中学数学《一元二次方程根与系数的关系》知识点精讲

知识点总结

一、一元二次方程根与系数的关系

（1）若方程ax2 bx c 0 (a≠0)的两个实数根是x1，x2，

则x1+x2= -bc，x1x2= aa

（2）若一个方程的两个根为x1,，x2，那么这个一元二次方程为

ax2 x1 x2 x x1x2 0 (a≠0)

（3）根与系数的关系的应用：

① 验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；

② 求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.

③ 求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x1和x2的代数式的值，如；

④ 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式.

二、解一元二次方程应用题：

它是列一元一次方程解应用题的拓展,解题方法是相同的。其一般步骤为：

1．设：即适当设未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位名称，会用含未知

数的代数式表示题目中涉及的量；

2．列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致；

3．解：解所列方程，求出解来；

4．验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解；

5．答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位名称。

一元二次方程的练习题

1、若关于x的二次方程(m+1)x-3x+2=0有两个相等的实数根，则

m=__________

22、设方程x 3x 4 0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=________，

x1·x2=__________ 2

x1+x2=_________，（x1-x2）=__________，

x1+x1x2+3x1=____________

23、若方程x-5x+m=0的一个根是1，则m=____________

24、两根之和等于－3，两根之积等于－7的最简系数的一元二次方程是_____________

25、若关于x的一元二次方程mx+3x-4=0有实数根，则m的值为

______________

226、方程kx+1=x-x无实根，则k___________

导学案

【学习目标】

1、学会用韦达定理求代数式的值。

2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。

3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。

4、能应用韦达定理分解二次三项式。

【内容分析】

韦达定理：对于一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，如果方程有两个实数根x,x，那么x+x=-b/a,x×x=c/a

说明：（1）定理成立的条件b-4ac≥0

（2）注意公式x+x=-b/a中的负号与b的符号的区别

根系关系的三大用处：

一、计算对称式的值

说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

【练习】

1．设x，x是方程2x－6x＋3＝0的两根，则x＋x的值为_________ 2．已知x，x是方程2x－7x＋4＝0的两根，则x＋x=____，x·x＝____，（x1－x2）＝____

3．已知方程2x－3x+k=0的两根之差为2，则k=___;

4．若方程x+(a－2)x－3=0的两根是1和－3，则a=____;

5．若关于x的方程x+2(m－1)x+4m=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为__ ;

二、构造新方程

理论：以两个数x,x为根的一元二次方程是x-(x+x)x+xx=0。

例解方程组 x+y=5

xy=6

解：显然，x，y是方程z-5z+6＝0 ① 的两根

由方程①解得 z=2,z=3

∴原方程组的解为 x=2,y=3

x=3,y=2

显然，此法比代入法要简单得多。

三、定性判断字母系数的取值范围

【典型例题】

已知关于x的方程x-(k+1)x+k+1=0，根据下列条件，分别求出k的值．

(1) 方程两实根的积为5；

(2) 方程的两实根x,x,满足∣x∣=x．

分析：

(1) 由韦达定理即可求之；

(2) 有两种可能，一是x=x＞0，二是-x=x，所以要分类讨论．

说明：

根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足b-4ac≥0。

例题讲析

【例1】设x1、x2是方程x2+4x﹣3=0的两个根，2x1(x22+5x2-

3)+a=2，则a= ．

【分析】根据方程根的定义、根与系数的关系，可得x22+4x2﹣3＝0，x1+x2＝-4，x1•x2＝-3，然后化简所求的代数式，代入求值即可．【解】依题意，得

x1+x2=﹣4，x1•x2=﹣3，

x22+4x2﹣3＝0，得x22+5x2-3=x2．

又∵2x1（x22+5x2﹣3）+a=2，

∴2x1x2+a=2×(-3)+a＝2，

解得a=8．

【拓展1】已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+6x=4m﹣3有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）设方程的两实根分别为x1与x2，求代数式x1•x2﹣x12﹣x22的最大值．

【解】（1）由（x﹣m）2+6x=4m﹣3，

得x2+（6﹣2m）x+m2﹣4m+3=0．

∴△=（6﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣4m+3）=﹣8m+24．

∵方程有实数根，

∴﹣8m+24≥0．解得m≤3．

∴m的取值范围是m≤3．

（2）∵方程的两实根分别为x1与x2，由根与系数的关系，得

∴x1+x2=2m﹣6，x1·x2＝m2-4m+3，

∴x1·x2－x12﹣x22

=3x1x2-(x1+x2)2

=3（m2﹣4m+3）﹣（2m﹣6）2

=﹣m2+12m﹣27

=﹣（m﹣6）2+9

∵m≤3，且当m＜6时，

﹣（m﹣6）2+9的值随m的增大而增大，

∴当m=3时，x1•x2﹣x12﹣x22的值最大，最大值为﹣（3﹣6）

2+9=0．

∴x1•x2﹣x12﹣x22的最大值是0．

【拓展2】如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式

b2+c2=2a2+16a+14与bc=a2﹣4a﹣5，求a的取值范围．