马尔可夫信源

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马尔可夫信源

设信源所处的状态为：S E E1, E2 ,, EJ

信源每个状态下可能输出的符号： X A a1 , a2 ,, aq
每一时刻信源发出一个符号后，所处的状态发生转移信源输出的随机符号序列为： x1，x2 ,, xl 1, xl ,
, sl 1 , sl , 信源所处的随机状态序列为： s1，s2，
2. 6 马尔可夫信源

2.6.2(2)M阶马尔可夫信源的信息熵
时齐的、遍历的M阶马尔可夫信源的熵
H H m 1 Q Ei H X akm P akm1 | ak1 ak2 akm
k1 1 k2 1 km 1 km1
设在第L时刻信源处于状态 E i 时，输出符号 ak 的概率给定为：
P xl ak | sl Ei

另外，假设在第 l 1 时刻信源处于Ei状态，下一时刻转移到Ej 状态的转移概率为： P {sl E j | sl 1 Ei ) ij (l ) P 称此信源的随机状态服从马尔可夫链
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信息论
2. 6 马尔可夫信源
若当这些概率和时刻L无关，既满足

P( xl ak | sl Ei ) P ak | Ei
Pij P E j | Ei

则成为时齐的或齐次的。此时，信源的状态序列服从时齐马尔可夫链。
若时齐马尔可夫链对一切 Ei , E j存在不依赖于Ei 的极限
p(0 / 01) p(1 / 01) p(0 / 10) p(1 / 10) 0.5
确定该马氏源的状态，写出状态转移矩阵，画出信源的状态转移图。
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第二章-信息论基本概念（3）

H ( X m1 / X1 X 2 X m )
这表明：m阶马尔可夫信源的极限熵H 就等于m阶条件熵，记为H m 1
akm )
设状态 Ei (ak1 ak2 akm ),信源处于状态Ei时，再发出下一个符号akm1
此时，符号序列 (ak2 ak3 a ) km1 就组成了新的信源状态
Ej (ak2 ak3 a ) km1 ，这时信源所处的状态由 Ei 转移到 Ej
状态转移图(香农线图)
0:0.5 E1
1:0.5 E3
1
0:0.6
E2
1:0.4
【注】E1、E2、E3是三种状态，箭头是指从一个状态转移到另
一个状态，旁边的数字代表发出的某符号和条件概率p(ak/Ei) 。这就是香农提出的马尔可夫状态转移图，也叫香农线图。
二、马尔可夫信源
若信源输出的符号和信源所处的状态满足以下两个条件，则称为马尔可夫信源：
a1 a2
p(sl
E2
/ xl
a3
sl1 E1 ) 0 sl1 E1 ) 1 sl1 E1 ) 1 sl1 E1 ) 0
可求得状态的一步转移概率：
1
2
1 4
0
1 4
0
0
1 2
1 2
0
0
p(E j
/
Ei
)
0
3
1
0
0
44
0
0
0
0
1
0
0
0
3 4
1 4
此信源满足马尔可夫的两个条件，所以是马尔可夫信源，并且是齐次马尔可夫信源。
对于这个随机序列，若有：
p(xn Sin | xn1 Sin1 ,..., x1 Si1 ) p(xn Sin | xn1 S ) in1

马尔科夫信源课件

马尔科夫信源在物联网中的应用前景
1 2
物联网通信
探讨马尔科夫信源在物联网通信中的应用前景，分析其在物联网通信中的优势和局限性。
低功耗设计
研究如何在保证性能的同时降低马尔科夫信源的功耗，以满足物联网设备低功耗的需求。
3
跨领域应用
探讨马尔科夫信源在其他领域的应用前景，如生物信息学、医学影像处理等，分析其在这些领域的适用性和优势。
进行计算。
应用
03
状态转移概率是马尔科夫信源的重要参数，用于描述信源的动
态特性，是进行信息编码和数据压缩的重要依据。
平稳状态分布
01
定义
平稳状态分布是指马尔科夫信源在无限长时间内的状态概率分布。
02
计算方法
平稳状态分布可以通过迭代计算得到，也可以通过数学模型进行推导。
03
应用
平稳状态分布是马尔科夫信源的重要参数，用于描述信源的统计特性，
如果马尔科夫链的状态转移是稳定的，那么信源的统计特性就可以被视为具有长期一致性，从而在编码时可以利用这些信息来提高压缩效率。相反，如果状态转移是不稳定的，那么信源的统计特性就可能具有较大的波动，需要采用不同的编码策略来处理。
03 马尔科夫信源的编码与解码
CHAPTER
编码原理
统计特性
马尔科夫信源的编码原理基于信源的统计特性，通过对概率较大符号的压缩，以及对概率较小符号的冗余编码，实现数据压缩。
计算复杂度
编码与解码过程中的计算复杂度也是衡量效率的重要因素，计算复杂度越低，表示实现越简单，效率越高。
04 马尔科夫信源的应用场景
CHAPTER
自然语言处理
语言模型
马尔科夫链蒙特卡洛方法可以用于构建语言模型，通过训练大量文本数据，预测给定前一个词的情况下下一个词的概率分布。

第2章_2.7马尔可夫信源

在状态E2时，以0.8的概率发出符号 1，状态仍然为 E2；以0.2的概率发出符号 0，状态转移到 E1
19
马尔可夫信源－状态转移图
为什么马尔可夫信源是非平稳的信源：初始概率为： p(0) p(1) 0.5 进入 E1 或 E 2 两个状态。之后无论在哪个状态，下一个输出的符号有80％的可能性是1，转移到 E 2 ，有20％的可能性是0，转移到 E1 ，所以 p(0) 0.2; p(1) 0.8 ，与初始概率不同，不满足平稳信源的定义。
jE
iE
6
1,...,k步转移概率
定义k步转移概率为
(k ) pij (m) P{Sm k j | Sm i}
i, j E
它表示在时刻m时，Xm的状态为i的条件下，经过k步转移到达状态j的概率。性质：
(k ) 1、pij (m) 0
i, j E iE
2、 pij( k ) (m) 1
21
m阶马尔可夫信源
m阶马尔可夫信源：在任何时刻l，输出分量的概率分布只与前面m个分量的输出有关。
可以把前面m个分量组成的序列做为l时刻信源所处的状态。
如果信源的符号集是 A a1
m q 则信源的状态共有个
a2 aq
22
m阶马尔可夫信源
例2.9 二元二阶马尔可夫信源。二元指信源可能的输出有2种取值，如0，1；马尔可夫信源共有个 q m 2 2 4 状态，前两个分量可能取值的排列
E0 E1 E2 ，其中设为该马尔可夫信源有三个状态： E0 初始状态，初始概率为 p(0) p(1) 0.5 ，等概率的转移到 E1和E2 这两个状态
18
马尔可夫信源－状态转移图

马尔科夫信源

x3 0 1 00 0.4 0.6 01 0.2 0.8 10 0.3 0.7 11 0.4 0.6

• 从第四单位时间开始，随机变量Xi只与前面二个单位时间的随机变量Xi-2Xi-1有依赖关系: p(xi| xi-1 xi-2…x2 x1) = p(xi| xi-1 xi-2) (i＞3) 且 p(xi| xi-1 xi-2) = p(x3| x2x1) (i＞3) 求：⑴信源状态转移情况和相应概率； ⑵画出完整的二阶马尔可夫信源状态转移图； ⑶求平稳分布概率；（4）马尔科夫信源达到稳定后，0和1的分布概率。
s1 00; s2 01; s3 10; s4 11
由于信源只可能发出0或者1，所以信源下一时刻只可能转移到其中的两种状态之一。如目前所处状态为00，那么下一时刻信源只可转移到00或者01。而不 12 会转到10或者11状态。
p( s1 | s1 ) p( s4 | s4 ) 0.8, p( s3 | s2 ) p( s1 | s3 ) p( s4 | s2 ) p( s4 | s2 ) p( s2 | s3 ) 0.5; p( s2 | s1 ) p( s3 | s4 ) 0.2
区别
p11 p1n P p( x j | si ) pQ1 pQn
7
马尔可夫信源
• 状态转移图
–齐次马尔可夫链可以用其状态转移图(香农线图)表示 –每个圆圈代表一种状态 –状态之间的有向线代表某一状态向另一状态的转移 –有向线一侧的符号和数字分别代表发出的符号和条件概率
• 解: • 设信源开始处于s0状态,并以等概率发出符号0和1,分别到达状态s1和s2 : s0 • 若处于s1 ,以0.3和0.7的概率发出0和1到达s3和s4 • 若处于s2,以0.4和0.6的概率发出0和1到达s5和s6

信息论马尔科夫信源

x
xk N ) log p(
xk N
xk N m xk N 1
)}
p( xk1 xkm1 )
xk1 xkm
)
H(
X m1
X1 X m
) H m1
p( xkm1 / xk1 xk2 xkm ) p( xk / si ) p( s j / si ) H H m1 p( si ) p( s j / si ) log 2 p( s j / si )
输出状态序列：S1S2 Sl 1Sl
1
2
某时刻输出符号仅与此刻信源所处的状态有关；
某时刻所处状态由当前输出符号和前一时刻信源状态唯一确定。
设l时刻信源处于si , 输出xk
pl (
pl (
xk
si
si
) p(
X l xk
Sl si
)
)
sj
) p(
Sl s j
Sl 1 si
则由信源输出符号的条件概率
p( xim1 / xi1 xi2 ... xim )
可以确定状态转移概率p(sj/si)，i，j∈{1,2,…,nm} 马尔可夫信源的状态空间
s1...si ...s j ...sn m p( s / s ) j i
例：设一个二元一阶马尔可夫信源，信源符号集为 X={0,1}，信源输出符号的条件概率为 p(0/0)=0.25，p(0/1)=0.50，p(1/0)=0.75，p(0/1)=0.50，求状态转移概率。解：由于信源符号数n=2，因此二进制一阶信源仅有2个状态：s1=0，s2=1。由条件概率求得信源状态转移概率为 p(s1/s1)=0.25，p(s1/s2)=0.50，p(s2/s1)=0.75，p(s2/s2)=0.50

3.4_马尔可夫信源

信息论与编码技术电子信息工程专业主讲：孙静机械电子工程系3.4 马尔可夫信源离散信源中有一类特殊的信源，其信源输出的符号序列中符号之间的依赖关系是有限的，并且满足马尔可夫链的性质，因此可用马尔可夫链来处理。

任何时刻信源符号发生的概率只与前面已经发生过的若干个符号有关，而与更前面的符号无关。

3.5.2课上要求：课本P641.【定义】若离散平稳信源在某时刻发出的符号仅与在此之前发出的有限个符号有关，而与更早些时刻发出的符号无关，这类信源称为马尔可夫（MovKov）信源。

2.【数学描述】如果随机变量序列X 中的任一时刻(n +1)的随机变量X n +1只依赖于前面已经发生的n 个随机变量X 1X 2…X n ，与更前面的随机变量无关，则称这种信源为n 阶马尔可夫信源。

其概率分布表示为：)|()|(21211221n i i i i i i i i n i i x x x x p x x x x x x x x p ---++---=3.【特殊说明】①n阶马尔可夫信源只与前面发出的n个符号有关，即关联长度为n+1。

②当n=1时，即任何时刻信源符号发生的概率只与前面一个符号有关，则称为一阶马尔可夫信源。

二、相关概念1.状态【定义】把排在指定符号前面与它相关联的n个符号定义为该符号的状态。

【数目】n阶马尔可夫信源可以有q n种不同的状态。

当前时刻输出的符号1.状态【举例】序列的状态是由信源的符号构成的。

•比如二元二阶马尔可夫信源有四个状态：{0，1} {00，01，10，11}前一时刻输出的符号2.状态转移设离散平稳有记忆信源的状态集为S={S1,S2,…,S J}，在每一状态下输出的符,a2,…,a q}，并认为每一时刻号X∈A={a1，当信源发出一个符号后，信源所处的状态将会发生转移。

【注意】本课程只研究时齐马尔可夫信源，即状态转移过程与时间无关。

1.前提假设信源输出符号序列为：x 1, x 2, … , x l -1, x l , …。

马尔可夫信源和剩余度

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举例
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信源熵的相对率

H H0
信源的剩余度（冗余度）
1 1
H H0 1 H log q
英文的冗余度
1
1.4 0.71 4.76
信息变差
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3.3.3
马尔可夫信源
马尔可夫信源是一类相对简单的有记忆信源，信源在某一时刻发出某一符号的概率除与该符号有关外，只与此前发出的有限个符号有关。
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3.3.3
马尔可夫信源
我们把前面若干个符号看作一个状态，可以认为信源在某一时刻发出某一符号的概率除了与该符号有关外，只与该时刻信源所处的状态有关，而与过去的状态无关。信源发出一个符号后，信源所处的状态即发生改变，这些状态的变化组成了马氏链。
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例
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一步转移概率矩阵
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m阶马尔可夫信源的条件概率
m阶马尔可夫信源的极限熵
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例3.5 设有一个二元2阶马尔可夫信源，其信源符号集为
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解得计算极限熵
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ch06马尔可夫信源

Review of the last lecture
问题2&3:
• H(X)/矢量熵= H(X1X2…XN-1XN)/联合熵表示平均发一个消息（由N个符号组成）提供的信息量。 • 平均符号熵：信源平均每发一个符号提供的信息量为
H N (X ) =
1 N
H (X1X 2 … X N )
• 极限熵：当N→∞时，平均符号熵取极限值称之为极限熵或极限信息量。用H∞表示，即
• 这里利用了m阶马尔可夫信源“有限记忆长度”的根本特性，使无限大参数N变为有限值m，把求极限熵的问题变成了一个求m阶条件熵的问题。 • 状态一步转移概率p(ej /ei)是给定或测定的。求解Hm+1条件熵的关键就是要得到p(ei)(i=1,2,…,nm) 。 p(ei)是马尔可夫信源稳定后(N→∞)各状态的极限概率。 • 有限状态的马尔可夫链：状态空间的状态是有限的。 • 可列状态的马尔可夫链：状态空间I是{0,±1,±2,…}。
k =1
由图中看出： P( S = e / X = x , S = e ) = 0 ⎧ l 2 l 1 l −1 1
⎪ P( S = e / X = x , S = e ) = 1 l 1 l 1 l −1 1 ⎪ ⎪ ⎨ P( S l = e2 / X l = x2 , S l −1 = e1 ) = 1 ⎪ P( S = e / X = x , S = e ) = 0 l 3 l 2 l −1 1 ⎪ ⎪ ⎩
H ∞ = lim
N →∞
1 N
H (X1X 2 … X N )
Review of the last lecture
• 极限熵的存在性：当离散有记忆信源是平稳信源时，从数学上可以证明，极限熵是存在的，且等于关联长度 N→∞时，条件熵H(XN/X1X2…XN-1)的极限值，即

2-6 第2章 2.2.4-5 马尔可夫信源

信源输出的随机符号序列为X1 X 2 X l , X l X ( x1 , x2 , xn ), l 1, 2, 信源所处的状态序列为S1S 2 Sl , Sl S (e1 , e2 , eJ ), l 1, 2,
3
马尔可夫信源定义
定义若信源输出的符号序列和状态序列满足下述条件则称此信源为马尔可夫信源 1、某一时刻l 信源的输出仅与信源的当前状态有关，即 p ( X l xk Sl e j , X l 1 xk1 , Sl 1 ei ,) p ( X l xk Sl e j ) 其中，xk、xk1 A；ei、e j S 2、信源的状态只由当前的输出符号和前一时刻信源状态唯一确定，即 1 p ( Sl ei X l xk , Sl 1 e j ) 0
6
马尔可夫链状态转移图-例题
通常我们用马尔可夫链的状态转移图来描述马尔可夫信源。
例一个二进制一阶马尔可夫信源，信源符号集为X {0,1}，条件概率为 p (0 0) 0.25, p(0 1) 0.5, p (1 0) 0.75, p(1 1) 0.5, q 2, m 1, 所以e1 0, e 2 1.
i j
其中p (e j )是马尔可夫链的平稳分布。 p (e j )为极限概率，满足方程组 p (e j ) p (ei ) p (e j / ei ) Nhomakorabeai 1 nm
( j 1, 2,..., n m )
及条件 p (e j ) 0,
p (e
j 1
nm
j
) 1
15
计算此马尔可夫信源熵-例题
N
H ( X m1 X 1 , X 2 ,, X m ) H m1 即m阶马尔可夫信源的极限熵等于m阶条件熵。 13

第二篇基本信息论4_马尔可夫信源

p( X t xk / St ej , X t1 xk1, St1 ei ,...) pt (xk / ej ) 若信源时齐，则pt ( xk / ei ) p( xk / ei ) 不论何时，在状态ei下发生符号xk的概率不变。
2）信源某时刻 t 所处的状态，由当前的输出符号和前一时刻 (t-1) 信源所处的状态唯一确定。
态一步转移概率矩
阵，可写出：
e2 01
0: 0.8
00 e1
0: 0.5
0: 0.5 1: 0.5
10 e3
1: 0.5 当信源处于状态e1 00时：
0: 0.2
11 e4
1: 0.8
p(0 / 00) p( x1 / e1) p(e1 / e1) 0.8
p(1/ 00) p( x2 / e1) p(e2 / e1) 0.2
2.4 马尔可夫信源
一、马尔可夫链
设信源所处的状态为：S e1,e2,...,enm
信源每一状态下可能输出的符号：X x1, x2,..., xn
每一时刻信源发出一个符号后，所处的状态发生转移
信源输出的随机符号序列为： X1, X 2 ,..., X t1, X t ,... 信源所处的状态序列为： S1, S2 ,..., St1, St ,...
若马尔可夫信源的状态数为m，则称为m阶马尔可夫信源
m阶马尔可夫信源的熵：
H
lim
N
H
(
X
N
/
X1X 2...X N1)
Hm1 H ( X m1 / X1 X 2...X m )
nn
n
...
p( xk1 xk2 ...xkm1 ) lb p( xkm1 / xk1 xk2 ...xkm )

信息论汇总马尔科夫信源ppt培训课件

字母有关外,只与此前发出的有限个字母有关
• m阶马尔可夫信源：
– 信源输出某一符号的概率仅与以前的m个符号有关，而与更前面的符号无关。
• 条件概率 p ( x L |x L 1 , x 1 ) p ( x L |x L 1 , x L m )
4
马氏链的基本概念
• 一阶马尔可夫信源：
p(0|0)=0.25, p(0|1)=0.5, p(1|0)=0.75, p(1|1)=0.5 求状态转移概率，画出状态转移图。
q2,m1,qm2
s10;s21 p(s1|s1)0.25,p(s1|s2)0.5;p(s2|s1)0.75,p(s2|s2)0.5
1 0.5 0 0.25
：
0
1：0.75
1
：
0：0.5
12
• 例3 设有一个二元二阶马尔科夫信源，其信源符号集X={0,1}，信源输出符号的条件概率为
P(0|00)=p(1|11)=0.8, p(1|00)=0.2
p(0|01)=p(0|10)=p(1|01)=p(1|10)=0.5 求状态转移概率矩阵，画出状态转移图
• 引入状态变量的好处：使得高阶马尔科夫过程可以转化为一阶马尔科夫过程处理。
5
马氏链的基本概念
• 令si = (xi1, xi2, …xim) xi1,,xi2, …xim ∈(a1, a2, …an) • 状态集S ={ s1,s2,…,sQ} Q = nm • 信源输出的随机符号序列为：x1, x2,…xi-1, xi … • 信源所处的随机状态序列为：s1, s2,…si-1 , si … • 例：二元序列为…01011100… • 考虑m = 2，Q = nm =22= 4

2.4马尔可夫信源

2.4马尔可夫信源如果信源的前个不同的序列值，决定信源下一时刻发送某个符号的概率，这类信源输出符号时不仅与信源的符号集有关（与普通信源类似），而且还与信源状态有关（即前m 个符号有关）,所以要引入信源状态的概念。

设信源所处的状态为：}{ej e e S ,...2,1∈在信源每一状态下可能输出的符号为：{}n x x x X ,...2,1∈而且一般每一时刻信源发出一个符号后，所处的状态发生转移，信源输出的随机符号序列为：X1,X2,…X t-1, X t ,…信源所处的状态序列为： S1,S2,…S t-1, S t ,…设在第时刻信源处于状态时，输出符号的概率给定（在马尔可夫信源中这是已知值）为： p t (x k /e i )= p(X t =x k /S t =e i )另外设信源在的前一时刻时刻处于状态，而在时刻转移到的状态，转移概率为：p t(e j/e i)= p(S t=e j/S t-1=e i)如果信源输出的符号和所处的状态满足下面两条，则称为马尔可夫信源:1．某时刻信源输出哪个符号只与此时信源所处的状态有关，而与以前的状态以及以前的输出符号均无关。

2．信源某时刻所处的状态，由当前的输出符号和前一时刻信源的状态唯一确定。

可见状态的转移依赖于发出的信源符号和此时的信源序列的状态，因为条件概率是已经给定的，所以状态的转移必以一定的概率进行。

在确定的情况下，原状态转换到下一状态，则显然状态的一步转移概率与有下列关系：p(e j/e i)= p t(x k/e i)可以用状态转移图，条件概率矩阵以及状态的一步转移概率矩阵描述马尔可夫信源特性。

各态历经定理：所谓各态历经性是指经过若干时间后，处于各状态的概率与初始状态无关，即稳定下来了。

具有各态历经性的阶马尔可夫信源，其状态极限概率可由式（2.4.3）求出，再进一步和已知的据式（2.4.2）求出阶马尔可夫信源的熵。

[例2.4.1]马尔可夫信源（在稳定后）是用状态概率分布及各状态下发出符号的概率作为已知条件来研究信源的熵，其状态概率只有在稳定以后才是确定的，也就是说马尔可夫信源的状态转移图（例如图2.4.1）原来是变的，经过一定时间才稳定下来（成为稳定的图），而马尔可夫信源各状态的概率，在起始时与到了后来稳定时完全可以不相同。

马尔科夫信源

∑ P (m, m + n) = 1, i = 1, 2,…
j =1 ij
∞
当Pij(m,m+n)与m无关时，称马尔科夫链 (m,m+n)与为齐次马尔科夫链，通常说的马尔科夫齐次马尔科夫链，通常说的马尔科夫链都是指齐次马尔科夫链。
马尔可夫信源
例：二阶马尔可夫信源，原始符号集为{1,0}，条件概率定为：P(0|00)=P(1|11)=0.8 P(1|00)=P(0|11)=0.2 P(0|01)=P(0|10)=P(1|01)=P(1|10)=0.5 由此可见，信源共有2^2=4种状态 E：{e1=00,e2=01,e3=10,e4=11} 状态之间有转移概率， p(e2/e1)=p(e3/e4)=0.2 p(e2/e4)=p(e1/e3)=p(e2/e3)=p(e3/e2)=0.5 P(e1/e1)=p(e4/e4)=0.8
多符号离散平稳信源
根据信息熵的定义，可得：（1）联合熵
H ( X 1 X 2 ) = −∑∑ P(ai a j ) logP(ai a j )
i =1 j =1Fra bibliotekqq
可以表征信源输出长度为2的平均不确定性，或所含有的信息量。因此可以用 1/ 2 H ( X 1 X 2 )作为二维平稳信源的信息熵的近似值
e2 0 e3 0 e4 1 e5 1 4
1
1 2
1 4 1 2 3 4
0
1 4
0 1 2
1 4 1 2 1 4
e1
e2
e3
e4
e5
e1 1 1 0 1 0 2 4 4 e2 0 1 1 0 0 2 2 e3 0 3 1 0 0 4 4 e4 由图中可得状态的一步转移概率：由图中可得状态的一步转移概率： 0 0 0 0 1 e5 0 0 0 3 1 4 4 该信源满足马尔可夫信源定义。该信源满足马尔可夫信源定义。

例4二元2阶马尔可夫信源

第五节离散平稳信源根据信息熵的定义，可得：（1）联合熵
H ( X1 X 2 ) P(ai a j ) logP(ai a j )
i 1 j 1
q
q
可以表征信源输出长度为2的平均不确定性，或所含有的信息量。因此可以用 1/ 2H ( X1 X 2 )作为二维平稳信源的信息熵的近似值
A1=a1a1
A4=a2a1 A7=a3a1
A2=a1a2 A5=a2a2 A8=a3a2
A3=a1a3 A6=a2a3 A9=a3a3
第四节离散无记忆的扩展信源其概率关系为 :
A1
A2
A3
A4
A5 1/4
A6 1/8
A7
A8
A9 1/16
1/16 1/8
1/16 1/8
1/16 1/8
计算可知 H ( X 2 ) 3bit
第四节离散无记忆的扩展信源
其中：
P(i ) P(ai1 ) P(ai 2 )...P(aiN )
根据信息熵的定义：
H ( X N ) P( X N )log P( X N )
XN
可以证明，对于离散无记忆的扩展信源
H ( X N ) NH ( X )
第四节离散无记忆的扩展信源例: 离散无记忆信源的N次扩展信源离散无记忆信源为：X:{a1,a2,a3}; P(X):{1/4, 1/2, 1/4} 2次扩展信源为：X2:{A1…A9} 信源的9个符号为：
第二节离散信源的信息熵例：天气预报，有两个信源
X 1 a1, p( x) 1/ 4,
则：
a2 X 2 a1, 3/ 4 p( x) 1/ 2,

第二章基本信息论4_马尔可夫信源

概率给定，为： pt ( xk / ei ) = p ( X t = xk / St = ei )
♦ 设信源在 t 的前一时刻 (t-1) 时刻处于 ei 状态，而
在时刻 t 转移到 ej 状态，转移概率为：
pt ( e j / ei ) = p( St = e j / St −1 = ei )
上式的条件概率称为马尔可夫链在时刻 t 的状态一步转移概率
j
[例]一个二元2阶马尔可夫信源，原始信源X 的符号集为（x1 = 0, x2 = 1)，其状态空间具有n m = 22 = 4个不同的状态e1 , e2 , e3 , e4 ,即 E :{e1 = 00, e2 = 01, e3 = 10, e4 = 11} 其状态转移图如下，求该马尔可夫信源熵。
+ p( e3 ) H (0.5,0.5) + p( e4 ) H (0.8,0.2)
5 1 = × ( −0.8lb0.8 − 0.2lb0.2) + × ( −0.5lb0.5 − 0.5lb0.5) 14 7 1 5 + × ( −0.5lb0.5 − 0.5lb0.5) + × ( −0.8lb0.8 − 0.2lb0.2) 7 14
= p( ei ) p ( xkm+1 / ei ) = p ( ei ) p( e j / ei )
H ∞ = H m +1 = − ∑∑ p ( ei ) p ( e j / ei )lb p ( e j / ei )
i =1 j =1
nm nm
其中：p ( ei ) (i = 1,2,..., n m ) 为m阶马尔可夫信源稳定后的状态极限概率
( j = 1,2,..., n m )

马尔可夫信源

从而得到马尔可夫信源状态空间
e1
e2
...
enm
p ej / ei
13
HUST --- Information and Coding Theory
马尔可夫信源与马尔可夫链
其状态e由（x
i
i1
,
xi2
,
L
, xim）唯一确定，
因此p(xkm1 xkm ,L , xk1 ) p(xkm1 ei ) 信源发出xkm1 ,状态变为ej ,
其意义是：系统在现在时刻n 1处于状态Sin 1，那么将来时刻n的状态Sin 与过去时刻n 2, n 3,...,1的状态Sin 2,..., Si1无关，仅与现在时刻n 1的状态Sin 1有关。即，已知系统的现在，那么系统的将来与过去无关。这种特性称为马尔可夫特性。
2
HUST --- Information and Coding Theory
基本（一步）转移概率
当n m 1时，pij(m, m 1)即为一步转移概率。一般，把pij(m, m 1)记为pij(m)，m 0, 称为基本转移概率。
pij(m)=P X m1 j | X m i i, j S
pij(m)中m表示基本转移概率与时刻m有关。
4
HUST --- Information and Coding Theory
18
HUST --- Information and Coding Theory
马尔可夫信源-例题
例设有一个二进制二阶马尔可夫信源，信源符号集为{0,1}，条件概率为 p(0 00) p(111) 0.8， p(1 00) p(0 11) 0.2， p(0 01) p(0 10) p(1 01) p(110) 0.5 试求其平稳分布和极限熵。

信息论与编码马尔可夫信源

2.2.4 马尔可夫信源
(1) 马尔可夫信源的定义 (2) m阶马尔可夫信源 (3) 举例
(1) 马尔可夫信源的定义
① 信源的状态和符号集 ② 马尔可夫信源定义 ③ 举例
① 信源的状态和符号集
有一类信源，有一类信源，输出的符号序列中符号之间的依赖关系是有限的，是有限的，即任何时刻信源符号发生的概率只与前面已经发出的若干个符号有关，已经发出的若干个符号有关，而与更前面发出的符号无关。无关。设符号集为X和状态为S 设符号集为X和状态为S。信源输出的信息符号还与信源所处的状态有关。信源所处的状态有关。状态S ,…,e 状态S∈{e1,e2,…,ej} 符号X …,x 符号X∈{x1,x2, …,xn} 每一时刻信源发出一个符号后，每一时刻信源发出一个符号后，所处的状态将发生转移。转移。 …,X 信源输出的随机符号序列为 X1,X2, …,Xl-1,Xl, … 信源所处的随机状态序列为 S1,S2, …,Sl-1,Sl, … …,S
k m+1
)
（或写成。
p ( xkm+1 / xk1 xk 2 L xkm ) = p ( xk / ei ) = p (e j / ei )
nm nm i =1 j =1
H ∞ = H m +1 = −∑∑ p (ei ) p(e j / ei ) log 2 p(e j / ei )
其中p )(i=1,2,…,n 其中p(ei)(i=1,2,…,nm)是m阶马尔可夫信源稳定后的状阶马尔可夫信源稳定后稳定后的状态极限概率，是一步转移概率。态极限概率， p(ej /ei)是一步转移概率。
② m阶马尔可夫信源的极限熵
m阶马尔可夫信源的极限熵
H ∞ = lim H ( X N / X 1 X 2 … X N −1 )

马尔可夫信源概率分布

马尔可夫信源概率分布
马尔可夫信源概率分布是指在马尔可夫过程的基础上，求出每个符号出现的概率分布。

马尔可夫过程是一种统计模型，其基本假设是：每个符号的出现只与前一个符号有关，而与之前的所有符号无关。

在马尔可夫信源中，符号序列的生成是通过一个状态转移矩阵来实现的。

该矩阵描述了在当前状态下，从一个符号转移到下一个符号的概率。

通过对状态转移矩阵的求解，可以得到每个符号在不同状态下的概率分布。

这些概率分布可以用来描述马尔可夫信源的特征，如熵、平均符号长度等。

马尔可夫信源概率分布在信息论、统计学、机器学习等领域有广泛的应用。

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