抛物线的焦点与准线

抛物线的焦点与准线（高中知识有关）

九上P54、活动2（新书）

一、 高中知识：文科选修（1-1）P53-55；理科选修（1-1）P56-59

抛物线的几个定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线L 叫做抛物线的准线.

公式：抛物线c bx ax y ++=2

的焦点为)414,2(2a b ac a b +--，准线为a

b a

c y 41

42--= 二、 试题：

1、（2010黄冈市，25，15分）已知抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O ．过抛物线上一点P （x ，y ）向直线5

4

y =

作垂线，垂

足为M ，连FM （如图）．

（1）求字母a ，b ，c 的值； （2）在直线x ＝1上有一点3

(1,

)4

F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；

（3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求出t 值，若不存在请说明理由．

2、2012年山东潍坊市

24．(本题满分11分)如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A (－2，0)、B (2，0)、C (0，－1)三点，过坐标原点0的直线y =kx 与抛物线交于M 、N 两点．分别过点C ,D (0，－2)作平行于x 轴的直线21l l 、．

(1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以ON 为直径的圆与直线1l 相切；

(3)求线段MN 的长(用k 表示)，并证明M 、N 两点到直线2l 的距离之和等于线段MN 的长．

3、湖北省黄冈市2011年中考数学试卷

24、如图所示，过点F （0，1）的直线y=kx+b 与抛物线

交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点（其中x 1＜0，

x 2＞0）．

（1）求b 的值． （2）求x 1?x 2的值．

（3）分别过M ，N 作直线l ：y=﹣1的垂线，垂足分别是 M 1和N 1．判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论． （4）对于过点F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线 m ，使m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由．

第22题图

4、2010年南通市中考试题（五中月考）

28．（本小题满分14分）(2010年南通市)

已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （－4，3）、B （2，0）两点，当x =3和x =－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C （0，－2）的直线l 与 x 轴平行，O 为坐标原点．

（1）求直线AB 和这条抛物线的解析式；

（2）以A 为圆心，AO 为半径的圆记为⊙A ，判断直线l

与⊙A 的位置关系，并说明理由；

（3）设直线AB 上的点D 的横坐标为－1，P （m ，n ）是

抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上的动点，当△PDO 的周长最小时，求四边形CODP 的面积． 5、（2011-2012福州市九上期末考试题）

22．（14分）已知抛物线)0(2

≠++=a c bx ax y 经过点A

（－2，0）、B （0，1）两点，且对称轴是y 轴，经过点

C （0，2）的直线l 与x 轴平行，O 为坐标原点，P 、Q

为抛物线c bx ax y ++=2

（0≠a

）上的两动点。

（1）求抛物线的解析式;

（2）以点P 为圆心，PO 为半径的圆记为⊙P ，

判断直线l 与⊙P 的位置关系，并证明你的结论; （3）设线段9=PQ ，G 是PQ 的中点，求点G 到直

线l 距离的最小值。

6、（2012四川资阳9分）抛物线21

y=x +x+m 4

的顶点在直线y=x+3上，过点F （－2，2）的直线交该抛物线于点M 、N

两点（点M 在点N 的左边），MA ⊥x 轴于点A ，NB ⊥x 轴于点B ．

（1）(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m 的代数式表示），再求m 的值；

（2）(3分)设点N 的横坐标为a ，试用含a 的代数式表示点N 的纵坐标，并说明NF ＝NB ；

（3）(3分)若射线NM 交x 轴于点P ，且PA ×PB ＝

100

9

，求点M 的坐标． 抛物线的焦点与准线（高中知识有关）答案

1、（2010黄冈市，25，15分）【分析】．（1）抛物线的顶点为C （1，1），可设解析式为y ＝a （x －1）2+1，又因抛物线过原点，可得a ＝－1，所以y ＝－（x －1）2+1，化简得y

＝－x 2＋2x ，即可求字母a ，b ，c 的值；（2）由FM ＝FP ，PM 与直线5

y =

垂直，可得5334

y -=-，∴1

4y =，代入y ＝－x 2＋2x ，解得1x =±P

坐标为（1+14

）或（1，1

4），所以分两种情况，通过计算可得△PFM 为正三角形；（3）由PM ＝PN 可得

54

y -

（第28题）

整理得，23920216t yt y -+

-=，解得134t =，2324t y =-（舍去），故存在点N （1，3

4

），使PM ＝PN 恒成立．

【答案】．（1）a ＝－1，b ＝2，c ＝0

（2）∵FM ＝FP ，PM 与直线54y =

垂直，∴533444y -=-，∴14

y =，

把1

4

y =

代入y ＝－x 2＋2x ，解得1x =±∴点P 坐标为

（114）或（1，1

4

），

当点P 坐标为（1+1

4

）时，MP ＝MF ＝PF ＝1，∴△PFM

为正三角形，

当点P 坐标为（1-14

）时，MP ＝MF ＝PF ＝1，∴△PFM 为正三角形，

∴当点P 坐标为（1，14）或（1，1

4

）时，△PFM 为正三角形；

（3）存在，∵PM ＝PN ，∴ 54

y -，

两边同时平方得，2255162

y y -+＝()()22

1x y t -+-

∵y ＝－x 2＋2x ，∴239

20216

t yt y -+-=，

解得134t =，2324t y =-（舍去），故存在点N （1，3

4

），使PM ＝PN 恒成立．

【涉及知识点】二次函数，等腰三角形，等边三角形 【点评】本题是一道综合性较强的题目，第（1）问较简单，考查大多数学生的能力水平，第（2）问、（3）问较难，解决的关键是利用等腰三角形的性质列出方程，从而求出点的坐标，在第（3）问中要注意解关于t 的字母系数方程，本题有一定的区分度．

【推荐指数】★★★★★

2、2012年山东潍坊市24．(本题满分ll 分)

解：(1)设抛物线对应二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，

由⎩⎨⎧+-==-++=c b a c

c b a 2401240 解得⎩⎨⎧=-==41

1

0a c b 所以14

12

-=

x y ．……3分 (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，因为点M 、N 在抛物线上，

所以,14

1,1412

22211-=-=

x y x y ，所以x 22=4(y 2+1)； 又ON 2=x 22+y 22=4(y 2+1)+y 22=(y 2+2)2，所以ON =22y +，又因为y 2≥－l ，