江苏省淮安市洪泽中学2011届高三数学上学期期末检测

Q

O F 2F 1P

y 江苏省洪泽中学2011届高三上学期期末检测（数学）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共90分。）

1．已知21

1

2{|lg 0},{|22

2,}x M x x N x x Z -+===<<∈,则M

N = ▲ .

2．34sin (cos )55

i θθ-+-（）是纯虚数，则=θtan ▲ .

3．若双曲线经过点(3,2)，渐近线方程是13

y x =±，则这条双曲线的方程是 ▲ . 4．函数()

tan 42

y x ππ=-的部分图像如图所示，则()

OA OB AB +⋅= ▲ .

5．下右图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是 ▲ .

6．一个学校高三年级共有学生200人，其中男生有120人，女生有80人，为了调查高 三复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为25的样本，应抽取女 生的人数 ▲ 人。

7．设x ，y 满足约束条件3

123

x y x y x y +≥⎧⎪

-≥-⎨⎪-≤⎩，若目标函数x y z a b =+（a ＞0,b ＞0）的最大值

为10，则5a+4b 的最小值为 ▲ .

8．连续两次掷一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正 方体玩具），记出现向上的点数分别为,m n ，设向量(),m n =a ，()3,3=-b ，则a 与

b 的夹角为锐角的概率是 ▲ 。

9．如上图，已知12,F F 是椭圆22

22:1x y C a b

+= (0)a b >>的左、右焦点，点P 在椭圆C

上，线段2PF 与圆2

2

2

x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离 心率为 ▲ .

10．已知不等式2

2

2xy ax y ≤+,若对任意[1,2]x ∈及[2,3]y ∈该不等式恒成立，则实 数a 的取值范围是 ▲ 。

B

B

A y

x 1 O 第4题

第9题

11．设()y f x =定义域R ，对于给的正数k ，定义函数()

()()()k f x f x k f x k

f x k

≤⎧=⎨

>⎩

取函数x x f 2log )(=，当2

1

=

k 时，函数()k f x 的单调递增区间为 ▲ 。 12．已知P 为抛物线x y 42

=的焦点,过P 的直线l 与抛物线交与A,B 两点，若Q 在直线 l 上,且满足||||||||AP QB AQ PB =，则点Q 总在定直线1x =-上．试猜测如果P 为椭圆

22

1259

x y +=的左焦点，过P 的直线l 与椭圆交与A,B 两点，若Q 在直线l 上,且满足 ||||||||AP QB AQ PB =，则点Q 总在定直线 ▲ 上．

13．记数列{}n a 是首项1a a =，公差为2的等差数列；数列{}n b 满足2(1)n n b n a =+， 若对任意*n N ∈都有5n b b ≥成立，则实数a 的取值范围为 。

14.设5021,,,a a a 是从1,0,1-这三个整数中取值的数列，若95021=+++a a a ，且

107)1()1()1(2502221=++++++a a a ，则5021,,,a a a 中数字0的个为 ▲ .

二．解答题 15．（本小题满分14分）

已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )444

x x x

m n ==.

（1）若1m n ⋅=,求2cos(

)3

x π

-的值； （2）记()f x m n =⋅，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ，且满足C b B c a cos cos )2(=-，

求函数f (A )的取值范围.

16．(本小题满分14分)

直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，222AB AD CD ===． （1）求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；

（2）在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行？证明你的结论．

17.如图所示，某市政府决定在以政府大楼O 为中

心，正北方向和正东方向的马路为边界

的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要 求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的 半径OM R = ，45MOP ∠=，OB 与OM 之间的夹角为θ.

（1）将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成θ的函数.

（2）若45R m =，求当θ为何值时，矩形ABCD 的面积S 有最大值？

C

D

M

Q

F

x

N

M

O

y

A B l :x =t 其最大值是多少？(精确到0.01m 2

) 18．（本题满分15分）

已知椭圆)0(12222>>=+b a b

y a x 的离心率为23，椭圆的左、右两个顶点分别为A ，B ，AB=4，直

线(22)x t t =-<<与椭圆相交于M ，N 两点，经过三点A ，M ，N 的圆与经过三点B ，M ，N 的圆分别记为圆C1与圆C2．

（1）求椭圆的方程；

（2）求证：无论t 如何变化，圆C1与圆C2的圆心距是定值； （3）当t 变化时，求圆C1与圆C2的面积的和S 的最小值． 19．（本题满分16分） 设数列}{n a 的通项是关于x 的不等式x n x x )12(2

-<- 的解集中整数的个

数。（1）求n a 并且证明}{n a 是等差数列； （2）设m 、k 、p ∈N *，m +p =2k ，求证：

m S 1

＋p S 1≥k

S 2； （3）对于（2）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，

请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． 20．（本题满分16分） 已知函数2

()f x x x λλ=+，()ln g x x x λ=+，()()()h x f x g x =+，其中R λ∈， 且0λ≠.⑴当1λ=-时，求函数()g x 的最大值；

⑵求函数()h x 的单调区间；

⑶设函数(),0,

()(),0.

f x x x

g x x ϕ≤⎧=⎨

>⎩若对任意给定的非零实数x ，存在非零实

数t （t x ≠），使得'()'()x t ϕϕ=成立，求实数λ的取值范围.