专题03 约束条件下的平抛运动(解析版)

素养提升微突破03 约束条件下的平抛运动

——用理想模型解决实际生活问题

平抛运动

体育运动中许多运动都可简化为平抛运动模型，在分析此类问题时一定要注意从实际出发，寻找一些临界点，画出物体运动的草图，找出临界条件，并由此分析出临界条件所对应的运动特征，进而列出符合临界条件的物理方程，并恰当运用数学知识求解临界与极值问题。

【2017·新课标全国Ⅰ卷】发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球（忽略空气的影响）。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网；其原因是

A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多

B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大

C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少

D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大

【答案】C

【解析】由题意知，速度大的球先过球网，即同样的时间速度大的球水平位移大，或者同样的水平距离速度大的球用时少，故C正确，ABD错误。

【素养解读】重点要理解题意，本题考查平抛运动水平方向的运动规律。理论知识简单，难在由题意分析出水平方向运动的特点。本题体现了物理视角解决实际问题的学科素养。

一、圆周约束

在半圆内的平抛运动（如图），由半径和几何关系制约时间t ：

2

2

1gt h =

t v h R R 022=-+

联立两方程可求t 。

【典例1】如图所示，地面上固定有一半径为R 的半圆形凹槽，O 为圆心、AB 为水平直径，现将小球（可

视为质点）从A 处以初速度v 1水平抛出后恰好落到D 点：若将该小球从A 处以初速度v 2水平抛出后恰好落到C 点，C 、D 两点等高，OC 与水平方向的夹角θ＝60°，不计空气阻力，则下列说法正确的是

A ．v 1:v 2＝1:4

B ．小球从开始运动到落到凹槽上的过程中，其两次的动量变化量相同

C ．小球落在凹槽上时，其两次的重力的瞬时功率不同

D ．小球落到C 点时，速度方向可能与该处凹槽切面垂直 【答案】B

【解析】过C 与D 分别做AB 的垂线，交AB 分别与M 点与N 点，如图：

则OM ＝ON ＝R ·cos60°＝0.5R ；所以AM ＝0.5R ，AN ＝1.5R ；由于C 与D 点的高度是相等的，由：h ＝1

2

gt 2可知二者运动的时间是相等的。由水平方向的位移为：x ＝v 0t ，可得

121

3

v v =，故A 错误；它们速度的变化量：△v ＝gt ，二者运动的时间是相等的，则它们速度的变化量也相等，根据P=mv 可知动量变化量相等。故B 正确；两次的位移分别为：AD 和AC ，显然AC ≠2AD

，所以前后两次的平均速度之比不等

于1:2，故C错误；球落到C点时，若速度方向与该处凹槽切面垂直则速度方向为OC，O点应为AM 的中点，显然不是，故D错误。

【素养解读】本题主要考查平抛运动的基本知识，借助于几何知识确定位移关系，进而求的最终结果。体现了运动观念，结合数学知识的分析综合科学思维。

二、竖直平面约束

对着竖直墙壁、圆筒等平抛，水平初速度v0不同，水平位移相同，但落点不同；还有可能水平位移也不同，下落高度根据实际情景变化，求出速度范围。

【典例2】【2019·洛阳联考】如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物体以速度大小为v水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2。则v的取值范围是

A．v>7 m/s B．v<2.3 m/s

C．3 m/s

【答案】C

【解析】小物体做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v最大。此时有L＝v max t，h＝1

2

gt2，代入数据

解得v max＝7 m/s，恰好擦着窗口下沿左侧穿出时速度v最小，则有L＋d＝v min t′，H＋h＝1

2

gt′2，代入数

据解得v min＝3 m/s，故v的取值范围是3 m/s

【素养解读】本题平抛运动受多重约束，需要把实际生活情境，抽象出单一的运动情境，分析出实际运动的水平位移和竖直位移，体现了运动观念解决实际问题的学科素养。

三、挡板约束

在常见的击球运动中（如排球、乒乓球、网球等），球触网、擦网、压线、出界等等的约束，需要根据实际情况分析列物理方程求解。

【典例3】【2019·济南模拟】如图所示，排球场总长为18 m，设球网高度为2 m，运动员站在网前3 m处正

对球网跳起将球水平击出，球大小不计，取重力加速度g ＝10 m/s 2。 (1)若击球高度为2.5 m ，为使球既不触网又不出界，求水平击球的速度范围； (2)当击球点的高度为何值时，无论水平击球的速度多大，球不是触网就是出界？ 【答案】(1)310 m/s

15

m

【解析】(1)球被水平击出后，做平抛运动，如图所示，

若正好压在底线上，则球在空中的飞行时间 t 1＝

2h 0g ＝12

s 由此得球出界的临界速度 v 1＝x 1

t 1

＝12 2 m/s

若球恰好触网，则球在网上方运动的时间

t 2＝1

10 s

得球触网的临界速度v 2＝x 2

t 2

＝310 m/s

要使球既不触网又不出界，水平击球速度v 的取值范围为 310 m/s

(2)设击球点的高度为h ，当h 较小时，击球速度过大会出界，击球速度过小又会触网，临界情况是球刚好擦网而过，落地时又恰好压在底线上，则有

x 1

2h g

＝

得h ＝H 1－⎝⎛⎭

⎫x 2x 12＝32

15 m

即击球高度为32

15

m 时，球不是触网就是出界。