变分不等式及其应用

变分不等式及其应用摘要变分不等式是一类重要的非线性问题，它在工程、经济、控制理论等领域广泛应用。

变分不等式问题的数学理论最开始应用于解决均衡问题，在此模型中，函数来自对应势能的一阶变分，因此而得名．作为经典变分问题的推广和发展，变分不等式的形式也更多样化。

本文主要研究变分不等式的由来，变分不等式的导出以及一些变分不等式的应用．第一章为预备知识，主要介绍了凸泛函、上下半连续泛函、次连续、Ferchet微分和单调映像等的一些定义，为下文更好的引出变分不等式的概念、导出和应用提供了理论依据。

第二章具体的提出变分不等式的概念并给出一些变分不等式的常见例子。

第三章主要通过可微函数的极值问题、不可微函数的极值问题、Hilbert 空间的投影问题、分布参数系统控制问题等一些问题的探讨说明导出变分不等式一些方法。

第四章研究一类非线性拟变分不等式并应用于二阶半线性椭圆型边值问题。

关键词：变分不等式，极值问题，椭圆方程，边值问题VARIATIONAL INEQUALITYAND ITS APPLICATIONABSTRACTVariational inequalities are important nonlinear problems, it has been widely applied in the fields of engineering, economics, control theory. The mathematical theory of variational inequality problem is originally applied to solve equilibrium problem. In this model, the function comes from the first-order variation of the corresponding potential energy, so it is called variational inequality problem. As the generalization and development of classical variational problems, the form of variational inequalities should be diversification. In this paper, i study the origin, derivation, and applications of variational inequalities.The first chapter is is Preliminaries. In this chaper, i list the definitions of convex functional, upper and lower semi-continuous functional, consecutive, Ferchet differential, montonous map, and so on. They are used forunderstanding the concept, derivation, and applications of variational inequality.In the second chapter, i introduce the concept of variational inequalities and give some common examples of variational inequalities.In the third chapter, by consdering differentiable functions’ extremum problems, non-differentiable functions’ extremum problems, the projection in Hilbert space, control systems of distributed parameter and some other issues, i study the methods of variational inequalities’ derivation.In the fourth chapter, a class of nonlinear quasi-variational inequalitie is introduce, and it is applied to solve second order semi-linear elliptic boundary value problems.Key words:Variational inequalities, extremum problem, elliptic equation，boundary value problem前言 (1)第一章预备知识 (2)第二章变分不等式的概念和例子 (4)§2.1 变分不等式的概念 (4)§2.2变分不等式的例子 (5)第三章变分不等式的导出 (8)§3.1 可微函数的极值问题 (8)§3.2 不可微函数的极值问题 (10)§3.3 Hilbert空间上的投影问题 (11)§3.4 不动点问题 (12)§3.5 分布参数系统控制问题 (14)第四章变分不等式的应用 (17)结论 (19)参考文献............................... 错误!未定义书签。

致谢.................................. 错误!未定义书签。

变分不等式作为不等式中的重要分支，是一个经典的数学问题。

作为经典变分问题的推广和发展，变分不等式的形式可以各种各样。

它的现代数学理论是本世纪六十年代起才逐步发展起来的。

人们通过连续力学非线性问题的定性及数值分析的研究中发现变分不等式。

自20世纪60年代，Lions，Browder，Stampacchia，Ky Fan，Lemke，Cottle，Dantzing等人提出和创立变分不等式和相补问题的基本理论以来，经过许多数学家的杰出工作，变分不等式的理论及应用取得重要发展，日臻完善，已经成为一门内容十分丰富并有广阔应用前景的重要边缘性学科。

它与力学、微分方程、控制理论、数学经济、最优化理论、对策理论、非线性规划等理论和应用学科有着广泛的联系并有重要的应用。

变分不等式是经典变分问题的推广和发展，它是将经典变分问题的约束条件放松为某些单边约束(即用不等式代替等式)的变分方法.它是研究偏微分方程、最佳控制和其他领域的一个十分有用的工具，也是变分学的一个重要发展。

本文介绍变分不等式的概念并例举变分不等式常见的例子，给出导出变分不等式的一些方法。

最后我们探讨一类变分不等式的应用。

第一章 预备知识定义1.1（上方图形）设X 是一线性空间，M 是X 之一子集。

我们以()M co 表M 凸包。

设],(+∞-∞→X ：ϕ是一泛函。

集合()()}:,{)(r x R X r x epi ≤⨯∈=ϕϕ称为ϕ的上方图形，而()}:{)(∞<∈=x X x dom ϕϕ称为ϕ的有效域。

定义 1.2（凸泛函）设X 是一线性空间，C 是X 的凸集，R C →：ϕ(记],(+∞-∞=R )称为凸泛函，如果对任意的C y x ∈,，及任一[]1,0∈-t 有()()()()()y t x t y t tx ϕϕϕ-+≤-+11.泛函ϕ称为严格凸的，如果()y x C y x ≠∈∀,，及任一()1,0∈t 有 ()()()()()y t x t y t tx ϕϕϕ-+<-+11.泛函ϕ称为拟凸的，如果对任意R ∈λ，集合()}:{λϕλ≤∈=x C x F .是凸的。

定义1.3（上、下半连续） 设X 是一拓扑空间，R X →：ϕ是一真泛函。

ϕ称为在X 上是下半连续的，如果对任一X x ∈0及任一网X x ⊂}{α，当0x x →α时，有()()00inf lim x x x x ϕϕαα→≤.ϕ称为在X 上是上半连续的，如果对任一X x ∈0及任一网X x ⊂}{α，当0x x →α时，有()()00sup lim x x x x ϕϕαα≤→.定义1.4（半连续） 设X 是一线性赋范空间，*:X X T →是一映像，X x ∈0.如果对任一X y ∈及一切0≥n t ，当0→n t 时，有()00*Tx y t x T W n →+，则称T 在0x 处半连续。

如果T 在X 的每点处都是半连续，则称T 在X 上是半连续的。

定义1.5（Frechet 微分） 设X 和Y 是Banach 空间，D 是X 中的开集，D x Y D A ∈→,:。

若存在线性有界算子Y X B →:,使得()()h x w Bh Ax h x A ,000+=-+.其中()()||||,0h o h x w =，即()0||||,||lim00||||=→h h x w h . 则称算子A 在点0x 处Frechet 可微，而Bh 称为A 在0x 处关于h 的Frechet 微分，记为()[]h x A d 0。

算子B 称为A 在0x 处的Frechet 导算子，记为()0'x A 。

定义1.6（单调） 设*2:X X T →是一多值映像。

（1）T 称为单调的，如果对任意的X y x ∈,及任一的Ty g Tx f ∈∈,0,≥--y x g f ；（2）单调映像T 称为严格的，如果T 是单调的，且0,=--y x g f ，则y x =。

定义1.7（强制泛函） 称泛函1:R X f →是强制的，如果.)(lim +∞=∞→x f x 定义1.8（强制连续双线性型泛函） 若存在常数0>α及0>β，使得()2||||,v a v u a ≥且()H v u v u v u a ∈∀⋅≤,||,||||||,β，则称()v u a ,是H 上的强制连续双线性型泛函。

第二章 变分不等式的概念和例子§2.1 变分不等式的概念从经典的极值问题我们引申出变分不等式的现代数学理论，假设定义在实轴R 上的二次凸函数(),212c ax bx x F +-= ,0>b R x ∈ （2.1） 很显然，它具有极小值点0x ，且满足()000=-='a bx x F求得b a x /0=。

现在我们限制上述极小值问题。

假定函数F 不是定义在整个实轴上,而只在凸子集}10;{≤≤∈=x R x X上有定义，设0x 是F 在K 上的极小值点，则()()X x x F x F ∈∀≥,0. (2.2) 由于X 是凸子集，对于任何[]1,0∈λ，当x ，X x ∈0时也有()X x x x ∈-+00λ，因此()()()000x F x x x F ≥-+λ并且()()()0}{1lim 0000≥--++→x F x x x F λλλ于是，函数F 在X 上的极小值点将满足不等式()()X x x x x F ∈∀≥-',000 (2.3) 显然，只有当X b a ∈/时，上式等号成立。