高考数学一轮复习 8.1直线的方程学案

合集下载

高三数学一轮复习专题直线的参数方程导学案

第三课时直线的参数方程一、教学目标：知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及方法教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程（一）、复习引入：1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。

圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）（2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）2．写出椭圆参数方程.3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参数方程?（二）、讲解新课：1、问题的提出：一条直线L 的倾斜角是030，并且经过点P （2，3），如何描述直线L上任意点的位置呢？如果已知直线L 经过两个定点Q （1，1），P （4，3），那么又如何描述直线L 上任意点的位置呢？2、教师引导学生推导直线的参数方程：（1）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）【辨析直线的参数方程】：设M(x,y)为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是指从点P 到点M 的位移，可以用有向线段PM 数量来表示。

带符号. （2）、经过两个定点Q 11(,)y x ，P 22(,)y x (其中12x x ≠)的直线的参数方程为121121(1){x X y y x y λλλλλλ++++==≠-为参数，。

其中点M(X,Y)为直线上的任意一点。

这里参数λ的几何意义与参数方程（1）中的t 显然不同，它所反映的是动点M 分有向线段QP 的数量比QMMP 。

高考理科数学直线及其方程复习教案

2013年高考理科数学直线及其方程复习教案2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第八章8.1 直线及其方程考纲要求1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．知识梳理1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴____与直线l____方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为______．②倾斜角的取值范围为________．(2)直线的斜率：①定义：一条直线的倾斜角α的______叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝______，倾斜角是______的直线的斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝________. 2．直线的方程(1)点斜式：已知直线过点(x0，y0)，斜率为k，则直线方程为____________，它不包括__________的直线． (2)斜截式：已知直线在y轴上的截距b和斜率k，则直线方程为__________，它不包括垂直于x轴的直线． (3)两点式：已知直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，则直线方程为________，它不包括垂直于坐标轴的直线．(4)截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距分别为a，b(其中a≠0，b≠0)，则直线方程为____________，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．(5)一般式：任何直线的方程均可写成______________的形式．基础自测1．直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是( )．A．π6 B．π3 C．23π D．56π2．已知A(3,1)，B(－1，k)，C(8,11)三点共线，则k的取值是( )．A．－6 B．－7 C．－8 D．－93．斜率为2的直线的倾斜角α所在的范围是( )． A．0°＜α＜45° B．45°＜α＜90° C ．90°＜α＜135° D．135°＜α＜180°4．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )．A．1 B．－1 C．－2或－1 D．－2或15．若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则有( )．A．ab＞0，bc＞0 B．ab＞0，bc＜0C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0思维拓展1．如何正确理解直线的倾斜角与斜率的关系？提示：(1)所有的直线都有倾斜角，当直线与x轴垂直，即倾斜角为π2时，斜率不存在；(2)直线倾斜角的范围为[0，π)，因为正切函数在[0，π)上不单调，所以在研究斜率与倾斜角的关系时，可结合正切函数在0，π2∪π2，π的图像，对其在0，π2和π2，π上的变化情况分别讨论．2．求直线方程时，应注意什么？提示：(1)因为点确定直线的位置，斜率确定直线的方向，所以求直线方程时可从寻求点的坐标或直线的斜率入手，再选择合适的形式写出直线的方程；(2)有时也可先设出直线的方程，再利用待定系数法确定其中的参数．此时，一定要注意斜率不存在的情况．一、直线的倾斜角与斜率【例1】已知 A(－2,3)，B(3,2)，过点P(0，－2)的直线l与线段AB没有公共点，则直线l的斜率的取值范围是__________．方法提炼直线倾斜角的范围是[0，π)，但这个区间不是正切函数的单调区间．因此在考虑倾斜角与斜率的关系时，要分0，π2与π2，π两种情况讨论．由正切函数图像可以看出，当α∈0，π2时，斜率k∈[0，＋∞ )；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈π2，π时，斜率k∈(－∞，0)．请做[针对训练]1二、求直线的方程【例2】已知直线l过(2,1)，(m,3)两点，求直线l 的方程．方法提炼用待定系数法求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意所选方程的适用条件．无论选择哪种直线方程的形式，最后结果都要化成一般式．请做[针对训练]4三、直线方程的应用【例3－1】已知点A(2,5)与点B(4，－7)，试在y轴上求一点P，使得|PA|＋|PB|的值为最小．【例3－2】已知两直线l1：x＋2＝0，l2：4x＋3y＋5＝0及定点A(－1，－2)，求过l1，l2的交点且与点A的距离等于1的直线l的方程．方法提炼在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的面积、距离的最值等问题，一般要结合函数、不等式或利用对称来加以解决．请做[针对训练]5考情分析通过对近几年的高考试题的统计分析可以看出，对于直线方程的考查，一是考查直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；二是考查求直线的方程．从分析五种直线方程成立的条件入手，确定相应的量是确定直线方程的关键．用待定系数法求直线方程时，要特别注意斜率不存在的情况．单独考查直线方程的题目较少，主要是以直线方程为载体，与其他知识相交汇进行综合考查．针对训练1．直线xsin α－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是( )．A．0，π2 B．(0，π) C．－π4，π4 D．0，π4∪3π4，π2．(2011山东临沂模拟)直线xcos θ＋3y＋2＝0的倾斜角的取值范围为__________．3．(2011广东广州高三调研)已知直线l经过坐标原点，且与圆x2＋y2－4x＋3＝0相切，切点在第四象限，则直线l的方程为__________．4．若直线l过点P(－2,3)，与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程．5．已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△A BO的面积的最小值及此时直线l的方程．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)①正向向上0°②0°≤α＜180°(2)①正切值tan α90°②y2－y1x2－x12．(1)y－y0＝k(x－x0) 垂直于x轴(2)y＝kx＋b (3)y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(4)xa＋yb＝1 (5)Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)基础自测1．D 解析：∵直线的斜截式方程为y＝－33x－33，∴其斜率为－∴其倾斜角为56π.2．B 解析：∵A，B，C三点共线，∴k－1－1－3＝11－18－3.∴k＝－．B 解析：由tan α＝2，结合正切函数在0，π2∪π2，π的图像，易知45°＜α＜90°.4．D 解析：当直线l过原点时，则－2－a＝0，即a＝－2 ；当直线l不过原点时，原方程可化为xa＋2a＋ya＋2＝1，由a＋2a＝a＋2，得a＝1.所以a的值为－2或．D 解析：显然直线斜率存在，直线方程可化为y＝－abx－cb，因为直线过第一、二、三象限，所以有－ab＞0，－cb＞0，即ab＜0，bc＜0.考点探究突破【例1】－52，43 解析：如图，由斜率公式得kAP＝－2－30－(－2)＝－52，kBP＝－2－20－3＝43，当直线l从与x轴平行位置绕P点逆时针旋转到直线PB位置但不与PB重合时满足题意，其斜率l满足0≤k＜kPB＝43；当直线l从 AP位置(与AP不重合)绕P点逆时针旋转到与x轴平行的位置时，其斜率k满足kAP＜k＜0，即－52＜k＜0.综上所述k的取值范围是－52＜k＜【例2】解：当m ＝2时，直线l的方程为x＝2；当m≠2时，直线l的方程为y－13－1＝x－2m－2，即2x－(m－2)y＋m－6＝0.因为m＝2时，方程2x－(m－2)y＋m－6＝0，即为x ＝2，所以直线l的方程为2x－(m－2)y＋m－6＝0.【例3－1】解：如图所示，先求出A点关于y轴的对称点A′(－2,5)，直线A′B的方程为y＋75＋7＝x－4－2－4，化简为2x＋y－1＝0.令x＝0，得y＝1.故所求P点坐标为P(0,1)．【例3－2】解：先利用“过l1、l2的交点”写出直线系方程，再根据“l与A点距离等于1”来确定参数．过l1、l2交点的直线系方程是x＋2＋λ(4x＋3y＋5)＝0，λ是参数．化为(1＋4λ)x＋3λy＋(2＋5λ)＝0①，由|－1×(1＋4λ)＋(－2)×3λ＋(2＋5λ)|(1＋4λ)2＋(3λ)2＝1，得λ＝0.代入方程①，得x＋2＝0.因为直线系方程①中不包含l2，所以应检验l2是否也符合已知条件．因A(－1，－2)到l2的距离为|－4－6＋5|42＋32＝1，l2也符合要求．故直线l的方程为x＋2＝0和4x＋3y＋5＝0.演练巩固提升针对训练1．D 解析：直线xsin α－y＋1 ＝0的斜率是k＝sin α，又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k≤1.当0≤k≤1时，倾斜角的范围是0，π4；当－1≤k＜0时，倾斜角的范围是3π4，π.2．0，π6∪56π，π解析：把直线方程化为斜截式y＝－33cos θx－233，则k＝－33cos θ.∵－33≤k≤33，∴0≤α≤π6或56π≤α＜π.3．y＝－33x 解析：将圆的一般方程化为标准方程：(x－2)2＋y2＝1，圆心为(2,0)，半径r＝1，如图，经过原点的圆的切线的倾斜角为150°，切线的斜率为tan 150°＝－33，切线方程为y＝－33x.4．解：由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则l的方程为y－3＝k(x＋2)．令x＝0，得y＝2k＋3；令y＝0，得x＝－3k－2，则12|2k＋3|－3k－2＝4，∴(2k＋3)3k＋2＝±8.若(2k＋3)3k＋2＝8，化简得4k2＋4k＋9＝0，方程无解；若(2k＋3)3k＋2＝－8，化简得4k2＋20k＋9＝0，解得k＝－92或－12.∴直线l的方程为y－3＝－92(x＋2)或y－3＝－12(x＋2)，即9x＋2y＋12＝0或x＋2y－4＝0.5．解：解法一：设A(a,0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)，则直线l的方程为xa＋yb＝1.∵l过点P(3,2)，∴3a＋2b＝1，b＝2aa－3.从而S△ABO＝12ab＝12a2aa－3＝a2a－3.故有S△AB O＝(a－3)2＋6(a－3)＋9a－3＝(a－3)＋9a－3＋6≥2(a－3)9a－3＋6＝12，当且仅当a－3＝9a－3，即a＝6时，(S△ABO)min＝12，此时b＝2×66－3＝4.∴所求直线l的方程为x6＋y4＝1，即2x＋3y－12＝0.解法二：设直线方程为xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，代入P(3,2)，得3a＋2b＝1≥26ab，得ab≥24，从而S△AO B＝12ab≥12，当且仅当3a＝2b时，等号成立，此时k＝－ba＝－23，∴y－2＝－23(x－3)，∴所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.解法三：依题意知，直线l的斜率存在．设直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k＜0)，则有A(3－2k，0)，B(0,2－3k)，∴S△AOB＝12(2－3k)3－2k＝1212＋(－9k)＋4(－k)≥1212＋2(－9k)4(－k)＝12(12＋12)＝12，当且仅当－9k＝4－k，即k＝－23时，等号成立．故所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0。

高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.1直线的倾斜角斜率与直线的方程课件理

第三十三页，共46页。
冲关针对训练已知直线 l 过点 M(1,1)，且与 x 轴，y 轴的正半轴分别相交于 A，B 两点，O 为坐标原点．求： (1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线 l 的方程； (2)当|MA|2＋|MB|2 取得最小值时，直线 l 的方程．
第三十四页，共46页。
解 (1)设 A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)．
第四页，共46页。
2．直线方程的五种形式
第五页，共46页。
第六页，共46页。
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)直线的斜率为 tanα，则其倾斜角为 α.( × ) (2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( × ) (3)经过点 P(x0，y0)的直线都可以用方程 y－y0＝k(x－x0) 表示．( × ) (4)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( √ )
设直线 l 的方程为ax＋by＝1，则1a＋1b＝1，
所以
|OA|＋|OB|＝a＋
b
＝
(a
＋b)1a＋1b＝2
＋
a b
＋ba≥2＋
2 ab·ba＝4，当且仅当“a＝b＝2”时取等号，此时直线 l 的方程为 x
＋y－2＝0.
第三十五页，共46页。
(2)设直线 l 的斜率为 k，则 k<0，直线 l 的方程为 y－1＝k(x－1)，则 A1－1k，0，B(0,1－k)，所以|MA|2＋|MB|2＝1－1＋1k2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2 ＋k2＋k12≥2＋2 k2·k12＝4. 当且仅当 k2＝k12，即 k＝－1 时取等号，此时直线 l 的方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋y－2＝0.

专题8.1 直线与方程-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)

第八篇平面解析几何专题8.01 直线与方程【考试要求】1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系. 【知识梳理】 1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角；(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π). 2.直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α；(2)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3.直线方程的五种形式【微点提醒】1.直线的斜率k 和倾斜角α之间的函数关系：2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示.( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ 【解析】(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k 1＝－1，k 2＝1，k 1＜k 2. (2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°. (3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等. 【教材衍化】2.(必修2P89B5改编)若过两点A (－m ，6)，B (1，3m )的直线的斜率为12，则直线的方程为________. 【答案】 12x －y －18＝0【解析】由题意得3m －61＋m ＝12，解得m ＝－2，∴A (2，6)，∴直线AB 的方程为y －6＝12(x －2)，整理得12x －y －18＝0.3.(必修2P100A9改编)过点P (2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________. 【答案】 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0【解析】当纵、横截距均为0时，直线方程为3x －2y ＝0；当纵、横截距均不为0时，设直线方程为x a ＋y a ＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5.所以直线方程为x ＋y －5＝0.【真题体验】4.(2019·济南调研)直线x －y ＋1＝0的倾斜角为( ) A.30° B.45°C.120°D.150°【答案】 B【解析】由题得，直线y ＝x ＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°. 5.(2019·广东七校联考)若过点P (1－a ，1＋a )和Q (3，2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是( ) A.(－2，1) B.(－1，2)C.(－∞，0)D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)【答案】 A【解析】由题意知2a －1－a 3－1＋a <0，即a －12＋a<0，解得－2<a <1.6.(2018·兰州模拟)已知直线l 过点P (1，3)，且与x 轴、y 轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l 的方程是( ) A.3x ＋y －6＝0 B.x ＋3y －10＝0 C.3x －y ＝0D.x －3y ＋8＝0【答案】 A【解析】设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0).由题意得⎩⎨⎧1a ＋3b ＝1，12ab ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6.故直线l 的方程为x 2＋y6＝1，即3x ＋y －6＝0.【考点聚焦】考点一直线的倾斜角与斜率【例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)(一题多解)(经典母题)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________.【答案】 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)【解析】 (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]. 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2)法一设PA 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线PA 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由PA 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3]. 故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 法二设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(－3－k )≤0，即(k －1)(k ＋3)≥0，解得k ≥1或k ≤－ 3.即直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞).【迁移探究1】若将例1(2)中P (1，0)改为P (－1，0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围. 【答案】见解析【解析】设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，3. 【迁移探究2】若将例1(2)中的B 点坐标改为B (2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围. 【答案】见解析【解析】由例1(2)知直线l 的方程kx －y －k ＝0， ∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(2k ＋1－k )≤0，即(k －1)(k ＋1)≤0，解得－1≤k ≤1.即直线l 倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 【规律方法】 1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y ＝tan x 在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，π)上并不是单调的.2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为π2时，直线斜率不存在.【训练1】若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫π6，π3B.⎝⎛⎭⎫π6，π2 C.⎝⎛⎭⎫π3，π2D.⎣⎡⎦⎤π3，π2【答案】 B【解析】直线y ＝kx －3恒过点(0，－3)，可作两直线的图象，如图所示，从图中可以看出，直线l 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎫π6，π2.考点二直线方程的求法【例2】求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍； (3)经过点B (3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形. 【答案】见解析【解析】(1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0，0)和(4，1)，所以l 的方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1，因为l 过点(4，1)，所以4a ＋1a ＝1，所以a ＝5，所以l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0.(2)由已知设直线y ＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. 因为tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－34. 又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3，4)，由点斜式得y －4＝±(x －3). 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0. 【规律方法】1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).【训练2】 (1)求过点A (1，3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A (－5，2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程. 【答案】见解析【解析】(1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1，3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋y a ＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. 考点三直线方程的综合应用角度1 与不等式相结合的最值问题【例3－1】设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________. 【答案】 5【解析】由直线x ＋my ＝0求得定点A (0，0)，直线mx －y －m ＋3＝0，即y －3＝m (x －1)，所以得定点B (1，3).当m ＝0时，两条动直线垂直，当m ≠0时，因为⎝⎛⎭⎫－1m m ＝－1，所以两条动直线也垂直，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，所以|PA |·|PB |的最大值是5. 角度2 由直线方程求参数范围【例3－2】已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________. 【答案】 12【解析】由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2(2－a )＋12×2(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，又0<a <2，所以当a ＝12时，面积最小.【规律方法】与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值. (2)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.【训练3】如图，在两条互相垂直的道路l 1，l 2的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路l 1的垂直距离为4米，到道路l 2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为________米.【答案】 10【解析】如图建立平面直角坐标系，设人行道所在直线方程为y －4＝k (x －3)(k <0)，所以A ⎝⎛⎭⎫3－4k ，0，B (0，4－3k )，所以△ABO 的面积S ＝12(4－3k )⎝⎛⎭⎫3－4k ＝12⎝⎛⎭⎫24－9k －16k ，因为k <0，所以－9k －16k≥2（－9k ）⎝⎛⎭⎫－16k ＝24，当且仅当－9k ＝－16k ，即k ＝－43时取等号.此时，A (6，0)，B (0，8)，所以人行道的长度为62＋82＝10米.【反思与感悟】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况. 【易错防范】倾斜角和斜率的范围(1)倾斜角是一种特殊规定的角，其范围是[0，π)，千万不要与其他角混淆，有些时候要依据图形而定. (2)斜率范围与倾斜角范围的转化，此时要结合y ＝tan x 在⎣⎡⎭⎫0，π2和⎝⎛⎭⎫π2，π上的变化规律. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题1.直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】 D【解析】由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6. 2.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 2 【答案】 D【解析】直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2.3.(2019·北京延庆区模拟)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A.1±2或0 B.2－52或0C.2±52D.2＋52或0【答案】 A【解析】由题意知k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1±2.4.(2019·福建六校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )【答案】 B【解析】当a >0，b >0时，－a <0，－b <0，结合选项知B 符合，其他均不符合.5.已知直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)两点(m ∈R )，那么直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π【答案】 B【解析】直线l 的斜率k ＝1－m 22－1＝1－m 2，因为m ∈R ，所以k ∈(－∞，1]，所以直线的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π. 6.已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A.y ＝3x ＋2B.y ＝3x －2C.y ＝3x ＋12D.y ＝－3x ＋2 【答案】 A【解析】因为直线x －2y －4＝0的斜率为12，所以直线l 在y 轴上的截距为2，所以直线l 的方程为y ＝3x ＋2.7.直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) C.(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞D.(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 【答案】 D【解析】设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1－2k，则－3<1－2k <3，解得k >12或k <－1. 8.已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4【答案】 D【解析】由f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x 知，函数f (x )的图象关于x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，所以a ＝－b ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝a b ＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为3π4. 二、填空题9.已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________.【答案】 x ＋13y ＋5＝0【解析】 BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0. 10.过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________.【答案】 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0【解析】若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0. 若直线不过原点，设直线方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a ，则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0.11.若经过两点A (4，2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角是直线4x －3y ＋2 019＝0的倾斜角的一半，则y 的值为________.【答案】－32【解析】因为直线4x －3y ＋2 019＝0的斜率为43，所以由倾斜角的定义可知直线4x －3y ＋2 019＝0的倾斜角α满足tan α＝43，因为α∈[0，π)，所以α2∈⎣⎡⎭⎫0，π2，所以2tan α21－tan 2 α2＝43，解得tan α2＝12，由已知及倾斜角与斜率的关系得2y ＋1＋34－2＝12，所以y ＝－32. 12.设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________.【答案】 [－2，2]【解析】 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值.所以b 的取值范围是[－2，2].【能力提升题组】(建议用时：20分钟)13.(2019·天津和平区调研)若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( )A.－12B.－12或－2C.12或2 D.－2【答案】 D 【解析】因为sin θ＋cos θ＝55，① 所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝15，所以2sin θcos θ＝－45，所以(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝355，② 由①②解得⎩⎨⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，所以tan θ＝－2，即l 的斜率为－2.14.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n （n ＋1）(n ∈N *)，其前n 项和S n ＝910，则直线x n ＋1＋y n＝1与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.36B.45C.50D.55 【答案】 B【解析】由a n ＝1n （n ＋1）可知a n ＝1n －1n ＋1，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1，又知S n ＝910，所以1－1n ＋1＝910，所以n ＝9. 所以直线方程为x 10＋y 9＝1，且与坐标轴的交点为(10，0)和(0，9)，所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45. 15.已知直线l 过点P (2，－1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b ，则直线l 的方程为________.【答案】 x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0【解析】若a ＝3b ＝0，则直线过原点(0，0)，此时直线斜率k ＝－12，直线方程为x ＋2y ＝0. 若a ＝3b ≠0，设直线方程为x a ＋y b＝1，即x 3b ＋y b＝1. 由于点P (2，－1)在直线上，所以b ＝－13. 从而直线方程为－x －3y ＝1，即x ＋3y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0.16.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ).(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.【答案】见解析【解析】(1)证明直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1. ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2，1).(2)解由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞).(3)解由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0，1＋2k ). 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12， ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。

直线的方程复习课教案8

直线的方程复习课教案一、复习目标（1）掌握直线方程的点斜式、斜截式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程．（2）理解直线方程几种形式之间的内在联系，能在整体上把握直线的方程．（3）掌握直线方程各种形式之间的互化．二、复习重点：掌握直线方程的点斜式、斜截式，能根据条件熟练求出直线的方程．三、难点：能根据条件熟练求出直线的方程．五、教学过程1、复习直线方程的几种形式：2.应用：例1：一条直线经过点P1（-2，3），倾斜角α=45°求这条直线的方程，并画出图形。

例2.已知A(1,6)、B(-1,-2)、 C(6,3)是三角形的三个顶点，求BC边所在的直线方程.例3、求斜率是5，在y 轴上的截距是4的直线方程。

例4、求与y 轴交于点P(0,6),且倾斜角为45°的直线方程.例5、一条直线经过点A （0，5），倾斜角为0°，求这直线方程结论：直线l 经过点P 1(x 0，y 0) 与x 轴平行的直线可表示成。

点斜式、斜截式不能表示与x 轴垂直的直线；与x 轴垂直的直线可表示成。

例6已知直线 l 1经过点(2,4)且垂直于x 轴，直线l 2 经过点(2,4)且垂直于y 轴，求 l 1、l 2 的方程.。

y x 、的斜率和纵截距求直线例06237=--例8、三角形的三个顶点是A(4,3)、B(0,3)、C(3,-2),求这个三角形三边所在的直线方程.3.巩固：⒈根据下列条件写出直线的方程，并且化成一般式：①斜率是– 1/2，经过点A（8，-2）；②经过点B（4，2），平行于X轴；③在X轴和Y轴上的截距分别是3/2，- 3；④经过两点P1（3，-2）P2（5，-4）；2．求下列直线的斜率和在Y轴上的截距，并画出图形：①3x+y-5=0 ②x+2y=0③7x－6y+4=0 ④2y－7=04.小结5练习：根据下列条件求直线方程：。

新教材2022版新高考数学人教B版一轮复习学案：第8章第1节直线方程Word版含解析

课程标准命题解读1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系．3．掌握直线方程的几种形式，能根据两条直线的斜率及直线方程判定这两条直线平行或垂直．4．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．5．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．6．能判断直线与圆，圆与圆的位置关系．7．掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．8．了解抛物线与双曲线的定义、标准方程，以及它们的简单几何性质．9．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.考查形式：一般为两个选择题或填空题和一个解答题．考查内容：直线和圆的位置关系，圆锥曲线标准方程的求解，椭圆、双曲线离心率的计算等几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，最值与范围问题，定点与定值问题，探索性问题或证明问题．备考策略：(1)熟练掌握直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线方程的求法．(2)深刻理解圆锥曲线的定义，并能应用定义解决相关问题．(3)在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，要加强运算的训练，重视“设而不求”的思想方法的应用．(4)掌握最值和范围、定点与定值、探索性问题等的一般解法和思想．核心素养：数学抽象、数学运算.第1节直线方程一、教材概念·结论·性质重现1．直线的倾斜角(1)倾斜角的定义一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角．(2)若直线与x轴平行或重合，则规定该直线的倾斜角为0°.(3)倾斜角的取值范围是0°～180°.2．直线的斜率(1)一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan_θ为直线l 的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝y2－y1x2－x1，当x1＝x2时，直线l的斜率不存在．直线的斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换．就是说，如果分子是y2－y1，那么分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，那么分母必须是x1－x2.3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有的直线都适用(1)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率，应对斜率存在与不存在加以讨论．(2)“截距式”中截距不是距离，在用截距式时，应先判断截距是否为0.若不确定，则需分类讨论．二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”． (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × ) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( × ) (3)斜率相等的两条直线的倾斜角不一定相等．( × ) (4)不经过原点的直线都可以用x a ＋yb ＝1表示．( × )(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ )2．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( )A ．a ＋b ＝1B ．a －b ＝1C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0D 解析：因为sin α＋cos α＝0，所以 tan α＝－1.又因为α为倾斜角，所以斜率k ＝－1.而直线ax ＋by ＋c ＝0的斜率k ＝－a b ，所以－ab ＝－1，即a －b ＝0.3．如果AC <0，且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C 解析：由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－CA >0，在y 轴上的截距－CB >0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．4．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，则 x ＝________.－3 解析：因为A ，B ，C 三点共线，所以k AB ＝k AC ，所以7－54－3＝x －5－1－3，所以x ＝－3.5．过点P (2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为__________________． 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0 解析：当纵、横截距为0时，直线方程为3x －2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a ＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5，直线方程为x ＋y －5＝0.考点1 直线的倾斜角与斜率——基础性1．若图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别是k 1，k 2，k 3，则有( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 2<k 3<k 1D 解析：由图可知k 1>0，k 2<0，k 3<0，且直线l 3的倾斜角大于直线l 2的倾斜角，所以k 3>k 2.综上可知k 2<k 3<k 1.故选D.2．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，15B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12C ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D 解析：设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k .令－3<1－2k <3，解不等式得k <－1或k >12.3．已知直线的方程为x sin α＋3y －1＝0，α∈R ，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π B 解析：因为直线l 的方程为x sin α＋3y －1＝0，所以y ＝－sin α3x ＋13，即直线的斜率k ＝－sin α3.由－1≤sin α≤1，得－33≤k ≤33.又直线的倾斜角的取值范围为[0，π)，由正切函数的性质可得，直线的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π. 4．(2021·八省联考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________．13，－3 解析：正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图的平面直角坐标系．设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2.由正方形的性质可知，直线OA 的倾斜角为θ－45°，直线OC 的倾斜角为θ＋45°，故k OA ＝tan(θ－45°)＝tan θ－tan 45°1＋tan θtan 45°＝2－11＋2＝13，k OC ＝tan(θ＋45°)＝tan θ＋tan 45°1－tan θtan 45°＝2＋11－2＝－3.1．倾斜角α与斜率k 的函数关系k ＝tan α，α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求倾斜角或斜率范围时，可结合图像解题．2．斜率的两种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率．(2)公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．考点2 求直线的方程——基础性根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α<π)．从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13. 故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知纵、横截距不为0.设直线方程为x a ＋y12－a ＝1.又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，满足题意．当斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.由点到直线的距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k＝34.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.求直线方程的方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程．(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．求适合下列条件的直线方程：(1)求过点A(1,3)，倾斜角是直线y＝－3x的倾斜角的12的直线方程；(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；(3)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．解：(1)因为y＝－3x的斜率为k＝－3，其倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，其斜率为3，所以直线方程为y－3＝3(x－1)，即直线方程为3x－y＋3－3＝0.(2)设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.因为tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又直线经过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.考点3直线方程的综合应用——综合性考向1求与最值有关的直线方程过点P (4,1)作直线l 分别交x 轴、y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程．解：设直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)．因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b ＝1. (1)因为1＝4a ＋1b ≥24a ·1b ＝4ab，所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立．所以，当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小．此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0. (2)因为4a ＋1b ＝1(a >0，b >0)，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a ≥5＋2a b ·4ba ＝9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0.求解与最值有关的直线方程问题的一般步骤(1)设出直线方程，建立目标函数．(2)利用均值不等式、一元二次函数求解最值，得出待定系数． (3)写出直线方程．考向2 由直线方程求参数的值或取值范围已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4.当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.12 解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154.又0<a <2，所以当a ＝12时，四边形的面积最小．由直线方程求参数的值或取值范围的注意事项(1)注意寻找等量关系或不等关系．若点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或均值不等式求解．(2)注意直线恒过定点问题．1.如图，在两条互相垂直的道路l 1，l 2的一角，有一根电线杆，电线杆底部到道路l 1的垂直距离为4米，到道路l 2的垂直距离为3米．现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为________米．10 解析：如图，建立平面直角坐标系．设人行道所在直线方程为y －4＝k (x －3)(k <0)，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－4k ，0，B (0,4－3k )，所以△ABO 的面积S ＝12×(4－3k )×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－4k ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫24－9k －16k .因为k <0，所以－9k －16k ≥2(－9k )⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k ＝24，当且仅当－9k ＝－16k ，即k ＝－43时取等号．此时，A (6,0)，B (0,8)，所以人行道的长度为62＋82＝10(米)．2．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A ||PB |的最大值是________．5 解析：由直线x ＋my ＝0求得定点A (0，0)，直线mx －y －m ＋3＝0，即y －3＝m (x －1)，得定点B (1,3)．当m ＝0时，两条动直线垂直；当m ≠0时，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ×m ＝－1，所以两条动直线也垂直．因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|P A ||PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A|＝|PB|＝5时，等号成立)，所以|P A|·|PB|的最大值是5.已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．[四字程序]读想算思△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程1.三角形面积的表达式；2．以谁为变量？用适当的变量表示面积S，并求其最小值和此时的直线方程转化与化归直线过定点，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点1. S＝12ah；2．S＝12ab·sin C；3．点的坐标作变量；4．直线的斜率作变量1.S＝12ab≥12；2．S≥12[12＋2(－9k)·4(－k)]＝12×(12＋12)＝121.均值不等式；2．三角函数的性质思路参考：设出直线的截距式方程，利用均值不等式求出ab的最小值．解：设直线方程为xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)．将点P (3,2)代入得3a ＋2b ＝1≥26ab ，得ab ≥24. 从而S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23.从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.所以△ABO 的面积的最小值为12，此时直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.思路参考：设出截距式方程，利用三角函数的有界性求出面积的最值，进而求出直线方程．解：设直线方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，将点P (3,2)的坐标代入得3a ＋2b ＝1.令3a ＝sin 2α，2b ＝cos 2α，则a ＝3sin 2α，b ＝2cos 2α，所以S △ABO ＝12ab ＝3sin 2αcos 2α＝12sin 22α.因为0<sin 22α≤1，所以S △ABO ≥12，当且仅当sin 22α＝1时等号成立．由图可知b ＞0，所以当且仅当3a ＝2b 时等号成立，即k ＝－b a ＝－23，从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.所以△ABO 的面积的最小值为12，此时直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.思路参考：设出直线的点斜式方程，表示出△ABO 的面积，结合均值不等式求得最值．解：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k ＜0，则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k ＜0)，且有A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )，所以S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋(－9k )＋4(－k ) ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2(－9k )·4(－k )＝12×(12＋12)＝12.当且仅当－9k ＝4－k，即k ＝－23时，等号成立，即△ABO 的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.1．本题考查根据具体的条件求直线的方程，基本策略是设出直线的方程，用变量表示三角形的面积，求出面积的最小值及取得最小值时的条件，得到直线的方程．2．本题体现了数学运算、数学抽象的核心素养．3．基于高考数学评价体系，本题创设了数学情境，通过知识之间的内在联系和转化，构造函数利用均值不等式或函数的性质求最值，体现了基础性和综合性．过点P (2,1)的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点．求：(1)|OA ||OB |取最小值时直线的方程；(2)|P A ||PB |取最小值时直线的方程．解：(1)设直线的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，则2a ＋1b ＝1.所以ab ＝ab ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝2b ＋a ≥22ab ，于是ab ≥8，所以|OA ||OB |＝ab ≥8，即|OA ||OB |的最小值为8，当且仅当a ＝2b ，即a ＝4，b ＝2时取得等号．故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.(2)显然直线的斜率存在，设其方程为y －1＝k (x －2)(k <0)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0，1－2k )．所以|P A ||PB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1(4＋4k 2)＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2≥4，当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝－1时取等号，所以|P A ||PB |的最小值为4时，直线的方程为x ＋y －3＝0.。

新课标高三数学第一轮复习直线和圆的方程详细教案

高三数学第一轮复习直线和圆的方程详细教案知识结构第一节直线的倾斜角和斜率学习目标1．了解直线的方程、方程的直线的定义；2．掌握直线的倾斜角、直线的斜率的定义及其取值范围；3．掌握过两点的直线的斜率公式，会运用公式求出有关直线的斜率和倾斜角．重点难点本节重点：正确地理解斜率的概念，熟练地掌握已知直线上两点求直线斜率的公式，这是学好直线这部分内容的关键．本节难点：正确理解直线倾斜角定义中的几个条件，如直线与x轴相交与不相交，按逆时针方向旋转、最小正角等．求倾斜角时，要特别注意其取值范围是高考中，由于本节内容是解析几何成果中最基础的部分，一般是隐含在综合题中进行考查．典型例题【分析】【解】【点评】【分析】【解】【点评】【解法一】代数方法：套两点斜率公式．【解法二】【点评】“解析几何的特点之一是数形结合，数无形时少直观，形无数时难入微．”在学习数学时，应该记住华罗庚的这段话．教材上还涉及证明三点共线的练习题，怎样证明三点共线呢？请看下面例4．【分析】证明三点共线，可以用代数方法、几何方法，可以用直接证法、间接证法，你能想出至少一个方法吗？下面是同学们讨论出的几种证法供参考．【证法一】【证法二】【证法三】第二节直线的方程学习目标掌握直线方程的点斜式、两点式、参数式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程式．重点难点本节重点：直线方程的点斜式和一般式，点斜式是推导直线方程其他形式的基础，一般式是直线方程统一的表述形式．本节难点：灵活运用直线方程的各种形式解题．在高考中几乎每年都要考查这部分内容，题型以选择题、填空题居多．典型例题【分析】关键是确定直线方程中的待定系数．【解】【点评】学习直线的方程常犯的错误是忽略方程各种形式的应用条件，因此造成丢解．本例中各个小题均为两解，你做对了吗？第（4）小题的解法一要用到下节学到的公式，解法二用到课外知识，供有兴趣的同学欣赏．【解法一】【解法二】【解法三】【点评】灵活运用直线方程的各种形式，常常要和平面几何的有关知识相结合．本题还有别的解法，不再一一列举．【解法一】【解法二】【解法三】【证明】【点评】【分析】【解法一】【解法二】【解法三】【点评】第三节两条直线的位置关系学习目标1．掌握两条直线平行与垂直的条件，以及两条直线的夹角和点到直线的距离公式．2．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．重点难点本节重点：两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．本节难点：了解解析几何的基本思想，并用解析几何方法研究角．在高考中，两条直线的位置关系几乎年年必考，常常单独出现在选择题和填空题中，或作为综合题的一部分出现在解答题中．典型例题学习了本节以后，应该对两条直线平行与垂直的充要条件，怎样求直线的斜率、距离与角有哪些公式等问题进行归纳小结，以便提纲挈领地掌握有关知识，并灵活运用这些知识解决问题．1．两条直线平行、垂直的充要条件是什么？答：2．怎样求直线的斜率？答：3．距离和角有哪些公式？能灵活运用吗？答：【解】用下面的例题检验是否理解和掌握了以上这些内容．1．两条直线的位置关系【解】2．两条直线所成的角【解】【解法一】【解法二】3．有关交点的问题（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【解法一】【解】【解法二】4．点到直线的距离【错误的解】【正确的解】【解法一】【解法二】【解法三】【解法四】第四节简单的线性规划学习目标1．了解用二元一次不等式表示平面区域．2．了解线性规划的意义，并会简单的应用．重点难点典型例题学习了简单的线性规划以后，常见的题型是用二元一次不等式表示平面区域，以及用线性规划的知识来解决一些简单的问题．下面的例题可检验是否掌握了这些内容．1．二元一次不等式表示的区域【分析】【解】【点评】例2 试讨论点线距离公式中，去掉绝对值符号的规律？【分析】【解】【点评】2．线性规划初步例3钢管长11.1米，需要截下1.5米和2.5米两种不同长度的小钢管，问如何截取可使残料最少？【分析】关键是利用约束条件，列出线性目标函数．【解】【评析】例4 用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（）．（A）5种（B）6种（C）7种（D）8种【解法一】【解法二】【解法三】列表数点．故选（C）．【点评】本题为1999年全国高考试题第14题，难度系数0.47．如果有利用二元一次不等式表示平面区域的知识，此题将不再困难．【分析】甲的解法错误，错在（1）、（2）（3）、（4），反之不行，用必要不充分条件代替原条件，使解的范围扩大，[6，10]是[5，11]的子集．乙的解法正确．本题数形结合，利用本节的知识还可以有以下的解法．【解】【点评】第六节曲线和方程学习目标1．掌握曲线的方程、方程的曲线等概念．2．了解解析几何的基本思想和解析法，学习运动变化、对立统一等辩证唯物主义思想．重点难点本节重点：了解曲线的点集与方程的解集之间的一一对应关系，从而掌握曲线的方程和方程的曲线这两个重要概念，并掌握由曲线的已知条件求方程的方法和步骤，熟悉解析法．本节难点：理解曲线和方程的概念，以及求曲线的方程的方法．在高考中，曲线和方程常是重点考查的内容，出现在解答题中．典型例题学习了本节后主要要掌握求曲线的方程的步骤，以及用解析法解题的步骤，以下归纳供参考．求曲线的方程的步骤是：一建--选取适当的点和直线，建立坐标系；二设--设曲线上点，以及利用已知条件设出其他有关点的坐标等；三列式--根据动点符合的条件，列出含、的方程0；四化简--化方程0为最简形式；五证明--证曲线上点的坐标都是方程的解，以这个方程的解为坐标的点都在曲线上（这一步不要求写出）．解析法的主要步骤是：一建--建立适当的坐标系．建系原则是使已知条件好用，使表达式简明，运算简便．因此，尽量利用已知点和已知直线；二设--选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程；三算--通过运算，得到所要的结果．用以下例题检验是否理解和掌握了这些内容．1．怎样求轨迹方程【解法一】【解法二】【点评】【错误解法】【正确解法】【点评】【解法一】【解法二】【点评】2．解析法与综合法【证法一】【证法二】【证法三】【证法四】【点评】不同证法，以解析法较简便，复数将在高三年级学习，这里的证法实质和解析法一样，不过是换个说法．【分析】【解】【点评】解析法与综合法的特点，从中你体会到了吗？解析法的优点是程序固定（一建二设三算），操作简便，但一般运算量较大；综合法的优点是思路灵活，但如何添加辅助线不易掌握．【解法一】【解法二】【解法三】【解法四】【点评】“是否可以用代数中的计算过程代替几何中的证明？”“让代数和几何中一切最好的东西互相取长补短”等是笛卡儿创立解析几何的初衷．解析几何既然是用代数方法来研究几何对象的特征和性质，当然对运算能力要求较高．运算能力是一种计算化了的推理能力，是逻辑思维能力与计算知识、方法、技能和技巧的结合．在解析几何中，如果不注意运算方法上的特点和技能，就可能陷入有思路但算不出或很难算出正确结果的窘境，如本题的思路一、二．解析几何中常用的运算方法和技能是：①注意利用平面几何知识，如思路四；②不忘利用定义，尤其是圆锥曲线的定义解题；③充分利用一元二次方程根与系数的关系，并不忘对判别式的要求，如思路三；④合理利用曲线系；⑤数形结合，依形判数，就数论形；⑥灵活运用字母的可轮换性，减少同类量的重复运算．以上方法和技能，要在实际解题中逐步掌握．第七节圆的方程学习目标1．掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的参数方程．2．初步了解直线和圆中反映出的运动变化、对立统一等辩证思想和观点．重点难点本节重点：圆的标准方程、一般方程、参数方程及其相互转化．本节难点：直线和圆的综合运用．在高考中，圆的方程在选择题、填空题、解答题等各类题型中出现．本节要掌握三种类型的问题，之一是求圆的方程，之二是直线和圆的综合题，之三是应用直线和圆的知识解决一些问题．1．圆的方程有哪些形式？典型例题用下面的例题检验是否理解和掌握了圆的方程的三种形式：【解法一】【解法二】【解法三】【点评】怎样求圆的方程？这三条思路具有典型意义．【解法一】【解法二】【点评】【解法一】【解法二】【点评】【分析】关键确定圆心坐标和半径．【解】【点评】本题为1997年全国高考理科第25题，难度系数0.20．难在什么地方呢？第一文字叙述较长，有同学读不懂题；第二涉及众多知识，有同学不会运用；第三丢解，忽略了不同的位置关系．会不会用知识和怎样用知识，是一个人有没有能力和能力高低的重要标志，努力吧！2．直线和圆综合题【分析】【解】【点评】【解法一】【解法二】【分析】【点评】【解】【点评】【解法一】【解法二】【点评】分类是自然科学的基本方法，数学中的分类讨论的思想方法，就是依据数学对象的共同点和差异点，将其区分为不同种类，分类讨论并归纳结论，这一思想方法，在近代数学和现代数学中占有重要地位，是应该学习和掌握的重要思想方法．3．怎样利用直线和圆的知识解题？【分析】数形结合，将代数式或方程赋予几何意义．【解】【点评】从“数”中认识“形”，从“形”中认识“数”，数形结合相互转化，是数学思维的基本方法之一．“数学是一个有机的统一体，它的生命力的一个必要条件是所有的各个部分不可分离地结合．”（希尔伯特）数形结合的思维能力不仅是中学生的数学能力、数学素养的主要标志之一，而且也是学习高等数学和现代数学的基本能力．本题是利用直线和圆的知识求最值的典型题目．【解法一】【解法二】【解法三】【点评】。

江苏高考数学一轮复习《直线的方程》教程学案

___第40课__直线的方程____1. 了解确定直线位置的几何要求(两个点或一点和方向)．2. 掌握直线方程的五种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)的特点与适用范围，能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程．3. 熟悉直线方程各形式的特征，理解各形式之间的关系，会由已知直线方程求相关的特征量.1. 阅读：必修2第80～86页，温习直线方程的五种形式．2. 解悟：①直线方程的各种形式需要怎样的条件？各有怎样的适用范围？②直线方程各种形式之间有怎样的区别与联系？③教材第82页的探究内容所蕴含的意义是什么？3. 践习：在教材空白处，完成必修2第83页练习第3题；第85页练习第2、4题；第87页练习第4、5题.基础诊断1. 已知点A(－4，6)，B(－2，4)，则直线AB 的一般式方程为__x ＋y －2＝0__．解析：易知直线斜率存在．设直线AB ：y ＝kx ＋b ，将点A(－4，6)，B(－2，4)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝－4k ＋b ，4＝－2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2，所以直线AB ：y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0. 2. 过点(1，2)且倾斜角的正弦值为45的直线方程是__y ＝43x ＋23或y ＝－43x ＋103__．解析：由题意知sin α＝45，因为α∈[0，π)，所以tan α＝43或－43，即直线的斜率为43或－43.当斜率为43时，直线方程为y ＝43x ＋23；当斜率为－43时，直线方程为y ＝－43x ＋103.3. 过点(3，－4)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是__y ＝－43x 或x ＋y ＋1＝0__．解析：当直线过原点(0，0)时，因为直线过点(3，－4)，所以直线方程为y ＝－43x ；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，将点(3，－4)代入，得a ＝－1，所以直线方程为x ＋y ＋1＝0.4. 给出下列命题：①经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k(x －x 0)表示；②经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx ＋b ；③不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb ＝1表示；④经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示，其中正确命题的个数为__1__．解析：①过点P 0(x 0，y 0)且垂直于x 轴的直线不能用方程y －y 0＝k(x －x 0)表示，故①错；②经过点A(0，b)且垂直于x 轴的直线不能用方程y ＝kx ＋b 表示，故②错；③垂直于两坐标轴的直线不能用方程x a ＋yb ＝1表示，故③错；④经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示，故④正确．范例导航考向❶ 求直线方程例1 已知直线l 过点A(5，2)．(1) 若直线l 的斜率为2，求直线l 的方程； (2) 若直线l 经过点B(3，－2)，求直线l 的方程．解析：(1) 因为直线l 过点A(5，2)，斜率为2，由点斜式方程得y －2＝2(x －5)，故所求直线l 的方程为2x －y －8＝0.(2) 因为直线l 过点A(5，2)，点B(3，－2)，由两点式方程得y －2－2－2＝x －53－5，故所求直线l 的方程为2x －y －8＝0.若直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则该直线的方程为__4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0__．解析：由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1.又直线过点(－3，4)，从而－3a ＋412－a＝1，解得a ＝－4或a ＝9，故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.考向❷ 含有参数的直线方程例2 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0 (k ∈R)． (1) 求证：直线l 过定点；(2) 若直线l 不经过第四象限，求实数k 的取值范围．解析：(1) 直线l 的方程化简为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，所以无论k 取何值，直线l 总经过定点(－2，1)．(2) 当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2kk≤0，1＋2k ≥0，k >0，解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，若直线l 在x 轴上的截距是－3，则m ＝__－53__；若直线l 的斜率是－1，则m ＝__－2__．解析：因为直线l 在x 轴上的截距为－3，令y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0，2m －6m 2－2m －3＝－3，解得m ＝－53.若直线l 的斜率为－1，则⎩⎪⎨⎪⎧－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1，2m 2＋m －1≠0，解得m ＝－2.考向❸ 直线方程的简单运用例3 已知直线l 过点P(2，1)，分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，若O 为坐标原点，求△OAB 面积的最小值及此时直线l 的方程．解析：方法一：因为直线l 过点P(2，1)，若斜率不存在，则直线与y轴无交点，所以直线的斜率存在. 若k ＝0，则直线与x 轴无交点，所以k ≠0.又直线与x ，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，所以k<0.设直线方程为y －1＝k(x －2)，分别令y ＝0，x ＝0得A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B(0，1－2k)，则S △OAB ＝12·OA·OB ＝12⎝⎛⎭⎫2－1k (1－2k) ＝－2k －12k ＋2≥2＋2（－2k ）·1－2k＝4，当且仅当－2k ＝1－2k，即k ＝－12时，等号成立，即△OAB 面积的最小值为4.此时，直线l 的方程为x ＋2y －4＝0.方法二：设 A ，B 两点的坐标分别为A(a ，0)，B(0，b)，a>0，b>0，由直线的截距式方程得直线l 的方程为x a ＋yb＝1.因为直线l 过点P(2，1)，所以2a ＋1b ＝1.因为22a ·1b≤1，所以ab ≥8，当且仅当2a ＝1b ，即a ＝4，b ＝2时取等号，所以S △OAB ＝12ab ≥4.此时，直线l 的方程为x ＋2y －4＝0.如图，互相垂直的两条道路l 1，l 2相交于点O ，点P 与l 1，l 2的距离分别为2千米、3千米，过点P 建一条直线道路AB ，与l 1，l 2分别交于A ，B 两点．(1) 当∠BAO ＝45°时，试求OA 的长；(2) 若使△AOB 的面积最小，试求OA ，OB 的长．解析：以l 1为x 轴，l 2为y 轴，建立平面直角坐标系，则O(0，0)，P(3，2)． (1) 由∠BAO ＝45°知，OA ＝OB ，可设A(c ，0)， B(0，c)(c ＞0)，直线l 的方程为x c ＋yc ＝1.因为直线l 过点P(3，2)，所以3c ＋2c ＝1，则c ＝5，即OA ＝5千米．(2) 设A(a ，0)，B(0，b)(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程为x a ＋yb ＝1.因为直线l 过点P(3，2)，所以3a ＋2b ＝1，b ＝2a a －3>0，则a ＞3，从而S △ABO ＝12ab ＝12a·2a a －3＝a 2a －3.令a －3＝t ，t ＞0，则a 2＝(t ＋3)2＝t 2＋6t ＋9，故有S △ABO ＝t 2＋6t ＋9t ＝t ＋9t＋6≥29t·t ＋6＝12，当且仅当t ＝3时，等号成立，此时a ＝6，b ＝4，所以OA ＝6千米，OB ＝4千米．自测反馈1. 若两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)的坐标分别满足3x 1－5y 1＋6＝0和3x 2－5y 2＋6＝0，则经过这两点的直线的方程为__3x －5y ＋6＝0__．解析：因为两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)的坐标分别满足3x 1－5y 1＋6＝0和3x 2－5y 2＋6＝0，两点确定一条直线，所以经过这两点的直线方程为3x －5y ＋6＝0.2. 直线过点(5，10)，且原点到直线的距离为5，直线方程为__x ＝5或3x －4y ＋25＝0__．解析：当直线的斜率不存在时，直线的方程为x ＝5，满足原点到直线的距离为5；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －10＝k(x －5)，即kx －y －5k ＋10＝0.由点到直线的距离公式可得|－5k ＋10|k 2＋1＝5，解得k ＝34，所以直线的方程为3x －4y ＋25＝0.综上，直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.3. 若直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y －2m ＝0在x 轴上的截距是3，则实数m 的值是__－6__．解析：令y ＝0，所以(m ＋2)x ＝2m ，将x ＝3代入，得m ＝－6.4. 已知直线l 过点(3，4)，且在第一象限和两坐标轴围成的三角形的面积是24，则直线l 的截距式方程是__x 6＋y8＝1__．解析：由题意，可设直线l 的截距式方程为x a ＋yb ＝1，则有⎩⎨⎧3a ＋4b ＝1，12ab ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝8，所以直线l 的截距式方程为1. 确定一条直线需要两个独立的条件，一是方向(斜率或倾斜角)；二是位置(一个定点)．2. 求直线的方程主要有两种方法：①直接法，根据已知条件，选择适当的形式，直接写出直线的方程；②待定系数法，先设出直线方程，根据已知条件求出待定的系数，再代入，求出直线方程．3. 你还有哪些体悟，写下来：。

一轮复习配套讲义：第8篇第1讲直线与方程精品教案导学案

第1讲　直线与方程[最新考纲]1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知识梳理知识梳理1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角；②规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)．(2)直线的斜率①定义：当直线l 的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条斜线的π2斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝.y 2－y 1x 2－x 12．直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y ＝kx ＋b 点斜式过一点、斜率y －y 0＝k (x －x 0)与x 轴不垂直的直线两点式过两点＝y －y 1y 2－y 1x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距＋＝1x a yb 不过原点且与两坐标轴均不垂直的一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线3.线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则Error!此公式为线段P1P2的中点坐标公式．辨析感悟1．对直线的倾斜角与斜率的理解(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(×)(2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.(×)(3)(教材习题改编)若三点A(2,3)，B(a,1)，C(0,2)共线，则a的值为－2.(√)2．对直线的方程的认识(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(×)(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(√)(6)直线l过点P(1,2)且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为x＋y－3＝0.(×)[感悟·提升]1．直线的倾斜角与斜率的关系　斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tan α.直线都有斜倾角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率，如(1)．2．三个防范　一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围，如(2)；二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论，如(4)；三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论，如(6).考点一　直线的倾斜角和斜率【例1】 (1)直线x sin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )．A ．[0，π) B.∪[0，π4][3π4，π)C.D.∪[0，π4][0，π4](π2，π)(2)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )．A.B ．－C ．－D.13133223解析　(1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ<π.故选B.π43π4(2)依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有Error!解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为＝－.－3－17＋513答案　(1)B (2)B规律方法直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函[0，π2)(π2，π)数图象可以看出当α∈时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；[0，π2)π2当α∈时，斜率k ∈(－∞，0)．(π2，π)【训练1】经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α的范围．解　法一　如图所示，k PA ＝＝－1，－2－(－1)1－0k PB ＝＝1，1－(－1)2－由图可观察出：直线l 倾斜角α的范围是∪.[3π4，π)[0，π4]法二　由题意知，直线l 存在斜率．设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＋1＝kx ，即kx －y －1＝0.∵A ，B 两点在直线的两侧或其中一点在直线l 上．∴(k ＋2－1)(2k －1－1)≤0，即2(k ＋1)(k －1)≤0.∴－1≤k ≤1.∴直线l 的倾斜角α的范围是∪.[3π4，π)[0，π4]考点二　求直线的方程【例2】求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－.14(3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且|AB |＝5.解　(1)法一　设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)，∴l 的方程为y ＝x ，即2x －3y ＝0.23若a ≠0，则设l 的方程为＋＝1，xa ya ∵l 过点(3,2)，∴＋＝1，3a 2a ∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.法二　由题意，所求直线的斜率k 存在且k ≠0，设直线方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－，令x ＝0，得y ＝2－3k ，2k由已知3－＝2－3k ，2k 解得k ＝－1或k ＝，23∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝(x －3)，23即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0.(2)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－×3＝－.1434又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－(x ＋1)，34即3x ＋4y ＋15＝0.(3)过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组Error!求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组Error!得两直线交点为Error!(k ≠－2，否则与已知直线平行)则B 点坐标为.(k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)由已知2＋2＝52，(k ＋7k ＋2－1)(4k －2k ＋2＋1)解得k ＝－，∴y ＋1＝－(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.3434综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.规律方法在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．【训练2】 △ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)BC 所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程；(3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解　(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为＝，即x ＋2y －4＝0.y －13－1x －2－2－2(2)设BC 中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝＝0，y ＝＝2.2－221＋32BC 边的中线AD 过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为＋＝1，即2x －3y ＋6＝0.x－3y2(3)BC 的斜率k 1＝－，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2，由点斜式得直线12DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.考点三　直线方程的综合应用【例3】已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如右图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．审题路线　根据截距式设所求直线l 的方程⇒把点P 代入，找出截距的关系式⇒运用基本不等式求S △ABO ⇒运用取等号的条件求出截距⇒得出直线l 的方程．解　设A (a,0)，B (0，b )，(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程为＋＝1，x a yb∵l 过点P (3,2)，∴＋＝1.3a 2b ∴1＝＋≥2 ，即ab ≥24.3a 2b 6ab ∴S △ABO ＝ab ≥12.当且仅当＝，即a ＝6，b ＝4.123a 2b △ABO 的面积最小，最小值为12.此时直线l 的方程为：＋＝1.x 6y4即2x ＋3y －12＝0.规律方法 (1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的某函数，借助函数的性质解决；(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．【训练3】在例3的条件下，求直线l 在两轴上的截距之和最小时直线l 的方程．解　设l 的斜率为k (k ＜0)，则l 的方程为y ＝k (x －3)＋2，令x ＝0，得B (0,2－3k )，令y ＝0，得A ，(3－2k ，0)∴l 在两轴上的截距之和为2－3k ＋3－＝5＋≥5＋2，2k [(－3k )＋(－2k )]6当且仅当k ＝－时，等号成立．63∴k ＝－时，l 在两轴上截距之和最小，63此时l 的方程为x ＋3y －3－6＝0.661．求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．2．求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法．思想方法9——分类讨论思想在求直线方程中的应用【典例】在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD ，AB ＝2，BC ＝1，AB 、AD边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合．将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上．若折痕所在直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程．解　(1)当k ＝0时，此时A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程为y ＝.12(2)当k ≠0时，将矩形折叠后A 点落在线段CD 上的点为G (a,1)．所以A 与G 关于折痕所在的直线对称，有k AG ·k ＝－1，k ＝－1⇒a ＝－k .1a 故G 点坐标为G (－k,1)，从而折痕所在的直线与AG 的交点坐标(线段AG 的中点)为M .(－k 2，12)折痕所在的直线方程为y －＝k，12(x ＋k2)即y ＝kx ＋＋.k 2212∴k ＝0时，y ＝；k ≠0时，y ＝kx ＋＋.12k 2212[反思感悟] (1)求直线方程时，要考虑对斜率是否存在、截距相等时是否为零以及相关位置关系进行分类讨论．(2)本题需对斜率k 为0和不为0进行分类讨论，易错点是忽略斜率不存在的情况．【自主体验】1．若直线过点P且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则该直线的方(－3，－32)程为( )．A ．3x ＋4y ＋15＝0B ．x ＝－3或y ＝－32C ．x ＝－3D ．x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0解析　若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x ＝－3，代入圆的方程解得y ＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y ＋＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －＝0，因为该直线被圆截得的弦3232长为8，故半弦长为4.又圆的半径为5，则圆心(0,0)到直线的距离为＝52－42，解得k ＝－，此时该直线的方程为3x ＋4y ＋15＝0.|3k －32|k 2＋134答案　D2．已知两点A (－1,2)，B (m,3)，则直线AB 的方程为________．解析　当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1，当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝(x ＋1)，即y ＝x ＋＋2.1m ＋11m ＋11m ＋1答案　x ＝－1或y ＝x ＋＋21m ＋11m ＋1基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．直线x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( )．3A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°解析　直线的斜率为k ＝tan α＝，又因为α∈[0，π)，所以α＝60°.3答案　B2．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－.则直线l 的方程为( )．34A ．3x ＋4y －14＝0 B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0 D ．4x －3y ＋14＝0解析　由点斜式，得y －5＝－(x ＋2)，34即3x ＋4y －14＝0.答案　A3．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( )．A ．1B ．2C ．－D ．2或－1212解析　由题意可知2m 2＋m －3≠0，即m ≠1且m ≠－，在x 轴上截距为32＝1，即2m 2－3m －2＝0，解得m ＝2或－.4m －12m 2＋m －312答案　D4．(2014·佛山调研)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )．A ．ab >0，bc <0B ．ab >0，bc >0C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0解析　由题意，令x ＝0，y ＝－>0；令y ＝0，x ＝－>0.即bc <0，ac <0，从而cb ca ab ＞0.答案　A5．(2014·郑州模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )．A.B.∪(－1，15)(－∞，12)(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪ D ．(－∞，－1)∪(15，＋∞)(12，＋∞)解析　设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴的截距为－3，此时k ＝，满足条件的直线l 的斜率范围是(－∞，－1)∪.12(12，＋∞)答案　D 二、填空题6．(2014·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析　∵k AC ＝＝1，k AB ＝＝a －3.5－36－4a －35－4由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案　47．(2014·温州模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________.解析　令x ＝0，得y ＝；令y ＝0，得x ＝－.k4k3则有－＝2，所以k ＝－24.k 4k3答案　－248．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解析　设所求直线的方程为＋＝1，x a yb ∵A (－2,2)在直线上，∴－＋＝1.①2a 2b 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴|a |·|b |＝1.②12由①②可得(1)Error!或(2)Error!由(1)解得Error!或Error!方程组(2)无解．故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，x 2y1x－1y－2即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程．答案　x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0三、解答题9．(2014·临沂月考)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解　(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为0，当然相等．∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得＝a －2，即a ＋1＝1，a －2a ＋1∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴Error!或Error!∴a ≤－1.综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]．10．已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，是否存在使△ABO 面积最小的直线l ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解　存在．理由如下：设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A ，B (0,1－2k )，△AOB 的(2－1k ，0)面积S ＝(1－2k )＝≥(4＋4)＝4.当且仅当12(2－1k )12[4＋(－4k )＋(－1k )]12－4k ＝－，即k ＝－时，等号成立，故直线l 的方程为y －1＝－(x －2)，即1k 1212x ＋2y －4＝0.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·北京海淀一模)已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝，则直线3AB 的方程为( )．A ．y ＝x ＋或y ＝－x －3333B ．y ＝x ＋或y ＝－x －33333333C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝x ＋或y ＝－x －2222解析　|AB |＝＝＝，所以cosα＝，sin(cos α＋1)2＋sin2α2＋2cos α312α＝±，所以k AB ＝±，即直线AB 的方程为y ＝±(x ＋1)，所以直线AB 的方323333程为y ＝x ＋或y ＝－x －.33333333答案　B2．若直线l ：y ＝kx －与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的3倾斜角的取值范围是( )．A. B.[π6，π3)(π6，π2)C. D.(π3，π2)[π6，π2]解析　如图，直线l ：y ＝kx －，过定点P (0，－)，又A (3,0)，∴k PA ＝，3333则直线PA 的倾斜角为，π6满足条件的直线l 的倾斜角的范围是.(π6，π2)答案　B 二、填空题3．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．解析　直线方程可化为＋y ＝1，故直线与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点x2为B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－22＋，由于0≤b ≤1，(b －12)12故当b ＝时，ab 取得最大值.1212答案　12三、解答题4.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝x 上时，求直线12AB 的方程．解　由题意可得k OA ＝tan45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－，所以直线33l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－x ，设A (m ，m )，B (－n ，n )，333所以AB 的中点C，(m －3n 2，m ＋n2)由点C 在y ＝x 上，且A ，P ，B 三点共线得12Error!解得m ＝，所以A (，)．333又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝＝，33－13＋32所以l AB ：y ＝(x －1)，3＋32即直线AB 的方程为(3＋)x －2y －3－＝0.33。

2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：直线的方程

§8.1直线的方程考试要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．知识梳理1．直线的方向向量一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l.2．直线的倾斜角(1)定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.3．直线的斜率(1)定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tanθ为直线l的斜率；当θ＝90°时，直线l的斜率不存在．(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝y2－y1 x2－x1.4．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(×)(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大．(×)(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tanα.(×)(4)直线y＝kx－2恒过定点(0，－2)．(√)教材改编题1．已知点A(2,0)，B(3，3)，则直线AB的倾斜角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案B解析由题意得直线AB的斜率k＝3－03－2＝3，设直线AB的倾斜角为α，则tanα＝3，∵0°≤α<180°，∴α＝60°.2．已知直线l过点(1,1)，且倾斜角为90°，则直线l的方程为() A．x＋y＝1B．x－y＝1C．y＝1D．x＝1答案D解析因为直线l的倾斜角为90°，所以该直线无斜率，与x 轴垂直，又因为直线l 过点(1,1)，所以直线l 的方程为x ＝1.3．过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________________．答案3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0解析当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5.所以直线方程为x ＋y －5＝0.题型一直线的倾斜角与斜率例1(1)若直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是()A ．[－3，1]B ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) C.－33，1－∞，－33∪[1，＋∞)答案B解析如图，当直线l 过点B 时，设直线l 的斜率为k 1，则k 1＝3－00－1＝－3；当直线l 过点A 时，设直线l 的斜率为k 2，则k 2＝1－02－1＝1，所以要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．(2)直线2x cos α－y －3＝0∈π6，()A.π6，π3B.π4，π3C.π4，π2D.π4，2π3答案B解析直线2x cosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈π6，π3，所以12≤cosα≤32，因此k＝2cosα∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈π4，π3，即倾斜角的变化范围是π4，π3.思维升华直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分跟踪训练1(1)(2023·温州模拟)直线x＋(m2＋1)y＋m2＝0(m∈R)的倾斜角的最小值是________．答案3π4解析直线可化为y＝－1m2＋1x－m2m2＋1.∵m2≥0，∴m2＋1≥1，则0<1m2＋1≤1，∴－1≤－1m2＋1<0.则所求倾斜角的最小值是3π4 .(2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________.答案13－3解析如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tanθ＝2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，故k OA ＝tan(θ－45°)＝tan θ－tan 45°1＋tan θtan 45°＝2－11＋2＝13，k OC ＝tan(θ＋45°)＝tan θ＋tan 45°1－tan θtan 45°＝2＋11－2＝－3.题型二求直线的方程例2求符合下列条件的直线方程：(1)直线过点A (－1，－3)，且斜率为－14；(2)直线过点(2,1)，且横截距为纵截距的两倍；(3)直线过点(5,10)，且原点到该直线的距离为5.解(1)∵所求直线过点A (－1，－3)，且斜率为－14，∴y ＋3＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋13＝0.(2)当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y ＝kx ，又直线过点(2,1)，∴1＝2k ，解得k ＝12，∴直线方程为y ＝12x ，即x －2y ＝0；当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为x a ＋yb ＝1，＋1b ＝1，2b ，＝4，＝2，∴直线方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0；综上，所求直线方程为x －2y ＝0或x ＋2y －4＝0.(3)当直线的斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，满足题意；当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋10－5k ＝0.∴原点到直线的距离d ＝|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34，∴所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.思维升华求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．跟踪训练2(1)在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC 边的中点N在x轴上，则MN所在直线的方程为()A．5x－2y－5＝0B．2x－5y－5＝0C．5x－2y＋5＝0D．2x－5y＋5＝0答案A解析设C(x，y)，M(0，m)，N(n，0)，因为A(5，－2)，B(7，3)，0，mn，0，解得x＝－5，y＝－3，m＝－52，n＝1，即C(－5，－3)，N(1,0)，所以MN所在直线的方程为y＋5252＝x1，即5x－2y－5＝0.(2)已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为() A．y－3＝－32(x＋4)B．y＋3＝32(x－4)C．y－3＝32(x＋4)D．y＋3＝－32(x－4)答案C解析方法一因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，所以直线l 的斜率k ＝32，故直线l 的方程为y －3＝32(x ＋4)．方法二设P (x ，y )是直线l 上的任意一点(不同于A )，则AP →＝(x ＋4，y －3)，因为直线l 的一个方向向量为n ＝(2,3)，所以3(x ＋4)－2(y －3)＝0，故直线l 的方程为y －3＝32(x ＋4)．题型三直线方程的综合应用例3已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．解方法一设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)，则－1k ，B (0,1－2k )，S △AOB ＝12(1－2k＝124＋(－4k )≥12×(4＋4)＝4，当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.方法二设直线l ：x a ＋yb＝1，且a >0，b >0，因为直线l 过点M (2,1)，所以2a ＋1b ＝1，则1＝2a ＋1b≥22ab，故ab ≥8，故S △AOB 的最小值为12×ab ＝12×8＝4，当且仅当2a ＝1b ＝12时取等号，此时a ＝4，b ＝2，故直线l 的方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.延伸探究1．在本例条件下，当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程．解由本例方法二知，2a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b ＝3＋a b ＋2ba≥3＋22，当且仅当a ＝2＋2，b ＝1＋2时，等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x ＋2y ＝2＋ 2.2．本例中，当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程．解方法一由本例方法一知－1k，B (0,1－2k )(k ＜0)．所以|MA |·|MB |＝1k2＋1·4＋4k 2＝2×1＋k 2|k |＝2(－k )＋1(－k )≥4.当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时取等号．此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.方法二由本例方法二知A (a ,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0，2a ＋1b＝1.所以|MA |·|MB |＝|MA →|·|MB →|＝－MA →·MB→＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5＝(2a ＋b 5＝4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.思维升华直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．跟踪训练3(1)直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋3－a ＝0(a ∈R )，直线l 过定点________，若直线l 不经过第三象限，则实数a 的取值范围是________．答案(1，－4)[3，＋∞)解析直线l ：(a ＋1)x ＋y ＋3－a ＝0可化为a (x －1)＋x ＋y ＋3＝0，－1＝0，＋y ＋3＝0，＝1，＝－4，∴直线l 过定点(1，－4)，∵直线l 可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －3，又直线l 不经过第三象限，(a ＋1)<0，－3≥0，解得a ≥3.(2)已知直线l 过点M (1,1)，且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为坐标原点．当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，则直线l 的方程为________．答案x ＋y －2＝0解析设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，则A (a ,0)，B (0，b )，且1a ＋1b＝1，则a ＋b ＝ab ，所以|MA |2＋|MB |2＝(a －1)2＋(0－1)2＋(0－1)2＋(b －1)2＝4＋a 2＋b 2－2(a ＋b )＝4＋a 2＋b 2－2ab ＝4＋(a －b )2≥4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.课时精练1．(2023·阜阳模拟)在x 轴与y 轴上截距分别为－2,2的直线的倾斜角为()A ．45°B ．135°C ．90°D ．180°答案A解析由题意知直线过点(－2,0)，(0,2)，设直线斜率为k ，倾斜角为α，则k ＝tan α＝2－00－(－2)＝1，故倾斜角α＝45°.2．已知直线l1：3x＋y＝0与直线l2：kx－y＋1＝0，若直线l1与直线l2的夹角是60°，则k 的值为()A.3或0B．－3或0C.3D．－3答案A解析直线l1：3x＋y＝0的斜率为k1＝－3，所以直线l1的倾斜角为120°.要使直线l1与直线l2的夹角是60°，只需直线l2的倾斜角为0°或60°，所以k的值为0或 3.3．(2023·南京师范大学附中模拟)若将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，再沿y轴负方向平移2个单位长度，又回到了原来的位置，则l的斜率是()A．－32B.32C．－23D.23答案C解析由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，则平移后直线的方程为y＝k(x－3)＋b－2＝(kx＋b)＋(－3k－2)，可得kx＋b＝(kx＋b)＋(－3k－2)，即k＝－2 3 .4．若直线l的方程y＝－ab x－cb中，ab>0，ac<0，则此直线必不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C解析由y＝－abx－cb，ab>0，ac<0，知直线l的斜率k＝－ab<0，在y轴上的截距－cb>0，所以此直线必不经过第三象限．5．直线l：3x－y＋2＝0与x轴交于点A，把l绕点A顺时针旋转45°得直线m，m的倾斜角为α，则cosα等于()A．－6＋24B.2－64C.6＋24D.6－24答案C解析设l的倾斜角为θ，则tanθ＝3，∴θ＝60°，由题意知α＝θ－45°＝60°－45°，∴cosα＝cos(60°－45°)＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°＝12×22＋32×22＝6＋24.6．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是()A．x＋y－5＝0B．2x－y－1＝0C．2x－y－4＝0D．2x＋y－7＝0答案A解析易知A(－1,0)．∵|PA|＝|PB|，∴点P在AB的垂直平分线，即x＝2上，∴B(5,0)．∵PA，PB关于直线x＝2对称，∴k PB＝－1.∴l PB：y－0＝－(x－5)，即x＋y－5＝0.7．(多选)下列说法正确的有()A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则(k，b)在第二象限B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3,2)C．过点(2，－1)，斜率为－3的直线的点斜式方程为y＋1＝－3(x－2)D．斜率为－2，在y轴上截距为3的直线方程为y＝－2x±3答案ABC解析A中，直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，所以(k，b)在第二象限，故A正确；B中，直线可写为y－2＝a(x－3)，所以直线过定点(3,2)，故B正确；C中，根据直线的点斜式方程知正确；D中，由直线的斜截式方程得y＝－2x＋3，故D错误．8．(多选)若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为() A．x－y＋1＝0B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0D．x－y－1＝0答案ABC解析当直线经过原点时，斜率为k＝2－01－0＝2，所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x ±y ＝a ，把点A (1,2)代入可得1－2＝a 或1＋2＝a ，求得a ＝－1或a ＝3，故所求的直线方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上，所求的直线方程为2x －y ＝0，x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.9．已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，则k 的取值范围为________．答案32，＋∞解析由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，6≤0，－2k ≤0，得k ≥32.10．已知直线l 的倾斜角为α，sin α＝35，且这条直线l 经过点P (3,5)，则直线l 的一般式方程为________________________________．答案3x －4y ＋11＝0或3x ＋4y －29＝0解析因为sin α＝35，所以cos α＝±1－sin 2α＝±45，所以直线l 的斜率为k ＝tan α＝±34，又因为直线l 经过点P (3,5)，所以直线l 的方程为y －5＝34(x －3)或y －5＝－34(x －3)，所以直线l 的一般式方程为3x －4y ＋11＝0或3x ＋4y －29＝0.11．已知点A (2,4)，B (4,2)，直线l ：y ＝kx －2,则直线l 经过定点________，若直线l 与线段AB 有公共点，则k 的取值范围是________．答案(0，－2)[1,3]解析由题意得直线l ：y ＝kx －2过定点C (0，－2)，又点A (2,4)，B (4,2)，k CA ＝4－(－2)2－0＝3，k CB ＝2－(－2)4－0＝1，要使直线l 与线段AB 有公共点，由图可知k ∈[1,3]．12．过点P (－1,0)且与直线l 1：3x －y ＋2＝0的夹角为π6的直线的一般式方程是______________．答案x ＋1＝0或x －3y ＋1＝0解析直线l 1的倾斜角β∈[0，π)且tan β＝3，则β＝π3，因为所求直线与直线l 1的夹角为π6，所以所求直线的倾斜角为π6或π2，当所求直线的倾斜角为π2时，直线为x ＝－1；当所求直线的倾斜角为π6时，直线为y ＝33(x ＋1)，故直线为x －3y ＋1＝0.综上，所求直线为x ＋1＝0或x －3y ＋1＝0.13．(多选)下列说法正确的是()A ．不经过原点的直线都可以表示为x a ＋y b＝1B ．若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B 且AB 的中点为(4,1)，则直线l 的方程为x 8＋y 2＝1C ．过点(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为y ＝x 或x ＋y ＝2D ．直线3x －2y ＝4的截距式方程为x 43＋y －2＝1答案BCD 解析A 中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A 错；B 中，AB 的中点为(4,1)，那么A (8,0)，B (0,2)，则直线l 的方程为x 8＋y 2＝1，故B 对；C 中，直线过原点时方程为y ＝x ，不过原点时方程为x ＋y ＝2，故C 对；D 中，方程3x －2y ＝4可化为x 43＋y －2＝1，故D 对．14．(2023·天津模拟)若直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)两点，则l 斜率的取值范围为________；其倾斜角的取值范围为____________________．答案(－∞，1]0，π4∪解析因为直线l 经过A (2,1)，B (1,m 2)两点，所以l 斜率k ＝1－m 22－1＝1－m 2≤1，所以l 斜率的取值范围为(－∞，1]，设其倾斜角为α，α∈[0，π)，则tan α≤1，所以其倾斜角的取值范围为0，π4∪15．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＋1＝0和过定点B 的动直线mx －y －2m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |＋|PB |的最大值为()A ．25B ．32C ．3D ．6答案D 解析由题意知，动直线x ＋my ＋1＝0过定点A (－1,0)，动直线mx －y －2m ＋3＝0可化为(x －2)m ＋3－y ＝0－2＝0，－y ＝0，可得B (2,3)，又1×m ＋m ×(－1)＝0，所以两动直线互相垂直，且交点为P ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18，因为|PA |2＋|PB |22≥，所以|PA |＋|PB |≤2(|PA |2＋|PB |2)＝2×18＝6，当且仅当|PA |＝|PB |＝3时取等号．16．若ab >0，且A (a ,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．答案16解析根据A (a ,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b ＝1，又因为C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又因为ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号，即ab 的最小值为16.。

2013年高考总复习数学北师(江西版)理教案：第八章8.1直线及其方程

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第八章8.1 直线及其方程考纲要求1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．知识梳理1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角：①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴____与直线l ____方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为______．②倾斜角的取值范围为________． (2)直线的斜率：①定义：一条直线的倾斜角α的______叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝______，倾斜角是______的直线的斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝________.2．直线的方程(1)点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，斜率为k ，则直线方程为____________，它不包括__________的直线．(2)斜截式：已知直线在y 轴上的截距b 和斜率k ，则直线方程为__________，它不包括垂直于x 轴的直线．(3)两点式：已知直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则直线方程为________，它不包括垂直于坐标轴的直线．(4)截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b (其中a ≠0，b ≠0)，则直线方程为____________，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．(5)一般式：任何直线的方程均可写成______________的形式．基础自测1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )．A ．π6B ．π3C ．23πD ．562．已知A (3,1)，B (－1，k )，C (8,11)三点共线，则k 的取值是( )． A ．－6 B ．－7 C ．－8 D ．－93．斜率为2的直线的倾斜角α所在的范围是( )． A ．0°＜α＜45° B ．45°＜α＜90° C ．90°＜α＜135° D ．135°＜α＜180° 4．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )． A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或15．若直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、三象限，则有( )． A ．ab ＞0，bc ＞0 B ．ab ＞0，bc ＜0 C ．ab ＜0，bc ＞0 D ．ab ＜0，bc ＜0 思维拓展1．如何正确理解直线的倾斜角与斜率的关系？提示：(1)所有的直线都有倾斜角，当直线与x 轴垂直，即倾斜角为π2时，斜率不存在；(2)直线倾斜角的范围为[0，π)，因为正切函数在[0，π)上不单调，所以在研究斜率与倾斜角的关系时，可结合正切函数在⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π的图像，对其在⎣⎡⎭⎫0，π2和⎝⎛⎭⎫π2π上的变化情况分别讨论．2．求直线方程时，应注意什么？提示：(1)因为点确定直线的位置，斜率确定直线的方向，所以求直线方程时可从寻求点的坐标或直线的斜率入手，再选择合适的形式写出直线的方程；(2)有时也可先设出直线的方程，再利用待定系数法确定其中的参数．此时，一定要注意斜率不存在的情况．一、直线的倾斜角与斜率【例1】已知A (－2,3)，B (3,2)，过点P (0，－2)的直线l 与线段AB 没有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________．方法提炼直线倾斜角的范围是[0，π)，但这个区间不是正切函数的单调区间．因此在考虑倾斜角与斜率的关系时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图像可以看出，当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2π时，斜率k ∈(－∞，0)．请做[针对训练]1二、求直线的方程【例2】已知直线l 过(2,1)，(m,3)两点，求直线l 的方程．方法提炼用待定系数法求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意所选方程的适用条件．无论选择哪种直线方程的形式，最后结果都要化成一般式．请做[针对训练]4三、直线方程的应用【例3－1】已知点A (2,5)与点B (4，－7)，试在y 轴上求一点P ，使得|PA |＋|PB |的值为最小．【例3－2】已知两直线l 1：x ＋2＝0，l 2：4x ＋3y ＋5＝0及定点A (－1，－2)，求过l 1，l 2的交点且与点A 的距离等于1的直线l 的方程．方法提炼在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的面积、距离的最值等问题，一般要结合函数、不等式或利用对称来加以解决．请做[针对训练]5考情分析通过对近几年的高考试题的统计分析可以看出，对于直线方程的考查，一是考查直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；二是考查求直线的方程．从分析五种直线方程成立的条件入手，确定相应的量是确定直线方程的关键．用待定系数法求直线方程时，要特别注意斜率不存在的情况．单独考查直线方程的题目较少，主要是以直线方程为载体，与其他知识相交汇进行综合考查．针对训练1．直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是( )．A ．⎝⎛⎭⎫0，π2B ．(0，π)C ．⎣⎡⎦⎤－π4，π4D ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 2．(2011山东临沂模拟)直线x cos θ＋3y ＋2＝0的倾斜角的取值范围为__________．3．(2011广东广州高三调研)已知直线l 经过坐标原点，且与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，切点在第四象限，则直线l 的方程为__________．4．若直线l 过点P (－2,3)，与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l 的方程．5．已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)①正向向上 0° ②0°≤α＜180° (2)①正切值 tan α 90° ②y 2－y 1x 2－x 12．(1)y －y 0＝k (x －x 0) 垂直于x 轴(2)y ＝kx ＋b (3)y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(4)x a ＋yb ＝1 (5)Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0) 基础自测1．D 解析：∵直线的斜截式方程为y ＝－33x －33，∴其斜率为－33.∴其倾斜角为56π.2．B 解析：∵A ，B ，C 三点共线，∴k －1－1－3＝11－18－3. ∴k ＝－7.3．B 解析：由tan α＝2，结合正切函数在⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π的图像，易知45°＜α＜90°.4．D 解析：当直线l 过原点时，则－2－a ＝0，即a ＝－2；当直线l 不过原点时，原方程可化为x a ＋2a＋ya ＋2＝1，由a ＋2a＝a ＋2，得a ＝1.所以a 的值为－2或1.5．D 解析：显然直线斜率存在，直线方程可化为y ＝－a b x －cb，因为直线过第一、二、三象限，所以有－a b ＞0，－cb＞0，即ab ＜0，bc ＜0. 考点探究突破【例1】⎝⎛⎭⎫－52，43解析：如图，由斜率公式得k AP ＝－2－30－(－2)＝－52，k BP ＝－2－20－3＝43，当直线l 从与x 轴平行位置绕P 点逆时针旋转到直线PB 位置但不与PB 重合时满足题意，其斜率l 满足0≤k ＜k PB ＝43；当直线l 从AP 位置(与AP 不重合)绕P 点逆时针旋转到与x 轴平行的位置时，其斜率k满足k AP ＜k ＜0，即－52＜k ＜0.综上所述k 的取值范围是－52＜k ＜43.【例2】解：当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2；当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0，即为x ＝2，所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0.【例3－1】解：如图所示，先求出A 点关于y 轴的对称点A ′(－2,5)，直线A ′B 的方程为y ＋75＋7＝x －4－2－4，化简为2x ＋y －1＝0. 令x ＝0，得y ＝1.故所求P 点坐标为P (0,1)．【例3－2】解：先利用“过l 1、l 2的交点”写出直线系方程，再根据“l 与A 点距离等于1”来确定参数．过l 1、l 2交点的直线系方程是x ＋2＋λ(4x ＋3y ＋5)＝0，λ是参数．化为(1＋4λ)x ＋3λy ＋(2＋5λ)＝0①，由|－1×(1＋4λ)＋(－2)×3λ＋(2＋5λ)|(1＋4λ)2＋(3λ)2＝1，得λ＝0.代入方程①，得x ＋2＝0.因为直线系方程①中不包含l 2，所以应检验l 2是否也符合已知条件．因A (－1，－2)到l 2的距离为|－4－6＋5|42＋32＝1，l 2也符合要求．故直线l 的方程为x ＋2＝0和4x ＋3y ＋5＝0. 演练巩固提升针对训练1．D 解析：直线x sin α－y ＋1＝0的斜率是k ＝sin α，又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1.当0≤k ≤1时，倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4；当－1≤k ＜0时，倾斜角的范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π.2．⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫56π，π 解析：把直线方程化为斜截式y ＝－33cos θ·x －233，则k ＝－33cos θ.∵－33≤k ≤33，∴0≤α≤π6或56π≤α＜π.3．y ＝－33x 解析：将圆的一般方程化为标准方程：(x －2)2＋y 2＝1，圆心为(2,0)，半径r ＝1，如图，经过原点的圆的切线的倾斜角为150°，切线的斜率为tan 150°＝－33，切线方程为y ＝－33x .4．解：由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则l 的方程为y －3＝k (x ＋2)．令x ＝0，得y ＝2k ＋3；令y ＝0，得x ＝－3k－2，则12·|2k ＋3|·⎪⎪⎪⎪－3k －2＝4， ∴(2k ＋3)⎝⎛⎭⎫3k ＋2＝±8. 若(2k ＋3)⎝⎛⎭⎫3k ＋2＝8，化简得4k 2＋4k ＋9＝0，方程无解；若(2k ＋3)⎝⎛⎭⎫3k ＋2＝－8，化简得4k 2＋20k ＋9＝0，解得k ＝－92或－12.∴直线l 的方程为y －3＝－92(x ＋2)或y －3＝－12(x ＋2)，即9x ＋2y ＋12＝0或x ＋2y －4＝0.5．解：解法一：设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程为x a ＋yb＝1.∵l 过点P (3,2)， ∴3a ＋2b ＝1，b ＝2a a －3. 从而S △ABO ＝12a ·b ＝12·2a a －3＝a 2a －3.故有S △AB O ＝(a －3)2＋6(a －3)＋9a －3＝(a －3)＋9a －3＋6≥2(a －3)·9a －3＋6＝12，当且仅当a －3＝9a －3，即a ＝6时，(S △ABO )min ＝12，此时b ＝2×66－3＝4.∴所求直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.解法二：设直线方程为x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)，代入P (3,2)，得3a ＋2b ＝1≥26ab，得ab ≥24，从而S △AO B ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时，等号成立，此时k ＝－b a ＝－23，∴y －2＝－23(x －3)，∴所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0. 解法三：依题意知，直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k ＜0)，则有A (3－2k ，0)，B (0,2－3k )，∴S △AOB ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k＝12⎣⎡⎦⎤12＋(－9k )＋4(－k )≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2(－9k )·4(－k ) ＝12(12＋12)＝12，当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立．故所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.。

8.1直线的方程课件高三数学一轮复习

(2)如图，∵kAP＝12－－01＝1，
kBP＝ 03－－10＝－ 3， ∴k∈(－∞，－ 3]∪[1，(1,0)改为 P(－1,0)，其他条件不变，则直线 l 斜率的取值范围是_______13_，___3_____．
【解析】 ∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0， 3)，
角度 2：与直线有关的最值问题【例 3】过点 P(4,1)作直线 l 分别交 x 轴，y 轴正半轴于 A，B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线 l 的方程． (2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线 l 的方程．
【解】设直线 l：ax＋by＝1(a>0，b>0)，因为直线 l 经过点 P(4,1)，所以4a＋1b＝1.
0°. (2)范围：直线 l 倾斜角的范围是 [0°，180°) ．
3．直线的斜率公式 (1)定义：把一条直线的倾斜角 α 的
正切值叫做这条直线的斜率，常用小写
字母 k 表示，即 k＝ tanα (α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式：如果直线经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，则
ab·4ab＝9，当且仅当 a＝6，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线 l 的方程为6x＋3y＝1，即 x＋2y－6＝0.
角度 3：由直线方程求参数值(范围)
【例 4】已知直线 l：x－my＋ 3m＝0 上存在点 M 满足与 A(－1,0)，B(1,0)两点连线
的斜率 kMA 与 kMB 之积为 3，则实数 m 的取值范围是( C ) A．[－ 6， 6]
【解析】 (1)当 x＝0 时，y＝3，所以直线过定点(0,3)． (2)当 x＝－3 时，y＝0，所以直线过定点(－3，0)． (3)当 y＝0 时，x＝3，所以直线过定点(3,0)．

2020届高三数学一轮复习《直线的方程》学案

《直线的方程》学案课前准备【考纲要求】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念． 2．掌握过两点的直线斜率的计算公式． 3．掌握确定直线位置的几何要素．4．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)． 5．了解斜截式与一次函数的关系．【知识梳理】 1．直线的倾斜角⑴定义：x 轴与直线所成的角α叫做这条直线的倾斜角．规定：当直线和x 轴平行或重合时，倾斜角为0o． ⑵倾斜角的范围． 2．直线的斜率当直线的倾斜角不是90o时，则直线的斜率k = ．当直线的倾斜角等于90o 时，直线的斜率． 3．斜率公式过两点11122212(,),(,)()P x y P x y x x ≠的直线的斜率公式: k = ． 4．直线的截距坐标公式直线与x 轴交点的叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点的叫做直线在y 轴上的截距． 5．直线的中点坐标公式11(,)A x y 、22(,)B x y 两点间的中点(,)M x y 满足：______________x y =⎧⎨=⎩． 6．直线方程的基本形式1．⑴正向，向上方向．⑵[0,)π．2．tan α；不存在．3．2121y y x x --．4．横坐标；纵坐标．5．122x x +，122y y +．1．直线0x m ++=的倾斜角是（） A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π【答案】D【解析】倾斜角为α，则tan 3k α==-，∴ 56πα=． 2．直线l ：20ax y a +--=在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是（） A ．1 B ．1- C ．2-或1- D ．2-或1 【答案】D【解析】显然0a =时，不能满足题意． ∵在,x y 轴上的截距分别是2,2a a a++． ∴22a a a+=+，解得2a =-或1a =． 3．(2019威海模拟)过点(2,1)，且倾斜角比直线1y x =--的倾斜角小4π的直线方程是（） A ．2x = B ．1y = C ．1x = D ．2y = 【答案】A【解析】∵直线1y x =--的斜率为1-，则倾斜角为34π．依题意，所求直线的倾斜角为3442πππ-=，斜率不存在， ∴过点(2,1)的所求直线方程为2x =．4．(2019惠州质检)直线l 经过点(1,2)A ，在x 轴上的截距的取值范围是(3,3)-，则其斜率k 的取值范围是（） A ．115k -<< B ．1k >或12k < C ．15k >或1k < D ．12k >或1k <- 【答案】D【解析】直线方程为2(1)y k x -=-，直线在x 轴上的截距为21k-．令2313k -<-<，解得1k <-或12k >．【典例剖析】考点一直线的倾斜角【例1】直线cos 20x α++=的倾斜角θ的范围是（） A ．5[,)(,]6226ππππU B ．5[0,][,)66πππU C ．5[0,]6π D ．5[,]66ππ【答案】B【解析】直线的斜率[,333k α=-∈-，当[,0)3k ∈-时，5[,)6πθπ∈；当[0,3k ∈时，[0,]6πθ∈．【方法技巧】求倾斜角的取值范围两个步骤（1）求出斜率tan k θ=的取值范围；（2）利用三角函数的单调性，确定倾斜角θ的取值范围．【变式】（2019开封模拟）已知线段AB 两端点的坐标分别为(2,3)A )和(3,2)B -，若直线l ：10ax y ++=与线段AB 有交点，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,1]-B ．(2,1)-C ．(,2][1,)-∞-+∞UD ．(,2)(1,)-∞-+∞U 【答案】C【解析】方法1：∵直线10ax y ++=恒过定点(0,1)P -，如图，要使直线10ax y ++=与线段AB 相交，则只要直线l 介于直线,PA PB 之间， ∵3(1)220PAk --==-，2(1)130PB k --==---，又∵当直线l x ⊥轴时，斜率不存在，∴直线10ax y ++=的斜率2a -≥，或a -≤-∴a 的取值范围是(,2][1,)-∞-+∞U ．方法2：,A B 在直线10ax y ++=的两侧， (231)(321)0a a ++-++≤，∴(2)(1)0a a +-≥，解得2a ≤-，或1a ≥．【例2】求适合下列条件的直线方程：（1）经过点(1,2)M -，且在两坐标轴上截距相等；（2）直线过点(5,10)，且到原点的距离为5；（3）经过点(2,1)P ，且倾斜角等于直线2y x =的倾斜角的2倍．【解析】（1）设所求直线在,x y 轴上的截距分别为,a b ，①若0a b ==，则直线过原点(0,0)，∴20210k --==--，∴直线方程为2y x =-． ②若0a b =≠时，设直线l 的方程为x y a +=， ∵(1,2)M -在直线l 上，∴121a =-=-． ∴直线方程为10x y ++=，∴所求直线的方程为2y x =-或10x y ++=．（2）当斜率不存在时，所求直线方程为50x -=；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为10(5)y k x -=-，即5100kx y k --+=．5=，解34k =．故所求直线方程为34250x y -+=．综上，所求直线方程为50x -=或34250x y -+=．（3）设所求直线的倾斜角为α，直线2y x =的倾斜角为θ，则tan 2θ=，∴22tan 4tan tan 21tan 3k θαθθ====--， ∴所求直线的方程为41(2)3y x -=--，即43110x y +-=．【方法技巧】直线方程求法中的注意点(1)选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件；（2）若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；（3）若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．【变式】设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PA PB =，若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程是（）A ．270x y +-=B ．50x y +-=C ．240x y --=D ．210x y --=【答案】B【解析】∵点P 在直线10x y -+=上，且P 的横坐标为2，∴(2,3)P ．又∵PA PB =，∴1PB PA k k =-=-．∴PB 的方程是3(2)y x -=--，即50x y +-=．考点三直线的方程的应用【例3】过点(2,1)P 作直线l 分别交x 、y 轴的正半轴于A 、B 两点．（1）当AOB ∆面积最小时，求直线l 的方程；（2）当PA PB ⋅取最小值时，求直线l 的方程．【解析】设直线l 的方程为1(2)(0)y k x k -=-<，令0y =，解得12x k=-，令0x =，解得12y k =-，∴1(2,0),(0,12)A B k k --．（1）1111(2)(12)[4(4)()]22AOB S k k k k∆=--=+-+-11(4(44)422≥+=+=．当且仅当14k k -=-，即12k =-时，等号成立． ∴ 直线l 的方程为240x y +-=．（2）∵PA PB ⋅==4≥=，当且仅当221k k=，即1k =-时，等号成立．∴直线l 的方程为30x y +-=．【方法技巧】直线方程综合应用的解题策略(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的某函数，借助函数的性质解决；(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．【变式】已知两点(3,0)A 、(0,4)B ，动点(,)P x y 在线段AB 上运动，则xy 的最大值是_____．【答案】3【解析】线段AB 的方程是1(03)34x yx +=≤≤， ∴224434(1)(3)()33332x xy x x x x =⋅-=--=--+， ∴32x =时，xy 取得最大值3．【课时作业】1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（）A ．1a b +=B ．1a b -=C ．0a b +=D ．0a b -=【答案】D【解析】由sin cos 0αα+=，得tan 1α=-．∵tan b a α=-，∴1ba-=-，则0a b -=． 2．直线2(1)10x a y +++=的倾斜角的取值范围是（）A ．[0,]4πB ．3[,)4ππC ．[0,](,)42πππUD ．3[,)[,)424ππππU【答案】B【解析】设直线的倾斜角为θ，则21tan 1a θ=-+， ∵211a +≥，∴1tan 0θ-≤<，∵[)0,θπ∈，∴3[,)4πθπ∈． 3．如果0AC <，且0BC <，那么直线 0Ax By C ++=不通过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】令0x =，得0C y B =->，令0y =，得0Cx A=->，直线过(0,),(,0)C CB A--两点，∴直线不过第三象限． 4．若直线经过点(1,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则这样的直线共有( )A ．1条B ． 2条C ．3条D ．4条【答案】C【解析】作图易得在第一、二、四象限各能围成一个面积为2的三角形．5．过点(2,1)M 的直线与,x y 轴分别交于,P Q ，若M 为线段PQ 的中点，则这条直线的方程为（） A ．230x y --= B ．250x y +-= C ．240x y +-= D ．230x y -+= 【答案】C【解析】设(,0)P a ，(0,)Q b ，则因M 是PQ 的中点，∴ 022012a b +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得 42a b =⎧⎨=⎩，∴直线方程为142x y+=，即240x y +-=．6．若直线(23)60t x y -++=不经过第二象限，则t 的取值范围是（） A ．3(,)2+∞ B ．3(,]2-∞ C ．3[,)2+∞ D ．3(,)2-∞ 【答案】B【解析】因直线恒过(0,6)-，要使直线不过第二象限，则只要直线的斜率(23)0k t =--≥，解得32t ≤． 7．（2019淮北模拟）已知二次函数2()22f x x ax b =++有两个零点12,x x ，且12112x x -<<<<，则直线(1)30bx a y --+=的斜率的取值范围是（）A B ．23(,)52- C ．21(,)52- D ．22(,)(,)53-∞-+∞U 【解析】由题意(1)1220(1)1220(2)4420f a b f a b f a b -=-+>⎧⎪=++<⎨⎪=++>⎩，在坐标系作出点(,)a b表示的平面区域，如图ABC ∆内部（不含边界），表示点(,)a b 与点(1,0)P 连线的斜率， ∴斜率k 的范围是8．(2019西安模拟))过点(2,3)P ，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程为________．【答案】320x y -=或10x y -+= 【解析】当直线l 过原点时，方程为32y x =，即320x y -=. 当直线l 不过原点时，设直线方程为1x ya a-=. 将(2,3)P 代入方程，得1a =-， ∴直线l 的方程为10x y -+=.综上，所求直线l 方程为320x y -=或10x y -+=．9．（2019株洲质检）若(2,1)P -为圆22(1)25x y -+=内弦AB 的中点，则直线AB 的方程为．【答案】30x y --=∵1PC k =-，则1AB k =,∴直线AB 的方程为12y x +=-，即30x y --=．10．在ABC ∆中，已知点(5,2)A -、(7,3)B ，且边AC 的中点M 在y 轴上，边BC 的中点N 在x 轴上．（1）求点C 的坐标；（2）求直线MN 的方程．【解析】（1）设点(,)C x y ，由题意得502302xy +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得53x y =-⎧⎨=-⎩．故所求点C 的坐标是(5,3)--．（2）点M 的坐标是5(0,)2-，点N 的坐标是(1,0)，∴直线MN 的方程是1512x y+=-，即0525=--y x ．11．已知直线l ：120()kx y k k -++=∈R ．（1）证明直线l 过定点；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，AOB ∆的面积为S ，求S 的最小值，并求此时直线l 的方程．【解析】（1）直线l 可化为(2)10k x y ++-=，（*）∵当2,1x y =-=时，方程（*）恒成立， ∴直线恒过点(2,1)-．（2）由题意可得0k >，∴直线l 在,x y 轴上的截距分别是12,12kk k+-+． ∴ 2(12)122422k S k k k+==++≥，当且仅当122k k =，即12k =时，取等号， ∴min 4S =时，l 的方程是1202x y -+=．。

高三数学一轮 8.1 直线与方程精品复习学案

高三数学一轮 8.1 直线与方程精品复习学案【知识特点】1、本章内容主要包括直线与方程、圆与方程、圆锥曲线，是解析几何最基本，也是很重要的内容，是高中数学的重点内容，也是高考重点考查的内容之一；2、本章内容集中体现了用坐标法研究曲线的思想与方法，概念、公式多，内容多，具有较强的综合性；3、研究圆锥曲线的方法很类似，因此可利用类比的方法复习椭圆、双曲线、抛物线的定义与几何性质，掌握解决解析几何问题的最基本的方法。

【重点关注】1、关于直线的方程，直线的斜率、倾斜角，几种距离公式，两直线的位置关系，圆锥曲线的定义与性质等知识的试题，都属于基本题目，多以选择题、填空题形式出现，一般涉及两个以上的知识点，这些将是今后高考考查的热点；2、关于直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的题目出现次数较多，既有选择题、填空题，也有解答题。

既考查基础知识的应用能力，又考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力；3、直线与圆锥曲线联系在一起的综合题多以高档题出现，要求学生分析问题的能力，计算能力较高；4、注重数学思想方法的应用解析法、数形结合思想、函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论思想及待定系数法在各种题型中均有体现，应引起重视。

【地位和作用】解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。

在本模块中，学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系。

体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。

在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。

这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。

从新课改近两年来的高考信息统计可以看出，命题呈现出以下特点：1、各种题型均有所体现，分值大约在19-24分之间，比重较高，以低档题、中档题为主；2、主要考查直线及圆的方程，圆锥曲线的定义、性质及综合应用，符合考纲要求，这些知识属于本章的重点内容，是高考的必考内容，有时还注重在知识交汇点处命题；3、预计本章在今后的高考中仍将以直线及圆的方程，圆锥曲线的定义、性质及直线与圆锥曲线的位置关系为主命题，且难度有所降低；更加注重与其他知识交汇，充分体现以能力立意的命题方向。

《直线的方程》教学设计

（封面）《直线的方程》教学设计授课学科：授课年级：授课教师：授课时间：XX学校一、复习目标：1、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；2、根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系；3、能灵活运用条件求出直线的方程。

二、重难点：重点:理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程难点:在求直线方程时,条件的转化和设而不求的运用三、教学方法：讲练结合，探析归纳四、教学过程（一）、谈新考纲要求及高考命题考查情况，促使学生积极参与。

1、最新考纲要求：（1）、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；（2）、根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系；（3）、能灵活运用条件求出直线的方程。

2、高考命题考查情况及预测：本课高考考查的重热点是直线的倾斜角与斜率和直线的方程及其应用，多以选择题或填空题考查，解答题中也涉及到，单独命题很少，大都与圆锥曲线、三角结合考查，一般属于中难题。

预测2013年高考仍会如此。

以此突出考查学生的理解能力、逻辑思维能力、运算能力及数形结合的思想方法运用的能力。

（二）、知识梳理整合，（学生完成复资P223填空题，教师针对问题讲评）1、直线的倾斜角与斜率:⑴、对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到第一次和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范围是[00，1800) ；⑵、直线的倾斜角α与斜率k的关系:当α时， k与α的关系是α时，直线斜率不存在⑶、经过两点P1(x1,y1)P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是；2、直线方程的五种形式:⑴、点斜式方程是；不能表示的直线为垂直于轴的直线；斜截式方程为；不能表示的直线为垂直于轴的直线；⑶、两点式方程为；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线；⑷、截距式方程为；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线；⑸、一般式方程为。

高考理科第一轮复习课件(8.1直线的斜率与直线方程)

设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k＜0),
则有A（ 3 2 , 0）,B(0,2-3k), k
1 2 S ABO 2 3k (3 ) 2 k 1 4 [12 9k ] 2 k 1 4 1 [12 2 (9k) ] 12 12 12, 2 k 2 当且仅当 9k 4 , 即 k 2 时,等号成立，S△ABO取最小值12. k 3 此时，直线l的方程为2x+3y-12=0.
（5）过点（a,0）和（0，b）的直线方程为 x y 1. ( ) a b （6）平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式方程.( )
【解析】（1）正确.直线的倾斜角仅反映了直线相对于x轴的倾斜程度，不能确定直线的位置. （2）错误.当倾斜角α=90°时，其斜率不存在. （3）错误.倾斜角是0°的直线有无数条. （4）错误.当斜率k不存在时，直线方程为x=1. （5）错误.当ab=0时，直线方程为x=0或y=0. （6）错误.当直线与x轴垂直时（没有斜率），不能用点斜式
【解析】经过两点M(1,-2)，N(-3,4)的直线方程为
y 2 x 1 即3x+2y+1=0. ， 4 2 3 1 答案：3x+2y+1=0
6.过点M（3，-4）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方
程为__________.
【解析】当在两坐标轴上截距均为0时，设方程为y=kx，又过M(3,-4)，≨有-4=3k,得 k 4 , 3 4 ≨直线的方程为 y x. 3 当在两坐标轴上的截距均不为0时，
【变式备选】已知实数x,y满足2x+y=8,当2≤x≤3时, 求 y 1 的取值范围. x 1
【解析】由 y 1 的几何意义知,它表示点A(1,-1)与线段CD上 x 1 任一点P(x,y)连线的斜率,如图. ≧线段的端点为C(2,4),D(3,2),

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高考数学一轮复习 8.1直线的方程学案
EIGHTH CHAPTER解析几何
8、1 直线的方程学考考查重点
1、考查直线的有关概念，如直线的倾斜角、斜率、截距等；考查过两点的斜率公式；
2、求不同条件下的直线方程(点斜式、两点式及一般式等)；
3、在直线与圆锥曲线的关系问题中考查直线、本节复习目标
1、理解数形结合的思想，掌握直线方程的几种形式，会根据已知条件求直线方程；
2、会根据直线的特征量画直线，研究直线性质、教材链接自主学习
1、直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：
___________________ 当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为、②倾斜角的范围为、(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝，倾斜角是90的直线斜率、②过两点的直线的斜率公式：
2、直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式斜截式两点式截距式一般式
3、过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程(1)若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为；(2)若x1≠x2，且y1
＝y2时，直线垂直于y轴，方程为；(3)若x1＝x2＝0，且
y1≠y2时，直线即为y轴，方程为；(4)若x1≠x2，且y1＝y2＝0时，直线即为x轴，方程为、4、线段的中点坐标公式：基础知识自我测试
1、若直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为
___________、2、若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为__________、3、过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________、4、直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点、则直线l的倾斜角的取值范围为
____________、5、如果AC<0，且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(
)
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限题型分类深度剖析题型一直线的倾斜角与斜率例1 (1)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(
)
A、
B、－
C、－
D、(2)直线xcos α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是(
)
A、∪
B、∪
C、
D、变式训练1：
已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，求实数m的取值范围、题型二求直线的方程例2 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－；(3)过点A(1，－1)与已知直线
l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝
5、变式训练2：
△ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2，3)，求：(1)BC所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE的方程、题型三直线方程的综合应用例3 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)、(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l 交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程、变式训练3：已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于
A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l 的方程、。