利用平移巧妙解题
四下第1讲 平移、旋转和轴对称(解题思路)
第1讲平移、旋转和轴对称考点1：平移的两要素例1．如图所示：图形（1）向平移了格．图形（2）向平移了格．图形（3）向平移了格．【思路分析】找出各个图形平移后的对应关键点，即可得到平移的方向和距离，由此得解．【规范解答】解：如图所示：图形（1）向上平移了2格．图形（2）向左平移了4格．图形（3）向右平移了6格．故答案为：上，2，左，4，右，6．【名师点评】此题考查了利用平移进行图形变化的方法的灵活应用．练习1．（1）长方形向上平移了格．（2）六边形向平移了格．（3）五角星向平移了格．【思路分析】根据题意，结合图形，由平移的概念找出图形平移的方向，和平移的格数，即可求解．【规范解答】解：观察图形可知：（1）长方形向上平移了6格．（2）六边形向左平移了5格．（3）五角星向下平移了6格．故答案为：上，6，左，5，下，6．【名师点评】本题考查平移的基本概念及平移规律，关键是要观察比较平移前后物体的位置．2．填一填．（1）①向上平移了格．（2）②向平移了格．（3）③向平移了格．【思路分析】先找清楚方向，看原图到现在的图是向哪个方向平移的，然后在原图中选择一个点，找出这个点在后来图中的位置，然后数出这两个点之间的小格数即可．【规范解答】解：（1）①向上平移了2格．（2）②向左平移了4格．（3）③向右平移了6格．故答案为：上、2；左、4；右、6．【名师点评】解决本题关键是要数清楚平移的格子数．考点2：作平移后的图形例2．画出网格中图形向上平移1格，再向右平移3格后的图形．【思路分析】根据平移图形的特征，把平行图形的各个顶点分别向上平移1格，再向右平移3格，然后顺次连接各点即可．【规范解答】解：【名师点评】作平移后的图形关键是把对应点的位置画正确．练习1.（1）房子向右平移5格．（2）小船向下平移4格，再向左5格．【思路分析】（1）根据平移的特征，把小房子的各顶点分别向右平移5格，再依次连结即可得到向右平移5格后的图形．（2）同理即可画出小船向下平移4格，再向左平移5格后的图形．【规范解答】解：（1）房子向右平移5格（下图）:（2）小船向下平移4格，再向左5格（下图）:【名师点评】平移作图要注意：①方向；②距离．整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动．考点3：运用平移的知识解决问题例3．一块平行四边形地底是18m，高是12m，地中间有两条1米宽的小路（如图），在这块地里种菜，种菜的面积是多少？【思路分析】将小路两旁部分向中间平移，直至小路消失，那么种菜的面积就是底为(181)--米，高为(121)米的平行四边形的面积，根据平行四边形的面积=底⨯高计算即可得出种菜的面积．【规范解答】解：(181)(121)-⨯-=⨯1711=（平方米）187答：种菜的面积是187平方米．【名师点评】此题主要考查平行四边形面积的计算．关键是求出图形切拼后平行四边形的底和高．练习1．如图，求图中阴影部分的面积．（单位：厘米）【思路分析】如图所示：阴影部分①和空白部分②的面积相等，将①平移到②的位置，则阴影部分就变成了一个长方形，利用长方形的面积公式S ab=即可求解．【规范解答】解：据思路分析可知，阴影部分的面积为：(12)2+⨯=⨯32=（平方厘米）6答：阴影部分的面积是6平方厘米．【名师点评】规范解答此题的关键是：利用平移的方法，将不规则图形转化成规则图形，再根据规则图形的面积公式即可求解．2．一块草地形状如图的阴影部分，阴影部分的面积是多少平方米？【思路分析】把草地上左边的半圆放在右边就变成了一个长为10米，宽为6米的长方形，这个长方形的面积就是草地的面积．【规范解答】解：把左边的半圆平移到右边的半圆上后草地就变成了一个长方形，它的面积是：10660⨯=（平方米）；答：阴影部分的面积是60平方米．【名师点评】求组合图形的面积时经常用平移、旋转、填补、切割等方法把复杂的图形变成较简单的图形来算．考点4：旋转的三要素例4．根据图，回答问题．①号三角形是绕A点按顺时针方向旋转了度．②号梯形是绕B点按时针方向旋转了度．③号三角形是绕C点按时针方向旋转了度．④号平行四边形是绕D点按时针方向旋转了度．【思路分析】根据图形旋转的特征，一个图形绕某点顺时针（或逆时针）旋转一定的度数，某点的位置不动，其余各点（边)均绕某点按相同的方向旋转相同的度数．【规范解答】解：①号三角形绕A点按顺时针方向旋转了90度．②号梯形绕B点按逆时针方向旋转了90度．③号三角形绕C点按逆时针方向旋转了90度．④号平行四边形绕D点按顺时针方向旋转了90度．故答案为：顺，90，逆，90，逆，90，顺，90．【名师点评】本题是考查图形的旋转，关键是弄清旋转的方向与角度．练习1．①图形D绕点O按方向旋转︒到图形A所在的位置．②图形A绕点O按方向旋转︒到图形C所在的位置．③图形C绕点O按方向旋转︒到图形B所在的位置．【思路分析】旋转的要素是旋转方向，旋转中心，旋转角，据此即可解决问题．【规范解答】解：①图形D绕点O按逆时针方向旋转90︒到图形A所在的位置．②图形A绕点O按逆时针方向旋转180︒到图形C所在的位置．③图形C绕点O按顺时针方向旋转90︒到图形B所在的位置．故答案为：逆时针，90；逆时针，180；顺时针，90．【名师点评】本题主要考查了旋转的要素，是需要熟记的内容．3．如图：（1）指针从“1”绕点O顺时针旋转60︒后指向．（2）指针从“1”绕点O逆时针旋转90︒后指向．（3）指针从“12”绕点O顺时针旋转︒后指向“3”．（4）指针从“12”绕点O逆时针旋转︒后指向“8”．（5）指针从7:15到7:40绕点O顺时针旋转度．【思路分析】钟面上12个数字把钟面平均分成12份，每份所对应的圆心角是3601230︒÷=︒，即每两个相邻数字间的夹角是30︒，即指针从一个数字走到下一个数字时，绕中心轴旋转了30︒，由此规范解答即可．【规范解答】解：（1）指针从“1”绕点O顺时针旋转60︒后指向3．（2）指针从“1”绕点O逆时针旋转90︒后指向9．（3）指针从“12”绕点O顺时针旋转90︒后指向“3”．（4）指针从“12”绕点O逆时针旋转120︒后指向“8”．（5）指针从7:15到7:40绕点O顺时针旋转150度．故答案为：3，9，90，120，150．【名师点评】关键弄清在钟面上指针绕中心从一个数字旋转到相邻的另一个数字旋转了多少度．考点5：作旋转一定角度后的图形例5．我会操作．（1）画出三角形绕点“A”顺时针旋转90度后的图形，并标为图1．（2）画出三角形绕点“B”逆时针旋转180度后的图形，并标为图2．【思路分析】（1）根据旋转的特征，三角形ABO绕点“A”顺时针旋转90︒，点“A”的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形1．（2）同理，三角形ABO绕点“B”逆时针旋转180︒，点“B”的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形2．【规范解答】解：（1）画出三角形绕点“A”顺时针旋转90度后的图形，并标为图1（图中红色部分）．（2）画出三角形绕点“B”逆时针旋转180度后的图形，并标为图2（图中绿色部分）．【名师点评】经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．（旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等．练习1．画出小旗绕点O逆时针旋转90︒后得到的图形．【思路分析】根据旋转的意义，找出图中三角旗3个关键处，再画出绕O点按逆时针方向旋转90度后的形状即可．【规范解答】解：作图如下：【名师点评】本题考查了图形的旋转变化，学生主要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．考点6：轴对称图形的辨识例6．下面图形不是轴对称图形的是()A．B．C．【思路分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可．【规范解答】解：根据轴对称图形的意义可知：选项A、B都是轴对称图形，而C不是轴对称图形；故选：C．【名师点评】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合．练习1．下面9个交通标志图案中，有()个图形是轴对称图形．A．4B．5C．6D．7【思路分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可．【规范解答】解：根据轴对称图形的意义可知：是轴对称图形；故选：A．【名师点评】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合．2．成轴对称的两个数字是()A．B．C．【思路分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可．【规范解答】解：根据轴对称图形的意义可知：选项A、B都不是轴对称图形，只有C是轴对称图形；故选：C．【名师点评】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合．考点7：画轴对称图形的对称轴例7.按要求画出下面轴对称图形的对称轴．【思路分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此画图规范解答即可．【规范解答】解：【名师点评】本题考查了轴对称图形的对称轴的确定，根据轴对称图形的对称轴两边的部分关于对称轴折叠能够完全重合作图即可，比较简单．练习1．画出下列图形的所有对称轴．【思路分析】（1）有三条对称轴，即过每个圆圆心与另外两个圆交点的直线．（2）有两条对称轴，即过个两个箭头顶点的直线，及箭头两个顶点间线段的垂直平分线．（3）等腰有一条对称轴，底边高所在的直线．【规范解答】解：【名师点评】此题是考查确定轴对称图形对称轴的条数及位置．关键是轴对称图形的意义及各图形的特征．考点8：作轴对称图形的另一半例8．动手画一画：以虚线为对称轴，画出下列图形的轴对称图形．【思路分析】根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出原图的关键对称点，依次连结即可．【规范解答】解：【名师点评】求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的特征点关于这条直线对称的点，然后依次连结各对称点即可．练习1.先画出下面这个轴对称图形的另一半，再画出这个轴对称图形向右平移8格后的图形．【思路分析】根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的下边画出图形的关键对称点，顺次连结．然后根据平移的特征，把图形的各点分别向右平移8格，再依次连结即可．【规范解答】解：先画出下面这个轴对称图形的另一半，再画出这个轴对称图形向右平移8格后的图形，作图如下：【名师点评】本题是考查作轴对称图形、作平移的图形．关键是确定对称点（对应点）的位置．2.下面的图形都是由相同的小正方形组成的，请分别在各图形上画一个同样大小的小正方形，使它们成为轴对称图形．【思路分析】因为如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此规范解答．【规范解答】解：作图如下【名师点评】此题是考查了轴对称图形的意义．考点9：镜面对称问题例9．如图是小明在平面镜中看到时钟形成的像，它的实际时间是()A．21:05B．12:02C．12:05D．15:02【思路分析】根据镜面对称的特征，镜中的景物与实际景物上下前后方向一致，左右方向相反，大小不变，且关于镜面对称．【规范解答】解：如图实际时间是12:05．故选：C．【名师点评】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反，镜中与实际景物大小不变．练习1．如图的钟面是从镜子里看到的，实际钟面上的时刻是．【思路分析】镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反；图中镜子里看到的时间是6:40，由镜面对称左右方向相反特点，镜中时针在6与7之间，实际是在5与6之间，是5时，镜中分针指刻度8，实际中是指刻度4，即20分；据此规范解答．【规范解答】解：因为镜中时针在6与7之间，实际是在5与6之间，是5时，镜中分针指着刻度8，实际中是指刻度4，即20分，所以实际钟面上的时刻是5:20．故答案为：5:20．【名师点评】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反．2．一位司机从反光镜中看到后面汽车的车牌是，这个车牌号实际是浙F．8765A．【思路分析】根据镜面对称的特征，镜中的景物与实际景物上下前后方向一致，左右方向相反，大小不变，且关于镜面对称．【规范解答】解：如图，这个车牌实际是：浙F．8765A．故答案为：浙F．8765A．【名师点评】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反，镜中与实际景物大小不变．3．从镜子里看的样子是()A．B．C．【思路分析】镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反，在镜中的样子，上下前后的样子不变，只有左右方向相反，所以．【规范解答】解：从镜子里看的样子是；故选：C．【名师点评】此题考查了镜面对称的特点：上下前后方向一致，左右方向相反．注意左右方向是相反的．考点10：运用平移、对称和旋转综合作图例10．按要求在方格纸上画一画．①把三角形先向右平移10格，再向上平移4格．②把长方形绕点A顺时针旋转90︒．③把最右边的图形补全，使它成为轴对称图形．【思路分析】①根据平移的特征，把三角形的各顶点分别向右平移10格，依次连结即可得到向右平移10格后的图形；用同样的方法即可把平移后的图形再向上平移4格．②根据旋转的特征，长方形绕点A顺时针旋转90︒，点A的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形．③根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的左边画出右半图的关键对称点，依次连结即可．【规范解答】解：①把三角形先向右平移10格（图中灰色部分），再向上平移4格（图中红色部分）．②把长方形绕点A顺时针旋转90︒（图中绿色部分）．③把最右边的图形补全，使它成为轴对称图形（图中蓝色部分）．【名师点评】作平移后的图形、作旋转一定度数后的图形、作轴对称图形的关键是确定对应点（对称点）的位置．练习1．如图（1）将图形A先绕点O顺时针旋转90 ，再向左平移6格，得到图形C．（2）将图形B向右平移5格后得到图形D．（3）以直线l为对称轴作图形D的轴对称图形E．【思路分析】（1）以点O为旋转中心，把图形A的另外几个顶点，分别绕点O顺时针旋转90后，再依次连接起来，得到的图形再把各个顶点分别向左平移6格，依次连接起来即可得出图形C；（2）把图形B的各个顶点分别向左平移5格，再依次连接起来，即可得出图形D．（3）据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，画出图形D的轴对称图形E即可规范解答问题．【规范解答】解：根据题干思路分析可得：【名师点评】此题考查利用轴对称、旋转、平移进行图形变换的方法．。
平移与旋转常见题型
平移与旋转常见题型1、一块白色正方形，边长是18cm，上面横竖各有两道黑条，如图所示，黑条宽都是2cm，请利用平移的知识，求出图中白色部分的面积。
分析：图中白色部分的面积是由9个小图形组合而成的，通即可求。
过将黑条平移到四周把这些小图形组合成一个图形。
或2、振华公司想购买一块土地发展生产，现有一块如图的矩形草地，草地上有一条两岸平行的河流，河流的水平宽度为50m，矩形的长度为500m，宽度为200m，问振华公司购买的土地面积是多少？分析：若将图形ABA1A2 右平移50m，与B1B2CD拼到一起，可得到一个新的矩形，面积即为所求面积。
变式：（1）若河流两岸是两条水平距离是50m的折线，其土地面积是多少？（2）若河流两岸是三道、四道五道，甚至是弯曲的河流，其土地面积是多少呢？分析：不论中间是什么图形，只要水平距离相同，都可通过平移将所求面积集中到一起。
3、如图，从红星村A到幸福村B 要修一条公路，中间隔着一条河，河宽为d，河两岸平行，在河上需要架一座桥，桥与河两岸必须红星村·垂直，要使从红星村到幸福村的总路程最短，桥应修在何处？分析：如果没有河流的阻碍，我们都知道两点之间线段最短。
而桥与河岸必须垂直，即桥的长度是一定的。
如果将河平移至路的一端，即把总路程“路+桥+路”次序调换一下，·幸福村 变为“桥+路+路”，问题就解决了。
作法：过A 作河岸的垂线段AC ，使AC 等于河宽，连接BC ，交河的一岸于点D ，过D 作河岸的垂线，交河的另一岸于点E ，则DE 就是修桥的位置。
AEDB 就是从红星村到幸福村的路线。
红星村A ·幸福村4、如图，△ABC 中，AD=8，AC=6，AD 是BC 是多少？分析：求线段的取值范围，一定用三角形的三边关系。
需将要求的AD 、已知的AB 、AC 一个三角形中，因为BD=CD ，所以将△ADC 绕旋转180º，此时C 与B 重合，A 点旋转到E 则可求出AE 的取值范围：AB-AE ＜AE ＜AB+AE ，然后左右两边的都除以2，即求出AD 的取值范围。
折叠旋转平移解题技巧
折叠旋转平移解题技巧《折叠旋转平移，解题也能如此有趣！》嘿呀，一提到“折叠旋转平移解题技巧”，那可真是让我又爱又恨啊！这玩意儿，有时候就像个调皮的小精灵，在解题的世界里跑来跑去，让人捉摸不透，但一旦你抓住了它的小辫子，嘿嘿，那就好玩啦！你想想看，那图形一会儿折起来，一会儿转个圈，一会儿又平平地移过去，就跟变魔术似的。
有时候我看着那些题目都想笑，这图形怎么就这么爱折腾呢？但咱可不能被它给唬住了，得想办法搞定它！先说说折叠吧，那感觉就像是图形在跟我们玩捉迷藏。
得仔细琢磨它折叠前后的关系，找出那些隐藏的条件。
有时候就得像个侦探一样，从那一点点蛛丝马迹里找到解题的关键。
有一次我碰到一个折叠的题目，那图形折得我是眼花缭乱，我就静下心来，一点点分析，嘿，还真让我给找到了突破点，解出来的时候那叫一个爽啊！然后是旋转，这可真是个能让人头晕目眩的家伙。
看着图形转来转去，脑袋都快跟着转晕了。
不过别怕，咱得学会跟着它的节奏来。
找出旋转的中心、角度，还有旋转前后图形的对应关系，就像是给它套上了缰绳，让它乖乖听咱的话。
我记得有一次一道难题，就是靠我抓住了旋转的窍门才搞定的，当时那感觉，就像驯服了一头凶猛的野兽，哈哈！最后是平移啦，它就比较老实一点，平平地移动。
不过也不能小瞧它，要注意它移动的方向和距离，稍不注意就容易出错。
平移就像是走直线，得稳稳地走，不能走歪了。
有次考试就有个平移的题目，我就是因为粗心大意，没注意到移动的距离，结果丢了分，真是让我懊悔不已啊！总的来说，折叠旋转平移解题技巧就像是我们手中的秘密武器。
虽然有时候它们会让我们头疼，但只要我们用心去掌握它们，多多练习，就能让它们为我们所用。
每次解开一道难题，那种成就感简直无与伦比。
所以啊，同学们，别再害怕这些折叠旋转平移啦！它们其实也很可爱的嘛。
让我们笑着面对它们，和它们一起在解题的海洋里尽情玩耍吧！相信我，一旦你掌握了它们的诀窍，解题就会变得像玩游戏一样有趣啦！加油哦！。
高中数学图形变换解题技巧
高中数学图形变换解题技巧在高中数学中，图形变换是一个重要的考点。
通过对图形的平移、旋转、翻转和对称等变换操作，可以帮助我们更好地理解几何概念，解决与图形相关的问题。
本文将介绍一些常见的图形变换解题技巧，并通过具体的题目进行说明，帮助读者更好地掌握这些技巧。
一、平移平移是将图形沿着某个方向上移动一定的距离，而不改变图形的形状和大小。
平移的关键是确定平移的方向和距离。
下面通过一个例题来说明平移的解题技巧。
例题：点A(2,3)关于直线y=x进行平移，得到的新点为B，求点B的坐标。
解析：首先，我们需要确定平移的方向和距离。
由于平移是关于直线y=x进行的，说明平移的方向是沿着直线y=x的方向。
其次，由于点A(2,3)到直线y=x的距离是2个单位，所以平移的距离也是2个单位。
因此，点A(2,3)经过平移后的新点B的坐标为B(4,5)。
通过这个例题，我们可以看出，平移的关键在于确定平移的方向和距离。
在实际解题中，可以通过观察图形的性质和给定条件来确定平移的方式，然后根据平移的性质来计算新图形的坐标。
二、旋转旋转是将图形绕着一个点或者一个轴进行旋转，而不改变图形的形状和大小。
旋转的关键是确定旋转的中心和旋转的角度。
下面通过一个例题来说明旋转的解题技巧。
例题：将三角形ABC绕点A逆时针旋转90°，得到的新三角形为A'B'C'，求点A'、B'和C'的坐标。
解析：首先，我们需要确定旋转的中心。
由于题目中指定是绕点A旋转，所以旋转的中心是点A。
其次，我们需要确定旋转的角度。
题目中要求逆时针旋转90°，所以旋转的角度是90°。
根据旋转的性质，我们可以得到点A'的坐标为A'(-3,2)，点B'的坐标为B'(-2,1)，点C'的坐标为C'(-1,3)。
通过这个例题，我们可以看出，旋转的关键在于确定旋转的中心和旋转的角度。
人教版初中数学图形的变化平移解题技巧总结
(每日一练)人教版初中数学图形的变化平移解题技巧总结单选题1、如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）A．√6B．2√2C．2√3D．3√2答案：A解析：把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝√3，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AC＝√AH2+CH2=√(√3)2+(√3)2=√6，∵点D为BC中点，∴BD＝CD，在△BFD与△CKD中，{∠BFD=∠CKD=90°∠BDF=∠CDKBD=CD，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，当直线l⊥AC时，最大值为√6，综上所述，AE+BF的最大值为√6．故选：A．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．2、在平面直角坐标系中，将点A（−1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（）A．（−4，−2）B．（2，2）C．（−2，2）D．（2，−2）解析：首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．解：点A（-1，2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（-1+3，2），即（2，2），则点B关于x轴的对称点C的坐标是（2，-2），故答案为D3、在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A(4，－1)，B(1,1)将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为(－2,2)，则点B′的坐标为()A．(－5,4)B．(4,3)C．(－1，－2)D．(－2，－1)答案：A解析：各对应点之间的关系是横坐标加-6，纵坐标加3，那么让点B的横坐标加-6，纵坐标加3即为点B′的坐标．∵点A（4，﹣1）向左平移6个单位，再向上平移3个单位得到A′（﹣2，2），∴点B（1，1）向左平移6个单位，再向上平移3个单位得到的对应点B′的坐标为（﹣5，4）．故选A．小提示：此题主要考查了坐标与图形的变化-平移，解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律．4、如图，某宾馆在重新装修后，准备在大厅的楼梯上铺上某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则至少需要购买地毯_______平方米，花费_______元.答案： 16.8 504解析：根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，可求得地毯的长度，进而再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．如图，利用平移线段，把楼梯的横竖分别向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为5.8米，2.6米，∴地毯的长度为2.6+5.8=8.4米，地毯的面积为8.4×2=16.8平方米，∴买地毯至少需要16.8×30=504元．故答案为16.8，504.小提示：解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．5、如图①，边长为4的等边△ABC和等边△DEF互相重合，现将△ABC沿直线l向左平移m个单位，将△DEF沿直线l向右平移m个单位如图②所示，当E､C是线段BF的三等分点时，平移距离m的值为___________．答案：1或4解析：分点E、C的位置不同，两种情况来考虑，根据线段间的关系结合BC=4即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论．E、C是线段BF的三等分点分两种情况：①点E在点C的左边时，如图1所示．∵E、C是线段BF的三等分点，∴BE=EC=CF，∵BC=4，BE=2m，∴2m=4÷2，解得：m=1；②点E在点C的右边时，如图2所示．∵E、C是线段BF的三等分点，∴BC=CE=EF，∵BC=4，BE=2m，∴2m=4×2，解得：m=4．综上可知：当E、C是线段BF的三等分点时，m的值为1或4．所以答案是：1或4．小提示：本题考查了平移的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．。
利用平移巧妙解题
利用平移巧妙解题平移与轴对称一样，也是图形的一种基本变换，在日常生活应用也十分广泛.现举例说明.一、求图形的面积例1 如图1，在长方形ABCD 中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四边形，根据图中标明的数据，其中空白部分的面积是多少？简析 利用“平移不改变图形的形状和大小”这一性质可使本题迅速解决.由图形可知，四个空白四边形经过平移可以组成一个长方形，其长为（a －c ），宽为（b －c ），所以面积为：（a －c ）（b －c ）＝ab －ac －bc +c 2.说明 这里通过平移的知识，避免了对图形的分割，使求解简洁、方便.二、求线段的长度例2 如图2，某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，已知主楼梯道的宽为3米，其侧面如图2所示，则买地毯至少需要多少元？简析我们可以利用平移的知识分别将楼梯水平方向的线段沿竖直方向平移到BC 上，竖直方向的线段沿水平方向平移到AC 上，于是铺地毯的横向线段的长度之和就等于横向直角边的长度，纵向线段的长度之和就等于纵向直角长度，所以地毯的总长度至少为5.6米+2.8米＝8.4米，此总面积为8.4米×3米＝25.2平方米，所以购买地毯至少需要25.8平方米×40元/平方米＝1018元.说明 这道若要通过逐步计算，你会觉得比较复杂的，而运用了平移的知识，则问题就显得这么简单，因此，同学们在学习平移知识时一定要用心去体会.三、说明角的关系例3 如图3，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，AD ＜BC ，则∠B 与∠C 的数量关系怎样？试说明你的理由.简析 由于∠B 与∠C 的位置较散，故考虑将∠B 与∠C 变换到同一个三角形中来.而AD ∥BC ，AD ＜BC ，故将线段AB 沿着AD 的方向平移AD 长，即点B 平移到点E ，此时有DE ＝AB ，DE ∥AB ，所以∠DEC ＝∠B ，于是，在△DEC 中，因为DE ＝DC ，所以∠DEC ＝∠C ，故∠B ＝∠C .说明 本题从平移的角度来思考问题，使问题简洁获解.四、比较线段的大小例4 如图4，在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且BE ＝CF ，则FE ＜BC 吗？为什么？简析 由于已知条件中的线段BE 、CF 和结论中的线段FE 、BC 比较散，所以我们可以考虑运用平移的知识将这四条线段相对集中，即将EF 平移到BM ，则此时BE 平移到MF ，这样只要说明BC ＞BM 即可，而由于CF ＝BE ＝MF ，再考虑到MF 与CF 的对称关系，作 图1 c B 图2图3 E C B D A∠MFC 的平分线交BC 于点D ，易得DM ＝DC ，因为BD +DM ＞BM ，所以BC ＞EF ，即FE ＜BC .说明 若已知条件中出现相互平行且相等的线段自然要想到利用平移知识解决问题，若条件中并没有出现这些问题，我们要想利用平移的知识求解，则可通过平移使有关线段或角相对集中，从而可降低求解的难度.五、最短路径设计例5 如图5，A 、B 两城市之间有一条国道，国道的宽为a ，现要在国道修建一座垂直于国道的立交桥，使通过A 、B 两城市路程最近，请你设计建桥的位置，并说明理论依据.简析 不妨设国道的两边分别为l 1、l 2，桥为MN ，那么从A 到B 要走的路线就是A →M →N →B 了，如图5，而MN ＝a ＝定值，于是要使路径最短，只要AM +BN 最短即可.此时两线段应在同一平行方向上，若设想先过桥，即平移MN 于AC ，从C 到B 应是余下的路程，连结BC 的线段即为最短的，此时不难说明线段BC 与国道边缘l 2的交点N 就是修桥的位置.说明 本题是设计建桥的位置，却隐含了平移的知识，体现了数学知识与社会生活的紧密联系，既能使我们在具体情况中分析、解决问题，又很好地培养和锻炼了同学们的发散思维能力.平移的特征及应用一 平移的特征1、 平移后的图形与原来的图形的对应线段相等且平行（或在同一条直线上），如图1中的线段有下列关系：AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′；AB ∥A′B′，AC ∥A′C′；BC与B′C′在同一条直线上。
专题53 巧用图形的平移解决几何问题(解析版)
专题53 巧用图形的平移解决几何问题【专题说明】阅读理解：在平面直角坐标系内，如果把一个点的横坐标都加（或减去）一个正数k，就是把这个点向右（或向左）平移k个单位长度；反之如果把一个点向右（或向左）平移k个单位长度，就是把这个点的横坐标都加（或减去）一个正数k．在平面直角坐标系内，如果把一个点的纵坐标都加（或减去）一个正数k，就是把这个点向上（或向下）平移k个单位长度；反之如果把一个点向上（或向下）平移k个单位长度；就是把这个点的纵坐标都加（或减去）一个正数k．【知识精讲】应用探究：（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是﹣3，则点A′表示的数是；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对等边三角形ABC及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到等边三角形△A′B′C′及其内部的点，其中点A（﹣3，0），B（3，0）的对应点分别为A′（﹣1，2），B′（2，2）．已知等边三角形ABC内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．解：（1）点A′：﹣3×+1＝﹣1+1＝0，设点B表示的数为a，则a+1＝2，解得a＝3，设点E表示的数为b，则b+1＝b，解得b＝；故答案为：0，3，；（2）根据题意，得：，解得：，设点F的坐标为（x，y），∵对应点F′与点F重合，∴x+＝x，y+2＝y，解得x＝1，y＝4，所以，点F的坐标为（1，4）．【知识精讲】1、如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为.【解析】作AM△x轴于点M.根据等边三角形的性质得OA=OB=2，△AOB=60°，在Rt△OAM中,利用含30°角的直角三角形的性质求出OM=1，AM=3，从而求得点A的坐标为（1，3），直线OA的解析式为y=3x,当x=3时，y=33,所以点A′的坐标为（3，33），所以点A′是由点A向右平移2个单位，向上平移23个单位后得到的，于是得点B′的坐标为（4,23）.【答案】（4,23）2、在Rt△ABC中,△BAC=90°,△B=30°,线段AD是BC边上的中线,如图1,将△ADC沿直线BC平移,使点D 与点C重合,得到△FCE,如图2,再将△FCE绕点C顺时针旋转,设旋转角为α(0°＜α≤90°),连接AF,DE．(1)在旋转过程中,当△ACE=150°时,求旋转角α的度数；(2)探究旋转过程中四边形ADEF能形成哪些特殊四边形？请说明理由．【解析】(1)由题意分析可知此问需分两种情况讨论：△点E和点D在直线AC两侧；△点E和点D在直线AC同侧；(2)在旋转过程中,总是存在AC=CE,DC=CE.由图形的对称性可知,将会出现两种对角线相等的特殊四边形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋转的性质,较易证明．【答案】：(1)在图1中,△△BAC=90°,△B=30°,△△ACE=△BAC+△B=120°．如图2,当点E和点D在直线AC两侧时,由于△ACE=150°,△α=150°-120°=30°.当点E和点D在直线AC同侧时,由于△ACB=180°-△BAC-△B=60°,△△DCE=△ACE-△ACB=150°-60°=90°.△α=180°-△DCE=90°.△旋转角α为30°或90°;(2)四边形ADEF能形成等腰梯形和矩形．△△BAC=90°,△B=30°,△AC=1BC．2又△AD是BC边上的中线,△AD=DC=1BC=AC.△△ADC为正三角形．2△当α=60°时,如图3,△ACE=120°+60°=180°.△CA=CE=CD=CF,△四边形ADEF为矩形．△当α≠60°时,△ACF≠120°,△DCE=360°-60°-60°-△ACF≠120°．显然DE≠AF．△AC=CF,CD=CE,△2△FAC+△ACF=2△CDE+△DCE=180°.△△ACF+△DCE=360°-60°-60°=240°,△△FAC+△CDE=60°.△△DAF+△ADE=120°+60°=180°.△AF△DE．又△DE≠AF,AD=EF,△四边形ADEF为等腰梯形．3、如图，点C、M、N在射线DQ上，点B在射线AP上，且AP∥DQ，∠D＝∠ABC＝80°，∠1＝∠2，AN平分∠DAM．（1）试说明AD∥BC的理由；（2）试求∠CAN的度数；（3）平移线段BC．①试问∠AMD：∠ACD的值是否发生变化？若不会，请求出这个比值；若会，请找出相应变化规律；②若在平移过程中存在某种位置，使得∠AND＝∠ACB，试求此时∠ACB的度数．解：（1）∵AP∥DQ，∴∠D+∠DAB＝180°．∵∠D＝80°，∴∠DAB＝100°．∵∠ABC＝80°，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴AD∥BC；（2）∵AN平分∠DAM，∴∠NAM＝∠NAD＝∠DAM．∵∠1＝∠2，∴∠CAM＝∠BAM．∴∠NAM+∠CAM＝∠DAM+∠BAM，即：∠CAN＝∠DAB∵∠DAB＝100°，∴∠CAN＝50°，（3）①不会．∵AP∥DQ，∴∠AMD＝∠MAB＝2∠1，∠ACD＝∠1，∴∠AMD：∠ACD＝2，②∵AP∥DQ，AD∥BC，∴∠AND＝∠NAB，∠ACB＝∠DAC，∵∠AND＝∠ACB，∴∠NAB＝∠DAC，∴∠NAB﹣∠NAC＝∠DAC﹣∠NAC，即：∠1＝∠DAN．∴∠1＝∠2＝∠DAN＝∠MAN＝25°，∴∠ACB＝∠DAC＝75°．4、如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标是（1，3），顶点B的坐标是（﹣2，4），顶点C的坐标是（﹣2，﹣1），现在将△ABC平移得到△A′B′C′，平移后点B和点A刚好重合．其中点A′，B′，C′分别为点A，B，C的对应点．（1）在图中画出△A′B′C′；（2）直接写出A′、C′点的坐标；（3）若AB边上有一点P，P点的坐标是（a，b），平移后的对应点是P′，请直接写出P′点的坐标．解：（1）△A′B′C′如图：（2）∵平移后点B和点A刚好重合，∴平移后，对应点的横坐标增加3，纵坐标减小1，又∵顶点A的坐标是（1，3），顶点C的坐标是（﹣2，﹣1），∴A′、C′点的坐标分别为（4，2），（1，﹣2）；（3）∵P点的坐标是（a，b），∴平移后的对应点P′的坐标是（a+3，b﹣1）．5、如图所示，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）（1）将△ABC沿x轴正方形平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，点B1坐标为；（2）将△A1B1C1沿y轴正方向平移4个单位长度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，点C2的坐标为；（3）点P（a，b）是△ABC内一点，经过上述2次平移后对应点坐标为；△A2B2C2的面积为．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点B1坐标为（1，﹣4）；故答案为：（1，﹣4）；（2）如图，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（2，2）；故答案为：（2，2）；（3）点P（a，b）沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移4个单位长度后，对应点的坐标为（a+3，b+4），△A2B2C2的面积为．故答案为：（a+3，b+4），．6、如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC．（1）填空：AB与CD的关系为∠B与∠D的大小关系为；（2）如图2，若∠B＝60°，F、E为BC的延长线上的点，∠EFD＝∠EDF，DG平分∠CDE交BE于G，求∠FDG．（3）在（2）中，若∠FDG＝α，其它条件不变，则∠B＝．解：（1）AB∥CD，且AB＝CD，∠B与∠D相等；（2）∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠B，由三角形的外角性质得，∠CDF＝∠DFE﹣∠DCE，∴∠CDG＝∠CDF+∠FDG＝∠DFE﹣∠DCE+∠FDG，在△DEF中，∠DEF＝180°﹣2∠DFE，在△DFG中，∠DGF＝180°﹣∠FDG﹣∠DFE，∴∠EDG＝∠DGF﹣∠DEF＝180°﹣∠FDG﹣∠DFE﹣（180°﹣2∠DFE）＝2∠DFE﹣∠FDG﹣∠DFE，∵DG平分∠CDE，∴∠CDG＝∠EDG，∴∠DFE﹣∠DCE+∠FDG＝2∠DFE﹣∠FDG﹣∠DFE，∴∠FDG＝∠DCE，即∠FDG＝∠B，∵∠B＝60°，∴∠FDG＝×60°＝30°；（3）思路同（2），∵∠FDG＝α，∴∠B＝2α，故答案为：（1）AB∥CD，且AB＝CD，相等；（3）2α．7、如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠PAC＝50°，∠ADC＝30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E．（1）求∠AEC的度数；（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC＝50°，∠A1D1C＝30°，求∠A1EC的度数．（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A1EC 的度数．解：（1）如图1所示：∵直线PQ∥MN，∠ADC＝30°，∴∠ADC＝∠QAD＝30°，∴∠PAD＝150°，∵∠PAC＝50°，AE平分∠PAD，∴∠PAE＝75°，∴∠CAE＝25°，可得∠PAC＝∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD，∴∠ECA＝25°，∴∠AEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°；（2）如图2所示：∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向右平移到A1D1，PQ∥MN，∴∠QA1D1＝30°，∴∠PA1D1＝150°，∵A1E平分∠AA1D1，∴∠PA1E＝∠EA1D1＝75°，∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，∴∠CAQ＝130°，∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD1，∴∠ACE＝25°，∴∠CEA1＝360°﹣25°﹣130°﹣75°＝130°；（3）如图3所示：过点E作FE∥PQ，∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向左平移到A1D1，PQ∥MN，∴∠QA1D1＝30°，∵A1E平分∠AA1D1，∴∠QA1E＝∠2＝15°，∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，∴∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD1，∴∠ACE＝∠ECN＝∠1＝25°，∴∠CEA1＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°．。
平移的题20道
以下是20道平移的题目：1. 将一个正方形沿着一个方向平移一段距离，画出平移后的图形。
2. 将一个矩形沿着横向和纵向分别平移一段距离，画出平移后的图形。
3. 画出一个三角形向右平移三格后的图形。
4. 画出一个菱形向上平移两格后的图形。
5. 将一个直角三角形沿着横向和纵向平移，画出平移后的图形。
6. 将一个平行四边形沿着一个方向平移，画出平移后的图形。
7. 画出一个梯形向右平移三格后的图形。
8. 将一个圆形沿着一个方向平移一段距离，求圆心移动的距离。
9. 画出一个菱形向下平移两格后的图形，再求出图形的面积和原来相比变化了多少。
10. 画出三角形向右平移n格后的图形，如何求出n的值？11. 画出一个正方形沿着横向平移一段距离后的图形，再求出图形的面积和原来相比变化了多少。
12. 将一个五边形沿着一个方向平移后，画出平移后的图形。
13. 求出将一个正方形沿着一个方向旋转一定角度后的面积变化。
14. 画出一个三角形向上平移三格后的三角形，求新三角形的面积与原三角形面积的比值。
15. 求将一个正方形沿着一行摆放后形成的平行四边形的面积与原正方形面积的比值。
16. 将一个梯形沿着横向平移一段距离后，求新梯形的面积与原梯形面积的比值。
17. 求将一个圆形沿着半径旋转一周后形成的圆的面积与原圆面积的比值。
18. 求将一个矩形沿着一条对角线对折后形成的矩形的面积与原矩形面积的比值。
19. 求将一个正方形沿着中心对折后得到的矩形的周长与原正方形边长的比值。
20. 将两个三角形按照不同的方式进行组合摆放，求它们的面积变化。
以上题目均以平移为主要考点，考察了学生的空间想象和作图能力，需要学生掌握一定的平移规律和作图技巧。
中考数学复习：专题7-1 利用平移巧妙解题
专题01利用平移巧妙解题【专题综述】平移与轴对称一样，也是图形的一种基本变换，在日常生活应用也十分广泛.在解题中巧妙利用平移，可以起到化繁为简，事半功倍的效果.【方法解读】例1：如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四边形，根据图中标明的数据，其中空白部分的面积是多少？【举一反三】如图在一块长为12m，宽为6m的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是2m）则空白部分表示的草地面积是（）A. 70B. 60C. 48D. 18二、求线段的长度例2：如图，某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，已知主楼梯道的宽为3米，其侧面如图2所示，则买地毯至少需要多少元？【举一反三】某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯(含台阶的最上层)，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，升旗台的台阶宽为3米，其侧面如图所示．请你帮助测算一下，买地毯至少需要多少元？三、说明角的关系例3：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，AD ＜BC ，则∠B 与∠C 的数量关系怎样？试说明你的理由.【举一反三】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ＝CD ，AB ＜CD ，且∠ABC 为锐角，AD ＝4，BC ＝12，点E 为BC 上一动点。
试求：当CE 为何值时，四边形ABED 是等腰梯形？第21题图CDE BA四、比较线段的大小例4：如图，在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且BE ＝CF ，则FE ＜BC 吗？为什么？【举一反三】如图所示，AD ∥BC ，∠ABC ＝80°，∠BCD ＝50°，利用平移的知识讨论BC 与AD +AB 的数量关系．五、最短路径设计例5：如图，A、B两城市之间有一条国道，国道的宽为a，现要在国道修建一座垂直于国道的立交桥，使通过A、B两城市路程最近，请你设计建桥的位置，并说明理论依据.【举一反三】如图，工厂A和工厂B被一条河隔开，它们到河的距离都是2km，两个工厂水平距离是3km，河宽1km，现在要架一座垂直于河岸的桥，使工厂A到工厂B的距离最短（河岸是平行的）①请画出架桥的位置（不写画法）②求从工厂A经过桥到工厂B的最短路程.【强化训练】1．如图，阴影部分的面积为 ( )A.a 2；B.2a 2；C.a 2；D.4a 2. 2．(1)已知图1将线段AB 向右平移1个单位长度,图2是将线段AB 折一下再向右平移1个单位长度,请在图3中画出一条有两个折点的折线向右平移1个单位长度的图形；(2)若长方形的长为a ,宽为b ,请分别写出三个图形中除去阴影部分后剩下部分的面积；(3)如图4，在宽为10 m ,长为40 m 的长方形菜地上有一条弯曲的小路,小路宽度为1 m ,求这块菜地的面积.3．如图，凯瑞酒店准备进行装修，把楼梯铺上地毯，已知楼梯的宽度是2米，楼梯的总长度为8米，总高度为6米，已知这种地毯每平方米的售价是60元.请你帮助酒店老板算下，购买地毯至少需要多少元？4．如图，张三打算在院落里种上蔬菜，已知院落为东西长32 m ，南北宽20 m 的长方形，为了行走方便，要修筑同样宽的三条道路：东西两条，南北一条，南北道路垂直于东西道路，余下的部分要分别种上西红柿、青椒、菜豆、黄瓜等蔬菜，若每条道路的宽均为1 m ，求蔬菜的总种植面积是多少？5．（阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD.分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是____．(写出所有正确结论的序号)①b＞0；②a－b ＋c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a.7．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB .试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此230时AM+NB=（）A．6 B. 8 C. 10 D. 128．如图1，在▱ABEF中，AB=2，AF＜AB，现将线段EF在直线EF上移动，在移动过程中，设线段EF的对应线段为CD，连接AD、BC．（1）在上述移动过程中，对于四边形的说法不正确的是BA．面积保持不变B．只有一个时刻为菱形C．只有一个时刻为矩形D．周长改变（2）在上述移动过程中，如图2，若将△ABD沿着BD折叠得到△A′BD（点A′与点C不重合），A′B交CD于点O．①试问A′C与BD平行吗？请说明理由；②若以A′、D、B、C为顶点的四边形是矩形，且对角线的夹角为60°，求AD的长．9．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：（1）如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD 集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形或全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（2）问题解决：受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．①求证：BE+CF＞EF；②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作∠EDF为60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．10．【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证： =；【结论应用】（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若=，则的值为；【联系拓展】（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．。
全等三角形平移模型例题
全等三角形平移模型例题全等三角形平移模型例题全等三角形是初中数学中重要的概念之一，它是指在平面上的两个三角形，它们的三条边分别相等。
在解题过程中，可以利用全等三角形的性质来进行推理和证明。
而平移则是一种基本的几何变换方式，它保持图形的大小、形状和全等关系不变，只是位置发生变化。
本文将介绍一些关于全等三角形平移模型的例题及解析，以帮助读者加深对这一概念的理解。
例题一：在平面上，已知三角形ABC与三角形A'B'C'全等（∆ABC≌∆A'B'C'）。
若向右平移2个单位，向上平移3个单位，得到一个新的三角形∆A"B"C"，求证∆A"B"C"与∆ABC 全等。
解析：首先，我们可以观察到向右平移和向上平移保持形状和大小不变，所以我们可以推测∆A"B"C"与∆ABC是全等的。
接下来，我们需要证明这个猜想。
由于已知∆ABC与∆A'B'C'全等，我们可以列出一些全等条件。
首先，我们知道∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，即它们的内角相等。
其次，我们有AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'，即它们的边长也相等。
通过平移操作，我们使得∆A'B'C'向右平移2个单位，向上平移3个单位，得到新的三角形∆A"B"C"。
从图中可以观察到∆A=B'，∆B=C'，∆C=A'，即对应顶点的横坐标和纵坐标相等。
所以我们可以得出结论，∠A"=∠A，∠B"=∠B，∠C"=∠C。
另外，∆A"B"=2个单位，∆B"C"=3个单位，符合平移的位移值。
所以，根据全等三角形的定义，∆A"B"C"与∆ABC全等。
平移典型例题及练习含答案
平移典型例题及练习含答案一、知识点复平移是指在平面内，一个图形沿某个方向移动一定距离的变换。
平移的要素包括方向和距离，其中方向是原图上的点指向它的对应点的射线方向，距离是连接原图与平移后图形上的一对对应点的线段的长度。
平移具有不改变图形形状和大小，仅改变位置的性质。
平移后的图形与原图形上对应点连成的线段数量相等，位置关系是平行或在同一条直线上。
判断一组图形能否通过平移得到的方法是看对应点连线是否平行或在同一条直线上，以及形状、大小是否发生变化，位置的变化是否由平移产生。
二、典型例题题型1：生活中平移现象生活中的平移现象包括：推开教室的门、急刹车时汽车在地面上的滑动等。
因此，答案为B。
题型2：平移的性质在平移过程中，对应线段一定相等，对应线段的位置关系是平行或在同一条直线上，周长不变，因此正确的选项为①②③。
题型3：与平移有关的计算将△XXX沿射线BC方向移动，使点B移动到点C，得到△DCE。
连接AE，若△ABC的面积为2，则△XXX的面积为4.例题6】：如图所示，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，AE、DC交于点G．如果△ABE的周长是16cm，那么△ADG与△CEG的周长之和是多少？答案：由于△ABE和△DCF是平移，所以它们的周长相等。
设△ABE的周长为16cm，则△DCF的周长也为16cm。
因为AE、DC交于点G，所以△ADG和△CEG是全等三角形，它们的周长之和为2×AD+2×CE=2×AG+2×CG=2×AC=2×(AE+EC+CD)=2×16cm=32cm。
例题7】：如图所示，大矩形长是10厘米，宽是8厘米，阴影部分宽为2厘米，则空白部分面积是多少？答案：阴影部分的面积为10cm×2cm=20cm²，所以空白部分的面积为80cm²-20cm²=60cm²。
例题8】：如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为多少平方米？答案：如图所示，将长方形地块分成四个小矩形和一个中间的正方形。
平移求周长的题
平移求周长的题（实用版）目录1.题目背景和要求2.平移的概念和性质3.求周长的方法4.举例说明5.总结正文一、题目背景和要求求周长的题目在数学中十分常见，尤其是在几何部分。
而在解决这类问题时，我们通常会考虑使用平移的方法。
平移是指将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的操作不会改变图形的形状和大小，但会改变其位置。
利用平移的性质，我们可以轻松地解决求周长的问题。
下面我们就来详细探讨一下如何利用平移求周长。
二、平移的概念和性质平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离。
平移具有以下性质：1.平移不改变图形的形状和大小，只改变其位置。
2.平移是可逆的，即一个图形先平移一定的距离，再反向平移同样的距离，可以回到原来的位置。
3.平移具有传递性，即对一个图形先进行一次平移，再进行第二次平移，其效果等于两次平移的效果之和。
三、求周长的方法在求周长的问题中，我们通常需要先找到一个合适的平移方法，将图形平移到易于计算周长的位置。
具体操作如下：1.观察题目中给出的图形，找到需要平移的部分。
2.考虑平移的方向和距离，使得平移后的图形周长更容易计算。
3.进行平移操作，计算平移后的周长。
4.根据平移的性质，还原回原来的图形，得到最终的周长。
四、举例说明假设有一个正方形，边长为 4 厘米，现在需要求其周长。
我们可以将正方形沿着一条边平移一定的距离，使其变成一个长方形，然后计算长方形的周长。
假设平移的距离为 2 厘米，那么平移后的长方形的长为 4 厘米，宽为 2 厘米。
根据长方形的周长公式，周长等于（4+2）×2=12 厘米。
根据平移的性质，还原回原来的正方形，得到正方形的周长也为 12 厘米。
五、总结通过利用平移的性质，我们可以轻松地解决求周长的问题。
在实际操作中，我们需要注意观察题目中给出的图形，找到需要平移的部分，并选择合适的平移方向和距离，使得周长更容易计算。
数学中的“平移问题”解题指导
数学中的“平移问题”解题指导在一个平面内，将一个基本的图形沿一定的方向移动了一定的距离，这种图形平行移动称为平移。
由平移后的图形与原图形比较，可得出，平移后的图形与原图形的对应线段平行且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化，在平移过程中，对应线段有时平行，有时还可能在同一直线上，对应点所连的线段平行且相等，有时对应点的连线也可能会在同一直线上。
物体的运动是否是平移，看它是否符合平移的特征，即平移前后对应线段平行且相等．画平移图形的方法有：根据平移的方向，平移的距离，作图可根据平移前后图形的对应线段平行且相等，作出平移图形．平移后的图形与原图形大、小、形状都相等相同．一、易错分析如：火车在一段笔直的铁轨上行驶，我们可以把它看成火车沿着铁轨的方向移动一定距离，这就是平移，如果火车驶入有弯道的山洞，这也是数学上的平移吗？错解：火车驶入有弯道的山洞，也是数学上的平移．分析：对平移现象的理解容易忽略在平移过程中图形的形状大小不变这一条件．正解：火车在笔直的铁轨上行驶是数学上的平移，火车驶入有弯道的山洞，不是数学上的平移，因为火车驶入有弯道的山洞时.火车的整体形状发生了变化．二、典型例题例1．如图所示△ABC沿射线xy方向平移一定距离后成为△AˊBˊCˊ，找出图中存在的平行且相等的线段及相等的角．分析：根据对应点所连的线段平行且相等可找出AAˊBBˊ，BC BˊCˊ,根据角相等可找出∠A＝∠Aˊ等．答：平行且相等的线段有AAˊBBˊ，BBˊCCˊ，AB AˊBˊ，AC AˊCˊ,BC BˊCˊ,相等的角有∠A＝∠Aˊ，∠B＝∠Bˊ，∠C＝∠C.例2．如图11－l所示：先将方格纸中的图形向右平移4个单位后又向下平移3格分析：上题分两步平移，在平移过程中要注意平移的顺序和平移方向及平移距离．解：如图11－2所示例3．如图11－3四边形，EFGH是由四边形ABCD经平移后得到的，如果∠A＝40°，AB＝12cm，∠B＝90°，四边形ABCD的面积为80cm2.（1）求∠E，∠F的度数．（2）求EF的长．（3）求四边形EFGH的面积．分析：四边形EFGH由四边形ABCD平移得到的，故可用平移的特征解决本题，由平移后的图形与原图形的对应线段平行且相等可知EF＝AB，对应角相等可知∠E＝∠A，∠F＝∠B，图形的形状和大小都没有发生变化，故面积相等．解：（l）∠E＝∠A＝40°，∠F＝∠B＝90°.（2）EF＝AB＝12cm.（3）S EFGH=S ABCD＝80cm2.例4．请用平移分析如图11－4所示的图案的形成过程，然后以几个圆为“基本图形”设计一个由平移形成的图形，并说明形成的过程．分析：由于几个圆的大小相同，故每一个圆都可看成由其中的一个圆平移得到．解：（1）图案可看成将正中央的圆向周围依次平移与半径相等的距离得到．（2）设计图案：把中间的圆向左、左下、向右、右下平移而成，如图11—5所示：例5．请通过平移如图11－6所示的图形设计图案．分析：将上图按不同的方向，不同的间隔距离平移得到不同的图案．这里仅举两例（1）将基本图案向右平移一格，（2）将基本图形向右平移两格，许多美丽的图案都是沿一定的方向移动而产生的．例6．某宾馆在重新装修后考虑在大厅内的主楼梯上铺设地毯，已知主楼梯梯宽3米，其剖面如图11－7所不，请你计算一下：（1）仅此楼梯，需要购买地毯多少米？（2）购买地毯多少平方米？分析：地毯的长度应等于楼梯的长度，而楼梯的长度应包括，每节楼梯的所有的横长之和与所有的竖长之和．运用图形的平移，把所有的横长通过平移都移到BC 边上，发现所有的横长之和等于BC 长，再把所有的竖长平移到AB 边上，发现所有的竖长之和等于AB 长．解：（1）AB+BC ＝1.2＋2.4＝3.6m（2）S ＝3．6×3＝10．8平方米答：需要购买地毯长3．6米，地毯面积为10．8平方米．例7．将△ABC 沿直角边AB 向右平移2个单位得到Rt △DEF ，如图11－8所示若AB ＝4，∠ABC ＝90°，且三角形ABC 的面积为6个平方单位，试求图中阴影部分面积．分析：因为S △ABC=21AB ·BC=21×4×BC=6，所以BC ＝3，又DF ∥AC ，D 为AB 的中点，可推算出H 必为BC 的中点，所BH=21BC=1.5，DB=21AB=2 解：S 阴影=21DB ×BH=21×2×1.5＝l.5（平方单位） 答：阴影部分的面积为1．5平方单位．例8．图形操作（四个矩形的长、宽都是a 、b ）在图（一）中、将线段A 1A 2向右平移1个单位到B 1B 2,得封闭图形A 1A 2B 2B 1．在图（二）中、请将折线A 1A 2A 3向右平移1个单位到B 1B 2B 3,得封闭图形A 1A 2A 3B 3B 2B 1． 在图（三）中请类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影．2．请分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积．S 1＝ ，S 2＝ ，S 3＝ .3．如图（四）,在一块矩形草地上，有一条弯弯曲曲的小路，小路任何地方的水平宽度都是一个单位，请你猜想空白部分表示的草地的面积是多少？并说明你的猜想是正确的．解：1.见图（三）2．S 1＝ab-b S 2＝ab-b S 3＝ab-b3．猜想空白部分的面积仍为ab-b说明：因为小路任何地方的水平宽度都是一个单位，所以阴影左右两边的折线、曲线全等，平移一个单位可重合，所以阴影面积为ab-b ．。
五下数学用平移和旋转解决问题技巧
五下数学用平移和旋转解决问题技巧
解决平移和旋转的问题需要掌握一些基本技巧。
以下是一些建议和策略，可以帮助你更好地理解和解决这类问题：
1. 理解基本概念：首先，你需要理解平移和旋转的基本概念。
平移是图形在平面内沿某一方向直线移动一定的距离；旋转是图形绕某一点转动一定的角度。
2. 识别图形：在解决问题时，要能够识别哪些图形是可以进行平移或旋转的。
通常，线段、三角形、矩形等基本图形是适合进行平移或旋转的。
3. 找出平移或旋转的元素：确定需要平移或旋转的图形元素，并注意方向和距离（角度）。
4. 应用几何性质：在解决与平移和旋转相关的问题时，要利用相关的几何性质。
例如，平移不改变图形的形状和大小；旋转后的图形与原图形全等。
5. 数形结合：结合图形和数学表达式来解决问题。
有时，通过观察图形可以更好地理解问题，而数学表达式则提供了精确的解决方案。
6. 实践操作：如果有机会，尽量实际操作一些例子，例如手动平移或旋转图形。
这有助于你更好地理解问题，并找到解决方案。
7. 检查答案：解决问题后，要检查答案是否符合题目的要求，以及是否符合实际情况。
通过掌握这些技巧，你将能够更好地理解和解决与平移和旋转相关的问题。
通用版初中数学图形的变化平移解题方法技巧
(每日一练)通用版初中数学图形的变化平移解题方法技巧单选题1、如图，△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，点P是直线AA′上任意一点，若△ABC、△PB′C′的面积分别为S1、S2，则下列关系正确的是（）A．S1>S2B．S1<S2C．S1=S2D．S1=2S2答案：C解析：根据平行线间的距离相等可知△ABC，△PB′C′的高相等，再由同底等高的三角形面积相等即可得到答案．解：∵△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，∴AA′∥BC′，∵点P是直线AA′上任意一点，∴△ABC，△PB′C′的高相等，∴S1=S2，故选：C．小提示：本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．2、下列平移作图错误的是( )A．B．C．D．答案：C解析：根据平移变换的性质，“经过平移，对应线段平行且相等”即可解答此题.观察图形中的四个选项，由平移的基本概念即可判断A. B. D符合平移变换，C是轴对称变换.故选C.小提示：本题考查平移变换的性质，掌握平移后对应线段平行且相等是解题的关键.3、在平面直角坐标系中，将四边形格点的横坐标都减去2，纵坐标保持不变，所得图形与原图形相比（）A．向右平移了2个单位B．向左平移了2个单位C．向上平移了2个单位D．向下平移了2个单位答案：B解析：根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，可得答案．解：在平面直角坐标系中，将四边形格点的横坐标都减去2，纵坐标保持不变，所得图形与原图形相比向左平移了2个单位．故选：B．小提示：此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．解答题4、如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：（1）补全△A′B′C′；（2）画出BC边上的高线AE；（3）画出AB边上的中线CF；（4）在平移过程中，线段BC扫过的面积为______．答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）16解析：（1）根据图中的B′的位置，是B点向左移动4个单位，再向下移动2个单位，所以，将点A,C分别向左移动4个单位，再向下移动2个单位得到A′,C′，连接A′,B′,C′即可；（2）过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，AE即为所求；（3）找到AB的中点F，连接CF即可，CF即为所求；（4）在平移过程中，线段BC扫过的面积为平行四边形BCC′B′的面积，计算平行四边形BCC′B′的面积即可．（1）如图，根据图中的B′的位置，是B点向左移动4个单位，再向下移动2个单位，所以，将点A,C分别向左移动4个单位，再向下移动2个单位得到A′,C′，连接A′,B′,C′（2）如图：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，AE即为所求（3）如图，找到AB的中点F，连接CF即可，CF即为所求（4）如图，在平移过程中，线段BC扫过的面积为平行四边形BCC′B′的面积S平行四边形BCC′B′=BC⋅AE=4×4=16所以答案是：16小提示：本题考查了平移的性质，平移的作图，三角形中线和高线的作图，平行四边形面积，理解以上知识点是解题的关键．5、如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．（1）将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点A1，点B的对应点为点B1，请画出平移后的线段A1B1；（2）将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°，点B1的对应点为点B2，请画出旋转后的线段A1B2；（3）连接AB2、BB2，求ΔABB2的面积．答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）S△ABB2=6.解析：（1）根据网格结构找出点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点B2的位置，然后连接即可；（3）利用正方形的面积减去三个三角形的面积，列式计算即可得解．（1）线段A1B1如图所示；（2）线段A1B2如图所示；（3）S△ABB2=4×4−12×2×2−12×2×4−12×2×4=6．小提示：本题考查了平移变换和旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．。
利用平移,巧妙解题
利用平移巧妙解题
[题目] 一张白色正方形纸片的边长是10cm，被2个宽为2cm的黑色纸条分为四个白色的长方形部分，求出图中白色部分的面积。
（如图①）[一般解法] 如图①，先算出正方形的面积，再减去2个长方形黑色部分的面积，中间小正方形多减了一次，再加上中间小正方形的面积。
计算如下：
10×10－2×10×2＋2×2=64（cm2）
[巧妙解法]如图②，将竖的黑色部分的长方形平移到正方形的左边或右边，再将横的黑色部分的长方形平移到正方形的上边或下边，这4个空白部分的面积就合拼成一个正方形的面积。
计算如下：
（10－2）×（10－2）=64（cm2）
图①
图②。
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利用平移巧妙解题
平移与轴对称一样，也是图形的一种基本变换，在日常生活应用也十分广泛.现举例说明.
一、求图形的面积
例1 如图1，在长方形ABCD 中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四边形，根据图中标明的数据，其中空白部分的面积是多少？
简析 利用“平移不改变图形的形状和大小”这一性质可使本题迅速解决.由图形可知，四个空白四边形经过平移可以组成一个长方形，其长为（a －c ），宽为（b －c ），所以面积为：（a －c ）（b －c ）＝ab －ac －bc +c 2.
说明 这里通过平移的知识，避免了对图形的分割，使求解简洁、方便.
二、求线段的长度
例2 如图2，某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，已知主楼梯道的宽为3米，其侧面如图2所示，则买地毯至少需要多少元？
简析 我们可以利用平移的知识分别将楼梯水平方向的线段沿竖直方向平移到
BC 上，竖直方向的线段沿水平方向平移到AC 上，于是铺地毯的横向线段的长度之和就等于横向直角边的长度，纵向线段的长度之和就等于纵向直角长度，所以地毯的总长度至少为5.6米+2.8米＝8.4米，此总面积为8.4米×3米＝25.2平方米，所以购买地毯至少需要25.8平方米×40元/平方米＝1018元.
说明 这道若要通过逐步计算，你会觉得比较复杂的，而运用了平移的知识，则问题就显得这么简单，因此，同学们在学习平移知识时一定要用心去体会.
图1
c B
图2
图3
E C
B
D
A
三、说明角的关系
例3 如图3，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，AD ＜BC ，则∠B 与∠C 的数量关系怎样？试说明你的理由.
简析 由于∠B 与∠C 的位置较散，故考虑将∠B 与∠C 变换到同一个三角形中来.而AD ∥BC ，AD ＜BC ，故将线段AB 沿着AD 的方向平移AD 长，即点B 平移到点E ，此时有DE ＝AB ，DE ∥AB ，所以∠DEC ＝∠B ，于是，在△DEC 中，因为DE ＝DC ，所以∠DEC ＝∠C ，故∠B ＝∠C .
说明 本题从平移的角度来思考问题，使问题简洁获解.
四、比较线段的大小
例4 如图4，在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且BE ＝CF ，则FE ＜BC 吗？为什么？
简析 由于已知条件中的线段BE 、CF 和结论中的线段FE 、BC 比较散，所以我们可以考虑运用平移的知识将这四条线段相对集中，即将EF 平移到BM ，则此时BE 平移到MF ，这样只要说明BC ＞BM 即可，而由于CF ＝BE ＝MF ，再考虑到MF 与CF 的对称关系，作∠MFC 的平分线交BC 于点D ，易得DM ＝DC ，因为BD +DM ＞BM ，所以BC ＞EF ，即FE ＜BC .
说明 若已知条件中出现相互平行且相等的线段自然要想到利用平移知识解决问题，若条件中并没有出现这些问题，我们要想利用平移的知识求解，则可通过平移使有关线段或角相对集中，从而可降低求解的难度.
五、最短路径设计
例5 如图5，A 、B 两城市之间有一条国道，国道的宽为a ，现要在国道修建一座垂直于国道的立交桥，使通过A 、B 两城市路程最近，请你设计建桥的位置，并说明理论依据.
简析 不妨设国道的两边分别为l 1、l 2，桥为MN ，那么从A 到B 要走的路线就是A →M →N →B 了，如图5，而MN ＝a ＝定值，于是要使路径最短，只要AM +BN 最短即可.此时两线段应在同一平行方向上，若设想先过桥，即平移MN 于AC ，从C 到B 应是余下的路程，连结BC 的线段即为最短的，此时不难说明线段BC 与国道边缘l 2的交点N 就是修桥的位置.
图5
B
D
F
B
A
C E
图4 M
说明本题是设计建桥的位置，却隐含了平移的知识，体现了数学知识与社会生活的紧密联系，既能使我们在具体情况中分析、解决问题，又很好地培养和锻炼了同学们的发散思维能力.。