圆锥曲线经典公式
圆锥曲线全部公式及概念
圆锥曲线1.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩ 离心率c e a ==准线到中心的距离为2a c ，焦点到对应准线的距离（焦准距）2b p c =. 通径的一半(焦参数)：2b a.2.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:21()a PF e x a ex c =+=+，22()a PF e x a ex c =-=-；1221tan 2F PF F PFS b ∆∠=.3.椭圆的的内外部: （1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b⇔+<.（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.4.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率c e a ==2a c ，焦点到对应准线的距离（焦准距）2p c = 通径的一半(焦参数)：2b a焦半径公式21|()|||a PF e x a ex c =+=+，22|()|||a PF e x a ex c=-=-，两焦半径与焦距构成三角形的面积1221cot 2F PF F PF S b ∆∠=.5.双曲线的内外部: (1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b⇔-<.6.双曲线的方程与渐近线方程的关系:(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-2222bya x（0>λ,焦点在x 轴上;0<λ,焦点在y 轴上）. (4) 焦点到渐近线的距离总是b7.抛物线px y 22=的焦半径公式:抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x p x p x CD ++=+++=212122.8.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y py 或2(2,2)P pt pt P (,)x y ，其中 22y px =.9.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-；（3）准线方程是2414ac b y a--=. 10.以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切；以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切；以抛物线的焦半径为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切.11.直线与圆锥曲线相交的弦长公式: AB =1212||||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率，12||x x -=12.圆锥曲线的两类对称问题:（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++--=++.特别地，曲线(,)0F x y =关于原点O 成中心对称的曲线是(,)0F x y --=. 曲线(,)0F x y =关于直线x 轴对称的曲线是(,)0F x y -=. 曲线(,)0F x y =关于直线y 轴对称的曲线是(,)0F x y -=. 曲线(,)0F x y =关于直线y x =轴对称的曲线是(,)0F y x =. 曲线(,)0F x y =关于直线y x =-轴对称的曲线是(,)0F y x --=.13.圆锥曲线的第二定义：动点M 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数e ，若01e <<，M 的轨迹为椭圆；若1e =，M 的轨迹为抛物线；若1e >，M 的轨迹为双曲线.注意：1、还记得圆锥曲线的两种定义吗？解有关题是否会联想到这两个定义？ 2、还记得圆锥曲线方程中的：（1）在椭圆中：a 是长半轴，b 是短半轴，c 是半焦距，其中222b ac =-，,(01)ce e a=<<是离心率，2a c 是准心距，2b c 是准焦距， 2b a是半通径.（2）在双曲线中：a 是实半轴，b 是虚半轴，c 是半焦距，其中222b c a =-，,(1)c e e a=>是离心率，2a c 是准心距，2b c 是准焦距， 2b a是半通径.（3）在抛物线中：p 是准焦距，也是半通径.3、在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？（到定点的距离比到定直线的距离）4、离心率的大小与曲线的形状有何关系（圆扁程度，张口大小）？等轴双曲线的离心率是多少？（e =5、在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.注意：尤其在求双曲线与直线的交点时：当0∆>时：直线与双曲线有两个交点（包括直线与双曲线一支交于两点和直线与双曲线两支各交于一点两种情况）；当0∆=时，直线与双曲线有且只有一个交点（此时称指向与双曲线相切），反之，当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线不一定相切，此时直线与双曲线的一条渐近线平行，当0∆<时，直线与双曲线没有交点.6、椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形.此时222a b c =+. 7、通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.（想一想在双曲线中的结论？） 8、你知道椭圆、双曲线标准方程中,,a b c 之间关系的差异吗？9、如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,只有一个交点.此时两个方程联立，消元后为方程变为一次方程.椭圆练习1.过椭圆12222=+by a x (a>b>0)的左焦点F 1任做一条不与长轴重合的弦AB,F 2为椭圆的右焦点,则△ABF 1的周长是（ ） (A)2a (B)4a (C)2b (D)4b2.设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是（ ） (A)22-(B)335-(C)－3(D)27-3.椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点,是一个含600角的菱形的四个顶点,则椭圆的离心率为（ ） （A ）21 （B ）23 （C ）33 （D ）21或23 4.设常数m>0，椭圆x 2+m 2y 2=m 2的长轴是短轴的两倍，则m 的值等于（ ） （A ）2 （B ）2 （C ）2或21 （D ）2或225.过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为( ) (A)212 (D)136.如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份，那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的（ ）（A ）18倍 （B ）12倍 （C ）9倍 （D ）4倍7.当关于x,y 的方程x 2sin α－y 2cos α=1表示的曲线为椭圆时,方程(x+cos α)2+(y+ sin α)2=1所表示的圆的圆心在（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限8.已知椭圆的焦点为F 1,F 2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长F 1P 到Q,使得|PQ|=|PF 2|,那么动点Q 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）直线 （D ）其它9.已知椭圆14922=+y x 与圆(x-a)2+y 2=9有公共点, 则a 的取值范围是( )(A)-6<a <6 (B)0<a≤5 (C)a 2<25 (D)|a|≤610.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） （A）2 （B）12（C）2（D1 11.在椭圆12222=+by a x 上取三点，其横坐标满足x 1+x 3=2x 2,三点依次与某一焦点连结的线段长为r 1,r 2,r 3,则有（ ） （A ）r 1,r 2,r 3成等差数列 （B ）231211r r r =+ （C ）r 1,r 2,r 3成等比数列 （C ）以上都不对 12.已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =,则||AF13.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ） (A)(0,1) (B)1(0,]2(C)(D)14.一个椭圆中心在原点,焦点12F F 、在x 轴上,P （2）是椭圆上一点,且1122||||||PF F F PF 、、成等差数列，则椭圆方程为( ) （A ）22186x y += （B ）221166x y += （C ）22184x y += （D ）221164x y +=15.若椭圆19822=++y a x 的离心率是21,则a 的值为————————. 16.椭圆x 2cos 2α+y 2=1(0<α<π,α≠2π)的半长轴=——————，半短轴=——————，半焦距=——————，离心率=——————. 17.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a c PF F PF F =，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．18.M 是椭圆14922=+y x 上的一点,F 1,F 2 是椭圆的焦点,且∠F 1MF 2=900,则△F 1MF 2的面积等于——————. 19.与圆(x+1)2+y 2=1相外切,且与圆(x －1)2+y 2=9相内切的动圆圆心的轨迹方程是——————20.设椭圆⎪⎩⎪⎨⎧==ααsin 32cos 4y x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角∠POx=3π,则点P 的坐标是__.21.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过2(0)a P c ，作圆M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为22.已知直线l :y=mx+b,椭圆C:22)1(ax -+y 2=1,若对任意实数m,l 与C 总有公共点,则a,b 应满足的条件是 .23.椭圆4cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）上点到直线20x y -=的最大距离是 .24.12F F 、是椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF ⋅的最大值是 .25.已知椭圆焦点为F 1(0,－22),F 2(0, 22),长轴长为6, 过焦点的弦的长等于短轴长,求这焦点弦的倾斜角.26.在椭圆191622=+y x 上求一点M ，使它到直线l:3x+4y －50=0的距离最大或最小. 27.在△ABC 中，BC=24，AC 、AB 的两条中线之和为39,求△ABC 的重心轨迹方程.29.椭圆12222=+by a x 与x 轴、y 轴正方向相交于A 、B ，在第一象限内的椭圆上求一点C ，使得四边形OACB 的面积最大.30.点A 、B 分别是椭圆1202362=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥.（1）求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点,M 到直线AP 的距离等于||MB ,求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.双曲线练习1.F 1、F 2为双曲线1422-=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上,且∠F 1PF 2=90°,则△F 1PF 2的面积是________________.2.双曲线焦点在y 轴上,且一个焦点在直线5x －2y +20=0上,两焦点关于原点对称,35=a c ,则此双曲线的方程是________.3.已知双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为________________.4.已知双曲线22ax －22b y ＝1（a ＞0,b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O为原点）,则两条渐近线的夹角为______________________.5.已知定点A 、B 且|AB|=4,动点P 满足|PA|－|PB|=3,则|PA|的最小值是_________________.6.已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2,若边MF 1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是_________________.7.过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点,以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于_________.8.双曲线112422=-y x 上点P 到左焦点的距离为6,这样的点有______个. 9.直线y=x+3与曲线14||92=-x x y 的交点个数是 .10.双曲线的两准线间的距离是焦距的53，则此双曲线的离心率为 .11.已知双曲线的渐近线方程是x y 32±=,且双曲线过点（3，4），则双曲线的离心率为 ,双曲线的方程为 . 12.设连接共轭双曲线四个顶点和四个焦点所成两个四边形的面积分别为S 1,S 2,则(21S S )max 为 . 13.已知双曲线的两个焦点坐标为F 1(0,－10), F 2(0,10)且一条渐近线方程是430x y -=,则双曲线的标准方程为14.已知双曲线经过)3,453(-A ,且与另一双曲线116922=-y x ,有共同的渐近线,则此双曲线的标准方程是 .15.已知双曲线的一条渐近线方程是043=+y x ,焦点是椭圆12510022=+y x 与坐标轴的交点,则双曲线的标准方程是 .16.已知双曲线的两条渐近线所夹的锐角是60︒,则此双曲线的离心率为 . 9.直线y x =-1被双曲线,3222=-y x 所截得弦的中点坐标是 ，弦长是 .17.已知关于x ，y 的二次方程4814)16()4(222+-=-+-m m y m x m 表示的是双曲线，则m 的取值范围是 .18.已知双曲线方程为191622=-y x ，经过它的右焦点F 2，作一条直线，使直线与双曲线恰好有一个交点，则该直线的斜率是 .19.已知双曲线方程为422=-x y ,过一点P (0，1),作一直线l ,使l 与双曲线无交点,则直线l 的斜率k 的集合是 .20.双曲线191622=-y x 右支上一点P 到左右两个焦点的距离之比是5:3,则P 点右准线的距离为_____________. 21.以230x y ±=为渐近线,且经过点(1 , 2)的双曲线是 .22.双曲线的离心率e =2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 .23.双曲线1322=-y x 的渐近线中,斜率较小的一条渐近线的倾斜角为 . 24.若双曲线2222by a x -=1的一条渐近线的倾斜角为锐角α,则双曲线的离心率为____________.25.已知双曲线的渐近线方程为043=±y x ,一条准线的方程为0335=+y ,则双曲线方程 .26.双曲线1422=+k y x 的离心率e ∈(,)12，则k 的取值范围是______________.27.椭圆14222=+a y x 与双曲线1222=-y a x 的焦点相同,则a = . 28.如图，OA 是双曲线的实半轴,OB 是虚半轴,F 为焦点， 且∠=︒BAO 30,S ABF∆=)336(21-,则该双曲线方程是 . 29.已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且与圆x y 2217+=相交于点A (4 , －1)，若圆在点A 的切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线的方程.30.双曲线与椭圆1362722=+y x 有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程.31.直线231+=x y 与双曲线14922=-y x 的两个交点与原点构成三角形，求此三角形的面积.32.已知双曲线b x a y a b 222222-=上有一点P ，焦点为F 1、F 2，且∠=F PF 12α，求证：2221αctg b S PF F ·=∆.33.斜率为2的直线l 被双曲线12322=-y x 截得的弦长为1552,求直线l 的方程. 34.已知P 为双曲线x y 2244-=上的动点，Q 是圆41)2(22=-+y x 上的动点，求PQ 的最小值。
数学圆锥曲线秒杀公式
数学圆锥曲线秒杀公式
数学圆锥曲线秒杀公式：a*t2 + vt + p
a、v、p分别代表加速度、速度和位置。
秒杀公式可以用来描述物体由某一原始位置一直加速度遵守抛物线规律直至达到目标位置的运动过程。
具体来说，a表示物体每单位时间内加速度变化量，v表示每个单位时间物体加速度随之而来的速度变化量，以及物体从原始位置开始的位置参数。
它是一种用来模拟物体在一段区间内的运动的技术，可以用来计算物体每个时间间隔在该区间中的位置。
圆锥曲线常用公式
7.双曲线的标准方程：
若焦点在X轴上：
x2 y 2 2 1 a 0, b 0 2 a b
焦点坐标为： 渐近线方程：
F1 c, 0 F2 c, 0
c a b
2 2
2
e
c a
b y x a
x2 y 2 若焦点在Y轴上： 2 2 1 a 0, b 0 b a
x2 y 2 6..弦长公式（椭圆与直线）设椭圆 2 2 1 a b 0 ，直线的斜率为 K , 其 a b
与椭圆有两个交点 A x1 , y1 B x2 , y2 ，则弦
AB 的长为
AB 1 K 2 x1 x2 1
1 y1 y2 2 K
焦点坐标为： F1 c, 0 F2 c, 0
a b c
2 22Biblioteka ec ax2 y 2 若焦点在Y轴上： 2 2 1 a b 0 b a
焦点坐标为： F1 0, c
F2 0, c
a 2 b2 c 2
e
c a
5.求两条曲线交点的坐标（联立方程组）
焦点坐标为： F1
0, c
a y x b
F2 0, c
c a b
2 2
2
e
c a
渐近线方程：
8.抛物线的标准方程： 若焦点在X轴上：
y 2 2 px p 0
焦点坐标为：
p ,0 2
2
若焦点在Y轴上： x 焦点坐标为：
2 py p 0
圆锥曲线常用知识
1.点到点的距离公式：设A
x1 , y1
， B x2 , y2 ，则A到B距离为：
圆锥曲线基本公式
圆锥曲线基本公式圆锥曲线是数学中重要的几何概念之一，它由圆锥与一个平面相交而形成。
圆锥曲线的基本公式包括椭圆、双曲线和抛物线。
首先，我们来看椭圆。
椭圆是圆锥和平面相交时，平面与圆锥轴线之间的夹角小于圆锥的母线夹角的情况。
椭圆的基本公式可以表示为：（x-h）^2/a^2 +（y-k）^2/b^2 = 1其中，（h，k）为椭圆的中心点坐标，a为椭圆长轴的半长，b为椭圆短轴的半长。
这个公式是椭圆的标准方程，通过改变参数a和b的值可以调整椭圆的形状和大小。
其次，我们来看双曲线。
双曲线是圆锥与平面相交时，平面与圆锥轴线之间的夹角大于圆锥的母线夹角的情况。
双曲线的基本公式可以表示为：（x-h）^2/a^2 -（y-k）^2/b^2 = 1或（y-k）^2/b^2 -（x-h）^2/a^2 = 1其中，（h，k）为双曲线的中心点坐标，a和b分别为双曲线的长轴半长和短轴半长。
这两个公式分别对应于双曲线的横轴和纵轴方向，通过改变参数a和b的值可以调整双曲线的形状和大小。
最后，我们来看抛物线。
抛物线是圆锥与平面相交时，平面与圆锥轴线之间的夹角等于圆锥的母线夹角的情况。
抛物线的基本公式可以表示为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b和c为常数，通过改变这些常数的值可以调整抛物线的形状，例如改变a的正负可以使抛物线开口朝上或朝下。
除了基本公式，圆锥曲线还有许多性质和特点值得研究。
例如，椭圆的离心率小于1，而双曲线的离心率大于1。
离心率是描述圆锥曲线形状的一个重要指标，它是与圆锥曲线焦点之间的距离比上椭圆长轴或双曲线的实际距离的比值。
离心率越接近于0，圆锥曲线越接近于圆形；离心率越大，圆锥曲线的形状越扁平。
此外，圆锥曲线还有许多重要的性质和应用，例如在天文学中描述行星轨道、在物理学中描述抛物线运动等。
总之，圆锥曲线是数学中重要且有趣的概念，它的基本公式包括椭圆、双曲线和抛物线。
通过这些公式及其性质，我们可以研究和描述各种各样的曲线形状和特点。
圆锥曲线全部公式及概念
1. 椭圆l τ + ∑- = i(a>b>O)的参数方程是V Cr Zr 2,2»2准线到中心的距离为L ,焦点到对应准线的距离(焦准距)p =—・通径的一半(焦参数)：丄.C Ca2 22. 椭圆∆τ + l τ = l(rt >∕7>θ)焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积： Cr Zr| PF l | = e(x + —) = a+ ex , ∖PF 21 = e(-— X) = U-ex ↑ S 斗严；=b 2 tan '丫 F22 223.椭圆的的内外部：(1)点PesyO)在椭圆丄v + L = l(α>b>0)的内部O⅛- + ⅛<l. Cr 泸Cr b'2 2 2 2(2)点 P(X o o to)在椭圆上τ +丄r = l(α>b>O)的外部 <≠>⅛ + ⅛>ι.Cr Zr Cr Zr的距离(焦准距)P = — •通径的一半(焦参数)：— C a5. 双曲线的内外部：(1)点P(X o o tO)在双曲线=Cr Ir/2 2 2 2 ⑵点P(X (P y 0)在双曲线一一二~ = l(α > 0,b > 0)的外部o —⅛■-汙V1・Cr IrCr Zr6. 双曲线的方程与渐近线方程的关系：(1)若双曲线方程为二一二=1二>渐近线方程：Δ1-22 = O^> y = ±-χ・α~ Ir Cr 少a-> 2A χ∙ V r β,V*⑵若渐近线方程为y = ±-x<=>-±- = O=>¾曲线可设为r — — = λ・ a a b Cr Zr2 22 2⑶若双曲线与亠一亠=1有公共渐近线，可设为=T 一亠=λCr XCr Ir(λ>0,焦点在X 轴上；九<0,焦点在y 轴上)・ (4)焦点到渐近线的距离总是b ∙7. 抛物线y 2= 2px 的焦半径公式：拋物线y 2=2px(p>0)焦半径ICFI = X O + -^・ 过焦点弦长IcQl = “+上+心+ £ = “+“ + 〃 . 2 2 28. 拋物线y 2 = IPX JL 的动点可设为P(±-,儿)或P(2∕"[2p∕) P(x , V ),其中y 2= 2PX ・2 P '•、 b A ,ac — b~9. 二次函数y = ax 1 +bx + c = a(x + —)2+ ------------- (a ≠ 0)的图象是抛物线：(1 )顶点坐标为Ia 4aZb 4“C — b~ z. .. ... I . . h ^CIC — /?" +1、 Z -S Λ /V ∙ z t , CT^CIC — b~ — 1 ,—:——)：(2)焦点的坐标为,——； ---------------- ):(3)准线万程是y = IABl = 5J(1+^2)(X 2 "ΛI )2 =I 比 _兀21 Vl +tan 2 a =I y l _y 21 √l + c^t 2ay = kx + b . .α(弦端点ACv 1,y 1X B(X^y 2),由方程<消去y 得到αL +bx + c = O 9 Δ>0, α为直线AB 的圆锥曲线X = Cl COS θ 亠 亠 C• 离心率£ =—= y = bs ∖nθ aV»*■ C 4. 双曲线亠一 — = 1(« > 0.Z? > 0)的离心^e =— a ∕Γa • 2ι2 「，准线到中心的距离为∙，焦点到对应准线 焦半径公式\PF }\ =I e(x + —) I=I a + <?xI, ∖PF 2∖ =I e(-^x) I=I a-ex ∖9 C 两焦半径与焦距构成三角形的面积S λj.ιp l .y = b 2 COt 'F'] F .2 22L = l(">0d>0)的内部 o ⅛-4>l. • - Cr Zr2a 4a2a 4a" 4a10. 以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切：以拋物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切; 以抛物线的焦半径为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切・11. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：IABI = √(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2或F(x,y) = O倾斜角，&为直线的斜率，I召I= J(XI +心)‘ _4召心・12.圆锥曲线的两类对称问题：(1)曲线F(X,y) = O关于点P(X o,儿)成中心对称的曲线是F(2x0-x t2y0 -y)=0.(2)曲线F(X,y) = 0关于直线Av + Bv + C = O成轴对称的曲线是—2A(Ar + By+ C) 2B(Ax + By + C)x CFa ------ —R——、y --------- -V———)=0・√Γ+歹A" + B'特别地，曲线F(X9 y) = 0关于原点O成中心对称的曲线是F(-x,-y) = 0・曲线F(X9 y) = 0关于直线X轴对称的曲线是F(X^y) = 0.曲线F(X9 y) = 0关于直线y轴对称的曲线是F(-x, y) = 0・曲线F(X9 y) = 0关于直线y = x轴对称的曲线是F{y.x) = 0.曲线F(X,y) = 0关于直线y = -x轴对称的曲线是F(-y,-x) = 0・13 •圆锥曲线的第二定艾：动点M到定点F的距离与到定直线/的距离之比为常数£,若0 VfVl, M的轨迹为椭圆；若e = ∖9 M的轨迹为抛物线；若e>∖9 M的轨迹为双曲线.注意：J还记得圆锥曲线的两种定义吗解有关题是否会联想到这两个定狡2、还记得圆锥曲线方程中的：2(1)在椭圆中：α是长半轴，〃是短半轴，C是半焦距，其中b2 =a2-C29 f = (Ovwvl)是离心率，—a C• 2. 2是准心距，-L是准焦距，-L是半通径.C a2(2)在双曲线中："是实半轴，b是虚半轴，C是半焦距，其中b2 =c2-a29 e = -∖e>l)是离心率，L是a C准心距，伫是准焦距，冬是半通径.C a(3)在抛物线中：0是准焦距，也是半通径.3、在利用圆锥曲线统一定狡解题吋，你是否注意到定艾中的定比的分子分母的顺序(到定点的距离比到定直线的距离)4、离心率的大小与曲线的形状有何关系(圆扁程度，张口大小)等轴双曲线的离心率是多少(0 = √Σ)5、在用圖锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零判别式A 2 0的限制. (求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在Δ >0下进行).注意：尤其在求双曲线与直线的交点时：当A>0时：直线与双曲线有两个交点(包括直线与双曲线一支交于两点和直线与双曲线两支各交于一点两种情况)：当A = O时，直线与双曲线有且只有一个交点(此时称指向与双曲线相切)，反之，当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线不一定相切，此时直线与双曲线的一条渐近线平行，当AvO时，直线与双曲线没有交点.6、椭圆中，注意焦点.中心.短轴端点所组成的直角三角形•此时Cr =b2+c2・7、通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.(想一想在双曲线中的结论)8、你知道椭圆、双曲线标准方程中aj∖c之间关系的差异吗9、如果直线与双曲线的渐近线平行吋，直线与双曲线相交，只有一个交点；如果直线与拋扬线的轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点•此时两个方程联立，消元后为方程变为一次方程.椭圆练习1・过椭圆二+二=1 (a>b>O)的左焦点F I任做一条不与长轴重合的弦AB, F2为椭圆的右焦点，則AABA的周长是/ b^( )(A)2a (B)4a (C)2b (D) 4b2•设a,beR.a2+2b2 =6,则α + b 的最小值是( )(A) - 2√2 (B)-垃(0-3 (D)-2323. 椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点，是一个含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )(A)丄 (B)遇 (C)遇 (D)丄或遇2 23 2 24. 设常数m>0,椭圆x 2+m 2y 2=m 2的长轴是短轴的两倍，則m 的值等于( )(A) 2(B) √2(C) 2 或丄 (D) √Σ 或空2 22 25. 过椭圆二+ L = l(°>b> 0)的左焦点片作X 轴的垂线交椭圆于点P,化为右焦点，若ZF i PF. = 60 ,则Cr "椭圆的离心率为()(A)^⑻迟 (C)I(D)I23236. 如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份，那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的() (A) 18 倍 (B) 12 倍 (C) 9 倍 (D) 4 倍7. 当关于X, y 的方程X 2Sin^ -y 2COSCr=I 表示的曲线为椭圆时，方程(x+cos α)'+(y+ Sinaf)Jl 所表示的圆的國心在()(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限8. 已知椭圆的焦点为F b F 2,P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 卩到Q,使得I PQ I=I PF 2I,那么动点Q 的轨迹是( )(A)圆 (B)椭圆 (C)直线 (D)其它9. 已知椭圆—÷-= 1与圆(χ-a)⅛Λ=9有公共点，则a 的取值范围是()9 4 (A)-6<a<6(B)0<a≤5(C)a 2<25(D) ∣a∣≤610•设椭圆的两个焦点分别为F-、F 2,过F?作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若AFPFz 为等腰直角三角形，则椭 圆的离心率是()(A)YZ(B)幺二！ (C) 2-√2(D) √2-l2 2SS11. 在椭圆—÷γ-≈ 1上取三点，其横坐标满足X I +×3=2X 2,三点依次与某一焦点连结的线段长为r b r 2, r 3,则有 α∙ b・I I 7()(A) r b r 2, r 3成等差数列 (B)丄+丄=二 (C) r b r 2,r 3^等比数列 (C)以上都不对 12•已知椭圆C ι- + y 2= 1的右焦点为F,右准线为/,点Ae/ ,线段4F 交C 于点B,若FA = 3FB, »■]2伍若椭圆之+「I 的离心率是、则W*16 •椭圆X 2COs 2 α +y 2=1 (0< a <ΛR, a≠ y )的半长轴= ------- ,半短轴= -------- ,半焦距= -------- ,离心率= ----------------- = --------- ,則该椭圆的离心率的取值范围为 ____________________ ・(A) (0.1)(B) (0.1)(0(0,#)(D)哼,1)13.已知片、耳是椭國的两个焦点，满足・"庁=0的点M 总在椭圆内部•则椭圆离心率的取值范围是()14. 一个椭圆中心在原点，焦点斤、C 在X 轴上，P (2, √J)是椭圆上一点，且1卩斤1、1斥巴I 、IP 耳I 成等差数列，則椭圆方程为()(A) ⅞4- ⑻护汀<C) ⅜÷⅞ = ∙ I 丽二()(A) √2 (B) 2 (C)^(D) 317.已知椭圆⅛4= ↑(a>b>O)的左、 右焦点分别为斤(一c,0),耳(c,0), 若椭圆上存在一点P 使Sin PI71F2 Sin PF l F X是椭圆二+ 2_ = i上的一A,F I,F2是椭圆的焦点，且ZF I MF2=9O o,则ZkFNF?的面积等于9 419•与圆(x+1)2+y2=1相外切，且与IS(X-I)2÷y2=9相内切的动圆圆心的轨迹方程是X = 4COSa , …Ir20•设椭圆( L (□为参数)上一点P与X轴正向所成角ZPOx=-, 点P的坐标是y = 2√3 Sin a 321.在平面直角坐标系.9y中，椭E)4÷4 = 1G∕>∕7>O)的焦距为2c,以0为圆心，为半径作圆M ,若过P(Qe) Cr Iy C作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 _________________22•已知直线/ : y=mx+b,椭圆C: (A ^.I)÷y2=1,若对任意实数叫/与C总有公共点，則a, b应满足的条件“是 _________ •23•椭圆F=4cos0 (。
圆锥曲线公式及知识点总结
圆锥曲线公式及知识点总结圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e的点的轨迹。
数学里有很多公式，为了帮助大家更好的学习数学，小编特地为大家整理了圆锥曲线公式及知识点总结，希望对大家的数学学习有帮助。
圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²；y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a≠0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当01时为双曲线。
圆锥曲线公式知识点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)y²=2px(p>0)范围x∈[-a,a]x∈(-∞，-a]∪[a,+∞)x∈[0,+∞)y∈[-b,b]y∈Ry∈R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦点(c,0),(-c,0)(c,0),(-c,0) (p/2,0)【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】准线x=±a²/cx=±a²/cx=-p/2渐近线——————y=±(b/a)x—————离心率。
高中数学易错点及数学圆锥曲线公式大全
高中数学易错点及数学圆锥曲线公式大全在每年的高考中,有关圆锥曲线的试题约占全卷总分的13%，是相当重要的考点。
下面小编整理了《高中数学圆锥曲线公式大全》，欢迎阅读。
高中数学圆锥曲线公式大全1.焦半径公式，P为椭圆上任意一点，则│PF1│= a + eXo│PF2│= a - eXo(F1 F2分别为其左，右焦点)2.通径长 = 2b?/a3.焦点三角形面积公式S⊿PF1F2 = b?tan(θ/2) (θ为∠F1PF2)(这个可能有点难理解，不过结合第一定义可以较快的推，双曲线的也是同样方法)4.(左)准点Q (自己取的名字方便叙述，准线与X轴的焦点)过左焦点F1的任意一条线与椭圆交与A ，B 那么一定有：X轴平分∠AQB(在右边也是一样)1.通径就不说了2.焦半径公式(有8个，很难打符号的，不过可以根据极坐标方程来直接解答，比焦半径公式还快一些)3.焦点三角形面积公式S⊿PF1F2 =b?cot(θ/2) (左右支都是它)y?=2px (p>0)过焦点的直线交它于A(X1,Y1),B(X2,Y2)两点1.│AB│=X1 + X2 + p =2p/sin?θ (θ为直线AB的倾斜角)2. Y1*Y2 = -p? ， X1*X2 = p?/43.1/│FA│ + 1/│FB│ = 2/p4.结论：以AB 为直径的圆与抛物线的准线线切5.焦半径公式：│FA│= X1 + p/2 = p/(1-cosθ)直线与圆锥曲线 y= F(x) 相交于A ，B，则│AB│=√(1+k?) * [√Δ/│a│]圆锥曲线包括椭圆(圆为椭圆的特例)，抛物线，双曲线。
圆锥曲线(二次曲线)的统一定义：到定点(焦点)的距离与到定直线(准线)的距离的商是常数e(离心率)的点的轨迹。
当e>1时，为双曲线的一支，当e=1时，为抛物线，当0有途网小编建议还是先研究书本的基本概念，掌握相关公式，图形特点，利用这些概念解决题目，之后再做习题。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论有：1.离心率定义式：$e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
2.曲率公式：$\kappa = \frac{|\text{二阶导数}|}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$，其中$\kappa$ 为曲率，$y'$ 为导数。
3.两点之间的弦长公式：$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1,y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为两点的坐标。
4.圆锥曲线的极坐标方程：$r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}$，其中$r$ 为点到焦点的距离，$\theta$ 为点的极角，$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率。
5.焦点公式：$F = \sqrt{a^2 - b^2}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴，$F$ 为焦点到中心的距离。
6.弦的中点公式：$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$，其中$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为弦两个端点的坐标。
7.椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
8.双曲线的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
9.抛物线的标准方程：$y = ax^2$，其中$a$ 为常数。
10.焦半径公式：$r_f = \frac{p}{e}$，其中$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率，$r_f$ 为以焦点为圆心，$p$ 为半径的圆的半径长度。
圆锥曲线常用的二级结论包括但不限于以下内容：1.设直线$l$ 与圆锥曲线$C$ 相交于两点$P,Q$，则$P,Q$ 间的线段垂直于轴线。
高中数学极点极线及高中圆锥曲线必备公式
极点极线定义已知圆锥曲线С: Ax +By +Cx+Dy+E=0与一点P(x0,y 0) [ 其中 A +B x0+x≠0,点．P．不．在．曲．线．中．心．和．渐．近．线．上．]. 则称点P 和直线L:A?x0x+B?y0y+C? 2 +D?y2+y+E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线x0+x y0+y 即在圆锥曲线方程中, 以x0x 替换x ，以2替换x，以y0y 替换y , 以2替换y 则可得到极点P(x0,y 0) 的极线方程L.特别地：(1) 对于圆(x-a) +(y-b) =r , 与点P(x 0 ,y 0) 对应的极线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r ；x y x0x y0y(2) 对于椭圆+ =1，与点P(x0,y 0)对应的极线方程为0 + 0 =1 ；a b a bx y x 0x y 0y(3) 对于双曲线 a -b =1，与点 P(x 0,y 0)对应的极线方程为 a 0 -b 0 =1 ；(4) 对于抛物线 y =2px ，与点 P(x 0,y 0) 对应的极线方程为 y 0y=p(x 0+x) ； 性质 一般地,有如下性质 [焦．点．所．在．区．域．为．曲．线．内．部． ]: ① 若极点 P 在曲线С上,则极线 L 是曲线С在P 点的切线；② 若极点 P 在曲线С外,则极线 L 是过极点 P 作曲线С的两条切线的切点连线；③ 若极点 P 在曲线С内,则极线 L 在曲线С外且与以极点 P 为中点的弦平行 [仅是 斜率相 等 ]( 若是 圆 , 则此时中 点 弦的 方程 为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=x 0x y 0y x 0 y 0；若是椭圆,则此时中点弦的方程为 a x x +b y y =x a +y bx 0x y 0y x 0 y 0双曲线,则此时中点弦的方程为 a x0x -b y0y =x a 0 -y b 0 ；若是抛物线 ,则此时中点弦的 方程为 y 0y-p(x 0+x)=y 0 -2px 0) ；(x 0-a) +(y 0-b) 若是④当P(x0,y 0)为圆锥曲线的焦点F(c,0) 时，极线恰为该圆锥曲线的准线．．；⑤极点极线的对偶性:Ⅰ.已知点P和直线L是关于曲线С的一对极点和极线,则L上任一点Pn对应的极线Ln必过点P,反之亦然,任意过点P的直线Ln对应的极点Pn必在直线L上[图．Ⅱ.过点P作曲线C的两条割线L1、L2，L1交曲线C于AB，L2交曲线C于MN，则直线AM、BN的交点T，直线AN、BM的交点S必都落在点P 关于曲线C的极线L 上[ 图．中．点．P．与．直．线．S．．T是．一．对．极．点．极．线．；．点．T．与．直．线．S．．P是．一．对．极．点．极．线．] ；即OP = OR OROQⅢ. 点 P 是曲线 C 的极点，它对应的极线为 L ，则有 :1）若C 为椭圆或双曲线，O 是C 的中心，直线 OP 交C 与R ，交L 于Q ，则OP?OQ=OR如图中学数学中极点与极线知识的现状与应用虽然中学数学中没有提到极点极线,但事实上,它的身影随处可见,只是没有点破而已.教材内改名换姓,“视”而不“见” .由④可知椭圆x a +y b =1的焦点的极a线方程为: x= . 焦点与准线是圆锥曲线一章中的核心内容, 它揭示了圆锥曲线c的统一定义, 更是高考的必考知识点. 正是因为它太常见了, 反而往往使我们“视”而不“见” .圆锥曲线基础必备1、长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理长轴=2“，短轴= 2b,焦距= 2c.则：a2 =b2 -^c2 1、准线方程准焦距.〃方、"方涂以r..& 0・ 刁2sm —cos — sm 0_ 2 2 1 +cos0 2 cos 2—2 & 所以：椭圆的焦点三角形的面积为S 胚恶=b tail-.4.焦三角形计面积"半角正切進乘焦三角形：以椭圆的两个焦点巧・耳为顶点，另一个顶点」 在椭圆上的三角形称为焦三角形•半角是指—Z 与P 巧的一半. 则焦三角形的面积为： 证明：设阿| =小|昭| = S 由余弦定理:m 2 +n 2 - 2mn cos^= 4c 2=4a即：-2mn - = 2mn - 4b 2,故: Sgf =-m n sin0 =-』+ cos& l + cos0又:0 =tan —三、椭圆的相关公式 切线平分焦周角, 切点连线求方程, 弦与中线斜率积, 细看中点弦方程,称为弦切角定理① 极线屯理须牢记② 准线去除准焦距③ 恰似弦中点轨迹④艮卩：2D = (1+ cos0)mn .1、 切线平分焦周角，称为弦切角定理弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双 曲线的焦周角.焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.弦切角是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它 们的夹角，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切 线是两个焦点弦的角平 分线.第6页2. 切点连线求方程，圾线定理须牢记若旳（X05）在椭圆卡+$ = 1外，则过昨作椭圆的两 条切线，切点、为P 』,巧，则点耳和切点弦马•勺分别称 为椭圆的极点和极线.切点弦耳乃的直线方程即极线方程是笫？页3、弦与中线斜■率积.准线去涂准焦距|弦指椭圆内的一弦•中线指弦AB 的中点M 与 原点O 的连线，即2AB 得中线•这两条直线的斜率的VY - Q 2於乘积，等于准线距离去除准焦^p= — .其k k_ p 结杲是：0M = T =~V第8页（称为极线定理）4、细看中点弦方程，恰似弦中点、轨迹|中点、弦AB 的方程:在椭圆中，若弦的中点、为弦仙称为中点弦，则中点弦的方程就是弦中点M 的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点 p 皿、m 的弦AB , 其中点、M 的方程就是 S . y o y … /( y 2. 一7*+矿二正+歹，仍为椭圆.这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞 混了.第9页是直线方程.圆锥曲线必背口诀（红字为口诀）-双曲线一、双曲线定义双曲线有四定义.差比交线反比何1、定义1:（差）平面内，到两个定点唇码的距离之差的绝对值为定值2“（小于这两个定点间的距离冈砂）的点的轨迹称为双曲线。
高考数学圆锥曲线部分重要公式及结论
高中数学圆锥曲线部分重要公式及结论（椭圆部分）● 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.● PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.● 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.● 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.● 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.● 椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).● 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.● 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.● AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a xb K AB -=。
● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.● 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.● 过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.● 若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+. ● 设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.● 若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.● P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.● 椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.● 已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +. ● 过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. ● 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.● 设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b γ∆=.● 设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PABa b S b a γ∆=-. ● 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. ● 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.● 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.● 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). ● （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） ● 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. ● 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.（双曲线部分）● 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.● PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.● 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.● 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）● 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. ● 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b -=.● 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.● 双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c● 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a=-. ● 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a=--● 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.● 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.● AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
圆锥曲线面积公式
圆锥曲线面积公式圆锥是一种三维曲面，它具有非常独特的性质，是许多几何结构中常见的几何形状之一。
它是由一个圆和一条接近它的直线组成的，其特性可以用一种称为“圆锥曲线面积公式”的公式来描述。
圆锥曲线面积公式是描述圆锥形状及其面积的一种经典几何公式。
其中，圆锥体的表面积可以用以下公式表示：S =r(h + r)其中，r表示圆锥底部圆的半径，h表示圆锥高度，π表示3.1415926。
圆锥曲线面积公式是世界上最常用的一个几何公式，它可以用来解决圆锥的表面积、体积和对称性等相关问题。
在建筑设计、医学技术和其他多种应用领域，圆锥曲线面积公式在图形绘制和几何处理方面都被广泛使用。
在高等数学中，圆锥曲线面积公式也被广泛应用，它可以帮助数学家们求解许多复杂的几何问题。
举个例子，假设有一个圆锥体，它底部半径为5，高度为10，则根据圆锥曲线面积公式，它的表面积为π5(10+5)，也就是785.398163。
圆锥曲线面积公式也可以用来解决另一种复杂的几何问题，那就是求解圆锥体的体积。
圆锥体的体积是由底面圆和圆锥面积之积所得，因此，圆锥体的体积公式可以用以下公式表示：V=rh/3，其中，r表示圆锥底部圆的半径，h表示圆锥高度，π表示3.1415926。
举个例子，假设有一个圆锥体，其底部半径为5，高度为10，则根据圆锥体的体积公式，它的体积为π510/3，即261.7990512。
圆锥曲线面积公式不仅可以用于解决圆锥底部半径、高度和面积、体积等问题，还可以用于解决其他一些几何问题，比如计算圆锥面积的分段函数，以及计算平面内的圆锥的平行于底面的线段的长度。
圆锥曲线面积公式可以让数学家们知道如何去计算几何图形，为科学家们在多个学科领域工作提供了极大的帮助。
总之，圆锥曲线面积公式是一种经典的几何公式，用于描述圆锥曲线的面积及其相关特性，它可以用来解决圆锥表面积、体积、分段函数等多种复杂的几何问题，并且在建筑设计、医学技术和其他多种应用领域中被广泛使用，为科学家们工作提供了极大的帮助。
圆锥曲线的弦长公式
圆锥曲线是一种由圆锥曲线构成的曲线，它是由一个圆锥曲线的两个曲线段组成的，其中一个曲线段是圆锥曲线，另一个曲线段是圆弧曲线。
圆锥曲线的弦长公式是用来计算圆锥曲线的弦长的一种公式，它可以帮助我们更好地理解圆锥曲线的特性。
圆锥曲线的弦长公式是：s=2π√(a²+b²+ab)÷3，其中a和b分别是圆锥曲线的两个曲线段的半径，π是圆周率，s是圆锥曲线的弦长。
首先，圆锥曲线的弦长公式是基于圆锥曲线的特性来推导出来的，它的推导过程很复杂。
它是由圆锥曲线的两个曲线段组成的，一个曲线段是圆锥曲线，另一个曲线段是圆弧曲线，而圆锥曲线的弦长是由圆锥曲线的两个曲线段的半径和圆周率组成的。
其次，圆锥曲线的弦长公式可以用来计算圆锥曲线的弦长，这对于理解圆锥曲线的特性很重要。
圆锥曲线的弦长公式可以帮助我们计算出圆锥曲线的弦长，从而更好地理解圆锥曲线的特性。
最后，圆锥曲线的弦长公式也可以用来计算圆锥曲线的体积。
圆锥曲线的体积是由圆锥曲线的两个曲线段的体积之和组成的，而每个曲线段的体积又是由圆锥曲线的弦长公式计算出来的。
因此，圆锥曲线的弦长公式也可以用来计算圆锥曲线的体积。
总之，圆锥曲线的弦长公式是一种用来计算圆锥曲线的弦长的公式，它可以帮助我们更好地理解圆锥曲线的特性，也可以用来计算圆锥曲线的体积。
圆锥曲线公式大全
圆锥曲线公式大全-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1圆锥曲线知识考点一、直线与方程1、倾斜角与斜率：1212180＜α≤0(tan x x y y --==）α 2、直线方程：⑴点斜式：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ： ()00x x k y y -=- ⑵斜截式：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ：b kx y += ⑶两点式：已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠：121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ：1x y a b+= ⑸一般式：0=++C By Ax （A 、B 不同时为0， 斜率BAk -=，y 轴截距为BC -） (6)k 不存在⇔a x b a x o=⇔⇔=）的直线方程为过（轴垂直,90α3、直线之间的关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=⑴平行：{⇔⇔≠=21212121//b b k k k k l l 且都不存在，212121C C B B A A ≠=⑵垂直：{⇔⇔⊥-=⇔-==21212111.021k k k k k k l l 不存在，02121=+B B A A⑶平行系方程：与直线0=++C By Ax 平行的方程设为：0=++m By Ax⑷垂直系方程：与直线0=++C By Ax 垂直的方程设为：0=++n Ay Bx⑸定点(交点)系方程：过两条直线:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 的交点的方程设为：0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ反之直线0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ中，λ取任何一切实数R ，则直线一定过定点),(00y x ，即:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 两条直线的交点),(0y x4、距离公式：（1）两点间距离公式：两点),(),,(222211y x P x x P ：()()21221221y y x x P P -+-=（2）点到直线距离公式:点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为2200BA CBy Ax d +++=（3）两平行线间的距离公式：1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2221BA C C d +-=二、圆与方程 1、圆的方程：⑴标准方程：()()222r b y a x =-+- 其中圆心为(,)a b ，半径为r .⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D ) 其中圆心为(,)22D E --，半径为r =2、直线与圆的位置关系 点),(00y x 和圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：222222222)()()(rb y a x r b y a x rb y a x >-+-⇔=-+-⇔<-+-⇔）（点在圆外）（点在圆上）（点在圆内直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .切线方程：（1）当点),(00y x P 在圆222r y x =+上⇔200r y y x x =+ 圆222)()(r b y a x =-+-⇔200))(())((r b y b y a x a x =--+--（2）当点),(00y x P 在圆222r y x =+外，则设直线方程()00x x k y y -=-，并利用d=r 求出斜率，即可求出直线方程【备注：切线方程一定是两条，考虑特殊直线k 不存在】④弦长公式：222||d r AB -=2212121()4k x x x x =+-- 3、两圆位置关系：21O O d =⑴外离：r R d +> ⇔有4条公切线 ⑵外切：r R d += ⇔有3条公切线 ⑶相交：r R d r R +<<- ⇔有2条公切线 ⑷内切：r R d -= ⇔有1条公切线 ⑸内含：r R d -< ⇔有0条公切线三、圆锥曲线与方程1．椭圆焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b+=>> ()222210y x a b a b+=>> 第一定义到两定点21F F 、的距离之和等于常数2a ， 即21||||2MF MF a +=（212||a F F >）第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即(01)MFe e d=<< 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A()1,0b B -、()2,0b B轴长 长轴的长2a = 短轴的长2b = 对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称2．双曲线焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 222122()F F c c a b ==-离心率 22222221(01)c c a b b e e a a a a-====-<<准线方程 2a x c=±2a y c=±焦半径 0,0()M x y 左焦半径：10MF a ex =+ 右焦半径：20MF a ex =-下焦半径：10MF a ey =+ 上焦半径：20MF a ey =-焦点三角形面积12212tan()2MF F S b F MF θθ∆==∠021s 21y c in PF PF •=••=θ 通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： ab 22焦点的位置焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b-=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 第一定义到两定点21F F 、的距离之差的绝对值等于常数2a ， 即21||||2MF MF a -=（2102||a F F <<）第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即(1)MFe e d => 范围 或x a ≤-x a ≥，y R ∈y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A轴长 实轴的长2a = 虚轴的长2b =对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称【备注】1、双曲线和其渐近线得关系：由双曲线求渐进线：x a b y a x b y a x b y b y a x b y a x ±=⇒±=⇒=⇒=-⇒=-22222222222201由渐进线求双曲线：λ=-⇒=-⇒=⇒±=⇒±=2222222222220by a x b y a x a x b y a x b y x a b y2．等轴双曲线⇔实轴和虚轴等长的双曲线⇔其离心率e ＝2⇔渐近线x ±=y⇔方程设为λ=-22y x2、求弦长的方法： ①求交点，利用两点间距离公式求弦长；②弦长公式） （消 ） （消x y y y y ky y k y x x x x k x x k l ]4))[(11(||11]4))[(1(1212212212212212212-++=-+=-++=-+=图形3.抛物线五、.直线与圆锥曲线的关系 1、直线与圆锥曲线的关系如：直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2+y 2b 2＝1 (a >b >0)的位置关系：直线与椭圆相交?⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1⇔有2组实数解，即Δ>0.直线与椭圆相切?⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1⇔有1组实数解，即Δ=0，直线与椭圆相离⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1⇔没有实数解，即Δ<【备注】（1）韦达定理（根与系数的关系）{AB x AC x C By Ax x -=+=⇔=++2121x .x 210x 的两根方程和则有21221214)(||xx x x x x -+=-（2）{b kx y bkx y +=+=1122则有下列结论b x x k y y ++=+)(2121)(2121x x k y y -=-22121221)(bx x k x x k y y +++=③、与弦的中点有关的问题常用“点差法”：把弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，作差→弦的斜率与中点的关系；0202y a x b k -=（椭圆） 0202y a x b k =（双曲线）3、关于抛物线焦点弦的几个结论（了解）设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin pAB θ=⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切；⑷ 焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为2π；⑸112.||||FA FB P +=。
圆锥曲线公式大全
（一）圆锥曲线公式大全1、椭圆的定义、椭圆的方程、椭圆的性质F1(c, 0 ), F2( c, 0 )F1(0,c, ), F2( 0, c )(a, 0 ), ( 0, b )(0, a ), ( b, 0 )2、判断椭圆是 x 型还是y 型只要看2x 对应的分母大还是2y 对应的分母大，若2x 对应的分母大则x 型，若2y 对应的分母大则y 型.3、求椭圆方程一般先判定椭圆是x 型还是y 型，若为x 型则可设为12222=+b y a x ，若为y型则可设为12222=+bx a y ，若不知什么型且椭圆过两点，则设为稀里糊涂型：221mx ny +=4、双曲线的定义、双曲线的方程、椭圆的性质双曲线定义若M 为双曲线上任意一点，则有12MF MF 2a -=(2a<2c)若12MF MF 2a -==2c,则点M 的轨迹为两条射线 若12MF MF 2a -=>2c, 则点M 无轨迹焦点位置x 轴y 轴图形方程 12222=-by a x 12222=-bx a y 焦点坐标 F1(c, 0 ), F2( c, 0 )F1(0,c, ), F2( 0, c )焦距 |F1F2| = 2c顶点坐标 (a, 0 )(0, a )a, b, c 的关系式椭圆形状长的像a,所以a 是老大，a2 = b2 + c2； 双曲线形状长的像c,所以c 是老大，c2 = a2 + b2 实轴、虚轴 实轴长=2a, 虚轴长=2b ，实半轴长=a, 虚半轴长=b 无论双曲线是x 型还是y 型，双曲线的焦点总是落在实轴上对称轴 关于x 轴、y 轴和原点对称离心率 ace =( e>1) 范围 ,a x a y R ≤≤-∈或x a y a ≤≤-或y ,x R ∈渐近线b y x a=±a y x b=±2、判断双曲线是 x 型还是y 型只要看2x 前的符号是正还是2y 前的符号是正，若2x 前的符号为正则x 型，若2y 前的符号为正则y 型，同样的，哪个分母前的符号为正，则哪个分母就为2a3、求双曲线方程一般先判定双曲线是x 型还是y 型，若为x 型则可设为12222=-by a x ，若为y 型则可设为12222=-b x a y ，若不知什么型且双曲线过两点，则设为稀里糊涂型：221(0)mx ny mn -=<6、若已知双曲线一点坐标和渐近线方程y mx =，则可设双曲线方程为222(0)y m x λλ-=≠，而后把点坐标代入求解7、椭圆、双曲线、抛物线与直线:l y kx b =+的弦长公式：AB ==8、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题出现弦的中点往往考虑用点差法 9、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题的解题步骤：（1）假化成整(把分式型的椭圆方程化为整式型的椭圆方程)，联立消y 或x (2)求出判别式，并设点使用伟大定理 （3）使用弦长公式1、抛物线的定义：平面内有一定点F 及一定直线l(F 不在l 上)P 点是该平面内一动点，当且仅当点P 到F 的距离与点P 到直线l 距离相等时，那么P 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的一条抛物线.————见距离想定义！！！2、（1）抛物线方程左边一定是x 或y 的平方（系数为1），右边一定是关于x 和y 的一次项，如果抛物线方程不，立即化为方程！（2）抛物线的一次项为x 即为x 型，一次项为y 即为y 型!(3)抛物线的焦点坐标为一次项系数的四分之一，准线与焦点坐标互为相反数！一次项为x ，则准线为”x=多少”，一次项为y ，则准线为”y=多少”!(4)抛物线的开口看一次项的符号，一次项为正，则开口朝着正半轴，一次项为负，则开口朝着负半轴！（5）抛物线的题目强烈建议画图，有图有真相，无图无真相！3、求抛物线方程，如果只知x 型，则设它为2y ax =(0)a ≠,a>o,开口朝右；a<0,开口朝左； 如果只知y 型，则设它为2(0)x ay a =≠,a>o,开口朝上；a<0,开口朝下。
圆锥曲线定比分弦长公式
圆锥曲线定比分弦长公式
圆锥曲线弦长公式：d=√(1+k2)|x1-x2|，弦长公式，在这里指直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式。
圆锥曲线是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一些曲线，如：椭圆，双曲线，抛物线等。
关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x（或关于y）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。