第1、2节 正数和负数;有理数

第1、2节正数和负数；有理数
基本知识点：
一、正负数：像8、9651、723这样大于0的数叫做正数，像－5、－352、－963485这样在正数前面加上“－”（负）号的数叫做负数。

有时在正数前面也加上“＋”（正）号，一个数前面的“＋”“－”叫做它的符号。

注意：1、正、负数仅是为了用来区分具有相反意义的量或者说只有一对具有相反意义的量才能用正数、负数来表示，哪种意义为正或负，是可以任意选择的。

2、数0既不是正数，也不是负数。

二、有理数：正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

三、有理数的分类：
有理数整数
正整数
零
负整数
分数
正分数
负分数
有理数
正有理数
负有理数
负整数
负分数
零
正整数
正分数
(1)(2)
注意：
●有理数中的分数是可以化成有限小数或者无限循环小数的。

●无理数是无限不循环小数和开方开不尽的数.如圆周率π、√3等。

●自然数：0和正整数。

●实数分为：有理数和无理数
四、初中所说的数（改变小学对数的观念）
1、整数和分数：整数包括正整数、零和负整数，分数包括正分数和负分数。

2、奇数和偶数：奇数包括正奇数和负奇数，偶数包括正偶数、负偶数和零三部分。

3、数“0”的意义发生了变化：“0”就不仅只表示“没有”了，也不再表示最小的数了，“0”既不是正数，也不是负数，而是介于正数和负数之间的中性数。

注意几种数学常用语：把正整数和零统称为非负整数，也叫自然数；负整数和零统称为非正整数；正有理数和零统称为非负有理数；负有理数和零统称为非正有理数；“不是负数”表示“是正数或0”。

五、数轴：（数行结合的思想）
1、一般地，在数学中，人们用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

数轴满足以下三点：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；
②通常规定直线上原点向右为正方向，原点向左为负方向；
③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1、2、3、…，从原点向左，用类似的方法依次表示－1、－2、
-3
-4
-5
-6
-2-156
3
2
1
4
2、一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数－a的点在原点的左边，与原点的距离也是a 个单位长度。

3、利用数轴比较数的大小：每个有理数都可以用数轴上的点来表示，在数轴上，右边的数总比左边的数大。

另外, 正数大于0，0大于负数，正数大于负数（正数大于零大于负数）.
六、相反数
1、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

一般地，a和－a互为相反数。

特别地，0的相反数仍是0。

2、求某个数或者式子的相反数：直接在前面加“—”。

3、相反数的应用：多重符号的化简，规律如下：“＋”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“－”号的个数决定最后化简的结果。

即：“－”号的个数是奇数时结果为负，“－”号的个数是偶数时结果为正。

注意几种说法：“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，千万不要把它漏掉；相反数是成对出现的，不能单独存在；“只有符号不同的两个数”中的“只有”指的是除了符号不同以外，其他完全相同，不能理解为只要符号不同的两个数就是互为相反数。

互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数，因为0的相反数是0，但0既不是正数也不是负数。

4、去括号法则（注意逆应用—加括号）
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后括号内各项的符号与原来的符号相反。

注意括号前面有数字因数时，应利用乘法分配律，先将该数与括号内各项分别相乘再去掉括号，以避免发生符号错误。

七、绝对值
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作︱a︱。

由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

1、当a是正数时，︱a︱＝a；
2、当a是负数时，︱a︱＝－a；
3、当a＝0时，︱a︱＝0。

注意：1、比较两个负数的大小时：绝对值大的反而小；
2、在去掉绝对值符号时，一定要先判断符号内的数或者式子的正负或者0，如果为正或者0，直接去掉；如果为负，要在这个数或者式子前加负号。

注意掌握两种数学思想：数行结合分类讨论。

第3节有理数的加减法——有理数的加法
一、有理数的加法运算法则：先确定类型，再确定符号，最后确定绝对值。

1、同号的两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
若a＞0且b＞0，则a＋b＝＋（︱a︱＋︱b︱）；
若a＜0且b＜0，则a＋b＝－（︱a︱＋︱b︱）。

2、异号的两数相加
①若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
若a＞0、b＜0且︱a︱＞︱b︱，则a＋b＝＋（︱a︱－︱b︱）；
若a＞0、b＜0且︱a︱＜︱b︱，则a＋b＝－（︱b︱－︱a︱）。

②若绝对值相等，则和为0，也就是互为相反数的两个数的和为0
若a＞0、b＜0，且︱a︱＝︱b︱，则a＋b＝0。

（反过来，若a＋b＝0，说明a与b互为相反数。

）
3、一个数与0的和仍得这个数，即a＋0＝a。

二、运用运算律对有理数的加法进行简便运算
（1）加法交换律：a＋b＝b＋a；
（2）加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。

技巧：运用有理数的加法运算律时，通常有下列规律：①互为相反数的两个数先相加—“相反数结合法”；②符号相同的两个数先相加—“同号结合法”；③分母相同的数先相加—“同分母结合法”；④几个数相加得整数，则这几个数先相加—“凑整法”；⑤整数与整数、小数与小数相加—“同形结合法”。

三、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

a－b＝a＋（－b）。

就把减法运算转化为加法运算。

第4节有理数的乘除法——有理数的乘除法
一、有理数的乘法法则
1、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
2、任何数同0相乘，都得0．
3、多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数．
4、几个数相乘，如果其中有任何一个因数为0，则积等于0．
5、因数中如有带分数，应先化为假分数便于约分。

二、倒数
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示
为：a×1
a
＝1（a≠0）．就是说，a和
1
a
互为倒数，即a是
1
a
的倒数，
1
a
是a的倒数．
注意：
1、0没有倒数．倒数等于它本身的数是1和－1，不包括0．
2、求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置．
3、正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．
三、有理数的乘法运算律
1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等．即ab ＝ba ．
2、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即（ab ）c ＝a （bc ）．
3、乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a （b ＋c ）＝ab ＋ac ．（注意公式的逆应用）
四、有理数的除法法则
（1）除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。

可表示成：a ÷b ＝a ·1b
（b ≠0）。

（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0。

说明：对于有理数除法的两个法则，在计算时可根据具体的情况进行选用，一般在不能整除的情况下应用法则（1）；在能整除的情况下，应用法则（2）。

五、有理数的乘除混合运算
乘除混合运算可先将除法运算转化为乘法运算，再运用乘法法则和运算律进行计算。

六、有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算中，如无括号，则运算顺序为：“先乘除，后加减”；如有括号，则先算括号里面的。

第5节有理数的乘方
一、乘方
1、求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，一般地，n 个a 相乘记作a n ，读作a 的n 次幂．在a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数．
2、乘方运算的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
注意：在有理数的混合运算中，运算顺序为先乘方，再乘除，最后加减；
二、科学记数法
把一个大于10的数表示成a ×10n 的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数），这种记数方法叫做科学记数法．在a ×10n 中，a 应满足1≤a ＜10，10的指数n 等于原数整数位减1．负数只需在a ×10n 之前加“－”号即可．
三、近似数
接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数．近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示．精确度是描述一个近似数的近似程度的量．
精确度有两种形式：
（1）一般地，把一个数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到了哪一位．
（2）保留几个有效数字．有效数字是指在给定的一个数中，从左边第一个非0数字起，到末位数字止，所包含的所有数字
注意：1、6.3是精确到十分位，而6.3万 是精确到千位，6.03×104是精确到百位，5.601×104是精确到十位
2、结果为非负数的式子有两个：（1）a 2≥0，（2）︱a ︱≥0，其中a
均为任意数．由此产生的常见题型有：若a 2＋︱b ︱＝0，则a 、b 都等于0．（注意整体思想）。