3二次曲线的切线和奇点
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
公式（5.3－3）具有便于记忆的特点．若确定了点 (x0，y0) 是二次曲线（1）的正常点，在（1）中把 x 2 用
整理即得（5.3－3） ．
x 0 x 代替，把 y 2 用 y 0 y 代替，把 xy 用 ( x0y ＋ xy0 ) / 2 代替，把 x 用 ( x ＋ x0 ) /2，y 用 ( y ＋ y0 ) /2 代替，最后得到
根据直线与二次曲线的相切条件（6）就得 [ − X + 2Y ] 2 － 3( X 2 − XY + Y 2 ) = 0 化简得 即 由此得 的切线方程为
上式就是
xF1 ( x0 , y0 ) + yF2 ( x0 , y0 ) + F3 ( x0 , y0 ) = 0
即
(8)
x ( a11 x 0 + a12 y 0 + a13 ) + y ( a12 x 0 + a 22 y 0 + a 23 ) + ( a13 x 0 + a 23 y 0 + a 33 ) = 0
－
xy ＋ y2
－
1 = 0 通过点 (0，2) 的切线方程．
解法一 因为 F (0，2) = 3，所以点 (0，2) 不在曲线上，因而不能直接应用本节给出的切线公式． 过点 (0，2) 的直线方程可写成
Xt ⎧x = ⎨ ⎩ y = 2 + Yt
其中 t 为参数，X，Y 为直线的方向数，因为
F1 (0Biblioteka Baidu2) = － 1，F2 (0，2) = 2
的就是二次曲线过正常点 ( x0，y0 ) 的切线方程． 容易证明，椭圆、抛物线和双曲线上没有奇点．因而对于椭圆和双曲线
x2 y 2 ± = 1 以及抛物线 y 2 = 2 px 上的 a 2 b2
一个正常点 ( x0，y0 )，这几种曲线过 ( x0，y0 )的切线方程是 x0 x y 0 y ± 2 = 1 ， y0 y = p ( x + x0 ) a2 b 我们得出的公式（5.3－3）不能解决点 (x0，y0) 不在二次曲线上时的切线的存在性以及切线存在时直接写出 切线方程的问题．这些问题以及与切线和奇点有关的本节没有涉及的其他问题，我们将在后面专门讨论． 在下例中，我们介绍一种间接的分析方法，以便对于给定的二次曲线 Γ，求 Γ 外一点的切线． 例 1 求二次曲线 x2
XF1 ( x0 , y0 ) + YF2 ( x0 , y0 ) = 0
外，惟一的条件仍然是（7） ．
(7)
当 Φ ( X, Y ) = 0 时， 若直线 l 是二次曲线 （1） 的切线， 则必定整条直线都在二次曲线上， 因而除了 F (x0，y0 ) = 0 于是当方向 X : Y 满足条件（7）时，直线（2）一定是过二次曲线上一点 M 0 (x0，y0 ) 的切线． 如果 F1 ( x0 , y0 ) 和 F2 ( x0 , y 0 ) 不全为零，那么由（7）有
(5.3－1) (5.3－2)
( x − x0 ) F1 ( x0 , y 0 ) + ( y − y 0 ) F2 ( x0 , y 0 ) = 0
如果 F1 ( x0 , y 0 ) = F2 ( x0 , y 0 ) = 0，那么（7）变为恒等式，任意的方向 X : Y 都是二次曲线的切方向，从而切 线不确定，通过点 M0 (x0，y0)的任意直线都是二次曲线的切线． .2 二次曲线（1）上满足条件 F1 ( x0 , y 0 ) = F2 ( x0 , y 0 ) = 0 的点 (x0，y0) 叫做二次曲线的奇异点，简 定义 5.3 5.3.2 称为奇点．二次曲线上的非奇异点叫做二次曲线的正常点． .1 命题 5.3 5.3.1 如果 (x0 ， y0) 是二次曲线（ 1 ）的正常点，那么二次曲线通过点 ( x0 ， y0 ) 的切线方程是
X : Y = F2 ( x 0 , y 0 ) : (－ F1 ( x 0 , y 0 ) )
因此过二次曲线上的点 M0 (x0，y0 ) 的切线方程为 ⎧ x = x0 + F2 ( x0 , y0 )t ⎨ ⎩ y = y0 − F1 ( x0 , y0 )t 即 亦即
x − x0 y − y0 = F2 ( x0 , y0 ) − F1 ( x0 , y0 )
a11 x0 x + a12 ( x0 y + y0 x ) + a 22 y0 y + a13 ( x + x0 ) + a23 ( y + y0 ) + a33 = 0
证 把方程（5.3－2）改写为
(5.3－3)
xF1 ( x0 , y0 ) + yF2 ( x0 , y0 ) − [ x0 F1 ( x0 , y0 ) + y0 F2 ( x0 , y0 )] = 0
( x − x0 ) F1 ( x0 , y0 ) + ( y − y0 ) F2 ( x0 , y0 ) = 0 ，( x0，y0 ) 是它的切点．如果 ( x0，y0 ) 是二次曲线（1）的奇点，那么二
次曲线通过点 ( x0，y0 ) 的切线不确定，或者说通过点 ( x0，y0 ) 的每一条直线都是二次曲线（1）的切线． 推论 如果 (x0，y0 ) 是二次曲线（1）的正常点，那么二次曲线通过点 ( x0，y0 ) 的切线方程是
§5.3 二次曲线的切线
.1 如果直线与二次曲线交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，重合的交 定义 5.3 5.3.1 点叫做切点．如果直线全部在二次曲线上，也称其为二次曲线的切线，此时直线上的每一点都可以看作切点． 设 M0 (x0，y0) 是二次曲线（1）上的任一点，则过 M0 的直线 l 的方程总可以写成（2）的形式： ⎧ x = x0 + X t ⎨ ⎩ y = y0 + Y t 代入（1）的方程得（5.2－1） ．欲使 l 成为（1）的切线，当 Φ ( X, Y ) ≠ 0 时，必须使判别式 Δ = [ XF1 ( x0 , y0 ) + YF2 ( x0 , y0 )] 2− Φ ( X , Y ) F ( x0 , y0 ) = 0 因为 M0 (x0，y0) 在二次曲线上，F (x0，y0 ) = 0，因而（6）变为 (6)
整理即得（5.3－3） ．
x 0 x 代替，把 y 2 用 y 0 y 代替，把 xy 用 ( x0y ＋ xy0 ) / 2 代替，把 x 用 ( x ＋ x0 ) /2，y 用 ( y ＋ y0 ) /2 代替，最后得到
根据直线与二次曲线的相切条件（6）就得 [ − X + 2Y ] 2 － 3( X 2 − XY + Y 2 ) = 0 化简得 即 由此得 的切线方程为
上式就是
xF1 ( x0 , y0 ) + yF2 ( x0 , y0 ) + F3 ( x0 , y0 ) = 0
即
(8)
x ( a11 x 0 + a12 y 0 + a13 ) + y ( a12 x 0 + a 22 y 0 + a 23 ) + ( a13 x 0 + a 23 y 0 + a 33 ) = 0
－
xy ＋ y2
－
1 = 0 通过点 (0，2) 的切线方程．
解法一 因为 F (0，2) = 3，所以点 (0，2) 不在曲线上，因而不能直接应用本节给出的切线公式． 过点 (0，2) 的直线方程可写成
Xt ⎧x = ⎨ ⎩ y = 2 + Yt
其中 t 为参数，X，Y 为直线的方向数，因为
F1 (0Biblioteka Baidu2) = － 1，F2 (0，2) = 2
的就是二次曲线过正常点 ( x0，y0 ) 的切线方程． 容易证明，椭圆、抛物线和双曲线上没有奇点．因而对于椭圆和双曲线
x2 y 2 ± = 1 以及抛物线 y 2 = 2 px 上的 a 2 b2
一个正常点 ( x0，y0 )，这几种曲线过 ( x0，y0 )的切线方程是 x0 x y 0 y ± 2 = 1 ， y0 y = p ( x + x0 ) a2 b 我们得出的公式（5.3－3）不能解决点 (x0，y0) 不在二次曲线上时的切线的存在性以及切线存在时直接写出 切线方程的问题．这些问题以及与切线和奇点有关的本节没有涉及的其他问题，我们将在后面专门讨论． 在下例中，我们介绍一种间接的分析方法，以便对于给定的二次曲线 Γ，求 Γ 外一点的切线． 例 1 求二次曲线 x2
XF1 ( x0 , y0 ) + YF2 ( x0 , y0 ) = 0
外，惟一的条件仍然是（7） ．
(7)
当 Φ ( X, Y ) = 0 时， 若直线 l 是二次曲线 （1） 的切线， 则必定整条直线都在二次曲线上， 因而除了 F (x0，y0 ) = 0 于是当方向 X : Y 满足条件（7）时，直线（2）一定是过二次曲线上一点 M 0 (x0，y0 ) 的切线． 如果 F1 ( x0 , y0 ) 和 F2 ( x0 , y 0 ) 不全为零，那么由（7）有
(5.3－1) (5.3－2)
( x − x0 ) F1 ( x0 , y 0 ) + ( y − y 0 ) F2 ( x0 , y 0 ) = 0
如果 F1 ( x0 , y 0 ) = F2 ( x0 , y 0 ) = 0，那么（7）变为恒等式，任意的方向 X : Y 都是二次曲线的切方向，从而切 线不确定，通过点 M0 (x0，y0)的任意直线都是二次曲线的切线． .2 二次曲线（1）上满足条件 F1 ( x0 , y 0 ) = F2 ( x0 , y 0 ) = 0 的点 (x0，y0) 叫做二次曲线的奇异点，简 定义 5.3 5.3.2 称为奇点．二次曲线上的非奇异点叫做二次曲线的正常点． .1 命题 5.3 5.3.1 如果 (x0 ， y0) 是二次曲线（ 1 ）的正常点，那么二次曲线通过点 ( x0 ， y0 ) 的切线方程是
X : Y = F2 ( x 0 , y 0 ) : (－ F1 ( x 0 , y 0 ) )
因此过二次曲线上的点 M0 (x0，y0 ) 的切线方程为 ⎧ x = x0 + F2 ( x0 , y0 )t ⎨ ⎩ y = y0 − F1 ( x0 , y0 )t 即 亦即
x − x0 y − y0 = F2 ( x0 , y0 ) − F1 ( x0 , y0 )
a11 x0 x + a12 ( x0 y + y0 x ) + a 22 y0 y + a13 ( x + x0 ) + a23 ( y + y0 ) + a33 = 0
证 把方程（5.3－2）改写为
(5.3－3)
xF1 ( x0 , y0 ) + yF2 ( x0 , y0 ) − [ x0 F1 ( x0 , y0 ) + y0 F2 ( x0 , y0 )] = 0
( x − x0 ) F1 ( x0 , y0 ) + ( y − y0 ) F2 ( x0 , y0 ) = 0 ，( x0，y0 ) 是它的切点．如果 ( x0，y0 ) 是二次曲线（1）的奇点，那么二
次曲线通过点 ( x0，y0 ) 的切线不确定，或者说通过点 ( x0，y0 ) 的每一条直线都是二次曲线（1）的切线． 推论 如果 (x0，y0 ) 是二次曲线（1）的正常点，那么二次曲线通过点 ( x0，y0 ) 的切线方程是
§5.3 二次曲线的切线
.1 如果直线与二次曲线交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，重合的交 定义 5.3 5.3.1 点叫做切点．如果直线全部在二次曲线上，也称其为二次曲线的切线，此时直线上的每一点都可以看作切点． 设 M0 (x0，y0) 是二次曲线（1）上的任一点，则过 M0 的直线 l 的方程总可以写成（2）的形式： ⎧ x = x0 + X t ⎨ ⎩ y = y0 + Y t 代入（1）的方程得（5.2－1） ．欲使 l 成为（1）的切线，当 Φ ( X, Y ) ≠ 0 时，必须使判别式 Δ = [ XF1 ( x0 , y0 ) + YF2 ( x0 , y0 )] 2− Φ ( X , Y ) F ( x0 , y0 ) = 0 因为 M0 (x0，y0) 在二次曲线上，F (x0，y0 ) = 0，因而（6）变为 (6)