大学物理 振动章节 的公式

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21221=++=+'+''A r A r y A y A y
弹簧振子模型
x +ω2x = 0 圆频率ω =m k
x=A cos(ωt+φ)
E=E P +E K =m ω2A 2/2=k A 2/2
由能量关系求振动规律 E=1
2m* ξ2 +1
2k*ξ2⇔ m* ξ+k*ξ=0
直接: ω= (k*/m*)1/2ξ(t)=A cos (ωt+φ)
1阻尼振动微分方程及其通解
微分方程
m x = -kx -b x x + 2δ x
+ ω02x =0 ω02=k/m 阻尼系数δ=b/2m
2. 通解
令: x=e －δt x 1x
=-δx+e －δt x 1 x =-2δx -δ2x+e －
δt x 1x 1+(ω02-δ2)x 1=0 (1) δ = ω0x 1=0 ——临界阻尼x(t)=(c 1+c 2t) e -δ t
(2) δ>ω0x 1-α2x 1=0——过阻尼 x(t)=(c 1e αt +c 2e -αt ) e -δ t α= √(δ2-ω02 ) 2 欠阻尼振动
1. 欠阻尼振动 ω’= 220δω-
x(t)= e -δ t x 谐 = Ae -δ t cos(ω’t+φ’)周期T’=ω’/2π,初相φ’, 位相ψ’=ω’t+φ’
v= x
=-Ae -δ t [ω’sin ψ’+δcos ψ’] E =1
2mA 2e -2δt (ω02+δ2cos2ψ’+δω’sin2ψ’)
2. 小阻尼振动
δ<<ω’≈ω0 δ T’ <<1
E ≈kA 2e -2δ t /2=m ω02A 2e -2δ t /2=E 0e -2δ t
3. 品质因数Q=2πE
E -∆
小阻尼(δ<<ω’): Q ≈ω’/2δ≈ω0/2δ
3 受迫振动的稳态解
ω0震动频率；ω’等价震动频率；ω外力频率
m x =-kx -b x +f x +2δ x
+ω02x=h cos ωt ω02=k/m δ=b/2m f=Fcos ωt h=F/m
受迫振动通解=Ae -δt cos(ω’t+φ’)+Acos(ωt+φ)
A(ω) =
h ()ωωδω02
22224-+(ω2共振= ω02-2δ2)φ=arctan --202
2δωωωφ∈(-π,0 ]
E=mA 2[ω2sin 2(ωt+φ)+ω02 cos 2(ωt+φ)]/2≠常数 E 以2ω简谐振动<E>=mA 2(ω2+ ω02)/4
1. 功率
策动力功率N动=fv=-FωA[sin(2ωt+φ)+sinφ]/2
<N动>=-FωAsinφ/2 =mδω2A2>0
阻力功率N阻=f r v= -bv2 = -b ω2A2sin2(ωt+φ) ≤ 0
<N阻>= -mδω2A2
ω=ω0时特点: <N动>,v最大——速度共振E=mω02A2/2=const (非守恒) N动+N阻=0 φ= -π/2 4. 简谐振动的合成
A=[A12+A22+2A1A2cos∆φ]1/2∆φ≡φ2-φ1±2π。