简单的线性规划典型例题

简单的线性规划典型例题
求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积.
某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?
参考答案
例1：
依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.
｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为
或其平面区域如图：
或或
∴面积S=×4×4=8
画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.
例2：
弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.
设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么z=252x+160y，
作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图
作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.
观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求.
此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，
zmin=252×2+160×5=1304.
答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.
用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.
篇二：不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析
线性规划讲义
【考纲说明】
（1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义；（2）掌握简单的二元线性规划问题的解法．
（3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；（4）会用画网格的方法求解整数线性规划问题．
（5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力．
【知识梳理】
简单的线性规划问题一、知识点
1. 目标函数: Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函
数，称为目标函数． 2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域. 3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．
4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．
5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难知识导析
线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. 1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．
2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验．
3. 平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．
4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．
5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优
解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.
积储知识：
一．1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=0
2. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B0时，Ax0+By0+C当B0时，Ax0+By0+C0
3. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B0时，Ax0+By0+C当B0时，Ax0+By0+C0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入
Ax+By+C,所得实数的符号都相同,
（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反,
即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)0
2.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的两侧，则有
（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)0 二.二元一次不等式表示平面区域:
①二元一次不等式Ax+By+C0（或0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界;
②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;
注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二
元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域
原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。

方法二：利用规律：
1.Ax+By+C0,当B0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），
当B0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）;
2.Ax+By+C0,当B0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）
当B0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）。

四、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：②线性目标函数：
③线性规划问题：④可行解、可行域和最优解：
【经典例题】
一．建构数学
?4x?y?10?4x?3y?20?
1．问题：在约束条件?下，如何求目标函数P?2x?y的最大值？
?x?0??y?0
首先，作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为可行域，如图
（1）所示．
其次，将目标函数P?2x?y变形为y??2x?P的形式，它表示一条直线，斜率为，且在y轴上的截距为P．
平移直线y??2x?P，当它经过两直线4x?y?10与4x?3y?20的交点A(,5)时，直线在y
轴上的截距最
54
大，如图（2）所示．
因此，当x?
555
,y?5时，目标函数取得最大值2??5?7.5，即当甲、乙两种产品分别生产t和5t时，可
444
54
获得最大利润7.5万元．
这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题．其中(,5)使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的最优解．对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．说明：平移直线y??2x?P时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点）．
二．数学运用
?x?4y??3?
例1．设z?2x?y，式中变量x,y满足条件?3x?5y?25，求z的最大值和最小值．
?x?1?
解：由题意，变量x,y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当x?0,y?0时，z?2x?y?0，即点(0,0)在直线l0：2x?y?0上，作一组平行于l0的直线l：2x?y?t，t?R，可知：当l在l0的右上方时，直线l上的点(x,y)
满足2x?y?0，即t?0，而且，直线l往右平移时，t随之增大．由图象可知，
当直线l经过点A(5,2)时，对应的t最大，当直线l经过点B(1,1)时，对应的t最小，所以，zmax?2?5?2?12，zmin?2?1?1?3．y
x?1
C
A x?4y?3?0
O
3x?5y?25?0
x
?x?4y??3?
例2．设z?6x?10y，式中x,y满足条件?3x?5y?25，求z的最大值和最小值．
?x?1?
解：由引例可知：直线l0与AC所在直线平行，则由引例的解题过程知，
当l与AC所在直线3x?5y?25?0重合时z最大，此时满足条件的最优解有无数多个，当l经过点B(1,1)时，对应z最小，
∴zmax?6x?10y?50，zmin?6?1?10?1?16．
?2x?y?3?0?
例3．已知x,y满足不等式组?2x?3y?6?0，求使x?y取最大值的整数x,y．
?3x?5y?15?0?
解：不等式组的解集为三直线l1：2x?y?3?0，l2：2x?3y?6?0，l3：
3x?5y?15?0所围成的三角形内部
y（不含边界），设l1与l2，l1与l3，l2与l3交点分别为A,B,C，则A,B,C坐标分别为
Al1(8,4)，B(0,?3)，
7512C(,?)，l3
A 1919
作一组平行线l：
x?y?t平行于l0：x?y?0，当l往l0右上方移动时，t随之增大，
153
O
C
l2
x
63
∴当l过C点时x?y最大为，但不是整数解，
19
75
又由0?x?知x可取1,2,3，
19
当x?1时，代入原不等式组得y??2，∴x?y??1；当x?2时，得y?0或?1，∴x?y?2或1；当x?3时，y??1，∴x?y?2，
?x?2?x?3
故x?y的最大整数解为?或?．
?y?0?y??1
例4．投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？
解：设生产A产品x百吨，生产B产品y米，利润为S百万元，
?2x?3y?14?2x?y?9?
则约束条件为?，目标函数为S?3x?2y．
?x?0??y?0
作出可行域（如图），
3S3S3S
x?，它表示斜率为?，在y轴上截距为的直线，平移直线y??x?，当它经
__-__5S135
过直线与2x?y?9和2x?3y?14的交点(,)时，最大，也即S最大．此时，S?3??2??14.75．
__
将目标函数变形为y??
因此，生产A产品3.25百吨，生产B产品2.5米，利润最大为1475万元．说明：（1）解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出约束条件（要注意考虑数据、变量、不等式的实际
含义及计量单位的统一）；③建立目标函数；④求最优解．
一、对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最
佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．
三、画区域
1. 用不等式表示以A(1,4)，B(?3,0)，C(?2,?2)为顶点的三角形内部的平面区域．
分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。

解：直线AB的斜率为：
kAB?4?0?1，其方程为y?x?3．
1?(?3)可求得直线BC的方程为y??2x?6．直线AC的方程为
y?2x?2．?ABC的内部在不等式x?y?3?0所表示平面区域内，同时在不等式
同时又在不等式2x?y?2?0所表示2x?y?6?0所表示的平面区域内，
区域内（如图）．?x?y?3?0,所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组??2x?y?6?0,表示．
?2x?y?2?0?
的平面
说明：用不等式组可以用来平面内的一定区域，注意三角形区域内部不包括边界线． 2 画出2x?3?y?3表示的区域，并求所有的正整数解(x,y)．
?y?2x?3,
解：原不等式等价于?而求正整数解则意味着x，y还有限制条件，即求
y?3.??x?0,y?0,
?x?z,y?z,?．?
?y?2x?3,??y?3.
依照二元一次不等式表示的平面区域，知2x?3?y?3表示的区域如下图：对于2x?3?y?3的正整数解，容易求得，在其区域内的整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)．
3设x?0，y?0，z?0；p??3x?y?2z，q?x?2y?4z，x?y?z?1，用图表示出点(p,q)的范围．分析：题目中的p，q与x，y，z是线性关系．可借助
于x，y，z的范围确定(p,q)的范围．1?x
?(8?q?6p),
?3x?y?2z??p,?27
?
解：由?得1?x?2y?4z?q,?(14?5q?3p),?y?
?x?y?z?1,27??
1?z?(5?4p?3q),?27?
篇三：简单的线性规划典型例题精析(二)
典例剖析
?5x?3y?15?［例1］求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y 满足约束条件?y?x?1
?x?5y?3?
?5x?3y?15?由不等式组?y?x?1
?x?5y?3?
作出可行区域，如图7—26所示的阴影部分．
∵目标函数为z=3x+5y,
∴作直线l:3x+5y=t(t∈R)．
当直线l在l0的右上方时，l上的点(x,y)满足3x+5y＞0，即t＞0，而且，直线l向右平移时，t随之增大，在可行域内以经过点A(35,)的直线l1所对应的t最大．22
类似地，在可行域内，以经过B(－2,－1)的直线l2所对应的t最小．∴zmax35?3??5??17,zmin?3?(?2)?5?(?1)??11．22
正确地作出不等式组表示的平面区域(可行域)，再由线性目标函数作出一组平行线考查最值，是解线性规划问题的基本步骤．
［例2］某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨;生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?
将已知数据列成下表：
?2x?y?300,?x?2y?250,?解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y 吨，利润总额为z元，那么?
?x?0,
??y?0;
z=600x+900y.
作出以上不等式组所表示的平面区域(如图7—27)，即
可行域．
作直线l:600x+900y=0，即直线l:2x+3y=0,把直线l向右
上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原
点距离最大，此时z=600x+900y取最大值．解方程组
?2x?y?__-__0,得M的坐标为x=,y=. ?33?x?2y?250
应生产甲种棉纱__吨，乙种棉纱吨，能33
使利润总额达到最大．
解线性规划应用问题的步骤是：①从实际问题中抽象出不等式列出不等式组及线性目标函数;②由不等式组作出可行域;③作出一组平行直线
Ax+By－ｚ=0考查最值．
［例3］要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：
今需A、B、C三种规格的钢管各13、16、18根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少．
?2x?2y?13,?x?3y?16,??设需截甲种钢管x根，乙种钢管y根，
则?4x?y?18,
?x?0,???y?0.
作出可行域(如图7—28)：
目标函数为z=x+y,
作出一组平行直线x+y=t中(t为参数)经过可行域内
的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线
4x+y=18和直线x+3y=16的交点A(3846,)，直线方程1111
为x+y=__.由于和都不是整数，所以可行域内__
的点(3846,)不是最优解．1111
经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=8,经过的整点是B(4，4)，它是最优解．
要截得所需三种规格的钢管，且使所截两种钢管的根数最少，方法是截甲种钢管、乙种钢管各4根．
此例的解法是，先依条件列出不等式组，作出可行域，不考虑x、y
为非负整数的条件，求出符合题中其他条件的最优解，然后看此最优解是否为非负整数解，若是非负整数解，则即为所求.若不是非负整数解，则应求出经过可行域内的非负整数解且与原点距离最远(或最近)的点的直线，这个非负整数解就是最优解．。