5.4 梁的整体稳定1

5.4 梁的整体稳定

5.4.1 梁的整体失稳现象

梁主要是用于承受弯距，为了提高梁的抗弯强度，节省钢材，梁的截面一般做成高而窄的形式。如图5.18所示的工字形截面梁，荷载作用在其最大刚度平面内，当荷载较小时，梁的弯曲平衡状态是稳定的。虽然外界各种因素会使梁产生微小的侧向弯曲和扭转变形，但外界影响消失后，梁仍能恢复原来的弯曲平衡状态。然而，当荷载增大到某一数值后，梁在弯矩作用平面内弯曲的同时，将突然发生侧向的弯曲和扭转变形，并丧失继续承载的能力，这种现象称为梁的整体失稳或弯扭屈曲。梁维持其稳定平衡状态所承担的最大荷载或最大弯矩，称为临界荷载或临界弯矩。

图5.18 梁的整体失稳

横向荷载的临界值和它沿梁高的作用位置有关。当荷载作用在上翼缘时，如图5-19（a）所示，在梁产生微小侧向位移和扭转的情况下，荷载F将产生绕剪力中心的附加扭矩Fe，它将对梁侧向弯曲和扭转起促进作用，会加速梁丧失整体稳定。但当荷载F作用在梁的下翼缘时，如图5-19（ｂ）所示，它将产生反方向的附加扭矩Fe，有利于阻止梁的侧向弯曲扭转，延缓梁丧失整体稳定。因此，后者的临界荷载（或临界弯矩）将高于前者。

图5.19 荷载位置对整体失稳的影响

5.4.2 梁的临界荷载

图5-12（a）所示为一两端简支双轴对称工字形截面纯弯曲梁，梁两端均受弯矩M作用，弯矩沿梁长均分布。这里所指的“简支”符合夹支条件，即支座处截面可自由翘曲，能绕x轴和y轴转动，但不能绕z轴转动，也不能侧向移第动。

图5-12 梁的侧向弯扭屈曲

设固定坐标为x、y、z，弯矩M达到一定数值屈曲变形后，相应的移动坐标为'x、'y、'z，截面形心在x、y轴方向的位移u、v，截面扭转角为 。在图5-12（b）和图5-12（d）中，弯矩用双箭头向量表示，其方向按向量的右手规则确定。

梁在最大刚度平面内（z y ''平面）发生弯曲（图5-12（c ）），平衡方程

M dz

v

d EI =-22x （5-20）

梁在z x ''平面内发生侧向弯曲（图5-12（d ）），平衡方程

ϕM dz

u

d EI =-22y （5-21）

式中：y x I I ，——梁对x 轴和y 轴的毛截面惯性矩。

由于梁端部夹支，中部任意截面扭转时，纵向纤维发生了弯曲，属于约束扭转。根据式（5-19），得扭转的微分方程

z u M z GI z

EI d d d d d d t 3

3

ω=+-ϕϕ （5-22） 可得到ϕ的弯扭屈曲微分方程

0y 2

2t 44ω=--ϕϕϕEI M dz

d GI dz d EI （5-23）

假设两端简支梁的扭转角为正弦曲线分布，即

l

z

C πϕsin

=

将ϕ、ϕ的二阶导数和四阶导数代入式（5-23）中，得

0sin

y 22

t 4ω=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛l z C EI M l GI l EI πππ 使上式在任何z 值都成立的条件是方括号中数值为零，即

0y

22

t 4ω=-⎪⎭⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛EI M l GI l EI ππ

上式中的M 就是双轴对称工字形截面简支梁纯弯曲时的临界弯矩

t

2ω

2t y cr 1GI l EI GI EI l

M ππ

+

=

（5-24）

式中：y EI ——侧向抗弯刚度；

t GI ——自由扭转刚度； ωEI ——翘曲刚度。

式（5-24）是根据双轴对称工字形截面简支梁纯弯曲时，根据弹性稳定理论推导的临界弯矩。

对于加强梁的受压上翼缘，有利于提高梁的整体稳定。单轴对称截面简支梁（图5-13）在不同荷载类型作用下，根据弹性稳定理论可推导出其临界弯矩的通用计算公式

()

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣

⎡

⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+++++=ω2t 2y

ω

2

y

3

2

y 322

y 21

cr 1EI

GI l I I C a C C a C l

EI C M πββπ （5-25） (

)

022A

x

y d 21y A y x y I -+=

⎰β

式中：y β——单轴对称截面的一种几何特性，当为双轴对称时，0y =β；

0y ——剪切中心的纵坐标，y

2

2110I h I h I y --

=；正值时，剪切中心在形心之下，负值时，在形心之上；

a ——荷载作用点与剪切中心之间的距离，当荷载作用点在剪切中心以下时，取正值，反之取负

值；

21I I ，——分别为受压翼缘和受拉翼缘对y 轴的惯性矩，12/12/3

2223111b t I b t I ==，；

21h h ，——分别为受压翼缘和受拉翼缘形心至整个截面形心的距离；

321C C C ，，——根据荷载类型而定的系数，其值如表5-2所示。

图5-13 单轴对称截面

上述的所有纵坐标均以截面的形心为原点，y 轴指向下方时为正向。

式（5-25）已为国外许多试验研究所证实，并为许多国家制订设计规范时所参考采用。

表5-2

系数和，321C C C

由临界弯矩M cr 的计算公式（5-25）可见，梁整体稳定的临界荷载与梁的侧向抗弯刚度、抗扭刚度、翘曲刚度、梁截面形状、荷载类型、荷载作用位置以及梁的跨度有关。 5.4.3 梁的整体稳定系数

由式（5-24）可得双轴对称工字形截面简支梁的临界应力

x

cr

cr W M =

σ （5-26） 式中：x W ——梁对x 轴的毛截面模量。

梁的整体稳定应满足下式