最新湘教版九年级数学相似三角形知识点及习题

九年级上册相似三角形考点
一、本章的两套定理
第一套（比例的有关性质）：
b
a n d
b m
c a n
d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。

二、有关知识点：
1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。

5.相似三角形的判定定理：
(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：
类型
斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SAS
SSS AAS （ASA ） HL 相似三角形的判定 两边对应成比
例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等
一条直角边与斜边对应成比例
从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6.直角三角形相似：
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理：
(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8.相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2
三、注意
1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ X ”型。

c
d a b = d b c a a c b d ==或 合比性质：d d c b b a ±=± ⇒=⇔=bc ad d
c b a （比例基本定理）
在利用定理证明时要注意A 型图的比例
AD AB DE BC AE AC
==，每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要防止写成AD DB DE BC AE EC ==的错误。

2、相似三角形的基本图形
Ⅰ.平行线型：即A 型和X 型
Ⅰ.相交线型
C
B D
E
A
3、掌握相似三角形的判定定理并且运用相似三角形定理证明三角形相似及比例式或等积式。

4、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

5、对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k 。

6、对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。

第4讲 图形的相似
A 级 基础题
1．(2010年广西桂林)如图X6－4－1，已知△ADE 与△ABC 的相似比为1∶2，则△ADE
与△ABC 的面积比为( )
A ．1∶2
B ．1∶4
C ．2∶1
D ．4∶1
2．若两个相似三角形的面积之比为1∶16，则它们的周长之比为( )
A ．1∶2
B ．1∶4
C ．1∶5
D ．1∶16
3．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的为( )
A ．1,2,3,4
B ．1,2,2,4
C ．3,5,9,13
D ．1,2,2,3
4．(2011年湖南怀化)如图X6－4－2，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3，
则CE 的值为( )
A ．9
B ．6
C ．3
D ．4
5．若△ABC ∽△DEF ，它们的周长分别为6 cm 和8 cm ，那么下式中一定成立的是( )
A ．3A
B ＝4DE B ．4A
C ＝3DE C ．3∠A ＝4∠
D D ．4(AB ＋BC ＋AC )＝3(D
E ＋E
F ＋DF )
6．如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，BC ＝3，B ′C ′＝1.8，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为( )
A ．5∶3
B ．3∶2
C ．2∶3
D ．3∶5
7．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似．其中说法正确的序号是________________．
8．如果两个相似三角形的相似比是3∶5，周长的差为4 cm ，那么较小三角形的周长为________cm.
9．(2012年湖南株洲)如图X6－4－3，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，沿直线MN 对折，使A ，C 重合，直线MN 交AC 于点O .
(1)求证：△COM ∽△CBA ；
(2)求线段OM 的长度．
图X6－4－3
C E
D
B A
10．(2011年湖南常德)如图X6－4－4，已知四边形ABCD是平行四边形．
(1)求证：△MEF∽△MBA；
(2)若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，求证：DF＝EC.
11．(2011年广西来宾)如图X6－4－5，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB
的垂直平分线分别与AC，AB交于点D，E.
(1)用圆规和直尺在图中作出AB的垂直平分线DE，并连接BD；
(2)证明：△ABC∽△BDC.
12．已知如图X6－4－6，在矩形ABCD中，E是BC上一点，F是BC的延长线上一点，且BE＝CF，BD与AE相交于点G.
求证：(1)△ABE≌△DCF；
(2)CF·AE＝BF·GE.
B级中等题
13．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4和x，那么x的值()
A．只有1个B．可以有2个
C．有2个以上但有限D．有无数个
14．如图X6－4－7，已知在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2.求证：△ABC∽△EAD.
15．如图X6－4－8，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，试证明：BC2＝2CD·AC.
16．如图X6－4－9，大江的同一侧有A ，B 两个工厂，它们都有垂直于
江边的小路AD ，BE ，长度分别为3千米和2千米，且两条小路之间的距离
为5千米．现要在江边建一个供水站向A ，B 两厂送水，欲使供水管路最短，
则供水站应建在距E 处多远的位置？
C 级 拔尖题
17．(2011年湖南怀化)如图X6－4－10，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片，AD
是边BC 上的高，BC ＝40 cm ，AD ＝30 cm ，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE
的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G ，H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M .
(1)求证：AM AD ＝HG BC
；
(2)求这个矩形EFGH 的周长．
选做题
18．(2012年湖南株洲)如图X6－4－11，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5米，AC ＝12米．点M 在线段CA 上，从C 向A 运动，速度为1米/秒；同时点N 在线段AB 上，从A 向B 运动，速度为2米/秒，运动时间为t 秒．
(1)当t 为何值时，∠AMN ＝∠ANM?
(2)当t 为何值时，△AMN 的面积最大？并求出这个最大值．
图X6－4－11。