最新人教版高中数学必修三测试题及答案全套

最新人教版高中数学必修三测试题及答案全套
阶段质量检测（一）
（A 卷 学业水平达标） (时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．下列给出的赋值语句正确的有( ) ①2＝A ； ②x ＋y ＝2； ③A －B ＝－2； ④A ＝A *A
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
解析：选B 对于①，赋值语句中“＝”左右不能互换，即不能给常量赋值，左边必须为变量，右边必须是表达式，若改写为A ＝2就正确了；②赋值语句不能给一个表达式赋值，所以②是错误的，同理③也是错误的，这四种说法中只有④是正确的．
2．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是( )
a ＝1
b ＝3a ＝a ＋b b ＝a －b
PRINT a ，b
A ．1 3
B ．4 1
C ．0 0
D ．6 0
解析：选B 输出a ＝1＋3＝4，b ＝4－3＝1. 3．把二进制数10 110 011(2)化为十进制数为( ) A ．182 B ．181 C ．180
D ．179
解析：选D 10 110 011(2)＝1×27＋0×26＋1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝128＋32＋16＋2＋1＝179.
4．下图是计算函数y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x ， x ≤－1，0， －1＜x ≤2
x 2， x ＞2的值的程序框图，则在①、②和③处应分别填入的是
( )
A．y＝－x，y＝0，y＝x2
B．y＝－x，y＝x2，y＝0
C．y＝0，y＝x2，y＝－x
D．y＝0，y＝－x，y＝x2
解析：选B当x＞－1不成立时，y＝－x，故①处应填“y＝－x”；当x＞－1成立时，若x＞2，则y＝x2，即②处应填“y＝x2”，否则y＝0，即③处应填“y＝0”．
5．下面的程序运行后的输出结果为()
A．17 B．19
C．21 D．23
解析：选C第一次循环，i＝3，S＝9，i＝2；
第二次循环，i＝4，S＝11，i＝3；
第三次循环，i＝5，S＝13，i＝4；
第四次循环，i＝6，S＝15，i＝5；
第五次循环，i＝7，S＝17，i＝6；
第六次循环，i＝8，S＝19，i＝7；
第七次循环，i＝9，S＝21，i＝8.
此时i＝8，不满足i＜8，故退出循环，输出S＝21，结束．
6．下面的程序运行后，输出的值是( )
i ＝0DO
i ＝i ＋1
LOOP UNTIL 2^i ＞2 000 i ＝i －1PRINT i END
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
解析：选C 由题意知，此程序为循环语句，当i ＝10时，210＝1 024；当i ＝11时，211＝2 048＞2 000，输出结果为i ＝11－1＝10.
7．下列程序框图运行后，输出的结果最小是( )
A ．2 015
B ．2 014
C ．64
D ．63
解析：选D 由题图知，若使n (n ＋1)2
＞2 015，n 最小为63.
8．(全国甲卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的
x
＝2，n ＝2，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s ＝( )
A ．7
B ．12
C．17 D．34
解析：选C第一次运算：s＝0×2＋2＝2，k＝1；第二次运算：s＝2×2＋2＝6，k＝2；第三次运算：s＝6×2＋5＝17，k＝3>2，结束循环，s＝17.
9．执行如图所示的程序框图，输出的结果为()
A．55 B．89
C．144 D．233
解析：选B初始值：x＝1，y＝1，第1次循环：z＝2，x＝1，y＝2；第2次循环：z＝3，x＝2，y ＝3；第3次循环：z＝5，x＝3，y＝5；第4次循环：z＝8，x＝5，y＝8；第5次循环：z＝13，x＝8，y ＝13；第6次循环：z＝21，x＝13，y＝21；第7次循环：z＝34，x＝21，y＝34；第8次循环：z＝55，x ＝34，y＝55；第9次循环：z＝89，x＝55，y＝89；第10次循环时z＝144，循环结束，输出y，故输出的结果为89.
10.(四川高考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为()
A．9B．18
C．20 D．35
解析：选B由程序框图知，初始值：n＝3，x＝2，v＝1，i＝2，
第一次循环：v＝4，i＝1；
第二次循环：v＝9，i＝0；
第三次循环：v＝18，i＝－1.
结束循环，输出当前v的值18.故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．459与357的最大公约数是________．
解析：459＝357×1＋102,357＝102×3＋51,102＝51×2，所以459与357的最大公约数为51. 答案：51
12．对任意非零实数a ，b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则log 28⊗⎝⎛⎭⎫12－2
＝________.
解析：log 28＜⎝⎛⎭⎫12－2，
由题图，知log 28⊗⎝⎛⎭⎫12－2＝3⊗4＝4－13＝1.
答案：1
13．(山东高考)执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________．
解析：第1次循环：a ＝0＋1＝1，b ＝9－1＝8，a ＜b ，此时i ＝2； 第2次循环：a ＝1＋2＝3，b ＝8－2＝6，a ＜b ，此时i ＝3； 第3次循环：a ＝3＋3＝6，b ＝6－3＝3，a ＞b ，输出i ＝3. 答案：3
14．(天津高考改编)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为________．
解析：S＝4不满足S≥6，S＝2S＝2×4＝8，n＝1＋1＝2；
n＝2不满足n＞3，S＝8满足S≥6，则S＝8－6＝2，n＝2＋1＝3；
n＝3不满足n＞3，S＝2不满足S≥6，则S＝2S＝2×2＝4，
n＝3＋1＝4；
n＝4满足n＞3，输出S＝4.
答案：4
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤．)
15．(本小题满分12分)如图是求1＋1
2＋
1
3＋…＋
1
100的算法的程序框图．
(1)标号①②处应分别是什么？
(2)根据框图用“当”型循环语句编写程序．解：(1)①k＜101？(k＜＝100？)
②S＝S＋1
k. (2)程序如下：
16．(本小题满分12分)以下是一个用基本算法语句编写的程序，根据程序画出其相应的程序框图．
解：算法语句每一步骤对应于程序框图的步骤，其框图如下：
17．(本小题满分12分)画出求12－22＋32－42＋…＋992－1002的值的程序框图．
解：程序框图如图所示：
18．(本小题满分14分)已知某算法的程序框图如图所示，若将输出的(x，y)值依次记为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)．
(1)若程序运行中输出的一个数组是(9，t)，求t的值；
(2)程序结束时，共输出(x，y)的组数为多少？
(3)写出程序框图的程序语句．
解：(1)由程序框图知：当x＝1时，y＝0；当x＝3时，y＝－2；当x＝9时，y＝－4，所以t＝－4；
(2)当n＝1时，输出一对，当n＝3时，又输出一对，…，当n＝2 015时，输出最后一对，共输出(x，y)的组数为1 007；
(3)程序框图的程序语句如下：
（B卷能力素养提升）
（时间90分钟，满分120分）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．算法的每一步都应该是确定的，能有效执行的，并且得到确定的结果，这是指算法的( ) A ．有穷性 B ．确定性 C ．普遍性 D ．不唯一性 答案：B
2．已知函数y ＝⎩⎨⎧
x ，x ≥0，
x ＋1，x <0，
输入自变量x 的值，输出对应的函数值．设计程序框图时，需用到的
基本逻辑结构是( )
A ．顺序结构
B ．条件结构
C ．顺序结构、条件结构
D ．顺序结构、循环结构 答案：C
3．用“辗转相除法”求得360和504的最大公约数是( ) A ．72 B ．36 C ．24
D ．2520
解析：选A 504＝360×1＋144,360＝72×5＋0，故最大公约数是72. 4．若十进制数26等于k 进制数32，则k 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6
D ．8
解析：选D 由题意知，26＝3×k 1＋2，解得k ＝8.
5．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( )
A ．3
B ．11
C ．38
D ．123
解析：选B 根据框图可知第一步的运算为：a ＝1＜10，满足条件，可以得到a ＝12＋2＝3，又因为
a＝3＜10，满足条件，所以有a＝32＋2＝11，因为a＝11＞10，不满足条件，输出结果a＝11.
6．对于下列算法：
如果在运行时，输入2，那么输出的结果是()
A．2,5 B．2,4
C．2,3 D．2,9
解析：选A本题主要考查条件语句的应用．输入a的值2，首先判断是否大于5，显然2不大于5，然后判断2与3的大小，显然2小于3，所以结果是b＝5，因此结果应当输出2,5.
7．根据下面的算法，可知输出的结果S为()
第一步，i＝1；
第二步，判断i＜10是否成立，若成立，则i＝i＋2，S＝2i＋3，重复第二步，否则执行下一步；
第三步，输出S.
A．19 B．21
C．25 D．27
解析：选C该算法的运行过程是：
i＝1，
i＝1<10成立，
i＝1＋2＝3，
S＝2×3＋3＝9，
i＝3<10成立，
i＝3＋2＝5，
S＝2×5＋3＝13，
i＝5<10成立，
i＝5＋2＝7，
S＝2×7＋3＝17，
i＝7<10成立，
i＝7＋2＝9，
S＝2×9＋3＝21，
i＝9<10成立，
i＝9＋2＝11，
S＝2×11＋3＝25，
i＝11<10不成立，
输出S＝25.
8．按下列程序运行的结果是()
A．10.5 B．11.5
C．16 D．25
解析：选D A＝4.5，第一个条件结构中的条件不满足，则B＝6－3＝3，B＝3＋2＝5；而第二个条件结构中的条件满足，则B＝5×5＝25，所以运行结果为25.
9．如图是求x1，x2，…，x10的乘积S的程序框图，图中空白框中应填入的内容为()
A．S＝S*(n＋1)
B．S＝S*x n＋1
C．S＝S*n
D．S＝S*x n
解析：选D由题意知，由于求乘积，故空白框中应填入S＝S*x n.
10．(全国卷Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝()
A．0 B．2
C．4 D．14
解析：选B a＝14，b＝18.
第一次循环：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；
第二次循环：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；
第三次循环：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；
第四次循环：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；
第五次循环：2≠4且2<4，b＝4－2＝2；
第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2，故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．将二进制数110 101(2)化成十进制数，结果为________，再转为七进制数，结果为________．解析：110 101＝1×25＋1×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1
＝32＋16＋0＋4＋0＋1＝53.
110 101(2)＝104(7)．
答案：53104(7)
12．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是________．
解析：第一次进入循环体有T ＝0＋0，第二次有T ＝0＋1，第三次有T ＝0＋1＋2，……，第n 次有T ＝0＋1＋2＋…＋n －1(n ＝1,2,3，…)，令T ＝n (n －1)
2
>105，解得n>15，故n ＝16，k ＝15.
答案：15
13．输入8，下列程序执行后输出的结果是________．
解析：∵输入的数据为8，t ≤4不成立， ∴c ＝0.2＋0.1(8－3)＝0.7. 答案：0.7
14．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为________．
解析：第1次循环：s ＝1＋(1－1)＝1，i ＝1＋1＝2；第2次循环：s ＝1＋(2－1)＝2，i ＝2＋1＝3；第3次循环：s ＝2＋(3－1)＝4，i ＝3＋1＝4；第4次循环：s ＝4＋(4－1)＝7，i ＝4＋1＝5.循环终止，输出s 的值为7.
答案：7
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)阅读下列两个程序，回答问题． ①x ＝3 y ＝4 x ＝y PRINT x ，y END
(1)上述两个程序的运行结果是：
①________________；②_____________________________________________. (2)上述两个程序中的第三行有什么区别？ 解：(1)两个程序的运行结果是①4 4；②3 3；
(2)程序①中的x ＝y 是将y 的值4赋给x ，赋值后，x 的值变为4，程序②中的y ＝x 是将x 的值3赋给y ，赋值后y 的值变为3.
16．(本小题满分12分)用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x ，当x ＝3时的值．
解：f (x )＝((((((7x ＋6)x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)x ， v 0＝7，
v 1＝7×3＋6＝27， v 2＝27×3＋5＝86， v 3＝86×3＋4＝262， v 4＝262×3＋3＝789， v 5＝789×3＋2＝2 369， v 6＝2 369×3＋1＝7 108， v 7＝7 108×3＋0＝21 324， ∴f (3)＝21 324.
17．(本小题满分12分)在音乐唱片超市里，每张唱片售价25元，顾客购买5张(含5张)以上但不足10张唱片，则按九折收费，顾客购买10张以上(含10张)唱片，则按八五折收费，编写程序，输入顾客购买唱片的数量a ，输出顾客要缴纳的金额C .并画出程序框图．
②x ＝3 y ＝4 y ＝x PRINT x ，y
END
解：由题意得C ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
25a ，a <5，22.5a ，5≤a ＜10，
21.25a ，a ≥10.
程序框图，如图所示：
程序如下：
18．(本小题满分14分)设计一个算法，求f(x)＝x 6＋x 5＋x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1，当x ＝2时的函数值，要求画出程序框图，并写出程序．
解：则程序框图为：
程序为：
S ＝0
i ＝0
WHILE i ≤6S ＝S ＋2^i i ＝i ＋1WEND PRINT S END
阶段质量检测（二）
（A 卷 学业水平达标） (时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查．则这两种抽样的方法依次是( )
A ．分层抽样，简单随机抽样
B ．简单随机抽样，分层抽样
C ．分层抽样，系统抽样
D ．简单随机抽样，系统抽样
解析：选D 由抽样方法的概念知选D.
2．将某班的60名学生编号为01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是( )
A ．09,14,19,24
B ．16,28,40,52
C ．10,16,22,28
D ．08,12,16,20
解析：选B 分成5组，每组12名学生，按等间距12抽取．选项B 正确．
3．某学校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n 的样本，若女学生一共抽取了80人，则n 的值为( )
A ．193
B ．192
C ．191
D ．190
解析：选B 1 000×
n
200＋1 200＋1 000
＝80，求得n ＝192.
4．某商品的销售量y (件)与销售价格x (元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^
＝－10x ＋200，则下列结论正确的是( )
A ．y 与x 具有正的线性相关关系
B ．若r 表示变量y 与x 之间的线性相关系数，则r ＝－10
C ．当销售价格为10元时，销售量为100件
D ．当销售价格为10元时，销售量在100件左右
解析：选D y 与x 具有负的线性相关关系，所以A 项错误；当销售价格为10元时，销售量在100件左右，因此C 错误，D 正确；B 项中－10是回归直线方程的斜率．
5．设有两组数据x 1，x 2，…，x n 与y 1，y 2，…，y n ，它们的平均数分别是x 和y ，则新的一组数据2x 1－3y 1＋1,2x 2－3y 2＋1，…，2x n －3y n ＋1的平均数是( )
A ．2x －3y
B ．2x －3y ＋1
C ．4x －9y
D ．4x －9y ＋1
解析：选B 设z i ＝2x i －3y i ＋1(i ＝1,2，…，n )，
则z ＝1n (z 1＋z 2＋…＋z n )＝2n (x 1＋x 2＋…＋x n )－3
n (y 1＋y 2＋…＋y n )＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1＋…＋1n ＝2x －3y ＋1.
6．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是( )
A ．85,85,85
B ．87,85,86
C ．87,85,85
D ．87,85,90
解析：选C ∵得85分的人数最多为4人，
∴众数为85，中位数为85，平均数为1
10
(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87.
7．某出租汽车公司为了了解本公司司机的交通违章情况，随机调查了50名司机，得的他们某月交通违章次数的数据制成了如图所示的统计图，根据此统计图可得这50名出租车司机该月平均违章的次数为( )
A ．1
B ．1.8
C ．2.4
D ．3
解析：选B
5×0＋20×1＋10×2＋10×3＋5×4
50
＝1.8.
8．下表是某厂1～4月份用水量情况(单位：百吨)的一组数据：
用水量y 与月份x 之间具有线性相关关系，其线性回归方程为y ＝－0.7x ＋a ，则a 的值为( ) A ．5.25 B ．5 C ．2.5
D ．3.5
解析：选A 线性回归方程经过样本的中心点，根据数据可得样本中心点为(2.5,3.5)，所以a ＝5.25. 9．在元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A.84,4.84 B ．84,1.6 C ．85,1.6
D ．85,4
解析：选C 去掉一个最高分93，去掉一个最低分79，平均数为1
5×(84＋84＋86＋84＋87)＝85，方
差为1
5
[(85－84)2＋(85－84)2＋(85－86)2＋(85－84)2＋(85－87)2]＝1.6.
10．图甲是某县参加2017年高考学生的身高条形统计图，从左到右各条形表示的学生人数依次记为A 1，A 2，…，A 10{如A 2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数}，图乙是统计图甲中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180 cm(含160 cm ，不含180 cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是( )
A ．i ＜6?
B ．i ＜7?
C ．i ＜8?
D ．i ＜9?
解析：选C 由图甲可知身高在160～180 cm 的学生都在A 4～A 7内，∴i ＜8. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为____件．
解析：设乙设备生产的产品总数为x 件， 则
4 800－x 50＝x
80－50
，解得x ＝1 800，故乙设备生产的产品总数为1 800件． 答案：1 800
12．一个容量为40的样本数据分组后组数与频数如下：[25,25.3)，6；[25.3,25.6)，4；[25.6,25.9)，10；[25.9,26.2)，8；[26.2,26.5)，8；[26.5,26.8)，4，则样本在[25,25.9)上的频率为________．
解析：[25,25.9)包括[25,25.3)，6；[25.3,25.6)，4；[25.6,25.9)，10；频数之和为20，频率为2040＝12.
答案：12
13．要考察某种品牌的500颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验，利用随机数表法抽取种子时，先将500颗种子按001,002，…，500进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数3开始向右读，请你依次写出最先检测的5颗种子的编号：____________________，
_______，_______，_______，_______. (下面摘取了随机数表第7行至第9行) 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
解析：选出的三位数分别为331,572,455,068,877,047,447，…，其中572,877均大于500，将其去掉，剩下的前5个编号为331,455,068,047,447.
答案：331 455 068 047 447
14．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如下图)．由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为________．
解析：∵0.005×10＋0.035×10＋a ×10＋0.020×10＋0.010×10＝1， ∴a ＝0.030.
设身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生分别有x ，y ，z 人，则x
100＝0.030×10，解得x ＝
30.同理，y ＝20，z ＝10.
故从[140,150]的学生中选取的人数为10
30＋20＋10
×18＝3.
答案：0.030 3
三、解答题(本大题共4题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15．(本小题满分12分)某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量(单位：kg)，分别记录抽查数据如下：
甲：102,101,99,98,103,98,99； 乙：110,115,90,85,75,115,110. (1)这种抽样方法是哪一种方法？
(2)试计算甲、乙车间产品重量的平均数与方差，并说明哪个车间产品较稳定？ 解：(1)甲、乙两组数据间隔相同，所以采用的方法是系统抽样法． (2)x 甲＝
1
7
(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100， x
乙＝
1
7
(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100， s 2甲＝17
(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43， s 2乙＝17
(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100)＝228.57， ∴s 2甲＜s 2乙
，故甲车间产品比较稳定． 16．(本小题满分12分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
(1)求出表中M ，p 及图中a 的值；
(2)若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10,15)的人数． 解：由分组[10,15)的频数是10，频率是0.25， 知10
M ＝0.25，所以M ＝40.
因为频数之和为40，所以10＋25＋m ＋2＝40，解得m ＝3.故p ＝3M ＝3
40＝0.075.
因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商， 所以a ＝25
40×5
＝0.125.
(2)因为该校高一学生有360人，分组[10,15)的频率是0.25，所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.25＝90.
17．(本小题满分12分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ＝b x ＋a ； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2016年的粮食需求量．
解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的．对数据预处理如下：
对预处理后的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2，
b ^＝(－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×2942＋22＋22＋42
＝
260
40
＝6.5. a ^＝y －b ^
x ＝3.2.
由上述计算结果知所求回归直线方程为 y ^－257＝b ^(x －2 010)＋a ^
＝6.5(x －2 010)＋3.2. 即y ^
＝6.5(x －2 010)＋260.2.①
(2)利用直线方程①，可预测2016年的粮食需求量为 6．5×(2 016－2 010)＋260.2 ＝6.5×6＋260.2 ＝299.2(万吨)．
18．(本小题满分14分)(四川高考)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)．将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中a 的值；
(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； (3)估计居民月均用水量的中位数．
解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]内的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06,0.04,0.02.
由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝2a ×0.5， 解得a ＝0.30.
(2)由(1)知，该市100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.
由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000. (3)设中位数为x 吨．
因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73＞0.5，
而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48＜0.5，所以2≤x＜2.5.
由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．
（B卷能力素养提升）
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．我校在检查学生作业时，抽出每班学号尾数为5的学生作业进行检查，这里运用的是() A．分层抽样B．抽签抽样
C．随机抽样D．系统抽样
答案：D
2．下列各选项中的两个变量具有相关关系的是()
A．长方体的体积与边长
B．大气压强与水的沸点
C．人们着装越鲜艳，经济越景气
D．球的半径与表面积
解析：选C A、B、D均为函数关系，C是相关关系．
3．为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省(市)的2 500名城镇居民．这2 500名城镇居民的寿命的全体是()
A．总体B．个体
C．样本D．样本容量
答案：C
4．已知总体容量为106，若用随机数表法抽取一个容量为10的样本．下面对总体的编号最方便的是()
A．1,2，…，106 B．0,1,2，…，105
C．00,01，…，105 D．000,001，…，105
解析：选D由随机数抽取原则可知选D.
5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为()
A ．18
B ．36
C ．54
D ．72
解析：选B 易得样本数据在区间[10,12)内的频率为0.18，则样本数据在区间[10,12)内的频数为36. 6．对一组数据x i (i ＝1,2,3，…，n )，如果将它们改变为x i ＋c (i ＝1,2,3，…，n )，其中c ≠0，则下面结论中正确的是( )
A ．平均数与方差均不变
B ．平均数变了，而方差保持不变
C ．平均数不变，而方差变了
D ．平均数与方差均发生了变化
解析：选B 设原来数据的平均数为x －，将它们改变为x i ＋c 后平均数为x ′，则x ′＝x －
＋c ，而方差s ′2＝1n
[(x 1＋c －x －－c )2＋…＋(x n ＋c －x －
－c )2]＝s 2.
7．某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x ＋y 的值为( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
解析：选B 甲班学生成绩的众数为85，结合茎叶图可知x ＝5；又因为乙班学生成绩的中位数是83，所以y ＝3，即x ＋y ＝5＋3＝8.
8．相关变量x ，y 的样本数据如下表：
经回归分析可得y 与x 线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为y ^
＝1.1x ＋a ，则a ＝( ) A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3
D ．0.4 解析：选C ∵回归直线经过样本点的中心(x ，y )，且由题意得(x ，y )＝(3,3.6)，∴3.6＝1.1×3＋a ，∴a ＝0.3.
9．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数是3.2，全年进球数的标准差为3；乙队平均每场进球数是1.8，全年进球数的标准差为0.3.下列说法中，正确的个数为( )
①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；
③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：选D因为甲队的平均进球数比乙队多，所以甲队技术较好，①正确；乙队的标准差比甲队小，标准差越小越稳定，所以乙队发挥稳定，①也正确；乙队平均每场进球数为1.8，所以乙队几乎每场都进球，①正确；由于s甲＝3，s乙＝0.3，所以甲队与乙队相比，不稳定，所以甲队的表现时好时坏，①正确．
10．已知数据：①18,32，－6,14,8,12；②21,4,7,14，－3,11；③5,4,6,5,7,3；④－1,3,1,0,0，－3.各组数据中平均数和中位数相等的是()
A．①B．②
C．③D．①②③④
解析：选D运用计算公式x＝1
n(x1＋x2＋…＋x n)，可知四组数据的平均数分别为13,9,5,0.根据中位数的定义：把每组数据从小到大排列，取中间一位数(或两位的平均数)即为该组数据的中位数，可知四组数据的中位数分别为13,9,5,0.故每组数据的平均数和中位数均对应相等．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．
解析：由分层抽样得，此样本中男生人数为560×280
560＋420
＝160.
答案：160
12．(山东高考)下图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]．样本数据的分组为[20.5，21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，
[24.5，25.5)，[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于
25.5 ℃的城市个数为________．
解析：设样本容量为n，则n×(0.1＋0.12)×1＝11，所以n＝50，故所求的城市数为50×0.18＝9.
答案：9
13．(江苏高考)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：
解析：对于甲，平均成绩为x －
＝90，所以方差为s 2＝15×[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2
＋(93－90)2]＝4，对于乙，平均成绩为x －
＝90，方差为s 2＝15×[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2
＋(92－90)2]＝2.由于2<4，所以乙的平均成绩较为稳定．
答案：2
14．某班12位学生父母年龄的茎叶图如图所示，则12位同学母亲的年龄的中位数是________，父亲的平均年龄比母亲的平均年龄多________岁.
解析：由41＋43
2＝42，得中位数是42.
母亲平均年龄＝42.5， 父亲平均年龄为45.5，
因而父亲平均年龄比母亲平均年龄多3岁． 答案：42 3
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)某花木公司为了调查某种树苗的生长情况，抽取了一个容量为100的样本，测得树苗的高度(cm)数据的分组及相应频数如下：
[107,109)3株；[109,111)9株；[111,113)13株； [113,115)16株；[115,117)26株；[117,119)20株； [119,121)7株；[121,123)4株；[123,125]2株． (1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方图；
(3)据上述图表，估计数据在[109,121)范围内的可能性是百分之几？ 解：
(2)频率分布直方图如下：
(3)由上述图表可知数据落在[109,121)范围内的频率为：0.94－0.03＝0.91，即数据落在[109,121)范围内的可能性是91%.
16．(本小题满分12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 (1)用茎叶图表示这两组数据；
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由？
解：(1)作出茎叶图如下：
(2)x 甲＝1
8(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，
x 乙＝1
8
(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85.
s 2甲＝18[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2
]＝35.5，
s 2乙＝18[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2
]＝41， ∵x
甲＝
x 乙，s 2甲<s 2
乙，
∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．
17．(本小题满分12分)某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y (元)与该周每天销售这些服装件数x 之间有如下一组数据：
已知∑
i ＝17
x 2i ＝280，∑
i ＝1
7
x i y i ＝3 487， (1)求x ，y ；
(2)求纯利y 与每天销售件数x 之间的回归直线方程； (3)每天多销售1件，纯利y 增加多少元？ 解：(1)x ＝1
7(3＋4＋5＋…＋9)＝6，
y ＝1
7(66＋69＋…＋91)≈79.86.
(2)设回归直线方程为y ^＝a ^＋b ^
x ，
则b ^＝
∑i ＝17
x i y i －7x － y
－
∑i ＝1
7
x 2i －7x
2
＝
3 487－7×6×79.86
280－7×6
2≈4.75. a ^＝y －b x －
≈79.86－4.75×6＝51.36. ∴所求的回归直线方程为y ^
＝51.36＋4.75x .
(3)由回归直线方程知，每天多销售1件，纯利增加4.75元．
18．(本小题满分14分)某地统计局就该地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000，1 500))．
(1)求居民月收入在[3 000,3 500)的频率； (2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；
(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2 500，3 000)的这段应抽多少人？
解：(1)月收入在[3 000,3 500)的频率为0.000 3×(3 500－3 000)＝0.15. (2)∵0.000 2×(1 500－1 000)＝0.1， 0．000 4×(2 000－1 500)＝0.2， 0．000 5×(2 500－2 000)＝0.25， 0．1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5.
∴样本数据的中位数为2 000＋0.5－(0.1＋0.2)
0.000 5＝2 000＋400＝2 400(元)．
(3)居民月收入在[2 500,3 000)的频率为0.000 5×(3 000－2 500)＝0.25， 所以10 000人中月收入在[2 500,3 000)的人数为0.25×10 000＝2 500(人)．
再从10 000人中分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2 500，3 000)的这段应抽取100×2 500
10 000＝
25(人)．
阶段质量检测（三）
（A 卷 学业水平达标） (时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( ) A ．对立事件 B ．互斥但不对立事件 C ．不可能事件
D ．必然事件
解析：选B 根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分
得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．
2．已知集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( ) A.2
3 B ．1
2
C.1
3
D ．16
解析：选C 从A ，B 中各取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6种情况，其中和为4的有(2,2)，(3,1)，共2种情况，所以所求概率P ＝26＝1
3
.
3．在区间[－3,3]上任取一个实数，所得实数是不等式x 2＋x －2≤0的解的概率为( ) A.16 B ．13
C.12
D ．23
解析：选C 由x 2＋x －2≤0，得－2≤x ≤1， 所求概率为1－(－2)3－(－3)＝1
2
.
4．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中随机取点，则点落在四棱锥O ­ABCD 内(O 为正方体的对角线的交点)的概率是( )
A.13 B ．16
C.12
D ．14
解析：选B 设正方体的体积为V ，则四棱锥O ­ABCD 的体积为V
6，所求概率为V 6V ＝16
.
5．从{}a ，b ，c ，d ，e 的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{}a ，b ，c 子集的概率是( ) A.3
5 B ．25
C.14
D ．18
解析：选C 符合要求的是∅，{}a ，{}b ，{}c ，{
}a ，b ，{}a ，c ，{}b ，c ，{}
a ，
b ，
c 共8个，而集合{}
a ，
b ，
c ，
d ，
e 共有子集25＝32个，∴P ＝1
4
.
6．(全国乙卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则
红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13
B.12
C.23
D.56
解析：选C 从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P ＝46＝2
3
，故选C.
7．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点P (m ，n )的坐标，那么点P 在圆x 2＋y 2＝17内部的概率是( )
A.19 B ．29
C.13
D ．49
解析：选B 点P (m ，n )的坐标的所有可能为6×6＝36种，而点P 在圆
x 2＋y 2＝17
内部只有⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝1
n ＝1
，
⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3n ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝3n ＝2
，共8种，故概率为2
9
.
8．甲、乙、丙三人在3天节假日中值班，每人值班1天，则甲排在乙的前面值班的概率是( ) A.1
6 B ．14
C.13 D ．12
解析：选C 甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为甲，乙，丙；甲，丙，乙；丙，甲，乙；丙，乙，甲；乙，甲，丙；乙，丙，甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率为1
3
.
9．一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个卡片，从中无放回．．．地每次抽一张卡片，共抽2次，则取得两张卡片的编号和不小于．．．14的概率为( )
A.128 B ．156
C.356
D ．
114 解析：选D 从中无放回地取2次，所取号码共有56种，其中和不小于14的有4种，分别是(6,8)，(8,6)，(7,8)，(8,7)，故所求概率为456＝1
14
.
10．小莉与小明一起用A ，B 两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)玩游戏，以小莉掷的A 立方体朝上的数字为x ，小明掷的B 立方体朝上的数字为y 来确定点P (x ，y )，那么他们各。