二次函数与相似三角形结合问题

琢玉教育个性化辅导讲义

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课题名称

教学目标1.会根据题目条件求解相关点的坐标和线段的长度；

2.掌握用待定系数法求解二次函数的解析式；

3.能根据题目中的条件，画出与题目相关的图形，继而帮助解题；

教学重点

难点1.体会利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法；

2.会应用分类讨论的数学思想和动态数学思维解决相关问题。

课前检查上次作业完成情况：优□良□中□差□建议_______________________________

教学内容知识结构：

一.二次函数知识点梳理：下图中0

a≠二.特殊的二次函数：下图中0

a≠

三．二次函数背景下的相似三角形考点分析：

1.先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点；

2.简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式；

3.复杂一点的题目，先根据图形给定的数量关系，运用数形结合的思想，求得点的坐标，继而用待定系数法求函数解析式；

4.还有一种常见题型，解析式中由待定字母，这个字母可以根据题意列出方程组求解；

5.当相似时：一般说来，这类题目都由图像上的点转化到三角形中的边长的问题，再由边的数量关系转化到三角形的相似问题；

6.考查利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法。

例题选讲：

例1.如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ， D 为OC 的中点，直线AD 交抛物线于点E （2，6），且△ABE 与△ABC 的面积之比为3∶2．

（1）求直线AD 和抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴与x 轴相交于点F ，点Q 为直线AD 上一点，且△ABQ 与△ADF 相似，直接写出．．．．

点Q 点的坐标。

练习 1.如图，直线n x y +-=2(n ＞0)与轴轴、y x 分别交于点B A 、,16=∆OAB S ，抛物

线)0(2

≠+=a bx ax y 经过点A ，顶点M 在直线

n x y +-=2上。

（1）求n 的值；

（2）求抛物线的解析式； （3）如果抛物线的对称轴与x 轴交于点N ，那么在对称轴上找一点P ，使得

OPN ∆和AMN ∆相似，求点P 的坐标。

A

B

O x

y

O A

D

C E

B

y

x

F

例1题图

例 2.已知：矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，()6,0A ，()0,3C ，直线

3

4

y x =

与BC 边交于D 点． （1）求D 点的坐标； （2）若抛物线2

y ax bx =+经过A 、D 两点，求此抛物线的表达式；

（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，点P 是对称轴上一动点，以P 、O 、M 为顶点的三角形与△OCD 相似，求出符合条件的点P ．

方法总结：

二次函数背景下相似三角形的解题方法和策略：

1.根据题意，先求解相关点的坐标和相关线段的长度；

2.待定系数法求解相关函数的解析式；

3.相似三角形中，注意寻找不变的量和相等的量（角和线段）；

4.当三角形的三边不能用题目中的未知量表示时，注意利用相似三角形的转化求解；

5.根据题目条件，注意快速、正确画图，用好数形结合思想；

6.注意利用好二次函数的对称性；

7.利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法。

1.已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数c bx x y ++-=23

1

的图像经过点

A （－1，1）和点

B （2，2）

，该函数图像的对称轴与直线OA 、OB 分别交于点C 和点D ． （1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；（4分） （2）求证：∠ABO =∠CBO ；（4分）

（3）如果点P 在直线AB 上，且△POB 与△BCD 相似，求点P 的坐标．（6分）

2.如图，抛物线215

222

y x x =-

+-与x 轴相交于A 、B ，与y 轴相交于点C ，过点C 作CD ∥x 轴，交抛物线于点D 。点P 是直线CD 上一点，且△PAC 与△ABC 相似，求符合条件的点P 坐标。

【参考教法】：

一．你能求出题目中点A B C D 、、、的坐标吗？（让学生独立计算求解） 二．点P 的运动有什么特征吗？提示：点P 的不同位置相似的情况不一样。 三．当△PAC 与△ABC 相似时：

1.需要讨论吗？提示：需要，根据点P 的不同位置讨论

2.怎么讨论？根据点P 的位置，分两大类讨论：

（1）当点P 在C 的左侧，由题意有PCA BAC ∠=∠，则分2类讨论： ①当△PAC ∽△BAC 时：

AC AC PC AB =，即55

3PC =； ②当△PAC ∽△ABC 时：，

AC AB PC AC =，即53

5

PC =。 （2）点P 在C 的左侧，由题意有ACP ABC ACB CAB ∠≠∠≠∠≠∠，不存在。

3.情况分好了，那怎么计算呢？你算一下。提示：让学生计算。 4题目分析完了吧！你算一下每一个情况看看！

y x

O A B 1 1 -1 -1