计算气动声学中的高阶Nodal-DG方法研究

计算气动声学中的高阶Nodal-DG方法研究陈二云;赵改平;杨爱玲;卓文涛【摘要】气动噪声的直接模拟对数值格式的色散、耗散特性提出了严格的要求.基于描述声波的线性双曲方程,运用本征值方法分析了高阶Nodal-DG方法的色散、耗散特性.结果发现,对于任意给定的m阶多项式基函数,数值波解有m+1个值,但仅有一个能够表示对应微分方程的物理波传播方式,其余的都是寄生波,且两种波型的传播方向相反.通过与Tam的DRP格式和Lele的六阶紧致格式进行比较,发现在相同的计算精度下,Nodal- DG方法的有效求解波数范围介于DRP格式和六阶紧致格式之间.通过对初始扰动为高斯波形的计算比较发现,在较少的网格数下,Nodal- DG方法的计算结果可以与紧致格式的计算结果相比,但优于DRP格式的计算结果,非常适合于气动声学的数值模拟,为气动声场的直接计算提供了一种新的方法.%Numerical schemes that result in minimal dispersion and dissipation errors are generally preferred for direct simulation of noise propagation. Dispersion and dissipation properties of nodal discontinuous Galerkin( DG) method for the linearized Euler equation were investigated by utilizing an eigenvalue analysis technique. It was found that for any given mth order of basis functions, there are m + 1 modes of numerical waves. But among them only one represents propagating mode of physical wave corresponding to the partial differential equation, the rest belongs to numerical parasite modes, and moreover the propagation directions of these two kinds of numerical modes are opposite. The comparisons of dispersion properties among the nodal discontinuous Galerkin method, DRP schemes and compact finite difference schemeswith the same order show the solvable wavenumber range of nodal DG method lies between those of DRP schemes and compact finite difference schemes. A test problem of wave propagation with initial disturbance consisting of a Gaussian profile was solved. The quality of solution obtained by nodal DG method with less grid number is analogous to that by compact finite difference schemes, but better than that by DRP schemes, which indicates the method is appropriate to direct numerical simulation of aeroacoustics.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2012(031)003【总页数】4页(P168-171)【关键词】计算气动声学;色散耗散特性;Nodal-DG方法【作者】陈二云;赵改平;杨爱玲;卓文涛【作者单位】上海理工大学能源与动力工程学院,上海200093;上海理工大学医疗器械与食品学院,上海200093;上海理工大学能源与动力工程学院,上海200093;上海理工大学能源与动力工程学院,上海200093【正文语种】中文【中图分类】O422.6气动声学作为气动力学和声学之间的一门交叉性学科，主要研究流动及其与物体相互作用产生噪声的机理［1］。

气动声学所涉及的问题具有非定常、小量级和较大的空间尺度分布，而且其脉动频率也非常宽。

与传统的计算流体力学(CFD)方法相比，气动声学的数值方法不仅要具有较高的计算精度，还要具有尽可能低的色散、耗散误差。

因此，发展一种适合气动声学数值模拟的计算方法，进而来理解、预测并最终能够控制噪声的研究工作具有非常重要的理论意义和工程应用价值。

针对气动噪声的传播特性，近几年一些研究者对计算气动声学(CAA)的离散方法进行了大量的研究。

如Tam和Webb［2］提出了保色散中心有限差分DRP格式;LeLe［3］提出了高阶精度紧致类格式;Kim 等［4－5］在此基础上进一步提出了优化紧致差分格式以及优化边界紧致差分格式。

此外，我国的傅德薰先生［6］也进行了相关的研究，提出了高精度迎风紧致型格式，并在试验中得到了验证。

但这些方法都是基于均匀分布的笛卡尔网格条件下构造的对称形式的有限差分格式，不适于计算具有复杂外形的气动声学问题。

80 年代末，Cockburn 和舒其望等［7－9］提出一种间断伽辽金(DG)方法。

该方法吸收了有限元方法和有限体积方法的优点，具有一致高阶精度、网格适应性强、结构守恒性和容易向高维推广等特点，在计算流体力学领域被广泛采用，有些研究者已开始将该方法应用到气动声学的计算。

因此，建立低耗散、低色散的DG方法对气动声场进行数值模拟有着广阔的应用前景。

按照基函数的不同构造方式，可以将DG方法分为两类［10－11］:Nodal-DG 方法和 Modal-DG 方法。

在本文的研究中，仅考虑Nodal-DG方法。

通过选取合适的基函数和插值节点，质量矩阵是对角化的，有利于质量矩阵求逆和并行计算。

本文工作主要是基于线性双曲方程，运用本征值方法分析了高阶DG半离散格式的色散、耗散特性。

结果发现，对于任意给定的m阶多项式基函数，数值波解有m+1个值，但仅有一个值能够表示对应微分方程的物理波传播方式，其余的都是寄生波，且两种波型的传播方向相反。

此外，通过与DRP格式和六阶紧致格式进行比较发现，在相同的计算精度下，DG方法的有效求解波数范围介于DRP格式和六阶紧致格式之间。

通过对高斯波形传播的计算比较发现，在较少的网格数下，DG方法的计算结果可以与紧致格式的计算结果相比，但优于DRP格式的计算结果，非常适合于气动声学的数值模拟，值得进一步深入研究。

1 数学模型考虑一维线性双曲方程:)其中x∈R，f=au，a为常数。

为便于讨论，设方程的解具有周期性，初始条件为:u(x，0)=exp(ikx)，k是波数。

显然，方程(1)具有如下形式的非平凡解:其中是频率，将方程(2)代入方程(1)得ω=ka，即对应于方程(1)的精确色散关系式。

2 数值离散图1 计算域剖分Fig.1 Computational domain首先将一维计算区域剖分成互不重叠的等间距网格单元，其中网格步长，如图1所示。

下标r与l分别表示每个单元的左右边界。

在每个单元Dn上，将近似解表示成:其中表示m阶拉格朗日多项式基函数，则数值格式在空间上具有m+1阶精度。

在每个单元上用连续函数v(x)乘方程(1)的两端，并用它的近似解u代替方程(1)的精确解u(x，t)，用代替测试函数v，经两次分部积分得到强表达式:由于在DG方法中，并不要求解在单元边界上是连续的，故等式右边数值通量函数f*不是唯一定义的。

本文计算中取数值通量的表达形式为Lax－Friedrichs通量:其中分别表示单元Dn内外的近似解在单元交界面上的值。

正实数α用来调节数值通量的耗散特性，例如取α=1时，满足无耗散的中心通量，当α=0时，满足迎风通量，本文计算中取α=0。

表示单元边界的单位外法线矢量。

取通量)，测试函数，则对于任意给定的测试函数vnh，方程(3)可以表示成:将上述积分进行等参变换，则有:其中质量矩阵，刚度矩阵 S=表示在第 p 个位置是1，其它位置是0的m+1维零向量。

为了建立数值色散关系式，设局部近似解满足:其中表示系数向量。

则:由于方程的解具有周期性，所以，将上述各表达式进行等参变换后代入方程(5)，得:其中，L=kh/(m+1)，Ω =ωh/［a(m+1)］。

显然，间断有限元空间半离散格式的数值色散关系式为:L=Ω。

其中Ω为复数，Ω=Ωr+iΩt，实部代表数值格式的色散特性，虚部代表数值格式的耗散特性，该值通过在复数域空间求解关于方程(6)的广义本征值问题而获得。

3 色散特性分析图2表示DG方法的色散、耗散特性曲线分布图。

本文中以m=1为例进行说明。

其中实线代表原方程的精确色散、耗散特性分布曲线，符号线代表间断有限元方法的数值色散、耗散特性分布曲线。

从图中可以看出，对于任意给定的m阶多项式基函数，数值波解有m+1个值，但仅有一个值能够表示对应微分方程物理波的传播方式(如圆圈线)，其余的都是寄生波(如四边形线)，两种波型的传播方向相反，且寄生波在有效求解波数范围之外具有较大的衰减率。

图2 色散、耗散特性分布曲线Fig.2 Dispersion and dissipation characteristics 图3表示格式精度对色散、耗散特性影响分布曲线图。

其中实线代表原方程的精确色散、耗散特性分布曲线，符号线代表基函数取不同的m阶多项式时对应的数值色散、耗散特性分布曲线。

从图中可以看出，当m=1时，即数值格式在空间上具有二阶精度，间断有限元方法的有效求解波数范围约为0.62(以相对误差小于0.5%为标准)，当m=3时，有效求解波数范围约为1.09，当m=6时，有效求解波数范围约为1.40。

由此可以看出，随着数值格式精度的提高，可以有效地降低DG方法的色散误差和耗散误差。

图4表示相同计算精度下(六阶)，DG方法与DRP格式和紧致格式的色散误差对比图，为了便于比较，对波数进行了归一化处理。

其中直线代表原方程精确的色散特性分布曲线，圆点、圆圈与三角形分别代表DG方法、DRP格式和紧致格式的数值色散特性曲线。