例谈平面图形的翻折问题(精)

例谈平面图形的翻折问题

湖南省浏阳市教育局教研室 朱保仓

E-mail ：

将平面图形翻折成空间图形，既是实际应用问题的需要，又具有考察学生空间想象能力、逻辑推理、数学实践、综合分析问题能力的功能，因此，它是高考中的一种常见题型。下面结合几道例题来说明这类问题的解决方法。

例1 如图1，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点，将ABC ∆沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为

A 、90︒

B 、60︒

C 、45︒

D 、0︒

解：将ABC ∆沿DE ，EF ，DF 折成的三棱锥如图2所示，GH 与IJ 为一对异面直线，由已知易得：DF ∥,GH IJ ∥AD ，所以，ADF ∠即为所求，

即GH 与IJ 所成角的度数为60︒. 评注：1、本题通过对翻折问题处理空间直线与直线的位置关系，从识图、想图、画图的过程的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层次上考查空间想象能力的主要方向。

2、解决本题的关键有二：一是正确画出翻折后的空间图形（三棱锥），二是抓住其中的一些不变关系和不变量（IJ 与BD 的平行关系及GH 与DF 的平行关系在翻折前和翻折后不变，ADF ∠在翻折前和翻折后都等于60︒）。

例2 如图3，ABC ∆内接于直角梯形123,PP P A 沿AB 、BC 、CA 分别将12,ABP

BCP ∆∆，3ACP ∆翻折上去，使得123,,P P P 重合于一点P ，构成一个三棱锥P ABC -。

（1） 求证：PB ⊥AC ；

（2） 若1214,32PP PA ==，求三棱锥P ABC -的体积。

解：（1）∵在直角梯形123PP P A 中有：1122,P A PB P C P B ⊥⊥，

∴在三棱锥P ABC -中有：,PB AP PB CP ⊥⊥， 故

,PB PAC PB AC ⊥⊥平面从而.

（2）∵翻折后使得123,,P P P 重合于一点P ，

∴B 为12P P 的中点，C 为23P P 的中点，且31AP

AP =， ∴112312,322

PB PB PP AP ====. 作AE ⊥23P P 于E ，则22332P E AP AE =

-= ∴23P P 2332242P E EP =+=+=，

∴3222CP CP ==， ∴E 为3CP 的中点，从而3132AC AP AP ===，

∴三棱锥P ABC -的体积13

P ABC B PAC PAC V V PB S --∆==⋅ 1182(224)2323

=⨯⨯⋅⋅=. 评注：1、根据图形翻折后满足的条件来确定相关点（B 、C 、3P 、E ）所在的位置）及有关线段（323,AP P P ）的长度；

2、一般地，在翻折过程中，始终位于同一个平面内的点线之间的位置关系和数量关系不变，否则将可能发生改变；必要时，可将纸片翻折，体验其过程。

例3 如图4-1，已知ABCD 是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿

对称轴OO 1折成直二面角，如图4-2。

（Ⅰ）证明：AC ⊥BO 1；

（Ⅱ）求二面角O －AC －O 1的大小。

解：（1）证明：由题设知：11,OA OO OB OO ⊥⊥，所以AOB ∠是折成的直二面角的平面角，即OA OB ⊥，从而AO ⊥平面1OBCO ，OC 是AC 在面1OBCO 内的射影。因为111113tan 3,tan 3O C OB OO B O OC OO OO ∠==∠==，

001160,30OO B O OC ∴∠=∠=从而1OC BO ⊥，

由三垂线定理得1AC BO ⊥。

（2）由（1）1,AC BO OC BO ⊥⊥知1BO AOC ⊥平面，

设1OC O B E =，过点E 作EF AC ⊥于F ，连结1O F ，则

EF 是1O F 在平面AOC 内的射影，由三垂线定理得1O F AC ⊥.

所以1O FE ∠是二面角1O AC O --的平面角.

由题设知11

3,1OA OO OC ===

所以1O A AC ====

从而111O A O C O F AC ⋅=

=

，又011sin 302O E OO =⋅=

所以111sin O E O FE O F ∠==1O AC O --

的大小为arcsin 4. 评注：1、分别在面1AOO D 及面1OBCO 内的点线间的位置关系和数量关系（如11,OA OO OB OO ⊥⊥等）在翻折的前后没有改变，解题过程中要充分挖掘和利用这些不变关系和不变量；

2、三垂线定理（或其逆定理）是证明两异面直线互相垂直的有力工具；利用三垂线定理（或其逆定理）作二面角的平面角是作二面角的平面角最重要最常用的方法。

小结：解有关平面图形的翻折问题时，要注意对翻折前后线线、线面位置关系、所成角及距离加以比较，一般来说，位于折线的两侧的同一半平面内的元素其相对位置关系和数量关系在翻折前后不发生变化，分别位于两个半平面内的元素其相对位置关系和数量关系则发生变化。在解题过程中，要充分挖掘和利用其中的不变关系和不变量（主要是平行、垂直关系和角度的大小、线段的长度等）。不变量的计算和证明可结合原图型来计算和求证；变化了的量应在翻折后的立体图形中来求解。对某些翻折后不易看清的元素，可结合原图形去分析、计算，即将空间问题转化为平面问题。