高考数学(文江苏专用)一轮复习课件：第三章第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

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第二讲+同角三角函数的基本关系与诱导公式课件-2025届高三数学一轮复习

正弦 sin α
－sin α
－α －sin αFra bibliotekπ－α sin α
π2－α π2＋α cos α cos α
余弦 cos α
－cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切口诀
tan α
tan α －tan α －tan α — —
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
【常用结论】
)
1 A.3
22 B. 3
C.－13
D.－2 3 2
解析：由 sinα－1π2＝31，得 cosα＋1172π＝cosα＋32π－1π2＝ sinα－1π2＝13.故选 A.
答案：A
考点三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
[例 3](1)已知角 θ 的终边在第三象限，tan 2θ＝－2 2，则 sin2θ ＋sin(3π－θ)cos (2π＋θ)－ 2cos2θ 等于( )
1.已知 sin x＋cos x＝ 32－1，x∈(0，π)，则 tan x＝(
)
A.－
3 3
3 B. 3
C. 3
D.－ 3
解析：因为 sin x＋cos x＝ 32－1，且 x∈(0，π)，所以 1＋ 2sin x cos x＝1－ 23，所以 2sin x cos x＝－ 23<0，所以 x 为钝角，所以 sin x－cos x＝ (sin x－cos x)2＝1＋2 3，结合已知解得 sin x＝ 23，cos x＝－21，则 tan x＝csoins xx＝－ 3.故选 D.
A.－
2 6
2 B. 6
C.－23
2 D.3
解析：由 tan 2θ＝－2 2可得 tan 2θ＝1－2tatnanθ2θ＝－2 2，即 2tan2θ－tanθ－ 2＝0，

高考一轮复习第3章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式

第二讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式知识梳理·双基自测知识梳理知识点一同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： sin 2x ＋cos 2x ＝1 . (2)商数关系： sin xcos x ＝tan x .知识点二三角函数的诱导公式重要结论1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sin x ＝tan x·cos x，tan 2x ＋1＝1cos 2x，(sinx ＋cos x)2＝1＋2sin xcos x 等．2．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·π2＋α(k∈Z)中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·π2＋α(k∈Z)中，将α看成锐角时k·π2＋α(k∈Z)所在的象限．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × )(2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin (kπ－α)＝13(k ∈Z)，则sin α＝13.( × )[解析] (1)根据同角三角函数的基本关系式知当α，β为同角时才正确．(2)cos α≠0时才成立．(3)根据诱导公式知α为任意角．(4)当k 为奇数和偶数时，sin α的值不同．题组二走进教材2．(必修4P 22B 组T3改编)已知tan α＝12，则sin α－cos α3sin α＋2cos α＝( A )A ．－17B ．17C ．－7D ．7[解析] sin α－cos α3sin α＋2cos α＝tan α－13tan α＋2＝12－13×12＋2＝－17.故选A.3．(必修4P 22B 组T2改编)化简cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－co s α1＋cos α⎝⎛⎭⎪⎫π<α<3π2得( A )A ．sin α＋cos α－2B ．2－sin α－cos αC ．sin α－cos αD ．cos α－sin α[解析] 原式＝cos α1－sin α2cos 2α＋sin α1－cos α2sin 2α，∵π<α<32π，∴cos α<0，sin α<0.∴原式＝－(1－sin α)－(1－cos α)＝sin α＋cos α－2.4．(必修4P 29B 组T2改编)若sin(π＋α)＝－12，则sin(7π－α)＝ 12 ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝ 12 . [解析] 由sin(π＋α)＝－12，得sin α＝12，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2－2π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α＝12.题组三走向高考5．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( D )A ．－2－ 3B ．－2＋ 3C ．2－ 3D ．2＋ 3[解析] 由正切函数的周期性可知，tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝33＋11－33＝2＋3，故选D.另：tan 225°＝tan 75°>tan 60°＝3，∴选D.6．(2015·福建)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( D )A.125B ．－125C ．512D ．－512[解析] 因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.7．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( A )A ．－79B ．－29C ．29D ．79[解析] 将sin α－cos α＝43的两边进行平方，得sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝169，即sin 2α＝－79，故选A.考点突破·互动探究考点一同角三角函数的基本关系式——师生共研例1 (1)已知α为第三象限角，cos α＝－817，则tan α＝( D )A ．－815B ．815C ．－158D ．158(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为－5 .(3)若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为－3 .[解析] (1)因为α是第三象限角，cos α＝－817，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝－1517，故tan α＝sin αcos α＝158.选D.(2)由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. (3)由角α的终边落在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－c os α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.名师点拨(1)已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角函数值时，主要是利用公式sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α求解，解题时，要注意角所在的象限．并由此确定根号前的正、负号，若不能确定角所在象限要分类讨论．(2)遇sin α，cos α的齐次式常“弦化切”，如：asin α＋bcos αcsin α＋dcos α＝atan α＋b ctan α＋d ；sin αcos α＝sin αcos α1＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α； sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α－21＋tan 2α. 〔变式训练1〕(1)若α是第二象限角，tan α＝－512，则sin α＝( C )A.15 B ．－15C ．513D ．－513(2)已知α是第二象限角，化简1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α＝ 23. (3)(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 31010 .[解析] (1)∵tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512.∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－125sin α2＝1，∴sin α＝±513.又α为第二象限角，∴sin α＝513，故选C.(2)解法一：原式＝1－cos 2α1＋cos 2α－sin 4α1－cos 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α ＝sin 2α1＋cos 2α－sin 2αsin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α ＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α ＝2cos 2α3cos 2α＝23. 解法二：∵1－cos 4α－sin 4α＝1－(cos 2α＋sin 2α)2＋2sin 2αcos 2α＝2sin 2αcos 2α， ∴原式＝2sin 2αcos 2α1－cos 2α＋sin 2αcos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α ＝2sin 2αcos 2α1－cos 4α－sin 4α＋cos 2αsin 2α ＝2sin 2αcos 2α3sin 2αcos 2α＝23. (3)由tan α＝2得sin α＝2cos α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝55×22＋255×22＝31010. 考点二诱导公式及其应用——多维探究角度1 利用诱导公式化简三角函数式例2 (1)化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 22π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α＝－1sin α .(2)化简1－2sin 10°sin 100°cos 80°－1－sin 2170°＝－1 . [解析] (1)原式＝cos α－cos αtan 2αsin α－sin α－sin α＝－cos 2α·sin 2αcos 2αsin 3α＝－1sin α. (2)∵cos 10°>sin10°，∴原式＝1－2sin 10°cos 10°sin 10°－cos 10°＝sin 210°－2sin 10°cos 10°＋cos 210°sin 10°－cos 10°＝|sin 10°－cos 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°－cos 10°－sin 10°＝－1.角度2 “换元法”的应用例3 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是 0 .[解析] 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0. 名师点拨(1)诱导公式的两个应用方向与原则：①求值：化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)注意已知中角与所求式子中角隐含的互余、互补关系、巧用诱导公式解题，常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，互补关系有π3＋α与2π3－α；π4＋α与3π4－α等．〔变式训练2〕(1)(角度1)已知f(α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α.①化简f(α)；②若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f(α)的值． (2)(角度2)(2021·唐山模拟)已知α为钝角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－74 ，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 34 .[解析] (1)①f(α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α＝－sin α·cos α·－cos α－cos α·sin α＝－cos α.②因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α，所以sin α＝－15. 又α是第三角限的角，所以cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265.所以f(α)＝265.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，因为α为钝角，所以34π<π4＋α<54π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α<0.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝－74.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34.名师讲坛·素养提升sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin xcos x 之间的关系例4 (2021·北京东城模拟)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝－125. [解析] 解法一：因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0.所以sin θ＝1213，cos θ＝－513，tan θ＝sin θcos θ＝－125.解法二：同解法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169，弦化切，得 tan θtan 2θ＋1＝－60169，解得tan θ＝－125或tan θ＝－512. 又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0.∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin θ>|cos θ|，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θcos θ＝|tan θ|>1，∴tan θ＝－125.解法三：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin 2θ＋cos 2θ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－513，cos θ＝1213.(舍去)故tan θ＝－125.名师点拨sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin xcos x 之间的关系为(sin x ＋cos x)2＝1＋2sin xcos x ，(sin x －cos x)2＝1－2sin xcos x ，(sin x ＋cos x)2＋(sin x －cos x)2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．〔变式训练3〕(1)(2021·山东师大附中模拟)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( C ) A.75 B ．725 C ．257D ．2425(2)若1sin α＋1cos α＝3，则s in αcos α＝( A )A ．－13B ．13C ．－13或1D ．13或－1 [解析] (1)解法一：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝125，∴sin αcos α＝－1225，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α<0，cos α>0，∴cos α－sin α＝sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝75.∴1cos 2α－sin 2α＝1cos α－sin αcos α＋sin α＝257，故选C. 解法二：由解法一知⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝－75，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝45，sin α＝－35.∴tan α＝sin αcos α＝－34.∴1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝1＋tan 2α1－tan 2α ＝1＋9161－916＝257，故选C.(2)由1sin α＋1cos α＝3，可得sin α＋cos α＝3sin αcos α，两边平方，得1＋2sin αcosα＝3sin 2αcos 2α，解得sin αcos α＝－13或sin αcos α＝1.由题意，知－1<sin α<1，－1<cos α<1，且sin α≠0，cos α≠0，所以sin αcos α≠1，故选A.。

2025年高考数学一轮复习-同角三角函数的基本关系与诱导公式【课件】

含有tan α的式子，代入tan α的值即可求解.
考向3 “ sin α±cos α， sin α cos α”之间关系的应用
【例3】（多选）已知θ∈（0，π）， sin θ＋ cos
论正确的是（
A.
π
θ∈（，π）
2
C. tan
3
θ＝－
4
）
B. cos
3
θ＝－
5
D. sin θ－ cos
7
θ＝－
＋2＝
＋2＝
＋2
1
2
2
2
2
+1
si ＋
（2） +1
si2
13
＝ .
5
2
诱导公式的应用
【例4】（1）已知α为锐角，且 cos
3π
）＝（
4
A.
1
－
2
C. －
3
2
）
1
B.
2
D.
3
2
π
1
（α＋）＝－，则
4
2
cos （α＋
π
π
3π
解析：由α为锐角得＜α＋＜，所以
2. 应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin α＋ cos α， sin α cos α，
sin α－ cos α这三个式子，利用（ sin α±cos α）2＝1±2 sin α cos α，
可以知一求二.
1. 若 sin θ＋ cos
2 3
θ＝
，则
3
5
A.
6
17
B.
18
8
C.
9
2
D.
3

高考数学一轮复习第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课件理苏教版

方法一方法二
解(1)
1 sin α＋cos α＝ ① 5 法一：联立方程 2 2 sin α＋cos α＝1 ② 1 由①得 cos α＝－sin α，将其代入②， 5 2 整理得 25sin α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形内角，∴sin α＞0， 4 sin α ＝， 5 4 ∴ ∴tan α＝－ . cos α＝－3， 3 5
【例1】【训练1】【例2】【训练2】【例3】【训练3】
突破3个考向
考向二利用诱导公式求值考向三
利用诱导公式化简三角函数式
揭秘3年高考活页限时训练
灵活运用同角三角函数的基本关系式求值
A级
B级
1、选择题 1、选择题填空题 2 、填空题 2、 3、解答题解答题 3、
法一完
【审题视点】
1 (1) 由 sin α＋cos α＝ 5 及 sin2α＋cos2α＝1，可求 sin α， cos α 的值；
考向一同角三角函数的基本关系的应用 1
【例 1】已知 α 是三角形的内角，且 sin α＋cos α＝ . 5 1 (1)求 tan α 的值；(2)把 2 用 tan α 表示出来，并求其值． cos α－sin2α
考点梳理
1．同角三角函数的基本关系 sin2α＋cos2α＝1 (1)平方关系： ________________ ； sin α ＝tan α (2)商数关系：________________. cos α 2．三角函数的诱导公式
cosα ，公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝_______ tan(α＋2kπ)＝tan α，其中 k∈Z. -cosα ，公式二：sin(π＋α)＝________ -sinα ，cos(π＋α)＝________ tan(π＋α)＝tan α. -sinα ，cos(－α)＝_______ cosα 公式三：sin(－α)＝________ tan(－α)＝－tan α. -cosα 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝__________ tan(π－α)＝－tan α.. π π cosα ，cos －α 公式五：sin2－α＝_______ ＝sin α. 2 π π cosα ，cos ＋α -sinα 公式六：sin2＋α＝________ ＝_______. 2

高考数学一轮复习第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：01sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：02sinαcosα＝tan α.2．六组诱导公式公式一二三四五六角 2k π＋ α(k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－απ2＋α正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan αtan α－tan α－tan α－－口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限同角三角函数基本关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α； sin α＝tan αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α≠π2＋kπ，k∈Z ；sin2α＝sin2αsin2α＋cos2α＝tan2αtan2α＋1；cos2α＝cos2αsin2α＋cos2α＝1tan2α＋1.1．若cosα＝13，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，则tanα等于()A．－24B．24C．－22D．22答案 C解析由已知得sinα＝－1－cos2α＝－1－19＝－223，所以tanα＝sinαcosα＝－22，选C.2．(2021·大同模拟)若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是() A．－43B．±43C.3D．43答案 A解析∵tan600°＝a－4＝tan(540°＋60°)＝tan60°＝3，∴a＝－43.故选A.3．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于()A．－π6B．－π3C ．π6D ．π3答案 D解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.4．(2020·杭州学军中学模拟)已知cos31°＝a ，则sin239°·tan149°的值为( ) A.1－a2aB ．1－a2C.a2－1aD ．－1－a2答案 B解析 sin239°tan149°＝sin(270°－31°)tan(180°－31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝1－a2.5．化简cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π2＋αsin(α－π)cos(2π－α)的结果为________.答案－sin 2α 解析原式＝sinαcosα(－sin α)cos α＝－sin 2α.6．已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________.答案－255解析因为α是第二象限的角，所以sin α>0，cos α<0，由tan α＝－12，得sin α＝－12cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1中，得54cos 2α＝1，所以cos α＝－255.考向一诱导公式的应用例1 (1)化简：错误!＝________. 答案－1 解析原式＝错误!＝tanαcosαsi n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α－cosαsinα＝tanαcosαcosα－cosαsinα＝－tanαcosαsinα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1.(2)已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角，则sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值为________.答案－1713解析因为cos(75°＋α)＝513>0，α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角， sin(75°＋α)＝－错误!＝－错误!.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°) ＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α) ＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α) ＝－513－1213＝－1713.(3)(2020·潍坊一模)在平面直角坐标系xOy 中，点P (3，1)，将向量OP→绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ→，则点Q 的坐标是________.答案 (－1，3)解析 ∵OP→＝(3，1)＝(2cos θ，2sin θ)，cos θ＝32，sin θ＝12，∴将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π2＝(－2sin θ，2cos θ)＝(－1，3)，∴点Q 的坐标是(－1，3)．1.诱导公式的两个应用方向与原则(1)求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． (2)化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． 2．含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.1.(2020·江西宜春中学诊断)若α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π3的值为( )A.223B ．23 C ．26D ．526答案 A解析 ∵0<α<π2，∴π6<α＋π6<2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝1－cos2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝223，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝223.故选A.2．计算：sin(－1200°)cos1290°＝________. 答案34解析原式＝－sin1200°cos1290°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)＝－sin120°cos210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) ＝sin60°cos30°＝32×32＝34.3．化简：错误!. 解原式＝错误!＝错误! ＝错误!＝错误!. 多角度探究突破考向二同角三角函数的基本关系角度1 切弦互化例2 (1)(2020·唐山第二次模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )A.12B ．－12C ．32D ．－32答案 A解析由三角函数定义，得tan α＝32sinα，所以sinαcosα＝32sinα，则2(1－cos 2α)＝3cos α，所以(2cos α－1)(cos α＋2)＝0，则cos α＝12.(2)(2020·济宁三模)已知tan(π－α)＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα＝________.答案13解析因为tan(π－α)＝2，所以tan α＝－2，所以sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝－2＋1－2－1＝13. 同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值，主要利用商数关系tan α＝sinαcosα和平方关系1＝sin 2α＋cos 2α.4.已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sin α等于( )A.13B ．31010C ．377 D ．355答案 B解析因为tan(π－α)＋3＝0，所以tan α＝3，sin α＝3cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝910. 又因为α为锐角，故sin α＝31010.故选B.5．已知α是第二象限角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2＋α＝45，则tan α＝________.答案－43解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2＋α＝45，∴sin α＝45，又α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin2α＝－35，∴tan α＝sinαcosα＝－43.角度2 “1”的变换例3 (2021·海口模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边上有一点P (1,2)，则sin2α1－3sinαcosα＝________.答案－4解析因为角α的终边上有一点P (1,2)，所以tan α＝2. 所以sin2α1－3sinαcosα＝sin2αsin2α＋cos2α－3sinαcosα＝tan2αtan2α＋1－3tanα＝2222＋1－3×2＝－4. 对于含有sin 2α，cos 2α，sin αcos α的三角函数求值题，一般可以考虑添加分母1，再将1用“sin 2α＋cos 2α”代替，然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于tan α的式子，从而求解．6.已知tan α＝2，则(1)3sinα－2cosαsinα＋cosα＝________；(2)23sin 2α＋14cos 2α＝________. 答案 (1)43 (2)712解析因为tan α＝2，所以， (1)原式＝3tanα－2tanα＋1＝3×2－22＋1＝43.(2)原式＝23·sin2αsin2α＋cos2α＋14·cos2αsin2α＋cos2α ＝23·tan2αtan2α＋1＋14·1tan2α＋1 ＝23×2222＋1＋14×122＋1＝712. 角度3 sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系例4 (1)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B ．32C ．－34D ．34答案 B解析 ∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32.(2)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，则错误!等于( )A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ答案 A 解析因为错误! ＝1－2sinθcosθ＝错误!＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，所以sin θ－cos θ>0，所以原式＝sin θ－cos θ.故选A.(1)已知a sin x ＋b cos x ＝c 可与sin 2x ＋cos 2x ＝1联立，求得sin x ，cos x .(2)sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系为 (sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ， (sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ， (sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此，已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．7.若1sin α＋1cosα＝3，则sin αcos α＝( )A ．－13B ．13C ．－13或1D ．13或－1答案 A 解析由1sinα＋1cosα＝3，可得sin α＋cos α＝3sin αcos α，两边平方，得1＋2sin αcos α＝3sin 2αcos 2α，解得sin αcos α＝－13或sin αcos α＝1.由题意，知－1<sin α<1，－1<cos α<1，且sin α≠0，cos α≠0，所以sin αcos α≠1.故选A.8．已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tanα1＋tanα＝( )A ．－7B ．7 C.3D ．－3答案 A解析因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0.因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝74，所以cos α－sin α＝－72.所以1－tanα1＋tanα＝cosα－sinαcosα＋sinα＝－7212＝－7.故选A.一、单项选择题1．sin210°cos120°的值为( ) A.14B ．－34C ．－32D ．34答案 A解析 sin210°cos120°＝sin(180°＋30°)cos(180°－60°)＝－sin30°·(－cos60°)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝14.故选A. 2．(2020·潍坊模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( )A ．－33B ．33 C ．3 D ．－3答案 D解析由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2－φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32，又|φ|<π2，得到－π2<φ<π2，∴cos φ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－322＝12，则tan φ＝－3212＝－3.故选D.3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，tan α＝－34，则sin(α＋π)＝( )A.35 B ．－35C.45 D ．－45答案 B解析由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧sinαcosα＝－34，sin2α＋cos2α＝1，由此解得sin 2α＝925，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，因此有sin α＝35，sin(α＋π)＝－sin α＝－35.故选B. 4．已知A ＝错误!＋错误!(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( ) A ．{1，－1,2，－2} B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}答案 C解析当k 为偶数时，A ＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；当k 为奇数时，A ＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2.故A 的值构成的集合是{2，－2}．5．(2020·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－2，则tan α＋1tanα＝( )A ．2B ．12C ．－2D ．－12答案 A解析 ∵sin α＋cos α＝－2，∴(sin α＋cos α)2＝2，∴1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝12.tan α＋1tanα＝sinαcosα＋cosαsinα＝sin2α＋cos2αsinαcosα＝112＝2.故选A.6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋17π12的值为( ) A.13B ．223 C ．－13D ．－223答案 A解析由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋17π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π12＋3π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π12＝13. 7．(2020·济宁模拟)直线l ：2x －y ＋e ＝0的倾斜角为α，则sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α的值为( )A ．－25B ．－15C ．15D ．25答案 D解析 ∵直线l ：2x －y ＋e ＝0的倾斜角为α，∴tan α＝2，∴sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝sin αcos α＝sinαcosαsin2α＋cos2α＝tanα1＋tan2α＝21＋22＝25.故选D.8．化简1＋sinα＋cosα＋2sinαcosα1＋sinα＋cosα的结果是( )A ．2sin αB ．2cos αC ．sin α＋cos αD ．sin α－cos α答案 C解析原式＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＋sinα＋cosα1＋sinα＋cosα＝错误! ＝错误!＝sin α＋cos α.故选C.9．若sin θ＋sin 2θ＝1，则cos 2θ＋cos 6θ＋cos 8θ的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．5－12答案 B解析由sin θ＋sin 2θ＝1，得sin θ＝1－sin 2θ＝cos 2θ，∴cos 2θ＋cos 6θ＋cos 8θ＝sin θ＋sin 3θ＋sin 4θ＝sin θ＋sin 2θ(sin θ＋sin 2θ)＝sin θ＋sin 2θ＝1.10．(2020·海口模拟)若对任意x ∈R ，都有cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －5π6＝sin(ωx ＋φ)(ω∈R ，|φ|<π)，则满足条件的有序实数对(ω，φ)的对数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3，由条件知ω＝±2.若ω＝2，由φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )且|φ|<π，得φ＝－π3；若ω＝－2，sin(－2x ＋φ)＝sin(2x ＋π－φ)，则π－φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－2k π＋4π3(k ∈Z )，又|φ|<π，则φ＝－2π3，故满足条件的有序数对(ω，φ)的对数为2.二、多项选择题11．在△ABC 中，下列结论正确的是( ) A ．sin(A ＋B )＝sin C B ．sin B ＋C2＝cos A2C ．tan(A ＋B )＝－tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫C ≠π2D ．cos(A ＋B )＝cos C 答案 ABC解析在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ；sin B ＋C2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－A 2＝cos A 2；tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫C ≠π2；cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C .12．(2020·湖北宜昌高三模拟)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( )A ．sin β＝154B ．cos(π＋β)＝14C ．tan β＝15D ．tan β＝155答案 AC解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－14，∴sin α＝14，若α＋β＝π2，则β＝π2－α.sin β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝cos α＝±154，故A 符合条件；cos(π＋β)＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝－sin α＝－14，故B 不符合条件；tan β＝15，即sin β＝15cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，所以sin β＝±154，故C 符合条件；tan β＝155，即sin β＝155cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，所以sin β＝±64，故D 不符合条件．故选AC.三、填空题13．sin 4π3cos 5π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4π3的值是________.答案－334解析原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π－π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π－π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－sin π3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－cos π6⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－tan π3＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32×(－3)＝－334.14．已知sin θ＝13，则错误!＝________.答案98解析原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.15．已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝________.答案－43解析因为θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝45，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝－cos π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4sin π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝－43.16．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan2α＋sin α·1＋1tan2α＝________.答案 0解析原式＝cos αsin2α＋cos2αcos2α＋sin αsin2α＋cos2αsin2α＝cos α1|cosα|＋sin α1|sinα|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cosα|＋sin α1|sinα|＝－1＋1＝0，即原式等于0.四、解答题17．已知α为第三象限角，f (α)＝错误!.(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝错误! ＝错误!＝－cos α.(2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－3π2＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又因为α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.18．已知tanαtanα－1＝－1，求下列各式的值．(1)sinα－3cosαsinα＋cosα； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 解由已知得tan α＝12.(1)sinα－3cosαsinα＋cosα＝tanα－3tanα＋1＝－53. (2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin2α＋sinαcosαsin2α＋cos2α＋2＝tan2α＋tanαtan2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋1＋2＝135.19．已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，试求2sinαcosα－cosα＋11－tanα的值．解 ∵cos α－sin α＝－55，∴1－2sin αcos α＝15.∴2sin αcos α＝45.∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95.∵0<α<π2，∴sin α＋cos α＝355.与cos α－sin α＝－55联立，解得 cos α＝55，sin α＝255.∴tan α＝2.∴2sinαcosα－cosα＋11－tanα＝45－55＋11－2＝55－95. 20．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．解存在．由sin ()3π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－β得sin α＝2sin β，①由3cos(－α)＝－2cos(π＋β)得3cos α＝2cos β，②∴sin 2α＋3cos 2α＝2(sin 2β＋cos 2β)＝2，∴1＋2cos 2α＝2，∴cos 2α＝12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，∴cosα＝22，从而α＝π4或－π4，当α＝π4时，由①知sinβ＝12，由②知cosβ＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，当α＝－π4时，由①知sinβ＝－12，与β∈(0，π)矛盾，舍去．∴存在α＝π4，β＝π6，符合题意．21 / 21。

高考数学(江苏版)一轮配套课件：§3.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式及诱导公式

正弦、余弦、正切分别是sin α=y,cos α=x,tan α= (x≠0). 它们都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.
2.三角函数值在各象限的符号
口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦,为正值. 四、三角函数线设角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P,过点P作PM垂直x轴于点M.过点A(1,0)作单位圆的切线,设它与α 的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限
2.规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|
α|= l ,l是半径为r的圆的圆心角α所对弧的长.
r
1
1
3.弧长公式:l=⑤ |α|r ,扇形面积公式:S扇形=⑥ 2 lr = 2
⑦
|α|r2 .
三、任意角的三角函数
y
1.定义:设α是一个任意角,角α的终边与单位圆交于x 点P(x,y),那么角α的
是
.
(2)已知tan
α=2,则
sin2α
sin=2αsinαcos.αcos2α1
解析 (1)∵sin α+2cos α=0,
∴tan α=-2,
∴2sin αcos α-cos2α= 2sinαcosαcos2α
sin2αcos2α
= 2 ta=n -α1. 1
tan 2α 1
(2)原式= = 2,sinαcosα
2a 2
2a
3.
2
答案 ± 3
2
方法 2 “sin α±cos α”与“sin αcos α”的互化
借用sin2α+cos2α=1,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α实现sin α+cos α,sin

高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教版

为( B )
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．b＞c＞a
D．a＞c＞b
5．(2021·唐山模拟)已知sin52π＋α＝35，那么tan α的值为( C )
A．－43
B．－34
C．±43
D．±34
6．(2021·苏州模拟)化简：sin1＋π－siαnπ2＋＋siαnαtacnosα α＝________. 解析：sin1＋π－siαnπ2＋＋siαnαtacnosαα＝sin1＋α＋cossinααtcaonsαα＝cos α.
3 4
π，B＝56π，不符合题意，舍去．
综上，C＝172π.
[答案]
7 12π
三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的发掘以及三角形内角和定理的应用.
(二)创新应用——斜率公式与三角函数的交汇问题
[例2] 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上
有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝23，则|a－b|＝( B )
1 A.5
B．
5 5
25 C. 5
D．1
本题主要通过商数关系进行弦化切，结合斜率公式求解，着重考查了逻辑推理与数学运算核心素养．
[题组突破]
1．已知曲线f(x)＝32x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则
2sinsiαn2cαo－s αc＋osc2αos2α＝( C )
1 A.2
B．2
函数名不变符号看象限
函数名改变，符号看象限
1．若sin6π－α＝13，则cos3π＋α＝( C )
A．－79
B．－13
1 C.3
D．79
2．化简scions25απ－＋π2α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．

高三数学(文)一轮复习课件：第三章第2讲同角三角函数基本关系及诱导公式

± α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 左右.
[知识梳理] 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系： (2)商数关系： sin2α＋cos2α＝1 sin α cos α＝tan α. .
2．三角函数的诱导公式
[知识感悟] 1．辨明两个易误点 (1)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (2)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． 2．三角函数求值与化简的三种常用方法 sin α (1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝cos α化成正、余弦． (2)和积转换法：利用(sin θ± cos θ)2＝1± 2sin θcos θ的关系进行变形、转化．
π 3π ，，则tan 2 2
3 ＝ 5 ，且α∈
α＝(
) 3 B.4 3 D．± 4
4 A.3 3 C．－4
[解析]
π 3 因为cos2＋α＝5，所以sin
3 α＝－5，
4 3 显然α在第三象限，所以cos α＝－5，故tan α＝4.
[答案] B
考向三
知切求弦
)
5 11 5π 1 [解析] ∵sin 6 π＝sinπ＋6π＝－sin 6 ＝－2， 4π 10 4π 1 cos 3 π＝cos 2π＋ 3 ＝cos 3 ＝－2，
11 10 ∴sin 6 π＋cos 3 π＝－1.
[答案] A
2sin2α－1 3．化简＝ ________ 1－2cos2α
3 A.5 4 C.5
3 B．－5 4 D．－5
[解析]
π 3 π 因为sin2＋α＝5，α∈0，2，
3 4 所以cos α＝5，所以sin α＝5， 4 所以sin(π＋α)＝－sin α＝－5.

高考数学总复习 3-2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式课件苏教版

－cos α sin α －sin α
－tan α －tan α
kπ 3.记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角“ ± α， 2 k∈Z”的三角函数值：当 k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当 k 为偶数时，函数名不变，然后 α 的三角函数值前面加上当视 α 为锐角时，原函数值的符号．
________.
3π 3 4 解析：∵cos α＝－且 α∈ π， 2 ，∴sin α＝－， 5 5
4 ∴tan α＝ 3 4 答案： 3
3．(课本改编题)sin 585° 的值为________．解析：注意到 585° ＝360° ＋180° ＋45° ， 2 因此 sin 585° ＝sin(360° ＋180° ＋45° )＝－sin 45° ＝－ . 2 2 答案：－ 2
3 ， 3 3 . 3
即
5π cos 6 －α＝－
(2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α) 3 ＝cos(π－α)＝－cos α＝－， 5 3 ∴cos α＝ . 5 7 ∴sin(3π＋α)· tanα－2π 7 －tan π－α ＝sin(π＋α)· 2 π ＝sin α· tan2－α π sin2－α ＝sin α· π cos2－α cos α 3 ＝sin α· ＝cos α＝ . sin α 5
第 2节
同角三角函数的基本关系式及诱导公式
【知识梳理】 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1 . sin α (2)商数关系：＝tan α . cos α
2．六组诱导公式组数角正弦余弦正切一 2kπ＋α (k∈Z) sin α cos α tan α 二 π＋α －sin α －cos α tan α 三－α －sin α cos α 四 π－α sin α 五 π －α 2 cos α 六 π ＋α 2 cos α

高三数学一轮复习第3篇第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式课件理

2
2
1 ∴tan α= 2 =-
3.
33
2
完整版ppt
9
4.(2014 文登模拟)若α= 11π ,则 tan αcos α等于( C ) 3
(A) 1 2
(B)- 1 (C)- 3 (D) 3
2
2
2
解析:若α= 11π ,则 tan αcos α= sin ·cos α
3
cos
=sin α=sin 11π =sin(4π- π )=-sin π =- 3 .
∴sin α>0,cos α<0, ∴sin α-cos α>0. ∴sin α-cos α= 7 .
5
由
sin sin
cos cos
1 5 7 5
, ,
得
sin
cos
4, 5 3
5
,
完整版ppt
16
∴tan α=- 4 . 3
(ii)
sin2 cos2
1
= sin2 co+α)=-sin α=- 4 . 5
完整版ppt
7
2.已知 sin α-cos α= 2 ,α∈(0,π),则 tan α等于( A )
(A)-1
(B)- 2 (C) 2 (D)1
2
2
解析:由 sin α-cos α= 2 ,
两边平方得 sin 2α=-1.
∵α∈(0,π),
∴2α= 3 π,α= 3 π,
6
基础自测
1.(2014 广东肇庆第二次模拟)已知 sin( π +α)= 3 ,α∈(0, π ),
2
5
2
则 sin(π+α)等于( D )

【优化方案】高考数学一轮复习第3章第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式课件文苏教版

【解】
f(x) ＝ cosx·
1＋sinx 1－sinx
＋
1＋cosx sinx· 1－cosx
＝cosx·
1＋cossi2nxx2＋sinx·
＝cosx·1|＋cossixn| x＋sinx·1＋|sincoxs| x.
1＋cosx2 sin2x
(1)当 x∈(－π2，0)时，f(x)＝sinx－cosx，
【解】 (1)sin(α＋π2)＝－ 55，
α∈(0，π)⇒cosα＝－
55⇒sinα＝2
5
5 .
sinα－π2－cos32π＋α
sinπ－α＋cos3π＋α
＝－sicnoαs－α－cossinαα＝－13.
(2)∵cosα＝－
55，sinα＝2
5， 5
∴sin2α＝－54，cos2α＝－35，
sinαcosα，则可求(s
inα－cos
α)2，
最后得 sinα－cosα；(2)化简 cos3α－sin3α，再因
式分解并利用(1)求解．
【解】
由
sin(π－α)－cos(π＋α)＝
2， 3
得
sinα＋cosα＝
2 3.
两边平方，
得 1＋2sinα·cosα＝29，故 2sinα·cosα＝－79. 又2π<α<π， ∴sinα>0，cosα<0.
答案： 7 25
2．若 sin(π6－α)＝－13，则 cos(π3＋α)＝________.
解析：(π3＋α)＋(π6－α)＝π2， ∴cos(π3＋α)＝sin(π6－α)＝－31. 答案：－1
3
3．已知 tanα＝2，则sisninπ＋－αα＋＋ccoossπ－－αα＝________.

高考数学一轮总复习课件：同角三角函数的基本关系式及诱导公式

sin（kπ＋α） sinα
＋
cos（kπ＋α） cosα
(k∈Z)，则A的
值构成的集合是( C )
A．{1，－1，2，－2} B．{－1，1}
C．{2，－2}
D．{1，－1，0，2，－2}
【解析】当k为偶数时，A＝ssiinnα α＋ccoossα α＝2；当k为奇数时，A＝－sisniα nα－ccoossα α＝－2.
(2)sinx＋cosx，sinx－cosx，sinxcosx之间的关系为 (sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx， (sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx， (sinx＋cosx)2＋(sinx－cosx)2＝2. 因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．
＝
（－751）×15＝－275.
【答案】－275
题型四齐次式下弦切互化
例4 (1)已知tanα＝3，求sin2α－3sinαcosα＋1的值．
【解析】 ∵tanα＝3，sin2α＋cos2α＝1， ∴sin2α－3sinαcosα＋1＝sin2sαin2－α3＋sincoαs2cαosα＋1 ＝tan12α＋－tan32tαanα＋1＝321－＋33×2 3＋1＝1. 【答案】 1
本例属于同角三角关系式中的基本题，关键是掌握“先开方，后作商”的原则，先求与 sinα(或 cosα)的平方关系相联系的 cosα(或 sinα)，再由公式求 tanα.(2)(3)中 α 的范围不确定，需讨论确定开方的符号．
思考题 2 (1)设 sinα2＝45，且 α 是第二象限角，则 tanα2的 4 值为____3____．
状元笔记
1．诱导公式的两个应用方向与原则 (1)求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． (2)化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． 2．含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝ cos(π－α)＝－cosα.

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第三章三角函数、解三角形同角三角函数的基本关系与诱导公式教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源Ml谋梳理严1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2a +cos2a =1(«GR)；(2)商数关系：tan a =订—A：eZ2.六组诱导公式k兀“亍土a仗已Z)"的三角函数记忆口诀“奇变偶不对于角变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时, 正弦变余弦,余弦变正弦;当吃为偶数时，函数名不变”.“符号看象限”是指“在久的三角函数值前面加上当。

为锐角时原函数值的符号”.匿0【做二微〕,贝0 sin x = 2 .、JI解得sin x= -1±^52因为一lWsinxWl, 所以 smx=―— 1.已知 tanx=smx+y^| 解析：因为 tanx=sin x+~ ,所以 tanx=cosx, \ /丿所以 sinx=cos 2x,所以 sinL+sin x —1=0,2.tan 690°的值为—3 解析：tan 690° =tan(—30' =tan(—30° )=—tan 30°3 +2X360° )3 •3.已知cos12=T解析：因为cos 13’角a是第二象限角、则tan(2 —a)角a是第二象限角，故sin a =12 0所以tan 12故tan（2 兀—a）=—tan12要會厂1.必明辨的2个易错点(1)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.(2)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.2.必会的3种方法(三角函数求值与化简的常用方法)⑴弦切互化法：主要利用公式tan a化成正、余弦.⑵和积转换法：利用(sin 0 ±cos 0)2=l±2sin "cos &的关系进行变形、转化.l=sin2e +cos2e =cos2 ^(1+tan2 0)=:(3)巧用“F啲变换( 又因为n,3兀、解析：因为tana=2,所以汨^=2,所以sina=2cos a. 又 sin 2a+cos 2a=l, 所以(2cos a)2+cos 2a=l, 所以 cos 2a=1.已知么丘,tan a =2,贝J cos a =所以COS… M t 2sin a —cos3・若tan a =2,则sin 育囲2sin a —cos a 2tan a —1 sin a +2cos a tan a +2 2X2-1 3 2+24-2.若 sin 0 •cos1 … .cos 0 “ 亠= a刃则5 〃+赢「万的值疋―:解析：tan .cos sin £_sin 0 cos 0 cos i +sin0 _ 0 cos hn=2-；的值为 _____解析:典例剖析▼考点突破*考点一三角函数的诱导公式「茲 sin (k n +a) , cos (k n +a) ,⑶已知*sin Q + cos。

代Z)'则人的值构成的集合是门，一2}.(2)已知tan(l)sin 600° +tan 240° 的值等于__L3兀、 6~a ,=(5、,贝！I tan 731+« = 16 )名师导悟以例说法［解析］(l)sin600° +tan 240° =sin(720° -120° ) +tan(180° +60°)=-sin 120° +tan 60° = \/ 、兀=tan / 兀—了 +aL 6 丿(2)tan | nil3 •sin a cos o(3)当氐为偶数时，A=sjn -?+cos -?=2;当氐为奇数时,‘兀、石一"‘兀、 cos a sin a coT7=_2・—sin a A =诱导公式应用的步骤数(0—1£ )IHS —&+上启s£1K ) SOO —上启IMQ —1£ )I n s —ins——底灌2.已知cosJI+a =716 3求 cos f5 Ji~a 的值. 丿解：因为［y+aj+ ‘5JI5 JC所以 ~^~—a= Ji〔5兀/ 、-兀 cos t 6 —% =cos 兀—— ,6 丿.16所以 3=—cos即cos 5 Tl —a —— 7JI 3 •考点二同角三角函数的基本关系(高频考点)7己知在/\ABC 中,sin A —cos A =亍(1)求 sin Acos A 的值;(2)判断AABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求tan A 的值.7［解］(1)因为 sinA —cosA=^,① 12所以 sin Acos A =—亦•所以两边平方得 491—2sin Acos A =两(2)由sin A cos A = ——<0,且0<Av 兀,可知cosA<0,所以A为钝角，所以AABC是钝角三角形.(3)因为(sin A+cos A)2=l+2sin A cos A = l—1|=^,所以sin A+cos A=±g②所以由①、②可得4sin3或cos A = —~”、t, sin A 所以tanA=co^A 4 3冷=-扌, 或tanA=±= 3.. ..5 54'所以伽4的值为一扌或一壬(1)利用sin2 ff+cos2a=l可以实现角a的正弦、余弦的互化，利用e^ = tan Q可以实现角。

的弦切互化• (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin a+cos a , sin a cos a , sin a —cos a 这三个式子，利用(sin a 土cos a)2=l±2sin acos a,可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用:l=sin2a +cos2a , sin2a =1tan20+1= 22+l =5-解析：sin 20 +sin 0cos 0 — 2cos 2sin? 0+sin 〃cos 〃一2C0S? 8sin 2 0 +cos 2 0 sin? 0 sin 0cos 0 cos 2 0 cos 2 0tan 20 +tan 0—222+2—240=2,则 sin 20+sin0 cos 0 —3•已知tan-24.已知A 、B. C^AABC 的三个内角，若sin A-3cos A =0, sin 2B —sin Bcos 2cos 2B=0,求角 C 的大小•解：依题意得tan A=3,所以 tan 2B —tan B —2=0,即(tanB —2)(tanB+l)=0,sin 2B —sin Bcos B —2cos 2B = sin'B —sin Bcos B —Zcos'B sin 2fi+cos 2Btan'B —tanB —2tan 2B + l-=J 坷丁场 ]£40>~— =gUg|yUB1~l—= (g+V )ugl — =□ u 创 I 011创+卩11珥一=011旳床i± = J^g ，(!£ <O )BJX 1£・【一=0 u 引塗z=g u 引肉坷011引+灯11引一=(0+ y)uB )一 =。

ire 「闻乙=g u 引斥考点三三角函数式的求值与化简 2 •sin (w n —x) cos (n 兀 +x) cos[ (w + 1) TI —x]tan Cx —n 兀)[解]当 n=2k, RWZ 时,—sinx • cosx-cosx • tanx=COS X,/7 、所以缶，I=cos^ =COS . +丿 6 IJI= _c%f(x)=若 (n Z),当n=2A：+l, ZrGZ时,sinx • (—cosx)f(x) ==—cosx,cos x• tan x/7所以冶4cos a ⑴ . v 75sin a +2cos a ' (2)sin 2a +sin 2 a.［解］由已知得sin a = 2cos a.2cos a — 4cos a 1(1)原式=5X2cos Q +2COS_6-已知 sin(3 兀 +a)=2sin :+』，求下列容式的值sin a+2sin QCOS sin2⑵原式=a +cos2asii? a +sii? asin2a + jsin2a在/\ABC中，若sin(2 n —A)=—边sin(兀—B), © cos A =—边cos （兀—B）,求AABC的三个内角.［解］由已知得sinA=^2sinB,曲cos A="icos B,12 •~ ■兀兀 7 Ji 所以A=才，〃=石，所以C=兀一（A+〃）=〒p又角Ay B 是三角形的内角，所以4=晋，〃=芋题意.综上知，4=亍〃=已c=(1)当 cos A =又角A. B 是三角形的内角,不合2 时，cos B =7Ji 12 •(1)诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：A +>4 7? 「兀B= n —C, 2A+2B=2兀一2C,㊁㊁+了=空等，于是可得. A +B Jsm(A+B)=sin C, cos—=sin ㊁等；(2)求角时，通常是先求出该角的某一个三角函数值，再结合其范围, 确定该角的大小;(3)三角函数式的求值与化简中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简.跟踪训练5•已知/(x) = sin ( Ji —x) cos (2 Ji —x) tan亠/ 31兀)曲d 求/ 一一厂的值.(—x+ JI )e “sin x• cos x • ( — tanx)解：因为冷)=--------- 臥；--------- =—cosx • tanx =—sinx,所以/31 n=sin〒兀、£=sin 10 兀 +2 •6. (1)已知tan a=扌，求苑応F 石+cos 丐的值;所以2—22sin a cos a+cos a 2sin a cos a +cos atan 2a +12■ —2tan a +1 3etan （兀—a ） cos （2 兀—a ） sin —a+ ⑵化简： ' cos （—«—兀）sin （ — Ji —a ）解：⑴因为tan a 3’3兀、 sin 2 a +cos 2a—tan a • cos a • （—cos a ） cos （兀 +a ） •[—sin （兀 +a ）]sin a------- • cos a• cos a • cos a cos a⑵原式=tan a—cos a • sin a —sin an JI7. (2016-苏州模拟)若/(/z)=sin冷+0 则/(n)f(W+4)+/(n++6)= _________ ! ___ •解析:f(n)f(n+4) +/(n+2)f(n+6)% i、z zsin sin T兀+a+兀b丿+sinF+rn | | 3sin[j 兀+a+~ Ji= -sin2—cos2窗师讲坛▼素养提升*已知 sin a +cos a =^, a G （0,兀），求 tan Q 的值.［解］法一：直接解方程组法右 aGp,—,则 sin a+cos a Ml,所以 aely, JI L 贝l| sin a >0, cos a <0.方法思想方^程思想在求三角函数值中的应用拓展升华触类旁通1sin a +cos sin 2a +cos 2a =1,所以tansin cos法二：构造方程法1 _ 12因为sin a+cos a =亍所以sin acos a =—25*又ae（0,兀），所以sin a>0，cos avO・以sin a, cos a为两个根，构造一元二次方程"一直4 30,解得九=亍仇=_亍4 3 _ 4所以sin a=g, cos a=_亍从而tan a = ~y法三：构造对称方程法1 _ 24a =-, 得 2sin a cos a =24所以 sin 2a +cos 2a — 2sin a cos ff=25+b即一2sin a cos24 a=259所以（sin a —cos由 sin a +cos25'又由sin a cos a =-||<o, ae(0,兀）知sin a >0, cos a V0・所以sin a—cos7a=£•解方程组*sin a +cossin a—cos得sin a 諾，cos3Q =_g所以tan刃感悟提高几种解法均体现了方程思想在三角函数求值中的应用.利用已知条件sin a 4-cos a =£和公式sin2a 4- cos2a =1 可列方程组解得sin a cos a , sin a—cos a , 也可以利用一元二次方程根与系数的关系求sin a、cos a.各解法中均要注意条件兀）的运用，谨防产生增解.滋+吃+1=0的两根，则疋的值为_2 解析：由根与系数的关系，/ sin 0+cos 0 =k,① sin 0 • cos 0=氐+1,②①2—②X2,得1=疋一2无一2, 所以k=3或疋=—1.跟踪训练已知〃G （o, 2兀）且sin 0,COS 〃是方程兀2 —。