平面向量数量积的坐标表示典型例题
高中数学：242平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
课时提升作业二十三平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(15分钟30分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.已知向量=,=,则∠ABC= ( )A.30°B.45°C.60°D.120°【解析】选A.·=+=,||=||=1,所以c os∠ABC==,又0°≤∠ABC≤180°,所以∠ABC=30°.2.(2018·天津高一检测)已知向量a=(1,x),b=(-1,x),若2a-b与b 垂直,则|a|=( ) A. B. C.2 D.4【解析】选C.因为a=(1,x),b=(-1,x),所以2a-b=2(1,x)-(-1,x)=(3,x),由(2a-b)⊥b⇒3×(-1)+x2=0,解得x=-,或x=,所以a=(1,-)或a=(1,),所以|a|==2,或|a|= =2.【补偿训练】1.(2018·衡水高一检测)若向量a,b满足a+b=(2,-1),a=(1,2),则向量a与b的夹角等于( )A.45°B.60°C.120°D.135°【解析】选D.根据题意,设向量a与b的夹角为θ,a+b=(2,-1),a=(1,2),则b=(a+b)-a=(1,-3),可得|a|=,|b|=,c osθ==-,又因为0°≤θ≤180°,所以θ=135°.2.已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=,若(a+b)·c=,则a与c的夹角大小为( ) A.30° B.60° C.120° D.150°【解析】选C.设a与c的夹角为θ,依题意,得a+b=(-1,-2),|a|=.设c=(x,y),因为(a+b)·c=,所以x+2y=-.又a·c=x+2y,所以c osθ====-.又因为0°≤θ≤180°,所以a与c的夹角为120°.3.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c等于( ) A. B.C. D.【解析】选D.设c=(x,y),又因为a=(1,2),b=(2,-3),所以c+a=(x+1,y+2),又因为(c+a)∥b,所以有(x+1)·(-3)-2·(y+2)=0,即-3x-2y-7=0,①又a+b=(3,-1),由c⊥(a+b)得:3x-y=0,②由①②解得因此有c=.二、填空题(每小题4分,共8分)4.(2018·南通高一检测)如图,在2×4的方格纸中,若起点和终点均在格点的向量a,b,则向量a+b,a-b的夹角余弦值是________.【解析】设每个小正方形的边长为1,建立如图所示的平面直角坐标系,则a=(2,-1),b=(3,2).所以a+b=(5,1),a-b=(-1,-3).所以(a+b)·(a-b)=-5-3=-8.|a-b|=,|a+b|=.所以向量a+b,a-b的夹角余弦值为=-.★答案★:-5.已知=(-2,1),=(0,2),且∥,⊥,则点C的坐标是________.【解析】设C(x,y),则=(x+2,y-1),=(x,y-2),=(2,1).由∥,⊥,得解得所以点C的坐标为(-2,6).★答案★:(-2,6)三、解答题6.(10分)已知向量a,b满足|a|=,b=(1,-3),且(2a+b)⊥b. (1)求向量a的坐标.(2)求向量a与b的夹角.【解析】(1)设a=(x,y),因为|a|=,则=, ①又因为b=(1,-3),且(2a+b)⊥b,2a+b=2(x,y)+(1,-3)=(2x+1,2y-3),所以(2x+1,2y-3)·(1,-3)=2x+1+(2y-3)×(-3)=0, ②由①②解得或所以a=(1,2)或a=(-2,1).(2)设向量a与b的夹角为θ,所以或因为0≤θ≤π,所以向量a与b的夹角θ=.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018·长沙高一检测)已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b 垂直,则实数λ的值为( )A. B.- C. D.-【解析】选B.因为a=(-3,2),b=(-1,0),所以a2=13,b2=1,a·b=3.又向量λa+b与a-2b垂直,所以(λa+b)·(a-2b)=λa2+(1-2λ)a·b-2b2=0,即13λ+3(1-2λ)-2=0,解得λ=-.2.(2018·唐山高一检测)设向量a与b的夹角为θ,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),则c osθ= ( )A.-B.C.D.-【解析】选A.因为向量a与b的夹角为θ,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),所以b==(2,1),则【补偿训练】设a=(2,3),a在b方向上的投影为3,b在x轴上的投影为1,则b=( )A. B.C. D.【解析】选A.由b在x轴上的投影为1,设b=(1,y).因为a在b方向上的投影为3,所以=3,解得y=,则b=.二、填空题(每小题5分,共10分)3.如图所示,已知点A(1,1),单位圆上半部分上的点B满足·=0,则向量的坐标为________.【解析】设B(x,y),y>0,所以=.★答案★:4.(2018·长春高一检测)已知向量a=(1,),b=(0,t2+1),则当t∈[-,2]时,的取值范围是________.【解析】由题意,=(0,1),根据向量的差的几何意义,表示向量t的终点到向量a 的终点的距离d,所以d=;所以,当t=时,该距离取得最小值为1,当t=-时,该距离取得最大值为,即的取值范围是[1,].★答案★:[1,]三、解答题5.(10分)已知a=(,-1),b=,且存在实数k和t,使得x=a+(t2-3)b, y=-k a+t b,且x⊥y,试求的最小值.【解析】因为a=(,-1),b=,所以a·b=×-1×=0.因为|a|==2,|b|==1,a·b=0,所以a⊥b.因为x⊥y,所以[a+(t2-3)b]·(-k a+t b)=0,即-k a2+(t3-3t)b2+(t-t2k+3k)a·b=0.所以k=.所以=(t2+4t-3)=(t+2)2-.故当t=-2时,有最小值-.。
平面向量数量积的坐标表示
求两向
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
已知向量a,b的夹角θ的范围,求参数的取值范围时,可利用性质:①0°≤θ<90°⇔ a·b>0;②90°<θ≤180°⇔a·b<0.
3.解决投影向量问题的方法 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a在b方向上的投影向量为 · =
. ,
.
平面向量数量积的坐标表示
判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ✕” .
1.向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积仍是向量,其坐标为(x1x2,y1y2). ( ✕ ) 2.| |的计算公式与A,B两点间的距离公式是一致的. ( √ )
3.若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角为锐角,则x1x2+y1y2>0;反之,若非零向量a=(x1, y1),b=(x2,y2)满足x1x2+y1y2>0,则它们的夹角为锐角. ( ✕ )
.
其中的真命题为 ②③ .(填序号)
思路点拨 根据平面向量的夹角、模及投影向量公式求解.
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
解析 对于①,∵a=(1,2),b=(1,1), ∴a+λb=(1+λ,2+λ). ∵a与a+λb的夹角为锐角,
∴
解得
∴λ的取值范围为
∪(0,+∞),故①错误.
对于②,∵a⊥c,∴2x-4=0,解得x=2.
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
1.能用坐标表示平面向量的数量积,会求两个平面向量的夹角. 2.会用两个向量的坐标判断它们是否垂直. 3.会利用平面向量的数量积解决判断图形形状的问题,进一步体会数形结合的 思想方法.
平面向量数量积的坐标表示
(8)若x a (t 3)b与y ka tb垂直，求k关于t的 函数关系式k f (t )
例 2、设平面上有两个向量 a＝(cos α，sin α) (0° ≤α<360° )，
1 3 b＝－ ， . 2 2
(1)求证：向量 a＋b 与 a－b 垂直； (2)当向量 3a＋b 与 a－ 3b 的模相等时，求 α 的大小．
.
A D
坐标法PB来自C4.(2012· 浙江)在△ABC 中，M 是 BC 的中点，AM＝3，BC＝10， → → 则AB· AC＝________.
5.(2012· 江西)在直角三角形 ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为 |PA|2＋|PB|2 线段 CD 的中点，则 等于 |PC|2 A．2 B．4 C．5 D．10 ( )
心。
2)已知非零向量AB与 AC满足( AB AC
AB | AB | )
AC | AC |
) BC 0，
1 且 ， 则ABC为( | AB | | AC | 2
A、等腰三角形 C、等腰非等边三角形
B、等边三角形 D、三边均不等三角形
8．已知点 P(0，－3)，点 A 在 x 轴上，点 Q 在 y 轴的正半轴上， 3→ → → → 点 M 满足PA· AM＝0，AM＝－ MQ，当点 A 在 x 轴上移动时，求动 2 点 解 :M 设 的轨迹方程． M ( x ， y ) ， A ( a, 0) ， Q (0 ， b ) ( b >0) ， 解 : 设 M ( x ， y ) ， A ( a, 0) ， Q (0 ， b ) ( b >0) ， 解 : 设 M ( x ， y ) ， A ( a, 0) ， Q (0 ， b ) ( b >0) ， 解 : 设 M ( x ， y ) ， A ( a, 0) ， Q (0 ， b ) ( b >0) ， 解: 设→ M(x，y)，A ( a, 0) ， Q (0 ， b ) ( b >0) ， → → → → → → → → 则PA ＝ a, 3) ， AM ＝ ( x － a ， y ) ， MQ ＝ ( － x ， b － y ) → → → 则 PA ＝( ( a, 3) ， AM ＝ ( x － a ， y )) ， MQ ＝ (( － xx ， bb － yy )． ． → → → 则 PA ＝ ( a, 3) ， AM ＝ ( x － a ， y ， MQ ＝ － ， － ) 则 PA ＝ ( a, 3) ， AM ＝ ( x － a ， y ) ， MQ ＝ ( － x ， b － y )． ． 则 PA ＝ ( a, 3) ， AM ＝ ( x － a ， y ) ， MQ ＝ ( － x ， b － y ) ． → → → → 由PA · AM ＝ 0 ，得 a ( x － a ) 3 y ＝ 0. ① → → → → 由 PA · AM ＝ 0 ，得 a ( x － a ))＋ ＋ 3 y ＝ 0. ① → → 由 PA · AM ＝ 0 ，得 a ( x － a ＋ 3 y ＝ 0. ① 由 PA · AM ＝ 0 ，得 a ( x － a ) ＋ 3 y ＝ 0. ① 由→ PA · AM ＝ 0 ，得 a ( x － a ) ＋ 3 y ＝ 0. ① 3 3 → 3 3 → → 3 3 由AM ＝－ MQ ，得 ( x － a ， y ) ＝－ ( － x ， b － y ) ． → → 3 3 由 AM ＝－ MQ ，得 ( x － a ， y ) ＝－ ( － x ， b － y ) ． → → 3 3 2 2 → → 由 AM ＝－ MQ ，得 ( x － a ， y ) ＝－ ( － x ， b － y ) 2 2 由 AM ＝－ MQ ，得 ( x － a ， y ) ＝－ ( － x ， b － y )． ． 由AM＝－ MQ ，得 ( x － a ， y ) ＝－ ( － x ， b － y ) ． 2 2 2 2 2 2 x 3 x 3 x － a ＝ x ， a ＝－ ， x 3 x 3 x － a ＝ x ， a ＝－ ， x 3 2 2 x － a ＝ x ， a ＝－ ， 2 2 x － a ＝ x ， a ＝－ ， x － a ＝ x ， a ＝－ ， 2 2 2 2 ∴ ∴ 2 2 ∴ ∴ y 3 3 ∴ ∴ ∴ ∴ y. 3 3 ∴ y ∴ ＝ y － b ， b ＝ y 3 3 y＝2 y－2 b， b＝3 .y y 3 3 3 3 2 2 3 y ＝ y － b ， b ＝ ... y ＝ y － b ， b ＝ y ＝ y － b ， b ＝ 2 2 3 2 2 3 2 2 3 x x x 1 x x x 1x2 2. x ＋ 把 a ＝－ 代入 ① ，得－ ＋ 3 y ＝ 0 ，整理得 y ＝ x x x 1 x ＋ 把 a＝－2 代入 ① ，得－ ＋ 3 y ＝ 0 ，整理得 y ＝ x .2 x x x 1 2 2 4 x 2. x x 1 2 2 2 4 2 x ＋ 把 a ＝－ 代入 ① ，得－ ＋ 3 y ＝ 0 ，整理得 y ＝ x x ＋ 把 a ＝－ 代入 ① ，得－ ＋ 3 y ＝ 0 ，整理得 y ＝ x .. x ＋ 把 a＝－ 代入 ① ，得－ ＋ 3 y ＝ 0 ，整理得 y ＝ x 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 1 4 1x2 2. ∴ 动点 M 的轨迹方程是 y ＝ 1 ∴动点 M 的轨迹方程是 y＝4 x . 1 2 2 1 4 2 ∴ 动点 M 的轨迹方程是 y ＝ x . ∴ 动点 ＝ x .. ∴ 动点M M的轨迹方程是 的轨迹方程是y y ＝ x 4 4 4
平面向量知识点总结、经典例题及解析、高考题50道及答案
）））））））第五章 平面向量【考纲说明】1、理解平面向量的概念和几何表示，理解两个向量相等及共线的含义，掌握向量的加、减、数乘运算及其几何意义，会用坐标表示。
2、了解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标运算。
3、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题。
【知识梳理】一、 向量的基本概念与线性运算 1 向量的概念：（1）向量：既有大小又有方向的量，记作AB ；向量的大小即向量的模（长度），记作|AB | 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．（2）零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行（3）单位向量：模为1个单位长度的向量常用e 表示．（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b平行向量也称为共线向量（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a= 大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x（6）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a-,零向量的相反向量仍是零向量若a 、b是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =2 向量的线性运算：（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法 向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则” ．（2）向量的减法 ：求向量a 加上b 的相反向量的运算叫做a 与b的差．向量的减法有三角形法则，b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）（3）向量的数乘运算：求实数λ与向量a 的积的运算，记作λa．①a a⋅=λλ；②当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反； 当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的③数乘向量满足交换律、结合律与分配律3. 两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =λ向量b 与非零向量a共线⇔有两个均不是零的实数λ、μ，使得0a b λμ+=．二、平面向量的基本定理与坐标表示 1 平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2. 平面向量的坐标表示：（1）在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底 由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，由于a 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a =(x,y)，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标显然0=（0,0），(1,0)i =，(0,1)j =． （2）设OA xi y j =+.则向量OA 的坐标(x,y)就是终点A 的坐标，即若OA =(x,y)，则A 点的坐标为(x,y)，反之亦成立（O 是坐标原点）． 3 平面向量的坐标运算：（1）若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±±． （2）若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--，1(AB x =（3）若a =(x,y)，则λa =(λx,λy)．（4）若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-=． （5）若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅． 三、平面向量的数量积 1 两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积叫做a 与b 的数量积（或内积），即a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ，规定00a ⋅=2 向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影 3 向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==4 乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-； ()2222a b a a b b±=±⋅+222a a b b =±⋅+．5 平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅．②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈．③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±； 特别注意：①结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅．②消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =．③a b ⋅=0不能得到a =0或b =06 两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y + 7 向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b⋅<>=⋅=当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题8 垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥ba ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔2121=+y y x x【经典例题】【例1】（2010全国Ⅱ，8）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB a =，ECBA CA b =，1,2a b ==，则CD = （ ）（A ）1233a b + （B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + 【答案】B ．【解析】由角平分线的性质得2AD DB =,即有22()()33AD CB CA a b =-=-．从而221()333CD CA AD b a b a b =+=+-=+．故选B ．【例2】（2009北京，2）已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ， 那么 （ ） A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向 【答案】D ．【解析】取a ()1,0=，b ()0,1=，若1k =，则c =a +b ()1,1=，d =a -b ()1,1=-， 显然，a 与b 不平行，排除A 、B ．若1k =-，则c =-a +b ()1,1=-，d =-a +b ()1,1=--， 即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D ．【例3】（2009湖南卷文）如图，D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( ) A ．0AD BE CF ++= B ．0BD CF DF -+=C ．0AD CE CF +-= D ．0BD BE FC --= 【答案】A ． 【解析】,,AD DB AD BE DB BE DE FC =∴+=+==得0AD BE CF ++=．或0AD BE CF AD DF CF AF CF ++=++=+=．【例4】（2009宁夏海南卷文）已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为( )A.17-B.17C.16-D.16【答案】A ．【解析】向量a b λ+＝（－3λ－1，2λ），2a b -＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3λ－1，2λ）×（－1,2）＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得：λ＝17-，故选A ． 【例5】（2009全国卷Ⅰ文）设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a , （ ）A ．150° B.120° C.60° D.30° 【答案】B ．【解析】由向量加法的平行四边形法则，知a 、b 可构成菱形的两条相邻边，且a 、b 为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B ．【例6】（2009安徽卷文）在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或=+，其中，R ，则+= _________．【答案】43． 【解析】设BC b =、BA a =则12AF b a =- ,12AE b a =- ,AC b a =- 代入条件得2433u u λλ==∴+=． 【例7】（2009辽宁卷文）在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为___________． 【答案】(0,－2)．【解析】平行四边形ABCD 中,OB OD OA OC +=+ ∴OD OA OC OB =+-＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0,－2) 即D 点坐标为(0,－2)．【例8】（2012江苏）如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ==，，点E 为 BC 的中点，点F 在边CD 上,若2AB AF =,则AE BF 的值是___．【答案】2．【解析】由2AB AF =,得cos 2ABAF FAB ∠=,由矩形的性质,得cos =AF FAB DF ∠．∵2AB =，∴22DF ⋅=，∴1DF =∴21CF =-．记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，，则θαβ=+． 又∵2BC =，点E 为BC 的中点，∴1BE =． ∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AEBF AEBF AE BF θαβαβαβ+-()=cos cos sin sin =122212AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯--=.本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解．【例9】(2009湖南卷理)在ABC ∆，已知2233AB AC AB AC BC ⋅=⋅=，求角A ，B ，C 的大小． 【答案】2,,663A B C πππ===． 【解析】解：设,,BC a AC b AB c ===由23AB AC AB AC ⋅=⋅得2cos 3bc A bc =，所以3cos 2A = 又(0,),A π∈因此6A π=由233AB AC BC ⋅=得23bc a =，于是23sin sin 3sin 4C B A ⋅=-所以53sin sin()64C C π⋅-=，133sin (cos sin )224C C C ⋅+=，因此 22sin cos 23sin 3,sin 23cos 20C C C C C ⋅+=-=，既sin(2)03C π-=由A=6π知506C π<<，所以3π-，4233C ππ-<，从而20,3C π-=或2,3C ππ-=，既,6C π=或2,3C π=故2,,,636A B C πππ===或2,,663A B C πππ===． 【课堂练习】一、选择题1.（2012辽宁理）已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是（ ）A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．{0,1,3}D ．a +b =a -b2. (2009年广东卷文)已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量+a b ( )A. 平行于x 轴B. 平行于第一、三象限的角平分线C. 平行于y 轴D. 平行于第二、四象限的角平分线3.（2012天津文）在ABC ∆中,90A ∠=︒,1AB =,AC=2,设点,P Q 满足,(1),AP AB AQ AC R λλλ==-∈.若2BQ CP ⋅=-,则λ=( )（ ）A ．13 B ．23C ．43D ．2 4.（2009浙江卷理）设向量a ，b 满足：||3=a ，||4=b ，0⋅=a b ．以a ，b ，-a b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( )A ．3 B.4 C ．5D ．65.（2012重庆理）设,x y ∈R,向量()()()4,2,,1,1,-===c y b x a ,且c b c a //,⊥,则a b += （）A B C ．D ．106. （2009浙江卷文）已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（ ）A ．77(,)93B ．77(,)39--C ．77(,)39D ．77(,)93--7．（2012浙江理）设a ,b 是两个非零向量.（ ）A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥bB ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λbD ．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |8.（2009全国卷Ⅰ理）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c b c -•-的最 小值为( )A.2- 2C.1-D.19.（2012天津理）已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足=AP AB λ,=(1)AQ AC λ-,R λ∈,若3=2BQ CP ⋅-,则=λ （ ）A ．12 B ．12± C ．12± D ．32-±10.（2009全国卷Ⅱ理）已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=||b =( )A.B. C. 5 D. 2511.（2012大纲理）ABC ∆中,AB 边上的高为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b ==⋅===,则AD =（ ）A ．1133a b -B ．2233a b - C ．3355a b - D ．4455a b - 12.（2008湖南）设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =2,CE EA =2,AF FB =则AD BE CF ++与BC( )A. 反向平行B. 同向平行C. 互相垂直D. 既不平行也不垂直13.（2008广东）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ）A ．1142+a b B ．2133+a b C ．1124+a bD ．1233+a b 14.（2007湖北）设(43)=，a ，a 在b 上的投影为522，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ ）A ．(214)，B ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．(28)，15.（2012安徽理）在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP 按逆时针旋转34π后,得向量OQ 则点Q 的坐标是 （ ） A ．(72,2)-- B ．(72,2)- C ．(46,2)-- D ．(46,2)-二、填空题16.（2012浙江文）在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB AC ⋅=________.17.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动. 若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y + 的最大值是________.18.（2012上海文）在知形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||CD CN BC BM =,则AN AM ⋅的取值范围是_________ .19.（2012课标文）已知向量a ,b 夹角为045,且|a |=1,|2-a b |=10,则|b |=_______. 20.（2012湖南文）如图4,在平行四边形ABCD 中 ,AP ⊥BD,垂足为P,3AP =且APAC = _____.A DBCP21.（2012湖北文）已知向量(1,0),(1,1)a b ==,则(Ⅰ)与2a b +同向的单位向量的坐标表示为____________; (Ⅱ)向量3b a -与向量a 夹角的余弦值为____________.22.（2012北京文）已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为________. 23.（2012安徽文）设向量(1,2),(1,1),(2,)a m b m c m ==+=,若()a c +⊥b ,则a =_____.24.（2012江苏）如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ==，，点E 为BC 的中点,点F 在边CD上,若2AB AF =,则AE BF 的值是___.25.（2012安徽理）若平面向量,a b 满足:23a b -≤;则a b 的最小值是_____三、解答题26. (2009年广东卷文)（已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中)2,0(πθ∈（1）求θsin 和θcos 的值（2）若ϕϕθcos 53)cos(5=-，<<ϕ02π,求ϕcos 的值 27.（2009上海卷文）已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =， (sin ,sin )n B A =，(2,2)p b a =-- .（1） 若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形； （2） 若m ⊥p ，边长c = 2，角C =3π，求ΔABC 的面积 . 28. 已知A 、B 、C 分别为ABC △的三边a 、b 、c 所对的角，向量)sin ,(sin B A m =，)cos ,(cos A B n =，且C n m 2sin =⋅.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若A sin ，C sin ，B sin 成等差数列，且18)(=-⋅AC AB CA ，求边c 的长.【课后作业】一、选择题1.（2009辽宁卷理）平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b +=( )A.B. C. 4 D. 22.（2009宁夏海南卷理）已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA •=•=•，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的( )A. 重心 外心 垂心B. 重心 外心 内心C. 外心 重心 垂心D. 外心 重心 内心3.（2008安徽）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =，(1,3)AC =,则BD =（ ）A ． （－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）4.（2008浙江）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a ,则c 的最大值是( )A. 1B. 2C.2 D.225.（2007海南、宁夏）已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b（ ） A ．(21)--， B ．(21)-，C ．(10)-，D ．(12)，6.（2007湖南）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线，则必有（ ）A ．⊥a bB ．∥a bC ．||||=a bD ．||||≠a b7. （2007天津）设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中mλα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围是 （ ） A ．[-6，1]B ．[48]，C ．（-6，1]D ．[-1，6]8. 在ABC BC AB ABC ∆︒︒=︒︒=∆则已知向量中),27cos 2,63cos 2(),72cos ,18(cos ,的面积等于（ ） A ．22 B ．42 C ．23 D ．29. 已知平面向量(3,1),(,3),//,a b x a b x ==-则等于 （ ）A ．9B ．1C ．－1D ．－910. 已知a 、b 是不共线的AB a b λ=+AC a b μ=+(,)R λμ∈，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是：（ ）A ．1λμ+=B ．1λμ-=C ．1λμ=-D ．1λμ=二、填空题11. 设向量2,3,19,AB AC AB AC CAB ==+=∠=则_________.12. 若向量,2,2,()a b a b a b a ==-⊥ 满足，则向量b a 与的夹角等于 .13. 已知平面上的向量PA 、PB 满足224PA PB +=,2AB =，设向量2PC PA PB =+，则PC 的最小值是 .14.（2008江苏）a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= ． 15. （2007安徽）在四面体O ABC -中，OA OB OC D ===，，，a b c 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE = （用，，a b c 表示）．16.（2007北京）已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是 .17. 已知向量(cos15,sin15)a =，(sin15,cos15)b =--，则a b |+|的值为 .18.（2007广东）若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝ .三、解答题19.（2009湖南卷文）已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-=（1）若//a b ，求tan θ的值；（2）若||||,0,a b θπ=<<求θ的值。
专题02 平面向量基本定理及坐标表示(专题测试)--解析版
专题02 平面向量基本定理及坐标表示（专题测试）【基础题】1. （2020·广东东莞市·高一期末）已知向量()2,3a =，(),6b m =，且a b ⊥,则m =（ ） A ．4- B ．4C ．9-D ．9【答案】C【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的垂直条件，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，向量(2,3)a =，(),6b m =，因为a b ⊥，可得2362180a b m m ⋅=⨯+⨯=+=，解得9m =-. 故选：C.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的垂直条件的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式是解答的关键，着重考查计算能力.2. （2020·广东揭阳市·高一期中）已知(1,1)AB =-，(0,1)C ，若2CD AB =，则点D 的坐标为 A ．(2,3)- B ．(2,3)-C ．(2,1)-D ．(2,1)-【答案】D【分析】设出D 的坐标，代入2CD AB =，计算出D 点的坐标.【详解】设(),D x y ，则(),1CD x y =-，()22,2AB =-，根据2CD AB =得()(),12,2x y -=-，即212x y =⎧⎨-=-⎩，解得()2,1D -，故选D. 【点睛】本小题主要考查向量的减法和数乘计算，考查两个向量相等的坐标表示，属于基础题.3．（2020·广东汕头市·高二期末）如图所示，已知在ABC 中，D 是边AB 上的中点，则CD =（ ）A ．12BC BA -B ．12BC BA -+ C ．12BC BA --D ．12BC BA + 【答案】B【分析】利用向量减法和数乘运算求得正确结论. 【详解】1122CD BD BC BA BC BC BA =-=-=-+.故选：B 4. （2019·广东深圳市·福田外国语高中高三一模（文））向量(1,2)a =，(2,)b k =-，若a 与b 共线，则|3|a b +=（ ）A B ．C ．D ．5【答案】A【分析】通过向量共线求出k ，然后求解|3|a b +即可. 【详解】向量(1,2)a =，(2,)b k =-，a 与b 共线， ∴4k =-，即3(1,2)a b +=，∴2312a b +=+=故选：A .【点睛】本题考查向量的共线，向量的模的求法，属于基础题.5．（2020·东莞市光明中学高二月考）已知向量()3,2a =，(),4b x =且//a b ，则x 的值是（ ） A ．6- B ．83C ．6D ．83-【答案】C【分析】根据平面向量共线的坐标表示可得出关于实数x 的等式，由此可解得实数x 的值. 【详解】向量()3,2a =，(),4b x =且//a b ，212x ∴=，解得6x =.故选：C.【点睛】本题考查平面向量共线的坐标表示，属基础题.6．（2020·汕头市澄海中学高二期中）已知向量()2,1a =-，()5,4b =-，(),c x y =，若()a b c +⊥，则x 、y 可以是（ ）A ．1x =，1y =B ．0x =，1y =C ．1x =，0y =D ．1x =，1y =- 【答案】A【分析】根据()0a b c +⋅=可得x y =.【详解】因为()a b c +⊥，所以()()()3,3,330a b c x y x y +⋅=-⋅=-+=，即x y =，故选：A. 【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，考查了平面向量线性运算的坐标表示，属于基础题. 7．（2020·广东深圳市·高一期末）设向量(,1)a x x =+，(1,2)b =，且a b ⊥，则x =（ ）. A ．23-B ．23C ．1-3D ．13【答案】A【分析】由a b ⊥得0a b ⋅=，建立方程求解即可. 【详解】a b ⊥，()210a b x x ∴⋅=++=，解得23x =-.故选：A. 【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.8．（2012·广东湛江市·）已知向量()3,4a =，()sin ,cos b αα=，且//a b ，则tan α=（ ） A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】A【分析】根据向量共线的坐标表示以及同角公式可得结果. 【详解】因为//a b ，所以3cos 4sin 0αα-=，所以3tan 4α=.故选：A. 【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，考查了同角公式，属于基础题.9.（2020·广州市·广东实验中学高三月考（文））已知向量()(),,1,2a x y b ==-，且()1,3a b +=，则2a b -等于（ ） A ．1 B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】先根据已知求出x,y 的值，再求出2a b -的坐标和2a b -的值.【详解】由向量()(),,1,2a x y b ==-，且()1,3a b +=，则()(1,2)1,3a b x y +=-+=，解得2,1x y ==，所以()()2,1,1,2a b ==-，所以2(2,1)2(1,2)(4,3)a b -=--=-，所以224(5a b -=+=，故答案为D【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.10．（多选题）（2020·廉江市第三中学高二月考）如果平面向量(2,0)a=，(1,1)b =，那么下列结论中正确的是（ ） A ．2a b = B ．22a b ⋅=C ．()-⊥a b bD ．//a b【答案】AC【分析】根据题中条件，由向量模的坐标表示，数量积的坐标表示，以及向量共线的坐标表示，逐项判定，即可得出结果. 【详解】由平面向量(2,0)a=，(1,1)b =知：在A 中，2=a ，2b =，∴=2a b ，故A 正确；在B 中，2a b，故B 错误；在C 中，(1,1)a b -=-，∴()110a b b -⋅=-=，∴()-⊥a b b ，故C 正确； 在D 中，∵2011≠，∴a 与b 不平行，故D 错误. 故选：A C .【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，考查向量共线的坐标表示等，属于基础题型.【提升题】11．（2021·广东高三其他模拟）在90A ∠=︒的等腰直角ABC 中，E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，BC AF CE λμ=+，则λ=（ ）A ．23-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】A【分析】以A 为原点建立直角坐标系，设直角边长为2，写出各点坐标，计算可得λ的值. 【详解】以A 为原点建立直角坐标系，设()2,0B ，()0,2C ，则()1,1F ，()1,0E ，则()2,2BC =-，()()()1,11,2,2AF CE λμλμλμλμ+=+-=+-，所以222λμλμ+=-⎧⎨-=⎩，所以23λ=-.故选：A12．（2020·广东高三月考）已知菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=︒，点P 满足1()2AP AB AC =+，则PA PD ⋅=（ ）A ．0B ．3C ．3D ．92【答案】C【分析】如图，以菱形ABCD 的对角线AC 方向为x 轴方向，DB 方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，由1()2AP AB AC =+，可知P 点为线段BC 的中点，由60A ∠=︒，菱形ABCD 的边长为2，可求出,,P A D 的坐标，从而可求出PA PD ⋅的值【详解】以菱形ABCD 的对角线AC 方向为x 轴方向，DB 方向为y 轴方向建立平面直角坐标系， 根据1()2AP AB AC =+，可知P 点为线段BC 的中点，又因为60A ∠=︒，所以2AB BC CD DA BD =====，易求得31,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3,0)A -，(0,1)D -，331,22PA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，33,22PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以，3PA PD ⋅=， 故选：C ．13. （2020·广东汕尾市·高一月考）已知向量()1,2a =，()2,b t =.若a b ⊥，则t =______，此时a 与a b +的夹角为______. 【答案】1-π4【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得t 的值.利用夹角公式，求得a 与a b +的夹角的余弦值，进而求得a 与a b +的夹角.【详解】由于a b ⊥，所以()()1,22,220t t ⋅=+=，解得1t =-， 所以()()2,1,3,1b a b =-+=. 设a 与a b +的夹角为θ，则()()()22221,23,152cos 25101231a a ba a bθ⋅+⋅====⋅⋅++⋅+. 由于[]0,θπ∈，所以4πθ=.故答案为：1-；π4【点睛】本小题主要考查向量数量积的坐标运算，考查向量垂直的坐标表示，考查向量夹角的计算，属于中档题.14（2021·全国高三其他模拟）地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成质坚、耐压、耐磨、防潮．地板砖品种非常多，图案也多种多样．如图是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的边长都相同，若OA a =，OB b =，则AF =（ ）A ．5122a b -- B ．33232a b ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭C ．3323a b ⎛--+ ⎝⎭ D ．3323a b ⎛-+- ⎝⎭ 【答案】D【分析】以AB 的中点M 为坐标原点建立平面直角坐标系，根据平面向量的坐标运算公式，结合平面向量基本定理进行求解即可.【详解】以AB 的中点M 为坐标原点建立平面直角坐标系，设2AB =，则(3O ，()1,0A -，()10B ,，(1,223F +，所以(1,3OA =--，(1,3OB =-，(2,2AF =+．设AF OA OB λμ=+，则22λμ-+=⎧⎪-=+233λμ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以33233AF OA OB ⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭，即3323AF a b b ⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭，故选：D 【点睛】用一组基底表示平面向量往往利用平面向量的坐标表示公式以及平面向量运算的坐标表示公式进行求解.15.（2020·广东高一期末）已知向量(1,2cos ),3sin ,0,23π⎛⎫⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭a x b x x . （1）若//a b ，求tan2x 的值；（2）若f （x ）＝a •b，则函数f （x ）的值域． 【答案】（1（2） 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示可得cos 02x x -=，根据二倍角的正弦公式可得1sin 22x =，根据x 的范围可得26x π=，进一步可得tan 23x =；（2）利用平面向量的数量积的坐标表示与两角和的正弦公式可得())4fx x π=+，再根据x 的范围，结合正弦函数的图象可得结果.【详解】（1）因为//a b ，所以cos 02x x -=，所以1sin 22x =，因为03x π<<，所以2023x π<<，所以26x π=，所以tan 2tan6x π==. （2）()f x a b =⋅=2cos x x x x+=+)4x π=+， 因为03x π<<，所以74412x πππ<+<，所以2sin()(,1]42x π+∈，所以()(3,6]f x ∈. 【点睛】本题考查了平面向量共线的坐标表示，考查了二倍角的正弦公式，考查了平面向量数量积的坐标表示，考查了两角和的正弦公式，考查了利用正弦函数的图象求值域，属于中档题.【拓展题】(选用)16．（2020·山西太原市·高三期末（理））赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD AB AC λμ=+，若2DF AF =，则可以推出λμ+=_________.【答案】1213【分析】利用建系的方法，假设1AF =，根据120ADB ∠=，利用余弦定理可得AB 长度，然后计算cos ,sin DAB DAB ∠∠，可得点D 坐标，最后根据点,B C 坐标，可得结果.【详解】设1AF =，则3,1AD BD AF ===如图由题可知：120ADB ∠=，由2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠所以AB =AC AB ==所以),22BC ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,0A又sin sin sin 26BD AB BAD BAD ADB =⇒∠=∠∠所以cos BAD ∠==所以()cos ,sin D AD AD BAD BAD ∠∠即D ⎝⎭所以()2113339,13,026,26ADAB ⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭13,22AC ⎛=⎝⎭又ADAB AC λμ=+所以913313μλμμ⎧==⎪⎪⇒⎨⎪==⎪⎩ 所以1213λμ+=故答案为：1213【点睛】本题考查考查向量的坐标线性表示，关键在于建系，充分使用条件，考验分析能力，属难题.。
【课件】平面向量数量积的坐标表示高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
AC (2 1，
5 2) (3，
3)
所以 AB AC 1 (3) 1 3 0
于是 AB AC.
所以△ABC是直角三角形．
向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一
三、典型例题
例1 若点A（1，2），B（2，3），C（－2，5），则△ABC是
A
B
O
于是， 2k , k Z
于是，cos( ) cos cos sin si
所以，cos( ) cos
y
x
（1）
终边
y
B
终边
O
（2）
A
x
四、课堂练习
练习 1
(1)已知向量 a＝(－1，2)，b＝(3，2)．
.
a b
5 13
65
a b
三、典型例题
例3 用向量方法证明两角差的余弦公式
cos( ) cos cos sin sin
终边
y
A
证明：角， 的终边与单位圆的交点分别为A，B.则
终边
B
O
x
OA (cos , sin ), OB (cos , sin )
5
【解析】
∵a＋tb＝(2＋t，1＋2t)，∴|a＋tb|＝ （t＋2）2＋（2t＋1）2 ＝
42 9
5 t＋5 ＋5.∴当
4
3 5
t＝－5时，|a＋tb|有最小值 5 .
四、课堂练习
练习 3
已知|a|＝1，b＝(0，2)，且 a·b＝1，则向量 a 与 b 夹角的大小为(
平面向量数量积及其坐标表示
为a与e的夹角，则
e a a e a cos
这 三 个 尤 其 重 要 哦 ！
a b ab 0
特别地，a a a a
2
2
判定垂直
ab a b 当a与b同向时a b a b 当a与b反向时，
或a aa a
2
cos
a b ab
（2） a·b＝a·c
反之， b＝c b＝ c
×
a·b＝a·c
真命题
（3）
(a b) c a (b c) ×
2、 若 | a | 1,| b | 2, c a b ， a与 b 且 ca ，则向量 的夹角为( 120° )
三、向量的数量积的性质：
设a, b都是非零向量， e是与b方向相同的单位向量，
x1 x2 y1 y2
这就是向量数量积的坐标表示。由此我 们得到：两个向量的数量积等于它们对坐 标的乘积之和。
探讨合作:非零向量 a ( x1, y1 ),b ( x2 , y2 ), 它们的 夹角 ，如何用坐标表示cos .若 a b 你又能 得到什么结论？
结论：
(1) cos
是a和b的夹角 , 范围是0
注意（1）两个向量的数量积是数量，
而 不是向量. （2）这个数量的大小与两个向量的 长度及其夹角有关。
规定: 0 a 0
（3）数量积的几何意义：
a b b a cos
B
b
O
a b a b cos
a
A
| b | cos
计算夹角
计算模
ab
ab
基础练习
1、已知a、b是非零的平面向量且满足(a – 2b) ⊥ a， (b – 2a) ⊥ b ,则a与b的夹 60 角是 (° ) 2、已知a 、b均为单位向量，它们的夹 角是60°，那么| a +3b |＝（ 13 ）
高一数学平面向量数量积的坐标表示
思考3：根据数量积的运算性质，a·b等 于什么？
a·b＝x1x2＋y1y2
思考4：若a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2，这就是平面向量数量 积的坐标表示.你能用文字描述这一结论 吗？
两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积的和.
小结作业
1.a∥b a⊥b 二者有着本质区别.
好似天龙一般的强劲腹部忽亮忽暗跃出； 速读教育加盟 速读加盟品牌 ；豹隐桑香般的跃动。紧接着甩动精明快乐的黑亮眼睛一笑，露出一副 虚幻的神色，接着转动灵敏小巧的薄耳朵，像纯黑色的百心旷野蟒般的一抛，古怪的矫健刚劲的手臂顷刻伸长了三倍，像飞云瀑布般的海沙色月光风衣也骤然膨胀了四倍……
2.4 平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标 表示、模、夹角
问题提出
1.向量a与b的数量积的含义是什么？
a·b=|a||b|cosθ. 其中θ为向量a与b的夹角
2.向量的数量积具有哪些运算性质？
（1）a⊥b a·b＝0(a≠0，b≠0)； （2）a2＝︱a︱2； （3）a·b＝b·a；
最后晃起青春光洁的手掌一耍，轻飘地从里面跳出一道怪影，他抓住怪影俊傲地一抖，一套蓝冰冰、白惨惨的兵器∈追云赶天鞭←便显露出来，只见这个这玩意儿，一边蜕变 ，一边发出“喇喇”的猛声。！猛然间蘑菇王子狂魔般地念起稀里糊涂的宇宙语，只见他好象美妙月牙一样的，镶嵌着无数奇宝的蓝白色瓜皮滑板中，突然弹出二团扭舞着∈ 神音蘑菇咒←的焰火状的水管，随着蘑菇王子的颤动，焰火状的水管像古树一样在拇指秀丽地鼓捣出隐约光波……紧接着蘑菇王子又连续使出七千一百五十七家猛燕麦穗震， 只见他深邃快乐、充满智慧的黑亮眼睛中，萧洒地涌出四串晃舞着∈神音蘑菇咒←的光盘状的翅膀，随着蘑菇王子的晃动，光盘状的翅膀像樱桃一样，朝着女狂人Ｑ．玛娅婆 婆丰盈的胸部直跳过去！紧跟着蘑菇王子也晃耍着兵器像门柱般的怪影一样向女狂人Ｑ．玛娅婆婆直跳过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道淡红色的闪光， 地面变成了亮黑色、景物变成了淡黑色、天空变成了紫葡萄色、四周发出了震撼的巨响……蘑菇王子如同天马一样的强壮胸膛受到震颤，但精神感觉很爽！再看女狂人Ｑ．玛 娅婆婆矮小的乳白色拖网一般的眼睛，此时正惨碎成闹钟样的水白色飞沫，狂速射向远方，女狂人Ｑ．玛娅婆婆闷呼着变态般地跳出界外，快速将矮小的乳白色拖网一般的眼 睛复原，但已无力再战，只好落荒而逃人Ｍ．克哥玻游客忽然转动弯曲的深蓝色茄子一般的脸一挥，露出一副迷离的神色，接着耍动彪悍的酷似短棍模样的肩膀，像紫葡萄色 的荡头森林狗般的一转，霸气的浮动的暗青色仙鹤一样的胸部顿时伸长了四倍，水青色松果一般的气味也猛然膨胀了二倍！接着纯蓝色烟囱样的嘴唇整个狂跳蜕变起来……肥 壮的牙齿跃出墨紫色的缕缕异云……浮动的胸部透出纯黄色的朦胧异热！紧接着演了一套，摇雁门铃翻三百六十度外加牛啸香槟旋三周半的招数，接着又耍了一套，云体驴窜 冲天翻七百二十度外加狂转十九周的恬淡招式。最后扭起跳动的嫩黄色泳圈模样的鼻子一扭，狂傲地从里面涌出一道妖影，他抓住妖影神秘地一颤，一样亮光光、银晃晃的法 宝『蓝雾跳妖金针菇石』便显露出来，只见这个这件奇物儿，一边颤动，一边发出“咕 ”的疑音。……突然间Ｍ．克哥玻游客疯鬼般地秀了一个滚地抽动扭烟花的怪异把 戏，，只见他飘浮的胡须中，猛然抖出四片沙海玻璃肚牛状的卧蚕，随着Ｍ．克哥玻游客的抖动，沙海玻璃肚牛状的卧蚕像皮管一样在双臂上绝妙地开发出阵阵光柱……紧接 着Ｍ．克哥玻游客又发出九声酸黑坟茔色的美妙短叫，只见他飘浮的眼罩中，快速窜出二道油瓶状的魔堡瓷喉雀，随着Ｍ．克哥玻游客的转动，油瓶状的魔堡瓷喉雀像馅饼一 样，朝着蘑菇王子犹如雕像一样的下巴飞扫过来。紧跟着Ｍ．克哥玻游客也转耍着法宝像尾灯般的怪影一样朝蘑菇王子飞砸过来蘑菇王子忽然摆动修长灵巧的手指一嚎，露出 一副怪异的神色，接着甩动俊朗英武的脖子，像淡灰色的多眉平原蝎般的一摆，光泽的晶莹洁白的牙齿猛然伸长了三倍，如一弯新月样的葱绿色领结也顿时膨胀了四倍。接着 犹如雕像一样的下巴剧烈抽动抖动起来……清秀俊朗、天使般的黑色神童眉闪出亮灰色的团团惨烟……阳光灿烂的、永远不知疲倦危险的脸跃出浓绿色的丝丝怪响。紧接着玩 了一个，飞蟒茅草翻三百六十度外加狐嚎茄子旋三周半的招数！接着又来了一出，怪体蟒蹦海飞翻七百二十度外加笨转十一周的陶醉招式……最后旋起年轻强健的长腿一旋， 突然从里面抖出一道奇光，他抓住奇光迷人地一扭，一样灰叽叽、亮晶晶的法宝∈七光海天镜←便显露出来，只见这个这件宝贝儿，一边变形，一边发出“咻咻”的奇声…… ……突然间蘑菇王子疯鬼般地弄了一个侧卧扭曲勾图纸的怪异把戏，，只见他带着灿烂微笑的的脸中，威猛地滚出四团摇舞着∈万变飞影森林掌←的地区砖臂象状的船舵，随 着蘑菇王子的耍动，地区砖臂象状的船舵像狂驴一样在双臂上绝妙地开发出阵阵光柱……紧接着蘑菇王子又发出五声暗银色的神秘长叫，只见他酷似雄狮模样的亮黑色头发中 ，狂傲地流出三缕转舞着∈万变飞影森林掌←的泳圈状的平原钻石魂猴，随着蘑菇王子的摆动，泳圈状的平原钻石魂猴像玉棒一样，朝着Ｍ．克哥玻游客天蓝色细小肥肠造型 的胡须飞掏过去。紧跟着蘑菇王子也转耍着法宝像尾灯般的怪影一样朝Ｍ．克哥玻游客飞抓过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道浅绿色的闪光，地面变成了 水绿色、景物变成了鹅黄色、天空变成了土黄色、四周发出了美妙的巨响！蘑菇王子犹如雕像一样的下巴受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｍ．克哥玻游客天青色面具一样的 短发，此时正惨碎成闹钟样的水白色飞沫，狂速射向远方，Ｍ．克哥玻游客闷呼着变态般地跳出界外，快速将天青色面具一样的短发复原，但元气已受损伤人蘑菇王子：“哈 哈！这位干部的科目很不潇洒哦！还真没有震撼性呢！”Ｍ．克哥玻游客：“哈咿！我要让你们知道什么是暴力派！什么是邪恶流！什么是飘然有趣风格！”蘑菇王子：“哈 哈！小老样，有什么玩法都弄出来瞧瞧！”Ｍ．克哥玻游客：“哈咿！我让你享受一下『紫冰香祖邮筒理论』的厉害！”Ｍ．克哥玻游客超然像亮白色的五胸圣地雁一样长喘 了一声，突然来了一出曲身蠕动的特技神功，身上顷刻生出了二只犹如鱼尾似的火橙色眼睛。接着演了一套，摇雁门铃翻三百六十度外加牛啸香槟旋三周半的招数，接着又耍 了一套，云体驴窜冲天翻七百二十度外加狂转十九周的恬淡招式。紧接着纯蓝色烟囱样的嘴唇整个狂跳蜕变起来……肥壮的牙齿跃出墨紫色的缕缕异云……浮动的胸部透出纯 黄色的朦胧异热！最后转起酷似短棍模样的肩膀一挥，威猛地从里面跳出一道余辉，他抓住余辉奇妙地一摆，一件灰叽叽、明晃晃的咒符『紫冰香祖邮筒理论』便显露出来， 只见这个这件宝器儿，一边振颤，一边发出“呜喂”的怪音！。骤然间Ｍ．克哥玻游客旋风般地让自己风光的碎花袄奇闪出紫宝石色的核桃声，只见他浮动的暗青色仙鹤一样 的胸部中，飘然射出三组尾巴状的铁砧，随着Ｍ．克哥玻游客的甩动，尾巴状的铁砧像瓜皮一样在身后痴呆地搞出缕缕光雾……紧接着Ｍ．克哥玻游客又扭起扁扁的皮肤，只 见他彪悍的酷似短棍模样的肩膀中，酷酷地飞出四串蚯蚓状的光丝，随着Ｍ．克哥玻游客的扭动，蚯蚓状的光丝像弹头一样念动咒语：“三指嚷噎唷，豪猪嚷噎唷，三指豪猪 嚷噎唷……『紫冰香祖邮筒理论』！精英！精英！精英！”只见Ｍ．克哥玻游客的身影射出一片淡灰色亮光，这时偏西方向酷酷地出现了二片厉声尖叫的亮黑色光狐，似奇影 一样直奔深灰色银光而来……，朝着蘑菇王子青春光洁，好似小天神般的手掌横抓过来……紧跟着Ｍ．克哥玻游客也窜耍着咒符像烟妖般的怪影一样向蘑菇王子横抓过来蘑菇 王子超然像纯黑色的独尾旷野蟒一样神吼了一声，突然演了一套仰卧膨胀的特技神功，身上骤然生出了四只特像吹筒样的春绿色舌头！接着玩了一个，飞蟒茅草翻三百六十度 外加狐嚎茄子旋三周半的招数！接着又来了一出，怪体蟒蹦海飞翻七百二十度外加笨转十一周的陶醉招式……紧接着犹如雕像一样的下
向量的数量积的坐标表示
复习： 复习：
（）若λ ∈ R ,则λ a表示实数还是向量？ 1 a + b和a − b分别表示实数还是向量？ a ⋅ b表示实数还是向量？
a⋅ b是 量 因 a、、 θ都 数 。 ⋅ 数 ， 为 b cos 是 量
2 （） a⋅ a = ？ a⋅ a = a = a ⋅ a ⋅ cos0 = a
知 已 : a = {x1, y1} , b = {x2, y2} 求 a⋅ b 。 ， ：
B( x 2 , y 2 )
y a−b
b
O
θ
A( x1 , y1 )
a
x
1、平面向量数量积的坐标表示
已 : a ={x1, y1},b ={x2 , y2} 求 a⋅b 。 知 ， ：
B( x 2 , y 2 )
y
C(-2,5) B(2,3) A(1,2) x 0
AC = (−2 − 1,5 − 2) = (−3,3)
∴ AB ⊥ AC
∴三角形ABC是直角三角形 .
课堂练习2 课堂练习2：
试判断下列向量间是否平行或垂直？ 试判断下列向量间是否平行或垂直？
（） = 3 i − 4 j ,b = −4 i − 3 j 1a （ ） = 3 i + 4 j ,b = 6 i + 8 j 2a
3、两向量垂直和平行的坐标表示
（1）垂直 a ⊥ b ⇔a⋅ b = 0
设 = x , y ), b = (x2, y2 ), 则 a （1 1 a ⊥b ⇔x x2 + y y2 = 0 1 1
（2）平行
a （1 1 设 = x , y ), b = (x2, y2 ), 则 a//b ⇔x y2 − x2 y1 = 0 1
第03讲 平面向量的数量积 (精讲)(含答案解析)
第03讲平面向量的数量积(精讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第03讲平面向量的数量积(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析角度2：平面向量数量积的几何意义高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积角度2：向量模运算角度3：向量的夹角角度4：已知模求数量积角度5：已知模求参数高频考点三：平面向量的综合应用高频考点四：极化恒等式第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆1、平面向量数量积有关概念1.1向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA a = ，OB b =，则AOB θ∠=(0θπ≤≤)叫做向量a 与b的夹角，记作,a b <> ．(2)范围：夹角θ的范围是[0,]π．当0θ=时，两向量a ，b共线且同向；当2πθ=时，两向量a ，b 相互垂直，记作a b ⊥ ；当θπ=时，两向量a ，b共线但反向．1.2数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量||||cos a b θ 叫做a 与b的数量积(或内积)，记作a b ⋅ ，即||||cos a b a b θ⋅= ，其中θ是a 与b的夹角，记作：,a b θ=<> ．规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：00a ⋅=.1.3向量的投影①定义：在平面内任取一点O ，作OM a ON b ==，.过点M 作直线ON 的垂线，垂足为1M ，则1OM 就是向量a 在向量b 上的投影向量.②投影向量计算公式:当θ为锐角（如图（1））时，1OM 与e 方向相同，1||||cos OM a λθ== ，所以11||||cos OM OM e a e θ== ；当θ为直角（如图（2））时，0λ=，所以10||cos 2OM a e π==；当θ为钝角（如图（3））时，1OM 与e方向相反，所以11||||cos ||cos()||cos OM a MOM a a λπθθ=-=-∠=--= ，即1||cos OM a e θ= .当0θ=时，||a λ=，所以1||||cos0OM a e a e == ；当πθ=时，||a λ=-，所以1||||cosπOM a e a e =-= 综上可知，对于任意的[0π]θ∈，，都有1||cos OM a e θ= .2、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知向量1122(,),(,)a x y b x y == ，θ为向量a 和b的夹角：2.1数量积1212=||||cos x x y y a b a b θ⋅=+2.2模：2211||a a x y =⋅=+a 2.3夹角：121222221122cos ||||x x y y a ba b x y x y θ+⋅==++ 2.4非零向量a b ⊥的充要条件：121200a b x x y y ⋅=⇔+= 2.5三角不等式：||||||a b a b ⋅≤ （当且仅当a b∥时等号成立）⇔222212121122x x y y x y x y +≤+⋅+3、平面向量数量积的运算①a b b a⋅=⋅r r r r ②()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ③()c+⋅=⋅+⋅ a b c a c b 4、极化恒等式①平行四边形形式：若在平行四边形ABCD 中，则221()4AB AD AC DB ⋅=- ②三角形形式：在ABC ∆中，M 为BC 的中点，所以222214AB AC AM MB AM BC⋅=-=- 5、常用结论①22()()a b a b a b+-=- ②222()2a b a a b b+=+⋅+ ③222()2a b a a b b-=-⋅+ 第二部分：课前自我评估测试一、判断题（2022·全国·高一专题练习）1．判断（正确的填“正确”，错误的填“错误”）（1）两个向量的数量积仍然是向量.()（2）若0a b ⋅= ，则0a =或0b = .()（3）a ，b 共线⇔a ·b =|a ||b |.()（4）若a ·b =b ·c ，则一定有a =c.()（5）两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量.()（2021·全国·高二课前预习）2．已知两个向量,NM MP的夹角为60°，则∠NMP ＝60°.()二、单选题（2022·河南安阳·高一阶段练习）3．已知向量()2,1a t =- ，()1,1b t =- ，若a b ⊥，则t =（）A ．1B ．13-C ．1-D ．2（2022·全国·模拟预测（文））4．在边长为2的正三角形ABC 中，则AB BC ⋅= （）A ．2-B ．1-C ．1D ．2（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）5．在ABC 中，若0AB AC ⋅<，则ABC －定是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析例题1．（2022·河北武强中学高一期中）已知向量a ，b满足1a = ，1a b ⋅=- ，则()2a a b ⋅-=（）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】C22(2)222113a a b a a b a a b ⋅-=-⋅=-⋅=⨯+=.故选：C.例题2．（2022·山西太原·高一期中）给出以下结论，其中正确结论的个数是（）①0a b a b ⇒⋅=∥ ②a b b a⋅=⋅r r r r ③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ④a b a b⋅≤⋅A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B由数量积的定义知||||cos a b a b θ⋅=，对于①，若a b∥，则||||a b a b ⋅= 或||||a b a b -⋅= ，0a b ⋅= 不一定成立，①错误对于②，a b b a ⋅=⋅r r r r成立，②正确对于③，()a b c ⋅⋅r r r 与a共线，()a b c ⋅⋅r r r 与c 共线，两向量不一定相等，③错误对于④，||||cos a b a b a b θ⋅=≤⋅，④正确故选：B例题3．（2022·江苏·涟水县第一中学高一阶段练习）在锐角ABC 中，关于向量夹角的说法，正确的是（）A ．AB 与BC的夹角是锐角B ．AC 与BA的夹角是锐角C ．AC 与BC的夹角是锐角D ．AC 与BC的夹角是钝角【答案】C 如下图所示：对于A 选项，AB 与BC的夹角为ABC π-∠，为钝角，A 错；对于B 选项，AC 与BA的夹角为BAC π-∠，为钝角，B 错；对于CD 选项，AC 与BC的夹角等于ACB ∠，为锐角，C 对D 错；故选：C.例题4．（2022·宁夏·平罗中学模拟预测（理））已知向量,a b 的夹角为23π，且||3,a b ==，则b 在a方向上的投影为___________.【答案】1-由题意得2b = ，则b 在a 方向上的投影为2||cos ,2cos13π=⨯=- b a b .故答案为：1-.角度2：平面向量数量积的几何意义例题1．（2022·江西抚州·高一期中）已知向量()()1121a b ==- ，，，，则a 在b 方向上的投影数量为（）A ．15B ．15-CD．5【答案】D因为()()1121a b ==-，，，，所以cos a b a b a b ⋅〈⋅〉==⋅ ，因此a 在b方向上的投影数量为cos ()105a ab 〈⋅〉=-=-，故选：D例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））在圆O 中弦AB 的长度为8，则AO AB ⋅=（）A ．8B ．16C ．24D ．32【答案】Dcos 8432AO AB AB AO OAB ⋅=⋅∠=⨯=．故选：D例题3．（2022·甘肃·高台县第一中学高一阶段练习）已知8,4a b == ，a 与b 的夹角为120°，则向量b 在a方向上的投影为（）A ．4B ．－4C ．2D ．－2【答案】D由向量8,4a b == ，且a 与b 的夹角为120°，所以向量b 在a 方向上的投影为cos 4cos1202b θ=⨯=-，故选：D.例题4．（2022·吉林一中高一期中）在ABC中，AB =4BC =，30B =︒，P 为边上AC 的动点，则BC BP ⋅的取值范围是（）A ．[]6,16B ．[]12,16C ．[]4,12D ．[]6,12【答案】A如图，作AE BC ⊥于E ，作PF BC ⊥于F ，由已知得AE =32BE ==，cos 4BC BP BC BP PBC BF ⋅=∠= ，当P 在线段AC 上运动时地，F 在线段EC 上运动，342BF ≤≤，所以6416BF ≤≤ ，故选：A ．例题5．（2022·江西景德镇·三模（理））窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均在正方形ABCD 各边的中点（如图2，若点P 在四个半圆的圆弧上运动，则AB OP ×uu u r uu u r 的取值范围是（）A ．[]22-,B ．⎡⎣-C ．⎡-⎣D ．[]4,4-【答案】Dcos ,AB OP AB OP AB OP ×=<>uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r ，即AB 与OP 在向量AB方向上的投影的积．由图2知，O 点在直线AB 上的射影是AB 中点，由于2AB =，圆弧直径是2，半径为1，所以OP 向量AB方向上的投影的最大值是2，最小值是－2，因此AB OP ×uu u r uu u r 的最大值是224⨯=，最小值是2(2)4⨯-=-，因此其取值范围为[4,4]-，故选：D ．题型归类练（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期中）6．已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且AO AB AC +=，AO AC = ，则向量BA 在向量BC上的投影向量为（）A ．14BCB ．12BC C ．14BC - D ．12BC -（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））7．非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥- ，a 与b 的夹角为6π，3a = ，则c 在b 上的正射影的数量为（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2（2022·北京市第十九中学高一期中）8．如图，已知四边形ABCD 为直角梯形，AB BC ⊥，//AB DC ，AB =1，AD =3，23πBAD ∠=，设点P 为直角梯形ABCD 内一点（不包含边界），则AB AP ⋅的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2022·全国·高三专题练习）9．在ABC 中，90BAC ∠=︒，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，1AD AB == ，与BC方向相同的单位向量为e ，则向量AB 在BC上的投影向量为（）A ．12eB ．12e- C D ．（2022·河南河南·三模（理））10．在△ABC 中，“0AB BC ⋅<”是“△ABC 为钝角三角形”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校高一期中）11．在圆O 中弦4AB =，则AO AB ⋅=__________.（2022·四川·树德中学高一阶段练习）12．如图，直径4AB =的半圆，D 为圆心，点C 在半圆弧上，3ADC π∠=，线段AC 上有动点P ，则DP BA ⋅的取值范围为_________．高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积例题1．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）正六边形ABCDEF 的边长为2，则CE FD ⋅u u r u u u r=（）A ．-6B ．-C ．D ．6【答案】A在CDE 中，2CD DE ==，120CDE ∠=︒，所以CE =所以有CE DF == CE 与FD 所成的角为120°，所以(2162CE FD ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：A ．例题2．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，则()AB BE BC +⋅=（）A ．2-B ．0C ．12D ．2【答案】D()AB BE BC +⋅= AB BC BE BC ⋅+⋅0122=+⨯=.故选：D例题3．（2022·北京·中关村中学高一期中）已知12a = ，4b = ，且a ，b的夹角为π3，则⋅=a b （）A ．1B ．1±C ．2D ．2±【答案】Aπ||||cos 3a b a b ⋅=⋅⋅114122=⨯⨯=.故选：A例题4．（2022·安徽·高二阶段练习）已知平面向量)1a =-，单位向量b满足20b a b +⋅= ，则向量a 与b夹角为___________.【答案】23π)1a =- ，2a =，由20b a b +⋅= 可知112cos ,0a b +⨯⨯= ，解得1cos ,2a b =- ，所以2,3a b π= .故答案为：23π例题5．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期中）在ABC 中，60,6,5B AB BC ∠=== ，则AB BC ⋅=_______【答案】15-因为60,6,5B AB BC ∠=== ，所以()1cos 1806065152AB BC AB BC ⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故答案为：15-.角度2：向量模运算例题1．（2022·山东潍坊·高一期中）已知i ，j是平面内的两个向量，i j ⊥ ，且2,2,34j a i j b i i j ===+=-+，则a b -=r r （）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】由42a b i j -=-r r r r，则2222(42)1616480a b i j i i j j -=-=-⋅+=r r r r r r r r ，所以a b -=r r 故选：D例题2．（2022·四川绵阳·高一期中）已知向量a 与b 的夹角为2π3，且||2a = ，1b ||=，则|2|a b +=（）A ．2B ．C ．4D ．12【答案】A∵2π13|s |co b a b a ⋅==- ||则222|2|444a b a a b b +=+⋅+= ，即|2|2a b += 故选：A ．例题3．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知向量a 与b的夹角为60︒，且||2,|2|a a b =-= ||b =（）AB ．1C ．2D ．4【答案】C解:向量a ，b夹角为60︒，且||2,|2|a a b =-= ∴222(2)44a b a a b b -=-⋅+ 22242||cos604||12b b ︒=-⨯⨯⨯+= ，即2||||20b b --=，解得||2b =或||1b =- （舍），∴||2b =，故选：C例题4．（2022·河南新乡·高一期中）已知向量a =，b ，且a 与b的夹角为6π，则2a b -= （）A ．7B C ．6D【答案】B2a ==，cos 362a b a b π∴⋅=⋅== ，222244161237a b a a b b ∴-=-⋅+=-+= ，2a b ∴-= 故选：B.例题5．（2022·河南·模拟预测（理））已知平面向量a ，b的夹角为π3，且3a = ，8b = ，则a b -=______．【答案】7因为平面向量a ，b的夹角为π3，且3a = ，8b = ，所以由7a b -====，故答案为：7例题6．（2022·河南·模拟预测（文））已知向量(a = ，4b = ，且向量a 与b 的夹角为34π，则a b -= ______．因为(a = ，所以a =又4b = ，3,4a b π〈〉=，所以34cos124a b π⋅==- 所以2222()218241658a b a b a a b b -=-=-⋅+=++=所以a b -角度3：向量的夹角例题1．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））若向量a ，b满足1a = ，2b = ，()235a a b ⋅+= ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】B解：因为1a = ，2b = ，()235a a b ⋅+= ，所以2235a a b +⋅=，即2235a a b +⋅= ，所以1a b ⋅= ，设a 与b的夹角为θ，则1cos 2a b a b θ⋅==⋅ ，因为[]0,θπ∈，所以3πθ=；故选：B例题2．（2022·山东济南·三模）已知单位向量a 、b 、c ，满足a b c +=，则向量a 和b的夹角为()A ．2π3B ．π2C ．π3D ．6π【答案】A∵a b c +=，∴()()a b a b c c +⋅+=⋅ ，∴2222a b a b c ++⋅= ，∴12a b ⋅=-r r ，∴1cos ,2a b a b a b ⋅==-⋅，∵[],0,π∈ a b ，∴2π,3a b = ．故选：A ．例题3．（2022·河北邯郸·二模）若向量a ，b 满足||2a =，b = 3a b ⋅=，则向量b 与b a -夹角的余弦值为（）.A．2BC．16D．20【答案】D因为b = 3a b ⋅=，所以22()39b b a b b a ⋅-=-⋅=-=，因为b a -==== ，所以向量b 与b a -夹角的余弦值为()20b b a b b a ⋅-==⋅- ，故选：D例题4．（2022·河南·扶沟县第二高中高一阶段练习）已知向量a = ，b 是单位向量，若|2|a b -= a 与b的夹角为_____.【答案】π3##60o由a = ､b为单位向量，|2|a b -= 得：2|23|1-= a b ，即224413a a b b -⋅+= ，由2a = ，=1b 所以cos ,1a b a b a b ⋅=⋅= ，1cos ,2a b = ，所以,a b =π3故答案为：π3例题5．（2022·山东烟台·高一期中）若||a =r ，||2b =，且|2|a b += a 与b的夹角大小为______．【答案】150︒##5π6因为|2|a b + 22447a a b b +⋅+= ，即34447a b +⋅+⨯= ，解得3a b ⋅=- ，所以cos ,2a b a b a b ⋅〈〉===-，而0,πa b ≤〈〉≤ ，所以5π,6a b 〈〉= ．故答案为：150︒．例题6．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知向量()1,2a =-r，()1,b λ= ，则“12λ<”是“a 与b 的夹角为锐角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B当a 与b 的夹角为锐角时，0a b ⋅> 且a 与b不共线，即12020λλ->⎧⎨+≠⎩，∴12λ<且2λ≠-，∴“12λ<”是“a 与b 的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选：B.例题7．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）已知向量()1,2a = ，()2,b λ= ，且a 与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是______．【答案】1λ>-且4λ≠因向量()1,2a = ，()2,b λ= ，且a 与b 的夹角为锐角，于是得0a b ⋅> ，且a 与b 不共线，因此，220λ+>且40λ-≠，解得1λ>-且4λ≠，所以实数λ的取值范围是1λ>-且4λ≠.故答案为：1λ>-且4λ≠例题8．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期中）已知向量()2,4a =-r 与向量()1,b λ=-r所成角为钝角．则λ的取值范围是______．【答案】12λ>-且2λ≠解：因为向量()2,4a =-r 与向量()1,b λ=-r所成角为钝角，所以0a b ⋅<且两个向量不共线，即240240λλ--<⎧⎨-≠⎩，解得12λ>-且2λ≠.故答案为：12λ>-且2λ≠.例题9．（2022·河北·高一期中）已知向量(),2a λ=- ，()3,4b =- ，若a ，b 的夹角为钝角，则λ的取值范围为______【答案】833,,322⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：由题意得380a b λ⋅=--< ，且46λ≠，解得83λ>-且32λ≠，即833,,322λ⎛⎫⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故答案为：833,,322⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭角度4：已知模求数量积例题1．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知向量a ，b满足2a b == ，a b -=r r ，则⋅=a b （）A ．2-B ．-C ．D ．6【答案】A||a b -==4241 2,2a b a b ∴-⋅+=⋅=- 故选：A例题2．（2022·全国·模拟预测（文））已知向量a 、b 满足2a b b ==-=，则a b ⋅= （）A ．6B ．-C ．D ．－2【答案】D2244122||21222b a b a b a b a b +--=⇒-=+-⋅=⇒⋅==- .故选：D.例题3．（2022·北京十五中高一期中）若向量,a b满足122a b a b ==-= ，，，则a b ⋅=_____.【答案】12##0.5因为122a b a b ==-= ，，，所以22224a ba ab b-=-⋅+= ，即1244a b -⋅+=，所以12a b ⋅= .故答案为：12.例题4．（2022·安徽马鞍山·三模（文））设向量a ，b满足1a = ，2b = ，a b -= 则a b ⋅=___________.【答案】0解：因为向量a ，b满足1a = ，2b = ，a b -= 所以()22222221225a b a ba ab b a b -=-=-⋅+=+-⋅=，所以0a b ⋅=，故答案为：0.例题5．（2022·贵州贵阳·二模（理））已知向量0a b c ++=，||||||1a b c === ，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=________．【答案】32-##-1.5∵向量0a b c ++=，||||||1a b c === ，∴()()()22222320a b ca b a b b c c a a b b c c c a =⋅+⋅+⋅⋅+++++=+⋅=+⋅+，∴32a b b c c a ⋅+⋅+⋅=- .故答案为：32-.角度5：已知模求参数例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知0m ≠，向量(,),(2,)a m n b m ==-，若||||a b a b +=-，则实数n =（）A ．BC ．-2D ．2【答案】D 【详解】由||||a b a b +=-可得22()()a b a b +=-2222220a a b b a a b b a b ∴+⋅+=-⋅+∴⋅= 20a b m mn ∴⋅=-+=，因为0m ≠，所以2n =.故选：D例题2．（2022·广东·高一阶段练习）已知单位向量,a b满足12a b ⋅= ，则()a tb t R +∈ 的最小值为（）A ．2B ．34C ．12D ．14【答案】A 【详解】,a b为单位向量，1a b ∴==，2222221a tb a ta b t b t t ∴+=+⋅+=++，则当12t =-时，()2min314t t ++=，mina tb∴+=.故选：A.例题3．（2022·湖北鄂州·高二期末）已知向量(),2a m = ，()1,1b =r，若a b a += 则实数m =（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】A因为()1,1b =r，则b = a b a b +=+，等式a b a b +=+ 两边平方可得222222a a b b a a b b +⋅+=+⋅+ ，则a b a b ⋅=⋅ ，故a 与b同向，所以，2m =.故选：A.例题4．（2022·安徽·高二阶段练习（文））已知向量a ，b满足4a =，(b =- ，且0a kb +=，则k 的值为______．【答案】2∵0a kb += ，∴0a kb += ，∴a kb =-，∴a kb k b == ，∵(b =-，∴2b ==．又∵4a =，∴2a k b==．故答案为：2.题型归类练（2022·北京·潞河中学三模）13．已知菱形ABCD 的边长为,60a ABC ∠= ，则DB CD ⋅=（）A ．232a-B ．234a-C ．234aD ．232a（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））14．已知向量a ，b 为单位向量，()0a b a b λλλ+=-≠ ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．π3C ．π2D ．2π3（2022·全国·高一单元测试）15．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3cos 10C =，若92CB CA ⋅= ，则c 的最小值为（）A ．2B ．4CD ．17（2022·四川省内江市第六中学高一期中（理））16．如图，ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+ ，若AC ＝3，AB ＝4，则AP CD ⋅的值为（）A ．125B ．512C ．1312D ．1213（2022·湖南·长沙市明德中学二模）17．已知非零向量a 、b 满足0a b ⋅=，()()0a b a b +⋅-= ，则向量b 与向量a b - 夹角的余弦值为（）A ．2B ．0C ．2D ．2（2022·广东·模拟预测）18．已知单位向量a ，b 满足()2a a b ⊥- ，则向量a ，b 的夹角为（）A ．120︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））19．设,a b 为非零向量，且22a b a b +=- ，则a ，b的夹角为___________.（2022·广东广州·三模）20．已知,a b为单位向量，若2a b -= 2a b += __________.（2022·山东济宁·三模）21．在边长为4的等边ABC 中，已知23AD AB =，点P 在线段CD 上，且12AP mAC AB =+，则AP = ________.高频考点三：平面向量的综合应用例题1．（2022·湖南·高二阶段练习）“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中,,,E F G H 分别是,,,DF AG BH CE 的中点，若AG x AB y AD =+，则xy =（）A ．625B ．625-C ．825D ．825-【答案】C由题意，可得()11112224AG AB BG AB BH AB BC CH AB BC CE =+=+=++=++ ，因为EFGH 是平行四边形，所以AG CE =-，所以1124AG AB BC AG =+- ，所以4255AG AB BC =+ ，因为AG x AB y AD =+ ，所以42,55x y ==，则4285525xy =⨯=.故选：C.例题2．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中OM ON ⋅的值为（）A ．24B ．6C ．D ．【答案】A在图③中，以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，4OM =，(2cos ,2sin )(2,33OM ππ== ，83MP = ，即8(,0)3MP = ，23PN = ，由分形知//PN OM ，所以1(,)33PN = ，所以(5,)3ON OM MP PN =++= ，所以2524OM ON ⋅=⨯+= ．故选：A ．例题4．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与,AB AD 所在直线分别交于点M ，N ，满足,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>> ，若13mn =，则mn 的值为（）A ．23B ．34C ．45D ．56【答案】B 【详解】因平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，则1122AO AB AD =+，而,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>>，于是得122m AO AM AN n=+，又点M ，O ，N 共线，因此，1122m n +=，即12mn n +=，又13mn =，解得12,23m n ==，所以34m n =.故选：B例题5．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）在梯形ABCD 中，,2,1,120,,AB CD AB BC CD BCD P Q ===∠=∥ 分别为线段BC ，CD 上的动点.(1)求BC AB ⋅ ；(2)若14BP BC =，求AP ；(3)若1,6BP BC DQ DC μμ== ，求AP BQ ⋅u u u r u u u r 的最小值；【答案】(1)2-76(1)因为,2,120AB CD AB BC BCD ==∠= ∥，所以60ABC ∠= ，所以,180120BC AB ABC =-∠=，所以cos 22cos1202BC AB BC AB BC AB =⨯⨯=⨯⨯=⋅-⋅ .(2)由（1）知，2BC AB -⋅=，因为14BP BC = ，所以14AP AB BP AB BC =+=+ ，所以()222222111111322221146264AP AB AB AB BC BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭ ，所以AP = .(3)因为BP BC μ= ，16DQ DC μ=，则()()()616AP BQ AB BP BC CQ AB BC BC CD μμμ⎛⎫-⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2611666AB BC AB CD BC CB CDμμμμ--=⋅+⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 261161125221221566236μμμμμμ--⎛⎫=--⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯-=+- ⎪⎝⎭，因为011016μμ<≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩，解得116μ≤≤，设()125536f μμμ=+-，116μ≤≤，根据对勾函数的单调性可知，()f μ在1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以当1μ=时，()f μ取得最大值：()125715366f =+-=.22．已知P 是ABC 的外心，且3420PA PB PC +-=uu r uu uu u r r r，则cos C =（）A ．-4B ．-14C．4或-4D ．14或-14（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））23．在△ABC 中，点D 满足AD =1162AB AC +，直线AD 与BC 交于点E ，则CE CB的值为（）A ．12B ．13C ．14D ．15（2022·山东淄博·高一期中）24．如图，1,3,90,2AB AC A CD DB ==∠=︒= ，则AD AB ⋅=_________（2022·湖南·模拟预测）25．在三角形ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD D C =，AD AB AC λμ=+ (),λμ∈R ，则λμ-=______．（2022·浙江·高一阶段练习）26．平面内的三个向量(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-==.(1)若(2)//()a b c a +-，求实数k 的值；(2)若()()c a c b -⊥-，求实数k 的值.（2022·重庆市二0三中学校高一阶段练习）27．已知平面向量()()1,2,2,a b m =-=.(1)若a b ⊥，求2a b + ；与a夹角的余弦值.28．已知平行四边形ABCD 中，2DE EC = ，0AF DF +=，AE 和BF 交于点P.(1)试用AB，AD 表示向量AP .(2)若BPE 的面积为1S ，APF 的面积为2S ，求12S S 的值.(3)若AB AD AB AD +=- ，0AC BD ⋅= ，求APF ∠的余弦值.（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））29．如图，设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知2AD =，c ＝1且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+．(1)求b 边的长；(2)求△ABC 的面积；(3)设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，求AG EF ⋅的最小值．高频考点四：极化恒等式例题1．（2021·全国·高一课时练习）阅读一下一段文字：2222a b a a b b →→→→→→⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭，2222a b a a b b →→→→→→⎛⎫-=-⋅+ ⎪⎝⎭，两式相减得：22221()44a b a b a b a b a b a b →→→→→→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=⋅⇒⋅=+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算.试根据上面的内容解决以下问题：如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点.（1）若6AD =，4BC =，求→→⋅的值；（2）若4AB AC →→⋅=，1FB FC →→⋅=-，求EB EC →→⋅的值.【答案】（1）32；（2）78.【自主解答】解：（1）因为2,AB AC AD AB AC CB →→→→→→+=-=，所以2222113643244AB AC AB AC AB AC AD CB →→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（2）设3AD m =，2(0,0)BC n m n =>>，因为4AB AC →→⋅=，由（1）知222214494AD CB m n →→=⇒-=-①因为2,3FB FC AD FB FC CB →→→→→→+=-=，所以根据2222111494FB FC FB FC FB FC AD CB →→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为1FB FC →→⋅=-，所以2222111194AD CB m n →→-=-⇒-=-②由①②解得258m =，2138n =.所以2222141494EB EC EB EC EB EC AD CB→→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦22201374888m n =-=-=.例题2．（2022·河北唐山·高三期末）ABC 中，D 为BC 的中点，4BC =，3AD =，则AB AC ⋅=______．【答案】5【自主解答】解：因为D 为BC 的中点，4BC =，所以DB DC =-，2DB DC ==,AB AD DB AC AD DC =+=+ ，所AB AC ⋅=()()AD DB AD DC =+⋅+ ()()22945AD DC AD DC AD DC =-⋅+=-=-= 故答案为：5法二：由极化恒等式2211916544AB AC AD BC ⋅=-=-⨯= 例题3．（2022届高三开年摸底联考新高考）已知直线l ：10x y +-=与圆C ：22()(1)1x a y a -++-=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的最小值为：（）A.12-B.D.12【自主解答】如图：圆C 22()(1)1x a y a -++-=的圆心(,1)C a a -，在直线l ：10x y +-=上，由极化恒等式，2214OA OB OC BA ⋅=- ，而24BA = ，所以222114OA OB OC BA OC ⋅=-=- ，C是直线l ：10x y +-=上的动点，所以||OC的最小值，就是点O 到直线l 的距离d 2min 1()12OA OB d ⋅=-=- .题型归类练30．设向量,a b 满足a b += a b -=r r a b ⋅=A ．1B ．2C ．3D ．531．如图，在ABC 中,90,2,2ABC AB BC ∠=== ，M 点是线段AC 上一动点.若以M 为圆心､半径为1的圆与线段AC 交于,P Q 两点，则BP BQ ⋅的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．432．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-33．如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A,D 分别在x 轴、y 轴正半轴（含原点）滑动，则OB OC ⋅的最大值为__________．第四部分：高考真题感悟（2021·浙江·高考真题）34．已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件（2021·全国·高考真题）35．已知向量0a b c ++= ，1a = ，2b c == ，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．（2021·全国·高考真题（文））36．若向量,a b满足3,5,1a a b a b =-=⋅= ，则b = _________.（2021·全国·高考真题（理））37．已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥，则k =________．（2021·天津·高考真题）38．在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________．（2021·北京·高考真题）39．已知向量,,a b c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅=________；=a b ⋅ ________.参考答案：1．错误错误错误错误正确【分析】根据数量积的相关概念逐一判断即可【详解】对于（1）：两个向量的数量积是数量，故错误；对于（2）：若0a b ⋅= ，除了0a = 或0b = 之外，还有可能a b ⊥，故错误；对于（3）：a ，b 共线a ·b =±|a ||b|，故错误；对于（4）：数量积是一个整体，这里面b 不能直接约去，故a 与c无固定关系，故错误；对于（5）：两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量，符合向量的运算规律，故正确.2．错误【解析】略3．C【分析】由题可得0a b ⋅=，即可求出.【详解】因为()2,1a t =- ，()1,1b t =- ，a b ⊥，所以()210a b t t ⋅=--=，解得1t =-.故选：C.4．A【分析】根据数量积的定义计算可得；【详解】解：()1cos 2222AB BC AB BC B π⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故选：A 5．C【分析】根据向量的数量积的运算公式，求得cos 0A <，得到A 为钝角，即可求解.【详解】由向量的数量积的运算公式，可得cos 0AB AC AB AC A ⋅=⋅< ，即cos 0A <，因为(0,)A π∈，所以A 为钝角，所以ABC －定是钝角三角形.故选：C.6．B【分析】由题意作出符合题意的图形，判断出OBAC 为菱形,直接得到向量BA在向量BC 上的投影向量.【详解】如图示：因为△ABC 的外接圆圆心为O ，AO AB AC+=，AO AC = ，所以AO AC CO ==,所以△AOC 为等边三角形，所以OBAC 为菱形，所以OA BC ⊥.所以向量BA 在向量BC 上的投影向量为12BC .故选：B 7．D【分析】利用垂直的向量表示，再利用正射影的数量的意义计算作答.【详解】非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥- ，则()·0b a c a b c b -=⋅-⋅= ，即c b a b ⋅=⋅ ，又a 与b的夹角为6π，3a = ，所以c 在b 上的正射影的数量||cos ,||cos 62||||c ba b c c b a b b π⋅⋅〈〉====.故选：D 8．A【分析】依题意过点D 作DE AB ⊥交BA 的延长线于点E ，即可求出AE ，设AP 与AB的夹角为θ，结合图形即可得到AP 在AB方向上的投影的取值范围，再根据数量积的几何意义计算可得；【详解】解：依题意过点D 作DE AB ⊥交BA 的延长线于点E ，则3cos 602AE AD =︒=，设AP 与AB的夹角为θ，因为点P 为直角梯形ABCD 内一点（不包含边界），所以AP 在AB方向上的投影cos AP θ ，且3cos 12AP θ-<<，所以3cos cos ,12AB AP AB AP AP θθ⎛⎫⋅=⋅=∈- ⎪⎝⎭故选：A 9．B【分析】易知ABD △是等边三角形，再根据BC 方向相同的单位向量为e ，由2cos 3AB e π⋅⋅求解.【详解】在ABC 中，90BAC ∠=︒，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r，所以D 为BC 的中点，且|AD |=|BD |，又1AD AB ==，所以ABD △是等边三角形，因为BC方向相同的单位向量为e ，所以向量AB 在BC 上的投影向量为21cos 32AB e e π⋅⋅=-，故选：B 10．D【分析】利用充分、必要性的定义，结合向量数量积的定义及钝角三角形的性质判断题设条件间的推出关系，即可知答案.【详解】由||||cos 0AB BC BA BC BA BC B =-=⋅-⋅<，即cos 0B >，又0B π<<，所以02B π<<，不能推出△ABC 为钝角三角形，充分性不成立；△ABC 为钝角三角形时，若2B ππ<<，则||||cos 0AB BC BA BC BA BC B =-=⋅-⋅>，不能推出0AB BC ⋅<，必要性不成立.所以“0AB BC ⋅<”是“△ABC 为钝角三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D 11．8【分析】利用向量的数量积、投影的定义即可求解.【详解】过点O 作OC AB ⊥于点C ，则点C 为AB 的中点，12AC AB =，所以2211cos ,4822AO AB AO AB AO AB AB AC AB ⋅=⋅===⨯= ，故答案为：8.12．[]4,8【分析】由数量积的定义求解【详解】过点P 作AB 的垂线，交AB 于点H 可得||||DP BA DH BA ⋅=⋅当P 在C 点时，DP BA ⋅ 取最小值4，当P 在A 点时，DP BA ⋅取最大值8故答案为：[4,8]13．A【分析】将,DB CD 分别用,BA BC表示，再根据数量积的运算律即可得出答案.【详解】解：,DB DA AB BC BA CD BA =+=--=，则()22221322DB CD BC BA BA BC BA BA a a a ⋅=--⋅=-⋅-=--=- .故选：A.14．C【分析】由题干条件平方得到()0a b λ⋅= ，从而得到0a b ⋅= ，得到a 与b 的夹角.【详解】由()0a b a b λλλ+=-≠，两边平方可得：22222222a a b b a a b b λλλλ+⋅+=-⋅+ ，因为向量a ，b为单位向量，所以221221a b a b λλλλ+⋅+=-⋅+，即()0a b λ⋅= .因为0λ≠，所以0a b ⋅= ，即a 与b 的夹角为π2.故选：C 15．C【分析】首先由数量积的定义求出ab ，再由余弦定理及基本不等式求出c 的最小值；【详解】解：∵92CB CA ⋅= ，∴9cos 2a b C ⋅⋅=，∴15ab =，由余弦定理得22232cos 222110c a b ab C ab ab =+-⋅≥-⨯=，当且仅当a b =时取等号，∵0c >，∴c ≥c ，故选：C ．16．C【分析】根据,,C P D 三点共线求出14m =，然后把,AB AC 当基底表示出,AP CD ，从而求出AP CD ⋅的值【详解】 2AD DB =，32AB AD∴= ∴1324AP m AC AB m AC AD=+=+ ,,C P D 三点共线，31144m m ∴+=⇒=1142AP AC AB ∴=+，又23CD AD AC AB AC=-=- 112()()423AP CD AC AB AB AC ∴=+- 22111343AB AC AB AC =--22111πcos 3433AB AC AB AC =--1111169433432=⨯-⨯-⨯⨯⨯1312=故选：C 17．A【分析】根据0a b ⋅= ，设(1,0)a = ，(0,)b t = ，根据()()0a b a b +⋅-= 求出21t =，再根据平面向量的夹角公式计算可得解.【详解】因为0a b ⋅=，所以可设(1,0)a = ，(0,)b t = ，则(1,)a b t += ，(1,)a b t -=- ，因为()()0a b a b +⋅-= ，所以210t -=，即21t =.则()cos ,||||b a b b a b b a b ⋅-<->=⋅-2=2=-，故选：A.18．B【分析】利用向量垂直，向量数量积的定义及运算法则可得1cos ,2a b = ，即得.【详解】因为1a b ==r r ，()2a a b ⊥-，所以()22222cos ,12cos ,0a a b a a b a a b a b a b ⋅-=-⋅=-⋅⋅=-=，所以1cos ,2a b = ，又,0,180a b ⎡⎤∈⎣⎦ ，所以向量a ，b的夹角为60°.故选：B ．19．2π##90 【分析】由|22a b a b +=- |两边平方化简分析即可【详解】由22a b a b +=- ，平方得到22224444a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，即0a b ⋅=，所以a ，b 夹角为2π故答案为：2π.20【分析】先由225a b -= 求得0a b ⋅=，再求得22a b +r r 即可求解.【详解】由2a b -= 222244545a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅= ，则0a b ⋅=，又2222445a b a a b b +=+⋅+= ，则2a b +21【分析】根据题意得34AP m AC AD =+ ，求出14m =，所以1142AP AC AB =+ ，即AP = .【详解】因为23AD AB = ，所以32AB AD = ，又12AP mAC AB =+ ，即1324AP m AC AB m AC AD =+=+，因为点P 在线段CD 上，所以P ，C ，D 三点共线，由平面向量三点共线定理得，314m +=，即14m =，所以1142AP AC AB =+，又ABC 是边长为4的等边三角形，所以222211111cos 60421644AP AC AB AC AC AB AB⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭1111164416716424=⨯+⨯⨯⨯+⨯=，故AP = ..22．B【分析】将234PC PA PB =+uu u r uu r uu r 两边平方得可得4916+24cos 2C =+，从而解出1cos 4C =±，然后由条件可得3455PC AC BC =+uu u r uuu r uu u r ，判断出C 与外心P 在AB 的异侧，从而得出答案.【详解】因为P 是ABC 的外心，所以||||||PA PB PC ==uu r uu r uu u r，由题知234PC PA PB =+uu u r uu r uu r，两边平方得222491624PC PA PB PA PB =++⋅uu u r uu r uu r uu r uu r 即222491624cos 2PC PA PB PA PB C +⋅=+uu u r uu r uu r uu r uu r,即4916+24cos 2C =+，所以221cos 22cos 124C C -==-，则1cos 4C =±，又由23433PC PA PB PC CA =+=++uu u r uu r uu r uu u r uu r44PC CB +uu u r uu r ，得3455PC AC BC =+uu u r uuu r uu u r ，因为34155+>，则C 与外心P 在AB 的异侧，即C 在劣弧上，所以C 为钝角，即1cos 4C =-.故选：B 23．C【分析】根据向量的减法运算及共线向量计算，可得出1144CE AB AC →→→=-即可求解.【详解】设62AE AD AB AC λλλ→→→→==+,则16262CE AE AC AD AC AB AC AC AB AC λλλλλ→→→→→→→→→→⎛⎫=-=-=+-=+-⎪⎝⎭,CB AB AC→→→=-，且CE →，CB →共线，则CE kCB = ，162AB AC λλ→→⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()k AB AC →→-所以612k k λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩所以162λλ=-，解得32λ=，此时1144CE AB AC →→→=-，所以14CE CB →→=，故14CE CB =.故选：C 24．23【分析】先用,AC AB 表示向量AD，再利用向量数量积运算求解.【详解】解：因为1,3,90,2AB AC A CD DB ==∠=︒=，所以()22=+=++==- AD AC CD AC AC CD DB AB AD ，即1233AD AC AB =+ ，所以21212233333⎛⎫⋅=+⋅=⋅+= ⎪⎝⎭AD AB AC AB AB AC AB AB ，故答案为：2325．13-【分析】由平面向量基本定理得到13λ=，23μ=，从而求出答案.【详解】由已知2BD D C =，得()2233BD BC AC AB ==- ，所以()212333A A C AB D AB BD AB A A BC -+===++ ，因为(),AD AB AC λμλμ=+∈R uuu r uu u r uuu r ，所以13λ=，23μ=，所以121333λμ-=-=-．故答案为：13-26．(1)15k =(2)0k =或1k =【分析】（1）先求出()()3,512a+2b =,c a =k +,-，再利用向量平行的坐标表示列方程即可求解；（2）先求出(1,2),(2,1)c a k c b k -=+-=- ，再利用向量垂直的坐标表示列方程即可求解；(1)因为(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-==，所以()()3,512a+2b =,c a =k +,- .因为(2)//()a b c a +-，所以()32510k ⨯-⨯+=，解得：15k =.(2)因为(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-== ，所以(1,2),(2,1)c a k c b k -=+-=-.因为()()c a c b -⊥-，则(1)(2)20k k +⋅-+=，解得：0k =或1k =.27．(1)5；(2)35【分析】（1）利用垂直的坐标表示求出m ，再利用向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示计算作答.。
2.4.2平面向量数量积的坐标表示黑底 -
2 2 y j x1 x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 1 2 2
x1 x2 y1 y2
a b x1 x2 y1 y2
例1 已知 a 5, b 4, a 与b 的夹角
=120 ，求a b.
解： a b= a b cos 5 4 cos120 10.
例2 a 3, 4 , b 5, 2 , 求a b.
解： a b -3 5 4 2 -7
问题二
已知一个向量的坐标, 能否利用坐标求出该向量的模 ? 2 2 2 1 若 a x , y , 则 a a a x y ,
AB =
x2 x1 + y2 y1 ，
2 2
即两点间的距离公式.Fra bibliotekx2 y2
2
2
.
例4 a 1,1 , b 3,3 , 求a 与 b的夹角 .
解： cos a b a b 1 （-3） +1 3 1 +1 （-3）+3
2 2 2 2
=0，
又因为0 180 ，所以 =90 .
小结
1. 设a x1 , y1 , b x2 , y2 , a与b的夹角为，则
① a b x1 x2 y1 y2
② a⊥b a b=0 x1x2 y1 y2 0
③a
④ cos
x
2 1
y
2 1
a b a b
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x2 2 y2 2
高三数学一轮复习平面向量数量积坐标运算试卷(有详细答案)
高三数学一轮复习平面向量数量积坐标运算试卷一、选择题1、（2007•辽宁）若向量a与b不共线，a•b≠0，且，则向量a与c的夹角为（D）A、0B、C、D、考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
分析：求两个向量的夹角有它本身的公式，条件中表现形式有点繁琐，我们可以试着先求一下要求夹角的向量的数量积，求数量积的过程有点出乎意料，一下就求出结果，数量积为零，两向量垂直，不用再做就得到结果，有些题目同学们看着不敢动手做，实际上，我们试一下，它表现得很有规律．解答：解：∵==0∴向量a与c垂直，故选D．点评：用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，本题使用两个不共线的向量来表示第三个向量，这样解题时运算有点麻烦，但是我们应该会的．2、（2007•上海）在直角坐标系xOy中，分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，，，则k的可能值有（）A、1个B、2个C、3个D、4个考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
分析：根据给的两个向量写出第三条边所对应的向量，分别检验三个角是直角时根据判断向量垂直的充要条件，若数量积为零，能做出对应的值则是，否则不是．解答：解：∵（1）若A为直角，则；（2）若B为直角，则；（3）若C为直角，则．∴k的可能值个数是2，故选B点评：能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；会解两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题．3、已知△ABC中，，则△ABC的面积为（C）A、2B、C、D、考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角。
专题：计算题。
分析：由=（cos23°，sin23°），=（2cos68°，2sin68°），知和x轴成23°角，和x轴68°角，由此能求出和，再由正弦定理能求出ABC的面积．解答：解：∵=（cos23°，sin23°），=（2cos68°，2sin68°），∴和x轴成23°角，和x轴68°角，，=2，∴△ABC的面积S==．故选C．点评：本题考查平面向量的坐标表示，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意诱导公式、正弦定理的灵活运用．4、已知点A（3，0），B（﹣，1），C（cosa，sina），O（0，0），若||=，a∈（0，π），则与的夹角为（D）A、B、C、D、考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；向量的模；三角函数的恒等变换及化简求值。
平面向量的数量积(经典导学案及练习答案详解)
§5.3 平面向量的数量积学习目标1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理 1．向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角． 2．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积，记作a ·b .3．平面向量数量积的几何意义设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 与b 是方向相同的单位向量，AB →＝a ，CD →＝b ，过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1—→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1—→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．记为|a |cos θ e . 4．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积 a·b ＝|a ||b |cos θ a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2模 |a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21夹角 cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 a ∥b 的充要条件 a ＝λb (λ∈R ) x 1y 2－x 2y 1＝0|a ·b |与|a ||b |的关系 |a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)|x 1x 2＋y 1y 2|≤(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (2)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a ，b .(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0；若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0. (2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b <0；若a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角或π. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (2)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角．( × )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( √ ) (4)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) 教材改编题1．(多选)(2022·海南省临高二中模拟)设a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是( ) A ．0·a ＝0B ．a ·b ＝b ·c ，则a ＝cC ．a ·b ＝0⇒a ⊥bD ．(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2 答案 CD2．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 33．已知向量a ，b 满足3|a |＝2|b |＝6，且(a －2b )⊥(2a ＋b )，则a ，b 夹角的余弦值为________．答案 －59解析 设a ，b 的夹角为θ， 依题意，(a －2b )·(2a ＋b )＝0， 则2a 2－3a ·b －2b 2＝0，故2×4－3×2×3·cos θ－2×32＝0， 则cos θ＝－59.题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2021·北京)a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)，则(a ＋b )·c ＝_________；a ·b ＝________. 答案 0 3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)， ∴a ＋b ＝(4,0)，∴(a ＋b )·c ＝4×0＋0×1＝0， a ·b ＝2×2＋1×(－1)＝3.(2)(2022·广州模拟)在平面四边形ABCD 中，已知AB →＝DC →，P 为CD 上一点，CP →＝3PD →，|AB →| ＝4，|AD →|＝3，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝23，则AP →·PB →＝________.答案 －2 解析 如图所示，∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∵CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝14AB →＋AD →，PB →＝AB →－AP →＝34AB →－AD →，又∵|AB →|＝4，|AD →|＝3， cos θ＝23，则AB →·AD →＝4×3×23＝8，∴AP →·PB →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →·⎝⎛⎭⎫34AB →－AD → ＝12AB →·AD →－AD →2＋316AB →2 ＝12×8－9＋316×42＝－2. 教师备选1．(2019·全国Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 答案 C解析 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)， 所以|BC →|＝12＋(t －3)2＝1， 解得t ＝3， 所以BC →＝(1,0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.2．在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点．①若BD →＝xBA →＋yBC →，则x ＋y ＝________；②BD →·BM →＝________. 答案 341解析 ①∵M 是BC 的中点， ∴BM →＝12BC →，∵D 是AM 的中点，∴BD →＝12BA →＋12BM →＝12BA →＋14BC →，∴x ＝12，y ＝14，∴x ＋y ＝34.②∵△ABC 是边长为2的正三角形，M 是BC 的中点， ∴AM ⊥BC ，且BM ＝1，∴BD →·BM →＝|BD →||BM →|cos ∠DBM ＝|BM →|2＝1. 思维升华 计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝________. 答案 －92解析 由已知可得(a ＋b ＋c )2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝9＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0， 因此a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－92.(2)(2020·北京)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________. 答案5 －1解析 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．∴点P 的坐标为(2,1)，点D 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(2,0)， ∴|PD →|＝5，PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)， ∴PB →·PD →＝－1.题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 向量的模例2 已知向量a ，b 满足|a |＝6，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |＝____________，|a －3b |＝________. 答案 219 6 3解析 因为|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°， 所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝6×4×12＝12，(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝36＋24＋16＝76， (a －3b )2＝a 2－6a·b ＋9b 2＝36－72＋144 ＝108，所以|a ＋b |＝219，|a －3b |＝6 3. 命题点2 向量的夹角例3 (2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( ) A ．－3135 B ．－1935 C.1735 D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. 命题点3 向量的垂直例4 (2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(3,4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________. 答案 35解析 方法一 a －λb ＝(1－3λ，3－4λ)， ∵(a －λb )⊥b ，∴(a －λb )·b ＝0， 即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0， ∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝35.方法二 由(a －λb )⊥b 可知，(a －λb )·b ＝0，即a ·b －λb 2＝0， 从而λ＝a ·b b 2＝(1，3)·(3，4)32＋42＝1525＝35.教师备选1．已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 B解析 设a 与b 的夹角为α， ∵(a －b )⊥b ， ∴(a －b )·b ＝0， ∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |， ∴cos α＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3.2．已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝3，则|e1－e2|＝________.答案 1解析由|e1＋e2|＝3，两边平方，得e21＋2e1·e2＋e22＝3.又e1，e2是单位向量，所以2e1·e2＝1，所以|e1－e2|2＝e21－2e1·e2＋e22＝1，所以|e1－e2|＝1.思维升华(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解．(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b|a||b|，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．跟踪训练2(1)已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝7a＋2b，则sin〈a，c〉等于()A.73 B.23 C.79 D.29答案 B解析方法一设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则c＝(7，2)，∴cos〈a，c〉＝a·c|a||c|＝73，∴sin〈a，c〉＝2 3.方法二a·c＝a·(7a＋2b)＝7a2＋2a·b＝7，|c|＝(7a＋2b)2＝7a2＋2b2＋214a·b＝7＋2＝3，∴cos〈a，c〉＝a·c|a||c|＝71×3＝73，∴sin〈a，c〉＝2 3.(2)(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1,0)，则( ) A ．|OP 1—→|＝|OP 2—→| B ．|AP 1—→|＝|AP 2—→| C.OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→ D.OA →·OP 1—→＝OP 2—→·OP 3—→ 答案 AC解析 由题意可知， |OP 1—→|＝cos 2α＋sin 2α＝1， |OP 2—→|＝cos 2β＋(－sin β)2＝1， 所以|OP 1—→|＝|OP 2—→|，故A 正确； 取α＝π4，则P 1⎝⎛⎭⎫22，22，取β＝5π4，则P 2⎝⎛⎭⎫－22，22， 则|AP 1—→|≠|AP 2—→|，故B 错误； 因为OA →·OP 3—→＝cos(α＋β)，OP 1—→·OP 2—→＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)， 所以OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→，故C 正确； 因为OA →·OP 1—→＝cos α，OP 2—→·OP 3—→＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β) ＝cos(α＋2β)， 取α＝π4，β＝π4，则OA —→·OP 1—→＝22，OP 2—→·OP 3—→＝cos 3π4＝－22，所以OA →·OP 1—→≠OP 2—→·OP 3—→，故D 错误． 题型三 平面向量的实际应用例5 (多选)(2022·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示)．假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，且F 1与F 2的夹角为θ，则以下结论正确的是( )A ．|F 1|的最小值为12|G |B ．θ的范围为[0，π]C ．当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |D ．当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |答案 ACD解析 由题意知，F 1＋F 2＋G ＝0， 可得F 1＋F 2＝－G ，两边同时平方得 |G |2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos θ ＝2|F 1|2＋2|F 1|2cos θ， 所以|F 1|2＝|G |22(1＋cos θ).当θ＝0时，|F 1|min ＝12|G |；当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |；当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |，故A ，C ，D 正确；当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B 错误． 教师备选若平面上的三个力F 1，F 2，F 3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F 1|＝1 N ，|F 2|＝6＋22N ，F 1与F 2的夹角为45°，求： (1)F 3的大小；(2)F 3与F 1夹角的大小． 解 (1)∵三个力平衡， ∴F 1＋F 2＋F 3＝0，∴|F 3|＝|F 1＋F 2|＝|F 1|2＋2F 1·F 2＋|F 2|2 ＝12＋2×1×6＋22cos 45°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222＝4＋23＝1＋ 3.(2)方法一 设F 3与F 1的夹角为θ，则|F 2|＝|F 1|2＋|F 3|2＋2|F 1||F 3|cos θ， 即6＋22＝12＋(1＋3)2＋2×1×(1＋3)cos θ， 解得cos θ＝－32， ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝5π6.方法二 设F 3与F 1的夹角为θ， 由余弦定理得cos(π－θ)＝12＋(1＋3)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2222×1×(1＋3)＝32，∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6.思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3 (2022·沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν1|＝10 km/h ，水流速度的大小为|ν2|＝6 km/h.设ν1与ν2的夹角为120°，北岸的点A ′在码头A 的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应( )A ．在A ′东侧B ．在A ′西侧C ．恰好与A ′重合D ．无法确定答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得ν1＝(－5，53)，ν2＝(6,0)， 所以ν1＋ν2＝(1,53)，说明游船有x 轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A ′东侧．极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则有恒等式a ·b ＝14[](a ＋b )2－(a －b )2.如图所示．(1)在平行四边形ABDC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，则a·b ＝14(|AD →|2－|BC →|2)．(2)在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，AM 为中线，则a·b ＝|AM →|2－14|BC →|2.例1 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案 －16解析 如图所示，由极化恒等式，易得AB →·AC →＝AM →2－MB →2＝32－52＝－16.例2 已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则P A →·PB →的最小值是________． 答案 1解析 如图所示，由极化恒等式易知，当OP 垂直于直线x －y ＋2＝0时，P A →·PB →有最小值，即P A →·PB →＝PO →2－OB →2＝(2)2－12＝1.例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A ．1 B ．2 C. 2 D.22答案 C解析 如图所示，设OA →⊥OB →，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， M 为AB 的中点， 由极化恒等式有 (a －c )·(b －c )＝CA →·CB →＝|CM →|2－|AB →|24＝0，∴|CM →|2＝|AB →|24＝12，可知MC →是有固定起点，固定模长的动向量．点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，且点O 也在此圆上， 所以|c |的最大值为圆的直径长，即为 2.课时精练1．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A ．a ＋2b B ．2a ＋b C ．a －2b D ．2a －b 答案 D解析 由题意得|a |＝|b |＝1， 设a ，b 的夹角为θ＝60°， 故a ·b ＝|a ||b |cos θ＝12.对A 项，(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2b 2 ＝12＋2＝52≠0； 对B 项，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2 ＝2×12＋1＝2≠0；对C 项，(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2 ＝12－2＝－32≠0； 对D 项，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2×12－1＝0.2．(2022·石家庄模拟)已知向量a ＝(2，－2)，b ＝(2,1)，b ∥c ，a ·c ＝4，则|c |等于( ) A ．2 5 B ．4 C ．5 2 D ．4 2答案 A解析 因为b ∥c ，所以c ＝λb ＝(2λ，λ)(λ∈R )， 又a ·c ＝4λ－2λ＝2λ＝4，所以λ＝2，c ＝(4,2)，|c |＝42＋22＝2 5.3．(2022·沈阳模拟)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则a －b 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 D解析 |a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，等号左右同时平方，得|a ＋b |2＝|a －b |2＝4|a |2，即|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝4|a |2， 所以a ·b ＝0且|b |2＝3|a |2，所以|a －b |＝|a －b |2 ＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝233|b |，所以cos 〈a －b ，b 〉＝(a －b )·b|a －b ||b |＝－|b |2233|b |·|b |＝－32，因为〈a －b ，b 〉∈[0，π]，所以〈a －b ，b 〉＝5π6.4．已知a ＝(－2,1)，b ＝(k ，－3)，c ＝(1,2)，若(a －2b )⊥c ，则与b 共线的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫255，－55或⎝⎛⎭⎫－255，55 B.⎝⎛⎭⎫－255，－55或⎝⎛⎭⎫255，55 C.⎝⎛⎭⎫255，55 D.⎝⎛⎭⎫－255，55 答案 A解析 由题意得a －2b ＝(－2－2k ,7)， ∵(a －2b )⊥c ， ∴(a －2b )·c ＝0，即(－2－2k ,7)·(1,2)＝0，－2－2k ＋14＝0， 解得k ＝6， ∴b ＝(6，－3)， ∴e ＝±b 62＋(－3)2＝±⎝⎛⎭⎫255，－55. 5．(多选)(2022·盐城模拟)下列关于向量a ，b ，c 的运算，一定成立的有( ) A ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c B ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ) C ．a ·b ≤|a |·|b | D ．|a －b |≤|a |＋|b | 答案 ACD解析 根据数量积的分配律可知A 正确；选项B 中，左边为c 的共线向量，右边为a 的共线向量，故B 不正确； 根据数量积的定义，可知a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉≤|a |·|b |，故C 正确；|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos 〈a ，b 〉≤|a |2＋|b |2＋2|a ||b |＝(|a |＋|b |)2， 故|a －b |≤|a |＋|b |，故D 正确．6．(多选)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(m －2，－n )，其中m ，n 均为正数，且(a －b )∥c ，则下列说法正确的是( ) A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b 上的投影向量为22b C ．2m ＋n ＝4 D ．mn 的最大值为2 答案 CD解析 对于A ，向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)， 则a·b ＝2－1＝1>0， 又a ，b 不共线，所以a ，b 的夹角为锐角，故A 错误； 对于B ，向量a 在b 上的投影向量为 a·b |b |·b |b |＝12b ，B 错误； 对于C ，a －b ＝(1,2)，若(a －b )∥c ，则－n ＝2(m －2)，变形可得2m ＋n ＝4，C 正确； 对于D ，由2m ＋n ＝4，且m ，n 均为正数，得mn ＝12(2m ·n )≤12⎝⎛⎭⎫2m ＋n 22＝2，当且仅当m ＝1，n ＝2时，等号成立，即mn 的最大值为2，D 正确．7．(2021·全国甲卷)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,0)，c ＝a ＋k b .若a ⊥c ，则k ＝________. 答案 －103解析 c ＝(3,1)＋(k ,0)＝(3＋k ,1)，a ·c ＝3(3＋k )＋1×1＝10＋3k ＝0，得k ＝－103.8．(2020·全国Ⅰ)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析 将|a ＋b |＝1两边平方，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝1. ∵a 2＝b 2＝1，∴1＋2a ·b ＋1＝1，即2a ·b ＝－1. ∴|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝1－(－1)＋1＝ 3.9．(2022·长沙模拟)在△ABC 中，BC 的中点为D ，设向量AB →＝a ，AC →＝b . (1)用a ，b 表示向量AD →；(2)若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，求AB →·AD →的值． 解 (1)AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ， 所以AD →＝12a ＋12b .(2)AB →·AD →＝a ·⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＝12a 2＋12a·b ＝12×32＋12×3×2×cos 60°＝6， 所以AB →·AD →＝6.10．(2022·湛江模拟)已知向量m ＝(3sin x ，cos x －1)，n ＝(cos x ，cos x ＋1)，若f (x )＝m·n . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在Rt △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若∠A ＝90°，f (C )＝0，c ＝3，CD 为∠BCA 的角平分线，E 为CD 的中点，求BE 的长． 解 (1)f (x )＝m·n ＝3sin x ·cos x ＋cos 2x －1 ＝32sin 2x ＋12cos 2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－12. 令2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， 则x ∈⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)f (C )＝sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6－12＝0， sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＝12，又C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以C ＝π3.在△ACD 中，CD ＝233，在△BCE 中， BE ＝22＋⎝⎛⎭⎫332－2×2×33×32＝213.11．(2022·黄冈质检)圆内接四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，BD 是圆的直径，则AC →·BD →等于( ) A ．12 B ．－12 C ．20 D ．－20答案 B解析 如图所示，由题知∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AD ＝2，CD ＝4，∴AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·BD → ＝AD →·BD →＋DC →·BD →＝|AD →||BD →|cos ∠BDA －|DC →||BD →|cos ∠BDC ＝|AD →|2－|DC →|2＝4－16＝－12.12．在△ABC 中，已知⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形 答案 A解析 AB →|AB →|，AC →|AC →|分别为与AB →，AC →方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量AB →|AB →|＋AC →|AC →|所在的直线为∠BAC 的平分线． 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ， 所以AB ＝AC .又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos ∠BAC＝12， 所以cos ∠BAC ＝12，∠BAC ＝60°.所以△ABC 为等边三角形．13.(2022·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1，F 2，且F 1，F 2与水平夹角均为45°，|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ，则物体的重力大小为________ N.答案 20解析 如图所示，∵|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ， ∴|F 1＋F 2|＝102×2＝20 N ， ∴物体的重力大小为20 N.14．(2021·天津)在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE ⊥AB 且交AB 于点E ，DF ∥AB 且交AC 于点F ，则|2BE →＋DF →|的值为________；(DE →＋DF →)·DA →的最小值为________． 答案 11120解析 设BE ＝x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12， ∵△ABC 为边长为1的等边三角形，DE ⊥AB ， ∴∠BDE ＝30°，BD ＝2x ，DE ＝3x ， DC ＝1－2x ，∵DF ∥AB ，∴△DFC 为边长为1－2x 的等边三角形，DE ⊥DF ，∴(2BE →＋DF →)2＝4BE →2＋4BE →·DF →＋DF →2＝4x 2＋4x (1－2x )×cos 0°＋(1－2x )2＝1，∴|2BE →＋DF →|＝1，∵(DE →＋DF →)·DA →＝(DE →＋DF →)·(DE →＋EA →)＝DE →2＋DF →·EA →＝(3x )2＋(1－2x )×(1－x )＝5x 2－3x ＋1＝5⎝⎛⎭⎫x －3102＋1120， ∴当x ＝310时，(DE →＋DF →)·DA →的最小值为1120.15．(多选)定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论，正确的是( ) A ．a ⊗b ＝b ⊗aB ．λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )C ．(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗cD ．若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1 答案 AD解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a ·b ＝b ·a ＝b ⊗a ，故A 正确；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故B 错误；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a ·c ＋b ·c ，显然|a ＋b －c |≠a ·c ＋b ·c ，故C 错误；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a ·e |<|a |·|e |<|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故D 正确．16．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝ (cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c . 解 (1)m ·n ＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )，在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ,0<C <π， 所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以m·n ＝sin C ， 又m·n ＝sin 2C ，所以sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，故C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列， 可得2sin C ＝sin A ＋sin B ， 由正弦定理得2c ＝a ＋b . 因为CA →·(AB →－AC →)＝18， 所以CA →·CB →＝18， 即ab cos C ＝18，ab ＝36. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36， 所以c ＝6.。
2023年新高考数学大一轮复习专题22 平面向量的数量积及其应用(解析版)
专题22 平面向量的数量积及其应用【考点预测】一．平面向量的数量积a （1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量与b ，我们把数量||||cos θa b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作⋅a b ，即⋅a b =||||cos θa b ，规定：零向量与任一向量的数量积为0． （2）平面向量数量积的几何意义①向量的投影：||cos θa 叫做向量a 在b 方向上的投影数量，当θ为锐角时，它是正数；当θ为钝角时，它是负数；当θ为直角时，它是0．②⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上射影||cos θb 的乘积． 二．数量积的运算律已知向量a 、b 、c 和实数λ，则： ①⋅=⋅a b b a ；②()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ； ③()+⋅⋅+⋅a b c =a c b c ． 三．数量积的性质设a 、b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 ①||cos θ⋅=⋅=e a a e a ．②0⊥⇔⋅=a b a b ．③当a 与b 同向时，||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，||||⋅=-a b a b ．特别地，2||⋅=a a a 或||=a ． ④cos ||||θ⋅=a ba b (||||0)≠a b ．⑤||||||⋅a b a b ≤． 四．数量积的坐标运算已知非零向量11()x y =，a ，22()x y =，b ，θ为向量a 、b 的夹角．（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且||||||a b a b ⋅≤.（2）当0a ≠时，由0a b ⋅=不能推出b 一定是零向量，这是因为任一与a 垂直的非零向量b 都有0a b ⋅=. 当0a ≠时，且a b a c ⋅=⋅时，也不能推出一定有b c =，当b 是与a 垂直的非零向量，c 是另一与a 垂直的非零向量时，有0a b a c ⋅=⋅=，但b c ≠.（3）数量积不满足结合律，即a b c b c a ⋅≠⋅()()，这是因为a b c ⋅()是一个与c 共线的向量，而b c a ⋅()是一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以a b c ⋅()不一定等于b c a ⋅()，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当0a b ⋅>且(0)a b λλ≠>（或0a b ⋅<，且(0))a b λλ≠< 【方法技巧与总结】(1)b 在a 上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．(2)数量积的运算要注意0a =时，0a b ⋅=，但0a b ⋅=时不能得到0a =或0b =，因为a ⊥b 时，也有0a b ⋅=． (3)根据平面向量数量积的性质：||a a a =⋅，cos ||||a ba b θ⋅=，0a b a b ⊥⇔⋅=等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．(4)若a 、b 、c 是实数，则ab ac b c =⇒=(0a ≠)；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量a 、b 、c 满足a b a c ⋅=⋅（0a ≠），则不一定有=b c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量． (5)数量积运算不适合结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅，这是由于()a b c ⋅⋅表示一个与c 共线的向量，()a b c ⋅⋅表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此()a b c ⋅⋅与()a b c ⋅⋅不一定相等．【题型归纳目录】题型一：平面向量的数量积运算 题型二：平面向量的夹角 题型三：平面向量的模长题型四：平面向量的投影、投影向量 题型五：平面向量的垂直问题 题型六：建立坐标系解决向量问题 【典例例题】题型一：平面向量的数量积运算例1．（2022·全国·模拟预测（理））在ABC 中，π3ABC ∠=，O 为ABC 的外心，2BA BO ⋅=，4BC BO ⋅=，则BA BC ⋅=（ ）A ．2B ．C ．4D ．【答案】B 【解析】 【分析】设,AB BC 的中点为D,E ，将2BA BO ⋅=，变为2BD BO ⋅，根据数量积的几何意义可得||1BD =，同理求得||BC ，根据数量积的定义即可求得答案. 【详解】如图，设,AB BC 的中点为D,E ，连接OD,OE ,则,OD AB OE BC ⊥⊥ ,故2BA BO ⋅=，即22||||cos 2BD BO BD BO OBD ⋅=⋅∠= , 即2||1,||1BD BD ==，故||2BA =,4BC BO ⋅=，即22||||cos 4BE BO BE BO OBE ⋅=⋅∠= ,即2||2,||2BE BE ==，故||22BC =故1||||cos 22BA BC BA BC BAC ⋅=⋅∠=⨯=故选：B例2．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH =，点M 在线段AH 上，满足()82+⋅=MB MC AH MB MC ⋅=（ ） A ．4- B ．2- C ．2 D ．4【答案】A 【解析】 【分析】由()82+⋅=MB MC AH 2MH =，由AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH =，可得28HC HB AH ⋅==，然后对()()MB MC MH HB MH HC ⋅=+⋅+化简可求得结果因为AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH = 所以0,0AH HB AH HC ⋅=⋅=,28HC HB AH ⋅==, 因为()82+⋅=MB MC AH所以()82MH MH A HB HC H +⋅=++ 所以282MH AH HB AH HC AH ⋅+⋅+⋅= 所以42MH AH ⋅=， 所以42MH AH ⋅= 所以2MH =，所以()()MB MC MH HB MH HC ⋅=+⋅+ 2MH MH HC HB MH HC HB =+⋅+⋅+⋅2cos MH HC HB π=+⋅ 228(1)4=+⨯-=-,故选：A例3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ， 又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ，故选：C.例4．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））如图，正六边形ABCDEF 中，2AB =，点P 是正六边形ABCDEF 的中心，则AP AB ⋅=______．【答案】2 【解析】 【分析】找到向量的模长和夹角，带入向量的数量积公式即可. 【详解】在正六边形中，点P 是正六边形ABCDEF 的中心，60PAB ︒=∴∠，且2AP AB ==, 1cos602222AP AB AP AB ︒∴⋅=⋅⋅=⨯⨯=. 故答案为：2.例5．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））已知向量,,a b c 满足0,||1,||3,||4a b c a b c ++====，则a b ⋅=_________．【答案】3 【解析】 【分析】由0a b c ++=，得a b c +=-，两边平方化简可得答案 【详解】由0a b c ++=，得a b c +=-， 两边平方，得2222a a b b c +⋅+=， 因为134a b c ===，，， 所以12916a b +⋅+=，得·3a b =. 故答案为：3.例6．（2022·陕西·模拟预测（理））已知向量()1,a x =，()0,1b =，若25a b +=，则⋅=a b __________ 【答案】0或4-##4-或0. 【解析】 【分析】由向量模长坐标运算可求得x ，由向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】()21,2a b x +=+，(21a b x ∴+=+0x =或4x =-；当0x =时，()1,0a =，0a b ∴⋅=；当4x =-时，()1,4a =-，044a b ∴⋅=-=-； 0a b ∴⋅=或4-.故答案为：0或4-.例7．（2022·上海徐汇·二模）在ABC 中，已知1AB =，2AC =，120A ∠=︒，若点P 是ABC 所在平面上一点，且满足AP AB AC λ=+，1BP CP ⋅=-，则实数λ的值为______________． 【答案】1或14【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，分别把BP CP ，用AB AC ，表示出来，再用1BP CP ⋅=-建立方程，解出λ的值. 【详解】由AP AB AC λ=+，得AP AB AC λ-=，即BP AC λ=， (1)CP AP AC AB AC λ=-=+-，在ABC 中，已知1AB =，2AC =，120A ∠=︒， 所以2((1))(1))BP CP AC AB AC AC AB AC λλλλλ⋅=⋅+-=⋅+-22cos1204(1)451λλλλλ=+-=-=-， 即24510λλ-+=，解得1λ=或14λ= 所以实数λ的值为1或14. 故答案为：1或14. 例8．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知在平行四边形ABCD 中，11,,2,622DE EC BF FC AE AF ====，则AC DB ⋅值为__________． 【答案】94【解析】 【分析】由向量加法的几何意义及数量积运算律有22D AC DB C CB ⋅=-，再由1313AE BC DC AF DC BC⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩结合数量积运算律，即可得结果. 【详解】由题设可得如下图：,AC AD DC DB DC CB =+=+，而AD CB =-，所以22D AC DB C CB ⋅=-， 又11,,2,622DE EC BF FC AE AF ====， 所以1313AE AD DE BC DC AF AB BF DC BC ⎧=+=+⎪⎪⎨⎪=+=+⎪⎩，则22222143921639BC BC DC DC DC BC DC BC ⎧+⋅+=⎪⎪⎨⎪+⋅+=⎪⎩，故228()29DC BC -=，可得2294DC BC -=，即94AC DB =⋅. 故答案为：94例9．（2022·福建省福州第一中学三模）过点M 的直线与22:(3)16C x y -+=交于A ，B 两点，当M 为线段AB中点时，CA CB ⋅=___________. 【答案】-8 【解析】 【分析】由题意可得M 在C 内，又由M 为线段AB 中点AB CM ⊥，由两点间距离公式得2CM =＝12AC ,进而求得120ACB ∠=︒，再由向量的数量积公式计算即可得答案. 【详解】解：因为点M 在22:(3)16Cx y -+=内， 所以当M 为线段AB 中点时，AB CM ⊥，又因为C 的半径为4,2CM =＝12AC ,所以60ACM ∠=°， 所以120ACB ∠=︒，所以，CA CB ⋅=||||cos120CA CB ︒＝144()82⨯⨯-=-.故答案为：-8.例10．（2022·全国·模拟预测（理））已知向量a 与b 不共线，且()2a a b ⋅+=，1a =，若()()22a b a b -⊥+，则()b a b ⋅-=___________. 【答案】3- 【解析】 【分析】由()2a a b ⋅+=得1a b ⋅=，由()()22a b a b -⊥+得2b =，即可求解结果． 【详解】由()212a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅=得1a b ⋅=由()()22a b a b -⊥+得()()222240a b a b a b -⋅+=-=，所以2b = 则()2143b a b b a b ⋅-=⋅-=-=- 故答案为：3-例11．（2022·全国·高三专题练习（理））设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________． 【答案】11 【解析】 【分析】设a 与b 的夹角为θ，依题意可得1cos 3θ=，再根据数量积的定义求出a b ⋅，最后根据数量积的运算律计算可得． 【详解】解：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=．故答案为：11．例12．（2022·江苏·徐州市第七中学模拟预测）如图是第24届国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH 组成的．若E 为线段BF 的中点，则AF BC ⋅=______．【答案】4 【解析】 【分析】利用数量积的几何意义求解. 【详解】 解：如图所示：设CF x =，由题可得2BF x =， 所以()2225x x +=， 解得1x =．过F 作BC 的垂线，垂足设为Q ， 故24AF BC BQ BC BF ⋅=⋅==， 故答案为：4． 【方法技巧与总结】（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路． （2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量a 在向量b 方向上的投影为||a bb ⋅． （4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）同：222()2a b a ab b ±=±+；a b ±()a b c ab ac +=+公式都可通用 异：整式：a b a b ⋅=±，a 仅仅表示数；向量：cos a b a b θ⋅=±（θ为a 与b 的夹角） 22222cos ma nb m a mn a b n b θ±=±+，使用范围广泛，通常是求模或者夹角．ma nb ma nb ma nb -≤±≤+，通常是求ma nb ±最值的时候用． 题型二：平面向量的夹角例13．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知非零向量a →，b →满足a b a →→→-=，a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，则a→与b →夹角为______． 【答案】4π##45 【解析】 【分析】根据已知求出2=a a b →→→，||b a →→，即得解. 【详解】解：因为a b a →→→-=，所以22222,2a b a b a b a b →→→→→→→→+-=∴=.因为a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，所以22=0,=aa b a a b a a b →→→→→→→→→⎛⎫--=∴ ⎪⎝⎭， 所以22=2||b a b a →→→→∴，.设a →与b →夹角为θ，所以22cos =2|||||a ba ba b a θ→→→→→→→==. 因为[0,]θπ∈，所以4πθ=.例14．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知向量||1b =，向量(1,3)a =，且|2|6a b -=，则向量,a b 的夹角为___________. 【答案】2π##90 【解析】【分析】由|2|6a b -=两边平方，结合数量积的定义和性质化简可求向量,a b 的夹角 【详解】因为(1,3)a =，所以(21+a =因为|2|6a b -=，所以2222+26a ab b -=，又||1b =，所以426b -⋅+=，所以0a b ⋅=， 向量,a b 的夹角为θ,则cos 0a b θ⋅= 所以cos 0θ=，则2πθ=.故答案为：2π. 例15．（2022·湖北武汉·模拟预测）两不共线的向量a ，b ，满足3a b =，且t R ∀∈，a tb a b -≥-，则cos ,a b =（ ）A ．12 B C ．13D 【答案】C 【解析】 【分析】由a tb a b -≥-两边平方后整理得一元二次不等式，根据一元二次函数的性质可判断0∆≤，整理后可知∆只能为0，即可解得答案. 【详解】 解：由题意得：t R ∀∈，a tb a b -≥-t R ∴∀∈，2222222a t b ta b a b a b +-⋅≥+-⋅即222226cos ,6cos ,0t b t b a b b b a b --+≥ 0b ≠t R ∴∀∈，26cos ,16cos ,0t t a b a b --+≥()221Δ36cos ,46cos ,136cos ,03a b a b a b ⎛⎫∴=--=-≤ ⎪⎝⎭1cos ,03a b ∴-=，即1cos ,3a b =故选：C例16．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知向量()2,2a t =，()2,5b t =---，若向量a 与向量a b +的夹角为钝角，则t 的取值范围为（ ） A ．()3,1- B ．()()3,11,1---C ．()1,3-D ．111,,322⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】求出a b +的坐标，求得当a 与a b +共线时12t =，根据向量a 与向量a b +的夹角为钝角,列出相应的不等式，求得答案. 【详解】因为(23)a b t +=--，，又a 与a b +的夹角为钝角， 当a 与a b +共线时，162(2)0,2t t t ---==， 所以()0a a b ⋅+<且a 与a b +的不共线，即2230t t --<且12t ≠， 所以111322t ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 故选：D ．例17．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知向量()cos30,sin 210a =︒-︒，(3,1)b =-，则a 与b 夹角的余弦值为_________． 【答案】12-【解析】 【分析】化简向量a ，根据向量的模的公式，数量积公式和向量的夹角公式求解. 【详解】由()cos30,sin210a =︒-︒知31,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故31(1122a b ⋅=⨯+⨯=-，||1a =，||2b =，记a 与b 的夹角为θ，则11cos 122||||a b a b θ⋅-===-⨯⨯．故答案为：12-.例18．（2022·全国·高三专题练习）已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =（ ） A ．6- B ．5- C ．5 D ．6【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选：C例19．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知非零向量a 、b 满足0a b ⋅=，()()0a b a b +⋅-=，则向量b 与向量a b -夹角的余弦值为（ ）A ．B ．0C D 【答案】A 【解析】 【分析】根据0a b ⋅=，设(1,0)a =，(0,)b t =，根据()()0a b a b +⋅-=求出21t =，再根据平面向量的夹角公式计算可得解. 【详解】因为0a b ⋅=，所以可设(1,0)a =，(0,)b t =，则(1,)a b t +=，(1,)a b t -=-， 因为()()0a b a b +⋅-=，所以210t -=，即21t =.则()cos ,||||b a bb a b b a b ⋅-<->=⋅-2==，故选：A.例20．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）已知单位向量a ，b 满足3a b a b -=+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C【解析】 【分析】根据数量积的运算律及夹角公式计算可得； 【详解】解：因为a ，b 为单位向量，所以1a b ==， 又3a b a b -=+，所以()()223a b a b -=+，即()2222232a a b b a a b b -⋅+=+⋅+，所以()22240a a b b +⋅+=，即()22240a a b b+⋅+=，所以12a b ⋅=-， 所以1cos ,2a ba b a b ⋅==-⋅，因为[],0,a b π∈，所以2,3a b π=；故选：C例21．（2022·北京市大兴区兴华中学三模）已知a 为单位向量，向量()1,2b =，且2a b ⋅=，则,a b a -=（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π4【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件求出()a b a ⋅-和b a -，然后利用向量的夹角公式可求出结果 【详解】因为a 为单位向量，向量()1,2b =，且2a b ⋅=， 所以()2211a b a a b a ⋅-=⋅-=-=，222()252b a b a b a b a -=-=-⋅+=-=所以()1cos ,2a b a a b a a b a⋅--===-， 因为[],0,πa b a -∈， 所以π,4a b a -=， 故选：B例22．（2022·全国·模拟预测（理））已知平面向量a b +与a b -互相垂直，模长之比为2：1，若||5a =，则a 与a b +的夹角的余弦值为（ ）A B C D ．12【答案】A 【解析】 【分析】利用向量a b +与a b -互相垂直，模长之比为2：1，利用数量积求得向量,a b 的模长及数量积，然后利用平面向量夹角公式求得结果. 【详解】平面向量a b +与a b -互相垂直，模长之比为2：1，则()()0a b a b +⋅-=且||2||a b a b +=-，得22a b =，又||5a =，则||||5a b ==，将||2||a b a b +=-平方得22222484a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，解得=3a b ⋅，222|=216a b a a b b +|+⋅+=,则4a b +=，设a 与a b +的夹角为θ，则()25+3cos =54a ab aa ba a ba a bθ⋅++⋅===⨯++ 故选：A.例23．（多选题）（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知单位向量,a b 的夹角为120︒,则以下说法正确的是（ ） A ．||1a b += B ．(2)a b a +⊥C ．3cos ,2a b b 〈-〉= D ．2a b +与2a b +可以作为平面内的一组基底【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的模的公式，数量积的运算，向量的夹角公式，判断向量共线的条件逐项验证即可 【详解】据题意221,1,11cos1202a b a b ︒==⋅=⨯⨯=-因为2221()211212a b a b a b ⎛⎫+=++⋅=++⨯-= ⎪⎝⎭所以||1a b +=,所以A 对因为21(2)21202a b a a a b ⎛⎫+⋅=+⋅=+⨯-= ⎪⎝⎭,所以(2)a b a +⊥,所以B 对.因为222213()1,()2322a b b a b b a b a b a b -⋅=⋅-=--=--=++⋅=所以3()2cos ,||||31a b b a b b a b b --⋅〈-〉===-⋅⨯所以C 错因为2a b +与2a b +不共线,所以可以作为平面内的一组基底,所以D 正确 故选：ABD例24．（多选题）（2022·江苏·模拟预测）已知向量(3,2)a =-，(2,1)b =，(,1)c λ=-，R λ∈，则（ ） A ．若(2)a b c +⊥，则4λ= B ．若a tb c =+，则6t λ+=- C ．a b μ+的最小值为D ．若向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角，则λ的取值范围是(,1)-∞- 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示判断A ，利用向量坐标的表示可判断B ，利用向量的模长的坐标公式及二次函数的性质可判断C ，利用向量数量积的坐标表示及向量共线的坐标表示可判断D. 【详解】对于A ，因为2(1,4)a b +=，(,1)c λ=-，(2)a b c +⊥，所以14(1)0λ⨯+⨯-=，解得4λ=，所以A 正确. 对于B ，由a tb c =+，得(3,2)(2,1)(,1)(2,1)t t t λλ-=+-=+-，则32,21,t t λ-=+⎧⎨=-⎩解得93t λ=-⎧⎨=⎩，故6t λ+=-，所以B 正确.对于C ，因为(3,2)(2,1)(23,2)a bμμμμ+=-+=-+，所以a b μ+==则当45μ=时，a b μ+取得最小值，为，所以C 正确. 对于D ，因为(1,3)a b +=-，2(4,1)b c λ+=+，向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角， 所以()(2)1(4)310a b b c λ⋅+=-⨯+⨯++>，解得1λ<-；当向量a b +与向量2b c +共线时，113(4)0λ-⨯-⨯+=，解得133λ=-， 所以λ的取值范围是1313,,133⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 不正确.故选：ABC.例25．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知1e ，2e 是单位向量，122a e e =-，123b e e =+，若a b ⊥，则1e ，2e 的夹角的余弦值为（ ）A ．35B ．12C ．13D ．15【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可. 【详解】由题意知121e e ==，()()22121212122303250a b e e e e e e e e ⋅=-⋅+=⇒--⋅=，即1215e e ⋅=，所以121cos 5e e ⋅=. 故选：D.例26．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））非零向量,a b 满足2a b a b a +=-=，则a b -与a 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出a b ⋅，再利用向量夹角公式计算作答. 【详解】由a b a b +=-得：22()()a b a b +=-，即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，解得0a b ⋅=，因此，22()1cos ,2||||2||a b a a a b a b a a b a a -⋅-⋅〈-〉===-，而,[0,π]a b a 〈-〉∈，解得π,3a b a 〈-〉=， 所以a b -与a 的夹角为3π. 故选：B例27．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知向量a ，b 为单位向量，()0a b a b λλλ+=-≠，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．π3C ．π2D ．2π3【答案】C 【解析】 【分析】由题干条件平方得到()0a b λ⋅=，从而得到0a b ⋅=，得到a 与b 的夹角. 【详解】由()0a b a b λλλ+=-≠，两边平方可得：22222222a a b b a a b b λλλλ+⋅+=-⋅+，因为向量a ，b 为单位向量，所以221221a b a b λλλλ+⋅+=-⋅+，即()0a b λ⋅=. 因为0λ≠，所以0a b ⋅=，即a 与b 的夹角为π2. 故选：C【方法技巧与总结】 求夹角，用数量积，由||||cos a b a b 得121222221122cos||||x x y y a b a b xyx y ，进而求得向量,a b 的夹角.题型三：平面向量的模长例28．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，()()0a b a c -⋅-=，9b c -=，则a =______． 【答案】3 【解析】 【分析】由已知条件可得出a b c =--，根据平面向量的数量积可求得22b c +、b c ⋅的值，结合平面向量的数量积可求得a 的值. 【详解】由已知可得a b c =--，则()()()()()()22220a b a c b c b c b c b c -⋅-=--⋅--=+⋅+=， 即222250b c b c ++⋅=，因为9b c -=，则22281b c b c +-⋅=，所以，2245b c +=，18b c ⋅=-，因此，()2222229a a b c b c b c ==--=++⋅=，故3a =.故答案为：3.例29．（2022·辽宁沈阳·三模）已知平面向量,,a b c 满足1,1,0,1a c a b c a b ==++=⋅=-，则b =_______．【解析】【分析】由题意得c a b =--，直接平方即得结果. 【详解】由0a b c ++=可得c a b =--，两边同时平方得2222c a a b b =+⋅+，1,1,1a c a b ==⋅=-，2112b ∴=-+，解得2b =..例30．（2022·全国·高三专题练习（文））已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】 【分析】先求得a b -，然后求得a b -. 【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以245-=+a b .故选：D例31．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）已知a 与b 为单位向量，且a ⊥b ，向量c 满足||2b c a --=，则|c |的可能取值有（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标计算公式可得(1,1)c a b x y --=--，进而由向量模的计算公式可得22(1)(1)4x y -+-=，分析可得C 在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，结合点与圆的位置关系分析可得答案． 【详解】根据题意，设OA a =，OB b =，OC c =，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OB 的方向为y 轴的正方向建立坐标系， 则(1,0)A ，(0,1)B ，设(,)C x y ，则(1,1)c a b x y --=--，若||2b c a --=，则有22(1)(1)4x y -+-=，则C 在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，设(1,1)为点M ，则||OM =||||||r OM OC r OM -+， 即22||22OC +，则||c 的取值范围为22⎡⎣；故选：D ．例32．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知平面向量a ，b 满足2a =，1b =，且a 与b 的夹角为3π，则a b +=（ ）AB C D ．3【答案】C 【解析】 【分析】 由()2222a b a ba ab b +=+=+⋅+求解.【详解】解：因为2a =，1b =，且a 与b 的夹角为3π， 所以()2222a b a ba ab b +=+=+⋅+，==，故选：C例33．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知非零向量a ，b 的夹角为6π，()||3,a a a b =⊥-，则||b =___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由平面向量的数量积的运算性质求解即可 【详解】由()a a b ⊥-得22π3()||||||||cos3||062a ab a a b a a b b ⋅-=-⋅=-⋅=-=， 解得||2b =. 故答案为：2例34．（2022·全国·高三专题练习）已知三个非零平面向量a ，b ，c 两两夹角相等，且||1a =，||2b =，||3c =，求|23|a b c -+．9 【解析】【分析】由三个非零平面向量a ，b ，c 两两夹角相等得 ,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒或0，再分别计算求解即可 【详解】因为三个非零平面向量a ，b ，c 两两夹角相等，所以,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒或0 ．当,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒时，2|23|(23)a b c a b c -+=-+222||||9||4126a b c b b c a c a =++-⋅+⋅-⋅==当,,,0a b b c c a 〈〉=〈〉=〈〉=︒，即a ，b ，c 共线时． |23|2||||3||2299a b c a b c -+=-+=-+=∣∣．9例35．（2022·全国·高三专题练习）已知2=a ，3b =，a 与b 的夹角为120，求a b +及a b -的值． 【答案】7a b +=，19a b -=. 【解析】 【分析】利用向量数量积定义可求得a b ⋅，由向量数量积的运算律可求得2a b +和2a b -，由此可得结果. 【详解】cos ,6cos1203a b a b a b ⋅=⋅<>==-，22224697a b a a b b ∴+=+⋅+=-+=，222246919a b a a b b -=-⋅+=++=，7a b ∴+=，19a b -=.例36．（2022·福建泉州·模拟预测）已知向量(0,1)=a ,(,3)b t =，若,a b 的夹角为π3，则||b =___________.【答案】【解析】 【分析】根据平面向量的夹角公式可求出结果. 【详解】 由πcos3||||a b a b ⋅=⋅,得132||b ,得||23b =.故答案为：【方法技巧与总结】 求模长，用平方，2||a a .题型四：平面向量的投影、投影向量例37．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））设a ，b 是两个非零向量，AB a =，CD b =，过AB 的起点A 和终点B ，分别作CD 所在直线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，得到11A B ，则11A B 叫做向量a 在向量b 上的投影向量.如下图，已知扇形AOB 的半径为1，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系，()1,0OA =，12OB ⎛= ⎝⎭，则弧AB 的中点C 的坐标为________；向量CO 在OB 上的投影向量为________ .【答案】12⎫⎪⎪⎝⎭3()4- 【解析】 【分析】由已知，根据给到的OA ，OB 先求解OA 与OB 的夹角，然后再利用点C 是弧AB 的中点，即可求解出AOC ∠，从而求解点C 的坐标；根据前面求解出的点C 的坐标，写出OB 和CO ，先计算向量CO 在OB 上的投影，然后根据OB 即可写出向量CO 在OB 上的投影向量. 【详解】由已知，()1,0OA =，12OB ⎛= ⎝⎭，所以112cos ,112OA OB OA OB OA OB ===⨯， 所以π3AOB ∠=，因为点C 为弧AB 的中点，所以π6AOC ∠=， 扇形AOB 的半径为1，所以弧AB 满足的曲线参数方程为cos π()sin 3xy αααα=⎧≤≤⎨=⎩为参数，0， 所以中点C 的坐标为πcos 6π1sin 62x y ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，所以C的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭，12CO ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，12OB ⎛=⎝⎭， 向量CO 在OB 上的投影为3441CO OB OB-== 因为12OB ⎛= ⎝⎭，所以向量CO 在OB 上的投影向量为3()4-.故答案为：12⎫⎪⎪⎝⎭；3()4- 例38．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知向量,,(3,1),||2,(2)3a b a b a b b ==-⋅=，则b 在a 方向上的投影为_________ 【答案】54【解析】 【分析】根据向量数量积性质和向量投影定义求解即可． 【详解】因为(3,1)a =，||2b =，所以2||1(2a =+，22b =，因为(2)3a b b -⋅=，所以222223a b b b a b b a b ⋅-⋅=⋅-=⋅-=，所以52a b ⋅=， 所以b 在a 方向上的投影为5||4a b a ⋅=， 故答案为：54． 例39．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））已知向量()1,2a =-，()3,b t =，且a 在b 上的投影等于1-，则t =___________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据投影定义直接计算可得，注意数量积符号. 【详解】因为a 在b 上的投影等于1-，即cos ,1a b a a b b⋅〈〉==-1=-，且320t -<，解得4t =.故答案为：4例40．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知||2a =，b 在a 上的投影为1，则a b +在a 上的投影为（ ）A ．-1B ．2C ．3D 【答案】C 【解析】 【分析】先利用b 在a 上的投影为1求出a b ⋅，然后可求a b +在a 上的投影. 【详解】因为||2a =，b 在a 上的投影为1，所以1||a ba ⋅=，即2ab ⋅=； 所以a b +在a 上的投影为()24232||||a b a aa b a a +⋅+⋅+===；故选：C.例41．（2022·四川成都·三模（理））在ABC 中，已知7π12A ∠=，π6C ∠=，AC =BA在BC 方向上的投影为（ ）．A ．B ．2CD ．【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和及正弦定理求得4B π∠=、2AB =，再根据向量投影的定义求结果.【详解】由题设4B π∠=，则sin sin AB AC C B=，可得122AB ==， 所以向量BA 在BC 方向上的投影为||cos 2BA B ==故选：C例42．（2022·广西桂林·二模（文））已知向量(1,2),(0,1)==-a b ，则a 在b 方向上的投影为（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的投影公式直接计算即可． 【详解】向量(1,2),(0,1)==-a b ，则a 在b 方向上的投影为2||cos ,21||a b a a b b ⋅-<>===-， 故选：B ．例43．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥-，a 与b 的夹角为6π，3a =，则c 在b 上的正射影的数量为（ ）A ．12-B ．C ．12D 【答案】D 【解析】 【分析】利用垂直的向量表示，再利用正射影的数量的意义计算作答. 【详解】非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥-，则()·0b a c a b c b -=⋅-⋅=，即c b a b ⋅=⋅，又a 与b 的夹角为6π，3a =， 所以c 在b 上的正射影的数量3||cos ,||cos 62||||c b a b c c b a b b π⋅⋅〈〉====故选：D例44．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知单位向量,a b 满足||1a b -=，则a 在b 方向上的投影向量为（ ）A ．12bB ．12b -C ．12aD ．12a -【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量公式，即可求解. 【详解】22221a b a a b b -=-⋅+=，因为1==a b ，所以12a b ⋅=， 所以a 在b 方向上的投影向量为12a b b b b b ⋅⋅=. 故选：A例45．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且||2a =，(1,3)b =-，则a 在b 方向上的投影向量为（ ）A ．12⎫⎪⎪⎝⎭B ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C ．12⎛- ⎝⎭D ．12⎛ ⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】解：因为平面向量a ，b 的夹角为3π，且||2a =，(1,3)b =-， 所以a 在b方向上的投影向量为22cos 13(1,3)(2a b a b b bbπ⋅⋅⋅⋅=⋅-=- ，故选：C题型五：平面向量的垂直问题例46．（2022·海南海口·二模）已知向量a ，b 的夹角为45°，2a =，且2a b ，若()a b b λ+⊥，则λ=______． 【答案】-2 【解析】 【分析】先利用数量积的运算求解b ，再利用向量垂直数量积为0即可求解. 【详解】因为cos 452a b a b ⋅=︒=得2b =， 又因为()a b b λ+⊥，所以()2240a b b a b b λλλ+⋅=⋅+=+=，所以2λ=-． 故答案为：-2.例47．（2022·广东茂名·二模）已知向量a =（t ，2t ），b ＝（﹣t ，1），若（a ﹣b ）⊥（a +b ），则t ＝_____． 【答案】12±【解析】 【分析】由（a ﹣b ）⊥（a +b ），由垂直向量的坐标运算可得出a b =，再由模长的公式即可求出t . 【详解】因为（a ﹣b ）⊥（a +b ），所以()()0a b a b -⋅+=，所以220a b -=，则a b =，所以22241t t t +=+，所以12t =±.故答案为：12±．例48．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））已知向量()1,1a =-，()1,b m =，若()3a b a +⊥，则m =______．【答案】13【解析】 【分析】根据向量的坐标运算和数量积的坐标运算即可求解. 【详解】()()23,3030a b a a b a aa b +⊥∴+⋅=⇒+⋅= ，所以()123103m m +-+=⇒=故答案为：13例49．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知两个单位向量1e 与2e 的夹角为3π，若122a e e =+，12b e me =+，且a b ⊥，则实数m =（ ） A ．45-B ．45 C ．54-D ．54【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直及数量积的运算律可得221122(2)20e m e e m e ++⋅+=，结合已知即可求m 的值.【详解】由题意1222121122)()(220()2a b e me m e e m e e e e ⋅=⋅+=++⋅++=， 又1e 与2e 的夹角为3π且为单位向量， 所以22021m m +++=，可得45m =-.故选：A例50．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知向量(22,4),1,cos 2⎛⎫=-= ⎪⎝⎭a b θ，其中(0,π)θ∈，若a b ⊥，则sin θ=___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算坐标表示公式、特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即14cos0cos22θθ-+=⇒=，因为(0,π)θ∈，所以π(0,)22θ∈，因此ππ242θθ=⇒=，所以sin 1θ=， 故答案为：1例51．（2022·全国·模拟预测（文））设向量()2,1a =，()1,b x =-，若()a b a ⊥-，则b =___________.【答案】【解析】 【分析】由平面向量数量积的坐标运算求解 【详解】()3,1b a x -=--，由题意得()0a b a ⋅-=，即610x -+-=，得7x =149b =+=.故答案为：【方法技巧与总结】121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=题型六：建立坐标系解决向量问题例52．（2022·山东淄博·三模）如图在ABC 中，90ABC ∠=︒，F 为AB 中点，3CE =，8CB =，12AB =，则EA EB ⋅=（ ）A ．15-B ．13-C ．13D ．15【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积； 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 则(12,0)A ，(0,0)B ，(0,8)C ，(6,0)F ， 又3CE =，8CB =，12AB =，则10CF =，即310CE FC =，即710FE FC =， 则()()9286,67710100,8,55BE BF FC ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭， 则,552851EA ⎛⎫=-⎪⎝⎭，928,55EB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 则25281355951EA EB ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选：C ．例53．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））在边长为2的正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，则AC DE ⋅=（ ） A ．2 B ．2-C ．4-D ．4【答案】A 【解析】 【分析】建立直角坐标系，用向量法即可 【详解】在平面直角坐标系中以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立坐标系，则()0,0A ，()0,2D ，()2,2C ，()2,1E ，所以()()2,22,1422AC DE ⋅=⋅-=-=， 故选：A例54．（2022·江苏·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，(4,1)AB =，(2,3)DC =，(2,)AC m =-，若0E A F C =⋅，则实数m 的值是（ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得分别求出AD 和BC 的坐标，再分别求出AE 和BF 的坐标，EF EA AB BF =++，再利用数量积坐标运算求解即可. 【详解】根据题意得：(4,3)AD CD CA AC DC m =-=-=--，(6,1)BC AC AB m =-=--, 因为E ，F 分别为AD ，BC 的中点，所以13(2,)22m AE AD -==-，11(3,)22m BF BC -==-， 所以()3,2EF EA AB BF =++=，又0E A F C =⋅，即()2320m -⨯+⨯=，解得3m =. 故选：D.例55．（2022·四川南充·三模（理））在Rt ABC △中，90A ∠=︒，2AB =，3AC =，2AM MC =，12AN AB =，CN 与BM 交于点P ，则cos BPN ∠的值为（ ）A B ．C ．D 【答案】D 【解析】 【分析】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解. 【详解】解：建立如图直角坐标系，则(0,2),(0,1),(3,0),(2,0)B N C M , 得(3,1),(2,2)CN MB =-=-,所以co 10s CN MB CN P BB N M ⋅===⋅∠ 故选：D.例56．（多选题）（2022·山东聊城·三模）在平面四边形ABCD 中，1AB BC CD DA DC ===⋅=，12⋅=BA BC ，则（ ） A ．1AC = B ．CA CD CA CD +=-C ．2AD BC = D ．BD CD ⋅=【答案】ABD 【解析】 【分析】根据所给的条件，判断出四边形ABCD 内部的几何关系即可. 【详解】因为1AB BC CD ===，1cos 2BA BC BA BC B ⋅==，可得3B π=，所以ABC 为等边三角形，则1AC = ，故A 正确；因为1CD =，所以21CD =，又1DA DC ⋅=，所以2CD DA DC =⋅ ，得()20DC DA DC DC DC DA DC AC -⋅=⋅-=⋅=，所以AC CD ⊥，则CA CD CA CD +=-，故B 正确； 根据以上分析作图如下：由于BC 与AD 不平行，故C 错误； 建立如上图所示的平面直角坐标系，则1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，12D ⎫⎪⎪⎝⎭，12BD ⎫=⎪⎪⎝⎭，3122CD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以BD CD ⋅=，故D 正确； 故选：ABD.例57．（多选题）（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知向量a b c ，，满足2222a b a b c c =-=-==，则可能成立的结果为（ ） A ．34b =B ．54b =C ．34b c ⋅= D ．54b c ⋅=【答案】BCD 【解析】 【分析】不妨设()10C ，，动点A 在以原点为圆心2为半径的圆O 上，动点B 在以C 为圆心，1为半径的圆上，利用坐标法，即可求解. 【详解】对于选项A 、B ，由题意2=a ，1c =，1a b b c -=-=，设OA a =，OB b =，OC c =，不妨设()10C ，，如图，动点A 在以原点为圆心2为半径的圆O 上，动点B 在以C 为圆心，1为半径的圆上，且满足1AB =， 圆C 方程是22(1)1x y -+=.当B 在圆C 上运动时，由AB OB OA +≥，得1OB ≥，当且仅当O ，A ，B 三点共线时取等号，又由图易知2OB ≤，即12b ≤≤，故选项A 不满足，选项B 满足；对于选项C 、D ，设()B x y ，，则()()10b c x y x ⋅=⋅=，，， 由22221(1)1x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，解得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12B x ∴≥， 又2B x ≤.即122x ≤≤. 122b c ⎡⎤∴⋅∈⎢⎥⎣⎦，，选项C ，D 满足.故选：BCD例58．（多选题）（2022·湖南·长郡中学模拟预测）如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH ，其中2OA =，则（ ）A ．20OB OE OG ++=B ．22OA OD ⋅=- C ．4AH EH += D ．4+=+AH GH 【答案】ABC【分析】分别以,HD BF 所在的直线为x 轴和y 轴，建立的平面直角坐标系，作AM HD ⊥，结合向量的坐标运算，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，分别以,HD BF 所在的直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为正八边形ABCDEFGH ，所以AOH HOG AOB EOF FOG ∠∠∠∠∠====DOE COB COD =∠=∠=∠360458==， 作AM HD ⊥，则OM AM =，因为2OA =，所以OM AM =(A ，同理可得其余各点坐标，()0,2B -，E ，(G ，()2,0D ，()2,0H -，对于A (02(2),2222)0OE OG ++=++--++=，故A 正确；对于B 中，(2(0OA OD ⋅=-⨯+⨯=-B 正确；对于C 中，(2AH =-，(2EH =-，(4,0)AH EH +=-，所以(4AH EH +=-=，故C 正确；对于D 中，(2AH =-，(2GH =-，(4AH GH +=-+，(4AH GH =-+=-D 不正确.故选：ABC.例59．（2022·江苏南京·模拟预测）在ABC 中，0AB AC ⋅=，3AB =，4AC =，O 为ABC 的重心，D 在边BC 上，且AD BC ⊥，则AD AO ⋅______． 【答案】9625【解析】根据O 为ABC 的重心，得到()13=+AO AB AC ，再由0AB AC ⋅=和AD BC ⊥，利用等面积法求得AD ，进而得到DB ，方法一：利用基底法求解；方法二：以A 坐标原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】解：因为O 为ABC 的重心， 所以()13=+AO AB AC ， 因为0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，则5BC =，因为AD BC ⊥，所以1122ABC S AB AC AD BC =⋅=⋅△， 即1134522AD ⨯⨯=⨯， 所以125AD =，在Rt ADB 中，95DB =． 方法一：因为925=+=+AD AB BD AB BC ， ()9916252525=+-=+AB AC AB AC AB ， 所以()191632525⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭AD AO AB AC AC AB ，221916963252525⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭AC AB ． 方法二：以A 坐标原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴建立平面直角坐标系，则()4,0AC =，()0,3AB =，由方法一可知9163648,25252525AD AC AB ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()14,133AO AB AC ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 所以136489513252525AD AO ⋅=⨯+⨯=．例60．（2022·北京·北大附中三模）已知正方形ABCD 的边长为2,E 是BC 的中点，点P 满足2AP AE AD =-，则PD =___________；PE PD ⋅=___________.【答案】 10 【解析】 【详解】解：以A 为原点，AB 为x 轴正方向建立平面直角坐标系， 所以()()()0,0,2,0,2,1A B E ，()0,2D ，设(),P x y ，所以()()(),,2,1,2,0AP x y AE AD ===，因为2AP AE AD =-，所以()()4,0,4,2P PD =-，所以25PD = 又()2,1PE =-，所以10PE PD ⋅=.故答案为：10.例61．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学模拟预测）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，F 分别为BC ，CD 上的点，2CE EB =，2CF FD =，若线段EF 上存在一点M ，使得5162AM AB AD =+，则||AM =__________，若点N 为线段BD 上一个动点，则AN MN ⋅的取值范围为__________.【答案】73 371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】以菱形的对角线为在不在建立平面直角坐标系，通过坐标运算先求M 坐标然后可得||AM ，再用坐标表示出AN MN ⋅，由二次函数性质可得所求范围. 【详解】因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，以BD 、AC 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，因为2AB =，60BAD ∠=︒，所以1,OB OD OC OA ====则(0,(1,0),(1,0)A B D -，设((,0)M m N n 43(1,3),(1,3),(,),(,3),3AB AD AM m AN n ==-==因为5162AM AB AD =+，所以51((62m =+-解得13m =，所以17||93AM =又1(,3MN n =-所以21137()1()3636AN MN n n n ⋅=--=--因为11n -≤≤，所以当16n =时，AN MN ⋅有最小值3736-， 当1n =-时，AN MN ⋅有最大值13，所以AN MN ⋅的取值范围为371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：73，371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题
高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题1.若向量=（1,2），=（3,4），则=A．（4,6）B．(-4，-6)C．(-2，-2)D．(2,2)【答案】A【解析】因为=+=,所以选A.【考点】本题考查平面向量的坐标运算(加法),属基础题.2.若向量，则( )A．(1，1)B．（-1，-1）C．(3，7)D．（-3，-7）【答案】B【解析】解：所以选B．【考点】向量的运算．3.设△ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),若m·n=1+cos(A+B),则C=()(A) (B) (C) (D)【答案】C【解析】依题意得sinAcosB+cosAsinB=1+cos(A+B),sin(A+B)=1+cos(A+B),sinC+cosC=1,2sin(C+)=1,sin(C+)=.又<C+<,因此C+=,C=,选C.4.已知平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a·b=-6,则=.【答案】-【解析】【思路点拨】根据条件求出向量的夹角,进而寻求向量坐标间的关系,化简求值即可. 解：设a,b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ=-6,∴cosθ=-1,∴θ=180°.即a,b共线且反向.又∵|a|=2,|b|=3,∴a=-b,x1=-x2,y1=-y2,∴=-.5.已知向量a=(1,-2),b=(m,4),且a∥b,那么2a-b=()A．(4,0)B．(0,4)C．(4,-8)D．(-4,8)【答案】C【解析】由a∥b,得4=-2m,∴m=-2,∴b=(-2,4),∴2a-b=2(1,-2)-(-2,4)=(4,-8).6.已知向量a＝(3,1)，b＝，若a＋λb与a垂直，则λ等于________．【答案】4【解析】根据向量线性运算、数量积运算建立方程求解．由条件可得a＋λb＝，所以(a＋λb)⊥a⇒3(3－λ)＋1＋λ＝0⇒λ＝4.7.在边长为1的正方形ABCD中,E、F分别为BC、DC的中点，则__________.【答案】1【解析】以A为原点，AB,AD分别为x,y轴的正版轴，建立平面直角坐标系，即,，所以【考点】平面向量数量积的运算8.已知向量，,若∥，则代数式的值是．【答案】5【解析】利用向量平行的充要条件，由∥得，即，代入求值式即得．【考点】向量平行．9.已知是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，且，求：的坐标（2）若，且与垂直，求与的夹角.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设根据可得，而由得，联立即可解得；（2）根据向量垂直得，展开整理得，故，即可解得.试题解析：设由得所以，.（2）∵与垂直，∴即；∴∴，∵∴.【考点】1.向量共线的充要条件；2.向量的数量积；3.向量运算的坐标表示.10.是双曲线的两个焦点，过点作与轴垂直的直线和双曲线的交点为，满足，则的值为 .【答案】．【解析】由双曲线方程知,，，又由题意知点，由得，把代入上式解得．【考点】双曲线的性质及向量运算.11.如图所示，是圆上的三点，线段的延长线于线段的延长线交于圆外的一点，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】线段的延长线与线段的延长线的交点为，则，在圆外，，又、、共线，故存在，使得，且，又，.，.选D.【考点】圆的性质，平面向量基本定理.12.已知向量，若与垂直，则______.【答案】【解析】，，.【考点】1.向量的模；2.向量垂直.13.设 ,向量且 ,则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】,则，再利用向量模的计算公式得.【考点】平面向量垂直的充要条件，模的计算.14.已知向量，，若，则实数等于．【答案】.【解析】，两边平方得，则有，化简得，即，解得.【考点】平面向量的模、平面向量的坐标运算15.在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若＝－2＋λ，则λ＝( )A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由点分线段所成比例向量形式公式知，，所以.选C.【考点】1.向量的运算； 2.平面向量的基本定理.16.如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中，分别是轴，轴同方向的单位向量），则P点的斜坐标为(， )，向量的斜坐标为(， )．给出以下结论：①若，P(2,－1)，则；②若，，则；③若，，则；④若，以O为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为．其中所有正确的结论的序号是．【答案】①②④【解析】①中是两临边常分别为2，1且一内角为的平行四边形较短的对角线，解三角形可知；结合向量的平行四边形加法法则可知②若，，则是正确的；，，所以③错误；④中设圆上任意一点为【考点】向量坐标的定义及运算点评：本题为新定义，正确理解题中给出的斜坐标并与已知的向量知识相联系是解决问题的关键17.若向量，且，则锐角的大小是【答案】【解析】因为，所以，所以，又为锐角，故.【考点】共线向量点评：本题考查共线向量的坐标运算，记住公式是解题的关键，属基础题.18.以下说法错误的是（）A．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是B．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是C．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是D．空间两条直线所成角的取值范围是【答案】C【解析】∵两向量可以反向，∴两向量的夹角可以为，所以平面内两个非零向量的夹角的取值范围是，错误，选C【考点】本题考查了空间角的概念点评：掌握平面和空间中的角的概念是解决此类问题的关键，属基础题19.已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=( ) A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】因为△ABC和点M满足，所以又，故m=3，选B。
第二章平面向量及其应用（讲义+典型例题）（原卷版）
第二章平面向量及其应用（讲义+典型例题）一．平面向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0例1：（1）．如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是（）A．DA和BC B．DC和ABC．DC和BC D．DC和DA（2）．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA a=，OB b=，OC c=．在以A，B，C，D，E，F，O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：（1）与a相等的向量有哪些？（2）b的相反向量有哪些？（3）与c共线的向量有哪些？.举一反三1．下列说法正确的是（）A ．若a b =，则a b =±B ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量2．（多选）如图，在四边形ABCD 中，若AB DC =，则图中相等的向量是（ ）A ．AD 与BCB ．OB 与ODC ．AC 与BDD ．AO 与OC3．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ＝2，M ，N 分别为AD 和BC 的中点，以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点作向量，回答下列问题：(1)在模为1的向量中，相等的向量有多少对？ (2)2二.平面向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差三角形法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb例2：①．如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA a = ，OB b = ，则BC 可以表示为（ ）A ．a b +B ．a b -C ．b a -D ．a b --②．如图，已知下列各组向量a ，b ，求作a b +．③．在ABC 中，已知AB b =，AC c =，求作： (1)2b ； (2)()2b c -；(3)32b c -．④．化简： (1)AB BC DC +-；(2)AB BC DC DE EA +-++； (3)()OA O BC B --． 举一反三1．5()3(2)a b a b ---= ___________.2．如图，已知M ，N 分别是四边形ABCD 的边AB ，CD 的中点，求证：()12MN AD BC =+．3．如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设AB ＝a ，DA ＝b ，OC ＝c ．证明：b c a +-＝OA ．4．（1）设O 是正五边形ABCDE 的中心，求OA OB OC OD OE ++++； （2）设O 是正n 边形12n A A A 的中心，求12n OA OA OA +++．5．如图，已知a ，b 为两个非零向量．(1)求作向量a b +及a b -；(2)向量a ，b 成什么位置关系时，a b a b +=-？（不要求证明）三.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa .例3（1）如图，OA ，OB 不共线，且()AP t AB t =∈R ，用OA ，OB 表示OP ．(2)已知任意两个非零向量a ，b ，若23OA a b =+，22OB a b =+，25OC a b =+，你能判断A ，B ，C 三点之间的位置关系吗？为什么？ 举一反三1．在ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若13CD CA CB λ=+，则λ等于（ ）A ．13B ．23C ．12D ．342．设1e 与2e 是不共线的非零向量，若12ke e +与12e ke +共线且方向相反，则k 的值是（ ） A ．1- B ．1C ．±1D ．任意不为零的实数3．已知1e 与2e 不共线，12AB e e =+，1228BC e e =+，()123CD e e =-．求证：A ，B ，D 三点共线．四．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．例4（1）．等腰直角三角形ABC 中，90A ︒=，,AB AC D =是斜边BC 上一点，且3BD DC =，则AD =（ ）A ．3544AC AB +B ．3144AC AB +C ．5144AC AB +D ．3144AC AB -（2）（多选）．在ABC 中，边BC 上的中线与边AC 上的中线的交点为E ，若CE AB AC λμ=+，则2λμ+=______．举一反三1．在平面四边形ABCD 中，已知ABC 的面积是ACD △的面积的2倍.若存在正实数,x y 使得1141AC AB AD x y ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则2x y +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．（多选）如图，在等腰梯形ABCD 中，222AB AD CD BC ===，E 是BC 的中点，连接AE ，BD 相交于点F ，连接CF ，则下列说法正确的是（ ）A ．3142AE AB AD →→→=+ B ．3255AF AB AD →→→=+ C ．1255BF AB AD →→→=-+D ．13105CF AB AD →→→=-五．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 6．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.例5（1）已知向量(1,4)a =-，(2,3)b =，则2a b -的坐标为（ ） A ．(－3，－10) B ．(－3，－2) C ．(－3，2)D ．(3，－10)（2）．已知向量1(1,)2a =-，(2,)b m =-，若a 与b 共线，则||b =（ ）A ．3B ．5C ．6D ．22（3）．已知向量a ，b 满足()1,2a λ=+，()1,b λ=，//a b ，则实数λ的值为______． 举一反三1．已知向量()3,4a =-，2AB a =，点A 的坐标为()3,4-，则点B 的坐标为______． 2．若(1,1),(1,2)a b ==-，则与a b +同方向的单位向量是_______. 3．已知点A （1，2），B （4，5），O （0，0）及OP mOA AB =+． (1)当m 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第四象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的m 的值；若不能，说明为什么．六．平面向量的数量积1，概念：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是 a·b ＝0，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是 a·b ＝±|a||b|.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ； (2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a·b ＝0； (3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|，a·a ＝|a |2，|a |＝a·a ； (4)cos θ＝a·b |a||b|； (5)|a·b |__≤__|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b ＝b·a (交换律)； (2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c . 5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.例6：（1）．如图，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是（ ）A ．18B ．22C ．18-D ．22-（2）．已知,a b 是非零向量，且,a b 不共线，3,4a b ==，若向量a kb +与a kb -互相垂直，则实数k 的值为（ ） A ．2± B ．12±C ．43±D ．34±3．已知平面向量a ，b 满足()1,2a =，10b =，522a b ⋅=，则cos a b ⋅=______.举一反三1．设两向量12,e e 满足12122,1,,e e e e ==的夹角为60︒，12122,2=+=+a e e b e e ，则a 在b 上的投影为（ ） A 53B 521C 57D 522．（多选）已知在△ABC 中，2AB =，2AB AM =，2CM CN =，若0AN BC ⋅=，则（ ）A ．23AB AC AN += B ．()2AB ACCM -C ．AB AC ⊥D ．45ACM ∠=︒3．已知向量()3,2a =-，()1,0b =，向量()()2a b a b λ+⊥-，则向量()()a b a kb λ-+时实数k的值为______.4．已知向量()2,3a =，()3,1b =，若()a ab λ⊥+，则λ的值为___________.七．向量在平面几何中的应用 用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型 所用知识 公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， 其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) 垂直问题 数量积的运算性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中a ，b 为非零向量夹角问题 数量积的定义 cos θ＝a ·b|a |·|b |(θ为向量a ，b 的夹角)长度问题 数量积的定义|a |＝a 2＝x 2＋y 2，其中a ＝(x ，y )例7：①．已知2a =，4b =，a 与b 的夹角为60︒.（1）计算()a ab ⋅+的值；（2）若()0a a kb ⋅-=，求实数k 的值.②．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥. （1）求a 与b 的夹角；（2）若14a b +=，求b .③．已知2a =，3b =，在下列情况下，求()2()a b a b +-的值： （1）//a b ；（2）a b ⊥；（3）a 与b 的夹角为120°.举一反三1．已知向量(5,12)a =-，(3,4)b =-.（1）求a 与b 夹角θ的余弦值；（2）若向量a tb +与a b -垂直，求实数t 的值. 2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若()2,4AB =，()1,3AC =.（1）求cos DAB ∠的值；（2）求BD AD ⋅的值．3．已知向量2,1(),1,),3,1(b m a b n b a a k -==+=-=-. (1)若mn ，求k 的值；(2)当=2k 时，求m 与n 夹角的余弦值．八、正弦定理和余弦定理解三角形正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R C cB b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C ++===A +B +A B ．2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=；;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A =;sin sin c b C B =;sin sin c aC A = 5）化角为边： RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===二.三角形面积1.B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆三.余弦定理1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+=2.变形：bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=ab c b a C 2cos 222-+= 注意整体代入，如：21cos 222=⇒=-+B ac b c a利用余弦定理判断三角形形状：设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若，，所以为锐角②若为直角A a b c ⇔=+222 ③若， 所以为钝角，则是钝角三角形三角形中常见的结论三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；三角形三边关系：两边之和大于第三边：，，； 两边之差小于第三边：，，； 在同一个三角形中大边对大角：B A b a B A sin sin >⇔>⇔>4) 三角形内的诱导公式：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-)2sin()2cos()22cos()22sin()22tan(2tan C C C C C B A =--=-=+πππ7) 三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点外心——三角形三边垂直平分线相交于一点内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点例9：1．在ABC 中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，已知2a =，3b =．角60B =，求角C ．2．已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2AB AD ==，60A ∠=︒，5BC =，求CD 的长3．△ABC 中，a ＝7，c ＝3，且sin sin C B ＝35． （1）求b ；（2）求∠A ．4．已知b ，a ，c 是ABC 中B ，A ，C 的对边，且B ，A ，C 成等差数列. （1）求A ；（2）若2b =，6c =，求ABC 的面积.5．已知b ，a ，c 是ABC 中B ，A ，C 的对边，且B ，A ，C 成等差数列. （1）求A ；（2）若2b =，6c =，求ABC 的面积.举一反三1．若ABC 的面积为22,1,6b c ==，且A ∠为锐角. (1) 求cos A 的值；(2) 求sin 2sin A C的值. 2．在ABC ∆中，32b =，6cos 3A =，2B A π=+． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求cos 2C 的值．3．在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A．B．C 的对边，且()2cos cos a c B b C -=. （1）求角B 的大小；（2）若7b =，8a c +=，求ABC 的面积.4．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且22(2)(2)a b c b c b c =-+-． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2cos b c A =，试判断ABC 的形状5．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足1cos 2a b c B +=⋅. （1）求角C ;（2）若2,3a b ==，求ABC 外接圆的半径.6．在ABC中，已知12 tan5A .（1）若ABC外接圆的直径长为132，求BC的值；（2）若ABC为锐角三角形，其面积为6，求BC的取值范围．。
平面向量的数量积在几何图形上的应用
1
=2
,B(0,0),C(2a,0),D
,∴ - ,-
2
1
=2(2a-x,-y)=
4
- = - ,
= ,
2
3
则 2
即
4 ∴E
- = - 2 ,
=3 ,
4
4
3
,
4
3
4 2
,∴=
4
3
,
4
3
,
∵BE⊥CD,∴· =0,∴ a·(-a)+ ·=0,解得 a2= 2,
3
∴ · =(-a,0)· ,-
DPB＝－cos ∠DPC＝－
1
－
＝1× 5×
5 ＝－1.
→ →
→ →
1
，∴PB ·PD ＝|PB ||PD|cos ∠DPB
5
法二：以 A 为坐标原点，AB，AD 所在直线分别为 x 轴、y 轴，建立如图所
示的平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，
→ 1 → →
1
= ,BE⊥CD,则 · =
2
- 2
.
解析 如图,以 B 为坐标原点,BC,BA 所在直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,
2
设|AD|=a(a>0),则|BC|=2a.又 S△ABD=1,∴|AB|= ,∴A 0,
设 E(x,y),则 = - ,
2
, =(2a-x,-y).∵
4
1
3
1
1
3
4
4
3
+ , · = + ·- +
=
1
3
D.7
向量的数量积经典例题（含详细答案）
向量的数量积经典例题（含详细答案）向量的数量积经典例题（含详细答案）1．已知3,4a b ==r r ，,a b r r 的夹⾓为120o .求（1）a b r r g ，()()22a b a b +?-r r r r ；（2）23a b +r r2．已知向量a r 、b r 的夹⾓为2,||1,||23a b π==r r . （1）求a r ·b r 的值（2）若2a b -r r 和ta b +r r 垂直，求实数t 的值.3．已知平⾯向量()()1,2,2,a b m =-=r r（1）若a b ⊥r r ，求2a b +r r ；（2）若0m =，求a b +r r 与a b -r r 夹⾓的余弦值.4．已知向量(2,1),(3,2),(3,4)a b c =-=-=r r r ，（1）求()a b c ?+r r r；（2）若()a b c λ+r r r ∥，求实数λ的值.5．已知||2a =r ，||b =r (23)()2a b a b -+=r r r r .（1）求a b ?r r 的值；（2）求a r 与b r 所成⾓的⼤⼩.6．已知()1,2a =r ，()3,4b =-r（1）若ka b +r r 与2a b -r r 共线，求k ；（2）若ka b +r r 与2a b -r r 垂直，求k .7．已知2,3a b ==r r ,a r 与b r 的夹⾓为60?,53c a b =+r r r ,3d a kb =+r r r ,(1)当c d v P v 时，求实数k 的值；(2)当c d ⊥r u r 时，求实数k 的值.参考答案1．（1）6-，32-；（2）【解析】【分析】（1）根据向量数量积的定义进⾏求解；（2）根据23a b +=r r 先求数量积，再求模长．【详解】解：（1）∵3,4a b ==r r ，,a b r r 的夹⾓为120o ，∴cos120a b a b ?=r r r r g 134()2=??-=6-， ()()22a b a b +?-=r r r r 22223a b a b -+r r r r g 292163(6)=?-?+?-=32-；（2）23a b +=r r== 【点睛】本题主要考查平⾯向量的数量积的定义及平⾯向量的模长，考查计算能⼒，属于基础题． 2．（1）1-；（2）2.【解析】【分析】（1）利⽤数量积的定义直接计算即可．（2）利⽤()()20t b a b a +=-r r r r g 可求实数t 的值．【详解】（1）21cos 12132a b a b π==??-=-r r r r ．（2）因为2a b -r r 和ta b +r r 垂直，故()()20t b a b a +=-r r r r g ，整理得到：()22220ta t a b b +--=r r r r g 即()12212402t t ??+---=，解得2t =．【点睛】本题考查数量积的计算以及向量的垂直，注意两个⾮零向量,a b v v 垂直的等价条件是0a b ?=v v，本题属于基础题．3．（1）25a b +=r r （2）65【解析】【分析】（1）由题可得0a b ?=r r ，解出1m =，()()()21,24,23,4a b +=-+=r r ，进⽽得出答案。
【名校专题】—-高中数学- 平面向量数量积的坐标表示(精练)
6.3.2 平面向量数量积的坐标表示（精练）【题组一 数量积的坐标运算】1．（2021·深圳市龙岗区）已知向量()1,3a =-，()5,4b =-，则⋅=a b （ ） A ．15B ．16C ．17D ．182．（2020·广东高一期末）若(1,2),(2,3)=-=a b 则(2b)b a -⋅=（ ） A ．-5B ．5C ．-6D ．63．（2020·湖北高一期末）已知向量()4,5a =，()22,11a b -=-，则向量a 在向量b 方向上的投影为（ ）A ．1B ．2-C ．2D ．-14．（2020·湖北武汉市·高一期末）已知()1,2A -，()4,1B -，()3,2C ，则cos BAC ∠=（ ）A ．10-B ．10C ．2-D ．25．（2020·安徽合肥市·高一期末）已知点()1,1A -，()1,2B ，()2,1C --，()3,4D ，则向量CD →在BA →方向上的投影是（ ）A ．-B ．2-C ．D ．26．（2020·四川内江市）已知向量(1,2)a =，(,4)b x =，(2,)c y =，若//a b ，a c ⊥，则()b a c ⋅-=（ ） A ．14B ．-14C ．10D ．67．（2020·山东聊城市·高一期末）向量(1,3)a =，(3,1)b =，则向量a b +与a b -的夹角为（ ） A ．12πB ．6πC ．3π D ．2π 8．（2020·尤溪县第五中学高一期末）已知向量(1,2)a =，(,4)a b m +=，若a b ⊥ ，则m =（ ） A ．3-B ．2-C ．2D ．39．（2020·全国高一课时练习）设(3,4)a =，a b ⊥且b 在x 轴上的投影为2，则b =（ ） A ．8(2,)3B ．3(2,)2-C ．8(2,)3-D ．3(2,)2-10．（2021·江苏高一）已知平面向量(1,)a m =，()0,2b =，若(3)b a mb ⊥-，则实数m =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．211．（2020·全国高一）已知向量()()126,,3,2e e λ==-，若12,e e 为钝角，则λ的范围是（ ） A ．(,9)-∞B ．(9,)+∞C ．(,4)(4,9)-∞⋃D ．(,4)(4,9)-∞-⋃-12．（多选）（2021·江苏高一）已知向量(),3a m =，()2,4b =-，若()a b a +⊥，则（ ） A ．1m =或3m =- B ．1m =-或3m = C ．2a b +=或10a b += D ．2a b +=或26a b +=13．（多选）（2020·全国高一）设向量()2,0a =，()1,1b =，则（ ） A ．a b = B ．()//a b b - C ．()a b b -⊥D ．a 与b 的夹角为π414．（2020·全国高一）已知向量()1,2a =-，()4,3b =，22c =.若a 与()b c -垂直，则向量a 与c 的夹角的余弦值是______.15．（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学）已知向量()1,2a =，与向量(),1b x = （1）当x 为何值时，a b ⊥；（2）当3x =为何值时，求向量a 与向量b 的夹角； （3）求2b a -的最小值以及取得最小值时向量b 的坐标．【题组二 巧建坐标解数量积】1．（2020·安徽省亳州市第十八中学高一期中）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，点P 为CD 的中点，点Q 在BC 上，且2BQ =．（1）求AP AQ ⋅；（2）若AC AP AQ λμ=+（λ，μ∈R ），求λμ的值.2．（2020·江西高一期末）如图，在ABC 中，已知2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，D 为线段BC 中点，E 为线段AD 中点.（1）求AD BC ⋅的值；（2）求EB ，EC 夹角的余弦值.3．（2020·河北邢台市·高一期中）如图，扇形OAB 的圆心角为90︒，2OA =，点M 为线段OA 的中点，点N 为弧AB 上任意一点.（1）若30BON ∠=︒，试用向量OA ，OB 表示向量ON ； （2）求MB ON ⋅的取值范围.【题组三 数量积与三角函数综合运用】1．（2020·河南安阳市·林州一中高一月考）已知向量(4sin ,1cos ),(1,2)a b αα=-=-,若2a b ⋅=-,则sin cos αα=( )A ．1B ．1-C ．27-D ．12-2．（2020·辽宁高一期末）已知向量()1,cos2a x =，(sin 2b x =，将函数()f x a b =⋅的图象沿x 轴向左平移ϕ()0ϕ>个单位后，得到的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为（ ）A ．12πB ．6πC ．512π D ．3π3．（2020·陕西宝鸡市·高一期末）已知α是锐角，3(,sin )2a α=，1(,2cos )3b α=-，且a b ⊥，则α为（ ）A ．15°B ．45°C ．75°D ．15°或75°4．（2020·辽宁大连市·）已知向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,cos b α=，若a b ⊥，则3cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13-B ．13C ．3-D ．35．（2020·陕西宝鸡市·高一期末）已知向量(sin 70,cos 70)a =，(cos80,sin 80)b =，则a b +的值为（ ）A ．1B C ．2D ．46．（2020·泰兴市第二高级中学高一期末）已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<. （1）求向量a b +与a b -所成的夹角； （2）若k a b +与a k b -的模相等，求2αβ-的值（k 为非零的常数）.7．（2020·株洲市南方中学高一期末）已知向量()2sin ,1a α=，()1,cos b α=. （1）若角α的终边过点()3,4，求a b ⋅的值； （2）//a b ，且角α为锐角，求角α的大小；8．（2020·林芝市第二高级中学高一期末）在平面直角坐标系xoy 中，已知向量2(,)22m =-，(sin ,cos )n x x =，(0,)2x π∈．（1）若m n ⊥，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值．9．（2020·广西桂林市·高一期末）已知向量(sin ,1)m x =-，向量13cos ,2n x ⎛⎫= ⎪⎭，函数()()f x m n m =+⋅. （1）求()f x 的最小正周期T 及其图象的对称轴的方程； （2）若方程()0f x t -=在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求实数t 的取值范围.10．（2020·甘肃白银市·高一期末）设向量()3cos ,2sin a θθ=-． （1）当43θπ=时，求a 的值： （2）若()3,1b =-，且//a b，求22cos 124θπθ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．11．（2020·湖北荆门外语学校高一期中）已知向量()2sin ,cos a m x x =，()sin cos ,4sin b x x m x =+-，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（1）若//a b ，tan 2x =-，求实数m 的值；（2）记()f x a b =⋅，若()1f x ≤恒成立，求实数m 的取值范围.12．（2020·山西朔州市·应县一中高一期中（理））已知()sin ,cos a x x ωω=，()sin ,2sin cos b x x x ωωω=-，()0,4ω∈，若()2f x a b =⋅其图像关于点,08M π⎛⎫⎪⎝⎭对称（1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间； （3）当a b ⊥时，求x 的值.13．（2020·广东高一期末）已知向量(1,2cos ),3sin 0,3π⎛⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎭a x b x x . （1）若//a b ，求tan2x 的值；（2）若f （x ）＝a •b ，则函数f （x ）的值域．14．（2021·广东湛江）已知向量33cossin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，cos sin()22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，且0.2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（1）求a b 及a b +的值；。
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标 表示、模、夹角补充例题例6．平面内三个点A,B,C 在一条直线上,且),2(m OA -=,)1,(n OB =,)1,5(-=OC ,且OBOA ⊥,求实数m,n 的值.例7.己知点A(0,1)、B(0,-1)、C(1,0),O 为原点,动点P满足22BP AP =∙,求向量OP与OC 的夹角的取值范围.⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈6,0πθ例8.如图，在ABC Rt ∆中，已知a BC =，若长为a 2的 线段PQ 以点A 为中点，问PQ 与BC 的夹角θ 取何值时，→→⋅CQ BP 的值最大？ 并求出这个最大值。
CAB解法1.从向量本身来思考。
由已知的向量关系有，ACAB ⊥则0=⋅→→AC AB .A 是PQ 的中点，则0=+AP AQ ，AP AQ PQ 22-==.PQ 的长为a 2，BC 的长为a ，则a===.要求建立CQBP⋅与BCPQ⋅的联系，显然要以AP,AQ ,AB ,AC 为中介.∴CQBP ⋅ = （AP -AB ）（AQ -AC ）=AQAP ⋅-ACAP⋅-AQAB⋅+ACAB⋅= -2AP -AC AP ⋅+AP AB ⋅ = 2a -+AP ()AC AB -⋅ = 2a -+CB AP ⋅ =2a -+21BCPO ⋅=2a-+2aθcos .显然当1cos =θ时,CQBP⋅最大，最大值为O ，此时PQ与BC 共线。
P解 2.利用向量的坐标和解析几何的知识。
设c=，b=，则),0(),0,(),0,0(b C c B A ，aPQ 2=→，aBC =→，设),(y x P ，则()y x Q --,BP ),(y c x -=，CQ),(b y x ---=，①BC ),(b c -=， PQ ),2,2(y x --= BC PQ ⋅ = yb xc 22-，aPQ2=→，acbBC =+=→222cos aby cx BCPQ BCPQ -=⋅=→→→→θ∴θcos 2a by cx =- ②②代入①得：CQBP ⋅=θcos 22a a+-.∴当1cos =θ，即0=θ（PQ 与BC 同向时），CQBP ⋅最大，最大值为O.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平面向量数量积的坐标表示
坐标法是用代数方法研究几何问题的一个重要思想方法．用坐标来研究向量的数量积是本节的基本内容．
本节内容的重点是平面向量数量积的坐标表示以及由此推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示．难点是用坐标法处理长度、角度、垂直等问题．
1．平面向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
设a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2．
2．向量垂直的坐标表示的充要条件
两个非零向量垂直的充要条件是它们的数量积为0．即a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0．
3．向量长度公式的坐标表示
设a ＝（x ，y ），则|a |2＝x 2＋y 2
，因此，|a |＝22y x +． 4．两向量夹角公式的坐标表示
已知非零向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），夹角为θ，则cos θ＝2
22221212
121||||y x y x y y x x +⋅++=⋅b a b a ． 学习本课时，我们弄清楚下面的问题：
平面向量数量积用坐标表示的基础和意义是怎样的？
数量积的坐标表示的基础是：向量的坐标表示和数量积的运算律．设i 、j 分别是和x 轴、y 轴同向的单位向量，则i ·i ＝1，j ·j ＝1，i ·j ＝j ·i ＝0，设a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则
a ·
b ＝（x 1i ＋y 1j ）·（x 2i ＋y 2j ）
＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 2y 1i ·j ＋y 1y 2j 2
＝x 1x 2＋y 1y 2．
数量积坐标表示的意义在于能使数量积的计算代数化，为用向量来处理几何问题，特别是解析几何问题提供了便利条件．
【学习方法指导】
怎样用向量的坐标形式求解向量积的问题？
［例1］已知a ＝（1，－2），b ＝（2，0），求同时满足条件a ·c ＝4，b ·c ＝0的向量c ．
解：设c ＝（x ，y ），则
由⎩⎨⎧=⋅=⋅04c b c a 得⎩⎨⎧=⋅+=-00242y x y x
∴x ＝0，y ＝－2，∴所求向量c ＝（0，－2）
怎样求向量的投影？
［例2］求向量a ＝（1，2）在向量b ＝（2，－2）方向上的投影．
分析：本题考查向量的数量积的几何意义．要求向量的投影，需先求两向量的夹角，而这可根据数量积的性质求得．
解：设向量a 与b 的夹角为θ，则
cos θ＝.1010)2(221)2(221|b ||a |b a 2222-=-⨯⨯+-⨯+⨯=⋅⋅
∴a 在b 方向上的投影＝|a |cos θ＝5×（－22)1010-=．
怎样把一个已知向量转化为单位向量？
［例3］设a ＝（x ，y ）≠0，则
)
,(),(1||222222y x y y x x y x y x ++=+=a a 即得到一个单位向量 ．
怎样利用向量的几种形式解答问题？
［例4］已知a 、b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角． 分析：由于向量的表示形式不同，有下面三种解法：
解法一：由|a |＝|b |，有|a |2＝|b |2
又由|b |＝|a －b |，得|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2
∴a ·b ＝21
|a |2
而|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |2
∴|a ＋b |＝3|a |
设a 与a ＋b 的夹角为θ，则 cos θ＝
,23||3||||21||22=⋅+=+⋅+⋅a a a a |b a ||a |b)(a a ∴θ＝30°． 解法二：设向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2）
∵|a |＝|b |，∴x 12＋y 12＝x 22＋y 22
由|b |＝|a －b |
得x 1x 2＋y 1y 2＝21
（x 12＋y 12）
由|a ＋b |2＝2（x 12＋y 12）＋2·21
（x 12＋y 12）＝3（x 12＋y 12）
得|a ＋b |＝
2
1213y x + 设a 与a ＋b 的夹角为θ，则 cos θ＝.233)(21)(|b a ||a |b)(a a 2121212121212121=+⋅⋅++++=+⋅+⋅y x y x y x y x
∴θ＝30°
解法三：由向量加法的几何意义，可作图5－7－1如下：
图5－7－1
在平面内任取一点O ，作＝a ，＝b ，以、为邻边作平行四边形OACB ． ∵|a |＝|b |，即||＝||，
∴OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ， 这时OC ＝a ＋b ，BA ＝a －b ，
而|a |＝|b |＝|a －b |
即|OA |＝|OB |＝|BA |
∴△AOB 为正三角形，则∠AOB ＝60°，
于是∠AOC ＝30°
即a 与a ＋b 的夹角为30°．
点评：用向量的坐标形式入手容易，但计算量较大．用向量的几何形式简捷且直观，但不易入手．
怎样用平面向量的坐标形式解证几何问题？
［例5］已知A （5，－1），B （－1，7），C （1，2），求△ABC 中∠A 的平分线AD 的长．
图5－7－2
解：|AB |＝22)17()51(++--＝10，
|AC |＝22)12()51(++-＝5．
设D 分BC 所成的比为λ，则
λ＝
||||||||AC AB DC BD =＝2． 设点D （x 0，y 0），则
x 0＝31121227,312
11210=+⨯+==+⨯+-y 所以，|AD |＝
【知识拓展】
用向量方法可以解证三角和不等式方面的问题．
［例6］用向量法证明cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β（要求α－β∈［0，π］）．
证明：在单位圆上取两动点A 、B ，设以OA 、OB 为终边的角分别为α，β． 则A （cos α，sin α），B （cos β，sin β）
于是·＝cos αcos β＋sin αsin β
又·＝||·||cos （α－β）＝cos （α－β）
∴cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β．
点评：用向量方法证明三角的和差角公式显得方便．但也有缺陷，要限制α－β∈［0，π］，否则不符合定义中“向量夹角”的要求。