二建：建筑结构与建筑设备讲义.第五章第一节 静力学基本知识和基本方法(二)

（四）力在坐标轴上的投影
过力矢F的两端A、B，向坐标轴作垂线，在坐标轴上得到垂足a、b，线段ab，再冠之以正负号，便称为力F在坐标轴上的投影。

如图5-11中所示的X、y即为力F分别在x与y轴上的投影，其值为力F的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦，即：
(5-2)
图5-11
若力与任一坐标轴x平行，即α=0°或α=180°时：
或
若力与任一坐标轴x垂直，即α=90°时：
X=0
合力投影定理。

平面汇交力系的合力在某坐标轴上的投影等于其各分力在同一坐标轴上的投影的代数和。

(5-3)
例5-5 （2004年）平面力系、汇交在O点，其合力的水平分力和垂直分力分别为、，如图5-12所示。

试判断以下、值哪项正确？
A.
B.
C.
D.
图5-12
提示：
【参考答案】C
例5-6 （2004年）图5-13所示平面平衡力系中，的正确数值是多少？（与图5-13中方向相同为正值，反之为负值）
图5-13
A.=-2
B.=-4
C.=2
D.=4
提示：因为所以
【参考答案】A
（五）力矩及其性质
1．力对点之矩
力使物体绕某支点（或矩心）转动的效果可用力对点之矩度量。

设力F 作用于刚体上的A点，如图5-14所示，用r表示空间任意点0到A点的矢径，于是，力F对O点的力矩定义为矢径r与力矢F的矢量积，记为。

即
(5-4)
式(5-4)中点O称作力矩中心，简称矩心。

力F使刚体绕O点转动效果的强弱取决于：①力矩的大小；②力矩的转向；③力和矢径所组成平面的方位。

因此，力矩是一个矢量，矢量的模即力矩的大小为
(5-5)
矢量的方向与OAB平面的法线n一致，按右手螺旋法则来确定。

力矩的单位为N·m或kN·m。

在平面问题中，如图5-15所示，力对点之矩为代数量，表示为：
(5-6)
式中d为力到矩心0的垂直距离，称为力臂。

习惯上，力使物体绕矩心逆时针转动时，式(5-6)取正号，反之取负号。

图5-14力对点之矩
图5-15
2．力矩的性质
(1)力对点之矩，不仅取决于力的大小，同时还取决于矩心的位置，故不明确矩心位置的力矩是无意义的。

(2)力的数值为零，或力的作用线通过矩心时，力矩为零。

(3)合力矩定理：合力对一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和，即：
(5-7)
由合力矩定理，可以得到分布力的合力大小和合力作用线的位置，如图5-16所示。

见教材P8
由图5-16可见，分布荷载的合力大小等于分布荷载的面积，而分布荷载的合力作用线则通过分布荷载面积的形心。

例5-7（2011年）建筑立面如图5-17 (a)所示，在图示荷载作用下的基底倾覆力矩为：
A.270kN·m/m（逆时针）
B.270kN·m/m（顺时针）
C.210kN·m/m（逆时针）
D.210kN·m/m（顺时针）
提示：考虑到此建筑立面纵深厚度为1m，可以把图5-17 (a)中的面荷载视为线荷载(0.2kN/m)。

这样其合力P等于三角形的面积
×60×0.2=6kN，合力P的作用线位于三角形的形心处，距顶点为
×60=20m，如图5-17(b)所示。

对基底的倾覆力矩
=Ph=6×45=270kN·m，为逆时针方向。

【参考答案】A
图5-18
（六）力偶、力偶矩
1．力偶
大小相等、方向相反、作用线平行但不重合的两个力组成的力系，称为力偶。

用符号(F，F′)表示。

如图5-18所示。

图中的L平面为力偶作用平面，d为两力之间的距离，称为力偶臂。

2．力偶的性质
(1)力偶无合力，即不能简化为一个力，或者说不能与一个力等效。

故力偶对刚体只产生转动效应而不产生移动效应。

(2)力偶对刚体的转动效应用力偶矩度量。

在空间问题中，力偶矩为矢量，其方向由右手定则确定，如图5-18所示。

在平面问题中，力偶矩为代数量，表示为：
M=±Fd (5-8)
通常取逆时针转向的力偶矩为正，反之为负。

(3)作用在刚体上的两个力偶，其等效的充分必要条件是此二力偶的力偶矩矢相等。

由此性质可得到如下推论：
推论Ⅰ只要力偶矩矢保持不变，力偶可在其作用面内任意移动和转动，亦可在其平行平面内移动，而不改变其对刚体的作用效果。

因此力偶矩矢为自由矢量。

推论Ⅱ只要力偶矩矢保持不变，力偶中的两个力及力偶臂均可改变，而不改变其对刚体的作用效果。

由力偶的上述性质可知，力偶对刚体的作用效果取决于力偶的三要素，即力偶矩的大小、力偶作用平面的方位及力偶在其作用面内的转向。

图5-19(a)、(b)表示的为同一个力偶，其力偶矩为m=Fd。

在平面力系中，力偶对平面内任一点的力偶矩都相同，与点的位置无关。

（七）力的平移定理
显然，力可沿作用线移动，而不改变其对刚体的作用效果，现在要来研究如何将力的作用线进行平移。

（a）（b）
图5-19
如图5-20所示，在B点加一对与力F等值、平行的平衡力，并使F=F′= -F″，其中F与F″构成一力偶，称为附加力偶，其力偶矩m=Fd=。

这样，作用于A点的力F与作用于B点的力F′和一个力偶矩为m的附加力偶等效。

由此得出结论：作用于刚体上的力F可平移至体内任一指定点，但同时必须附加一力偶，其力偶矩等于原力F对于新作用
（a）（b）（c）
图 5-20
点B之矩。

这就是力的平移定理。

力的平衿定理在力系的简化和工程计算中有广泛的应用。

图5—21
例5-8图5-21所示雨工业厂房中常见的牛腿柱。

心偏心压力P可以平行移动到牛腿柱的轴纹上，成为一个轴向压力P和一个力偶m=Pe，牛腿柱的计算可简化为轴向臣缩和弯曲的组合变形。

利用力的旱移定理，可以把任意力系简化为一个主矢和一个主矩的简化结果。

二、静力学基本方法
【口诀】取，固，列。

（一）选取适当的研究对象。

可以选取整体，也可以选取某一部分。

选取的原则是能够通过已知力求得未知力。

（二）画出研究对象的受力图。

一般先画已知的主动力，后画未知的约束反力。

约束反力的方向永远与主动力的运动趋势相反。

只画研究对象的外力，不画其内力。

作用力与反作用力大小相等、方向相反，作用在一条直线上，作用在两个物体上。

（三）列出平衡方程求未知力。

根据平衡条件=0，=0，可得平面任意力系和平面特殊力系的几种不同衫式的平衡方程（表5-2）。

平面力系的平衡方程表5-2
力
（偶）
系
平面任意力
系
平面汇交力
系
平面平行力系
（取y轴与各
力作用线平
行）
平面力偶
系
平衡
条件
主矢、主矩
同时为零
合力为零
主矢、主矩同
时为零
合力偶矩
为零
M=O
基本
形式
平衡
方程
二力
矩形
式平
衡方
程
A、B两点连
线不垂直于
x轴（或y轴）
A、B两点与力
系的汇交点
不在同一直
线上
A、B两点连线
不与各力平行
无
三力
矩形
式平
行方
程
A、B、C三点
不在同一直
线上
无无无
【注意】重点掌握平面力系基本形式平衡方程的本质，就是要使畅体保持静止不动：
：水平方向合力为零，向左力=向右力。

:铅垂方向合力为零，向上力=向下力。

:对任选点O合力矩为零，顺时针力矩=逆时针力矩。

掌握了这个本质，就可以融会贯通，灵活运用。

例5-9两圆管重量分别药12kN和4kN，放在支架ABC上图5-22(a)所示位置。

试判断BC杆内力为何值？
图5-22
A. 20kN
B. lOkN
C. lOkN
D. 20kN
提示：取AB为研究对象，画AB受力图如图5-22(b)所示，对支点A取力矩。

S=20kN
【参考答案】D
【注意】在应用力矩方程时，选未知力的交点（往往是支点）为矩心，计算是最简单、最方便的。

静力学创始人阿基米德的名言：“给我一
个支点，我可以撬起地球”。

他讲的就是杠杆原理，就是力矩方程。

这是静力学的精华所在。

例5-10节点法解简单桁架，如图5-23(a)所示。

桁架特点：
(1)荷载作用于节点（铰链）处。

(2)各杆自重不计，是二力杆（受拉或受压）。

节点法：以节点为研究对象，‘由已知力依次求出各未知力。

【注意】所选节点，其未知力不能超过两个。

在画节点的受力图和杆的受力图中，既要考虑节点的平衡，又要考虑杆的平衡。

在桁架中，杆和节点之间的作用力和反作用力，如果一个是拉力，另一个也拉力；如果一个是压力，另一个也是压力。

见图5-23(b)。

图5-23
图5-24
节点A：
求出：
见图5-23（c）。

节点B:
见图5-23（d）。

节点C：
求出：，（与所设方向相反）。

例5-11截面法求指定杆所受的力：不需逐一求所有的杆。

已知：P=1200N，F=400N，α=4m，b=3m。

求1、2、3、4杆所受的力。

(1)取整体平衡，求支反力，如图5-24(a)所示。

(2)假想一适当截面，把桁架截开成两部分，选取一部分作为研究对象，如图5-24(b)所示，求，，。

(3)最后再用节点法求：取节点G，如图5-24(c)所示。

【注意】零杆的判断。

在桁架的计算中，有时会遇到某些杆件内力为零的情况。

这些内力为零的杆件称为零杆。

出现零杆的情况可归结如下：
(1)两杆节点A上无荷载作用时[图5-25（a）]，则该两杆的内力都等于零，；
(2)三杆节点B上无荷载作用时[图5-25(b)]，如果其中有两杆在一直线上，则另一杆必为零杆，。

上述结论都不难由节点平衡条件得以证实，在分析桁架时，可先利用它们判断出零杆，以简化计算。

设以代表受拉杆，代表受压杆，○代表零杆，则下图所示桁架在图示荷载作用下的内力符号如图5-26所示。

图5—25
图5-26
【注意】四杆节点的受力特点。

四杆节点无荷载作用时，要注意以下两种情况：
(1)“X”形节点C[图5-27 (a)]，其（受拉或受压），（受拉或受压）。

(2)“K”形节点D[图5-27 (b)]，其中，属于反对称的受力特点。

例5-12（2010年）图5-28所示桁架在竖向外力P作用下的零杆根数为：
A 1根
B3根
C5根
D7根
图5-27
图5-28
提示：图示结构为对称结构受对称荷载作用，在对称轴上反对称内力应该为零。

由零杆判别法可知，三根竖杆为零杆。

三根竖杆去掉后，A 点成为“K”形节点，属于反对称的受力特点，故通过A点的二根斜杆内力也是零。

【参考答案】C
例5-13 图5-29所示4个桁架结构中，哪个结构中有零杆？
A
C
B
D
图5-29
提示：在图5-29中，A图中节点K上有外力，C图中荷载不对称，D图中荷载反对称，都不符合K字形节点两根斜杆为零的条件。

只有B图符合结构对称、荷载对称，K字形节点上无外力，而且K字形节点在对称轴上的条件。

这时K字形节点上反对称力为零，两根斜杆是零杆。

【参考答案】B
例5-14 （2010年）图5-30 (a)所示结构固定支座A的竖向反力为：
图5-30
A 30kN
B 20kN
C 15kN
D OkN
提示：这是一个物体系统的平衡问题。

首先，根据零件判别法，由B
点的受力分析可知BC杆为零杆，可以把BC杆撤去以简化计算。

然后，取CDE杆为研究对象，画出杆CDE的受力图如图5-30 (b)所示。

由，可得：
再取AC杆，画AC杆受力图，如图5-30 (c)所示，由。

【参考答案】A
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亲爱的朋友：
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不论今后的路如何，我都会在心底默默鼓励自己，坚持不懈，等待那一场破茧的美丽。

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