第二三宇宙速度解法

假设在地球上将一颗质量为m的卫星发射到绕太阳运动的轨道需要的最小发射速度为V；地球半径为r;
此时卫星绕太阳运动可认为是不受地球引力，距离地球无穷远；
认为无穷远处是引力势能0势面，并且发射速度是最小速度，则卫星刚好可以到达无穷远处。

由动能定理得
(mV^2)/2-GMm/r^2*dr=0;
由微积分dr=r地
解得V2=√(2GM/r)
而第一宇宙速度公式为
V1=√(GM/R)
故这个值正好是第一宇宙速度的√2倍
一、提出问题
在地球表面上的物体克服地球和太阳引力的束缚而飞离太阳系，必须具有的最小速度叫做第三宇宙速度，也叫逃逸速度。

对于第三宇宙速度的计算可以用不同的方法，一般情况是以地球为参考系的，其计算结果为16.7km/s，但是《物理教学》中的《如何求第三宇宙速度？》分别以地球和太阳为参考系的两种方法得到的结果却不同，其结果分别是16.6km/s和13.8 km/s。

那么，到底哪种计算方法或哪个结果是正确的呢？这就是本文首先要讨论的问题。

另外，宇宙第三速度对于不同物体是不是都是一样的呢？这是第二个要讨论的问题。

二、计算方法
1.先求地球绕太阳公转的线速度u，可以采用不同方法：
方法一：利用牛顿第二定律，由万有引力等于向心力，
后面计算中，u取29.8 km/s。

实际上，地球公转轨道是椭圆形而不是圆形，公转速度u和地球公转轨道半
径有变化，但是把地球公转运动看成匀速圆周运动并不影响此题的计算，这里不再进行详细讨论。

2.接着求当克服了地球引力束缚而在地球公转轨道上运行后，物体为能克服太阳引力束缚而飞出太阳系的最小速度，设为v（此时v以太阳为参考系）。

根据机械能守恒，有
3.再求物体在地球表面的发射速度，即宇宙第三速度（以地球为参考系）。

如果物体从地面出发顺着地
球公转运动的轨道切向飞出的话，便可借助于地球的公转速度，因而在飞离地球后相对地球的速度只需v-u，而不需要达到v，但仍然满足相对太阳的速度为v。

由于地球公转轨道可以看成圆形，太阳引力与“物体—
地球”体系速度方向垂直，从而不做功，故宇宙第三速度可以通过该体系机械能守恒求得。

下面结合个
人理解回顾总结一下《如何求第三宇宙速度？》中的两种不同求法：
(1)以地球为参考系（可忽略太阳的影响，故为惯性系）
三、分析讨论
以上两种求第三宇宙速度方法，分别以地球和太阳为参考系，两者都是惯性系，计算过程好象都有问题，为什么得出的结果是不同的呢？哪一个是正确的呢？其实，以地球参考系的方法是正确的，第三宇宙速度应约为16.6km/s，而以太阳为参考系的方法在考虑某些细节问题还不够全面，从而导致结果跟实际值相差较大。

本文前面提到过，以太阳为参考系时《如何求第三宇宙速度？》认为“考虑到物体质量比地球小得多，在物体飞离地球过程中，地球速度（从而动能）几乎不变。

”这句话是不是有道理呢？确实，地球质量M大，速度几乎不变，但是速度几乎不变，动能可以看成几乎不变吗？不难看出，虽然地球速度改变量时△v很小，
但是地球质量M很大，地球动能的改变量就不一定很小，所以相对物体动能
的改变量而言就不能忽略不计。

那么，以太阳为参考系时，如果要考虑地球动能的改变该怎么求第三宇宙速度呢？计算方法如下所示：
其结果与(2)式结果完全相同，可见这种方法是合理的。

四、深入研究
在前面的计算中，我们认为地球速度的改变量△v很小，如果考虑△v带来的影响结果又会怎么样呢？计算过程可以取地球或太阳为参考系，下面以地球为参考系为例进行计算。

很显然，物体远离地球而在地球公转轨道上运动时，地球相对太阳的速度为u+△v，物体相对太阳的速度是v，相对地球的速度为，根据“物体—地球”体系机械能守恒，有
五、结论
本文介绍了两种分别以地球和太阳为参考系的计算方法，结果表明第三宇宙速度对于不同物体并不是一样的，而跟物体的质量m和地球的质量的比值k有关系，所以严格讲，第三宇宙速度并不是16.6km/s，
从理论上讲可以取得更小，但是当时，即物体的质量为地球质量的1/10时（但这实际上是不大可能的），第三宇宙速度也不过是16.4km/s，跟16.6km/s相差不大，所以把第三宇宙速度确定为16.6km/s 是合情合理的。

另外，并不是只要物体的速度大小达到了16.6km／s就能飞离太阳系，还要满足其方向是顺着地球公转运动的轨道切向飞出。

物体在地球表面时，相对地球的速度为，动能为；“物体—地球”体系势能力，其中m为物体质量，为地球半径。

当其远离地球而在地球公转轨道上运动时，物体相对太阳的速度是v，相对地球的
速度为；由于物体与地球的距离R很大，“物体—地球”体系势能为。