幂函数定义

幂函数定义

幂函数定义为：在实数集上，任取实数xi，作为自变量，定义一个函数f(x)，其满足f(x)的自变量xi的n次方（n为实数）的关系式，称之为幂函数。

表示为：f(x)=xn

其中：

f：函数；

x：自变量；

n：实数，也称幂指数。

二、特点

1、当n为正数时，当x>0，f(x)>0，当x=0，f(x)=0；当x<0，f(x)<0。

2、当n为负数时，当x>0，f(x)<0；当x=0，f(x)=0；当x<0，f(x)>0。

3、当n=0时，函数f(x)=1，且f(x)独立于x，也就是说，不论x为什么值，f(x)都是相同的，即f(x)=1。

三、性质

1、当n为正数时，横坐标的改变，导致纵坐标的变化：在x轴改变正数值时，f(x)值变大；在同一轴上改变负数值时，f(x)值变小；

2、当n为负数时，横坐标的改变，导致纵坐标的变化：在x轴改变正数值时，f(x)值变小；在同一轴上改变负数值时，f(x)值变大；

3、当|x|越小，则|f(x)|值越大，而当|x|增大，则|f(x)|值越

小，即图像向原点收敛；

4、当n>1时，f(x)的图象与x的函数图像一致，即，它们同样的开口着向上（当x>0时）或向下（当x<0时），它们同样的单调性；

5、当n<1时，f(x)的图象与x的函数图像不一致，即，它们不一样的开口着向下（当x>0时）或向上（当x<0时），它们也不一样的单调性；

四、应用

在数学中，幂函数在拓扑学，复变函数理论，应用函数性质等方面有重要的应用。

1、应用于拓扑学：幂函数在拓扑学中定义了一类空间变换，如压缩变换，拉伸变换有以下定义：

压缩变换：f(xa)=f(x)b；

拉伸变换：f(xa)=f(x)b；

其中a,b为实数，a≠0，b≠0，其中a表示变换的中心，b表示变换的强度。

2、应用于复变函数理论：幂函数的几何性质在复变函数理论中有重要的应用。当n是实数，f(z)是复变函数时，它们的极限和它们的导数十分简单：

极限：

ζ→∞，f(ζ∞)=∞；

ζ→0，f(ζ∞)=0；

导数：

f′(ζ)=nf(ζ)ζn1

3、应用于函数性质：幂函数的几何性质在复变函数的函数性质中也有广泛的应用。它们的函数性质可以用下列公式表示：

f′(ζ)=nf(ζ)ζn1

f′′(ζ)=2nf′(ζ)ζn1+n(n1)f(ζ)ζn2

五、总结

从上面的内容可以得出，幂函数定义为：f(x)=xn，其中，f：函数；x：自变量；n：实数，也称幂指数。它具有当n为正数时，横坐标的改变，导致纵坐标的变化以及当n为负数时，横坐标的改变，导致纵坐标的变化等特点，它在拓扑学，复变函数理论，应用函数性质等方面都有重要的应用。