线性代数行列式经典例题
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线性代数行列式经典例题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
线性代数行列式经典例题
例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.
解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，
1,1,
n a n =-，故
0111
02
12
n n n D n n --=
--1,1,,2
i i r r i n n --=-=
0111111
1
1
n ----
1,,1
j n c c j n +=-=
1
2
110
2
1
(
1)
2
(1)
20
1
n n n n n n ------=----
其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．
方法2
01110
21
2
n n n D n n --=
--11,2,,1
11111
1
12
i i r r i n n n +-=----=
--
12,,
1
00
1
2
0123
1
j c c j n
n n n +=---=
---=
1
2
(1)
2
(1)
n n n ----
例2.设a, b, c是互异的实数, 证明:
的充要条件是a + b + c =0.
证明: 考察范德蒙行列式:
=
行列式即为y2前的系数. 于是
=
所以的充要条件是a + b + c = 0.
例3计算D
n
=
121
10
010
n n n
x
x
a a a x a
--
-
-
+
解：方法1 递推法按第1列展开，有
D n = x D 1-n +（－1）1+n a n
1
11
1
1
n x x x
-----= x D 1-n + a n
由于D 1= x + a 1，221
1
x
D a x a -=
+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2D 2-n + a 1-n x + a n == x 1-n D 1+ a 2x 2-n + + a 1-n x +
a n =111n n n n x a x a x a --++
++
方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍， ，第n 列的x 1-n 倍分别加到第1列上
12
c xc n D +=
2112
1010010000n n n n x x x a xa
a a
x a
-----++
213
c x c += 3
212
12
3
1
01000010
00
10n n n n n n x x
x a xa x a a a a x
a --------+++
==
11
1
x f
x
---n r =
按展开
1(1)n f
+
-1
11
1n x x
x
----=
111n n n n x a x a x a --++
++
方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．
D n
21
32
1
111n n c c x c c x
c c x
-+++=
112200
00
000
n n n
n
n n n
x x x a a a a a a k x
x x
---+++
n =
按c 展开
x 1-n k n = x 1-n (
1-n n x a + 2
1--n n x a +
+x a 2
+a 1+x) =111n n n n a a x a x x --++
+
+
方法 4 n r n
D =
按展开
1(1)n n
a +-10
00100
1
x x
-
--+
21(1)n n a +--
0000100
01x x
-
-+ +212
(1)n a --10000
01
x x -
-
+21(1)()
n a x -+1000000
0x x x
-
=（－1）1+n （－1）1-n a n +（－1）2+n （－1）2-n a 1-n x + +（－1）12-n （－1）a 2x 2-n +（－1）n 2( a 1+x) x 1-n = 111n n n n a a x a x x --++
++
例4． 计算n 阶行列式：
1121221
2
n
n n n n
a b a a a a b a D a a a b ++=
+ (120n b b b ≠)
解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ，
可在保持