中学数学《一元二次方程根与系数的关系》知识点精讲
一元二次方程的根与系数的关系 ppt课件
把n=4m 代入代数式4m2－5mn＋n2，
得4m2－5m×4m＋(4m)2=0.
综上所述，代数式4m2－5mn＋n2 的值为0 .
知1－练
(3)若关于x 的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0)是“倍根
方程”，求a，b，c 之间的关系.
解：由“倍根方程”的定义可设ax2x2=
=1.
知1－练
2-1.[中考·宜昌] 已知x1，x2 是方程2x2－3x＋1=0 的两根，
则代数式
＋
＋
的值为 ______．
1
知1－练
例 3 已知关于x 的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2=0.
(1)若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；
知1－练
3-1.[中考·襄阳] 关于x 的一元二次方程x2＋2x＋3－k=0 有
两个不相等的实数根．
(1)求k 的取值范围；
解：b2－4ac＝22－4×1×(3－k)＝－8＋4k.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴－8＋4k>0，解得k>2.
知1－练
(2)若方程的两个根为α ，β ， 且k2=αβ ＋3k，求k 的值.
8=0 就是“倍根方程”
解题秘方：紧扣“倍根方程”的定义及根与系数的
关系解题，理解“倍根方程”的概念是解题关键.
知1－练
(1)若关于x 的一元二次方程x2－3x＋c=0 是“倍根方程”，
2
则c=________；
知1－练
(2)若(x－ 2)(mx－n) =0(m ≠ 0)是“倍根方程”，求代数式
4m2－5mn＋n2 的值；
解方程(x－2)(mx－n)= 0(m ≠
一元二次方程的根与系数的关系课件
x1 x2 2 2x1x2
3 2
2
2
1 2
13 4
;
2
1 x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
3 2
1 2
3.
巩固练习
变式题3 设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:
（1）x1+x2= 4 , (2) x1·x2= 1 ,
(3) (x1 x2 )2 12 ,
即：x2=5 .
由于x1·x2=1×5=
m, 3
得：m=15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
巩固练习
变式题2 已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是 2 ,求它的另一个根及k的值.
解：设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2 由根与系数关系，得x1●2＝3k 即 2 x1 ＝－6 ∴ x1 ＝－3
九年级数学上册
21.2 解一元二次方程
21.2.4 一元二次方程的根与系数 的关系
回顾旧知
1. 一元二次方程的求根公式是什么？
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
2. 如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.
x1,, x2 − 12，2
13，1
x1,+ x2
3 2
4 3
x1. x2
学生版一元二次方程根与系数的关系—知识讲解(基础)
一元二次方程根与系数的关系—知识讲解（基础）【学习目标】1. 理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系；2. 能应用一元二次方程的根与系数的关系解决以下问题：已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.【要点梳理】要点一、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-； ②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k xx k =+++；⑦12||x x -==⑧22212121222222121212()211()x x x x x x xx x x x x++-+==； ⑨12x x-==；⑩122|||||x x x +==2|x =．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数；当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数．②当△＞0且120x x <时，两根异号．当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a b +，则必有一根a b -（a ，b 为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程的根与系数的关系的应用（1）1．（定陶县期末）已知方程x 2+5x ﹣3=0，不解方程，求作一个一元二次方程使它的根分别是已知方程各根的2倍．举一反三：【变式】已知方程2x 2-3x-3=0的两个根分别为a ，b ，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是a+1，b+1．2.（江西校级模拟）已知关于x 的方程mx 2+2x ﹣1=0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若方程有两个实数根x 1，x 2，求+的值．举一反三：【变式】设一元二次方程2x 2-5x+1=0的两根分别为x 1，x 2，不解方程，求2112x x x x + 的值．类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用（2）3．已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求另一个根及k 的值．举一反三：【变式】（泉州校级期中）若关于x 的一元二次方程x 2+9k+3x+k=0的一个根是﹣2，求方程另一个根和k 的值．4．求作一个一元二次方程，使它的两根分别是133-，122．一元二次方程根与系数的关系—巩固练习（基础） 【巩固练习】 一、选择题1. 下列方程，有实数根的是( )A ．2x 2+x+1＝0B ．x 2+3x+21＝0C ．x 2-0.1x-1＝0D ．22230x x -+= 2．一元二次方程20(0)ax bc c a ++=≠有两个不相等的实数根，则24b ac -满足的条件是（ ） A ．240b ac -= B ．240b ac -> C ．240b ac -< D ．240b ac -≥3.（烟台）若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个根，则x 12﹣x 1+x 2的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．2D ．34．关于方程2230x x ++=的两根12,x x 的说法正确的是（ ）A. 122x x +=B.123x x +=-C. 122x x +=-D.无实数根5．（广西）已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=7，x 1x 2=12，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2﹣7x+12=0B ．x 2+7x+12=0C ．x 2+7x ﹣12=0D ．x 2﹣7x ﹣12=06．一元二次方程22630x x -+=的两根为α、β，则2()αβ-的值为（ ）． A ．3 B ．6 C ．18 D ．24二、填空题7．已知关于x 的方程x 2-2x+k ＝0有实数根，则k 的取值范围是________．8．已知3x 2-2x-1=0的二根为x 1，x 2，则x 1+x 2=______，x 1x 2=______，1211x x +=••_______，• x 12+x 22=_______，x 1-x 2=________． 9．若方程的两根是x 1、x 2，则代数式的值是 。
人教版数学九年级上册一元二次方程的根与系数的关系课件
课堂小结
若方程x2+px+q=0有两个实根x1，x2，则
x1+x2=-p, x1x2=q.
若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则
x1
x2
b a
,
x1 x2
c a
.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
(2)当 Rt△ABC 为等腰直角三角形时，关于 x 的一元二次 方程 x2＋kx＋12＝0 的两根相等，则Δ＝k2－4×12＝0，解得 k ＝±4 3 ，∵两直角边长的和为－k＞0，∴k＝－4 3 ，∴两 直角边长为 2 3 ，2 3 ，∴斜边长为 2 3 × 2 ＝2 6 ， ∴Rt△ABC 的周长为 2 3 ＋2 3 ＋2 6 ＝4 3 ＋2 6
2．已知a，b是方程x2＋3x－1＝0的两根，则a2b＋ab2的值是__3__．
3．已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1＝0，它的两根之积 为－4，则k的值为( D ) A．－1 B．4 C．－4 D．－5
4．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另 一根为( C ) A．2 B．3 C．4 D．8
已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，两根分
b b2 4ac
别为x1= 2a
b b2 4ac
，x2=
2a
ห้องสมุดไป่ตู้
b b2 4ac b b2 4ac 2b b
x1+x2=
2a
2a
2a a
。 ，
b b2 4ac b b2 4ac
•
2a
2a
(b)2 (b2 4ac) c
《一元二次方程根与系数的关系》 知识清单
《一元二次方程根与系数的关系》知识清单一元二次方程是初中数学中的重要内容，其中根与系数的关系（韦达定理）更是有着广泛的应用。
让我们一起来深入了解一下这个重要的知识点。
一、什么是一元二次方程形如$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ＼neq 0$）的方程叫做一元二次方程。
其中$a$是二次项系数，＄b$是一次项系数，＄c$是常数项。
二、一元二次方程的求根公式对于一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ＼neq 0$），其求根公式为：＄x ＝＼frac{b ＼pm ＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄。
当$b^2 4ac ＼gt 0$时，方程有两个不相等的实数根；当$b^2 4ac ＝0$时，方程有两个相等的实数根；当$b^2 4ac ＼lt 0$时，方程没有实数根。
三、根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ＼neq 0$）的两根为$x_1$，＄x_2$，则有：＄x_1 ＋ x_2 ＝＼frac{b}｛a}＄＄x_1 ＼cdot x_2 ＝＼frac{c}｛a}＄这就是一元二次方程根与系数的关系，也称为韦达定理。
四、韦达定理的推导设方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ＼neq 0$）的两根为$x_1$，＄x_2$，由求根公式可得：＄x_1 ＝＼frac{b ＋＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄，＄x_2 ＝＼frac{b ＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄则：＄x_1 ＋ x_2 ＝＼frac{b ＋＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a} ＋＼frac{b ＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄＄＝＼frac{b ＋＼sqrt{b^2 4ac} b ＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄＄＝＼frac{－2b}｛2a} ＝＼frac{b}｛a}＄＄x_1 ＼cdot x_2 ＝＼frac{b ＋＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a} ＼cdot ＼frac{b ＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄＄＝＼frac{（b)＾2 （＼sqrt{b^2 4ac}）＾2}｛4a^2}＄＄＝＼frac{b^2 （b^2 4ac)｝｛4a^2}＄＄＝＼frac{4ac}｛4a^2} ＝＼frac{c}｛a}＄五、韦达定理的应用1、已知方程的一根，求另一根及未知系数例如：已知方程$x^2 5x ＋ 6 ＝ 0$的一个根为 2，求另一个根及常数项。
人教版九年级数学上章节知识点深度解析 一元二次方程的根与系数的关系
则 x1＋ x2＝－2， x1·x2＝－ .
1
2
3
4
5
6
7
谢谢观看
Thank you for watching!
第二十一章
*21.2.4
一元二次方程
21.2 解一元二次方程
一元二次方程的根与系数的关系
要点归纳
知识要点
一元二次方程的根与系数的关系
根与系数的关系
x2＋ px ＋ q ＝0 x1＋ x2＝ －p
公式 ax2＋ bx ＋ c ＝
0（ a ≠0）
应用 应用前提
x1＋ x2＝ －
x1·x2＝ q
）
D
A. x2－6 x ＋8＝0
B. x2＋2 x －3＝0
C. x2－ x －6＝0
D. x2＋ x －6＝0
3. 已知 x1， x2是一元二次方程 x2＋4 x －3＝0的两个
实数根，则 x1＋ x2－ x1 x2的值是（
A. 6
B. 0
2
3
4
5
6
）
D. －1
C. 7
1
D
7
4. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－6 x ＋ c ＝0有一个根
x1·x2＝
方程有实数根，即Δ＝ b2－4 应用
用 形式
≥
当堂检测
1. 已知 x1， x2是一元二次方程2 x2－4 x ＋1＝0的两
个实数根，则 x1·x2等于（
）
C
A. －2
D. 2
1
2
3
4
5
6
7
2. 已知一元二次方程的两根分别是2和－3，则这个
一元二次方程的根与系数的关系(知识点考点)-九年级数学上册知识点考点(解析版)
一元二次方程的根与系数的关系（知识点考点一站到底）知识点☀笔记韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则12b x x a +=-，12c x x a⋅= 考点☀梳理考点1：韦达定理必备知识点：如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则12b x x a +=-，12c x x a⋅= 解题指导：适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数；(2)求与方程的根有关的代数式的值；(3)已知两根求作方程；(4)已知两数的和与积，求这两个数；(5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)；（6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是Rt ∆的两直角边求斜边等情况.注意：（1）韦达定理拓展公式 ①x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1∙x 2②1x 1+1x 2=x 2+x 1x 1∙x 2x 2x 1+x1x 2=x 12+x 22x 1∙x 2=(x 1+x 2)2−2x 1∙x 2x 1∙x 2③(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1∙x 2④|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1∙x 2 ；（2）①方程有两正根，则1212000x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩；②方程有两负根，则1212000x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪⋅>⎩ ；③方程有一正一负两根，则120x x ∆>⎧⎨⋅<⎩；（3）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以12,x x 为根的一元二次方程为21212()0x x x x x x -++⋅=;求字母系数的值时，需使二次项系数0a ≠，同时满足∆≥0;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和12x x +，•两根之积12x x ⋅的代数式的形式，整体代入。
《一元二次方程根与系数的关系》 知识清单
《一元二次方程根与系数的关系》知识清单一元二次方程是数学中非常重要的一个概念，而根与系数的关系更是解决相关问题的有力工具。
接下来，咱们就详细地来梳理一下这部分知识。
一、什么是一元二次方程形如\（ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0\）（＼（a≠0\））的方程就是一元二次方程。
其中\（a\）是二次项系数，＼（b\）是一次项系数，＼（c\）是常数项。
二、一元二次方程的解法1、配方法通过在方程两边加上相同的常数，将方程左边配成完全平方式，然后开平方求解。
2、公式法对于一元二次方程\（ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0\），其解为\（x ＝＼frac{b ±＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＼），其中\（＼Delta ＝ b^2 4ac\）称为判别式。
3、因式分解法将方程化为两个一次因式的乘积等于零的形式，从而求解。
三、一元二次方程根的判别式＼（＼Delta ＝ b^2 4ac\）决定了方程根的情况：当\（＼Delta ＞ 0\）时，方程有两个不相等的实数根；当\（＼Delta ＝ 0\）时，方程有两个相等的实数根；当\（＼Delta ＜ 0\）时，方程没有实数根。
四、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程\（ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0\）（＼（a≠0\））的两根为\（x_1\）、＼（x_2\），则有：＼（x_1 ＋ x_2 ＝＼frac{b}｛a}＼）＼（x_1x_2 ＝＼frac{c}｛a}＼）这两个关系式非常重要，在解决很多问题时都能派上用场。
五、韦达定理的应用1、已知方程的一根，求另一根及未知系数例如，已知方程\（x^2 5x ＋ 6 ＝ 0\）的一个根为\（2\），设另一根为\（x_0\），根据韦达定理，＼（2 ＋ x_0 ＝ 5\），解得\（x_0 ＝3\）；又因为\（2x_0 ＝ 6\），也可验证结果的正确性。
2、求与两根有关的代数式的值比如，求\（x_1^2 ＋ x_2^2\）的值，可以变形为\（（x_1 ＋ x_2)＾2 2x_1x_2\），然后代入韦达定理中的关系式求解。
一元二次方程的根的分布与系数的关系-高中数学知识点讲解
一元二次方程的根的分布与系数的关系
1．一元二次方程的根的分布与系数的关系
【概述】
一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如
下关系：x1+x2 =―푏
푎
，x1•x2 =
푐
푎．
【例题解析】
例：利用根与系数的关系求出二次项系数为 1 的一元二次方程，使它的两根分别是方程x2﹣3x+1＝0 两根的平方．
解：方程x2﹣3x+1＝0 中，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝9﹣4＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，
设方程两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴（x1+x2）2＝x12+x22+2x1x2，即 9＝x12+x22+2，
∴x12+x22＝7，又x12x22＝（x1x2）2＝1，且所求方程二次项系数为 1，
则所求方程为x2﹣7x+1＝0．
这个题基本上是套用定理，唯一注意的是x1+x2 与x1•x2 可以变换，不管是变成加还是减还是倒数，都可以应用上面的公式（韦达定理）．
【考点分析】
首先申明，这是必考点．一般都是在解析几何里面，通过联立方程，求出两交点的横坐标与系数的关系，然后通过这个关系去求距离，或者斜率的积等等．所以在复习的时候要结合解析几何一同复习效果更佳．
1/ 1。
24.3 一元二次方程根与系数的关系课件(共16张PPT)
还有其他的做法吗？
随堂演练
1. 若x1，x2 是方程x2－2mx+m2－m－1=0 的两个根，且x1+x2=1－x1x2，则m的值为( )A. －1 或2 B. 1 或－2 C. －2 D. 1
5
6
由求根公式可知
归纳
方程的两个根 x1，x2 和系数 a，b，c 有如下关系：
注意一元二次方程的根与系数的关系存在的前提是a ≠ 0，b2-4ac ≥ 0
例1
根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积. (1) x2-3x-8=0 ； (2) 3x2+4x-7=0 .
解：(1)这里a=1，b=-3，c=-8，且b2-4ac=（-3）2-×1×（-8）=41>0，所以xΒιβλιοθήκη +x2=3, x1x2=-8.
(2)这里a=3，b=4，c=-7，且b2-4ac=42-4×3×（-7）=100>0，所以x1+x2= , x1x2= .
巩固练习
归纳
常见的关系：
3.
4.
课堂小结
根与系数的关系
内容
应用
求字母或代数式的值
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
2.一元二次方程的求根公式是什么？
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
导入新知
知识点1
一元二次方程的根与系数的关系
①
探究
1.由因式分解法可知，方程（x-2）（x-3）=0的两根为x1=2,x2=3，而方程（x-2）（x-3）=0 可化为x2-5x+6=0的形式，则x1+x2= ，x1x2= . 2.设方程2x2+3x-9=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2= ，x1x2= . 3.对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，设方程的两根分别为x1，x2，请你猜想x1+x2，x1x2与方程系数之间的关系，并利用求根公式验证你的结论.
公式法解一元二次方程和根与系数的关系知识点总结和重难点精析
公式法解一元二次方程和根与系数的关系知识点总结和重难点精析一、引言九年级数学中，一元二次方程是一个重要的知识点。
公式法解一元二次方程是求解一元二次方程的一种重要方法，而根与系数的关系也是这个知识点的重要组成部分。
掌握公式法解一元二次方程和根与系数的关系，对于提高学生解决数学问题的能力具有重要意义。
二、知识点总结1.一元二次方程的基本形式为ax²+bx+c=0(a≠0)。
它的解是x= [-b ±√(b²-4ac)] / 2a。
2.根与系数的关系是指一元二次方程的两个根x1和x2与方程的系数a、b、c之间的相互关系。
根据一元二次方程的求根公式，两个根的和为-b/a，两个根的积为c/a。
三、重难点精析1.应用公式法解一元二次方程时，首先需要将方程化为一般形式，并确定a、b、c的值。
难点在于如何找到a、b、c的值，需要根据题目中的条件进行转化。
2.根与系数的关系是难点之一，需要理解两根之和与两根之积的意义。
在解题中，通常利用根与系数的关系来求方程中字母系数的值或用字母代数式表示方程的两个根。
四、练习题1.用公式法解下列一元二次方程：(1)x²-6x+9=0;(2)3x²+4x-7=0;(3)y²+2y-1=0;(4)2x²-5x+3=0;2.已知方程x²-7x+12=0的两个根是x1和x2.求下列各式的值：(1)(x1+1)(x2+1);(2)(x1-1)(x2-1)3.根据下列各组中根与系数的关系，求下列各式的值：(1)已知x1、x2是方程x²-5x+6=0的两个根，求x1²+x2²的值;(2)已知x1、x2是方程x²-7x+12=0的两个根，求x1³-x2³的值。
五、总结本文总结了九年级数学中公式法解一元二次方程和根与系数的关系知识点，包括了一元二次方程的基本形式、解法以及根与系数的关系等重要内容。
初三人教版数学上册一元二次方程的根与系数的关系重点
初三人教版数学上册一元二次方程的根与系数的关系重点知识点中学数学里的根与系数之间的关系又称韦达定理,指的是如果方程ax平方+bx+c=0（a不等于0）的两根为x1、x2,那么x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.需要说明的是,必须保证满足：（1）a不等于0（2）判别式大于等于0.韦达定理通常解决一些已知方程求两根的某种运算,如方程x平方+5x-10=0的两个根分别是x1、x2,不解方程求1/x1+1/x2；x1平方+x2平方；x1立方+x2立方等；已知方程两个根的某种关系求方程中的待定系数；解决直线与圆锥曲线的交点问题,弦长问题等，是中学数学中一个非常重要的关系.它的一般结论是一元n次方程中根与系数的关系,大学里才学习.例题解析课后练习1.若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是( )A.1B.5C.-5D.62.一元二次方程x2+4x-3=0的两根为x1，x2，则x1x2的值是( )A.4B.-4C.3D.-33.已知方程x2-2x-1=0，则此方程( )A.无实数根B.两根之和为-2C.两根之积为-1D.有一根为-1+24.已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=-2，x2=4，则m+n的值是( )A.-10B.10C.-6D.25.已知实数x1，x2满足x1+x2=11，x1x2=30，则以x1，x2为根的一元二次方程是( )A.x2-11x+30=0B.x2+11x+30=0C.x2+11x-30=0D.x2-11x-30=0答案：1．B 2.D 3.C 4.A 5.A一元二次方程的根与系数的关系重点的全部内容就是这些，更多的精彩内容请点击初三数学知识点栏目了解详情，预祝大家在新学期可以更好的学习。
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 课件(共17张PPT) 人教版数学九年级上册
求 a 的值及该方程的另一个根.
解：由方程有两个实数根，得 Δ = a2 - 4 ≥0，
即 a ≥ 2或a ≤ -2.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2a，x1 x2 = 16.
∴
x1 x2
x1 x2
1
1
1
x1
x2
x1 x2
16
解得 a = 8
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
x1 x2 x12 x22 ( x1 x2 )2 2 x1 x2
3.
;
x2 x1
x1 x2
x1 x2
4.( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1;
5. x1 x2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 .
21.2.4 一元二次方程
的根与系数的关系
九年级上
学习目标
目
录
新课引入
新知学习
随堂练习
课堂小结
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系. （2022年版课标将*删除）
2. 会用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
21.2.4 一元二次方程Βιβλιοθήκη 与系数的关系7－9
(2) x1＋x2＝－ ，x1 x2＝ ＝－3.
3
3
(3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴
x1＋x2＝－
1
5 5
= ， x1 x2＝ .
4
4 4
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
1
1
初三数学一元二次方程根与系数的关系及其应用知识精讲
初三数学一元二次方程根与系数的关系及其应用知识精讲一元二次方程根与系数的关系及其应用一元二次方程ax bx c a 200++=≠()的根x x 12、是由系数a 、b 、c 决定的，它们之间有密切的关系。
x x b a x x c a1212+=-=， 这就是根与系数的关系，也称为韦达定理。
反之，一元二次方程的两根也制约着这个方程的系数，当a =1时，有()b x x =-+12，c x x =12，从而有以两个数x x 12、为根的二次项系数为1的一元二次方程是()x x x x x x 212120-++=。
需要指出，韦达定理应该是在判别式大于等于零的前提下使用，即在保证一元二次方程有实数根的条件下使用。
一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系，利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根，求根的代数式的值，构造方程，确定系数等问题，它是中学数学中的一个有用的工具。
例（2002·南京）已知：关于x 的方程x kx 220--= （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x x 12、，如果()21212x x x x +>，求k 的取值范围。
解：（1）证明： ∆=-=+>b ac k 22480 ∴原方程有两个不相等的实数根 （2） x x k x x 12122+==-， 又() 21212x x x x +>∴>-∴>-221k k说明：本题侧重考察对基本知识点的掌握，难度不大，可以说是中考中的送分题，同学们应该把这类题的分数拿到手。
例（2000上海）已知关于x 的一元二次方程()mx m x m m 221200--+-=>()（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）如果这个方程的两个实数根分别为x x 12、，且()()x x m 12335--=，求m 的值。
解：（1）证明：()[]()∆=----21422m m m=-+-+=+441484122m m m m mm m >∴4+>010， ∴方程有两个不相等的实数根 （2）由()()x x m 12335--= ()x x x x m 12123950-++-=x x m mx x m m1212212+=-=-()∴---+-=m m m mm 2321950 解得：m m 12115==-，经检验m m 12、都是方程的根。
初三数学一元二次方程根和系数关系解析
初三数学一元二次方程根和系数关系解析一元二次方程是我们初中数学中非常重要的内容，它的根和系数之间存在着一些有趣的关系。
在本文中，我们将对一元二次方程的根和系数之间的关系进行深入分析。
一、一元二次方程的一般形式一元二次方程一般可以写成如下形式：ax² + bx + c = 0，其中a、b和c分别是方程的系数，其中a≠0。
这里的a决定了方程的开口方向，b决定了方程的对称轴位置，c决定了方程与x轴的交点。
二、一元二次方程的根和系数之间的关系1. 判别式一元二次方程的判别式可以用来判断方程的根的情况。
判别式的计算公式为Δ = b² - 4ac，其中Δ表示判别式。
①当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。
②当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。
③当Δ < 0时，方程没有实根，但可能有共轭复根。
2. 根与系数之间的关系通过解一元二次方程，我们可以得到根与系数之间一些有趣的关系。
①根的和与系数的关系设方程的两个根为x₁和x₂，则有：x₁ + x₂ = -b/a。
我们可以通过求和的方式得到方程中b和a之间的关系。
②根的积与系数的关系设方程的两个根为x₁和x₂，则有：x₁ * x₂ = c/a。
我们可以通过求积的方式得到方程中c和a之间的关系。
三、例题分析现在，我们通过一个例题来更好地理解一元二次方程的根和系数之间的关系。
例题：已知一元二次方程 x² - 4x + k = 0 的两个根互为相反数，求k 的值。
解析：根据题意可知，设方程的两个根为x₁和-x₁，则有：x₁ + (-x₁) = 4/a，即 -2x₁ = 4/a。
由于根互为相反数，可以把方程改写成2x₁² - 4x₁ + k = 0。
根据根和系数的关系可知：2x₁² - 4x₁ + k = 0 中的系数-4与k之间存在关系 k = 2/a。
综上，根据题意可以得出k = 2/a。
通过这个例题，我们可以清楚地看到根和系数之间的关系以及如何利用根与系数之间的关系解题。
湘教版九年级数学 2.4 一元二次方程根与系数的关系(学习、上课课件)
感悟新知
知2－练
例3 [中考·来宾]已知实数x1，x2 满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，
则以x1，x2 为根的一元二次方程是( )
A. x2－7x＋12＝0
B. x2＋7x＋12＝0
C. x2＋7x－12＝0
D. x2－7x－12＝0来自悟新知知2－练解题秘方：直接用以x1，x2 为根的一元二次方程是x2－ (x1＋x2)x＋x1x2＝0 求解.
第二章 一元二次方程
*2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1 课时讲解 一元二次方程根与系数的关系
二次项系数为 1 的一元二次方程 的性质
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 一元二次方程根与系数的关系
知1－讲
1. 一元二次方程根与系数的关系： 一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0(a ≠ 0)，当b2－4ac ≥ 0时，设方程的两个实数根
感悟新知
知1－练
例2 [期末·长沙开福区]已知关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋m ＝ 0(m ＜ 0)． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程的一个根为 －1，求 m 的值和方程的另一个根．
感悟新知
知1－练
解题秘方：根据两根的和与积分别与系数的等量 关系，列关于未知根的方程求解 .
课堂小结
一元二次方程根与系 数的关系
判定两根的符号
使用条件 两根之和 两根之积
一元二次
意义 方程根与 应用 系数的
关系
已知一根求另一根 及字母的值
求涉根代数式的值
构建以两已知数为 根的一元二次方程
知1－练
一元二次方程的根与系数的关系：PPT课件
根与系数的基本关系
01
一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根 x1 和 x2 满足以 下关系
02
x1 + x2 = -b/a
03
x1 * x2 = c/a
04
这两个公式揭示了根与系数之间的基本关系，是求解一元二次方程的 关键。
根与系数的和与积的关系
01
根的和等于系数之比的 相反数：x1 + x2 = b/a
在不等式求解中的应用
利用一元二次方程的根与系数关系，可以将不等式转化为关于根的不等式，进而求 解。
当一元二次不等式的一个根已知时，可以利用根与系数的关系求出另一个根的范围， 从而确定不等式的解集。
对于一些特殊形式的一元二次不等式，可以直接利用根与系数的关系进行求解。
在函数图像中的应用
一元二次方程的根对应着函数图像的 顶点或交点，利用根与系数的关系可 以求出顶点的坐标或交点的坐标。
一元二次方程的根与系数的关系 ppt课件
contents
目录
• 引言 • 一元二次方程的根与系数的关系 • 一元二次方程的根的判别式 • 一元二次方程的根与系数关系的应用 • 典型例题解析 • 课程总结与回顾
01 引言
一元二次方程的定义
只含有一个未知数 （元）
是整式方程，即等号 两边都是整式
未知数的最高次数是 2（二次）
利用一元二次方程的根与系数关系， 可以求出函数图像的对称点、对称中 心等对称性质。
通过分析一元二次方程的根的性质， 可以判断函数图像的开口方向、对称 轴等性质。
05 典型例题解析
例题一：一元二次方程根与系数的关系
解析
根据一元二次方程的求根公式，我们有 x1 = [-b + sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a) 和 x2 = [-b - sqrt(b^2 4ac)] / (2a)。将这两个表达式相加和相乘，即可得到 x1 + x2 = -b/a 和 x1 * x2 = c/a。
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知识点总结一、一元二次方程根与系数的关系（1）若方程ax2 bx c 0 (a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1+x2= -bc，x1x2= aa（2）若一个方程的两个根为x1,，x2，那么这个一元二次方程为ax2 x1 x2 x x1x2 0 (a≠0)（3）根与系数的关系的应用：① 验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；② 求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.③ 求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x1和x2的代数式的值，如；④ 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式.二、解一元二次方程应用题：它是列一元一次方程解应用题的拓展,解题方法是相同的。
其一般步骤为：1．设：即适当设未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位名称，会用含未知数的代数式表示题目中涉及的量；2．列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致；3．解：解所列方程，求出解来；4．验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解；5．答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位名称。
一元二次方程的练习题1、若关于x的二次方程(m+1)x-3x+2=0有两个相等的实数根，则m=__________22、设方程x 3x 4 0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=________，x1·x2=__________ 2x1+x2=_________，（x1-x2）=__________，x1+x1x2+3x1=____________23、若方程x-5x+m=0的一个根是1，则m=____________24、两根之和等于－3，两根之积等于－7的最简系数的一元二次方程是_____________25、若关于x的一元二次方程mx+3x-4=0有实数根，则m的值为______________226、方程kx+1=x-x无实根，则k___________导学案【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值。
2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。
3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。
4、能应用韦达定理分解二次三项式。
【内容分析】韦达定理：对于一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，如果方程有两个实数根x,x，那么x+x=-b/a,x×x=c/a说明：（1）定理成立的条件b-4ac≥0（2）注意公式x+x=-b/a中的负号与b的符号的区别根系关系的三大用处：一、计算对称式的值说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：【练习】1．设x，x是方程2x－6x＋3＝0的两根，则x＋x的值为_________ 2．已知x，x是方程2x－7x＋4＝0的两根，则x＋x=____，x·x＝____，（x1－x2）＝____3．已知方程2x－3x+k=0的两根之差为2，则k=___;4．若方程x+(a－2)x－3=0的两根是1和－3，则a=____;5．若关于x的方程x+2(m－1)x+4m=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为__ ;二、构造新方程理论：以两个数x,x为根的一元二次方程是x-(x+x)x+xx=0。
例解方程组 x+y=5xy=6解：显然，x，y是方程z-5z+6＝0 ① 的两根由方程①解得 z=2,z=3∴原方程组的解为 x=2,y=3x=3,y=2显然，此法比代入法要简单得多。
三、定性判断字母系数的取值范围【典型例题】已知关于x的方程x-(k+1)x+k+1=0，根据下列条件，分别求出k的值．(1) 方程两实根的积为5；(2) 方程的两实根x,x,满足∣x∣=x．分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是x=x＞0，二是-x=x，所以要分类讨论．说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足b-4ac≥0。
例题讲析【例1】设x1、x2是方程x2+4x﹣3=0的两个根，2x1(x22+5x2-3)+a=2，则a= ．【分析】根据方程根的定义、根与系数的关系，可得x22+4x2﹣3＝0，x1+x2＝-4，x1•x2＝-3，然后化简所求的代数式，代入求值即可．【解】依题意，得x1+x2=﹣4，x1•x2=﹣3，x22+4x2﹣3＝0，得x22+5x2-3=x2．又∵2x1（x22+5x2﹣3）+a=2，∴2x1x2+a=2×(-3)+a＝2，解得a=8．【拓展1】已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+6x=4m﹣3有实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两实根分别为x1与x2，求代数式x1•x2﹣x12﹣x22的最大值．【解】（1）由（x﹣m）2+6x=4m﹣3，得x2+（6﹣2m）x+m2﹣4m+3=0．∴△=（6﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣4m+3）=﹣8m+24．∵方程有实数根，∴﹣8m+24≥0．解得m≤3．∴m的取值范围是m≤3．（2）∵方程的两实根分别为x1与x2，由根与系数的关系，得∴x1+x2=2m﹣6，x1·x2＝m2-4m+3，∴x1·x2－x12﹣x22=3x1x2-(x1+x2)2=3（m2﹣4m+3）﹣（2m﹣6）2=﹣m2+12m﹣27=﹣（m﹣6）2+9∵m≤3，且当m＜6时，﹣（m﹣6）2+9的值随m的增大而增大，∴当m=3时，x1•x2﹣x12﹣x22的值最大，最大值为﹣（3﹣6）2+9=0．∴x1•x2﹣x12﹣x22的最大值是0．【拓展2】如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式b2+c2=2a2+16a+14与bc=a2﹣4a﹣5，求a的取值范围．【分析】由已知得（b+c）2=4（a+1）2，得到b+c=±2（a+1），又bc=a2﹣4a﹣5，则b，c可看作一元二次方程x2±2（a+1）x+a2﹣4a﹣5=0的两个不相等实数根，再利用根的判别式计算a的范围（但此时仅能保证b≠c），需注意再讨论b和c分别和a相等时舍去．【解】∵b2+c2=2a2+16a+14，bc=a2﹣4a﹣5，∴（b+c）2=2a2+16a+14+2（a2﹣4a﹣5）=4a2+8a+4=4（a+1）2．即有b+c=±2（a+1）．又bc=a2﹣4a﹣5，所以b，c可作为一元二次方程x2±2（a+1）x+a2﹣4a﹣5=0的两个不相等实数根，所以△=4（a+1）2﹣4（a2﹣4a﹣5）=24a+24＞0，解得a＞﹣1．若当a=b时，那么a也是上述方程的解，∴a2±2（a+1）a+a2﹣4a﹣5=0，即4a2﹣2a﹣5=0或﹣6a﹣5=0，解得应用例析及练习一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。
解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，∴解得；∵方程（2）没有实数根，∴解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程（1）为，无整数根；当时，方程（1）为，有整数根。
解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。
说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。
二、判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。
因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为，∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。
例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。
解法一：把代入原方程，得：即解得当时，原方程均可化为：，解得：∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：，∵，∴把代入，可得：∴把代入，可得：，即解得∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。
例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。
分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得的值。
解：∵方程有两个实数根，∴△解这个不等式，得≤0设方程两根为则，∵∴∴整理得：解得：又∵，∴说明：当求出后，还需注意隐含条件，应舍去不合题意的。
四、运用判别式及根与系数的关系解题。
例5：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根，∴则有∴又∵、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：假设、同号，则有两种可能：（1）（2）若，则有：；即有：解这个不等式组，得∵时方程才有实树根，∴此种情况不成立。
若，则有：即有：解这个不等式组，得；又∵，∴当时，两根能同号说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。
知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。
六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。
例：已知、是方程的两个实数根，求的值。
分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。
解法一：由于是方程的实数根，所以设，与相加，得：）（变形目的是构造和）根据根与系数的关系，有：，于是，得：∴=0解法二：由于、是方程的实数根，∴∴说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。