线性代数行列式经典例题
线性代数典型例题
线性代数第一章 行列式典型例题一、利用行列式性质计算行列式 二、按行（列)展开公式求代数余子式已知行列式412343344615671122D ==-，试求4142A A +与4344A A +.三、利用多项式分解因式计算行列式1．计算221123122313151319x D x -=-。
2．设()x b c d b x cdf x b c x d b c dx=，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明1。
设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2。
设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1||2A =，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵,元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A4。
设矩阵210120001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，矩阵B 满足**2ABA BA E =+，则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1111,,,2345,则行列式1||________.B E --=2。
设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=，又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-,试计算行列式*|23|.A E +第二章 矩阵典型例题一、求逆矩阵1。
设,,A B A B +都是可逆矩阵，求:111().A B ---+2。
设0002100053123004580034600A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求1.A -二、讨论抽象矩阵的可逆性1.设n 阶矩阵A 满足关系式320A A A E +--=,证明A 可逆，并求1.A - 2。
线性代数行列式经典例题22998
线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-L L ，故011102120n n nD n n --=--L L MOL1,1,,2i i r r i n n --=-=L 011111111n ----L L M O L1,,1j n c c j n +=-=L 1211021(1)2(1)0201n n n n n n ------=----L L L L M O O L M L其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 011102120n n n D n n --=--L L M OL11,2,,1111111120i i r r i n n n +-=----=--L L L MOL12,,1001201231j c c j nn n n +=---=---L L L MOL=12(1)2(1)n n n ----例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明:的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察德蒙行列式:=行列式 即为y 2前的系数. 于是 =所以 的充要条件是a + b + c = 0.例3计算D n =121100010n n n x x a a a x a ----+K K M M M M K解： 方法1 递推法 按第1列展开，有D n = x D 1-n +（－1）1+n a n 11111n x xx-----O O= x D 1-n + a n由于D 1= x + a 1，2211x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2D 2-n + a 1-n x + a n =L = x 1-n D 1+ a 2x 2-n +K + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++L方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍，K ，第n 列的x1-n 倍分别加到第1列上12c xc n D += 21121010010000n n n n x x xa xa a a x a -----++K K K M M M M K213c x c +=32121231010*********n n n n n n x x x a xa x a a a a x a --------+++K K KMMMM MK=L L =111x fx---OO On r =按展开1(1)n f+-1111n x xx----OO =111n n n n x a x a x a --++++L方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．D n21321111n n c c x c c x c c x-+++=L1122000000000n n nnn n nx x x a a a a a a k x x x ---+++KK KM M M M Kn =按c 展开x 1-n k n = x 1-n (1-n n xa + 21--n n x a +K +x a 2+a 1+x) =111n nn n a a x a x x --++++L方法4 n r nD =按展开1(1)n na +-1000100001x x ---K K M M M M K+21(1)n n a +--0000101x x --K K M M M M K+K +212(1)n a --10000001x x --K K M M M M K+21(1)()na x -+10000000x x x-K K M M M M L=（－1）1+n （－1）1-n a n +（－1）2+n （－1）2-n a 1-n x+K +（－1）12-n （－1）a 2x2-n +（－1）n2( a 1+x) x1-n= 111n nn n a a x a x x --++++L例4． 计算n 阶行列式：11212212n n n n na b a a a a b a D a a a b ++=+L L M M M L(120n b b b ≠L )解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．12112122121000n n n n n na a a ab a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L升阶213111n r r r r r r +---=L 12121100100100n na a ab b b ---L L L M M M M L1112,,1j j c c b j n -+=+=L 1112111210000000n na a a a ab b b b b +++L L LL M M M M L=1121(1)n n na ab b b b b +++L L 这个题的特殊情形是121212n n n n a x a a a a x a D a a a x++=+LL M M M L=11()nn i i xx a -=+∑可作为公式记下来．例5．计算n 阶“三对角”行列式D n =00100010001αβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK＋ 解 方法1 递推法．D n1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)000010001n αβαβαβαβ-++K K M M M M M K1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式 D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3) 故 1n n D D α--＝12()n n D D βα---递推得到 1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D D βα---＝L ＝221()n D D βα--而1()D αβ=+，2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++，代入得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+ （2.1）由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D2-n ＋1n n αββ-+＝L＝nα＋1n αβ-＋K ＋1n n αββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n方法2 把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式D n =00010010001ααβαβαβαβαβ++K K KM M M MMK＋＋00100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK K上式右端第一个行列式等于αD 1-n ，而第二个行列式00100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK K12,,i i c ac i n--==L 000010000100001ββββK K KM M M M M K=βn 于是得递推公式1nn n D D αβ-=+，已与（2.1）式相同．方法3 在方法1中得递推公式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n又因为当αβ+时 D 1=αβ+=βαβα--2221D αβαβαβ+=+=2()αβ+-αβ=22ααββ++=βαβα--33D 3=βααββααββα+++110=3()αβ+-2αβ()αβ+ = ()αβ+22()αβ+=βαβα--44于是猜想11n n n D αβαβ++-=-，下面用数学归纳法证明．当n=1时，等式成立，假设当n ≤k 时成立． 当n=k+1是，由递推公式得D 1+k =()αβ+D k －αβD 1-k=()αβ+βαβα--++11k k —αββαβα--k k =βαβα--++22k k所以对于n ∈N +，等式都成立例6． 计算n 阶行列式：12111111111n na a D a ++=+LL M M M L其中120n a a a ≠L ．解 这道题有多种解法． 方法1 化为上三角行列式nD 12,,i r r i n-==L 1121111n a a a a a +--L M O112,,j ja c c a j n+==L 21100nb a a L M O其中11211ni i b a a a ==++∑1111n i i a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑，于是n D 12111nn i i a a a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑L ． 方法2 升阶（或加边）法12111101*********1n na D a a +=++L L L M M M M L升阶12,3,,1i r r i n -=+=L 121111100100100na a a ---L L L M M M M L11111121,2,,1121111111j jni jc c a nn j n i i na a a a a a a a +=+=-=+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑L LL O方法3 递推法．将n D 改写为1211101110111n na a D a ++++=+LL M M M Ln =按c 拆开12111111111a a ++L L M M M L+1211011011na a a ++L L M M M L由于12111111111a a ++L L M M M L1,,1i n r r i n -=-=L 12111a a L121n a a a -=L1211011011na a a ++L L M M M Ln =按c 展开1n n a D -因此n D =1n n a D -121n a a a -+L 为递推公式，而111D a =+，于是n D =1n n a D -121n a a a -+L =12n a a a L 11211n n n D a a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭L=12n a a a L 2122111n n n n D a a a a a ---⎛⎫++⎪⎝⎭L =L L=12n a a a L 11211n D a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭L =12n a a a L 121111n a a a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭L。
线性代数行列式经典例题22998
线性代数行列式经典例题例 1计算兀素为a ij = | i — j|的n 阶行列式解方法1由题设知， an =0,a 〔2 1 , L,a1nn 1丄故0 1L n 10 1 L n 11L n2rir 111 L1D nMOi n ,n1,L ,2MOn 1 n2 L 011 L1n 1 n L L n 12L L1C j CnM O OL ( 1)n 12* 2(n 1)j 1,L ,n 1M0 2L 01其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行•第二步用的每列加第n 列.的充要条件是 a + b + c =0.证明：考察德蒙行列式=(a 一对o—1 L n 111 L 1 1 0L n 2r i r i 1 1 1 L 1 MOi 1,2,L ,n 1M On 1n 2 Ln 1n 2 L方法2 D n10 L 0 Cj G 12 L0 j 2,L ,nM On 12n 3 Ln 11)n 12n 2(n 1) =(例 2.设a , b , c 是互异的实数,证明:1 x行列式即为y 2前的系数•于是所以的充要条件是a + b + c = 0.x 10 K 0 x 1 K MM Ma na n 1a n 2K例3计算D n = 递推法按第 1 0 0 M x a i解：方法1列展开,D n = x D n 1 + (-1) a n =x D n 1+ a n 由于 D 1 = x + a 1, D 2 a 2a 1 2 1+ a n =x(x D n 2 +a n 1)+ a n =x D n 2 + n 1 n 2 a n 1x + a n = L = x D 1 + a 2 x + n n 1 + a n 1 x + a n = x a 1 x a n 1 x a n，第n 列的x n 1倍分别加到第1列上 01 0K C 1 XC 22 x x1 K D n0 0 x KMMMa n xa n 1a n 1a n 2K方法2第2列的x 倍，第3列的x 2倍, 0 0 0M x a 11 0 0 K 2C 1xC30 x 1 0K3 x 0 x 1 KMMMM2 a n xa n 1x a n 2a n 1a n 2a n 3K0 0 0 M x a 10 1x 1 O OfO按r n 展开1)n11 x 1x O Oxna 〔xa n 1x a n方法3利用性质，将行列式化为上三角行列式.1 c Gx 1c 3c2Xx 0 0x 0 0 MM0 0 x M-Cn a na n 1a na n 2a n 1按Cn 展开““ a n 1n 1 dnx k n = x ( —^7 +xa n 1 x0 0 0 M k na 2 + +a 1 +x)x按r n 展开1 方法4D n( 1)n1a nAMX0 K 0 0n 21 K0 0(1) a n1+M MM MK X 1X 1 K0 02 n0 X K0 0+ ( 1) (a 1 x)M M M M 0 0 L 0 X n 1 n=a n a n 1X L a 1X x=(-1) n 1 (- 1) n 1a n + (- 1) 0 K1 K 0+MM M0 KX1X1 K 0 0+ ( 1)2n 1a 20 X K 0 0M MM M0 K1(-1 ) n 2 a n 1X+ (-1) 2n 1(一 1) a 22 + (— 1) 2nn 1(a 1+x) xa n a n 1X L n 1 n a 1x x 例4.计算n 阶行列式: a Ea 2L a n D nqa 2b 2L a n M M Ma 1 a 2L a nb n(解 采用升阶（或加边）法.该行列式的各行含有共同的元素bbL b n 0)a 1,a 2,L , a * ,可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化 简后出现大量的零元素.1aa 2 La n1 a 1 a2 L a n 升阶0 a 1a 2 L a n2 r 13 r 11 bi 0 L 0 D n0 aa 2b 2 La n Lrn 1r11 0 b2 L 0 M MMMM M MMaa 2La nb n10 0Lb n彳a1La 1L1 —a 1a 2 a n 1bib 1q — C jb j i0 bi 0 L 0a 1a nj 2丄，n 1L=d b ? L b n (1Ln0 b 2 0b nMM MM0 0 Lb n例5.计算n 阶“三对角”行列式K 0 01K 0 0D n =0 1 + K 0 0M M MMM0 00 K 1解方法1递推法K 0 0按q 展开D n（)D n 1 ―1K 0M M MM MK 1(n 1)按口展开()D n 1 —D n 2即有递推关系式D n=( )D n1 — D n2(n 3)故D nD n1 =(D n 1D n 2 )可作为公式记下来.递推得到D n D n 1 = (D ni2D n 2)= ( D n 2 D n 3)a 1 x a 2D na 1 a 2 xM Ma 1 a 2L a nL a n n 1 /n =x (x ajMi 1 L an X这个题的特殊情形是n 2八=L= (D 2 D i )方法3在方法1中得递推公式D n = () D n 1 — Dn 22 2又因为当时 D 1= = ------------D nD n1n(2.1)由递推公式得D n D n 1 0 = ( D n 2n1)n2 .=aD n 2 +n 1nD 2=(而D 1 (D 2=ap a + B代入得D nD n 1(n当a B 时 当a=B 时1K K 0 0 0 0D n = 01 +K0 0+M M MMMK1K 0 0 1K 0 0 0 1K0 0 MM MMM0 0 0 KK1K 0 0 1K 0 0 0 1K0 0 M M MMM0 0 0 KK10 0 K0 010 K0 0c aq 11K0 0 n =B i 2,L ,nM M MM M 10 0 K1n 1方法2把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式上式右端第一个行列式等于aD n 1，而第二个行列式于是得递推公式 D n D n 1 n ，已与(2.1)式相)2n 1 n 1于是猜想D n ------------------ ，下面用数学归纳法证明. 当n=1时，等式成立，假设当 n k 时成立. 当n=k+1是，由递推公式得D k 1 = () D k — Dk 1=(所以对于n N ，等式都成立例6.计算n 阶行列式:D na n其中a n 0 .方法2升阶(或加边)法D 3 =)(=()3-2(4 4a 2解这道题有多种解法. 方法1 化为上三角行列式其中b 1i 2 3i1 a 1 1L1&1c1 丁 C jb1 L1r i r 1a 1a 2aj0 a 22,L ,nM Oj 2,L ,nMOa 1a na n1n1na 1 1于是D na 〔 a ? a n 1i 1a ia ii 1D n. i n0 0方法 由于 因此 升阶D n1c1cj 1aj1,2,L ,n 1递推法.a11r i「11 a 1 1 1 a 11 D n = a n D n 1a ja 2 M2,3,L , n 1a 10 M a 2 Ma 1a na na 2a n1 3ia 11 L 1 01 1 a2 L1 0M MM11L1 a n1 a 11 L 11 a 11 L 01 1 a 2L11 1 a2 L+MMM AM MM 1 1L111La nD n 改写为按c n 拆开L a 2 D na 2 M a^L a n 1 a 11 r i 「na 2M i 1L ，n 1111 L1L 3卫2 L L按c n 展开a n 1a n1为递推公式, a nD n 1而D 1D n =a nD n 1a 1 a 2 L a n 1=a 1a 2L a nD n 1a 1a 2La n 1D n 2=a 1a 2 L a na 1a 2L a n 2a n 1—=L L a nD1 1 1 11 1 =a〔a2 L 3n L = a〔a2 L a n 1 La1 a2 a n a1 a2 a n a〔a?。
行列式典型例题
目录
• 计算行列式 • 行列式的性质 • 行列式的展开 • 行列式的应用 • 特殊行列式
01
计算行列式
二阶行列式
总结词：二阶行列式是2x2矩阵的行列 式值，计算方法为对角线元素乘积减去 副对角线元素乘积。
|3 4|
示例：对于行列式|1 2|，其值为1*32*4=-5。
详细描述：对于二阶行列式，其一般形式 为|a b|，计算公式为a*c-b*d，其中a、b、 c、d分别代表矩阵中的元素。
行列式与矩阵的逆和转置有关， 它们都可以通过行列式进行计算 或判断。
行列式有一些重要的性质，如交 换律、结合律、分配律等，这些 性质在矩阵运算中非常重要。
05
特殊行列式
对角线型行列式
总结词
对角线型行列式是指除了主对角线上 的元素外，其他元素都为零的行列式。
详细描述
对角线型行列式的值就是主对角线上 的元素乘积，计算过程相对简单，因 为除了主对角线元素外，其他元素都 为零，所以可以直接将主对角线上的 元素相乘得到结果。
04
行列式的应用
行列式在几何中的应用
线性变换
行列式可以表示线性变换前后的面积比，用于研 究几何图形的变换性质。
Hale Waihona Puke 定向行列式可以用来确定定向，即方向和旋转顺序， 对于三维空间中的向量场和曲线非常重要。
体积
行列式可以用来计算多面体的体积，特别是平行 六面体的体积。
行列式在代数方程组中的应用
线性方程组
行列式的加法性质
总结词
行列式的加法满足分配律
详细描述
对于任何两个n阶方阵A和B，以及任意的常数c和d，有|cA + dB| = c|A| + d|B|。
行列式经典例题
线性代数大学-----行列式经典例题例1 计算元素为 aij = | i－j|的n 阶行列式.解方法1 由题设知，a=0，a12 1，,a1n n 1, ，故110 1 n 1 0 1 n 1Dn1 0 n2 r r i i1i n,n 1, ,21 1 1 n 1 n2 0 1 1 1 n 1 n n 1c cj nj 1, ,n 10 2 1n 1 n 2( 1) 2 (n 1)0 20 0 0 1其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．0 1 n 1 1 1 1方法 2 Dn1 0 n2 r ri i1i 1,2, ,n 11 1 1 n 1 n2 0 n 1 n 2 01 0 0c cj 1j 2, ,n1 2 0= n n n1 2( 1) 2 ( 1) n 1 2n 3 n 1例2. 设a, b, c 是互异的实数, 证明:的充要条件是 a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:内部资料个人复习资料线性代数=行列式 即为 y2前的系数 . 于是=所以 的充要条件是 a + b + c = 0.x 1 0 0 例 3 计算 D n =0 x1aaax ann 1n 21解： 方法 1 递推法 按第 1 列展开，有1 x1n 1D n = x D n 1+（－1）= x D n 1+ a na nx 1x1n 1由于 D 1= x + a 1 ，D 2x1 ax a21，于是 D n = x D n 1 + a n =x （x D n 2 +a n 1）+ a n =x 2 Dn +2a n 1x + a n = = x n 1 D 1 + a n 2 + + a 2 xn 1 D 1 + a n2 + + an x + a n = 1nn 1 x a x a x a 1 n 1 n 方法 2 第 2 列的 x 倍，第 3 列的 x2 倍， ，第 n 列的 x n 1倍分别加到第 1 列上 01 0 0 c xc122xx 1 0Dnxaxaaax ann 1n 1n 21内部资料个人复习资料线性代数0 1 0 0 02c x c1 30 x 1 0 03x 0x 1 02a xa x a a a a x a n n 1 n 2 n 1 n 2 n 3 10 1x 11 按展开rn ( 1)n1 fn 1 f1x1= = x=f xx 1n 1n n 1x a x a x a1 n 1 n方法 3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．D n1c c2 1x1c c3 2xx 0 0 00 x 0 00 0 x 01c cn nx1a a an n 1 na a a kn n n n1 2 2x x x按c 展开nx n 1 k n = x n (1annx1+axnn12+ +a2x+a1 +x)= n 1 na a x a x xn n 1 11 0 0 0 按r 展开nn( 1) 1anx 1 0 0D 方法 4+ n0 0 x 1x 0 0 0 x 1 0 0n ( 1) 2an10 1 0 0+ + 2 1n a( 1)20 x 0 00 0 x 1 0 0 0 1x 1 0 0+ ( 1) ( )2n a x10 x 0 00 0 0 xn 1 n 1 n 2 n 2（－1）（－1）=（－1）a n +（－1）a n 1x内部资料个人复习资料线性代数+ +（－1）2n（－1）a1 2 xn 2 +（－1）2n( a1 +x) x1 +x) xn 1= n 1 na a x a x xn n 1 1例4．计算n 阶行列式：a b a a1 12 nDn a a b a1 2 2 n ( b1b2 b n 0)a a a b1 2 n n解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素a a a ，可在保持1, 2, , n原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．1 a a a1 2 n 1 a a a1 2 n升阶0 a b a a1 12 nr r2 1r r3 11 b 0 01D 0 a a b an 1 2 2 n r rn 1 1 1 0 b 020 a a a b1 2 n n 1 0 0 bn1c c 1jbj 1j 2, ,n 1 1a a1 1b b1 1b 010 b2a a a1 2 n= b b b1 2 na a1 n(1 )b b1 n0 0 0 bn这个题的特殊情形是a x a a1 2 nDn a a x a1 2 n =nn 1x ( x a )ii 1a a a x1 2 n可作为公式记下来．例5．计算n 阶“三对角”行列式0 0 01 0 0D n = 0 1 0 0＋0 0 0 1内部资料个人复习资料线性代数解方法 1 递推法．0 0 0 0D n 按c 展开1 ( ) Dn 1 —10 00 0 0 1(n 1)按r 展开1( ) D n 1 － D n 2即有递推关系式 Dn= ( ) D n 1 － D n 2 (n 3)故D D ＝(D n 1 D n 2 )n n 1递推得到 D D ＝(D n 1 D n 2 ) ＝n n 1 2(D n D n )2 3＝＝( )n 2 D D2 1而D1 ( ) ，D2 ＝α+1βαβ＝αβ+2 2，代入得 1D Dn nnnD D （2.1）n n 1由递推公式得n D D ＝n n 1n 1 n ( D )n 2＝α 2 D n＋2 n 1 n＝n n 1 n 1 n ＝＋＋＋＝nβ(n1 n－αβ－αn1)α11，当，当αβ时α＝β时方法 2 把D n 按第 1 列拆成 2 个n 阶行列式D n =0 0 01 0 00 1 0 0＋＋0 0 01 0 00 1 0 0 0 0 0 10 0 00 0 0 1上式右端第一个行列式等于αD n ，而第二个行列式1内部资料个人复习资料线性代数0 0 01 0 00 1 0 0 c aci i1i 2, ,n0 0 0 01 0 0 00 1 0 0n=β0 0 00 0 0 10 0 0 1于是得递推公式nD D ，已与（ 2.1）式相同．n n 1方法 3 在方法 1 中得递推公式D n = ( ) D n 1 － D n 22 2又因为当时 D 1 = =3 3D =2 12( ) =2 2= 0D 3 =1=3( ) -2 ( )0 14 4= ( ) 2 2( ) =n 1 n 1于是猜想D，下面用数学归纳法证明．n当n=1 时，等式成立，假设当n k 时成立．当n=k+1 是，由递推公式得D k 1 = ( ) D k － D k 1k 1 k 1 k k k 2 k 2= ( )—=所以对于n N ，等式都成立例6．计算n阶行列式：1 a 1 11Dn 1 1 a 121 1 1 an内部资料个人复习资料线性代数其中a1a2 a n 0 ．解这道题有多种解法．方法 1 化为上三角行列式Dnr ri 1i 2, ,n1 a 1 11a a1 2ac c11 jajj 2, ,nb1 1a2a a1 n0 a n其中b 1 a a1 1n1ai 2 ia11n1ai i1，于是 Dna a a1 2 n1n1ai 1 i．方法 2 升阶（或加边）法1 1 1 1 1 1 1 10 1 a 1 11升阶r r1i 1 a 0 01D 0 1 1 a 1n 2 i 2,3, ,n 1 1 0 a 020 1 1 1 an1 0 0 a nn11 1 1 1i 1 j1a c c1 j 1a na 1 j1a a a 11 2 nj 1,2, ,n 1 a ai i12an方法 3 递推法．将D改写为n1 a 1 1 01Dn1 1 a 1 021 1 1 an1 a 1 111 a 1 01按c 拆开n 1 1 a 12 +1 1 a 021 1 1 1 1 a n1 a 1 11 a 1由于1 1 a 12r ri ni 1, ,n 1a2 a a a1 2 n 1 1 1 1 1 1 1内部资料个人复习资料线性代数1a10111a02按c展开na Dn n111a n因此D=a n D n1a1a2a n1为递推公式，而D11a1，于是nD=a n D n1a1a2a n1=a1a2a n nD1n1a a a a 12n1n=a1a2a nD11n2a a a a a12n2n1n==a1a2a n D111a a a12n=a1a2a n1111a a a12n内部资料个人复习资料。
线性代数行列式经典例题
线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-，故01110212n n n D n n --=--1,1,,2i i r r i n n --=-=011111111n ----1,,1j n c c j n +=-=1211021(1)2(1)20001n n n n n n ------=----其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 01110212n n n D n n --=--11,2,,111111112i i r r i n n n +-=----=--12,,1001201231j c c j n n n n +=---=---=12(1)2(1)n n n ----例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明:的充要条件是a + b + c =0.证明: 考察范德蒙行列式:=行列式即为y 2前的系数. 于是=所以的充要条件是a + b + c = 0.例3计算D n =121100010nn n x x a a a xa----+解： 方法1 递推法 按第1列展开，有D n = x D 1-n +（－1）1+n a n11111n x x x-----= x D 1-n + a n由于D 1= x + a 1，2211x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2D 2-n +a 1-n x + a n == x1-n D 1+ a 2x2-n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍， ，第n 列的x1-n 倍分别加到第1列上12c xc n D +=21121010010000n n n n x x x a xa a a xa-----++213c x c += 32121231010000100010n n n n n n x xx a xa x a a a a xa --------+++==111x fx---n r =按展开1(1)n f+-1111n x xx----=111n n n n x a x a x a --++++方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．D n21321111n n c c x c c xc c x-+++=11220000000n n nnn n nx x x a a a a a a k xx x---+++n =按c 展开x1-n k n = x1-n (1-n n xa + 21--n n x a + +x a 2+a 1+x) =111n n n n a a x a x x --++++方法4n r nD =按展开1(1)n na +-10001001x x ---+21(1)n n a +--00001001x x --+ +212(1)n a --1000001x x --+21(1)()na x -+1000000x x x-=（－1）1+n （－1）1-n a n +（－1）2+n （－1）2-n a 1-n x + +（－1）12-n （－1）a 2x 2-n +（－1）n 2( a 1+x) x 1-n = 111n n n n a a x a x x --++++例4． 计算n 阶行列式：11212212nn n n na b a a a a b a D a a a b ++=+ (120n b b b ≠)解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．1211212212100n n n n n na a a ab a a D a a b a a a a b +=++升阶213111n r r r r r r +---=121211001001n na a ab b b --- 1112,,1j j c c b j n -+=+=11121112100000000n na a a a ab b b b b +++=1121(1)nn na ab b b b b +++这个题的特殊情形是121212nn n n a x a a a a x a D a a a x++=+=11()nn i i xx a -=+∑可作为公式记下来．例5．计算n 阶“三对角”行列式D n =001000101αβαβαβαβαβαβ+++＋解 方法1 递推法．D n1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)00001001n αβαβαβαβ-++1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式 D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3) 故 1n n D D α--＝12()n n D D βα---递推得到 1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D D βα---＝＝221()n D D βα--而1()D αβ=+，2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++，代入得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+ （2.1）由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D2-n ＋1n n αββ-+＝＝nα＋1n αβ-＋ ＋1n n αββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n方法2 把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式D n =000100010001ααβαβαβαβαβ++＋＋0010001000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++上式右端第一个行列式等于αD 1-n ，而第二个行列式0010001000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++12,,i i c ac i n--==00010000101ββββ=βn于是得递推公式1nn n D D αβ-=+，已与（2.1）式相同．方法3 在方法1中得递推公式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n又因为当αβ+时 D 1=αβ+=βαβα--2221D αβαβαβ+=+=2()αβ+-αβ=22ααββ++=βαβα--33D 3=βααββααββα+++1010=3()αβ+-2αβ()αβ+ = ()αβ+22()αβ+=βαβα--44于是猜想11n n n D αβαβ++-=-，下面用数学归纳法证明．当n=1时，等式成立，假设当n ≤k 时成立． 当n=k+1是，由递推公式得D 1+k =()αβ+D k －αβD 1-k=()αβ+βαβα--++11k k —αββαβα--k k =βαβα--++22k k所以对于n ∈N +，等式都成立例6． 计算n 阶行列式：12111111111n na a D a++=+其中120n a a a ≠．解 这道题有多种解法． 方法1 化为上三角行列式nD 12,,i r r i n-==1121111n a a a a a +--112,,jj a c c a j n+==21100nb a a其中11211ni i b a a a ==++∑1111ni i a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑，于是n D 12111nn i i a a a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑．方法2 升阶（或加边）法121111011101110111n na D a a +=++升阶12,3,,1i r r i n -=+=121111101001na a a ---11111121,2,,1121111111j jni jc c a nn j n i i na a a a a a a a +=+=-=+⎛⎫==+⎪⎝⎭∑∑方法3 递推法．将n D 改写为1211101110111n na a D a ++++=+n =按c 拆开12111111111a a +++1211011011na a a ++由于12111111111a a ++1,,1i n r r i n -=-=12111a a 121n a a a -=1211011011na a a ++n =按c 展开1n n a D -因此n D =1n n a D -121n a a a -+为递推公式，而111D a =+，于是n D =1n n a D -121n a a a -+=12n a a a 11211n n n D a a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭=12n a a a 2122111n n n n D a a a a a ---⎛⎫++ ⎪⎝⎭==12n a a a 11211n D a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭=12n a a a 121111n a a a ⎛⎫++++⎪⎝⎭Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。
线性代数第一章n阶行列式练习题
线性代数第一章n阶行列式练习题填空01111．设n阶行列式D =10111a131?11?10?11?01?111110，则D的值为．1a11a122a113a12?a114a13?a122．设行列式D =a21a22a23a31a32a33= a ，则行列式D1 =2a213a22?a214a23?a222a313a32?a314a33?a32= ．3．设行列式D =1234234567894567，则D的第3列元素的代数余子式之和为． 4．设f=x1?2101?x11312x14?323x?443xx ，则f的展开式中??的系数为，的系数为，常数项为．5．方程1?2231x2313x4114x= 0 的根x = ．6．当满足条件时线性方程组选择??x1?x2?x3?x4?0??x??x?x?x?0?1234???x1?x2??x3?x4?0??x1?x2?x3??x4?0 只有零解．1．设4阶行列式D =a100b10a2b200b3a30b400a4，则D的值为．a1a2a3a4?b1b2b3b；a1a2a3a4?b1b2b3b；；．?2．设D为n阶行列式，Aij 为D的元素aij 的代数余子式，则．?ai?1n nijAij?= 0；?ai?1ijAij?= D； ?aj?1n n1jA2j?= D ； ?aj?1ijAij?= 0．a11a12?a1na1na1,n?1?a11a21a22?a2n3．设行列式D =a2na2,n?1?a21= aan1an2?ann，则行列式D1 =nannan,n?1?an1= ．n2a ；－a ；a ； a ．4．设f=x?2x?1x?2x?32x?22x?12x?22x?33x?33x?24x?53x?5 4x4x?35x?74x?，则方程f= 0的根的个数为．1 ；；；．a1a1a15．方程a2a3a4?xa4a4a4= 0a2a3?xa2?xa3a2a3a1?x的根为．a1?a2，a3?a；0 ，a1?a2?a3?a4；a1a2a3a，0 ；0 ，?a1?a2?a3?a4．6．设D为n阶行列式，下列命题中错误的是．2n 若D中至少有?－?n?＋?1个元素为0 ，则D = 0 ；若D中每列元素之和均为0 ，则D = 0 ；若D中位于某k行及某l列的交点处的元素都为0 ，且k?＋?l?＞?n ，则D = 0 ；若D的主对角线和次对角线上的元素都为0 ，则D = 0 ．1．答案n?1 ．提示将D化为上三角行列式即得．．答案 4a ．提示利用行列式性质、5变化行列式D1 即得．．答案 0 ．提示A13?A23?A33?A43?=123423451111456．4．答案－、1、－．提示x、x3的系数由4个主对角元的乘积?x2x 确定，常数项为f．5．答案 x = －、1 、．提示将方程左边的行列式化为上三角行列式后展开即得．．答案??≠?1且≠ －．提示齐次线性方程组只有零解的充要条件是系数行列式等于0 ．选择 1．答案．提示利用行列式的Laplace展开定理即得．．答案．提示由定理1.2即得．．答案．提示利用行列式性质2变化行列式D1 即得．．答案．提示先利用行列式性质5将方程f= 0左端的行列式化简，再利用行列式定义判断多项式f的次数．5．答案．提示将方程左边的行列式化为上三角即得．6．答案．提示命题是错误的．反例：100100000010010= 1 ．一. 判断题1. n阶行列式aij的展开式中含有a11的项数为n?1. 正确答案：!解答：方法1因为含有a11的项的一般形式是a11a2j2?anjn，其中j2j3?jn是n?1级全排列的全体，所以共有!项. 方法由行列式展开定理a11a12a22?an2a1na2n?ann?a11A11?a12A12a1nA1n，a21?an1而a12A12a1nA1n中不再含有a11，而A11共有!项，所以含有a11的项数是!.注意：含有任何元素a的项数都是!.ij2. 若n阶行列式aij中每行元素之和均为零，则aij 等于零.a11a12a22?an2a1na2n?ann3、?、n列都加到第一列，则行中的2、解答：将a21?an1列式中有一列元素全为零，所以aij等于零.a10a2b300b2a30b100a4?a1b4b1a2a4b3b2a33.00b4.解答：方法1按第一列展开 a100b40a2b300b2a30b100a4?a1b4b1a4?a1b4b1a2a4b3b2a3?a1a4a2b3b2a3?b1b4a2b3b2a3.方法交换2，4列，再交换2，4行a10a2b300b2a30b100a4??a100b4b100a40b2a300a2b30?a1b400b1a40000a3b200b3a2D00b4=a1b4b1a2a4b3b2a3.方法Laplace展开定理：设在n行列式 k个行，由这k中任意取定了行元素所组成的一切k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D。
线性代数第一章行列式训练题解
线性代数第一章行列式训练题一、单项选择题1．二阶行列式1221−−k k ≠0的充分必要条件是（ ）A ．k ≠–1B ．k ≠3C ．k ≠–1且k ≠3D ．k ≠–1或≠3答案：C2．设行列式2211b ab a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（ ）A ．–3B ．–1C ．1D ．3 注22112211222111c a c a b a b a c b a c b a +=++答案：D3.如果方程组=+=−=−+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ ） A.–2 B.–1C.1D.2 注：使04014013=−−kk答案：B4．设行列式D=333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） A ．–15 B ．–6 C ．6D ．15答案：C 5．3阶行列式ji a =011101110−−−中元素21a 的代数余了式21A =（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．2 0111)1(12−−+ 答案：C6.已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，那么333231232221131211222222a a a a a a a a a −−−=（ ） A.–24 B.–12 C.–6D.12答案：B 7．行列式11110111111110−−−−−−第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．2答案：B 8.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ ）A.m–nB.n–mC.m+nD.–（m+n ）答案：B二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数行列式部分练习题及答案
《线性代数与解析几何》练习题行列式部分一．填空题：1．已知41132213----=D 用ij A 表示D 的元素ij a 的代数余子式，则21222323______A A A --+=，31323323____A A A --+=，行列式__________333231232221131211=A A A A A A A A A 2．12434003209106412a a a a a 的的代数余子式的值等于________。
3.设512312123122x x x D xxx=，则D 的展开式中3x 的系数为______4.4阶行列式111213142122232414423132333441424344a a a a a a a a D a a a a a a a a a a =展开式中含有因子的项为______和______5.行列式234234234234a a a ab b b b Dc c c c dd d d =＝______6．设xx x x x f 321132213321)(=则(4)_____f = 7．设0112520842111111154115212111111541132111111323232=++-x x xx x xx x x上述方程的解______________________=x8．行列式112233440000000a b a b D b a b a ==__________ 9．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ 只有零解，则λ应满足_________条件。
10．若方程123123123020kx x x x kx x x x x ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩有非零解，则k ＝_________或k ＝________。
11．行列式xy yyx y yyx＝______ 12.行列式1110110110110111＝______13．行列式000000000ab c de f＝______14．方程组12312321231x x x x x x x x x λλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有唯一解时，对λ的要求是______二．计算题： 1．已知5阶行列式270513422111542131122254321=求434241A A A ++和4544A A +，其中ij A 是元素ij a 的代数余子式。
线性代数练习册练习题—第1章 行列式
第1章 行列式及其应用一、填空题1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 .2．排列36715284的逆序数是 。
3．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = ， s = ，t = . 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 . 5．若54435231a a a a a j i 为五阶行列式带正号的一项，则 i = , j = .6.设行列式275620513--=D ，则第三行各余子式之和的值为 . 7.行列式=30092280923621534215 .8．行列式=1110110********* .9.多项式0211111)(321321321321=+++++=x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有根是 .10．若方程225143214343314321x x -- = 0 ，则 .11．行列式 ==2100121001210012D12. 行列式122305403-- 中元素3的代数余子式是 . 13. 设行列式4321630*********=D ，设j j A M 44,分布是元素j a 4的余子式和代数余子式，则44434241A A A A +++ = ，44434241M M M M +++= . 14.已知四阶行列D 中第三列元素依次为1-，2，0，1，它们的余子式依次分布为5，3，,7-4，则D = .15. 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx仅有零解，则k .二．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x （ ）.（A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3-2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = （ ）.（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x 根的个数是（ ）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 （ ）. （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为（ ）.（A ）3,2==l k ，符号为正 （B ）3,2==l k ，符号为负 （C ）2,3==l k ，符号为正 （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是（ ）.(A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于等于n 个7．如果133********21131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ，则=1D （ ）. （A ）8 （B ）12- （C ）24- （D ）24 8．如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，2323331322223212212131111352352352a a a a a a a a a a a a D ---=，则=1D （ ）. （A ）18 （B ）18- （C ）9- （D ）27-9． 2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a =（ ）. （A ）8 （B ）2 （C ）0 （D ）6- 10．若111111111111101-------=x A ，则A 中x 的一次项系数是 （ ）.（A ）1 （B ）1- （C ）4 （D ）4-11．4阶行列式443322110000000a b a b b a b a 的值等于 （ ）.（A ）43214321b b b b a a a a - （B ）))((43432121b b a a b b a a --（C ）43214321b b b b a a a a + （D ）))((41413232b b a a b b a a -- 12．如果122211211=a a a a ，则方程组 ⎩⎨⎧=+-=+-022221211212111b x a x a b x a x a 的解是（ ）.（A ）2221211a b a b x =，2211112b a b a x = （B ）2221211a b a b x -=，2211112b a b a x = （C ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x ----= （D ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x -----=13. 方程0881441221111132=--x x x的根为 （ ）. （A ）3,2,1 （B ）2,2,1- （C ）2,1,0 （D ）2,1,1-14. 已知a a a a a a a a a a =333231232221131211,那么=+++323133312221232112111311222a a a a a a a a a a a a （ ）. （A ）a （B ）a - (C)a 2 （D ）a 2-15. 已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++0030z y z y x z y x λλλ仅有零解，则 （ ）.（A ）0≠λ且1≠λ （B ）0=λ或1=λ （C ）0=λ （D ）1=λ三、判断题。
线性代数专题：行列式计算
β + α
β β = 1+ + + α α
β α =
n +1
β + α ⋅
n
−1 =
1
β −1 α
αn
β n +1 − α n +1 β −α
∴ Dn =
β n +1 − α n +1 ， 当 β≠α β −α
Dn
（3）
当 β = α，从
= ( x + y ) Dk −1 − xy 0 0 = ( x + y ) Dk −1 − xyDk − 2 Dk −1 = x k −1 + x k − 2 y + D k − 2 = x k − 2 + x k −3 y +
= ( x + y )( x k −1 + x k − 2 y + − xy ( x k − 2 + x k −3 y + = x k + x k −1 y +
a x −a
a a x
a a a a x
Dn = − a − a x … −a −a −a
a = −a −a x a … x −a −a −a
a + −a … a x −a ②
−a −a
= − a( x − a) n −1 + ( x + a) Dn −1
①×（x + a） ②×（x – a）
( x + a ) Dn = a ( x + a ) n + ( x 2 − a 2 ) Dn −1 ( x − a ) Dn = − a ( x − a ) n + ( x 2 − a 2 ) Dn −1
行列式的例题
行列式的例题一．直接用行列式的性质计算行列式 1．试证明2221112222221111112c b a c b a cb ab a ac c b b a a c c b ba a c cb =+++++++++证明：先用行列式的加法性质拆第一列，再用初等变换化简得22222111112222211111b a ac c b a a c c b a a c cb a ac b b a a c b ba a cb +++++++++++++=左2222111122221111b a ac b a a c b a a c a a c b a a c b aa cb +++++++= 222111222111b ac b a c b a c a c b a c b a c b += 222111222111a cb ac b ac ba cb ac b ac b += 2221112a c b a c b a c b ==右2．计算n 阶行列式n n n n nn n b a b a b a b a b a b a b a b a b a D +++++++++=212221212111解：当n=1时，D 1=a 1+b 1 ， 当n=2时，D 2=（a 1+b 1）（a 2+b 2）-（a 1+b 2）（a 2+b 1） =（a 1-a 2）（b 1-b 2）当n≥3时,将第一行乘（-1）加到其余各行后，可得这些行对应成比例，即011113131312121212111=---------+++=a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a D n n n n n综上所述⎪⎩⎪⎨⎧≥=--=+=3,02),)((1,212111n n b b a a n b a D n 。
3． n 阶行列式D 中每一个元素a ij 分别用数b i-j (b≠0)去乘得到另一个行列式D 1 ，试证明D 1=D 。
线性代数 行列式例题讲解
例7
1 D4 x1 x12 x
1 x 1 x1 x12 x13 x14
4 1
1 x2
2 x2
1 x3
2 x3
1 x4
2 x4
x
1 x2 x2 2 x23 x2 4
4 2
x
1 x3 x32 x33 x34
4 3
x
1 x4 x4 2 x43 x4 4
4 4
解：构造下面的范德蒙行列式
D5 x 2 x3 x4
例1 （行（列）和相同，提取公因子）
c1 c2 c3 c4 a c d b a c b d 提取第一列公因子 c a b d
1 a d (a b c d ) 1 c 1 c 1 a d b b b b d d
c
a d
b
r3 r2 r4 r1
1 a (a b c d ) 1 c
行和相同，提取公因子
( x1 x2 xn m)
ri r1,i 2,3 , n
... xn m
1 ( m xi )
i 1 n
x2 ... 0
... ...
xn 0 ...
0 ... 0
m ...
... m
xi n (1 )( m) i 1 m
(ad bc) n
递推法
d
例5
1 1 Dn 1 1
2 2 0 0
3 ... n 0 ... 0 3 ... 0 0 n
或
爪型行列式
r1 r2 r3 rn
cn c2 c3 c1 2 3 n Dn (n 2) n !
... ... ... ... ...
线性代数_ 行列式_17 行列式计算的经典例子_
行列式计算的一个经典例子
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解法二. 将各列都加到第一列, 得
Dn =
x + (n − 1)a x + (n − 1)a
... x + (n − 1)a
a ··· a
x ··· a
...
. ..
a ··· x
再将第一行乘以 (−1) 依次加到其余各行, 得
Dn =
x + (n − 1)a a a ··· a
x a ··· a
a ...
x ··· . ..
a . ...
a a ··· x
线性代数 (第一章 行列式)
行列式计算的一个经典例子
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继续观察：n 阶行列式
Dn =
x a ··· a
a ...
x ··· . ..
a . ...
a a ··· x
各行元素之和, 相等.
线性代数 (第一章 行列式)
x + (n − 1)a a a ··· a
0
x − a 0 ··· 0
Dn =
0
...
0 x − a ··· 0
...
...
...
0
0
= [x + (n − 1)a (x] − a)n−1.
0··· x − a
线性代数 (第一章 行列式)
行列式计算的一个经典例子
3/18
继续观察：n 阶行列式
Dn =
x
再将第一行乘以 (−1) 依次加到其余各行, 得
x + (n − 1)a a a ··· a
0
x − a 0 ··· 0
Dn =
0
...
2020-2021学年线性代数之行列式例题
x3 y3 z3 u3 0 y3 y2x z3 z2x u3 u2x
111 ( y x)(z x)(u x) y z u
y2 z2 u2
11
1
( y x)(z x)(u x) 0 z y u y
0 z2 zy u2 uy
11 ( y x)(z x)(u x)(z y)(u y)
2 0 1 1 第3列对应加到第4列 0 0 1 0
1 5 3 3
5 5 3 0
5 11
按第3行展开
1 (1)33 11 1 1 5 5 0
5 11
第1行对应加到第2行
6 2
6 2 0
40
5 5
5 5 0
3 5 2 1
例3：设
1 2 0 5
D
2 0 0 2
1 000
求 (1) A11 A12 A13 A14;
a11
a22
a11 a22 ann
ann
(4)
a1n a11 a1,n1 a1n
a2,n1
a2n
a21
a2,n1
an1 an,n1 ann an1
a1n
a2,n1
n ( n 1)
(1) 2 a1n a2,n1 an1
an1
例2：计算行列式 1 2 4 2 2 1 3 4 2
(2) M11 M12 M13 M14; (3) A13 5A23 2 A33.
解：
1 11 1
1 2 0 5
A11 A12 A13 A14 2 0 0
4 2
1 00 0
1 1 1 1
1 2 0 5
M11 M12 M13 M14 A11 A12 A13 A14 2
专升本行列式习题及答案
专升本行列式习题及答案专升本行列式习题及答案行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
对于专升本考试来说，行列式也是一个重要的考点。
本文将介绍一些专升本行列式的习题及答案，帮助考生更好地掌握这个知识点。
一、基础习题1. 计算行列式的值：|2 1||3 -1|解答：根据行列式的定义，有|2 1||3 -1| = 2*(-1) - 1*3 = -52. 计算行列式的值：|1 2 3||4 5 6||7 8 9|解答：根据行列式的定义，有|1 2 3||4 5 6||7 8 9| = 1*(5*9 - 6*8) - 2*(4*9 - 6*7) + 3*(4*8 - 5*7) = 03. 判断下列行列式是否可逆：|2 1||4 2|解答：如果一个行列式的值不为0，则该行列式可逆。
计算该行列式的值为： |2 1||4 2| = 2*2 - 1*4 = 0因此，该行列式不可逆。
二、进阶习题1. 计算行列式的值：|1 2 3 4||2 3 4 1||3 4 1 2||4 1 2 3|解答：可以通过将该行列式转化为三阶行列式的形式来计算。
将第一行减去第四行，第二行减去第四行，第三行减去第四行，得到：|1 2 3 4||2 3 4 1||3 4 1 2||0 -3 -6 -9|再将第四列加到第一列，第二列加到第一列，第三列加到第一列，得到：|8 2 3 4||9 3 4 1||4 4 1 2||0 -3 -6 -9|接下来，计算三阶行列式的值：|8 2 3||9 3 4||4 4 1| = 8*(3*1 - 4*4) - 2*(9*1 - 4*4) + 3*(9*4 - 3*4) = -20因此，原行列式的值为-20。
2. 判断下列行列式是否可逆：|1 2 3||2 3 4||3 4 5|解答：计算该行列式的值为：|1 2 3||2 3 4||3 4 5| = 1*(3*5 - 4*4) - 2*(2*5 - 4*3) + 3*(2*4 - 3*3) = 0因此，该行列式不可逆。
线性代数习题--行列式
行列式二阶、三阶行列式—对角线原理■计算下列二阶行列式2312； 22b a ba1log log 1ba ab ;θθθcos 1sin tan ;cos sin sin cos θθθθ-；1111121221212222a b a b a b a b ++++；1112111221222122a ab b a a b b +. 解22ba b a =22ba ab -; 1log log 1b aa b =-1a b log b a log 110=-=;θθθcos 1sin tan =0sin cos tan =-⋅θθθ;■计算下列三阶行列式(1)111111111--- (2)38114112---; (3)b a c a c b c b a (4)222111c b a c b a(5)00000d c ba (6)ed ba00000. (7)y x y x x y x y yx y x +++.解 111111111---=111(1)(1)(1)11111(1)⨯⨯+-⨯-⨯-+⨯⨯-⨯⨯-(1)111(1)1--⨯⨯-⨯-⨯1111114=-++++=381141102---=2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8-0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1)=-24+8+16-4=-4.=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---==222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---=00000d c b a =00000000000ac bd ab cd ⨯⨯+⋅+⋅-⨯⨯-⋅-⋅=; 0000ab c de=00000000abe c d b cda e abe acd ++---=-.yx y x x y x y yx y x +++=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3=-2(x 3+y 3).行列式的定义排列与逆序■计算以下各个排列的逆序数, 并指出它们的奇偶性: 1234 4132 2413314265 ；314265789； 542391786； 134785692 139782645987654321； 246813579；(1)21n n -.(4)13…)12(-n 24 …)2(n ； (5)13…)12(-n )2(n )22(-n … 2. (6)1(2)3(22)5(24)(21)2n n n n ---.解逆序数为0逆序数为4: 41, 43, 42, 32. 逆序数为3.(314265)2114τ=++= 偶排列(314265789)2114τ=++= 偶排列 (542391786)431141115τ=++++++= 奇排列 11; 17.(987654321)8765432136τ=+++++++= 偶排列 (246813579)123410τ=+++= 偶排列1((1)21)(1)(2)21(1)2n n n n n n τ-=-+-+++=-, 这表明该排列的逆序数与n 有关, 故要对n 进行讨论:当4,41n k k =+时1(1)2n n -为偶数，此时排列(1)21n n -.为偶排列;当42,43n k k =++时1(1)2n n -为奇数，此时排列(1)21n n -.为奇排列.(4)逆序数为2)1(-n n . 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n -1)(2n -2) (n -1个)(5)逆序数为)1(-n n .3 2(1个) 5 2, 54 (2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n -1)(2n -2) (n -1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n )2, (2n )4, (2n )6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n )(2n -2) (n -1个) (6)当n 为偶数时，2n k =，排列为143425212221223412k k k k k kk k --+++-[]1122(1)(1)t k k k =+++++-+-+L [](1)(2)21k k +-+-+++L()()()()()22(1)1313142n k k k k k k n 轾+++++++++-=-=-犏臌L 其中11(1)(1)k k +++-+-L 为1434252122k k k k --+的逆序数；k 为21k +与它前面数构成的逆序数；(1)(2)21k k -+-+++L 为23,25,,2(21)k k k k +++-L 与它们前面数构成的逆序数的和；()()()()()()113131k k k k ++++++++-L 为2k ，22,24,,2k k --L 与它们前面数构成的逆序数的和.当n 为奇数时，21n k =+，排列为142345212223225412k k k k k kk k ++++++()1122t k k =+++++++L [](1)21k k ++-+++L()()()2213323432n k k k k k k n +轾++++?+=+=-臌L其中1122k k ++++++L 为1423452122k k k k +++的逆序数；(1)21k k +-+++L 为23,25,,2(21)k k k k ++++L 与它们前面数构成的逆序数的和；()()()3323k k k k +++?+L为2,22,,2k k -L 与它们前面数构成的逆序数的和.■确定,i j ，使6元排列2316i j 为奇排列.■在由1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9组成的下述9阶排列中, 选择i j 与使得: (1)2147958i j 为偶排列； (2)1254896i j 为奇排列； (3)4125769i j 偶排列； (3)3142786i j 奇排列. 均要求说明理由.分析 排列1254896i j 中的两个未知数i j 与据排列的定义只能取3或7. 因而只有两种情况：1132574896与2172534896，然而我们只需计算上述的一个排列就可得知结果，因为1与2是3和7作一次对换得到的，而作一次对换必改变排列的奇偶性，也就是说若1为偶排列, 则2必为奇排列. 其余题解法也类似.解 (1)取3,6i j ==有(214739568)11226τ=+++=为偶排列, 符合题目要求.(2)取3,7i j ==有(132574896)112116τ=++++=为偶排列, 故取7,3i j ==时172534896为奇排列, 符合题目要求.(3)取3,8i j ==有(412357698)3115τ=++=为偶排列，符合题目要求.(4)取5,9i j ==有(531429786)42131112τ=+++++=为偶排列. 故取9,5i j ==时931425786为奇排列, 符合题目要求.■写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++故44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.■写出4阶行列式ij a 中包含因子4223a a 的项, 并指出正负号.解 4阶行列式ij a 中包含因子4223a a 的项有11233442a a a a 和14233142a a a a . 由于(1342)2τ=，故11233442a a a a 取正号; (4312)5τ=，故14233142a a a a 取负号.■当i =___, k =___时13242553i k a a a a a 成为5阶行列式ij a 中一个取负号的项,为什么?解 i 和k 只能取1,4或者4,1.不妨先假设1,4i k ==, 则13242553i k a a a a a =1132442553a a a a a , 这个项的符号就是(13425)(12453(1)(1)1ττ+-=-=+, 不符合要求. 那么当4,1i k ==时13242553i k a a a a a =1432412553a a a a a , 它和1132442553a a a a a 相比就是交换了列指标1和4的位置, 因(12453)τ与(42153)τ相比改变了奇偶性, 所以1432412553a a a a a 的符号为负. 故应填4,1i k ==.■若(415)(12345)41213455(1)k i k i a a a a a ττ+-是5阶行列式ij a 中的一项, 则当i =___, k =___时该项的符号为正, 当i =___, k =___时该项的符号为负, 为什么?解 此问和问题3类似, i 和k 只能取2,3或者3,2.不妨先假设2,3i k ==, 则符号为(43125)(12345)(1)ττ+-=5(1)(1)-=-, 所以取的是负号. 那么由问题3的分析可知当3,2i k ==时符号取正. 所以当3,2i k ==时该项的符号为正, 当2,3i k ==时该项的符号为负.■在6阶行列式ij a 中, 下列项应该取什么符号? 为什么?(1) 233142561465a a a a a a ; (2) 324354116625a a a a a a ; (3) 215316426534a a a a a a ; (4) 511332442665a a a a a a . 解 (1) 因(234516)(312645)448ττ+=+=, 所以取正号;另一种方法是: 233142561465a a a a a a =142331425665a a a a a a , 因(431265)τ6=, 所以取正号. (2), (3), (4) 也可这样做, 不再列出.(2) 因(345162)(234165)7411ττ+=+=, 所以取负号; (3) 因(251463)(136254)6511ττ+=+=, 所以取负号; (4) 因(513426)(132465)628ττ+=+=, 所以取正号.■按行列式定义, 计算下列行列式((4)中1n >, 并均要求写出计算过程):0001100000100100=D=D 000000000000a c db .=D 00000000000a b c d ;=D 0001002003004000；=D 1234512345121212000000000a a a a ab b b b bc cd de e ;=D 000100002000010n n -=D n n 000000100200100-=D 000101001001000----.=D 11121,1121222,11,11,21000n n n n n n a a a a a a a a a a ----.解001100000100100=D =1=D 000000000000a c db (1342)(1)abcd abcd t =-==D 00000000000a b c d根据定义44ija ⨯=123412341234()1234(1)j j j j j j j j j j j j a a a a τ-∑.在行列式的通项中, 只有11233244a a a a 这一项的因子中不含零, 所以=D (1324)11233244(1)a a a a τ-=11233244a a a a -=abcd -.=D 0001002003004000(4321)(1)2424t =-==D 1234512345121212000000000a a a a ab b b b bc cd de e 根据定义,55ijD a ⨯==123451234512345()12345(1)j j j j j j j j j j j j j j j a a a a a τ-∑.在行列式D 的通项中每一个项1234512345j j j j j a a a a a 中最后三个因子345345,,j j j a a a 分别取值于行列式最后三行的不同列的三个数, 而行列式最后三行中均只有二个数不为零, 所以这三个因子中至少一个取零. 这样行列式的每一项中都含有因子零, 所以每项都为零, 从而0=D .=D 000100002000010 n n -所给行列式的展开式中只含有一个非零项1,12312n n n a a a a - ，它前面的符号应为()()()112311--=-n n τ ，所以D =()n n 11--！。
《线性代数》第一章行列式精选习题及解答
4．利用行列式按某一行（列）展开定理计算行列式；
5．利用数学归纳法计算行列式；
6．利用递推公式计算行列式；
7．利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式；
8．利用加边法计算行列式；
9．综合运用上述方法计算行列式.
1.3 例题分析
例 1.1 排列 14536287 的逆序数为 ( )
(A) 8 (B) 7
+L + a2n xn MMM
=
b2
⎪⎩an1 x1 + an2 x2 + L + ann xn = bn
的系数行列式 D
≠
0 ，则方程组有唯一解 x1
=
D1 D
（
i=1，2，…，n），其中 Di 是 D 中第 i
列元素（即 xi 的系数）换成方程中右端常数项所构成的行列式．
2．如果线性齐次方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0
即 ( A31 + A32 + A33 ) + 2( A34 + A35 ) =0． 同理 2( A31 + A32 + A33 ) + ( A34 + A35 ) =0
于是 A31 + A32 + A33 = 0， A34 + A35 = 0．
12345
12345
11122
11122
A51 + A52 + A53 + A54 + A55 = 3 2 1 4 6 r4 + r2 3 2 1 4 6 = 0
）， x 3 的系数为（
）．
3 2x 1
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线性代数行列式经典例题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-，故01110212n n n D n n --=--1,1,,2i i r r i n n --=-=011111111n ----1,,1j n c c j n +=-=1211021(1)2(1)201n n n n n n ------=----其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法201110212n n n D n n --=--11,2,,111111112i i r r i n n n +-=----=--12,,1001201231j c c j nn n n +=---=---=12(1)2(1)n n n ----例2.设a, b, c是互异的实数, 证明:的充要条件是a + b + c =0.证明: 考察范德蒙行列式:=行列式即为y2前的系数. 于是=所以的充要条件是a + b + c = 0.例3计算Dn=12110010n n nxxa a a x a----+解：方法1 递推法按第1列展开，有D n = x D 1-n +（－1）1+n a n11111n x x x-----= x D 1-n + a n由于D 1= x + a 1，2211xD a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2D 2-n + a 1-n x + a n == x 1-n D 1+ a 2x 2-n + + a 1-n x +a n =111n n n n x a x a x a --++++方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍， ，第n 列的x 1-n 倍分别加到第1列上12c xc n D +=21121010010000n n n n x x x a xaa ax a-----++213c x c += 32121231010000100010n n n n n n x xx a xa x a a a a xa --------+++==111x fx---n r =按展开1(1)n f+-1111n x xx----=111n n n n x a x a x a --++++方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．D n21321111n n c c x c c xc c x-+++=11220000000n n nnn n nx x x a a a a a a k xx x---+++n =按c 展开x 1-n k n = x 1-n (1-n n x a + 21--n n x a ++x a 2+a 1+x) =111n n n n a a x a x x --++++方法 4 n r nD =按展开1(1)n na +-10001001x x---+21(1)n n a +--000010001x x--+ +212(1)n a --1000001x x --+21(1)()n a x -+10000000x x x-=（－1）1+n （－1）1-n a n +（－1）2+n （－1）2-n a 1-n x + +（－1）12-n （－1）a 2x 2-n +（－1）n 2( a 1+x) x 1-n = 111n n n n a a x a x x --++++例4． 计算n 阶行列式：11212212nn n n na b a a a a b a D a a a b ++=+ (120n b b b ≠)解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．12112122121000nn n n n na a a ab a a D a a b a a a a b +=++升阶213111n r r r r r r +---=121211001001n na a ab b b --- 1112,,1jj c c b j n -+=+=1112111210000000n na a a a ab b b b b +++=1121(1)nn na ab b b b b +++这个题的特殊情形是121212nn n n a x a a a a x a D a a a x++=+=11()nn i i xx a -=+∑可作为公式记下来．例5．计算n 阶“三对角”行列式Dn=001000101αβαβαβαβαβαβ+++＋解 方法1 递推法．D n1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)00001001n αβαβαβαβ-++1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式 D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3) 故 1n n D D α--＝12()n n D D βα---递推得到 1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D D βα---＝＝221()n D D βα--而1()D αβ=+，2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++，代入得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+ （）由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D 2-n ＋1n n αββ-+＝＝n α＋1n αβ-＋ ＋1n n αββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n 方法2 把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式D n =000100010001ααβαβαβαβαβ++＋＋0010001000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++上式右端第一个行列式等于αD 1-n ，而第二个行列式00100100001βαβαβαβαβαβαβαβ+++12,,i i c ac i n--==0001000010001ββββ=βn于是得递推公式1n n n D D αβ-=+，已与（）式相同．方法3 在方法1中得递推公式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n又因为当αβ+时 D 1=αβ+=βαβα--2221D αβαβαβ+=+=2()αβ+-αβ=22ααββ++=βαβα--33D 3=βααββααββα+++110=3()αβ+-2αβ()αβ+ = ()αβ+22()αβ+=βαβα--44于是猜想11n n n D αβαβ++-=-，下面用数学归纳法证明．当n=1时，等式成立，假设当n ≤k 时成立． 当n=k+1是，由递推公式得D 1+k =()αβ+D k －αβD 1-k=()αβ+βαβα--++11k k —αββαβα--k k =βαβα--++22k k所以对于n ∈N +，等式都成立例6． 计算n 阶行列式：12111111111n na a D a ++=+其中120n a a a ≠．解 这道题有多种解法． 方法1 化为上三角行列式nD 12,,i r r i n-==1121111n a a a a a +--112,,j ja c c a j n+==21100nb a a其中11211ni i b a a a ==++∑1111ni i a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑，于是n D 12111nn i i a a a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑．方法2 升阶（或加边）法121111011101110111n na D a a +=++升阶12,3,,1i r r i n -=+=1211111001001na a a --- 11111121,2,,1121111111j jni jc c a nn j n i i na a a a a a a a +=+=-=+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑方法3 递推法．将n D 改写为1211101110111n na a D a ++++=+n=按c 拆开12111111111a a +++1211011011na a a ++由于12111111111a a ++1,,1i n r r i n -=-=12111a a 121n a a a -=121111011na a a ++n =按c 展开1n n a D -因此n D =1n n a D -121n a a a -+为递推公式，而111D a =+，于是n D =1n n a D -121n a a a -+=12n a a a 11211n n n D a a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭=12n a a a 2122111n n n n D a a a a a ---⎛⎫++ ⎪⎝⎭==12n a a a 11211n D a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭=12n a a a 121111n a a a ⎛⎫++++⎪⎝⎭。