二次函数复习重点以及根的分布问题

初三数学培优卷：二次函数考点分析

★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点： 开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点． ★★二次函数y=ax 2

+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0） 一般式：y=ax 2

+bx+c ，三个点

顶点式：y=a （x －h ）2

+k ，顶点坐标对称轴

顶点坐标（－2b a ，2

44ac b a

-）．

顶点坐标（h ，k ） ★★★a b c 作用分析

│a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大，

a ，

b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－2b

a

<0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b•异号时，对称轴x=－

2b

a

>0，即对称轴在y 轴右侧，

c•的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y 轴交于正半轴；c<0时，与y•轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出． 交点式：y=a(x- x 1)(x- x 2)，（有交点的情况） 与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2 对称轴为2

2

1x x h +=

一元二次方程02

=++c bx ax 根的分布情况

设方程()2

00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，

方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）

表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）

k k k

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）

需满足的条件是

（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨

<⎪⎩； （2）0a <时，()()0

f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：

1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，

可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m ，由2

13m

<<得

2

23

m <<即为所求； 2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数

的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程

24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。分析：①由()()300f f -<即

()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或3

2m =，当

1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =

时，根()33,0x =∉-，故3

2

m =不满足题意；综上分析，得出15

314

m -<<-或1m =-

例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

例2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。

例3、已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。

例4、已知二次方程()22340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。

1.解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得1

12

m -<<即为所求的范围。 2解：由

()()0102200m f ∆>⎧⎪

-+⎪->⎨

⎪>⎪⎩

⇒ ()2

18010m m m m ⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩ ⇒

330m m m ⎧<->+⎪⎨>⎪⎩⇒

03m <<-

3m >+

3解：由 ()()210m f +< 即 ()()2210m m ++< ⇒ 1

22

m -<<

即为所求的范围。 4解：由题意有方程在区间()0,1上只有一个正根，则()()010f f < ⇒ ()4310m +< ⇒ 1

3

m <-即为所求范围。

（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在()0,1内，由0∆=计算检验，均不复合题意，计算量稍大）