抛物线的焦点与准线
抛物线 焦点 用途
抛物线是指平面内与一个定点F和一条定直线l（F∉l）的距离相等的点的轨迹，其中点F被称为抛物线的焦点，直线l被称为抛物线的准线。
抛物线在实际生活和生产中具有广泛的应用，以下是一些常见的用途：
- 光学设计：抛物线可以用于设计照相机和望远镜等光学设备中的镜片，利用其焦点处发出的光线可以形成平行光束。
- 建筑设计：抛物线形状的拱桥、大棚等建筑结构能够更好地承受压力和重力，具有更高的稳定性和安全性。
- 数学研究：抛物线是数学中的重要曲线之一，其性质和定理在几何、代数、微积分等领域中都有着广泛的应用。
总之，抛物线的焦点和用途涉及到多个领域和学科，对于数学、科学、工程等领域都有着重要的意义。
高三抛物线定理知识点
高三抛物线定理知识点抛物线是高中数学中重要且常见的曲线。
在高三阶段，学生需要掌握抛物线定理，并且能够灵活运用于解决相关问题。
本文将介绍高三抛物线定理的基本概念以及其应用。
一、抛物线的定义与特点抛物线是由平面上距离一个定点距离相等的点构成的图形。
该定点称为焦点，到直线称为准线。
1. 对称性：抛物线以准线为对称轴对称。
2. 焦距：焦点到准线的距离称为焦距，用f表示。
3. 定义域与值域：抛物线的定义域为实数集，值域为y≥d，其中d为抛物线与其准线的最低点的纵坐标。
二、顶点与对称轴在抛物线中，顶点是其中最高（或最低）的点。
对称轴是过焦点和顶点的直线。
1. 顶点：抛物线的顶点坐标为（h，k），其中h和k分别为抛物线的顶点的横坐标和纵坐标。
2. 对称轴：对称轴的方程为 x = h。
三、抛物线的一般方程抛物线的一般方程为 y = ax² + bx + c，其中a≠0。
在高三阶段，学生需要了解如何通过抛物线的顶点和焦点坐标来确定抛物线方程。
四、抛物线的焦点与准线的关系抛物线的焦点坐标为（f，0），其中焦距f的计算公式为 f = 1/4a。
准线的方程为 x = -f。
五、抛物线的平移抛物线可以通过平移进行位置上的变换。
1. 抛物线上下平移：将抛物线原方程中的常数c进行上下平移。
2. 抛物线左右平移：将抛物线原方程中的常数b进行左右平移。
六、抛物线的应用抛物线的定理在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
1. 抛物线光学：在光学实验中，抛物线是一种能够将平行光线聚焦于焦点的曲线形状。
2. 抛物线运动：在物理学中，抛物线也描述了平抛运动的轨迹，如投掷物体的运动。
七、高三抛物线定理解题方法1. 根据已知条件绘制抛物线，并确定抛物线的顶点、焦点和准线。
2. 列出抛物线的一般方程，并代入已知条件，解出未知变量。
3. 运用抛物线定理或几何特性，解答相关问题。
八、总结高三抛物线定理是数学中重要的知识点，掌握抛物线的基本概念、性质以及应用方法对于高中数学学习具有重要意义。
抛物线相关公式总结大全
抛物线相关公式总结大全抛物线是一种二次曲线，其具体形态由焦点、直线和定点确定。
在数学中，我们常常使用一些公式来描述和计算抛物线的性质。
下面是抛物线相关公式的总结：1. 标准方程公式：抛物线的标准方程为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b和c是抛物线的参数，决定了抛物线的形状和位置。
2. 顶点坐标公式：抛物线的顶点坐标可以通过标准方程公式中的x值公式得到： x = -b / (2a)将x代入标准方程公式中得到顶点坐标：(x, y)3. 平移和缩放公式：当抛物线的标准方程为y = ax^2 + bx + c时，可以通过平移和缩放来改变抛物线的位置和形状：- 上下平移：y = ax^2 + bx + c + k，其中k为上下平移的位移值。
- 左右平移：y = a(x - h)^2 + k，其中h为左右平移的位移值。
- 缩放：y = a(x - h)^2 + k，其中a为缩放系数。
当a>1时，抛物线变窄，当0<a<1时，抛物线变宽。
4. 焦点和准线坐标公式：抛物线的焦点和准线可以通过标准方程公式的参数a来求解： - 焦点坐标：F(h, k + 1/4a)，其中h和k为标准方程公式中顶点的坐标。
- 准线坐标：y = k - 1/4a5. 弦与切线公式：- 弦长公式：当给定抛物线上的两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)时，可以使用以下公式计算弦长：L = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)- 切线斜率公式：抛物线上任意点(x, y)处的切线斜率可以通过求导得到：m = dy/dx = 2ax + b以上是抛物线的一些常见公式和相关内容。
了解这些公式可以帮助我们更好地理解和运用抛物线的性质，进一步探索其在数学和物理等领域中的应用。
抛物线知识点
抛物线知识点1、抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．2、抛物线的几何性质：标准方程22y px = ()0p > 22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =- ()0p >图形顶点()0,0 对称轴x 轴 y 轴 焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 准线方程2px =- 2p x = 2p y =- 2p y = 离心率1e = 范围 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤3.过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =． 4.焦半径公式：若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02p F x P =+； 若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02p F y P =+；例：斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线相交于点A 、B ，求线段A 、B 的长．分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB 转化为求A 、B 两点到准线距离的和．解：如图8－3－1，y 2=4x 的焦点为F (1，0)，则l 的方程为y =x －1．由⎩⎨⎧+==142x y xy 消去y 得x 2－6x +1=0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 则x 1+x 2=6．又A 、B 两点到准线的距离为A '，B '，则 ()()()8262112121=+=++=+++='+'x x x x B B A A。
抛物线方程焦点到准线的距离
抛物线方程焦点到准线的距离全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：抛物线是一种重要的数学概念，它在几何学和代数学中有着重要的应用。
在准线上找到焦点到抛物线的距离是解决许多几何和代数问题的关键步骤之一。
本文将介绍抛物线方程焦点到准线的距离的计算方法，并探讨它的数学意义和应用。
让我们来回顾一下抛物线的一般方程：y = ax^2 + bx + c。
在这个方程中，a、b、c分别代表抛物线在坐标轴上的位置和形状。
而抛物线的焦点到准线的距离，也称为焦距，可以通过以下公式计算：f = 1 / 4af代表焦距，a代表抛物线的常数项。
这个公式告诉我们，在已知抛物线方程的情况下，只需找到a的值，即可计算出焦距的大小。
这对于解决一些几何学问题，如判断抛物线焦点的位置，有着重要的作用。
现在让我们来看一个具体的例子。
假设我们有一个抛物线的方程为y = 2x^2 + 4x + 1，我们要计算这个抛物线焦点到准线的距离。
根据上面的公式，我们可以发现a的值为2，那么焦距f就等于1/4*2=1/2。
这个计算结果告诉我们，在这个例子中，抛物线焦点到准线的距离为1/2。
这个距离的大小可以帮助我们更好地理解抛物线的形状和位置，进而解决一些相关的数学问题。
第二篇示例：抛物线是一种常见的二次曲线，在数学里有着重要的应用。
抛物线方程描述了一个物体在空中抛出后的轨迹，它有许多重要的性质和特点。
其中一个重要的性质就是抛物线焦点到准线的距离，这个距离对于抛物线的形状和特性起着至关重要的作用。
让我们来看一下抛物线的一般方程。
一般来说，抛物线的方程可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
抛物线的焦点可以表示为(h, k)，准线可以表示为y = k - p，其中p为焦距。
抛物线的焦点到准线的距离可以表示为|k - p - c|。
为了更清楚地理解抛物线焦点到准线的距离，我们可以通过一个实例来进行说明。
假设我们有一个抛物线的方程为y = x^2，则焦点为(0, \frac{1}{4})，准线为y = -\frac{1}{4}。
抛物线标准方程、焦点坐标和准线方程
抛物线标准方程、焦点坐标和准线方程下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢！本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注！Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!探索抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程引言抛物线是代数学中的一个重要概念，具有许多实际应用，如物体的抛射运动和天文学中的天体运动等。
抛物线上的点到准线的公式
抛物线上的点到准线的公式抛物线是我们经常在日常生活中见到的一种曲线，它具有很多特点。
其中，抛物线上的点到准线的公式是一个非常重要的概念。
首先，我们来了解一下什么是抛物线。
抛物线是一种二次曲线，它的特点是与一个固定点（称为焦点）的距离与一条直线（称为准线）的距离相等。
这个固定点和直线也是抛物线的两个重要元素。
对于抛物线上的任意一点，它到准线的距离与它到焦点的距离有一定的关系。
这个关系可以用抛物线上点的坐标以及焦点和准线的位置公式来表示。
具体来说，对于一个一般式的抛物线y = ax² + bx + c，其中a不等于0，它的焦点坐标为（0，1/4a），准线的方程为y = -1/4a。
则抛物线上一点P（x,y）到准线的距离为：d=|y + 1/4a|这个公式可以用来求解抛物线上任意一点到准线的距离。
我们可以举一个具体的例子来说明这个公式的应用。
比如，我们考虑一个经典的抛物线问题：一个小球从高度为h的位置抛出，落地时的位置距离投掷点为d。
假设空气阻力可以忽略不计，抛物线与地面平行。
则小球到达地面时的速度为：v²=2g(h-d)其中，g是重力加速度，v是速度。
根据这个公式，我们可以计算出小球到达地面时的速度。
然后，我们可以使用抛物线上点到准线的公式，计算小球飞行过程中离地距离最远的点到准线的距离，从而得到小球的最远飞行距离。
这个例子说明了抛物线上点到准线的公式的实际应用价值。
通过这个公式，我们可以解决很多关于抛物线的实际问题，从物理学到工程学、建筑学等各个领域。
总之，抛物线上点到准线的公式是抛物线的重要性质之一，具有很广泛的应用价值。
掌握这个公式可以帮助我们更好地理解抛物线的性质，并解决很多实际问题。
抛物线准线方程式
抛物线准线方程式
抛物线的准线方程公式：y=-p/2。
平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。
抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。
它有许多表示方法，例如参数表示、标准方程表示等等。
准线特点：
在抛物线y^2=2px中，焦点是(p/2，0），准线的方程是x= -p/2，离心率e=1，范围：x≥0。
在抛物线y^2= -2px 中，焦点是( -p/2，0），准线的方程是x=p/2，离心率e=1，范围：x≤0。
在抛物线x^2=2py 中，焦点是（0，p/2），准线的方程是y= -p/2,离心率e=1，范围：y≥0。
在抛物线x^2= -2py中，焦点是（0，-p/2），准线的方程是y=p/2，离心率e=1，范围：y≤0。
抛物线的像与性质
抛物线的像与性质抛物线是一种常见的数学曲线，它具有独特的形状和一系列特殊的性质。
在本文中，我们将探讨抛物线的像以及与之相关的性质。
一、焦点和直角坐标系在了解抛物线像的性质之前，我们首先需要了解抛物线的基本构造。
抛物线由焦点F和直线l（称为准线）构成。
焦点F位于准线上方，对称轴与准线垂直相交于顶点V。
为了更好地描述抛物线的像和性质，我们使用直角坐标系来进行图示和计算。
假设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，x和y分别表示点的坐标。
二、抛物线的像1. 焦点和准线抛物线的焦点F与准线l之间存在着特殊的对应关系。
具体来说，抛物线上的任意一点P到焦点的距离与点P到准线的距离之比始终等于一个常数，称为离心率e。
2. 点到焦点的距离对于抛物线上的任意一点P(x, y)，它到焦点F的距离可以表示为√((x - p)^2 + (y - q)^2)，其中(p, q)表示焦点F的坐标。
3. 点到准线的距离对于抛物线上的任意一点P(x, y)，它到准线l的距离可以表示为|y - c|/√(1 + a^2)。
4. 抛物线的像形成当抛物线的焦点F为实数对(p, q)，我们可以通过将抛物线上的每个点P(x, y)到焦点F的距离与点P到准线l的距离之比相等来确定抛物线的像。
三、抛物线的性质1. 对称性抛物线具有关于对称轴的对称性。
对于抛物线上的任意一点P，它与对称轴上的点Q关于对称轴对称。
2. 焦点与顶点的位置关系焦点F位于抛物线的对称轴上，且与顶点V的距离等于离心率e乘以对称轴的长度。
3. 切线与法线通过抛物线上的任意一点P，可以画一条与抛物线相切的直线，称为切线。
切线与通过点P且垂直于切线的直线，称为法线。
4. 焦点到切线的距离定理抛物线上任意一点P到焦点F的距离等于点P到切线的垂直距离的两倍。
5. 焦距和离心率的关系对于给定的抛物线，焦距与离心率之间存在关系，即焦距等于离心率乘以对称轴的长度。
抛物线焦点弦8个结论
抛物线焦点弦8个结论抛物线是一种常见的二次曲线，在数学和物理学中有广泛的应用。
抛物线的焦点是其特殊的性质之一，下面将介绍抛物线焦点的八个结论。
一、焦点到顶点的距离等于焦半径的长度。
抛物线的焦半径是从焦点到抛物线的准线的垂直距离，而抛物线的顶点是其最高点。
这个结论表明，焦点到顶点的距离等于焦半径的长度。
二、焦半径与准线垂直。
焦半径是从焦点到抛物线上的任意一点的线段，而准线是抛物线的对称轴。
这个结论说明，焦半径与准线垂直。
三、焦点到直线的距离等于焦半径的长度。
抛物线上的任意一点与其焦点之间的距离等于该点到抛物线的准线的垂直距离。
这个结论说明，焦点到直线的距离等于焦半径的长度。
四、焦点到抛物线的切线的距离等于焦半径的长度。
抛物线上的任意一点与其焦点之间的距离等于该点到抛物线的切线的垂直距离。
这个结论表明，焦点到抛物线的切线的距离等于焦半径的长度。
五、焦点是抛物线上的所有切线的焦点。
抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而焦点是抛物线上的所有切线的焦点。
这个结论说明，抛物线上的所有切线都会经过焦点。
六、抛物线上的所有切线与准线的交点都在焦点上。
抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而抛物线上的所有切线与准线的交点都在焦点上。
这个结论表明，抛物线上的所有切线都会与准线在焦点上相交。
七、焦点是抛物线上的所有法线的焦点。
抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而焦点是抛物线上的所有法线的焦点。
这个结论说明，抛物线上的所有法线都会经过焦点。
八、抛物线上的所有法线与准线的交点都在焦点上。
抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而抛物线上的所有法线与准线的交点都在焦点上。
这个结论表明，抛物线上的所有法线都会与准线在焦点上相交。
通过以上八个结论，我们可以更好地理解抛物线的性质和特点。
抛物线焦点的研究不仅对于数学学科有重要意义，也在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
对于工程设计、物理实验等方面的问题，我们可以利用抛物线焦点的性质来解决。
FMlH定点F叫做抛物线的焦点定直线l叫做抛物线的准线
抛物线的焦点到准线的距离（p>0）
思考2：方程的特点？
(1)左边是二次式, (2)右边是一次式;决定了焦点所在的轴. p前面的正负号决定开口方向.
知识应用：
例题： （1）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，求它 3 的焦点坐标及准线方程； 3 x
F ( ,0 ) 2
y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y
课堂小结：
1.抛物线的定义; 2.抛物线的标准方程有四种不同的形式; 3.p的几何意义是:
焦点到准线的距离
4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向．
2
（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，－2），求 抛物线的标准方程. 2
x 8 y
变式训练： 若抛物线的标准方程是 x = 6y 2 ，求它的焦 点坐标及准线方程
巩固练习：
根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）； y2
（2）准线方程 是x = ；
=12x y2 =x
（3）焦点到准线的距离是2。
M
· ·F
探究点二：抛物线标准方程
问题二
设点F到直线l的距离为p （p>0)， 如何建立坐标系， 才能使抛物线的方程更简单？
l H
y
M
K
p的几 何意义
o
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
· · F
x
问题三
（1）若定点F在定直线的l左侧呢？
（2）若定点F在定直线的l上方呢？
（3）若定点F在定直线的l下方呢？
l
F
·
l
﹒
F
﹒
F
l
探究点三：四种抛物线的对比
第8课时 抛物线的“焦点、准线”问题
第8课时 抛物线的“焦点、准线”问题【知识概述】平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线.抛物线0)a y ax =≠2（的焦点为104a （，），准线为直线14y a=-. 【例题精选】例1 在平面直角坐标系中，已知点A (1，2)，直线l ：2y =-，过动点P （x ，y ）作PH ⊥l ，垂足为H ，连结PA ．若在点P （x ，y ）的运动过程中始终满足PA =PH ，求点P 的运动轨迹的解析式.例2 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+1顶点为B ，且经过点()43A ，﹣，点P 为抛物线上的一个动点，l（1 （2）①当P 或“= ②当P【配套练习】1．如图1，P （）是抛物线214x y =-上任意的一点，直线是过点（0，-2）且与轴平行的直线，过点P 作直线PH ⊥，垂足为H ．(1) 填空：当=0时，OP = ，PH = ；当m =4时，OP = ，PH = ； (2) 对任意，猜想OP 与PH 的大小关系，并证明你的猜想；(3) 如图2，已知线段AB =6，端点A ，B 在抛物线214x y =-上滑动，求A ，B 两点到直线的距离之和的最小值；(4) 如图3，已知M （1，2），试探究在该抛物线上是否存在点N ，使得MN +NO 取得最小值？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线214y x =的顶点在原点O ，点F 坐标为（0，1）.直线与轴交于点H ，点P 为抛物线上一点．（1）过点P 作x 轴的垂线与直线交于点M ，求证：FM 平分∠OFP ； （2）当△FPM 是等边三角形时，求P 点的坐标．m n ，l x l m m n ，l 1y =-y 1y =-(第2题)练2例2图 1例2图2第8课时 抛物线的“焦点、准线”问题参考答案例1∵PA PH ＝y ＋2 ， PA =PH2y +，∴y ＝18(x －1)2．例2 (1) ∵抛物线y =ax 2+1经过点A （4，﹣3），∴﹣3=16a +1，a ＝－14，∴抛物线解析式为y ＝14x 2－1，顶点B （0，1）．(2) ①5，5，= 提示：当P 点运动到A 点处时，∵PO =5，PH =5，∴PO =PH ．②PO =PH ．设点P (m ，－14m 2＋1)，∵PH =2－(－14m 2＋1) =14m 2＋1，PO ＝(14m 2－1)2＋m 2 ＝14m 2＋1，∴PO =PH ． 【练习】1．(1) OP =1，PH =1；OP =5，PH =5．如图1，记PH 与x 轴交点为Q ，当m =0时，P （0，﹣1）．此时OP =1，PH =1；当m =4时，P （4，3）．此时PQ =3，OQ =4．∴OP =PQ 2＋OQ 2=5 ，2)32)5P PH y ===-(--(- ．(2) OP =PH ．证明：过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，∵P 在二次函数y ＝14x 2－1上，∴设P (m ，14m 2－1)，则PQ=|14m 2－1|，OQ =|m |，∵在Rt △OPQ 中，∴OP ＝PQ 2＋OQ 2＝(14m 2－1)2＋m 2 ＝14m 2＋1，2P PH y =-(-）＝14m 2－1＋2＝14m 2＋1，∴OP =PH ． (3) 如图2，连结OA ，OB ，过点A 作AC ⊥l 于C ，过点B 作BD ⊥l 于D ，此时AC 即为A 点到l 的距离，BD 即为B 点到l 的距离．则有OB =BD ，OA =AC ，在△AOB 中，∵OB +OA ＞AB ，∴BD +AC ＞AB ．当AB 过O 点时，∵OB +OA =AB ，∴BD +AC =AB ．综上所述，BD +AC ≥AB ，∵AB =6，∴BD +AC ≥6，即A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值为6． (4) ∵y =14x 2﹣1，当1x =时，y =－34，∴存在N （1，－34）使得MN +NO 取得最小值．理由如下：过点M 作MH ⊥l 轴于H ，过点N 作NG ⊥l 轴于G ，∴ 2(2)4MN NO MN NG MH +=+≥=--=．2．(1) ∵点P 在抛物线y =14x 2上，∴设点P 的坐标为（x ，14x 2），过点P 作PB ⊥y 轴于点B ，则BF =|14x 2－1|，PB x = ，∴Rt △BPF 中，PF ＝(14x 2－1)2＋x 2 ＝14x 2＋1，∵PM ⊥直线y =﹣1，∴PM ＝14x 2＋1，∴PF =PM ， ∴∠PFM =∠PMF ，又∵PM ∥x 轴，∴∠MFH =∠PMF ，∴∠PFM =∠MFH ，∴FM 平分∠OFP ；(3) 当△FPM 是等边三角形时，∠PMF =60°，∴∠FMH =30°，在Rt △MFH 中，MF =2FH =2×2=4，∵PF =PM =FM ，∴14x 2+1＝4，解得=x ±，∴满足条件的点P的坐标为（，3）或（-3）．。
一般抛物线准线方程
一般抛物线准线方程
一般来说，抛物线的准线方程可以通过以下步骤得到。
首先，我们知道抛物线的一般方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c分别是抛物线的系数。
现在我们来推导抛物线的准线方程。
1. 首先，确定抛物线的焦点和直线的方程。
抛物线的焦点可以通过公式(-b/2a, c-b^2/4a)计算得到。
接下来，我们需要确定这个焦点所在的直线方程，即准线方程。
2. 接下来，我们可以使用焦点和直线的性质来得到准线方程。
根据几何性质，抛物线的准线是与焦点垂直，并且经过抛物线的顶点。
因此，我们可以得到准线方程为x=-b/2a。
3. 最后，我们可以将这个准线方程与抛物线的一般方程结合起来，从而得到抛物线的准线方程。
将x=-b/2a代入抛物线的一般方程y=ax^2+bx+c中，即可得到抛物线的准线方程为y=c-b^2/4a。
综上所述，抛物线的准线方程为y=c-b^2/4a，其中a、b和c 分别是抛物线的系数。
这个准线方程可以帮助我们更好地理解抛物线的性质和特点。
与抛物线焦点弦有关的几个结论
与抛物线焦点弦有关的几个结论
抛物线是一种二次曲线，它的两个焦点和准线重要的概念。
在抛物线的作图中，弦也
是一个非常重要的元素。
抛物线的焦点弦指的是通过焦点连成的直线，它可以有助于更好地了解抛物线的特点。
下面将介绍抛物线与焦点弦之间的几个结论：
一、抛物线的焦点弦与抛物线的准线垂直：抛物线的准线是一条垂直于x轴或y轴的
直线，而抛物线的焦点弦也是垂直于这条准线的。
二、焦点弦是抛物线的对称轴：抛物线是一个对称图形，焦点弦也是抛物线的一个
对称轴。
因此，在进行图形操作时，如旋转、剪切等，我们可以以焦点弦作为对称轴，借
助它来操作图形。
三、抛物线的焦点距离等于它的准线距离的两倍：根据抛物线的定义，其准线距离为
它左右两个焦点的距离，那么抛物线的焦点弦距离就是准线距离的两倍。
四、抛物线的焦点弦与抛物线的坐标原点有关联：由于抛物线的准线与它的焦点弦都
是垂直的，那么抛物线弦的中心点就与抛物线的坐标原点关联起来了。
总而言之，抛物线的焦点弦是一个非常重要的概念，它与抛物线的准线有着十分密切
的关系，而且与抛物线的坐标原点也有一定的联系，有助于更好地描绘出抛物线图形，从
而更好地理解抛物线。
初一抛物线的知识点归纳总结
初一抛物线的知识点归纳总结抛物线是初中数学中一种基础的几何图形，对于初一学生来说，了解和掌握抛物线的性质和相关概念非常重要。
在本文中，我们将对初一抛物线的知识点进行归纳总结，并介绍其相关定义和性质。
一、抛物线的定义抛物线是平面解析几何中的一类曲线，其定义可以通过平面解析几何的方法给出。
具体定义如下：给定平面直角坐标系，设直线L：y=kx（k≠0）和点F (0,p)为抛物线的焦点，对于平面上任意一点P(x,y)，它到直线L的距离等于它到焦点F的距离。
则曲线P的轨迹就是一条抛物线。
二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线是关于y轴对称的，即对于抛物线上的任意一点P(x,y)，点P'(-x,y)也在抛物线上。
2. 切线性：抛物线上的任意一点P(x,y)处的切线斜率等于焦点F到点P的斜率。
3. 焦点和准线：焦点F是抛物线上的一个特殊点，准线L是抛物线上和直线 y=0 垂直的一条直线。
4. 对称轴：对称轴是垂直于准线的直线，过抛物线的焦点和准线的中点。
5. 顶点：抛物线的顶点是抛物线上离对称轴最近的点，即曲线的最高点或最低点。
三、抛物线的方程及表示初一阶段主要学习二次函数方程的基本形式 y=ax^2+bx+c，其中a≠0。
四、抛物线的图像和特点1. 当 a>0 时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当 a<0 时，抛物线开口向下，顶点为最高点。
2. 抛物线关于对称轴对称，焦点位于对称轴上方或下方。
3. a的绝对值越小，抛物线越窄；a的绝对值越大，抛物线越宽。
4. 抛物线与x轴的交点称为零点，抛物线与y轴的交点称为截距。
五、抛物线的应用举例1. 炮弹抛物线问题：炮弹在发射后受到重力的影响，其运动轨迹可以用抛物线来描述。
2. 反射面问题：光线从抛物线上一点入射，经过反射后，可以确定抛物线上相应的反射点。
3. 天桥设计：为使人行天桥结构稳定且美观，可以采用抛物线设计。
六、总结初一的抛物线知识点主要包括抛物线的定义、性质、方程、图像及特点等。
高二数学知识点总结抛物线
高二数学知识点总结抛物线抛物线是高中数学中一个重要的几何形状，它具有许多重要的性质和应用。
在高二数学学习中，我们需要掌握抛物线的定义、性质、标准方程和相关的解题方法。
下面将对这些知识点进行总结和概括。
1. 抛物线的定义抛物线是一个平面曲线，其定义是所有到一个定点（焦点F）和到一条直线（准线L）的距离相等的点的轨迹。
这个定点叫做焦点，准线叫做准线。
焦点到准线的距离叫做焦距，用字母p表示。
所有的抛物线都具有这个性质。
2. 抛物线的性质(1) 抛物线是对称的。
对于一个抛物线，以焦点为对称中心，准线为对称轴，抛物线上的每一个点关于对称轴对称。
(2) 抛物线的焦点和准线的位置关系。
焦点在平行于准线的直线上方时，抛物线开口向上；焦点在平行于准线的直线下方时，抛物线开口向下。
(3) 抛物线的顶点位置。
抛物线的顶点是其准线与对称轴的交点，也是其最高或最低点。
3. 抛物线的标准方程抛物线的标准方程是y=ax^2+bx+c。
其中，a、b、c均为实数常数。
(1) 若a>0，则抛物线开口向上。
(2) 若a<0，则抛物线开口向下。
(3) 当抛物线的标准方程为y=ax^2 (a≠0)时，抛物线焦点在原点，准线为y=0轴。
4. 抛物线的平移与图像变换(1) 横向平移：抛物线沿x轴平移h个单位。
平移后的抛物线方程为y=a(x-h)^2+b(x-h)+c。
(2) 纵向平移：抛物线沿y轴平移k个单位。
平移后的抛物线方程为y=a(x^2-2hx+h^2)+b(x-h)+c+k。
5. 抛物线的相关解题方法(1) 求抛物线的焦点坐标：根据焦点的定义，使用平移和对称的思想，通过已知的抛物线方程可以求得焦点坐标。
(2) 求抛物线的顶点坐标：根据抛物线的对称性和平移性质，将抛物线方程转化为顶点形式，即可得到顶点坐标。
(3) 求抛物线与直线的交点坐标：将抛物线方程与直线方程联立，解方程组得到交点坐标。
(4) 求抛物线与抛物线的交点坐标：将两个抛物线方程联立，解方程组得到交点坐标。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
抛物线的焦点与准线（高中知识有关）九上P54、活动2（新书）一、 高中知识：文科选修（1-1）P53-55；理科选修（1-1）P56-59抛物线的几个定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线L 叫做抛物线的准线.公式：抛物线c bx ax y ++=2的焦点为)414,2(2a b ac a b +--，准线为ab ac y 4142--= 二、 试题：1、（2010黄冈市，25，15分）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O ．过抛物线上一点P （x ，y ）向直线54y =作垂线，垂足为M ，连FM （如图）．（1）求字母a ，b ，c 的值； （2）在直线x ＝1上有一点3(1,)4F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求出t 值，若不存在请说明理由．2、2012年山东潍坊市24．(本题满分11分)如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A (－2，0)、B (2，0)、C (0，－1)三点，过坐标原点0的直线y =kx 与抛物线交于M 、N 两点．分别过点C ,D (0，－2)作平行于x 轴的直线21l l 、．(1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以ON 为直径的圆与直线1l 相切；(3)求线段MN 的长(用k 表示)，并证明M 、N 两点到直线2l 的距离之和等于线段MN 的长．3、湖北省黄冈市2011年中考数学试卷24、如图所示，过点F （0，1）的直线y=kx+b 与抛物线交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点（其中x 1＜0，x 2＞0）．（1）求b 的值． （2）求x 1?x 2的值．（3）分别过M ，N 作直线l ：y=﹣1的垂线，垂足分别是 M 1和N 1．判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论． （4）对于过点F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线 m ，使m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由．第22题图4、2010年南通市中考试题（五中月考）28．（本小题满分14分）(2010年南通市)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （－4，3）、B （2，0）两点，当x =3和x =－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C （0，－2）的直线l 与 x 轴平行，O 为坐标原点．（1）求直线AB 和这条抛物线的解析式；（2）以A 为圆心，AO 为半径的圆记为⊙A ，判断直线l与⊙A 的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB 上的点D 的横坐标为－1，P （m ，n ）是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上的动点，当△PDO 的周长最小时，求四边形CODP 的面积． 5、（2011-2012福州市九上期末考试题）22．（14分）已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 经过点A（－2，0）、B （0，1）两点，且对称轴是y 轴，经过点C （0，2）的直线l 与x 轴平行，O 为坐标原点，P 、Q为抛物线c bx ax y ++=2（0≠a）上的两动点。
（1）求抛物线的解析式;（2）以点P 为圆心，PO 为半径的圆记为⊙P ，判断直线l 与⊙P 的位置关系，并证明你的结论; （3）设线段9=PQ ，G 是PQ 的中点，求点G 到直线l 距离的最小值。
6、（2012四川资阳9分）抛物线21y=x +x+m 4的顶点在直线y=x+3上，过点F （－2，2）的直线交该抛物线于点M 、N两点（点M 在点N 的左边），MA ⊥x 轴于点A ，NB ⊥x 轴于点B ．（1）(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m 的代数式表示），再求m 的值；（2）(3分)设点N 的横坐标为a ，试用含a 的代数式表示点N 的纵坐标，并说明NF ＝NB ；（3）(3分)若射线NM 交x 轴于点P ，且PA ×PB ＝1009，求点M 的坐标． 抛物线的焦点与准线（高中知识有关）答案1、（2010黄冈市，25，15分）【分析】．（1）抛物线的顶点为C （1，1），可设解析式为y ＝a （x －1）2+1，又因抛物线过原点，可得a ＝－1，所以y ＝－（x －1）2+1，化简得y＝－x 2＋2x ，即可求字母a ，b ，c 的值；（2）由FM ＝FP ，PM 与直线5y =垂直，可得5334y -=-，∴14y =，代入y ＝－x 2＋2x ，解得1x =±P坐标为（1+14）或（1，14），所以分两种情况，通过计算可得△PFM 为正三角形；（3）由PM ＝PN 可得54y -（第28题）整理得，23920216t yt y -+-=，解得134t =，2324t y =-（舍去），故存在点N （1，34），使PM ＝PN 恒成立．【答案】．（1）a ＝－1，b ＝2，c ＝0（2）∵FM ＝FP ，PM 与直线54y =垂直，∴533444y -=-，∴14y =，把14y =代入y ＝－x 2＋2x ，解得1x =±∴点P 坐标为（114）或（1，14），当点P 坐标为（1+14）时，MP ＝MF ＝PF ＝1，∴△PFM为正三角形，当点P 坐标为（1-14）时，MP ＝MF ＝PF ＝1，∴△PFM 为正三角形，∴当点P 坐标为（1，14）或（1，14）时，△PFM 为正三角形；（3）存在，∵PM ＝PN ，∴ 54y -，两边同时平方得，2255162y y -+＝()()221x y t -+-∵y ＝－x 2＋2x ，∴23920216t yt y -+-=，解得134t =，2324t y =-（舍去），故存在点N （1，34），使PM ＝PN 恒成立．【涉及知识点】二次函数，等腰三角形，等边三角形 【点评】本题是一道综合性较强的题目，第（1）问较简单，考查大多数学生的能力水平，第（2）问、（3）问较难，解决的关键是利用等腰三角形的性质列出方程，从而求出点的坐标，在第（3）问中要注意解关于t 的字母系数方程，本题有一定的区分度．【推荐指数】★★★★★2、2012年山东潍坊市24．(本题满分ll 分)解：(1)设抛物线对应二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，由⎩⎨⎧+-==-++=c b a cc b a 2401240 解得⎩⎨⎧=-==4110a c b 所以1412-=x y ．……3分 (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，因为点M 、N 在抛物线上，所以,141,141222211-=-=x y x y ，所以x 22=4(y 2+1)； 又ON 2=x 22+y 22=4(y 2+1)+y 22=(y 2+2)2，所以ON =22y +，又因为y 2≥－l ，所以0N =2+y 2．……5分设ON 的中点E ，分别过点N 、E 向直线1l 作垂线，垂足为P 、F ，则 2222y NP OC EF +=+=， 所以ON =2EF ， 即ON 的中点到直线1l ，的距离等于0N 长度的一半，所以以ON 为直径的圆与1l 相切．………………………………………7分(3)过点M 作MH ⊥NP 交NP 于点H ，则MN 2=MH 2+NH 2=(x 2－x 1)2+(y 2－y 1)， 又y 1=kx 1,y 2=kx 2，所以（y 2－y 1)2=k 2(x 2－x 1)2 所以MN 2=(1+k 2)(x 2一x l )2；又因为点M 、N 既在y =kx 的图象上又在抛物线上，所以1412-=x kx ，即x 2－4kx －4=0， 所以22122216164k k k k x +±=+±=，所以(x 2－x 1)2=16(1+k 2)，所以MN 2=16(1+k 2)2，∴MN =4(1+k 2)…9分延长NP 交2l 于点Q ，过点M 作MS ⊥2l 交2l 于点S ， 则MS +NQ =y 1+2+y 2+2=2)(41414114122212221++=+-+-x x x x 又x 12+x 22=2[4k 2+4(1+k 2)]=16k 2+8，所以MS +NQ =4k 2+2+2=4(1+k 2)=MN即M 、N 两点到2l 距离之和等于线段MN 的长．……………………ll 分说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考本标准给出相应分数. 3、湖北省黄冈市2011年中考数学试卷 考点：二次函数综合题。
专题：代数几何综合题。
分析：（1）把点F 的坐标代入直线可以确定b 的值． （2）联立直线与抛物线，代入（1）中求出的b 值，利用根与系数的关系可以求出x 1?x 2的值．（3）确定M 1，N 1的坐标，利用两点间的距离公式，分别求出M 1F 2，N 1F 2，M 1N 12，然后用勾股定理判断三角形的形状．（4）根据题意可知y=﹣1总与该圆相切．． 解答：解：（1）∵直线y=kx+b 过点F （0，1），b=1⑵显然11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩是方程组2114y k xy x =+⎧⎪⎨=⎪⎩的两组解，解方程组消元得21104x kx --=，依据“根与系数关系”得4x x 21-=. ⑶△M 1FN 1是直角三角形是直角三角形，理由如下：由题知M 1的横坐标为x 1，N 1的横坐标为x 2，设M 1N 1交y 轴于F 1，则F 1M 1?F 1N 1=－x 1?x 2=4，而FF1=2，所以F 1M 1?F 1N 1=F 1F 2，另有∠M 1F 1F=∠FF 1N 1=90°，易证Rt △M 1FF 1∽Rt △N 1FF 1，得∠M 1FF 1=∠FN 1F 1，故∠M 1FN 1=∠M 1FF 1＋∠F 1FN 1=∠FN 1F 1＋∠F 1FN 1=90°，所以△M 1FN 1是直角三角形. ⑷存在，该直线为y=－1.理由如下： 直线y=－1即为直线M 1N 1.如图，设N 点横坐标为m ，则N 点纵坐标为214m ,计算知NN 1=211m +， =2114m +，得NN 1=NF同理MM 1=MF.那么MN=MM 1＋NN 1，作梯形MM 1N 1N 的中位线PQ ，由中位线性质知PQ=12（MM 1＋NN 1）=12MN ，即圆心到直线y=－1的距离等于圆的半径，所以y=－1总与该圆相切.点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）由点F 的坐标求出b 的值．（2）结合直线与抛物线的解析式，利用根与系数的关系求出代数式的值． （3）用两点间的距离公式，判断三角形的形状. （4）根据点与圆的位置判断直线与圆的位置． 4、2010年南通市中考试题（五中月考）22．（本小题满分14分）（1）因为当x =3和x =－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，故b=0. 设直线AB 的解析式为y=kx+b ，把A （－4，3）、B （2，0）代入到y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧=+=+.04,316c a c a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==.1,41c a ∴这条抛物线的解析式为y ＝41x 2-1. 设直线AB 的解析式为y=kx+b ，把A （－4，3）、B （2，0）代入到y=kx+b ，得⎩⎨⎧=+=+-.02,34b k b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.1,21b k ∴这条直线的解析式为y ＝-21x+1. （2）依题意，OA =.54322=+即⊙A 的半径为5.?第22题解答用图而圆心到直线l 的距离为3+2=5. 即圆心到直线l 的距离=⊙A 的半径， ∴直线l 与⊙A 相切.（3）由题意，把x =-1代入y =-21x +1，得y =32，即D （-1，32）.由（2）中点A 到原点距离跟到直线y =-2的距离相等，且当点A 成为抛物线上一个动点时，仍然具有这样的性质，于是过点D 作DH ⊥直线l 于H ，交抛物线于点P ，此时易得DH 是D 点到l 最短距离，点P 坐标（-1，-34）此时四边形PDOC 为梯形，面积为178. 略解过程如下：（以下过程是：证明当点D 、P 、H 三点共线时，△PDO 的周长最小） 如图1，过点P 作P H ⊥l ，垂足为H ，延长HP 交x 轴于点G ， 设P （m,n ）则1412-=m y P ， ∴22222222)141()141(+=-+=+=m m m GP OG OP，∴1412+=m OP∵141)2(14122+=---=-=m m y y PH H P ∴OP=PH要使△PDO 的周长最小，因为OD 是定值，所以只要OP+PD 最小， ∵OP=PH ∴只要PH+PD 最小根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。