3二次曲线的切线和奇点
§5.3 二次曲线的切线
§5.3 二次曲线的切线一、概念1. 定义1：如果直线与二次曲线交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这个重合的交点叫做切点；如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每一个点都可以看作切点.2.定义2：二次曲线F(x, y)=0上满足条件F1(x0, y0)=F2(x0, y0)=0的点(x0, y0)叫做二次曲线的奇异点，简称奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点. 奇点是中心，但中心不一定是奇点.注：(1) 二次曲线有奇点的充要条件是I3= 0，(2) 二次曲线的奇点一定是二次曲线的中心，但反之不然.二、切线求法1.已知切点求切线：设点(x0, y0)是二次曲线F(x, y)=0上的点, 则通过点(x0, y0)的直线方程总可以写成那么此直线成为二次曲线切线的条件，当Φ(X, Y)≠0时∆=[F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y]2-Φ(X, Y)⋅F(x0, y0)=0.因为点 (x0, y0) 在二次曲线上，所以F(x0, y0)=0；因而上式可化为F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y=0.当Φ(X, Y)= 0时除了F(x0, y0)=0外，唯一的条件仍然是F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y=0.(1)如果点(x0, y0)是二次曲线F (x, y)=0的正常点：那么由以上条件得X:Y = F2(x0, y0)：(-F1(x0, y0))，因此切线方程为或写成，或 (x-x0)F1(x0, y0)+(y-y0)F2(x0, y0)=0，其中 (x0, y0) 是它的切点；(2)如果点 (x0, y0) 是二次曲线F (x, y)=0的奇异点，即F1(x0, y0)=F2(x0, y0)=0，则切线方向X:Y不能唯一地被确定，从而通过点 (x0, y0)的切线不确定,这时通过点 (x0, y0) 的任何直线都和二次曲线F (x, y)=0相交于相互重合的两点，我们把这样的直线也看成是二次曲线的切线.这样我们就得到定理1：如果点(x0, y0) 是二次曲线F (x, y)= 0的正常点，则通过点(x0, y0)的切线方程是 (x-x0)F1(x0, y0)+(y-y0)F2(x0, y0)=0，(x0, y0)是它的切点.如果点 (x0, y0) 是二次曲线F (x, y)=0的奇异点，则通过点 (x0, y0) 的每一条直线都是二次曲线F (x, y)=0的切线.推论：如果点 (x0, y0) 是二次曲线F (x, y) = 0的正常点，则通过点 (x0, y0) 的切线方程是a11x0x + a12(x0y+xy0)+a22y0y+a13(x+x0)＋a23(y+y0)+a33=0.证明：过点(x0, y0) 的切线方程可改写成xF1(x0, y0)+yF2(x0, y0)-[x0F1(x0, y0)+y0F2(x0, y0)]=0,那么xF1(x0, y0)+yF2(x0, y0)+ F3(x0, y0)-[x0F1(x0, y0)+y0F2(x0, y0)+ F3(x0, y0)]=0,则有xF1(x0, y0)+yF2(x0, y0)+ F3(x0, y0)=0,即 x(a11x + a12y+a13)+y(a12x + a22y+a23)+( a13x + a23y+a33)=0,从而得a11x0x + a12(x0y+xy0)+a22y0y+a13(x+x0)＋a23(y+y0)+a33=0.2.已知二次曲线外一点，求过此点的切线：设点(x0 , y0)不是二次曲线上的点，即F(x0 , y0)≠0, 则过点(x0 , y0)的直线方程为此直线成为二次曲线上切线唯一条件是Φ(X, Y)≠0且∆=[F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y]2-Φ(X, Y)⋅F(x0, y0)=0.由此解出X:Y，从而得(两条)切线的方程.例1. 求以下二次曲线在所给点或通过所给点的切线方程.（1）曲线3x2+4xy+5y2-7x-8y-3=0, 在点 (2, 1)；（2）曲线x2+xy+y2＋x＋4y+3=0, 经过点 (-2, -1).解：（1）F (x, y)= 3x2+4xy+5y2-7x-8y-3, F1(x, y)=3x+2y-, F2(x, y)=2x+5y-4,因为 F (2, 1)=12+8+5-14-8-3+=0，且F1(2, 1)=≠0, F2(2, 1)=5≠0,所以点(2, 1)是二次曲线上的正常点.因此切线方程为(x-2)+5(y-1)=0，化简得 9x+10y-28=0.（2）F (x, y)= x2+xy+y2+x+4y+3, F1(x, y)=x+, F2(x, y)=, 因为F(-2, -1)=4≠0, 所以点 (-2, -1) 不在曲线上，而F1(-2, -1)= -2, F2(-2, -1)=0,设所求切线方程为，由 (-2X)2-4(X2+XY+Y2)=0 得X1:Y1=-1:1, X2:Y2=1:0,所以两条切线方程为与，即x+y+3=0 与y+1=0.例3. 已知曲线x2+4xy+3y2-5x-6y+3=0的切线平行于x+4y=0，求切线方程和切点坐标.解：设切点为(x0, y0)，则切线方程为x0x+2(x0y+xy0)+3y0y-(x+x0)-3(y+y0)+3=0,即 (x0+2y0-)x+(2x0+3y0-3)y-x0-3y0+3=0,由已知条件有即 4(x0+2y0-)=2x0+3y0-3,或 2x0+5y0-7=0, ①又切点在曲线上，从而+4x0y0+3-5x0-6y0+3=0, ②由①, ②解得切点为 (1, 1)，(-4, 3), 故所求切线方程为x+4y-5=0 和x+4y-8=0.例4. 试求经过原点且切直线4x+3y+2=0于点 (1,-2) 及切直线x-y-1=0于点 (0, -1) 的二次曲线方程.解：因为二次曲线过原点 (0, 0)，所以设二次曲线为a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y=0,切线方程为 (x-x0)F1(x0, y0)+(y-y0)F2(x0, y0)=0,还可写为F1(x0, y0)x+F2(x0, y0)y+F3(x0, y0)=0.从而过点 (1, -2) 及 (0, -1) 的切线分别为(a11-2a12+a13)x+(a12-2a22+a23)y+a13-2a23=0,(-a12+a13)x+(-a22+a23)y-a23=0,由题设它们应分别为4x+3y+2=0及x-y-1=0，故有,解得λ: μ = 1: -,从而a11=6, a12 = , a22 = -1, a13= 1, a23= -,故所求二次曲线为6x2+3xy-y2+2x-y=0.作业题：1. 求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程.(1) 曲线 5x2+7xy+y2-x+2y=0 在原点；(2) 曲线 5x2+6xy+5y2=8经过点 (0, 2).2. 已知曲线x2+xy+y2=3 的切线平行于x轴，求切线方程和切点坐标.。
§3二次曲线的切线和奇点
§3 二次曲线的切线和奇点一 切线：1、定义：若一直线l 与二次曲线C 交于二重合实点，或l 整个在二次曲线C 上，则称l为C 的切线。
切线与C 的公共点称为切点。
2、求法：设0P （0x ，0y ）∈C ，以0P 为切点的切线 l ：⎩⎨⎧+=+=tY y y tX x x 00 今确定X ：Y1°当1F （0x ，0y ），2F （0x ，0y ）不全为0时，若X ：Y 不是渐近方向，则l 与C 相切〈═〉l 与C 交于二重合实点〈═〉△=[1F （0x ，0y ）X+2F （0x ，0y ）Y]²-Φ（X ，Y ）F （0x ，0y ）=0 〈═〉1F （0x ，0y ）X+2F （0x ，0y ）Y=0〈═〉X ：Y=-2F （0x ，0y ）：1F （0x ，0y ） 若X ：Y 是渐近方向，则l 与C 相切〈═〉l 处在C 上〈═〉1F （0x ，0y ）X+2F （0x ，0y ）Y=0〈═〉X ：Y=-2F （0x ，0y ）：1F （0x ，0y ） 从而切线l ：⎩⎨⎧+=-=t )y x (F y y t )y x (F x x 00100020，， 即 1F （0x ，0y ）（x -0x ）+2F （0x ，0y ）（y -0y ）=01F （0x ，0y ）x+2F （0x ，0y ）y-[1F （0x ，0y ）0x +2F （0x ，0y ）0y ]=0 1F （0x ，0y ）x +2F （0x ，0y ）y+3F （0x ，0y ）=0亦即11a 0x x +12a （0x y +0y x ）+22a 0y y +13a （x +0x ）+23a （y +0y ）+33a =0 （*） 注：在1F （0x ，0y ）与2F （0x ，0y ）不全为0时，（*）即为以0P （0x ，0y ）为切点的切线方程。
不难看出，若0P （0x ，0y ）使1F （0x ，0y ），2F （0x ，0y ）不全为0，则要求以0P 为切点的切线，只需要在C 的方程中，以0x x ，2x y y x 00+ ，0y y ，2x x 0+ ，2y y 0+ 替换x ² xy y ² x y即可2°当1F （0x ，0y ）=2F （0x ，0y ）=0时，对∀过0P 且沿非渐近方向的直线l ：⎩⎨⎧+=+=tY y y tX x x 00 ， △=[1F （0x ，0y ）X+2F （0x ，0y ）Y]²-Φ（X ，Y ）F （0x ，0y ）=0 ∴l 是切线；而对任意过0P 且沿渐近方向的直线l ：⎩⎨⎧+=+=tY y y tX x x 00 Φ（X ，Y ）=1F （0x ，0y ）X+2F （0x ，0y ）Y=F （0x ，0y ）=0，∴l 整个在曲线 即l 也是切线可见，若曲线C 上一点0P （0x ，0y ）使1F （0x ，y 。
5.3二次曲线的切线
奇点:
F1 ( x0 , y0 ) F2 ( x0 , y0 ) 0,
定理 5.3.1
如果 ( x0 , y0 ) 是二次曲线的正常点， ( x0 0 ) 如果 (( x0,,y0 ) 是二次曲线的奇异点， x0 y0
那么通过 ( x0 , y0 ) 的切线方程是(3)，( x0 , y0 ) 是它的切点.
x0 , y ) x0 那么通过 ((x0 , y0 ) 的切线不确定， 或者说通过点 ( ( x0 ,y00) 的
每一条直线都是二次曲线的切线.
( x x0 )F1( x0 , y0 ) ( y y0 )F2 ( x0 , y0 ) 0.
正常点才能 用
(3)
a11x0 x a12 ( x0 y xy0 ) a22 y0 y a13 ( x x0 ) a23 ( y y0 ) a33 0
证 把(5.3-3)改写为
(5.3-3)
xF1 ( x0 , y0 ) yF2 ( x0 , y0 ) [ x0 F1 ( x0 , y0 ) y0 F2 ( x0 , y0 )] 0 F ( x, y) xF1 ( x, y) yF2 ( x, y) F3 ( x, y) 0
பைடு நூலகம்
1 那么切线方程为 x0 x ( x0 y xy0 ) y0 y 1 0, 2
即
1 x0 x ( x0 y xy0 ) y0 y 1 0, 2 1 1 x0 y0 x x0 y0 y 1 0, 2 2
再根据本章开始时介绍得恒等式，上式又可写为
xF1( x0 , y0 ) yF2 ( x0 , y0 ) F3 ( x0 , y0 ) 0.
二次曲线的切线
XF1 ( x0 , y0 ) YF2 ( x0 , y0 ) 0
X :Y F2 (x0, y0 ) :[F1(x0, y0 )]
因此过二次曲线上的点 M0 (x0, y0 )的切线方程为
x
y
x0 y0
F2 (x0 , F1(x0 ,
y0 y0
)t )t
x x0 y y0 F2 (x0 , y0 ) F1(x0 , y0 )
解：因为F(2,1)=4-2+1+4-4-3=0,
且
F1(2,1)=5/2≠0, F 2 (2,1)=-2 ≠0
所以(2,1)是二次曲线上的正常点，因此得在
点(2,1)的切线方程为：
5/2 (x-2)-2(y-1)=0
即： 5x-4y-6=0
例2 求二次曲线 x2 xy y2 1 0 通点(0,2) 的切线方程
定义5.3.1 如果直线与二次曲线相交于相互重合的 两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这个 重合的交点叫做切点，如果直线全部在二次曲线上， 我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每个点都可 以看作切点.
设M0 (x0，y0) 是二次曲线（1)上的任一点，则过M0的直线l 的方程总可以写成下面的形式：
解：设切点为 (x0, y0 ) ，则切线方程为：
x0
x
1 2
( x0
y
xy0
)
y0y1Fra bibliotek0
，
且 x0 2 y0 1 0，
x02 x0 y0 y02 1 0
解得
x0
y0
1与
0
x0
五种方法解二次曲线的切线问题，理解应用这些公式你离学霸不远了
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不远了
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题型：已知焦点在x轴上的椭圆与直线2x+3y-10=0相切，且离心率为√3/2，求此椭圆方程
这里给出五种方法求解，几乎每种都代表着不同的方法，这些方法中蕴含着丰富的知识，同学们好好研究一下，对你们的学习非常有帮助呢！
解法一：（判别式法）
初等数学中，二次曲线的切线问题源于判别式，且利用判别式还可得出有关切线的某些性质、公式或定理。
解法二：。
二次曲线数控加工的数学分析
二次曲线数控加工的数学分析
二次曲线是指其数学表达式中包含了二次方项的曲线。
在数控加工中，二次曲线广泛应用于加工零件的轮廓、孔、槽等形状，因其具有平滑的曲线和高精度的特性。
对于二次曲线的数学分析，可以从以下几个方面进行：
1. 曲线方程的表示
一般来说，二次曲线可表示为以下标准方程：
y=ax^2+bx+c
其中a，b，c为常数。
对于不同形状的二次曲线，其标准方程的系数也会有所不同。
2. 曲线参数的计算
针对不同的应用场景，如何对二次曲线进行参数化处理也是一个重要问题。
常见的参数化方案有以下几种：
（1）以曲线长度为参数：
x=f(s) y=g(s)
其中s为曲线长度参数，f(s)和g(s)是关于s的函数表达式。
对于二次曲线，可以通过计算参数t对应的点的方式获得曲线上任意点的坐标。
曲线上任意点的坐标可表示为：
4. 曲线的切向和法向
在数控加工中，曲线的切向和法向可以用于控制加工刀具在曲线上的运动方向和加工深度。
对于一般曲线，切向和法向的计算较为复杂，而二次曲线的切向和法向计算相对简单。
对于二次曲线y=ax^2+bx+c，其一阶导数为y'=2ax+b，二阶导数为y''=2a。
因此，曲线在任意点的切向为(-y', 1)或(y', -1)，法向为(y', 1)或(-y', -1)。
通过以上几个方面的数学分析，可以更好地理解和处理二次曲线的数学特性，从而为二次曲线的数控加工提供了更严谨和可靠的理论基础。
二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程
＝（ｎｌａ２ ４－ａ；Ｏｘ；＋（ｂｌｂ２＋ｂ Ａ）《＋
（ａＩｂ２＋ａ２ｂ１）ＸＯＹｏ一
［（ａｌｂ２＋ａ２ｂ１）Ｙｏ＋２ａｌａ２名ｏ］名。一
［（ａＩｂ２＋ａ２ｂ１）茗ｏ＋２ｂＩｂ２Ｙｏ］Ｙｏ，
且口Ａ麟。算＋Ａ ｂｙｏｙ＝Ａ似：＋Ａ ６＿《．
从而，Ｏ；Ｘｏ髫＋ｂｙｏｙ＝鲋ｊ＋６扼．
这说明，点Ｍ（戈。，Ｙ。）关于双直线ＡＣ、
＼ ∥～ｙ ／ａ。＋２
Ｏ／
－ｘ
／
都成等角．证明：这
图６
样的折线只能位于
抛物线对称轴的一侧．
（第２２届全苏数学奥林匹克）
讲解：不妨设抛物线为Ｙ＝ａｘ２（ａ＞０）．
依次取折线上三个相邻的顶点Ａ；（并ｎａｘ；）
（ｉ＝ｎ，ｎ＋１，ｎ＋２，ｎＥ Ｎ）．
由抛物线在点Ａ。＋。处的切线方程（或求
导数）可知其斜率
ｋ七 ｌ２ｊ２：｝２－ａｋ＝ｘ＾忌Ａ＋ｎｌ一， ＋ｌ一Ａｎ．＋＋２．－－＝鼎掣叫＝凸Ｘ（ｎＸ＋ｎ２＋４＂Ｘ石ｎｎ＋＋Ｉ１）？）．
即５菇一７ｙ－鲁：ｏ．
所以，Ｑ也是ＭＮ的中点，即定点Ｑ平分 线段ＭＮ．
注：从曲线的含变化参数的方程（实际
上就是曲线系方程）求出曲线上的定点，是
证明曲线过定点的常规方法．由于本题中的
切点弦ＭＮ只依赖点Ｊｐ的位置，因此，使用切
点弦方程正是时机．证明点Ｑ平分线段ＭＮ
实际上是使用了同一法，同时也发挥了中点
弦方程的作用．
２００９年第８期
７
二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程
胡圣团
（湖南省澧县一中，４１５５００）
（本讲适合高中） １知识简介
记Ｇ（ｘ，Ｙ）＝Ａｘ２＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＋Ｄｋ＋Ｅ｜ｙ＋Ｆ １．１二次曲线中点弦的方程
二次曲线的切线方程及应用
二次曲线的切线方程及应用[摘要] 本文主要利用隐函数求导的方法推导常见二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）上某点处的切线方程，并得出一般二次曲线的切线方程及切点弦方程，再将相应结论进行应用。
[关键词] 二次曲线切线方程切点弦方程有关二次曲线的切线方程及其应用问题，近年来在各类考试中出现的频率颇高，为更好地解决此专题的问题，笔者将常见二次曲线的切线方程及切点弦方程的有关结论及推导过程整理一遍，并简述其应用，以供广大教师及学生参考．1几个常见结论及推导1．在圆上一点处的切线方程为：．（注：为与求其它二次曲线的切线方程所用方法一致，这里利用涉及隐函数求导的方法来推导．）将圆的方程中的y视为关于x的函数（即y是x的隐函数），那么就可以在上式两边分别对x求导数．隐函数求导法则，实际与复合函数求导法则一致，将y看作中间变量，外函数是，内函数为，故．于是有：在两边分别对x求导，得，若，则有．由导数的几何意义知，曲线上某点处切线的斜率是该点的导数值．故对于圆上点，若，则有，此即为在点M处切线的斜率，故所求切线方程为．又，① 为所求．若，由图象可知，此时所求切线方程为：或．又，故所求切线方程为：或．也满足①式．故在圆上一点处的切线方程可统一写为：．2．在椭圆上一点处的切线方程为：．推导过程如下：在两边分别对x求导得：，对于点，若，则有，此即为在点M处切线的斜率．故所求切线方程为，又，故②为所求．若，此时所求切线方程为：或，也满足②式．故在椭圆上一点处的切线方程为：．3．在双曲线上一点处的切线方程为：③．注：推导过程与结论1和结论2的推导过程类似，可让学生动手推导，体会其中的思想．4．在抛物线上一点处的切线方程为：．在两边对x求导，得．对于点，若，则有，此即为在点M处的切线的斜率．故所求切线方程为，即，又在抛物线上，故，因此所求切线方程为：④．若，此时所求切线方程为：也满足④式．故在抛物线上一点处的切线方程为：．结论4的切线方程形式与前3个结论有些不同，引导学生从抛物线的方程的形式观察，得到结论：抛物线的切线方程实际上可写为，进而得到一般性的结论5．将以上四个结论推广，可得到以下结论：5．设是二次曲线上一点，则此曲线在点M处的切线方程为：⑤．注：二次曲线的方程中不含项．此结论推导过程可仿照上述结论的推导过程来完成，这里不再赘述．从结论5出发，进一步思考，若点在二次曲线外，则过点M可作曲线的两条切线，设切点分别为，那么由切点在曲线上及结论5可知，曲线在点A处的切线方程为，曲线在点B处的切线方程为，因点在切线上，故⑥，同理，⑦，综合⑥⑦得，点，的坐标都满足方程．因为经过点的直线是唯一的，故过点A,B的直线方程为：．由此，我们可以得到另一个结论：6．设是二次曲线外一点，则过点M可作曲线的两条切线，设切点分别为，则直线AB的方程（即切点弦方程）为：．由结论6，将曲线方程特殊化为高中常见的二次曲线方程，即可得到关于圆、椭圆、双曲线和抛物线的切点弦方程的相应结论．2应用有关切线方程及切点弦方程的考题，近几年均是热点，比如广州市2013届普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）（简称“广州市一模”）第20题，2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科/理科）第20题，2014年清华等七校自主招生考试（简称“华约卷”）第5题等．2013年广东高考的解析几何题虽和当年广州市一模的解析几何题有较大相似度，但考试结果仍不理想，文[1]指出，2013年的解析几何题“不仅加大了计算量，而且对计算的技巧性的要求大大增强，与压轴题的难度接近（第20题得分2.85分，第21题得分2.13）．”因此，有必要对切线方程及切点弦方程这一专题内容做一个梳理．现将2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学第20题展示如下：已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线 :的距离为 .设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线 ,其中为切点.(Ⅰ) 求抛物线的方程；(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程；(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.略解：(Ⅰ)易得所求抛物线方程是：．(Ⅱ)利用第1部分的结论6，即得所求直线的方程（即切点弦方程）为：，即．（注：高考需将结论6的过程在答卷上推演一遍，因其不是高中课本内的结论.第(Ⅲ)小题解答略．）从此题的解答看，熟知第1部分的几个结论虽可立即得正解，但在高考题的作答中仍要将推导过程再演算一遍，似乎不太便捷，这是因为此题直接考查结论（求切点弦方程），若考查的是利用切点弦方程再求其它问题，那熟知结论的优越性立刻体现．请看2014年华约卷第5题：过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，设直线与轴、轴分别交于点，求的面积的最小值．解析：法一：设，由结论6知，直线的方程为：，，，故的面积．又点在椭圆上，故．由基本不等式得：，即（当且仅当时，等号成立），．，即的面积的最小值为．法二：（利用椭圆的参数方程求解）因点在椭圆上，故可设，由结论6知，直线的方程为：，故，的面积（当且仅当，即或时，等号成立），故的面积最小值为．解法一与解法二虽具体利用的知识不同，但其求解思路是一致的，关键的一步在于写出直线PQ的方程，而在自主招生或竞赛类考试中，直接写出二次曲线的切线方程或切点弦方程是允许的．因此，教师可将有关二次曲线的切线方程及切点弦方程问题形成一个小专题，根据学生水平及实际需要，适当讲解以上结论作为拓展，为学生获得更佳成绩打好基础．3小结由于高中阶段没有涉及到隐函数求导的内容，因此高考题在考纲范围内只能考查形如的抛物线的切点弦方程，对于一般水平的学生，教师只需讲透高中常见的解法即可．而第1部分的结论是常见二次曲线的有关切线方程和切点弦方程的结论，结论5、结论6将常见二次曲线的切线方程、切点弦方程统一起来，得到一般二次曲线的切线方程、切点弦方程．实践表明，对于能力较强的学生，是可以理解第1部分的几个结论的推导，并且利用这些结论对于他们应对自主招生或竞赛类考试有一定的帮助．参考文献[1] 彭建开.于平凡处见“真功夫”——2013年高考广东理科试题第20题解析[J].广东教育(高中版), 2013(7·8): 59-60．。
第六章 二次曲面的一般理论
第六章 二次曲面的一般理论教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类.研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充.教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念二次曲面: 在空间,由三元二次方程022222244342414231312233222211=+++++++++a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a （1）所表示的曲面.虚元素:空间中，有序三复数组),,(z y x 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点二次曲面的一些记号≡),,(z y x F 44342414231312233222211222222a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a +++++++++ 141312111),,(a z a y a x a z y x F +++≡242323122),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 343323133),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 443424144),,(a z a y a x a z y x F +++≡yz a xz a xy a z a y a x a z y x 231312233222211222),,(+++++≡Φz a y a x a z y x 1312111),,(++≡Φ z a y a x a z y x 2322122),,(++≡Φz a y a x a z y x 3323133),,(++≡Φ z a y a x a z y x 3424144),,(++≡Φ即有恒等式成立: ≡),,(z y x F ),,(),,(),,(),,(4321z y x F z y x zF z y x yF z y x xF +++),,(),,(),,(),,(321z y x z z y x y z y x x z y x Φ+Φ+Φ≡Φ二次曲面),,(z y x F 的系数矩阵: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=44342414343323132423221214131211a a a a a a a a a a a a a a a a A 而由),,(z y x Φ的系数矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*332313232212131211a a a a a a a a a A 二次曲面（1）的矩阵A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是),,(1z y x F ，),,(2z y x F ，),,(3z y x F ，),,(4z y x F 的系数。
5.3二次曲线的切线
(x ,y )是它的切点. 如果(x ,y )是二次曲线(1)的奇异点，那
0 0 0 0
么通过(x ,y )的切线不确定，或者说过点(x ,y )的每一条
0 0 0 0
直线都是二次曲线(1)的切线.
推论 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么 通过(x0,y0)的切线方程是： a11 x0 x + a12 ( x0 y + xy0 ) + a22 y0 y
设M0 (x0，y0) 是二次曲线（1)上的任一点，则过M0的直线l 的方程总可以写成下面的形式：
x = x0 + X t y = y0 + Y t
当Φ ( X, Y ) ≠ 0时，必须使判别式 ∆ = [ XF1 ( x0 , y0 ) + YF2 ( x0 , y0 )] 2 − Φ( X , Y ) F ( x0 , y0 ) = 0
《解析几何》 解析几何》 －Chapter 5
§3 二次曲线的切线
定义5.3.1 如果直线与二次曲线相交于相互重合的 定义 两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线 切线，这个 切线 重合的交点叫做切点 切点，如果直线全部在二次曲线上， 切点 我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每个点都可 以看作切点.
x = x0 + F2 ( x0 , y0 )t y = y0 − F1 ( x0 , y0 )t
x − x0 y − y0 = F2 ( x0 , y0 ) − F1 ( x0 , y0 )
即： ( x − x0 ) F1 ( x0 , y0 ) + ( y − y0 ) F2 ( x0 , y0 ) = 0
解析几何(第五章)
（ 1） （ 2）
的交点，可以采用把直线方程（2）代入曲线方 程（1）然后讨论关于t的方程.
(a11 X 2a12 XY a22Y )t
2 2 2 2 11 0 2 22 0
2(a11 x0 a12 y0 a13 ) X (a12 x0 a22 y0 a23 )Y t
证明：( X , Y ) t 2 2 F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y t
F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y t1 t2 由韦达定理得：0=tC = 2 ( X , Y ) F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y 0 F1 ( x0 , y0 ) 0; F2 ( x0 , y0 ) 0
无心二次曲线与线心二次曲线统称为非中心二次 曲线。
I2 0 2)非中心曲线： I 2 0
1)中心曲线：
a)无心二次曲线： a 11 a 12 a 13
a 12 a 22 a 23 a 11 a 12 a 13 b)线心二次曲线： a 12 a 22 a 23
从二次曲线的渐进方向与中心的分类中(见P.192)， 容易看出：
§5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线
一、二次曲线的渐近方向
定义5.2.1 满足条件Φ(X, Y)=0的方向X: Y 叫做二 次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向.
命题：任一二次曲线至多有二渐近方向，具体地
（i ） 当 =
>0时，曲线有二共轭虚渐近方向；
（ii）当 <0时，曲线有二不同实渐近方向；
二次曲线中极点与极线性质的初等证法
二次曲线中极点与极线性质的初等证法本文主要介绍一种关于二次曲线中极点与极线性质的初等证明方法。
首先，本文介绍了二次曲线和极点定义，并讨论了极点的性质。
之后，本文将解释极线的定义和性质，最后将深入探讨极点和极线的初等证明方法。
首先，什么是二次曲线？二次曲线，也称作二次曲面，是由双曲线、抛物线、圆形和其他几何图形的交集形成的曲面。
一般来说，二次曲线的方程可以用一般的形式来表示：F(x,y)=ax+by+cxy+dx+ey+f=0其中，a、b、c以及d、e、f是常数。
可以根据联立方程计算出二次曲线的切点和极点。
极点是指曲线上特殊的一点，它与曲线的凹凸有关，可以用如下公式表示：x= -b/2a y=-e/2b以上就是极点的定义，它的性质就是动点沿曲线方向的变化速度极慢，甚至可以停留在某一位置，所以极点又被称作“驻点”。
接下来要解释极线，极线是定义在极点上的一系列线段，其方程式可以表示为：y=f(x)+f’(x)(x-x)其中，f’(x)表示极点处曲线导数。
极线是由其他曲线构成的，它们具有如下特性：1.线有限段，并形成一条曲线；2. 二次曲线的极线是由双曲线、抛物线和圆形的交点构成的；3.极点处，极线的斜率恒为零；4.线是两条曲线分界线，两条极线之间连接点构成极点；5.线分为两条：一条正极线和一条负极线，正极线朝曲线外，负极线朝曲线内。
上述就是二次曲线中极点和极线的基本定义和性质，接下来要讨论的是如何用初等证明方法证明极点和极线的性质。
首先，根据极点的定义，可以证明极点的动点性质。
由极值定理可知：任何曲线的上下两点，其函数值均小于极点处的函数值。
因此，动点性质就可以得到证明。
其次，可以用极限法证明极线性质。
根据定义，极点处的极线斜率为零，可以由极限证明。
可以根据曲线的导数的定义，极限的形式如下：lim (x→x)DF(x,f(x))/Dx=0从而可以得到极线斜率为零的结论，从而证明极线的定义和性质。
最后，可以使用乘法法则证明两条极线性质。
二次曲线的切线与弦长
二次曲线的切线与弦长李嘉元（大理学院数学系，云南大理６７１０００）【摘要１二次曲线是解析几何研究的重要对象之一，而它的切线与弦的长度是二次曲线的两个非常重要的问题，本文对这两个问题给出相应的计算公式。
【关键词】二次曲线；切线；弦长；计算公式中图分类号：０２４１．６文献标识码：Ａ文章编号：ｃＮ５３—１１８０（２００２）０４—００２１一０２ｌ引言在解析几何的讨论和学习过程中，我们经常遇到讨论二次曲线的切线与弦长的问题，而这类问题探讨起来一般情况下计算量较大，比较复杂。
本文将给出相应的计算公式，使问题变得较为简单。
２二次曲线的切线二次曲线的一般方程为Ｆ（ｘ，Ｙ）＝ａｌｌｆ＋瓠２ｘｙ＋妞ｙ２＋砜３ｘ＋２劫ｙ＋曲，＝０（１）点（‰，峋）是（１）上的一个点。
下面我们来求通过点（Ｋ，ｙ０）且与（１）相切的切线的方程。
设过点（）（。
，ｖ０）的切线方程为（Ⅱｌｌ凳＋２口１２ｘＹ＋毗２铲）亡＋２｛（ｑ１１‰＋。
１ｄ。
＋Ⅱ】ｊｊｘ＋ｒｍ２勘＋Ⅱ２ｍ＋蚴ｊ列Ｅ＋ｒ嘞Ｊ蔚＋瓦Ｊ删ｙｏ＋ｑ２２菇＋２啦撕＋２毗批＋锄３，－ｏ（３）为计算方便，我们令ｎｒ％，∥＝ｍｍ＋８ｊｍ＋ｎⅡ疋ｆ勒，刊＝口Ｊ２肋＋啦啪＋蚴，由（ｘ．Ｙ）＝知凳＋２啦２ｘＹ＋啦譬则ｆ引可写成西｛Ｘ，Ｙ）·亡＋２、Ｆｌ（勒，如）·ｘ＋Ｆ２《渤．ｙ０）【收稿日期】：２００２—０６一１９【作者简介】：孛嘉元（１％５一），男（白族），云南洱源人讲师，主要从事数学教学研究·Ｙ１‘＋Ｆ｛‰，如）＝ｏｔ４ｊ要使ｒ２Ｊ成为二次曲线ｆ＂的切线的条件，当圣ｆ盖，ｙ）≠Ｏ时是△＝［ｘ—ｒ知，仲ｊ＋ｌＲｒ劫，ＫＪ］２一中ｒｘ，¨Ｆ（‰．靳ｌ＝ｏ｛．５１焦（靳，枷）在ｌ１）上，‘Ｆ（‰，如）＝ｏ砒（５》为ｘＦｌ《靳，№）＋ＹＦ２《‰，扣）＝ｏｉ６）当中ｒ五列＝Ｄ时，直线ｒ２ｊ成为二次曲线ｒ，Ｊ的切线的条件除了Ｆｒ∞，抑Ｊ＝０外，唯一的条件仍然是ｆ酬如果ｎｒ％，如Ｊ与托ｒ∞，肋Ｊ不全为零．那么由ｒ６Ｊ得：ｘ：Ｙ＝Ｆ２（‰，ｖｏ）：（一Ｆ１｛‰，如）），鼠此过ｆ‰，恂）的切线方程为：ｆｘ＝‰＋Ｒｒ勘，川ｌ或写成Ｉｙ；ｙ一一ｆ勘，ｙｏ）ｔｌｘ一‰）Ｆｌ｛％。
第13章曲线的切线、弧长和曲率
第13章曲线的切线、弧长和曲率第13章曲线的切向量、弧长和曲率曲线的概念：曲线是点按照某⼀规律在空间中运动的轨迹. ⼀、平⾯曲线的⼏种表⽰⽅法1° 显表达式：函数)(x f y =的图象)(f G 说成是⼀段曲线，)(x f y =是该曲线的表达式.如果某曲线是函数)(x f y =的图象，则)(x f y =称为该曲线的显表达式. 2°隐表达式：如果曲线上的点是由⽅程0),(=y x F 的解),(y x 所构成，则⽅程0),(=y x F 称为该曲线的隐表达式.例如：0),(222=-+=a y x y x F 表⽰⼀个圆的曲线， 0),(=++=c by ax y x F ，)0(22>+b a 表⽰⼀个直线. 3°曲线的参数表⽰：如果曲线上的点可由??==)()(t y y t x x ,],[βα∈t 的点),(y x 来描绘,称它为该曲线的参数表⽰.例如:圆有参数表达式sin ,cos x a t y a t =??=?,[0,2]t π∈,或 2221,121t x a t t y a t ?-=??+?=+),(+∞-∞∈t .4°曲线的极坐标表⽰：βθαθ≤≤=),(r r . ⼆、空间曲线的表⽰⽅法1°参数表⽰法：由 ??===)()()(t z z t y y t x x ， ],[βα∈t所形成的点)),(),(),((t z t y t x 描绘出空间中的⼀条曲线，称它为该曲线的参数表⽰. 2° 曲线的向量表⽰法向量：既有⼤⼩⼜有⽅向的量称为向量.向量的表⽰：),,(z y x r = .向量),,(z y x r =的长度，记为222z y x r ++=，把参数曲线??===)()()(t z z t y y t x x ， ],[βα∈t ，改写成向量形式 ))(),(),(()(t z t y t x t r r ==，],[βα∈t ,两者表⽰的是同样⼀条曲线.))(),(),(()(t z t y t x t r r ==([,])t αβ∈称为该曲线的向量⽅程.定义如果)(),(),(t z z t y y t x x ===都是区间],[βα上的连续函数，那么曲线))(),(),(()(t z t y t x t r r ==([,])t αβ∈称为连续曲线.三、曲线切向量和切线⽅程以下假设))(),(),(()(t z t y t x t r =中的三个分量有我们所需要的各阶导数. 1°曲线切向量的定义及求法（1）定义t t r t t r t r t t ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0为曲线的切向量，⽤)(t r ' 来表⽰.（2）切向量的求法()),(,)(),(),()(βα∈'''='t t z t y t x t r特别对平⾯曲线，①曲线Γ：))(),(()(t y t x t r = ，切向量(),)(),()(t y t x t r ''='k t x t y dx dy =''=)()(为切线斜率。
二次曲线的切线问题
二次曲线的切线问题洪江摘要：本文针对历年来的二次曲线的切线这个高考热点问题进行探讨。
其中主要介绍椭圆、双曲线、抛物线这三种二次曲线。
文中概述了切点在曲线上和曲线外时切线的求法，并以高考题目作为例子进行论述。
随后本文还讨论了切点所带来的切点弦问题、切点弦方程的求法及应用的关键。
最后还提出和总结了几种二次曲线中与切线相关的小性质，并且说明了其来源。
关键词：二次曲线；椭圆；双曲线；抛物线；切线；切点弦；性质An Study on Tangent Lines of ConicHongjiangAbstract: This study intends to discuss tangent lines of conic which has been a hot topic in National College Entrance Examination since these years. Firstly, it mainly exam Three parts of conic—Ellipse, Hyperbola, Parabola. This study summarizes ways to get tangent pains either on the curve or out of it and it also uses questions from NCEE to support it. Secondly, in this study, we discuss chord of contact which follows the tangent point, methods to work out equation of the cut point and how to use well. Finally, it also finds and summarizes some qualities of conic and shows their origins.Key words: Conic, Ellipse, Hyperbola, Parabola, Tangent, Quality二次曲线在高考中占着很重要的地位，往往是作为压轴题出场，特别是近年来其切线问题的应用的综合性问题更是一个热点。
代数几何中的代数曲线理论研究
代数几何中的代数曲线理论研究代数几何是数学领域中的一个重要分支，研究了代数方程与几何图形之间的联系。
代数曲线理论是代数几何的核心内容之一，研究了曲线的性质、分类以及在其他数学领域中的应用。
本文将介绍代数几何中的代数曲线理论研究的一些基本概念和主要结果。
一、代数曲线的定义代数曲线是由一个或多个多项式方程组成的平面曲线。
一般地，设有一个齐次多项式F(x, y) = 0，其中F(x, y)是含有变量x和y的多项式。
如果F(x, y)的次数至少为1，那么F(x, y) = 0定义了一个代数曲线。
二、代数曲线的性质1. 零点集合：对于一个多项式方程F(x, y) = 0，它的零点集合可以表示为一个代数曲线。
反之，对于一个代数曲线，可以找到一个多项式方程F(x, y) = 0使得该代数曲线为F(x, y)的零点集合。
2. 非奇异性：一个代数曲线在其上的每一点处的切线都存在且唯一。
非奇异性是代数曲线理论中一个重要的性质，它使得代数曲线可以通过切线的性质进行研究。
3. 奇点：一个代数曲线的奇点是指该曲线上的某个点处，曲线在该点的切线不存在或者不唯一。
奇点是代数曲线理论中一个重要的概念，通过研究奇点可以揭示代数曲线的局部性质。
三、代数曲线的分类代数曲线可以按照其性质和形状进行分类。
常见的分类包括：1. 直线：由一次多项式方程所定义的代数曲线称为直线。
直线具有简单的性质和形状，是代数几何研究中最基本的对象之一。
2. 抛物线：由二次多项式方程所定义的代数曲线称为抛物线。
抛物线是一种常见的曲线形状，具有很多重要的性质和应用。
3. 椭圆和双曲线：由二次多项式方程所定义的代数曲线称为椭圆和双曲线。
椭圆和双曲线是代数几何中的重要对象，它们在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
4. 椭圆曲线：由三次多项式方程所定义的代数曲线称为椭圆曲线。
椭圆曲线是代数几何中的重要研究对象，它具有丰富的数论性质和密码学应用。
四、代数曲线理论的应用代数曲线理论在很多数学领域以及其他学科中都有广泛的应用。
解析几何课5二次曲线
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2. ( X , Y ) 0，这时又可分三种情况 ：
1 F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y 0. 此 时(4)是 关 于t的 一 次 方 程 , 直 线( 2)与 二 次 曲 线 (1)有 唯 一 实交点 . 2 F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y 0.
定义5.2.3 如果点C是二次曲线的通过它的所有 弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫 做二次曲线的中心. 定理5.2.1 点C(x0 ,y0)是二次曲线(1)的中心，其 充要条件是： F1 ( x0 , y0 ) a11 x0 a12 y0 a13 0 (5.2 1) F2 ( x0 , y0 ) a12 x0 a22 y0 a23 0 推论 坐标原点是二次曲线的中心，其充要条 件是曲线方程里不含x与y的一次项.
F2(x0,y0)=0的点(x0,y0)叫做二次曲线的奇异点，简称 奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常 点.
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定理5.3.1 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点， 那么通过(x0,y0)的切线方程是 (x-x0)F1 (x0,y0)+ (y-y0)F2 (x0,y0)=0， (x0,y0)是它的切点. 如果(x0,y0)是 二次曲线(1)的奇异点，那么通过(x0,y0)的切线不确 定，或者说过点(x0,y0)的每一条直线都是二次曲线(1) 的切线. 推论 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么 通过(x0,y0)的切线方程是：
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§5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线
1.二次曲线的渐近方向 定义5.2.1满足条件Φ(X,Y)=0的方向X:Y叫做 二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向. 定义5.2.2没有实渐近方向的二次曲线叫做 椭圆型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做 抛物线型的，有两个实渐近方向的二次曲线叫 做双曲型的. 即1)椭圆型：I2>0 2)抛物型： I2＝0 3)双曲型： I2<0
解析几何综合复习题
综合复习题一、填空题1. __只有大小的量______________________________________ 叫做数量 ;2. __既有大小又有方向的量______________________________________ 叫做矢量 ;3. __模等于1的矢量___________________________________ 叫做单位矢量 ;4. 平行于同一直线的一组矢量叫做 _共线_______________ 矢量 ;5. 平行于同一平面的一组矢量叫做 __共面_______________ 矢量 ;6. 两矢量共线的充要条件是它们线性 ___相关________________ ;7. 三矢量不共面的充要条件是它们线性 ______无关___________ ;8. __________方向角的余弦__________________________ 叫做方向余弦 ;9. 两矢量a⊥b充要条件是 ____a_*b＝0____________________ ;10. 三矢a,b,c量共面的充要条件是 ______(a×b)*c=0_______________ ;11. 两矢量a∥b的充要条件是 _a×b=0,或对应分量成比例 ;12. 矢量与坐标轴所成的角叫做 _方向角;13. 把平面上的一切单位矢量归结到共同的始点,则它们的终点构成____单位圆 ;14. 把空间中一切单位矢量归结到共同的始点,则它们的终点构成单位球面__ ;15. 方程叫做空间曲线的 ______________ 方程 ;16. 坐标平面yOz的方程是 _____________________________ ;17. 坐标平面xOz的方程是 ______________________________ ;18. 坐标平面xOy的方程是 _____________________________ ;19. 方程叫做曲面的 ______________________ 方程 ;20. 空间直线的标准方程为______________________________ ;21. 两平面A i x+B i y+C i z+D i＝0 (i=1, 2)相互垂直的充要条件是___________________ ;22. 点M0(x0, y0, z0)到平面Ax+By+Cz+D＝0的距离是 _______ ;23. 平面的一般方程是 _________________________ ;24. 直线的方向余弦cosα, cosβ, cosγ满足的关系式为_________ ;25. 给定直线l：＝＝和平面π：Ax+By+Cz+D＝0, 则l与π相交的充要条件是 ________________________ ;26. 直线l与平面π平行的充要条件是 _____________________ ;27. 直线l在平面π上的充要条件是_______________________;28. 给定l i：＝＝ (i＝1, 2), 则l1与l2异面的充要条件是___________________________ ;29. 直线l1与l2相交的充要条件是 ________________________ ;30. 直线l1与l2平行的充要条件是 _________________________ ;31. 直线l1与l2重合的充要条件是 _________________________ ;32. 空间中通过同一直线的所有平面的集合叫做 ____________ ;33. 空间中平行于同一平面的所有平面的集合叫做 __________ ;34. 在空间, 由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫做____________________;35. 在空间, 过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做___________ ;36. 在空间, 一曲线绕定直线旋转一周所产生的曲面叫做 __________________ ;37. 在直角坐标系下, 椭球面的标准方程是 ________________________ ;38. 在直角坐标系下, 单叶双曲面的标准方程是 ____________________ ;39. 在直角坐标系下, 双叶双曲面的标准方程是 ____________________ ;40. 在直角坐标系下, 椭圆抛物面的标准方程是 ____________________ ;41. 在直角坐标系下, 双曲抛物面的标准方程是 ____________________ ;42. 柱面、锥面、椭球面、单叶（双叶）双曲面、椭圆（双曲）抛物面中是直纹曲面的有 ___________ _____________________;43. 单叶双曲面过一定点的直母线有 ___________ 条;44. 满足条件Φ (X, Y)≠0的方向叫做二次曲线的 ___________ ;45. 没有实渐近方向的二次曲线叫做 __________________ 型曲线;46. 有两个实渐近方向的二次曲线叫做 __________________ 型曲线;47. 只有一个实渐近方向的二次曲线叫做 __________________ 型曲线;48. 有唯一 __________________ 的二次曲线叫做中心二次曲线;49. 没有中心的二次曲线叫做 __________________ 二次曲线;50. 有一条中心直线的二次曲线叫做 __________________ 二次曲线;51. 二次曲线F (x, y)＝0的奇点(x0, y0)满足的条件是 ________________ ;52. 二次曲线一族平行弦中点的轨迹叫做二次曲线的 _______________ ;53. ___________ 二次曲线的直径都过二次曲线的中心;54. 无心二次曲线的直径都 ___________ 二次曲线的渐近方向;55. 线心二次曲线的直径只有一条,即二次曲线的 ___________ ;56. 二次曲线垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的 ______________ ;57. 二次曲线的特征根都是 ____________________________ ;58. 二次曲线特征根不能 ____________________________ ;59. 中心二次曲线至少有 ________________________ 条主直径;60. 非中心二次曲线中只有 ______________________ 条主直径;61. ___________ 二次曲线可分类为椭圆、虚椭圆、双曲线、点、二条相交直线;62. ____________________________ 二次曲线的图像是抛物线;63. ___________ 二次曲线可分类为两平行直线、两平行共轭虚直线、两重合直线;二、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）1. 若, 共线，, 共线，则, 也共线; （）2. 若, , 共面，, , 共面，则, , 共面;（）3. , , 中，若, 共线, 则, , 共面; （）4.平行于同一方向的两矢量相等；（）5. 位移、力、速度和加速度都是数量; （）6. 所有零矢量都相等; （）7. 自由矢量就是方向和模任意的矢量; （）8. 零矢量的方向一定; （）9.在自由矢量的意义下, 平行于同一平面的一组矢量不能在同一平面上；（）10. 彼此平行且有共同始点的一组矢量一定在同一条直线上; （）11. 若≠，则表示与同方向的单位矢量; （）12. 若⊥，则 |+|＝|－|; （）13. 若, 同向，则 |+|＝||+||; （）14. 若, 反向，则 |－|＝||+||; （）15. 若, 反向, 且||≥||，则 |＋|＝||－||; （）16. 若, 同向, 且||≥||，则 |－|＝||－||; （）17. 第I卦限内点 (x, y, z) 的符号为 (+, ―, ―); （）18. 第II卦限内点 (x, y, z) 的符号为 (+, +, ―)；（）19. 第III卦限内点 (x, y, z) 的符号为 (－, +, ―); （）20. 第IV卦限内点 (x, y, z) 的符号为 (－, ― ,+); （）21. 射影矢量＝(射影) ；（）22. 射影＝|| cos∠(, )；（）23. 射影(＋)＝射影+射影；（）24. 射影(λ)＝λ射影；（）25. 在{O;,,,}下, ＝X＋Y＋Z, 则射影＝Y; （）26. 两坐标面xOy与yOz所成二面角的平分面方程是x+y=0; （）27. 两坐标面xOy与yOz所成二面角的平分面方程是x－z＝0; （）28. 两坐标同xOy与xOz所成二面角的平分面方程是x＋z＝0; （）29. 两坐标面xOy与xOz所成二面角的平分面方程是y－z＝0; ( )30. 两坐标面xOz与yOz所成二面角的平分面方程是x－y＝0; ( )31. (＋)⋅＝⋅＋⋅; （）32. (λ)⋅＝⋅(λ)；（）33. ⋅＝2；（）34. －(×)＝×；（）35. ×＋×＝(＋)×；（）36. 平面的矢量式参数方程为＝+u+v；（）37. 平面的坐标式参数方程为（）38. 平面的一般方程为Ax+By+Cz+D＝0；（）39. 平面的法式方程为x cosα+y cosβ+zcosγ+p＝0；（）40. 平面的截距式方程为＋＋＝0；（）41. 空间直线与平面的位置关系有相交和平行两种；（）42. 空间两直线的位置关系有平行、重合、相交三种；（）43. 两平面的位置关系有平行、相交、重合三种；（）44. 点到平面的离差等于点到平面的距离；（）45. 平面Ax+By+Cz+D＝0通过原点的充要条件是D=0; （）46. 将椭圆绕x轴所得旋转曲面方程为：++＝1；（）47. 将椭圆绕y轴所得旋转曲面方程为：++＝1; （）48. 将双曲线绕z轴所得旋转曲面方程为：+－＝1；（）49. 将双曲线绕y轴所得旋转曲面方程为：－－＝1；（）50. 将抛物线绕z轴所得旋转曲面方程为：x2+y2＝2pz；（）51. 二次曲线的中心就是它的奇点；（）52. 若M是二次曲线的奇点, 则该二次曲线过M的切线是唯一的; （）53. 二次曲线的一族平行弦中点的轨迹是一条直线；（）54. 经过移轴变换可以消去二次曲线方程中的xy 项；（）55. 在任意转轴变换下, 二次曲线新旧方程的一次项系数满足；（）56. F(x, y)＝xF1(x, y)+yF2(x, y) +F3(x, y)；（）57. F(x, y)＝Φ(x, y)+2a13x+2a23y+a33；（）58. 在直线方程Ax+By+C＝0中, 若A, B, C与三个实数成比例，则该直线为虚直线；（）59. 二次曲线的奇点满足F1 (x, y)＝F2 (x, y)＝F3 (x, y)＝0；（）60. Φ (x, y)＝x (a11x＋a12y)＋y (a12x＋a22y)；（）三、选择题（从四个备选答案中选出唯一正确的一个）1. 两个矢量是否相等，由它们的（）决定.A. 始点;B. 模;C. 方向;D. 模和方向.2. 若, , 共面，, , 共面，则, , （）共面.A. 不一定;B. 一定; B. 一定不; D. 共线.3. 把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点，则它们的终点构成（）A. 一点;B. 线段;C. 直线;D. 射线.4. 下列等式中不成立的是（）A.+＝＋；B. ⋅＝⋅;C. ×＝×;D. λ (μ)＝μ (λ).5. 关于零矢量的描述不正确的是（）A. 模不定;B.方向不定;C. 模为0;D.模定方向不定.6. 非零矢量与的下列关系中不正确的是（）A. ＝;B. ＝;C. ||＝;D. ||＝1.7. 第VIII卦限的点 (x, y, z) 的符号是（）A. (＋, ＋, ＋);B. (―, ―, ―)C. (＋, ―, ―)D. (－, ＋, ＋).8. 下列等式中错误的是（）A. ⋅＝||||cos∠(, );B. ⋅＝||射影;C. ⋅＝||射影;D. ⋅＝||⋅||9. 下列等式错误的是（）A. ⋅＝||2;B. 2＝||2;C. ||＝;D. ＝.10. ×＋×+×＝（）A. 0;B. 3;C. 1;D. .11. ⋅＋⋅＋⋅＝（）A. 0;B. 3;C. ;D. 1.12. 若, , 两两相互垂直，且模均为1，则++的模为（）A.; B.3; C.0; D. 1.13. 下列运算不满足交换律的是（）A. 矢性积;B. 数性积;C. 矢量加法;D. 数量乘法.14. 方程在空间表示（）A. yOz面;B. xOy面;C. z轴;D. x轴.15. 在空间，y轴的方程不能写成（）A. B. ; C. y＝0; D. ＝＝.16. 平面的矢量式参数方程是（）A. ++＝1;B. Ax+By+Cz+D＝0;C. x cosα+y cosβ+z cosγ－p＝0;D.＝＋u+v.17. 平面的法式方程是（）A. ++＝1;B. Ax+By+Cz+D＝0;C. x cosα+y cosβ+z cosγ－p＝0;D. ＝+u+v.18. 平面的截距式方程是（）A. ++＝1;B. Ax+By+Cz+D＝0;C. x cosα+y cosβ+z cosγ－p＝0;D. ＝+u+v.19. 平面的一般方程是（）A. ++＝1;B. Ax+By+Cz+D＝0;C. x cosα+y cosβ+z cosγ－p＝0;D. ＝+u+v.20. 平面的法式方程中的常数项必满足（）A. ≤0;B. ≥0;C. <0;D.>0.21. 将平面方程Ax+By+Cz＝0化为法式方程时，法式化因子的符号（）A. 任选;B. 与B异号;C. 与A异号;D.与C异号.22. 点M0与平面π间的离差δ＝－2, 则M0到π的距离d为（）A. －2;B. 2;C.－1;D. 1.23. 直线的坐标式参数方程是（）A. ＝＝;B.C. D.＝＝.24. 直线的标准方程是（）A. ＝＝;B.C. D.＝＝.25. 直线的两点式方程是（）A. ＝＝;B.C. D.＝＝.26. 直线的一般方程是（）A. ＝＝;B.C. ;D.＝＝.27. 直线通过原点的条件是其一般方程中的常数项D1, D2满足（）A. D1＝D2＝0;B. D1＝0, D2≠0;C. D1≠0, D2＝0;D. D1≠0, D2≠0.28. 直线的方向角α, β, γ不满足关系式（）A. cos2α+cos2β+cos2γ＝1;B. sin2α+sin2β+sin2γ＝1;C. sin2α+sin2β+sin2γ＝2;D. cos2(π－α)+cos2(π－β)+cos2(π－γ)＝1.29. 两平面2x+3y+6z+1＝0与4x＋6y＋12z＋1＝0之间的距离是（）A. 0;B.C.D..30. 设直线与此同时三坐标面的夹角为λ, μ, v, 则下列式子中不成立的是（）A. sin2λ+sin2μ+sin2ν＝1;B. cos2λ+cos2μ+cos2ν＝2;C. cos2λ+cos2μ+cos2ν＝1;D. sin2(π－λ)+sin2(π－μ)+sin2(π－ν)＝1.31. 关于x－x0, y－y0, z－z0的二次齐次方程表示（）A. 柱面;B. 顶点在(x0, y0, z0)的锥面;C. 旋转曲面;D.平面.32. 将曲线Γ: 绕y轴旋转一周所得旋转曲面的方程为（）A. F＝0;B. F＝0;C. F＝0;D. F＝0.33. 将曲线Γ：绕x轴旋转一周所得旋转曲面的方程为（）A. F;B. F＝0;C. F＝0;D. F＝0.34. 将曲线Γ：绕z轴旋转一周所得旋转曲面的方程为（）A. F;B. F＝0;C. F＝0;D. F＝0.35. 将曲线Γ：绕z轴旋转一周所得旋转曲面的方程为（）A. x2+y2＝2z;B. x2+z2＝2y;C. y2+z2＝2x;D. y2＝.36. 下列方程中表示单叶双曲面的是（）A. ++＝1;B. +－＝1;C. +－＝－1;D. －－＝1.37. 椭球面++＝1与xOy坐标面的交线方程为（）A. +＝1;B.;C. z＝0;D. .38. 下列方程中表示双叶双曲面的是（）A. －－＝－1;B. －+＝1;C. －－＋＝1;D. +－＝1.39. 下列方程中表示双曲抛物面的是（）A. x2+y2＝2z;B. 3x2－2y2＝z；C. x2－y2＝z2;D. x2+y2＝z2.40. 二次曲线方程通过移轴变换后不变的是（）A. 二次项系数;B. 一次项系数;C. 常数项;D. 都不变.41. 二次曲线方程通过转轴变换后不变的是（）A. 二次项系数;B. 一次项系数;C. 常数项;D. 都不变.42. 下列曲面中是直纹曲面的是（）A. 椭球面;B. 柱面;C. 球面;D. 双叶双曲面.43.已知二次曲线方程中Φ(x,y)＝x2+2x y+y2,则I2＝（）A. 1;B. 0;C. －1;D. 2.44.已知二次曲线方程中Φ(x,y)＝x2+2x y+y2,则I1＝（）A. 1;B. 0;C. －1;D. 2.45. 中心二次曲线至少有（）条主直径.A. 1;B. 2;C. 3;D. 4.46. 二次曲线的奇点（）是它的中心.A. 不一定;B. 一定不;C. 一定;D. 以上都不对.47. 有奇点的二次曲线一定是（）A. 中心曲线;B. 无心曲线;C. 线心曲线;D.圆.48. 二次曲线的特征根（）A不全为0; B. 全不为0; C.全为0; D. ≥0.49. 二次曲线的特征根（）A. 都是虚数;B. 都是实数;C. 一实一虚;D. 全为0.50. 椭圆+＝1的一对共轭直径的斜率k与k'满足（）A. kk'＝;B. kk'＝－;C. kk'＝－;D. kk'＝.51. 二次曲线在直角坐标变换下的半不变量为（）A. I1;B. I2;C. I3;D. K1.52. 简化方程为I1 y2+＝0的二次曲线是（）A. 中心曲线;B. 无心曲线;C. 线心曲线;D. 圆.53. 二次曲线表示两条直线（实的或虚的,不同的或重合的）的充要条件是（）A. I1＝0;B. I2＝0;C.I3＝0;D. K1＝0.四、计算题1. 求通过点P (1, 1, 1)且与直线l1：＝＝, l2: ＝＝都相交的直线方程.2. 求异面直线l1：＝＝与l2: ＝＝的公垂线方程.3. 求通过直线且与平面x－4y－8z＋12＝0垂直的平面方程.4. 求通过点A (－3, 0, 1)和B (2, －5, 1)的直线方程.5. 求平行于平面3x+2y+z=0且在x轴上截距等于－2的平面.6. 已知一平面过M0(x0, y0, z0) (z0≠0), 且在x轴、y轴上的截距分别为a, b(ab≠0), 求其方程.7. 求二次曲线x2－2xy＋y2－1＝0 的渐近方向,并指出其类型.8. 求二次曲线2x2＋xy－y2－x＋y－1＝0的渐近线.9. 如图,求直角△ABC的斜边AC绕直角边AB旋转所得圆锥面的方程(∠BAC＝α).10. 求二次曲线F (x, y) ≡x2－2xy＋y2－4x＝0 的主方向与主直径.11. 求椭圆＋＝1 的主方向与主直径.12. 求双曲线－＝1的主方向与主直径.13. 在双曲抛物面－＝z上求平行于平面3x+2y－4z＝0的直母线.14. 求二次曲面F(x, y, z)≡2xy+2xz+2yz+9＝0 的主方向与主径面.15. 求二次曲面F(x, y, z)≡5x2+2y2+2z2－2xy＋2xz－4yz－4y－4z＋4＝0的奇向.16. 求以直线＝＝为轴, 半径为r的圆柱面方程.17. 求二次曲面－＋＝1 与三坐标面的交线方程,并指出其名称.18. 已知各锥面的顶点在原点,准线为,求锥面的方程.19. 求二次曲线x2－xy－y2－x－y＝0 与x2+2xy+y2－x＋y＝0的公共直径.五、证明题1. ⊥的充要条件是⋅＝0.2. //的充要条件是×＝.3. (⋅)2+(×)2＝22.4. 若×+×+×＝, 则, , 共面.5. 若二次曲线的I1＝0, 则I2<0.6. 二次曲线的特征根不全为0.7. 二次曲线的特征根全是实数.8. 由二次曲线的特征根λ≠0确定的主方向X:Y是二次曲线的非渐近方向.9. 由二次曲线的特征根λ＝0确定的主方向X:Y是二次曲线的渐近方向.10. 在任意转轴变换下, 二次曲线新旧方程的一次项系数满足.11. 二次曲线x2+2xy+ay2+x+by－4＝0有一条中心直线的充要条件是a＝b＝1.12. 两条二次曲线x2－xy＋y2+2x－4y＝0与 5x2+4xy+2y2－24x－12y＋18＝0 的中心在直线x+2y－4＝0上.13. 两条二次曲线x2－2xy+y2+4x－4y－3＝0 与x2－xy+y2+2x－4y＝0的公共直径为x－y＋2＝0.14. 中心二次曲线ax2+2hxy+ay2＝d 的两条主直径为x2－y2＝0.15. 二次曲线两不同特征根确定的主方向相互垂直.16. 已知直线l：与π：4x－3y＋7z－7＝0, 试证直线l在平面π上.17. 试证两直线＝＝与＝＝为异面直线.六、化简二次曲线方程,并作出图形.1. x2－3xy＋y2＋10x－10y+21＝0.2. 2xy－4x－2y＋3＝0.3. x2－xy＋y2＋2x－4y＝0.4. x2+6xy＋y2＋6x+2y－1＝0.5. 5x2+8xy＋5y2－18x－18y＋9＝0.6. x2－2xy＋y2＋2x－2y－3＝0.7.x2+2xy＋y2＋2x＋y＝0.综合复习题答案一、1. 只有大小的量;2. 既有大小、又有方向的量;3. 模等于1的矢量;4. 共线矢量;5. 共面矢量;6. 相关;7. 无关;8. 方向角的余弦;9. ＝0;10. ()=0, 或线性相关;11. ×＝,或对应分量成比例;12. 方向角;13. 单位圆;14. 单位球面;15. 一般;16. x＝0;17. y＝0;18. z＝0;19. 参数;20. ＝＝;21. A1A2+B1B2+C1C2＝0;22. d＝;23.Ax+By+Cz+D＝0 (A, B, C不全为0);24. cos2α+cos2β+cos2γ＝1;25.AX+BY+CZ≠0;26. AX+BY+CZ＝0, Ax0+By0+Cz0+D≠0;27. AX+BY+C＝0, Ax0+By0+Cz0+D＝0;28. ∆＝≠0;29. ∆＝0, X1:Y1:Z1≠X2:Y2:Z2;30. ∆＝0, X1:Y1:Z1＝X2:Y2:Z2 ≠ (x2－x1):(y2－y1):(z2－z1);31. ∆＝0, X1:Y1:Z1 = X2:Y2:Z2＝(x2－x1):(y2－y1):(z2－z1);32. 有轴平面束;33.平行平面束;34. 柱面;35. 锥面;36. 旋转曲面;37. ++＝1 (a≥b≥c>0);38. +－＝1 (a>0, b>0, c>0);39. +－＝－1 (a>0, b>0, c>0);40. +＝2z (a>0, b>0);41. －＝2z (a>0, b>0);42. 柱面,锥面,单叶双曲面,双曲抛物面;43. 两条;44. 非渐近方向;45. 椭圆;46. 双曲;47. 抛物;48. 中心;49. 无心;50. 线心;51. F1 (x0, y0)＝F2 (x0, y0)＝F3 (x0, y0)＝0;52. 直径;53. 中心;54. 平行于;55. 中心直线;56. 主直径;57. 实数;58. 全为零;59. 两;60. 一;61. 中心;62. 无心;63. 线心;二、1. √;2. ×;3. √;4. ×;5. ×;6. √;7. ×;8. ×;9. ×; 10. √;11. √; 12. √; 13. √; 14. √; 15. √; 16. √; 17. ×; 18. ×; 19. ×; 20. ×;21. √; 22. √; 23. √; 24. √; 25. √; 26. ×; 27. √; 28. ×; 29. √; 30. √;31. √; 32. √; 33. √; 34. √; 35. √; 36. √; 37. √; 38. √; 39. ×; 40. ×;41. ×; 42. ×; 43. √; 44. ×; 45. √; 46. √; 47. √; 48. √; 49. √; 50. √;51. ×; 52. ×; 53. √; 54. ×; 55. √; 56. √; 57. √; 58. ×; 59. √; 60. √.三、1. D;2. A;3. C;4. C;5. A;6. B;7. C;8. D;9. D; 10. D; 11.B; 12. A; 13. A; 14. C; 15. C; 16. D; 17. C; 18. A; 19. B; 20. A;21. A; 22. B; 23. B; 24. A; 25. D; 26. C; 27. A; 28. B; 29. D; 30. C;31. B; 32. D; 33.A; 34. B; 35.A; 36.B; 37.D; 38. C; 39. B; 40. A;41. C; 42. B; 43. B; 44. D; 45. B; 46. C; 47. C; 48. A; 49. B; 50. C;51. D; 52. C; 53. C.四、1. ＝＝;2.(z轴);3. 4x+5y－2z＋12＝0;4. ＝＝;5. 3x+2y+z+6=0;6.设所求平面在z轴上的截距为c≠0,则所求平面方程为++=1, 因平面过M0 (x0, y0, z0),于是++＝1, ＝ (1－－), 故所求平面为++ (1－－)＝1;7. (－1):1, 抛物型;8. 3x+3y－2＝0, 6x－3y－1＝0;9. 提示：取A为原点,AB为z轴, ABC所在平面为yOz面建立坐标系, 设B的坐标为(0, 0,a), 则AC的方程为, 从而得锥面方程为ctg2α (x2+y2)－z2＝0 (0≤z≤a);10. (－1):1(非渐近主方向), 1:1(渐近主方向), x－y－1＝0;11. 1:0, 0:1, x＝0, y＝0;12. 1:0, 0:1, x＝0, y＝0;13. 与；14. 1:1:1及与平面x+y+z＝0平行的一切方向;x+y+z＝0及过中心(0, 0, 0)且垂直于x+y+z ＝0 的一切平面;15. 0:1:1;16. (ny－mz)2+(lz－nx)2+(mx－ly)2＝r2 (l2+m2+n2);17. (双曲线); (椭圆); (双曲线);18. －－＝0;19. 5x+5y+2＝0;20. 2x+3y+z+4＝0.五、略.六、1. 由坐标变换公式得：－＝1(双曲线).2. 由坐标变换公式得：x'2－y'2。
高等数学公式
ax v vv v v v 向量的混合积： [ a b c ] = ( a × b ) ⋅ c = bx cx
v v v bz = a × b ⋅ c cos α ,α为锐角时，
代表平行六面体的体积。
平面的方程： v 1、点法式：A( x − x0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z0 ) = 0，其中n = { A, B, C}, M 0 ( x0 , y0 2、一般方程：Ax + By + Cz + D = 0 x y z 3、截距世方程： + + = 1 a b c 平面外任意一点到该平面的距离：d = Ax0 + By0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2
三角函数公式： 三角函数公式： ·诱导公式： 诱导公式： 函数 角A sin cos tg ctg
-α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α
-sinα cosα cosα sinα -sinα -cos α -cos α -sinα sinα
2 2
(tgx ) ′ = sec 2 x ( ctgx ) ′ = − csc 2 x (sec x ) ′ = sec x ⋅ tgx (csc x ) ′ = − csc x ⋅ ctgx ( a x ) ′ = a x ln a 1 (log a x ) ′ = x ln a
1 − x2 1 (arccos x)′ = − 1− x2 1 (arctgx)′ = 1+ x2 1 (arcctgx)′ = − 1 + x2
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(5.3－1) (5.3－2)
( x − x0 ) F1 ( x0 , y 0 ) + ( y − y 0 ) F2 ( x0 , y 0 ) = 0
如果 F1 ( x0 , y 0 ) = F2 ( x0 , y 0 ) = 0，那么（7）变为恒等式，任意的方向 X : Y 都是二次曲线的切方向，从而切 线不确定，通过点 M0 (x0，y0)的任意直线都是二次曲线的切线． .2 二次曲线（1）上满足条件 F1 ( x0 , y 0 ) = F2 ( x0 , y 0 ) = 0 的点 (x0，y0) 叫做二次曲线的奇异点，简 定义 5.3 5.3.2 称为奇点．二次曲线上的非奇异点叫做二次曲线的正常点． .1 命题 5.3 5.3.1 如果 (x0 ， y0) 是二次曲线（ 1 ）的正常点，那么二次曲线通过点 ( x0 ， y0 ) 的切线方程是
§5.3 二次曲线的切线
.1 如果直线与二次曲线交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，重合的交 定义 5.3 5.3.1 点叫做切点．如果直线全部在二次曲线上，也称其为二次曲线的切线，此时直线上的每一点都可以看作切点． 设 M0 (x0，y0) 是二次曲线（1）上的任一点，则过 M0 的直线 l 的方程总可以写成（2）的形式： ⎧ x = x0 + X t ⎨ ⎩ y = y0 + Y t 代入（1）的方程得（5.2－1） ．欲使 l 成为（1）的切线，当 Φ ( X, Y ) ≠ 0 时，必须使判别式 Δ = [ XF1 ( x0 , y0 ) + YF2 ( x0 , y0 )] 2− Φ ( X , Y ) F ( x0 , y0 ) = 0 因为 M0 (x0，y0) 在二次曲线上，F (x0，y0 ) = 0，因而（6）变为 (6)
( x − x0 ) F1 ( x0 , y0 ) + ( y − y0 ) F2 ( x0 , y0 ) = 0 ，( x0，y0 ) 是它的切点．如果 ( x0，y0 ) 是二次曲线（1）的奇点，那么二
次曲线通过点 ( x0，y0 ) 的切线不确定，或者说通过点 ( x0，y0 ) 的每一条直线都是二次曲线（1）的切线． 推论 如果 (x0，y0 ) 是二次曲线（1）的正常点，那么二次曲线通过点 ( x0，y0 ) 的切线方程是
公式（5.3－3）具有便于记忆的特点．若确定了点 (x0，y0) 是二次曲线（1）的正常点，在（1）中把 x 2 用
整理即得（5.3－3） ．
x 0 x 代替，把 y 2 用 y 0 y 代替，把 xy 用 ( x0y ＋ xy0 ) / 2 代替，把 x 用 ( x ＋ x0 ) /2，y 用 ( y ＋ y0 ) /2 代替，最后得到
a11 x0 x + a12 ( x0 y + y0 x ) + a 22 y0 y + a13 ( x + x0 ) + a23 ( y + y0 ) + a33 = 0
证 把方程（5.3－2）改写为
(5.3－3)
xF1 ( x0 , y0 ) + yF2 ( x0 , y0 ) − [ x0 F1 ( x0 , y0 ) + y0 F2 ( x0 , y0 )] = 0
－
xy ＋ y2
－
1 = 0 通过点 (0，2) 的切线方程．
解法一 因为 F (0，2) = 3，所以点 (0，2) 不在曲线上，因而不能直接应用本节给出的切线公式． 过点 (0，2) 的直线方程可写成
Xt ⎧x = ⎨ ⎩ y = 2 + Yt
其中 t 为参数，X，Y 为直线的方向数，因为
F1 (0，2) = － 1，F2 (0，2) = 2
上式就是
xF1 ( x0 , y0 ) + yF2 ( x0 , y0 ) + F3 ( x0 , y0 ) = 0
即(8)x ( a源自1 x 0 + a12 y 0 + a13 ) + y ( a12 x 0 + a 22 y 0 + a 23 ) + ( a13 x 0 + a 23 y 0 + a 33 ) = 0
根据直线与二次曲线的相切条件（6）就得 [ − X + 2Y ] 2 － 3( X 2 − XY + Y 2 ) = 0 化简得 即 由此得 的切线方程为
X : Y = F2 ( x 0 , y 0 ) : (－ F1 ( x 0 , y 0 ) )
因此过二次曲线上的点 M0 (x0，y0 ) 的切线方程为 ⎧ x = x0 + F2 ( x0 , y0 )t ⎨ ⎩ y = y0 − F1 ( x0 , y0 )t 即 亦即
x − x0 y − y0 = F2 ( x0 , y0 ) − F1 ( x0 , y0 )
的就是二次曲线过正常点 ( x0，y0 ) 的切线方程． 容易证明，椭圆、抛物线和双曲线上没有奇点．因而对于椭圆和双曲线
x2 y 2 ± = 1 以及抛物线 y 2 = 2 px 上的 a 2 b2
一个正常点 ( x0，y0 )，这几种曲线过 ( x0，y0 )的切线方程是 x0 x y 0 y ± 2 = 1 ， y0 y = p ( x + x0 ) a2 b 我们得出的公式（5.3－3）不能解决点 (x0，y0) 不在二次曲线上时的切线的存在性以及切线存在时直接写出 切线方程的问题．这些问题以及与切线和奇点有关的本节没有涉及的其他问题，我们将在后面专门讨论． 在下例中，我们介绍一种间接的分析方法，以便对于给定的二次曲线 Γ，求 Γ 外一点的切线． 例 1 求二次曲线 x2
XF1 ( x0 , y0 ) + YF2 ( x0 , y0 ) = 0
外，惟一的条件仍然是（7） ．
(7)
当 Φ ( X, Y ) = 0 时， 若直线 l 是二次曲线 （1） 的切线， 则必定整条直线都在二次曲线上， 因而除了 F (x0，y0 ) = 0 于是当方向 X : Y 满足条件（7）时，直线（2）一定是过二次曲线上一点 M 0 (x0，y0 ) 的切线． 如果 F1 ( x0 , y0 ) 和 F2 ( x0 , y 0 ) 不全为零，那么由（7）有