代数学引论答案(第一章)

1.如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群.

证明: [方法1] 对任意a,b G,ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab

因此G为交换群.

2.证明:群G为一交换群当且仅当映射是一同构映射.

证明:(Ⅰ)首先证明当群G为一个交换群时映射是一同构映射.

由逆元的唯一性及可知映射为一一对应，又因为,

并且群G为一个交换群,可得.因此有.

综上可知群G为一个交换群时映射是一同构映射.

(Ⅱ)接着证明当映射是一同构映射,则群G为一个交换群.

若映射是一同构映射,则对任意有,

另一方面，由逆元的性质可知.

因此对任意有,

即映射是一同构映射,则群G为一个交换群.

3.设n为一个正整数, nZ为正整数加法群Z的一个子群，证明nZ与Z同构.

证明:

我们容易证明为Z到nZ的同构映射,故此nZ与Z同构.

4.证明:在S

4

中，子集合B={e,(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)}是子群，证明B与U4不同构.

证明:可记a=(1 2)(3 4), b=(1 3)(2 4), c=(1 4)(2 3)，那么置换的乘积表格如下：

由该表格可以知道B中的元素对置换的乘法封闭，并且B的每一元都可逆(任意元的逆为其本身),因此B为S

4

的子群. 这个群(以及与其同构的群)称为Klein(C.L.Klein,1849-1925)四元群.

假设B与U

4同构,并设f为B到U

4

的同构映射, 则存在B中一元x使得f(x)=i(i为虚数单位),那么f(x2)= f2(x)=i2=-1

另一方面, f(x2)=f(e)=1(注意x2=e),产生矛盾.所以假设不成立, 即B与U

4

不同构.

[讨论] B与U

4

都是4元交换群，但是后者是循环群, 前者不是, 这是这两个群的本质区别.

5. 证明:如果在一阶为2n 的群中有一n 阶子群，它一定是正规子群.

证明:[方法1]设H 是2n 阶群G 的n 阶子群, 那么对任意a H, 有H aH=,

并且aH G,H G,又注意到aH 和H 中都有n 个元素, 故此H aH=G.

同理可证对任意a H, 有H Ha=, H Ha=G ，

因此对任意a H ，有aH=Ha.

对任意a H, 显然aH H, Ha H 又因aH,Ha 及H 中都有n 个元素，故aH=Ha=H.

综上可知对任意a G,有aH=Ha ，因此H 是G 的正规子群.

[方法2] 设H 是2n 阶群G 的n 阶子群,那么任取a H, h H, 显然有aha -1H.对给定的x H, 有H xH=, H xH=G.

这是因为若假设y H xH, 则存在h H ，使得y=xh,即x=yh -1H 产生矛盾,因此H xH=;另一方面, xH G,H G, 又注意到xH 和H 中都有n 个元素, 故此H xH=G.

那么任取a H,由上面的分析可知a xH, 从而可令a=xh 1这里h 1H.

假设存在h H, 使得aha -1H,则必有aha -1xH,从而可令aha -1=xh

2，这里h 2H.

那么，xh 1ha -1=xh 2,即a= h 2h 1h H,产生矛盾.

因此，任取a H, h H, 有aha -1H.

综上可知对任取a G, h H, 有aha -1H,因此H 为G 的一个正规子群.

6. 设群G 的阶为一偶数,证明G 中必有一元素a e 适合a 2=e.

证明: 设b G ，且阶数大于2，那么b≠b -1,而b -1的阶数与b 的阶数相等.换句话说G 中阶数大于2的元素成对出现，幺元e 的阶数为1，注意到G 的阶数为宜偶数，故此必存在一个2阶元，(切确的说阶数为2的元素有奇数个).

[讨论]

[1] 设G 是一2n 阶交换群，n 为奇数则G 中只有一个2阶元.为什么？

提示：采用反证法，并注意用Lagrange 定理.

[2] 群G 中，任取a G ，有a n =e ，那么G 一定是有限群吗？如果不是请举出反例，若是有限群，阶数和n 有什么关系？

7. 设H ，K 为群G 的子群，HK 为G 的一子群当且仅当HK=KH.

证明：(Ⅰ)设HK=KH ，下面证明HK 为G 的一子群.任取a,b ∈HK,可令a=h 1k 1，b=h 2k 2这里h i ∈H ，k i ∈K ，i=1,2. 那么ab=(h 1k 1)(h 2k 2)=h 1(k 1h 2)k 2 ---------------(1)

因HK=KH ，故此k 1h 2= h 3k 3 ----------------------(2)。这里h 3∈H ，k 3∈K.

由(1),(2)知，ab= h 1(h 3k 3)k 2=(h 1h 3)(k 3k 2)∈HK. ------------(3)

另外，a -1= (h

1k 1)-1=

∈KH=HK. ----------------- (4)

由(3),(4)知HK 是G 的子群.

(Ⅱ) HK 为G 的一子群,下面证明HK=KH.

若a ∈HK,易知a -1∈KH. HK 是子群,任取a ∈HK，有a -1∈HK,因此(a -1)-1=a∈KH，那么有HK KH.

若a ∈KH,易知a -1∈HK. HK 是子群,任取a ∈KH ，有a -1∈HK,因此(a -1)-1=a∈HK，那么有KH HK.

综上知，HK=KH.