求的长；（2）在上取一点，若，求的大小.11. 【2015届陕西西安西北工大附中高三下学期5月模拟】如图，和相交于A，B两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于两点，连结并延长交于点．证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（1）由与相切于，得，同理，所以从而，即（2）由与相切于，得，又，得从而，即，综合（1）的结论，12.【2015届陕西省西工大附中高三下学期模拟考试一】如图,⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点,为⊙上一点,AE＝AC ,交于点,且,（Ⅰ）求的长度．（Ⅱ）若圆F 与圆内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度【解析】（Ⅰ）连结,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长等于弧长可得,又,,从而,故∽,∴, 由割线定理知,故．（Ⅱ）若圆F 与圆内切，设圆的半径为，因为即，所以是圆的直径，且过点圆的切线为，则，即.13.【2015届吉林省吉林市高三第三次模拟考试】如图，在△ABC 中，，以为直径的⊙O 交于，过点作⊙O 的切线交于，交⊙O 于点．（Ⅰ）证明：是的中点；（Ⅱ）证明：.【解析】（Ⅰ）证明：连接，因为为⊙O 的直径，所以，又，所以CB切⊙O于点B ，且ED 切于⊙O 于点E ，因此，，所以，得，因此，即是的中点（Ⅱ）证明：连接BF ，可知BF 是△ABE 斜边上的高，可得△ABE ∽△AFB ，于是有，即，同理可证，所以.14.【2015届辽宁省师大附中高三模拟考试】如图，圆周角的平分线与圆交于点，过点的切线与弦的延长线交于点，交于点．（1）求证：;（2）若四点共圆，且弧与弧相等，求【解析】（1）因为与圆相切，，平方，所以，，所以（2）弧与弧相等，设，，，.15.【2015届陕西省西安市第一中学高三下学期自主命题二】如图，在中，是的角平分线，的外接圆交于点，．EDCA B（Ⅰ）求证：； （Ⅱ）当，时，求的长．【解析】（Ⅰ）连接，因为是圆内接四边形，所以又∽，即有，又因为，可得因为是的平分线，所以，从而（Ⅱ）由条件知，设，则，根据割线定理得，即即，解得或（舍去），则．EDCA B拓展试题以及解析 1. 如图，内接于⊙，弦AE 交BC 于点D ，已知，，OD =1,. （Ⅰ）求；（Ⅱ）求中BC 边上的高．【入选理由】本题主要考查平面几何的相关知识，同时考查考生的逻辑推理能力.高考对平面几何的考查主要是通过三角形全等或三角形相似进行边角转化，并综合运用圆的切割线定理、相交弦定理等 进行证明计算．以圆为背景是基本不变的，因而灵活应用圆的几何性质，找准有关的对应三角形、对应边和对应角是解题的关键.本题构思巧妙，难度不大，故选此题.2．如图，过圆外一点作圆的切线，切点为，割线、割线分别交圆于与、与．已知的垂直平分线与圆相切．（1）求证：；（2）若，，求的长．【解析】（1）证明：连结，∵与圆相切，∴．又为的垂直平分线，∴，∴，∴．（2）由（1）知且为的中点，∴为的中点，且，∴．∵为圆的切线，∴，∴，∴，∴．【入选理由】本题考查圆的切割线定理，弦切角定理等基础知识，意在考查逻辑思维能力和推理论证能力. 切割线定理、三角形相似、四点共圆的性质，是高考重点考查知识点，本题难度不大，故选此题.3.如图，直线AB过圆心O，交圆O于A、B，直线AF交圆O于F（不与B重合），直线与圆O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．求证：（Ⅰ）；（Ⅱ）．【证明】（Ⅰ）连接，是直径，，．切圆于，．．（Ⅱ）连接，切圆于，．又∽．．【入选理由】本题考查圆的弦切角定理、三角形相似等基础知识，意在考查逻辑思维能力和推理论证能力.本题由弦切角定理入手，得出三角形相似，从而可证，本题难度不大，故选此题.4.如图，是⊙的直径，是圆上两点，交于点，若，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求线段的长度．【入选理由】本题考查平面几何的证明，具体涉及圆的性质，四点共圆，割线定理等基础知识，意在考察学生推理证明和逻辑思维能力.本题考查知识基础，综合性强，是高考出题方向，故选此题.5.如图，圆内接四边形满足∥，在的延长线上，且. 若，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求的长.【解析】（Ⅰ）由知是圆的切线. ∴由弦切线角定理得，又，∴，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，∴∽，∴，又，，∴，∵，∴. 【入选理由】本题考查圆的切线的性质，圆內接四边形的性质，三角形相似等基础知识，意在考察学生推理证明和逻辑思维能力.本题考查知识基础，难度不大，故选此题.6.如图，点P是△ABC的外接圆O在C点的切线与直线AB的交点．（Ⅰ）若∠ACB＝∠APC，证明：BC⊥PC；（Ⅱ）若D是圆O上一点，∠BPC=∠DAC，AC=，AB=，PC＝4，求CD的长．【证明】（Ⅰ）由弦切角定理知，∠ABC=∠ACP，∵∠ACB＝∠APC，∴△ACB∽△APC，∴∠BAC=∠CAP，∵∠BAC+∠CAP=，∴∠BAC=∠CAP=90°，∴BC是圆O的直径，又PC是圆O的切线，∴BC⊥PC. （Ⅱ）由切割线定理知，，即，即，解得（负值舍去），由弦切角定理及同弧所对的圆周角相等知，∠ACP=∠ABC=∠CDA，∵∠BPC=∠DAC，∴△CAD∽△APC，∴，∴=.【入选理由】本题考查三角形相似的判定与性质、弦切角定理、切割线定理等基础知识，意在考查学生推理证明和逻辑思维能力.本题第一问由弦切角入手，得三角形相似，从而得结论，第二问由切割线定理入手，结合弦切角定理及同弧所对的圆周角相等，得三角形相似，像这种题型考查知识基础，综合性强，是高考出题方向，故选此题.7.如图所示，在四边形中，交于点，.（Ⅰ）求证：、、、四点共圆;（Ⅱ）过作四边形外接圆的切线交的延长线于，,求证：平分.【证明】（Ⅰ）∵,∴,,∵,, ∴,,∴=,=,=,=,∴=+++=+++==,∴、、、四点共圆；（Ⅱ）由弦切角定理可知：∠=∠，∵,∴∽,∴=，∵，∴=,∴=,∴=,∴=,∴=∠,∴平分.。
高三数学解析几何试题答案及解析
高三数学解析几何试题答案及解析1.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,是圆的直径，是半径的中点，是延长线上一点，且，直线与圆相交于点、（不与、重合），与圆相切于点，连结，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）证明目标可看做线段成比例，即证明思路确定为证明三角形相似：利用切割线定理得：，又由与相似，得；所以（Ⅱ）由（1）知，，与相似，则，所以试题解析：（1）连接，,,为等边三角形，则，可证与相似，得；又，则（2）由（1）知，，与相似，则因为，所以【考点】三角形相似，切割线定理2.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆的方程为．（Ⅰ）求直线的普通方程和圆的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线和圆的交点为、，求弦的长．【答案】（Ⅰ）的普通方程为，圆心；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）消去参数即可将的参数方程化为普通方程，在直角坐标系下求出圆心的坐标，化为极坐标即可；（Ⅱ）求出圆心到直线的距离，由勾股定理求弦长即可.试题解析：（Ⅰ）由的参数方程消去参数得普通方程为 2分圆的直角坐标方程, 4分所以圆心的直角坐标为，因此圆心的一个极坐标为. 6分(答案不唯一，只要符合要求就给分)（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心到直线的距离, 8分所以. 10分【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标与直角坐标的互化.：的焦点，且抛物线3.（本题满分12分）如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1C1上点P处的切线与圆C2：相切于点Q．（Ⅰ）当直线PQ的方程为时，求抛物线C1的方程；（Ⅱ）当正数变化时，记S1，S2分别为△FPQ，△FOQ的面积，求的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】第一问要求抛物线的方程，任务就是求的值，根据导数的几何意义，设出切点坐标，从而求得，再根据切点在切线上，得，从而求得，进而得到抛物线的方程，第二问根据三角形的面积公式，利用题中的条件，将两个三角形的面积转化为关于和切点横坐标的关系式，从而有，利用基本不等式求得最值．试题解析：（Ⅰ）设点，由得，，求导，……2分因为直线PQ的斜率为1，所以且，解得，所以抛物线C1的方程为．（Ⅱ）因为点P处的切线方程为：，即，根据切线又与圆相切，得，即，化简得，由，得，由方程组，解得，所以，点到切线PQ的距离是，所以，，所以，当且仅当时取“＝”号，即，此时，，所以的最小值为．【考点】导数的几何意义，三角形的面积，基本不等式．4.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1（-3,0），F2（3,0），直线y=kx与椭圆交于A、B两点．（Ⅰ）若三角形AF1F2的周长为，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）直接由题意和椭圆的概念可列出方程组，进而可求出椭圆的标准方程即可；（Ⅱ）首先设出点，然后联立直线与椭圆的方程并整理可得一元二次方程，进而由韦达定理可得，再结合可列出等式并化简即可得到等式，最后结合已知，即可求出参数的取值范围，进而得出椭圆离心率e的取值范围即可．试题解析：（Ⅰ）由题意得，得．结合，解得，．所以，椭圆的方程为．（Ⅱ）由得．设．所以，易知，，因为，，所以．即，将其整理为．因为，所以，即，所以离心率．【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的相交综合问题；5.（本小题满分12分）椭圆（）的上顶点为，是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点．（1）求椭圆的方程；（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在两个定点，．【解析】（1）由题设可得①，又点P在椭圆C上，可得②，又③，由①③联立解得c，b2，即可得解．（2）设动直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消去y，整理得（﹡），由△=0，得，假设存在，满足题设，则由对任意的实数k恒成立．由即可求出这两个定点的坐标．试题解析：（1），，由题设可知，得①又点在椭圆上，，②③①③联立解得，，故所求椭圆的方程为（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，消去，整理得（）方程（）有且只有一个实根，又，所以，得假设存在，满足题设，则由对任意的实数恒成立，所以，解得，或当直线的斜率不存在时，经检验符合题意．总上，存在两个定点，，使它们到直线的距离之积等于．……12分【考点】1、直线与圆锥曲线的关系；2、椭圆的标准方程．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的解法，考查了直线与圆锥曲线的关系，综合性较强，属于中档题．处理直线与圆锥曲线的关系问题时，注意韦达定理的应用，同时还得特别注意直线斜率不存在时的情况的验证．6.直线被圆截得的弦长为（）A．1B．2C．4D．【答案】C【解析】圆心，圆心到直线的距离，半径，所以最后弦长为.故选Ｃ.【考点】点到直线的距离.7.（本小题12分）己知、、是椭圆：（）上的三点，其中点的坐标为，过椭圆的中心，且，。
高考数学 试题汇编 第一节 几何证明选讲(选修41) 理(含解析)
第一节几何证明选讲(选修41) 相似三角形的判定与性质考向聚焦该考点主要考查相似三角形的判定与性质、直角三角形射影定理及平行线分线段成比例定理,一般不单独考查,常结合圆的有关知识,解决比例线段的计算与证明问题,难度不大,以填空题、解答题为主,分值5~10分备考指津(1)判定三角形相似的思路:①条件中若有一对角相等,可找另一对角相等或找夹这对角的两边成比例;②条件中若有两边的比相等,可找夹角相等或证另一组对应边的比等于已知两边的比;③条件中若有等腰三角形,可找顶角相等或找一对底角相等或两三角形的底和腰的比对应相等;(2)解题中要注意观察图形特点,巧添辅助线,构造平行或相似三角形,可起到事半功倍的效果1.(2012年北京卷,理5,5分)如图,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,以BD为直径的圆与BC交于点E,则( )(A)CE·CB=AD·DB (B)CE·CB=AD·AB(C)AD·AB=CD2(D)CE·EB=CD2解析:∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴△ADC∽△CDB,∴=,∴CD2=AD·DB①又∵E为以BD为直径的圆上一点,∴DE⊥EB.又CD⊥AB,∴△CDB∽△CED,∴=,∴CD2=CB·CE,②由①②得,CB·CE=AD·DB.答案:A.2.(2012年陕西卷,理15B,5分)如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF·DB= .解析:由圆内相交弦定理,知:CE·DE=AE·EB且CE=DEDE2=1×5=5.Rt△BDE中,由三角形相似知DE2=DF·DB∴DF·DB=5.答案:53.(2012年天津卷,理13,5分)如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=,则线段CD的长为.解析:连接BC,由相交弦定理得AF·BF=EF·CF,∴3×1=×CF,∴CF=2.∵BD是圆的切线,∴∠1=∠2.∵CF∥BD,∴∠3=∠4且=.∴=,∴BD=.∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴△ACF∽△BDC,∴=.∴=,∴CD·AC=,又∵==3,∴AC=3CD.∴3CD2=,∴CD2=,∴CD=.答案:4.(2011年陕西卷,理15)如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,则BE= .解析:∵AC=4,AD=12,∠ACD=90°,∴CD2=AD2-AC2=128,∴CD=8,即DC=8,又∵AE⊥BC,∠B=∠D,∴△ABE∽△ADC,∴=,∴BE===4.答案:45.(2010年天津卷,理14)如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P.若=,=,则的值为.解析:如图,令PB=t,PA=2t,PC=x,PD=3x,由割线定理得:PB·PA=PC·PD,即2t2=3x2,∴=,=.又易知△PBC∽△PDA,∴===.答案:6.(2012年新课标全国卷,理22,10分)如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC 的外接圆于F,G两点.若CF∥AB,证明:(1)CD=BC;(2)△BCD∽△GBD.证明:(1)∵D、E分别为AB、AC的中点,∴DE∥BC又∵CF∥AB,∴四边形BCFD为平行四边形,∴CF=BD=AD,而CF∥AD,连结AF,则ADCF为平行四边形,∴CD=AF又∵CF∥AB∴BC=AF,故CD=BC.(2)∵FG∥BC,∴GB=BD,∴∠DGB=∠BDG,而∠DGB=∠EFC=∠DBC=∠GDB,故△BCD∽△GBD.本题涉及平面几何中圆的简单性质应用,来证线段相等及三角形相似,难度不大.7.(2012年辽宁卷,理22,10分)如图,☉O和☉O'相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连结DB并延长交☉O于点E.证明:(1)AC·BD=AD·AB;(2)AC=AE.证明:(1)由AC与☉O'相切于A,得∠CAB=∠ADB,同理∠ACB=∠DAB,所以△ACB∽△DAB.从而=.即AC·BD=AD·AB.(2)由AD与☉O相切于A,得∠AED=∠BAD,又∠ADE=∠BDA,得△EAD∽△ABD,从而=.即AE·BD=AD·AB.结合(1)的结论得AC=AE.8.(2010年辽宁卷,理22)如图,△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明:△ABE∽△ADC;(2)若△ABC的面积S=AD·AE,求∠BAC的大小.(1)证明:由已知条件,可得∠BAE=∠DAC.因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角,所以∠AEB=∠ACD,故△ABE∽△ADC.(2)解:因为△ABE∽△ADC,所以=,即AB·AC=AD·AE.又S=AB·ACsin ∠BAC,且S=AD·AE, 故AB·ACsin ∠BAC=AD·AE,则sin ∠BAC=1.又∠BAC为三角形内角,所以∠BAC=90°.直线与圆的位置关系考向聚焦主要以填空题或解答题的形式考查应用圆的切线的性质与判定定理、相交弦定理、切割线定理、切线长定理、弦切角定理、圆周角定理及圆内接四边形的判定与性质定理等进行的有关计算或证明(求线段长度,线段成比例、线段相等、角相等、四点共圆等),难度中等,5~10分备考指津(1)解决与圆有关的成比例线段问题的一般思路是:①直线应用相交弦定理、切割线定理等;②当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时,可转化为证三角形相似(2)圆周角定理、弦切角定理在解决圆内有关等角问题时普遍应用(3)与圆有关辅助线的作法:①有弦,作弦心距;②有直径,作直径所对的圆周角;③有切点,作过切点的半径;④两圆相交,作公共弦;⑤两圆相切,作公切线9.(2012年广东卷,理15,5分)如图,圆O的半径为1,A、B、C是圆周上的三点,满足∠ABC=30°,过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P,则PA= .解析:如图,连OA,∠AOC=2∠ABC=60°,Rt△AOP中,PA=OA=×1=.答案:10.(2012年湖北卷,理15,5分)如图,点D在☉O的弦AB上移动,AB=4,连接OD,过点D作OD 的垂线交☉O于点C,则CD的最大值为.解析:因为CD=,且OC为☉O的半径,是定值,所以当OD取最小值时,CD取最大值.显然当OD⊥AB时,OD取最小值,故此时CD=AB=2,即为所求的最大值.答案:2本题将求解CD的最大值转化为求OD的最小值,进而转化为点到直线的距离,体现了转化与化归的数学思想.11.(2012年湖南卷,理11,5分)如图,过点P的直线与☉O相交于A,B两点.若PA=1,AB=2,PO=3,则☉O的半径等于.解析:如图,设PO与圆O相交于E,并延长PO交圆O于F,由割线定理PE·PF=PA·PB,得(3-r)(3+r)=1×(1+2),r=.答案:12.(2011年广东卷,理15)如图所示,过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=7,C是圆上一点使得BC=5,∠BAC=∠APB,则AB= .解析:∵PA为圆O的切线,∴∠PAB=∠ACB,又∠APB=∠CAB,∴△APB∽△CAB,∴=,∴AB2=PB·CB=35.∴AB=.答案:13.(2011年天津卷,理12)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且DF=CF=,AF∶FB∶BE=4∶2∶1.若CE与圆相切,则线段CE的长为.解析:设AF,FB,BE分别为4x,2x,x.由相交弦定理得AF·FB=DF·FC,即4x·2x=×,∴x=,∴AF=2,FB=1,BE=.又由切割线定理得EC2=BE·EA=×=,∴EC=.答案:14.(2011年湖南卷,理11)如图,A,E是半圆周上的两个三等分点,直径BC=4,AD⊥BC,垂足为D,BE与AD相交于点F,则AF的长为.解析:连接AO,AB,CE.∵A、E为半圆周上的三等分点,∴∠AOB=∠ECB=60°,∴∠EBO=30°,∴△AOB为正三角形,边长为2.又∵AD⊥BO,BE为∠ABO的角平分,∴F为△AOB的中心,∴AF=AD=×2×=.答案:15.(2010年广东卷,理14)如图,AB,CD是半径为a的圆O的两条弦,它们相交于AB的中点P,PD=,∠OAP=30°,则CP= .解析:由题意知OP⊥AB,∠OAP=30°,∴OP=a,且AP=a,根据相交弦定理得AP2=CP·PD,∴a2=CP·a,解得CP=a.答案:a16.(2012年江苏数学,21A,10分)如图,AB是圆O的直径,D,E为圆O上位于AB异侧的两点,连结BD并延长至点C,使BD=DC,连结AC,AE,DE.求证:∠E=∠C.证明:连接OD,因为BD=DC,O为AB的中点,所以OD∥AC,于是∠ODB=∠C.因为OB=OD,所以∠ODB=∠B.于是∠B=∠C.因为点A,E,B,D都在圆O上,且D,E为圆O上位于AB异侧的两点,所以∠E=∠B为同弧所对的圆周角,故∠E=∠B,所以∠E=∠C.17.(2011年全国新课标卷,理22)如图,D,E分别为△ABC的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程x2-14x+mn=0的两个根.(1)证明:C,B,D,E四点共圆;(2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径.(1)证明:连接DE,根据题意在△ADE和△ACB中,AD·AB=mn=AE·AC,即=.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB,因此∠ADE=∠ACB,∴∠ACB+∠EDB=180°,∴C、B、D、E四点共圆.(2)解:m=4,n=6时,方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12,故AD=2,AB=12.取CE的中点G,DB的中点F,分别过G、F作AC、AB的垂线,两垂线相交于H点,连接DH.因为C、B、D、E四点共圆,∴C、B、D、E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.由于∠A=90°,故GH∥AB,HF∥AC,从而HF=AG=5,DF=×(12-2)=5,故C、B、D、E四点所在圆的半径为5.18.(2011年辽宁卷,理22)如图,A,B,C,D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延长线交于E 点,且EC=ED.(1)证明:CD∥AB;(2)延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG,证明:A,B,G,F四点共圆.证明:(1)因为EC=ED,所以∠EDC=∠ECD.因为A,B,C,D四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA.故∠ECD=∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知,AE=BE.因为EF=EG,故∠EFD=∠EGC,从而∠FED=∠GEC.连接AF,BG,则△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE.又CD∥AB,∠EDC=∠ECD,所以∠FAB=∠GBA.所以∠AFG+∠GBA=180°.故A,B,G,F四点共圆.19.(2010年全国新课标卷,理22)如图,已知圆上的弧=,过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点,证明:(1)∠ACE=∠BCD;(2)BC2=BE×CD.证明:(1)因为=,所以∠BCD=∠ABC.又因为EC与圆相切于点C,故∠ACE=∠ABC.所以∠ACE=∠BCD.(2)因为∠ECB=∠BDC,∠EBC=∠BCD,所以△BDC∽△ECB,故=, 即BC2=EB×CD.即BC2=BE×CD.。
2021年高考数学试题专题复习专题18-几何证明选讲
2021年高考数学试题分类汇编专题18 几何证明选讲高三高考复习考专用专题18 几何证明选讲一、填空题1.如图，已知AB是圆O的直径，4AB=，EC是圆O的切线，切点为C，1BC=，过圆心O做BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD=________。
2.如图，AB为圆O的直径，E为AB的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线CE的垂线，垂足为D．若4AB=，C 23E =，则AD= ．图1P OECDAB二、解答题3.如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与ΔABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点。
（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且23AE MN==，求四边形EBCF的面积。
GAE FONDB M4.如图O 是等腰三角形AB C 内一点,圆O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点. （I ）证明：EF ∥BC ；（II ）若AG 等于圆O 半径,且23AE MN ==,求四边形EBCF 的面积.5.如图，AB 切圆O 于点B ，直线D A 交圆O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ．（I ）证明：C D D ∠B =∠BA ；（II ）若D 3DC A =，C 2B =，求圆O 的直径．6.如图，AB 切圆O 于点B ，直线AO 交圆O 于,D E 两点，,BC DE ⊥垂足为C .(I)证明：CBD DBA ∠=∠ (II)若3,2AD DC BC ==，求O 的直径.7.如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D 。
求证：ABD∆∽AEB ∆A。
高考数学(文)真题分类汇编：专题15+几何证明选讲
1.【高考天津，文6】如图,在圆O 中,M ,N 是弦AB 的三等分点,弦CD ,CE 分别经过点M ,N ,若CM =2,MD =4,CN =3,则线段NE 的长为（ ） (A)83 (B) 3 (C) 103 (D) 52【答案】A【解析】根据相交弦定理可得 2122,339CM MD AM MB AB AB AB ⨯=⨯=⨯= 2212,339CN NE AN NB AB AB AB ⨯=⨯=⨯= 所以8,3C M M D C M M D C N N E N E CN ⨯⨯=⨯⇒==所以选A.【考点定位】本题主要考查圆中的相交弦定理.【名师点睛】平面几何中与圆有关的性质与定理是高考考查的热点,解题时要充分利用性质与定理求解,本部分内容中常见的命题点有:平行线分线段成比例定理;三角形的相似与性质;圆内接四边形的性质与判定;相交弦定理与切割线定理.2.【高考湖南，文12】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为_____. 【答案】2211x y +-=（） 【解析】试题分析：将极坐标化为直角坐标，求解即可．曲线C 的极坐标方程为222sn sn ρθρρθ=∴=， ，它的直角坐标方程为222x y y += ，2211x y ∴+-=（）． 故答案为：2211x y +-=（）．【考点定位】圆的极坐标方程【名师点睛】1.运用互化公式：222,sin ,cos x y y x ρρθρθ=+==将极坐标化为直角坐标；2.直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．3.【高考广东，文14】（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）， 则1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 【答案】()2,4-【解析】曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x +=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-．【考点定位】1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．【考点定位】1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．【名师点晴】本题主要考查的是极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程和两曲线的交点，属于容易题．解决此类问题的关键是极坐标方程或参数方程转化为平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化．4.【高考广东，文15】（几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4AB =，C E =，则D A = ．【答案】3【解析】连结C O ，则C D O ⊥E ，因为D D A ⊥E ，所以C//D O A ，所以C D O OE=A AE，由切割线定理得：2C E =BE ⋅AE ，所以()412BE BE +=，即24120BE +BE -=，解得：2BE =或6BE =-（舍去），所以C 26D 34O ⋅AE ⨯A ===OE ，所以答案应填：3．【考点定位】1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．【名师点晴】本题主要考查的是切线的性质、平行线分线段成比例定理和切割线定理，属于容易题．解题时一定要注意灵活运用圆的性质，否则很容易出现错误．凡是题目中涉及长度的，通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识． 【高考上海，文5】若线性方程组的增广矩阵为⎝⎛02 13 ⎪⎪⎭⎫21c c 解为⎩⎨⎧==53y x ，则=-21c c .【答案】16【解析】由题意，⎩⎨⎧==53y x 是方程组⎩⎨⎧==+2132c y c y x 的解，所以⎩⎨⎧==52121c c ，所以1652121=-=-c c .【考点定位】增广矩阵，线性方程组的解法.【名师点睛】对于增广矩阵,他是线性方程组的矩阵表现形式,最后一列是常数项,前面的几列是方程组的系数.本题虽然是容易题，按照定义，仔细计算，不出错.5.【高考陕西，文22】选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于,D E 两点，,BC DE ⊥垂足为C . (I)证明：CBD DBA ∠=∠(II)若3,AD DC BC ==，求O 的直径.【答案】(I)证明略，详见解析； (II)3.所以CBD DBA ∠=∠(II)由(I)知BD 平分CBA ∠， 则3BA ADBC CD==，又BC =，从而AB =，所以4AC ==所以3AD =，由切割线定理得2AB AD AE =⋅即26AB AE AD==，故3DE AE AD =-=， 即O 的直径为3.【考点定位】1.几何证明；2.切割线定理.【名师点睛】（1）近几年高考对本部分的考查主要是围绕圆的性质考查考生的推理能力、逻辑思维能力，试题多是运用定理证明结论，因而圆的性质灵活运用是解题的关键；（2）在几何题目中出现求长度的问题，通常会使用到相似三角形.全等三角形.切割线定理等基础知识；（3）本题属于基础题，要求有较高分析推理能力. 6.【高考陕西，文23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标版权法xOy 吕，直线l的参数方程为132(x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=.(I)写出C 的直角坐标方程；(II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标. 【答案】(I) (223x y +-=； (II) (3,0).【解析】试题分析：(I)由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=，所以(223x y +=(II)设132P t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又C ，则=0t =时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3,0).试题解析：(I)由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=所以(223x y +=(II)设132P t ⎛⎫+⎪⎝⎭，又C ，则PC ==故当0t =时，PC 取得最小值， 此时P 点的坐标为(3,0).【考点定位】1. 极坐标系与参数方程；2.点与圆的位置关系.【名师点睛】本题考查极坐标系与参数方程，解决此类问题的关键是如何正确地把极坐标方程或参数方程转化平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化.本题属于基础题，注意运算的准确性.7. 【高考陕西，文24】选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{|24}x x << (I)求实数,a b 的值；(II)+的最大值. 【答案】(I) 3,1a b =-=；(II)4. 【解析】试题分析：(I)由x a b +<，得b a x b a --<<-，由题意得24b a b a --=⎧⎨-=⎩，解得3,1a b =-=；(II)柯西不等式得+=+≤4===1t =时等号成立，故min4+=.试题解析：(I)由x a b +<，得b a x b a --<<-则24b a b a --=⎧⎨-=⎩，解得3, 1.a b =-=+=+≤4===1t =时等号成立，故min4+=【考点定位】1.绝对值不等式；2.柯西不等式.【名师点睛】（1）零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间.去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值；（2）要注意区别不等式与方程区别；（3）用柯西不等式证明或求值事要注意两点：一是所给不等式的形式是否和柯西不等式的形式一致，若不一致，需要将所给式子变形；二是注意等号成立的条件。
高考数学 分类题库考点49 几何证明选讲理
考点49 几何证明选讲一、选择题1.（2020·北京高考理科·T5）如图，AD,AE,BC 别离与圆O 切于点D,E,F ，延长AF 与圆O 交于另一点G.给出以下三个结论：①AD+AE=AB+B C+CA;②AF AG AD AE ⋅=⋅;③AFB ADG ∆∆∽.其中正确结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）②③（C ）①③ （D ）①②③【思路点拨】利用切割线定理、弦切角定理判定以上结论是不是正确.【精讲精析】选+BC+CA=AB+(BF+CF)+CA=AB+(BD+CE)+CA=AD+AE ，故①正确；因为22,AE AF AG AD AF AG =⋅=⋅，222()AE AD AF AG ∴⋅=⋅，AE AD AF AG ∴⋅=⋅，故②正确；AFB BFG ∠+∠ FDG BFG =∠+∠180=︒，AFB FDG ADG ∴∠=∠≠∠， AFB ADG ∴∆∆与不相似，故③不正确.二、填空题2．（2020·陕西高考理科·T15B ）（几何证明选做题）如图，∠B=∠D ，AE BC ⊥，90ACD ∠=，且AB=6，AC=4，AD=12，那么BE= ．【思路点拨】寻觅两个三角形相似的条件，再依照相似三角形的对应边成比例求解．【精讲精析】因为AE BC ⊥，因此∠AEB=90ACD ∠=，又因为∠B=∠D ，因此△AEB ∽△ACD ，因此AC AD AE AB =, 因此64212AB AC AE AD ⋅⨯===，在Rt △AEB 中，22226242BE AB AE =-=-=． 【答案】42B D G O FC E3．（2020·陕西高考文科·T15B ）（几何证明选做题）如图，∠B=∠D ，AE BC ⊥，90ACD ∠=，且AB=6，AC=4，AD=12，那么AE= ． 【思路点拨】寻觅两个三角形相似的条件，再依照相似三角形的对应边成比例求解． 【精讲精析】因为AE BC ⊥，因此∠AEB=90ACD ∠=，又因为∠B=∠D ，因此△AEB ∽△ACD ，因此AC AD AE AB =，因此64212AB AC AE AD ⋅⨯===． 【答案】24.（2020·广东高考理科·Ｔ15）（几何证明选讲选做题）如图，过圆O 外一点P 别离作圆的切线和割线交圆于,A B ,且7PB =，C 是圆上一点使得5BC =，BAC APB ∠=∠，那么AB = .【思路点拨】利用相似三角形对应边成比例，求得AB 的值.【精讲精析】APB BAC ACB PAB ∠=∠∠=∠又, ,ABP ∆∴∽CBA ∆, AB PB BC AB =∴,从而35572=⨯=⋅=BC PB AB ，35=∴AB .【答案】355.（2020·广东高考文科·Ｔ15）（几何证明选讲选做题）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，CD=2. E,F 别离为AD ，BC 上的点，且EF=3，EF ∥AB ，那么梯形ABFE与梯形EFCD 的面积比为 .【思路点拨】利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解.【精讲精析】延长AD ，BC 相交于点G.由已知得∆GAB ∽∆GDC ，∆GEF ∽∆GDC,因此4416==∆∆GCDGAB S S ，49=∆∆GCD GEF S S ， 从而GCD ABCD S 3S ∆=梯形,GCD EFCD 5S S 4∆=梯形,因此梯形ABCD 与梯形EFCD 的面积比为3：45=512,从而得梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为57.【答案】57 6．（2020·湖南高考理科·T11）如图，A ，E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD BC ⊥，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，那么AF 的长为______.【精讲精析】连结AB ，AO ，CE ，OE ，那么OCE OAB ∆∆,是边长为2的等边三角形，∵ABD 60∠=，∴AD=3223=•，又∵AD BC ⊥,∴BD=1,∴DF=33，因此取得AF=332.【答案】332 7.（2020·天津高考理科·T12）如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E是AB 延长线上一点，且2,::4:2:1.DF CF AF FB BE 若CE 与圆相切，那么线段CE 的长为_________.【思路点拨】利用相交线及切线的比例关系求解.【精讲精析】设BE=x,那么AF=4x,FB=2x,因为AF FB DF FC ,因此21822==x x ，解得,又27,7.2=⋅==CE BE AE CE x 即 【答案】72三、解答题8.（2020·江苏高考·Ｔ21A ）（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆1O 与圆2O 内切于点A ，其半径别离为1r 与212()r r r >，圆1O 的弦AB 交圆2O 于点C （1O 不在AB 上）.求证：:AB AC 为定值.【思路点拨】此题考查的是圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质，容易题.解决此题的关键是弦切角定理的应用.【精讲精析】由弦切角定理可得112122,.∴==O B r AB AO C AO B AC O C r ∽ 9.（2020·新课标全国高考理科·Ｔ22）如图，D ，E 别离为ABC ∆的边AB ， AC 上的点，且不与ABC ∆的极点重合.已知AE 的长为m ，AC 的长为n,AD ，AB 的长是关于x 的方程2140xx mn -+=的两个根.（Ⅰ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；（Ⅱ）假设90A ∠=︒，且4,6m n ==，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径.【思路点拨】第（Ⅰ）问的证明流程为连接DE ⇒ADE ∆∽ACB ∆ADE ACB ⇒∠=∠ ⇒,,C B D ,E 四点共圆；第（Ⅱ）问，利用平面几何的性质，设法寻求圆心位置，然后求得半径.【精讲精析】（I ）连接DE ，依照题意在△ADE 和△ACB 中，AD AB mn AE AC ⨯==⨯，即ABAE AC AD =.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB ，因此∠ADE=∠ACB ，因此C,B,D,E 四点共圆.（Ⅱ） m=4, n=6时，方程x 2-14x+mn=0的两根为x 1=2,x 2=12.故AD=2，AB=12.取CE 的中点G,DB 的中点F ，别离过G,F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH.因为C ，B ，D ，E 四点共圆，因此C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH.由于∠A=90°，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF=21(12-2)=5. 故C,B,D,E 四点所在圆的半径为52.10.（2020·辽宁高考理科·Ｔ22）（选修4-1：几何证明选讲）如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E点，且EC=ED ．（I ）证明：CD EBA EDC ECD ∠=∠=∠AFG GBA 180∠+∠=︒ED EC =ECD EDC ∠=∠因为D C B A ,,, 四点在同一圆上，因此EBA EDC ∠=∠，故EBA ECD ∠=∠，因此CD ∥AB .（II ）由（I ）知，BE AE =，因为EG EF =，故EGC EFD ∠=∠，从而GEC FED ∠=∠.连接BG AF ,，那么EFA EGB ∆∆≌，故GBE FAE ∠=∠.又CD ∥AB ，ECD EDC ∠=∠，因此GBA FAB ∠=∠.因此AFG GBA 180∠+∠=︒.故F G B A ,,,四点共圆.。
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第十四章 选修4系列选讲第一节 几何证明选讲高考试题考点一 相似三角形的判定与性质1. (2013年陕西卷,理15B)(几何证明选做题)如图,弦AB 与CD 相交于☉O 内一点E,过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P.已知PD=2DA=2,则PE= .解析:由PD=2DA=2,得PA=PD+DA=2+1=3, 又PE ∥BC,得∠PED=∠C, 又∠C=∠A,得∠PED=∠A,在△PED 和△PAE 中,∠EPD=∠APE,∠PED=∠A, 所以△PED ∽△PAE, 得PE PA =PDPE,因此PE 2=PA ·PD=3×答案2.(2011年陕西卷,理15B)如图所示,∠B=∠D,AE ⊥BC,∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,则BE= .解析:由∠B=∠D,∠AEB=∠ACD=90°, 得△ACD ∽△AEB, 所以AC AE =AD AB ,即4AE =126,所以AE=2, 所以在直角三角形ABE 中,答案3.(2011年湖南卷,理11)如图所示,A,E 是半圆周上的两个三等分点,直径BC=4,AD ⊥BC,垂足为D,BE 与AD 相交于点F,则AF 的长为 .解析:如图所示,设圆心为O,连接OA,OE,AE,因为A,E 是半圆周上的两个三等分点,所以AE ∥BC,AE=12BC=2,所以△AFE ∽△DFB,所以AF DF =AEDB.在△AOD 中,∠AOD=60°,AO=2,AD ⊥BC,故OD=AOcos ∠AOD=1,AD=AOsin ∠所以BD=1.故AF=AE BD ·DF=2(AD-AF).解得答案考点二 直线和圆的位置关系1.(2013年重庆卷,理14)如图所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=60°,AB=20,过C 作△ABC 的外接圆的切线CD,BD ⊥CD,BD 与外接圆交于点E,则DE 的长为 .解析:在△ABC 中,BC=AB ·sin 60°, 由弦切角定理知∠BCD=∠A=60°,所以 由切割线定理知,CD 2=DE ·BD,解得DE=5. 答案:52.(2012年湖北卷,理15)如图所示,点D 在☉O 的弦AB 上移动,AB=4,连接OD,过点D 作OD 的垂线交☉O 于点C,则CD 的最大值为 .解析:连接OC.因为CD ⊥OD,所以又OC 为☉O 的半径,是定值,所以当OD 取最小值时,CD 取最大值.显然当OD ⊥AB 时,OD 取最小值,此时CD=12AB=2,即CD 的最大值为2. 答案:23.(2013年广东卷,理15)(几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC=CD,过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB=6, ED=2,则BC= .解析:连接OC,因CE是☉O的切线,所以OC⊥CE,即∠OCE=90°,又因AB是直径,所以∠ACB=∠ACD=90°,即∠OCA+∠ACE=∠ACE+∠ECD=90°,得∠OCA=∠DCE,又因OC=OA,所以∠OCA=∠OAC,则∠BAC=∠DCE,又因AC⊥BD,BC=CD,易证AB=AD,得∠ABC=∠ADC,即∠ABC=∠CDE,所以△ABC∽△CDE,所以ABCD=BCED,即BC2=AB·ED=12,所以答案4. (2013年湖南卷,理11)如图,O中,弦AB,CD相交于点P,PA=PB=2,PD=1,则圆心O到弦CD的距离为.解析:过O作CD的垂线OE交CD于点E,则E为CD的中点,由相交弦定理得AP·PB=DP·PC,则PC=AP PBDP⋅=4,所以DC=5,圆心O到弦CD答案5.(2013年新课标全国卷Ⅱ,理22)(选修41:几何证明选讲)如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B、E、F、C四点共圆.(1)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径;(2)若DB=BE=EA,求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值. (1)证明:因为CD 为△ABC 外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知BC FA =DCEA,故△CDB ∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA. 因为B,E,F,C 四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°. 所以∠CBA=90°,因此CA 是△ABC 外接圆的直径. (2)解:连接CE,因为∠CBE=90°, 所以过B,E,F,C 四点的圆的直径为CE. 由DB=BE,有CE=DC. 又BC 2=DB ·BA=2DB 2,所以CA 2=4DB 2+BC 2=6DB 2.而CE 2=DC 2=DB ·DA=3DB 2,故过B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12. 6.(2013年新课标全国卷Ⅰ,理22)如图,直线AB 为圆的切线,切点为B,点C 在圆上,∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E,DB 垂直BE 交圆于点D.(1)证明:DB=DC;(2)设圆的半径为延长CE 交AB 于点F,求△BCF 外接圆的半径. (1)证明:连接DE,交BC 于点G. 由弦切角定理得, ∠ABE=∠BCE. 而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.又DB⊥BE,所以DE为直径,则∠DCE=90°,由勾股定理可得DB=DC.(2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂线,所以.设DE的中点为O,连接BO,则∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,所以CF⊥BF,故Rt△BCF.7.(2012年江苏卷,21A)如图所示,AB是圆O的直径,D,E为圆O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使BD=DC,连接AC,AE,DE.求证:∠E=∠C.证明:连接OD,如图所示.因为BD=DC,O为AB的中点,所以OD∥AC,于是∠ODB=∠C.因为OB=OD,所以∠ODB=∠B.于是∠B=∠C.因为点A,E,B,D都在圆O上,且D,E为圆O上位于AB异侧的两点,所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角,故∠E=∠B,所以∠E=∠C.模拟试题考点一相似三角形的判定与性质1.(2012广东东莞高级中学二模)如图所示,AB是半径等于3的☉O的直径,CD是☉O的弦,BA,DC的延长线交于点P,若PA=4,PC=5,则∠CBD= .解析:连接AC,DO,OC,可得△PAC ∽△PDB, ∴PA PD =PCPB.∴PD=8,CD=3.又OC=OD=3,∴△OCD 为等边三角形. ∴∠COD=60°,∴∠CBD=12∠COD=30°. 答案:30°2.(2012衡水中学期末)如图所示,已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上,CA 切圆O 于A 点,∠ACB 的平分线CD 交AE 于点F,交AB 于点D.(1)求∠ADF 的度数; (2)若AB=AC,求AC ∶BC. 解:(1)∵AC 为圆O 的切线, ∴∠B=∠EAC,又∵CD 是∠ACB 的平分线, ∴∠ACD=∠DCB,∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD,即∠ADF=∠AFD. 又∵BE 为圆O 的直径,∴∠DAE=90°, ∴∠ADF=12(180°-∠DAE)=45°. (2)∵∠B=∠EAC,∠ACB=∠ACB, ∴△ACE ∽△BCA, ∴AC BC =AEBA.又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=30°,∴在Rt △ABE 中, AE AB =tan B=tan 30°,∴AC BC =AE AB 考点二 直线和圆的位置关系1.(2013北京市海淀区斯末)如图所示,PC 与圆O 相切于点C,直线PO 交圆O 于A,B 两点,弦CD 垂直AB 于E,则下面结论中,错误的结论是( )(A)△BEC∽△DEA(B)∠ACE=∠ACP(C)DE2=OE·EP(D)PC2=PA·AB解析:由切割线定理可知PC2=PA·PB,所以选项D错误,故选D.答案:D2.(2013东阿一中调研)如图所示,AB是☉O的直径,P是AB延长线上的一点,过P作☉O的切线,切点为,若∠CAP=30°,则PB= .解析:连接OC,因为,∠CAP=30°,所以°=2,则AB=2OC=4,由切割线定理得PC2=PB·PA=PB·(PB+BA),解得PB=2.答案:2综合检测1.(2013北京市通州区期末)如图所示,已知则圆O的半径OC的长为.解析:取BD的中点M,连接结OM,OB,则OM⊥BD,因为BD=8,所以DM=MB=4,AM=5+4=9,所以OM2=AO2-AM2=90-81=9,所以半径即OC=5.答案:52.(2012天津质检)如图所示,圆O的直径AB=8,C为圆周上一点,BC=4,过C作圆O的切线l,过A作直线l的垂线AD,D为垂足,AD与圆O交于点E,则线段AE的长为.解析:如图所示,连接OE,OC.∵直线l与圆O相切于点C,∴OC⊥l.又∵AD⊥l,∴OC∥AD,∴∠DAB=∠COB.又圆O的直径AB=8,BC=4,∴△COB为等边三角形,∴∠COB=60°,∴∠DAB=60°,∴△AEO也为等边三角形,∴AE=OA=4.答案:43.(2013云南师大附中检测)如图所示,已知圆O外有一点P,作圆O的切线PM,M为切点,过PM的中点N,作割线NAB,交圆于A、B两点,连接PA并延长,交圆O于点C,连接PB交圆O于点D,若MC=BC.(1)求证:△APM∽△ABP;(2)求证:四边形PMCD是平行四边形.证明:(1)∵PM是圆O的切线,NAB是圆O的割线,N是PM的中点,∴MN2=PN2=NA·NB,∴PNNB=NAPN,又∵∠PNA=∠BNP, ∴△PNA∽△BNP,∴∠APN=∠PBN, 即∠APM=∠PBA.∵MC=BC, ∴∠MAC=∠BAC,∴∠MAP=∠PAB,∴△APM∽△ABP.(2)∵∠ACD=∠PBN,∴∠ACD=∠PBN=∠APN,即∠PCD=∠CPM,∴PM∥CD,∵△APM∽△ABP,∴∠PMA=∠BPA,∵PM是圆O的切线,∴∠PMA=∠MCP,∴∠PMA=∠BPA=∠MCP,即∠MCP=∠DPC,∴MC∥PD,∴四边形PMCD是平行四边形.。