高中数学二项分布及其应用

二项分布及其应用

二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有着重要的地位：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生K 次的概率为

P(X=k)=C n k p k (1-p)n-k ,k=0,1,2,…,n ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B(n,p)，并称p 为成功概率。

二项分布是一种常见的重要离散型随机变量分布列，其识别特点主要有两点：其一是概率的不变性；其二是试验的可重复性，下面加以例谈。

例题1 某车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立的。现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50千瓦电力，这10台机床能够不因电力不足而无法工作的概率为多大？在一个工作班的8小时内，不能正常工作的时间大约是多少？

解析：设10台机床中实际开动的机床数为随机变量ξ，由题意知满足二项分布，即ξ～B （10，p ），其中p 是每台机床开动的概率，p=5

16012= ,从而)10,2,1,0()5

4()51()(1010 ===-k C k P k k k ξ ， 50千瓦电力可同时供5台机床同时开动，因而10台中同时开动数不超过5台都可以正常工作，这一事件的概率

5

5510644107331082210911010010)5

4()51()54()51()54()51()54()51()54)(51()54()5(C C C C C C P +++++=≤ξ994.0≈。

由以上知，在电力供应为50千瓦的条件下，机床不能正常工作的概率仅为0.006，从而一个工作班的8小时内不能正常工作的时间大约为8×60×0.006=2.88（分钟），这说明，10台机床的工作基本不受电力供应紧张的影响。

例题2 有两袋相同的球，每袋中各有n 个，一个人随意从任一袋中一个一个地取球，经过一段时间以后，他发现有一袋球空了，求这时另一袋中还剩r (r=0,1,2, … ,n)个球的概率。

解析：将每次取出一个球看作一次独立试验，每次试验有两个可能的结果：取的是第一袋的球或者是第二袋的球，它们出现的概率均是2

1。由于两袋球共有2n 个，当第一袋的球被取空、第二袋里还剩r 个时，共取了2n-r 个 ，概率应为

n r n r n n r n n r n n r n C C n P 222222)2

11()21()(------=-= 点评：公式k n k k

n n p p C k P --=)1()(，是n 次独立试验中某事件A 恰好发生k 次的概率，其中n 是重复试验的次数，p 是在一次试验中该事件A 发生的概率，k 是n 次独立重复试验中事件A 恰好发生的次数。弄清公式中这些量的意义，才能正确使用这一公式求解。

同步测试：

1、 下面关于X ～B(n,p)的叙述：

① p 表示一次试验事件发生的概率；

② n 表示独立重复试验的总次数；

③ n=1时，二项分布退化为两点分布；

④ 随机变量X 的取值是小于等于n 的所有正整数。

正确的项数为（ ）

A ．1 B.2 C.3 D.4

2、将一枚骰子连掷5次，出现k 次偶数点的概率等于出现k+1次偶数点的概率，那么k 的值为（ ）

A ．0 B.1 C.2 D.3

3、如果X ～B(n,p)，其中0

A ．只有一个 B.有两个 C.n 为奇数时有两个 D 当(n+1)p 为正整数时有两个

4、有一袋玉米种子，因放置时间较长，发芽率只有80%，播种时每穴中放4粒种子，求每穴有两棵以上苗的概率。

答案与提示：

1、 答案C 。由定义易知①②④；

2、 答案C 。代入公式k n k k n n p p C k P --=)1()(即可求得；

3、 答案D 。由)

1()1(1)1()1()1()(p k k p n p k p k n k X P k X P --++=-+-=-==， 因此，当);1()()1(-=>=+

当);1()()1(-===+=k X P k X P p n k 时，

当);1()()1(-=<=+>k X P k X P p n k 时，

故（n+1）p 为整数时，有两个最大值；（n+1）p 不为整数时，有一个最大值。

4、 间接求解：P=P （X ≥2）

=1- P （X ≤1）

=1-C 41×0.8×0.23 - C 40×0.80×0.24

=0.9728都是“定义域”惹的祸

函数三要素中，定义域是十分重要的，研究函数的性质时应首先考虑其定义域．在求解函数有关问题时，若忽视定义域，便会直接导致错解．下面我们举例分析错从何起．

一、求函数解析式时

例1．已知x x x f 2)1(+=+，求函数)(x f 的解析式 .

错解：令1+=

x t ，则1-=t x ，2)1(-=t x ，

1)1(2)1()(22-=-+-=∴t t t t f ，1)(2-=∴x x f 剖析：因为x x x f 2)1(+=+隐含着定义域是0≥x ，所以由1+=

x t 得1≥t ，

1)(2-=∴t t f 的定义域为1≥t ，即函数)(x f 的解析式应为1)(2-=x x f （1≥x ） 这样才能保证转化的等价性. 正解：由x x x f 2)1(+=+，令1+=x t 得1≥t ，()2

1-=∴t x 代入原解析式得

1)(2-=t t f （1≥t ），即1)(2-=x x f （1≥x ）． 二、求函数最值（或值域）时